ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

Copyright 015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 015

Περιεχόµενα 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ................................................ 5 1.1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας 1.1.1 1.1. 1.1.3 ΘΕΩΡΙΑ......................................................... 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 14 1. Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο 1..1 1.. ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 17 1.3 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες 1.3.1 1.3. 1.3.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 19 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 4 1.4 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 1.4.1 1.4. 1.4.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 6 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ................................ 30 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 33 1.5 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις 1.5.1 1.5. 1.5.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 39 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 44 1.6 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών 1.6.1 1.6. 1.6.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 46 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 48 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 54 1.7 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες πλάσιου τόξου 1.7.1 1.7. 1.7.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 56 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 57 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 61 5 16 19 6 39 46 56

Βιβλιογραφία.................................................. 65 Βιβλιογραφία.................................................. 65.1 Βιβλία 65 Βιβλία 65. Ιστοσελίδες 65 Ιστοσελίδες 65

Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες πλάσιου τόξου ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1.1 1.1.1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Εστω οξεία γωνία ω. Πώς ορίζεται το ηµίτονο, συνηµίτονο, η εφαπτόµενη και η συνεφαπτόµενη της γωνίας ω ; Εστω γωνία ω. Ισχύει ότι : Σχήµα 1.1: Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας (M M1 ) υποτείνουσα (OM ) (0M1 ) προσκείµενη κάθετη συνω = = υποτείνουσα (OM ) απέναντι κάθετη (M M1 ) φω = = προσκείµενη κάθετη (OM1 ) προσκείµενη κάθετη (OM1 ) σφω = = απέναντι κάθετη (M M1 ) ηµω = απέναντι κάθετη = Ερώτηση 1. Πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε 0 ω 360 ; Εστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο, Ot µία ηµιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ηµιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη ϑετική ϕορά γύρω

από το O µέχρι να συµπέσει για πρώτη ϕορά µε την ηµιευθεία Ot (Σχ. α,β ). Ο ϑετικός ηµιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ηµιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της w. Τότε ισχύει : Σχήµα 1.: Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οποιασδήποτε γωνίας, από 0 o έως 360 o ηµω = (MM 1) (OM) = y ρ ɛφω = (MM 1) (OM 1 ) = y x σφω = (OM 1) (MM 1 ) = x y όπου ρ = x + y > 0 συνω = (0M 1) (OM) = x ρ (εφόσον x 0) (εφόσον y 0) Ερώτηση 1.3 Πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών µεγαλύτερων των 360 και αρνητικών γωνιών ; Για κάθε γωνία ϑετική ή αρνητική ισχύει ότι : ηµω = y ρ ɛφω = y x σφω = x y συνω = x ρ (εφόσον x 0) (εφόσον y 0) όπου ρ = x + y > 0 Εστω ω µια οξεία γωνία. Οι γωνίες που είναι µεγαλύτερες των 360 ϑα είναι της µορφής : k 360 + ω, k Z και ϑα ισχύει για κάθε k Z: ηµ(k 360 + ω) = ηµω συν(k 360 + ω) = συνω, ɛφ(k 360 + ω) = ɛφω σφ(k 360 + ω) = σφω Ερώτηση 1.4 Τι ονοµάζουµε τριγωνοµετρικό κύκλο ; Με κέντρο την αρχή O(0, 0) ενός συστήµατος συντεταγµένων και ακτίνα ρ = 1 γράφουµε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονοµάζεται τριγωνοµετρικός κύκλος. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

Ερώτηση 1.5 Πώς ορίζονται το ηµω και το συνω στον τριγωνοµετρικό κύκλο ; Γενικότερα, αν η τελική πλευρά µιας γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο στο σηµείο M(x, y), τότε ισχύει : Σχήµα 1.3: Τριγωνοµετρικός κύκλος συνω = x = τετµηµένη του σηµείου Μ ηµω = y = τεταγµένη του σηµείου Μ Για το λόγο αυτό ο άξονας x x λέγεται και άξονας των συνηµίτονων, ενώ ο άξονας y y λέγεται και άξονας των ηµίτονων. Ερώτηση 1.6 Τι τιµές µπορούν να πάρουν το ηµω και το συνω ; Οι τιµές του συνω και του ηµω µιας γωνίας ω δεν µπορούν να υπερβούν κατ απόλυτη τιµή την ακτίνα του τριγωνοµετρικού κύκλου, που είναι ίση µε 1. ηλαδή ισχύει : 1 συνω 1 και 1 ηµω 1 Ερώτηση 1.7 Πώς ορίζεται η εφω στον τριγωνοµετρικό κύκλο ; Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο και µια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέµνει στο σηµείο Μ(ξ, ψ). Φέρνουµε την εφαπτοµένη ε του τριγωνοµετρικού κύκλου στο σηµείο Α. Τότε ισχύει : ɛφω = y E = τεταγµένη του σηµείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x = 1, λέγεται άξονας των εφαπτοµένων. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

