ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 36 KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα αποτελούν επέκταση της έννοιας του απλού ολο κληρώματος στην περίπτωση κατά την οποία το πεδίο ολοκλήρωσης είναι το τμήμα μιας επίπεδης ή τρισδιάστατης καμπύλης. Έχουν πολλές εφαρμογές στη Φυσική, σπουδαιότερες των οποίων είναι αυτές που αναφέρονται στο έργο και στο δυναμικό ενός πεδίου δυνάμεων. 6. Ορισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος Έστω μια καμπύλη στο επίπεδο xoy με εξίσωση y f( x) που συνδέει τα σημεία A(, ) και B(, ) (σχήμα 44). Έστω ακόμα δύο μονότιμες συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών, οι Pxy (, ) και Qxy (, ) που Σχ. 44 μπορούν να οριστούν για όλα τα σημεία της (οι συναρτήσεις P και Q παριστάνουν στον R 3 ως γνωστό επιφάνειες). 06_MATHEMATIKA II_.indd 36 0//04 :9:8 μμ

36 Κεφάλαιο 6: ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Υποδιαιρούμε τώρα την σε ν τμήματα, εκλέγοντας ν σημεία πάνω σ αυτή με συντεταγμένες: (, ) ( x, y ), ( x, y ),, ( x, y ), ( x, y ),, ( x, y ) (, ). 0 0 k k k k Θέτουμε xk xk xk και yk yk yk k,,, και ορίζουμε τα σημεία ( k, k) στη έτσι ώστε να βρίσκονται μεταξύ των σημείων ( x, y ), ( x, y ) k k k k. Κατόπιν σχηματίζουμε το άθροισμα Pk, kxk Qk, kyk. k Το όριο του αθροίσματος αυτού (αν υπάρχει) όταν ν, έτσι ώστε όλες οι ποσότητες xk και yk k,,, να τείνουν στο μηδέν, λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα των Pxy (, ) και Qxy (, ) ως προς x και y κατά μήκος της καμπύλης και συμβολίζεται με Pxydx (, ) Qxydy (, ) ή Pdx Qdy. () Όπως γίνεται φανερό, η τιμή του ολοκληρώματος αυτού εξαρτάται γενικά απ τις συναρτήσεις P και Q, τη συγκεκριμένη καμπύλη και από τα όρια Α και Β. Εντελώς ανάλογα μπορεί να οριστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος μιας καμπύλης στον τρισδιάστατο χώρο ως Pk k k xk Qk k k yk Rk k k zk lim,,,,,, k Pdx Q dy R dz () όπου P, Q, R, είναι συναρτήσεις των x, y, z. 06_MATHEMATIKA II_.indd 36 6//04 :48:4 πμ

6. Υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 363 Ένας άλλος τρόπος ορισμού (γενικός) του επικαμπύλιου ολοκληρώματος κατά μήκος μιας καμπύλης στο επίπεδο xoy με εξίσωση y f( x), είναι ο παρακάτω: Αν το sk συμβολίζει το μήκος του τόξου της καμπύλης μεταξύ των σημείων: ( xk, yk ) και ( xk, y k) τότε το Ak k sk A x y ds (3) lim, (, ) k λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της συνάρτησης Axy (, ) ως προς s κατά μήκος της καμπύλης. Η επέκταση του ορισμού αυτού μπορεί να γίνει για καμπύλη που αναφέρεται στο χώρο R 3 και με συνάρτηση Axyz (,, ) ή ακόμα να γενικευθεί σε χώρο περισσοτέρων διαστάσεων. Στον R 3 και με συνάρτηση Axyz (,, ), ορίζεται ως: Ak k k sk A x y z ds. (4) lim,, (,, ) k 6. Υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος Ο υπολογισμός του επικαμπύλιου ολοκληρώματος εξαρτάται κυρίως, τόσο απ τη μορφή του ολοκληρώματος, όσο και απ τον τρόπο που δίνεται η καμπύλη. Έτσι: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις i) Αν η καμπύλη δίνεται στο επίπεδο με τις παραμετρικές της εξισώσεις x x(), t y y() t τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα () της 6. γίνεται t t P x(), t y() t x() t dt Q x(), t y() t y() t dt () γιατί dx x() t dt, dy y() t dt ενώ t, t εκφράζουν τις τιμές του t που αντιστοιχούν στα σημεία Α και Β. 06_MATHEMATIKA II_.indd 363 6//04 :5:0 πμ