Σχήµα 1.4: Άξονας εφαπτόµενων Ερώτηση 1.8 Πώς ορίζονται τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω ανάλογα µε το τεταρτηµόριο ; Τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω, ανάλογα µε το τεταρτηµόριο στο οποίο ϐρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. 1 3 4 ηµω + + - - συνω + - - + ɛφω + - + - σφω + - + - Ερώτηση 1.9 Τι ορίζουµε ως ακτίνιο ; Ακτίνιο (ή 1 rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, ϐαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad). Ο µόνος λόγος για τη χρήση ακτινίων είναι ότι απλοποιεί τους τύπους. Ερώτηση 1.10 Ποια σχέση συνδέει τη µοίρα µε το ακτίνιο ; Εστω ότι µια γωνία ω είναι µ και α rad. Τότε ισχύει : α π = µ 180 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

Σχήµα 1.5: Ακτίνιο Ερώτηση 1.11 Ποιος είναι ο πίνακας των τριγωνοµετρικών αριθµών των ϐασικών γωνιών ; µοίρες 0 30 45 60 90 rad 0 ηµ 0 συν +1 ɛφ 0 σφ - π π π π 6 4 3 1 3 +1 3 1 0 3 1 3-3 3 3 1 0 3 Ρ Προσοχή : Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνοµετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει µήκος x, αντί να γράφουµε ηµ(x rad), συν(x rad), ɛφ(x rad) και σφ(x rad), ϑα γράφουµε απλά ηµx, συνx, ɛφx, και σφx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

1.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.1 ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 360 (π) 1. Αν η γωνία δίνεται σε µοίρες : Γνωρίζουµε ότι οι γωνίες ω και θ = κ 360 + ω, κ Z έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Άρα, διαιρούµε την γωνία µας µε το 360 και προκύπτει πηλίκο κ και υ- πόλοιπο ω.. Αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια (rad): Γνωρίζουµε ότι οι γωνίες ω και θ = κπ + θ, κ Z έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Εκφράζουµε τη γωνία ώστε να εµφανιστεί ο παράγοντας π ιαιρούµε (ϑα είναι σε µορφή κλάσµατος) τον αριθµητή µε τον παρανοµαστή και προκύπτει πηλίκο κ π και υπόλοιπο ω. Θέµα 1.1 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 115 Λύση 1.1 Επειδή η γωνία ξεπερνά τις 360 ϑα προσπαθήσουµε να τη γράψουµε στη µορφή κ360 + ω, κ R. ιαιρούµε τη γωνία 115 µε την 360 και έχουµε : 115 = 3 360 + 45. Άρα οι τριγωνοµετρικοί της αριθµοί είναι : ηµ115 = ηµ(3 360 + 45 ) = ηµ45 =. συν115 = συν(3 360 + 45 ) = συν45 = ɛφ115 = ɛφ45 = 1. σφ115 = σφ45 = 1.. Θέµα 1. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5π 3 rad. Λύση 1. Θα γράψουµε τη γωνία 5π 3 στη µορφή (κ π + α) ακτίνια. 5π 3 = 5 (4 6 + 1) π = π = 6 6 (4 6 6 + 1 ) π π = 4 π + 6 6 = 4 π + π 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

Συνεπώς οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 5π ϑα είναι 3 ηµ 5π 3 = ηµ(4 π + π 3 3 ) = ηµπ 3 =. συν 5π 3 = συν π 3 = 1. ɛφ 5π 3 = ɛφπ 3 = 3. σφ 5π 3 3 = σφπ 3 = 3. Μεθοδολογία 1. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΜΙΚΡΟ- ΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 360 (π) Εκφράζουµε τη γωνία ω ως άθροισµα ή διαφορά, µε τις ϐασικές γωνίες των 90 ( π ), 180 (π), 70 o 3π ή 360o π ηλαδή γράφουµε ω = 90 + θ(ω = π + θ) ή ω = 180 ± θ(ω = π ± θ) ή ω = 70 ± θ(ω = 3grp ± θ) ή ω = 3600 θ(ω = π θ) και κάνουµε αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο. Στο π και το π ο τριγωνοµετρικός αριθµός µένει ο ίδιος ενώ στο π και στο 3π αλλάζει. Το ηµίτονο γίνεται συνηµίτονο (και ανάποδα) Η εφαπτοµένη γίνεται συνεφαπτοµένη (και ανάποδα). Το πρόσηµο το προσδιορίζω από τον ΟΗΕΣ. Στο 1ο τερτηµόριο Ολοι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί είναι ϑετικοί, στο ο είναι µόνο τα Ηµίτονα, στο 3ο οι Εϕαπτοµένες και οι συνεφαπτοµένες και στο 4ο τα Συνηµίτονα. Θέµα 1.3 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 Λύση 1.3 ηµ5 = ηµ(180 + 45 ) = ηµ45 = συν5 = συν(180 + 45 ) = συν45 = ɛφ5 = ɛφ(180 + 45 ) = ɛφ45 = 1. σφ5 = σφ(180 + 45 ) = σφ45 = 1.. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

Θέµα 1.4 Να αποδείξετε ότι : σφ(π + x) ηµ(π x) ηµ( 13π + x) συν(π x) ηµ( x) ɛφ( 17π = 1. + x) Λύση 1.4 Υπολογίζουµε κάθε παράσταση ξεχωριστά. σφ(π + x) = σφx ηµ(π x) = ηµ[π + ( x)] = ηµ( x) = ηµx. ηµ( 13π + x) = ηµ(6π + π + x) = ηµ(π + x) = συνx. συν(π x) = συνx. ηµ( x) = ηµx. ɛφ( 17π + x) = ɛφ(8π + π + x) = ɛφ(π + x) = σφx. Εποµένως έχουµε : σφ(π + x) ηµ(π x) ηµ( 13π + x) συν(π x) ηµ( x) ɛφ( 17π + x) = σφx ( ηµx) συνx ( συνx) ( ηµx) ( σφx) = 1 Μεθοδολογία 1.3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Οταν οι γωνίες που µας δίνονται είναι γωνίες τριγώνου, τότε ισχύει ότι Â + ˆB + ˆΓ = 180, άρα Â = 180 ( ˆB + ˆΓ) ή ˆB = 180 (Â + ˆΓ) ή ˆΓ = 180 (Â + ˆB) ˆB + ˆΓ = 90 Â ή Â + ˆΓ = 90 ˆB Â + ˆB ή = 90 ˆΓ και χρησιµοποιούµε τους τύπους αθροίσµατος -διαφοράς γωνιών 90 ( π ) ή 180 (π). Θέµα 1.5 Σε κάθε τρίγωνο ABΓ να αποδείξετε ότι : i. σφâ + σφ( ˆB + ˆΓ) = 0. ii. συν Â + ˆB + ˆΓ συν = 1 Λύση 1.5 i. Σε κάθε τρίγωνο ABΓ έχουµε Â + ˆB + ˆΓ = 180, οπότε Â = 180 ( ˆB + ˆΓ) άρα σφâ = σφ[180 ( ˆB + ˆΓ)] ή αλλιώς σφâ = σφ( ˆB + ˆΓ) σφâ + σφ( ˆB + ˆΓ) = 0. ii. Είναι Â + ˆB + ˆΓ = 180, Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 1

Â άρα + ˆB + ˆΓ = 90 ˆB + ˆΓ = 90 Â οπότε συν ˆB + ˆΓ = συν(90 Â ) = ηµâ. Ετσι το πρώτο µέλος της σχέσης γράφεται : συν Â + ˆB + ˆΓ συν = συν Â + Â ηµ = 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να µετατρέψετε σε µοίρες τα τόξα : π i. 6, π 4, π 3, π π ii. 3, 5π 6, 3π 4, π π iii. 1, π 18, 5π 1, 5π 18. Να µετατρέψετε σε ακτίνια τις γωνίες : i. 10, 150, 135, 70 ii. 10, 15, 1 3. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : i. A = ηµ30 + ɛφ30 ηµ60 + ɛφ45 συν60 σφ30 συν30 + σφ45 ii. B = ηµ π 6 + συν π 4 + συν π 3 ɛφ π 4 + 3 σφ π 3 + σφ π 4 4. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : 9 i. A = 4ηµ 60 + συν 45 + 3 ɛφ 60 ii. B = 3ɛφ 30 + 8 3 συν 30 1 + ηµ 45 4 3 ηµ 60 iii. Γ = 3ɛφ 45 ηµ 60 1 ɛφ 60 + 1 8 (συν 45 ) 1 iv. = ηµ30 + συν45 + συν60 ɛφ45 + 3 ɛφ30 + 1 5. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : i. A = ηµ π 6 + συν π 4 + συν π 3 ɛφ π 4 + 3 σφ π 3 + σφ π 4 αηµ90 βσυν0 + (α + β)ɛφ45 α + 1 ii. B = α σφ45 αβσυν180 + β ηµ90 (α + β) ɛφ45 + 1 3ɛφ60 + ηµ60 3σφ30 + 6 3 συν60 iii. Γ = σφ30 + ɛφ60 3 συν30 + 6ηµ45 συν45 6. Να ϐρείτε το τεταρτηµόριο στο οποίο καταλήγουν οι γωνίες i) ω = 73π ii) φ = 93π iii) t = 65π iv) s = 185π 6 4 3 6 7. Να τοποθετήσετε στον τριγωνοµετρικό κύκλο τις παρακάτω γωνίες : i) 0π ii) 50π iii) 71π iv) 60π + π v) 30π + π 4 vi) 10π π 6 vii) κπ + π 3, κ Z viii) (λ + 1)π π, λ Z ix) κπ + π, κ Z 8. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i) ω = 41π 4 ii) φ = 601π 6 iii) α = 901π 3 iv) β = 61π v) γ = 49π vi) δ = 301π 6 4 3 9. Να ϐρείτε τις τιµές των παραστάσεων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