364 Κεφάλαιο 6: ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ii) Παρόμοια εργαζόμαστε αν η καμπύλη ορίζεται στο χώρο και δίνεται με τις παραμετρικές της εξισώσεις x x(), t y y() t z z() t. Τότε οι συναρτήσεις Pxyz (,, ), Qxyz, (,, ) Rxyz (,, ) γίνονται: Px(), t y(), t z() t, Qx(), t y(), t z() t, Rx(), t y(), t z() t και επομένως το ολοκλήρωμα () της 6. γίνεται: t t P t x() t dt Q t y() t dt R t z() t dt () ενώ t, t εκφράζουν τις τιμές του t που αντιστοιχούν στα σημεία Α και Β. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η δίνεται με την εξίσωση y f( x) ή x ( y). i) Αν η καμπύλη δίνεται στο επίπεδο (z = 0) με την εξίσωση y f( x), τότε το ολοκλήρωμα () της 6. υπολογίζεται αν αντικαταστήσουμε το y με f( x ) και το dy με f ( x) dx οπότε προκύπτει το ολοκλήρωμα P( x, f( x)) dx Q( x, f( x)) f( x) dx (3) όπου, είναι οι τετμημένες των σημείων Α, Β. ii) Αν τώρα η δίνεται στο επίπεδο με την εξίσωση x ( y), τότε το ολοκλήρωμα () της 6. παίρνει εντελώς ανάλογα τη μορφή ( ), ( ) ( ), P y y y dy Q y y dy (4) όπου τώρα, είναι οι τεταγμένες των σημείων Α, Β. iii) Στην περίπτωση που η καμπύλη δίνεται στο χώρο ως τομή δύο επιφανειών f( x, y, z) 0 και gxyz (,, ) 0, (5) τότε μετασχηματίζουμε τις (5) σε παραμετρικές εξισώσεις της μορφής 06_MATHEMATIKA II_.indd 364 0//04 :9:9 μμ

6. Υπολογισμός επικαμπύλιου ολοκληρώματος 365 x x(), t y y(), t z z() t ως εξής: D( f, g) Αν J 0 σε μια περιοχή του Ρ, όπου Pxyz (,, ) τυχαίο σημείο Dyz (, ) P που επαληθεύει τις (5), τότε απ το θεώρημα.5. πεπλεγμένων συναρτήσεων, οι εξισώσεις (5) μπορούν να λυθούν ως προς y και z συναρτήσει του x, και θεωρώντας το x ως παράμετρο παίρνουμε μια παράσταση της καμπύλης, της μορφής: x x, y y( x), z z( x), οπότε θέτοντας xt, y y( t), z z( t) έχουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της, δηλαδή την η περίπτωση (ii). 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η δίνεται με παράμετρο το τόξο s i) Αν το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι της μορφής (3) της 6. όπου η καμπύλη είναι επίπεδη της μορφής y f( x), τότε αποδεικνύεται ότι το ολοκλήρωμα αυτό γράφεται: Axyds (, ) Ax, f( x) f( x) dx (6) όπου, είναι οι τετμημένες των σημείων Α, Β. Ενώ, αν η καμπύλη δίνεται με τη μορφή x ( y), τότε Axyds (, ) A( y), y ( y) dy (7) όπου τώρα, είναι οι τεταγμένες των σημείων Α, Β. Πράγματι, αν Δs είναι ένα στοιχειώδες μήκος πάνω στη στο xoy, τότε (σχήμα 45): ( s) ( x) ( y) και διαιρώντας με Δx (ή Δy αντίστοιχα) έχουμε Σχ. 45 s y x x ή s x y y. 06_MATHEMATIKA II_.indd 365 0//04 :9:9 μμ