i. A = ii. B = iii. Γ = 6ηµ(π + π 6 ) + συν(4π + π 3 ) 3 ɛφ(6π + π 3 ) + συν(8π + π 4 ) ηµ 13π 6 + συν 17π 61π + συν 4 3 ɛφ 17π 4 + 3 σφ 5π 3 + σφ33π 4 ηµ 13π 6 + συν 17π 61π + συν 4 3 ɛφ 17π 4 + 3 σφ 5π 3 + σφ33π 4 10. Να ϐρείτε τις γωνίες φ, ω [0, π ] για τις οποίες ισχύει : i. ηµφ + 3συνω = 4 ii. ηµφ + 3συνω = 5 11. Να ϐρείτε όλες τις γωνίες α και β για τις οποίες ισχύει ηµα + συνβ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

1. Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο 1..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των αντίθετων γωνιών ; Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ηλαδή : συν( ω) = συνω ɛφ( ω) = ɛφω ηµ( ω) = ηµω σφ( ω) = σφω Ερώτηση 1.13 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών µε άθροισµα 180 ; Οι γωνίες µε άθροισµα 180 έχουν το ίδιο ηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ηµ(180 ω) = ηµω ɛφ(180 ω) = ɛφω συν(180 ω) = συνω σφ(180 ω) = σφω Ερώτηση 1.14 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών που διαφέρουν κατά 180 ; Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180 έχουν αντίθετο ηµίτονο και συνηµίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτοµένη και συνεφαπτοµένη. ηµ(180 + ω) = ηµω ɛφ(180 + ω) = ɛφω συν(180 + ω) = συνω σφ(180 + ω) = σφω Ερώτηση 1.15 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών µε άθροισµα 90 ; Αν δύο γωνίες έχουν άθροισµα 90, τότε το ηµίτονο της µιας ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης και η εφαπτοµένη της µιας ισούται µε τη συνεφαπτοµένη της άλλης. ηµ(90 ω) = συνω ɛφ(90 ω) = σφω συν(90 ω) = ηµω σφ(90 ω) = ɛφω Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

1.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω, όταν : i.) ω = 330 ii.) ω = 660 iii.) ω = 405 iv.) ω = 30. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i) 80π ii) 101π iii) 011π iv) 11π v) 43π vi) 181π 6 3. Να αποδείξετε ότι : i) ηµ0 συν50 ηµ40 συν70 = 1 ii) συν100 ηµ40 συν800 ηµ140 = 1 iii) ɛφ3 σφ85 ɛφ5 σφ87 = 1 iv) ɛφ110 σφ145 ɛφ70 σφ35 = 1 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : (αʹ) A = ɛφ50 συν50 ɛφ130 συν130 (ϐʹ) B = ɛφ 0 συν 0 + συν 160 (γʹ) Γ = ηµ10 συν80 + συν10 ηµ80 (δʹ) = συν5 συν155 ηµ5 ηµ155 5. Να αποδείξετε ότι : (αʹ) συν10 συν150 συν135 + ηµ10 ηµ150 ηµ135 = 0 (ϐʹ) ɛφ10 ɛφ150 ɛφ135 ɛφ10 ɛφ5 ɛφ40 = 6. Να αποδείξετε ότι : 7. Να αποδείξετε ότι : ηµ(90 α) ɛφ13 συν31 ηµ90 συν(180 + α) ηµ ɛφ48 συν180 = 1. ηµ40 συν70 ηµ0 συν50 + ηµ10 συν55 ηµ35 συν80 + ɛφ15 σφ65 ɛφ5 σφ75 = 3 8. Να αποδείξετε ότι : i. ɛφω ɛφ(90 ω) = 1 ii. ɛφ1 ɛφ ɛφ3 ɛφ89 = 1. 9. Να αποδείξετε ότι : i. ηµ1 + ηµ + ηµ3 + + ηµ89 = συν1 + συν + συν3 + + συν89 ii. σφ1 σφ σφ3 σφ89 = 1. 10. Να αποδείξετε ότι : i. ηµ(7 + α β) συν(18 + β α) = 0 ii. ɛφ(110 + α β) σφ(β α 0 ) = 0. iii. ηµ(171 + α β) ηµ(9 + β α) = 0 iv. συν(171 + α β) + συν(9 + β α) = 0 v. ɛφ(19 + α β) + ɛφ(β α 1 ) = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