366 Κεφάλαιο 6: ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Άρα ds s lim y dx x 0 x ds s lim x dy y0 y οπότε οπότε ds ds y dx ( ds 0) ή x dy ( ds 0). ii) Αν η εξίσωση της καμπύλης y f( x) εκφράζεται με τις παραμετρικές εξισώσεις x x(), t y y() t, τότε θα είναι dx dy, όπου x, y οπότε dt dt ds x y dt t Axyds (, ) A xt ( ), yt ( ) x ydt t (8) όπου t, t είναι οι τιμές που αντιστοιχούν στα σημεία ( x, y) και ( x, y ). iii) Τέλος, αν το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι της μορφής (4) της 6., εκφράζοντας την με παραμετρικές εξισώσεις της μορφής x x(), t y y(), t z z() t, θα έχουμε t A( x, y, z) ds A x(), t y(), t z() t x y z dt t. (9) 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Η δίνεται με πολικές συντεταγμένες Στη περίπτωση που η καμπύλη εκφράζεται στο επίπεδο xoy με πολικές συντεταγμένες, δηλαδή είναι της μορφής ( ), όπου, τότε αποδεικνύεται ότι: Axyds (, ) A, d, (0) όπου x, y και d ds d d. 06_MATHEMATIKA II_.indd 366 6//04 :55:55 πμ

6.3 Ιδιότητες επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων 367 6.3 Ιδιότητες επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα έχουν ιδιότητες ανάλογες με εκείνες των συνηθισμένων ολοκληρωμάτων. Π.χ... 3. Pdx Qdy Pdx Qdy. Pdx Q dy Pdx Qdy. Pdx Qdy Pdx Qdy, ενώ αν δίνεται στη γενική του μορφή: BA 4. Axyzds (,, ) Axyzds (,, ). BA Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy, AE EB όπου Ε ένα άλλο σημείο μεταξύ των Α, Β της. 5. Όπως τονίστηκε στην αρχή, η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος Pdx Qdy δεν εξαρτάται μόνο από τα άκρα Α και Β της καμπύλης, αλλά και από την ίδια την καμπύλη που συνδέει τα σημεία αυτά. Στη περίπτωση όμως, στην οποία η ολοκληρωτέα παράσταση Pdx Qdy είναι ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης f( x, y ) δηλαδή df Pdx Qdy, (όπως τη γνωρίσαμε στην παράγραφο.5), τότε η τιμή του ολοκληρώματος εξαρτάται μόνο από τα σημεία Α και Β και όχι από την καμπύλη η οποία συνδέει τα σημεία αυτά. f f Πράγματι, τότε είναι προφανώς P, Q. Και αν οι εξισώσεις x y της καμπύλης είναι x x(), t y y() t και α, β είναι οι τιμές της t που αντιστοιχούν στα σημεία Ax (, y), Bx (, y ), τότε η συνάρτηση f( x, y ) γίνεται f x(), t y() t F() t. Είναι δε: f dx f dy dx dy F() t P Q και Pdx Qdy F() t dt df. x dt y dt dt dt 06_MATHEMATIKA II_.indd 367 0//04 :9:9 μμ