vi. ηµ(05 + α β) + ηµ(5 + α β) = 0 vii. ɛφ(190 + α β) ɛφ(10 + α β) = 0 11. Να αποδείξετε ότι : ηµ(70 α) ɛφ(180 β) σφ(70 β) συν(540 + α) + σφ(450 α) ηµ(90 γ) συν(180 + γ) ɛφ(540 + α) = 1. Να αποδείξετε ότι : ηµ 7π 3 ηµ( π 1 συν 31π 1 ) συν 17π 3 15π 3π ɛφ( 4 ) σφ 10 ɛφ 6π 5 σφ( 19π 6 ) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

1.3 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες 1.3.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.16 Να αποδείξετε ότι ηµ ω + συν ω = 1. Αν M(x, y) είναι το σηµείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, τότε ϑα είναι : Επειδή όµως, (OM) = 1 και (OM) = x + y = x + y Σχήµα 1.6: x = συνω και y = ηµω ϑα ισχύει : οπότε ϑα έχουµε : ηµ ω + συν ω = 1. x + y = 1 Ερώτηση 1.17 Να αποδείξετε ότι ɛφω = ηµω συνω Στο ίδιο σχήµα έχουµε : ɛφω = y x = ηµω συνω σφω = x y = συνω ηµω (εφόσον x = συνω 0) (εφόσον y = ηµω 0) Ερώτηση 1.18 Να αποδείξετε ότι ɛφω σφω = 1. και σφω = συνω ηµω Είναι : ɛφω = ηµω συνω και σφω = συνω ηµω (εφόσον συνω 0 και ηµω 0) Εποµένως : ɛφω σφω = ηµω συνω συνω ηµω = 1. Ερώτηση 1.19 Να αποδείξετε ότι συν ω = 1 1 + ɛφ ω ιαιρούµε και τα δύο µέλη της ταυτότητας ηµ ω + συν ω = 1 µε συν ω 0 και έχουµε : ηµ ω συν ω + συν ω συν ω 1 συν ω = ɛφ ω + 1 = 1 συν ω 1 συν ω = ɛφ ω + 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

Ερώτηση 1.0 Να αποδείξετε ότι ηµ ω = ɛφ ω 1 + ɛφ ω Αν στην ταυτότητα ηµ ω + συν ω = 1 ϑέσουµε συν 1 ω = 1 + ɛφ ω έχουµε : ηµ ω + συν ω = 1 ηµ 1 ω + 1 + ɛφ ω = 1 ηµ ω = 1 1 + ɛφ ω 1 1 + ɛφ ω ηµ ω = ɛφ ω 1 + ɛφ ω 1 1 + ɛφ ω ηµ ω = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 0

1.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Οταν δίνεται ένας τριγωνοµετρικός αριθµός και το τεταρτηµόριο που ϐρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας, τότε χρησιµοποιούµε τις ταυτότητες : ηµ ω + συν ω = 1, αν µας δίνεται το ηµω ή συνω ɛφω σφω = 1 αν µας δίνεται η σφω συν 1 ω = 1 + ɛφ ω και ηµ ω = ɛφ ω 1 + ɛφ αν µας δίνεται η ɛφω ω και υπολογίζουµε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Θέµα 1.6 Αν συνx = 4 5 και π < x < 3π, να ϐρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad. Λύση 1.6 Από την ταυτότητα ηµ x + συν x = 1 έχουµε : ηµ x = 1 συν x = 1 ( 4 5 ) = 1 16 5 = 9 5 Άρα ϑα είναι ηµx = 3 5 ή ηµx = 3 5. Οµως δίνεται ότι π < x < 3π οπότε ηµx < 0 και συνεπώς ηµx = 3 5. 3 Η ɛφx = ηµx συνx = 5 4 = 3 4 5 και σφ 1 ɛφx = 4 3 Θέµα 1.7 Αν ɛφx = και π < x < π να ϐρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad Λύση 1.7 Από τη σχέση : ηµ x = ɛφ x 1 + ɛφ x έχουµε : ηµ x = ɛφ x 1 + ɛφ x = ( ) 1 + ( ) = 4 5. 4 Άρα ϑα είναι ηµx = 5 = ή ηµx = 5 5 αλλά έχουµε ότι π < x < π οπότε ηµx > 0 συνεπώς ηµx = = 5 5 5. Επίσης, από την ταυτότητα συν 1 x = 1 + ɛφ υπολογίζουµε το συνx. x Μεθοδολογία 1.5 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ Για να αποδείξουµε µια τριγωνοµετρική ταυτότητα,εργαζόµαστε µε έναν από τους πα- ϱακάτω τρόπους : Αρχίζουµε από το ένα µέλος, εκείνο που είναι πιο πολύπλοκο και προσπαθούµε κάνοντας πράξεις και εφαρµόζοντας τις ϐασικές ταυτότητες να καταλήξουµε στο άλλο µέλος. Παίρνουµε ξεχωριστά τα δύο µέλη και µε πράξεις προσπαθούµε να καταλήξουµε στη ίδια παράσταση. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 1

Αρχίζουµε από γνωστή ταυτότητα και µε µετασχηµατισµούς προσπαθούµε να εµ- ϕανίσουµε την ταυτότητα που µας Ϲητάνε να αποδείξουµε. Θέµα 1.8 Να αποδείξετε ότι : συν α 1 = 1 ηµ α Λύση 1.8 Εχουµε ότι : συν α + ηµ α = 1 συν α = 1 ηµ α οπότε : συν α 1 = (1 ηµ α) 1 = ηµ α 1 = 1 ηµ α. Θέµα 1.9 Να αποδείξετε ότι : συν α + σφ α = 1 ηµ4 α ηµ α Λύση 1.9 Από το πρώτο µέλος έχουµε ότι : συν α + σφ α = συν α + συν α ηµ α συν α ηµ α + συν α ηµ = συν α(ηµ α + 1) α ηµ α (1 ηµ α)(1 + ηµ α) ηµ α = 1 ηµ4 α ηµ α. Θέµα 1.10 Να αποδείξετε ότι : 1 ɛφ α + ɛφ 4 α 1 σφ α + σφ 4 α = ɛφ4 α Λύση 1.10 Εστω ότι : 1 ɛφ α + ɛφ 4 α 1 σφ α + σφ 4 α = ɛφ4 α 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = (1 σφ α + σφ 4 α) ɛφ 4 α που ισχύει. 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ 4 α σφ α + σφ 4 α ɛφ 4 α 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α ɛφ α σφ α + (σφα ɛφα) 4 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α (ɛφα σφα) + (σφα ɛφα) 4 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α 1 + 1 4 1 ɛφ α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ α + 1. Θέµα 1.11 Να αποδείξετε ότι : 1 συν 4 θ 1 συν θ = ɛφ θ + ɛφ 4 θ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός

Λύση 1.11 Από το πρώτο µέλος έχουµε ότι : 1 συν 4 θ 1 συν 4 θ = 1 συν 4 θ συν θ συν 4 θ = 1 συν θ συν 4 = ηµ θ θ συν 4 θ = ηµ θ συν θ 1 συν θ = ɛφ θ (ηµ θ + συν θ ) = συν θ ɛφ θ ( ηµ θ συν θ + συν θ ) = συν θ ɛφ θ(ɛφ θ + 1) = ɛφ 4 θ + ɛφ θ. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 3

1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε ηµω = 1 3 και συνω = 3. Αν είναι α = ηµω και β = συνω, να αποδείξετε ότι : i. αηµω + βσυνω = ii. α + β = 4 3. Να αποδείξετε ότι : i. συν 4 x + συν x ηµ x + ηµ x = 1 ii. συν 4 x + ηµ x ηµ 4 x = 1. 4. Να αποδείξετε ότι : i. (ηµα ηµβ συνα συνβ) + (ηµα συνβ + συνα ηµβ) = 1 ii. (συνα συνβ + ηµα ηµβ) + (ηµα συνβ συνα ηµβ) = 1 5. Να αποδείξετε ότι : i. 1 + ηµx συνx = (ηµx + συνx) ii. ηµx συνx 1 = (ηµx συνx) 1 + ηµx συνx ηµx συνx 1 iii. ηµx + συνx = 1 ηµx + συνx ηµx συνx 6. Να αποδείξετε ότι : i. ηµ x συν y + ηµ x ηµ y + συν x = 1 ii. συν x + ηµ x συν y + ηµ x ηµ y συν ω + ηµ x ηµ y ηµ ω = 1 7. Να αποδείξετε ότι : 1 i. ηµ x + 1 συν x = 1 ηµ x συν x ii. 1 + ɛφ x = 1 συν x 1 + ɛφ 4 x iii. ɛφ x + σφ x = ɛφ x iv. ηµ 4 x συν 4 x = 1 συν x 8. Να αποδείξετε ότι : i) ɛφx + συνx 1 + ηµx = 1 συνx iii) ηµx ɛφx + συνx = 1 συνx ii) σφx + ηµx 1 + συνx = 1 ηµx iv) ηµ x (1 + σφ x) = 1 9. Να αποδείξετε ότι : i. ηµα (1 + ɛφα) + συνα (1 + σφα) = 1 ηµα + 1 συνα ɛφ 3 α ii. 1 + ɛφ α + σφ3 α 1 + σφ + ηµα συνα = ɛφα + σφα α 10. Να αποδείξετε ότι : ηµ 3 x συν 3 x i. = ηµx συνx 1 + ηµx συνx ηµ 3 x + συν 3 x ii. ηµx + συνx ηµ3 x συν 3 x συνx ηµx = 11. Να αποδείξετε ότι : i. (1 + ηµx + συνx) = (1 + ηµx)(1 + συνx) 1 + συνx ii. + ηµx ηµx 1 + συνx = ηµx 1 συν x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 4