368 Κεφάλαιο 6: ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Άρα Pdx Qdy df F( ) F( ) f ( x, y ) f ( x, y ) για οποιαδήποτε καμπύλη που συνδέει τα Ax (, y ) και Bx (, y ). 6. Απ τη σχέση (3) ή (4) της 6., αν Axy (, ) ή Axyz (,, ), τότε το ds εκφράζει το μήκος της καμπύλης στο επίπεδο ή στο χώρο αντίστοιχα. Ειδικά αν η καμπύλη είναι κλειστή, τότε το μήκος της L βρίσκεται απ τον τύπο: L ds δηλώνει ολοκλήρωμα κατά μήκος κλειστής καμπύλης της οποίας η αρχή Α και το πέρας Β συμπίπτουν και η φορά διαγραφής είναι αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου. όπου το σύμβολο 7. Στην περίπτωση που η ολοκληρωτέα παράσταση είναι ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε μια κλειστή καμπύλη ΑΒΑ είναι μηδέν. Πράγματι, τότε θα είναι (σχήμα 46): Σχ. 46 (διότι ως ολικό διαφορικό, δεν εξαρτάται από την ) ή ή 0, δηλαδή 0. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:. Οι παραπάνω ιδιότητες 5 ισχύουν και για επικαμπύλια ολοκληρώματα της μορφής Pdx Qdy Rdz κατά μήκος μιας καμπύλης στο τρισδιάστατο χώρο.. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στη γενική του μορφή: Axyzds (,, ) λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της αριθμητικής συνάρτησης Axyz (,, ) κατά μήκος της καμπύλης, ή επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους, ενώ στην ειδική του μορφή: 06_MATHEMATIKA II_.indd 368 0//04 :9:9 μμ

6.3 Ιδιότητες επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων 369 Pdx Qdy (στο επίπεδο) ή Pdx Qdy Rdz (στο χώρο) λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της διανυσματικής συνάρτησης Fxy (, ) Pxyx (, ) 0 Qxyy (, ) 0 στο επίπεδο ή Fxyz (,, ) Pxyzx (,, ) Qxyzy (,, ) Rxyzz (,, ) στο χώρο 0 0 0 κατά μήκος της καμπύλης, ή επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους. 3. Μεταξύ επικαμπύλιου ολοκληρώματος ου και ου είδους υπάρχει συσχέτιση (μετατροπή) που θα αναφερθεί στην επόμενη παράγραφο 6.4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Να βρεθεί η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος I ( yzdx ) ( z ydy ) ( x ydz ) όπου είναι η έλικα με παραμετρικές εξισώσεις x5 t, y 5 t, z t (σχήμα 37), για α = 5, β =, απ το σημείο t = 0 μέχρι t = π. ΛΥΣΗ Είναι dx 5 tdt, dy 5 tdt, dz dt. Άρα 0 5 5 5 5 5 5 I t t tdt t t tdt t t dt 5 t5t t5t t5 t t5 t5 t dt 0 5 tdt 5 td( t) 5 td( t) 0 0 0 5 td( t) 5 tdt 5 tdt 0 0 0 06_MATHEMATIKA II_.indd 369 6//04 :59:4 πμ

370 Κεφάλαιο 6: ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ t t t t t tdt 0 0 0 5 5 t 5t t tdt5 5 t 5 t. 0 0 0 0 0 Είναι 5, 0, 0. Άρα I 5. ) Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 3x ydx 5xy dy 3 κατά μήκος της καμπύλης y x από το σημείο Α(, ) μέχρι το Β(, 8). ΛΥΣΗ Οι παραμετρικές εξισώσεις του τόξου ΑΒ της καμπύλης είναι x t y t t 3,, [,]. Άρα dx dt, dy 3t dt, οπότε 3 6 3x ydx 5 xy dy (3t t 5tt 3 t ) dt 6 5 9 t 3 0 (3t 5 t ) dt t 566. 3) Να υπολογιστεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα όπου είναι ο κύκλος ( x ) ( y )., I y dx x dy ΛΥΣΗ Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου είναι (ακτίνα α = ) (βλέπε τυπολόγιο στο τέλος του βιβλίου, εξισώσεις κωνικών τομών) x t x t και y t y t, t [0, ]. 06_MATHEMATIKA II_.indd 370 6//04 :04:05 μμ