iii. ηµx ɛφx + συνx = 1 συνx iv. (1 + ɛφ x)(ηµ x συν x) = ɛφ x 1 v. ɛφx + συνx 1 + ηµx = 1 συνx vi. 1 + συν α συν β ηµ α ηµ β = συν α + συν β. 1. Να αποδείξετε ότι : ηµx 1 + ηµx συνx ηµx + συνx + συνx ηµx 1 συνx ɛφx 1 13. Να αποδείξετε ότι η παρακάτω παράσταση είναι ανεξάρτητη του x = 1 A = ηµ 8 x συν 8 x + συν x (1 + ηµ 4 x) ηµ x συν 4 x. 14. Να αποδείξετε ότι, για κάθε x R, ισχύει : ηµ 4 x + 4συν x + συν 4 x + 4ηµ x = 3. 15. Αν x [0, π], να αποδείξετε ότι : 1 + συνx + 1 συνx = (1 + ηµx). 16. Να αποδείξετε ότι : i. (ηµx + συνx) + (ηµx συνx) = ii. ηµ 4 x + συν x ηµ x = συν 4 x iii. συν 4 x + ηµ x ηµ 4 x = 1 iv. (ɛφx + σφx) (ɛφx σφx) = 4 17. Να αποδείξετε ότι : ηµ x i. 1 συνx συν x = ηµx + συνx 1 + ηµx 1 + ɛφ 4 x ii. ɛφ x + σφ x = ɛφ x (1 + ηµx + συνx) iii. (1 + ηµx)(1 + συνx) = ηµ x iv. ηµx συνx 18. Να αποδείξετε ότι : i. ɛφ x + σφ x + = ( 1 ηµx + συνx ɛφ x 1 = ηµx + συνx. ηµx συνx (1 + ɛφx)συν 3 x + (1 + σφx)ηµ 3 x ii. = 1 ηµx + συνx 19. Να αποδείξετε ότι : i. συν x(ηµ x + ɛφ x + συν x) = 1 ηµ x ii. + ɛφ x + συν x + σφ x = 1. ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 5

1.4 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 1.4.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε περιοδική συνάρτηση ; Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το A λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγµατικός αριθµός T > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A να ισχύει : i. x + T A, x T A ii. f(x + T ) = f(x T ) = f(x) Ο πραγµατικός αριθµός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης ϕ. Ερώτηση 1. Πως ορίζονται οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής ορίζονται ως εξής : i. Η συνάρτηση µε την οποία κάθε πραγµατικός αριθµός x αντιστοιχίζεται στο ηµ(x rad) λέγεται συνάρτηση ηµίτονο και συµβολίζεται µε ηµ. Ορίζουµε δηλαδή ότι ηµx = ηµ(x rad) ii. Η συνάρτηση µε την οποία κάθε πραγµατικός αριθµός x αντιστοιχίζεται στο συν(x rad) λέγεται συνάρτηση συνηµίτονο και συµβολίζεται µε συν. Ορίζουµε δηλαδή ότι συνx = συν(x rad) iii. Η συνάρτηση εφαπτοµένη που συµβολίζεται µε εφ, ορίζεται ως εξής : ɛφx = ηµx συνx. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο : R 1 = {x συνx 0} iv. Η συνάρτηση συνεφαπτοµένη που συµβολίζεται µε σφ, ορίζεται ως εξής : σφx = συνx ηµx. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο : R = {x ηµx 0} Ερώτηση 1.3 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = ηµx; Η συνάρτηση f(x) = ηµx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R. ii. Είναι περιοδική µε περίοδο T = π Πράγµατι ισχύει ότι : x + T, x T A = R για κάθε x R και f(x + T ) = f(x + π) = ηµ(x + π) = ηµx = f(x), για κάθε x A f(x T ) = f(x π) = ηµ(x π) = ηµx = f(x), για κάθε x A iii. Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα [0, π ] και [3π, π]. Είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα [ π, 3π ]. iv. Η συνάρτηση παρουσιάζει : µέγιστο για x = π το ηµπ = 1 και ελάχιστο για x = 3π το ηµ3π = 1 Τα συµπεράσµατα αυτά συνοψίζονται ως εξής : v. Η γραφική παράσταση της f(x) = ηµx είναι µια ηµιτονοειδής καµπύλη και έχει την εξής µορφή : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

Σχήµα 1.7: Πίνακας µεταβολών της f(x) = ηµx Σχήµα 1.8: f(x) = ηµx vi. Τέλος, η συνάρτηση f(x) = ηµx είναι περιττή (αφού ηµ( x) = ηµx για κάθε x R) και εποµένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O(0, 0) των αξόνων. Ερώτηση 1.4 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = συνx; Η συνάρτηση f(x) = συνx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R. ii. Είναι περιοδική µε περίοδο T = π Πράγµατι ισχύει ότι : x + T, x T A = R για κάθε x R και f(x + T ) = f(x + π) = συν(x + π) = συνx = f(x), για κάθε x A f(x T ) = f(x π) = συν(x π) = συνx = f(x), για κάθε x A iii. Είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα [0, π]. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [π, π]. iv. Η συνάρτηση παρουσιάζει : µέγιστο για x = 0 το συν0 = 1 και για x = π το συνπ = 1 ελάχιστο για x = π το συνπ = 1 Τα συµπεράσµατα αυτά συνοψίζονται ως εξής : v. Η γραφική παράσταση της f(x) = συνx έχει την εξής µορφή : vi. Τέλος, η συνάρτηση f(x) = συνx είναι άρτια (αφού συν( x) = συνx για κάθε x R) και εποµένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα y y. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

Σχήµα 1.9: Πίνακας µεταβολών της f(x) = συνx Σχήµα 1.10: f(x) = συνx Ερώτηση 1.5 Τι µπορούµε να παρατηρήσουµε για τις συναρτήσεις της µορφής f(x) = ρηµωx και f(x) = ρσυνωx; Σε µια συνάρτηση της µορφής f(x) = ρηµωx, όπου ρ, ω > 0: i. Το ρ καθορίζει τη µέγιστη τιµή της, που είναι ίση µε ρ και την ελάχιστη τιµή της που είναι ίση µε ρ. ii. Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση µε π ω Τα ίδια συµπεράσµατα ισχύουν και για µια συνάρτηση της µορφής f(x) = ρσυνωx, όπου ρ, ω > 0. Ερώτηση 1.6 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = ɛφx; Η συνάρτηση f(x) = ɛφx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R x : x = κπ + π, k Z ii. Είναι περιοδική µε περίοδο Τ = π iii. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( π, π ). iv. εν έχει ακρότατα (δηλαδή δεν έχει ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο). ϱάσταση της f(x) = ɛφx έχει την εξής µορφή : Η γραφική πα- Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

Σχήµα 1.11: f(x) = ɛφx v. Είναι περιττή συνάρτηση, (αφού f( x) = ɛφ( x) = ɛφx = f(x), για κάθε x A οπότε η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O(0, 0) των αξόνων. vi. Οταν ο x «τείνει» στο π από µεγαλύτερες τιµές η ɛφx «τείνει» στο. Γι αυτό λέµε ότι η ευθεία x = π είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Οταν ο x «τείνει» στο π από µικρότερες τιµές η ɛφx «τείνει» στο +. Γι αυτό λέµε ότι η ευθεία x = π είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

1.4. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 1.6 Οι συναρτήσεις της µορφής αηµ(ωx) ή ασυν(ωx) µε ω > 0, έχουν µέγιστη τιµή α, ελάχιστη τιµή α και περίοδος T = π ω Θέµα 1.1 ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = συν( 3x ), g(x) = 3ηµ( x) και h(x) = 3συν x. Να ϐρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή καθώς και η περίοδος π για κάθε µια από τις παραπάνω συναρτήσεις. Λύση 1.1 Εχουµε τον ακόλουθο πίνακα : Συνάρτηση Μέγιστο Ελάχιστο Περίοδος f(x) = συν( 3 x) T = π 3 = 4π 3 g(x) = 3ηµ( x) 3 3 T = π = π h(x) = 3συν x π 3 3 T = π 1 π = 4π Μεθοδολογία 1.7 Για τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, ε- ϕαρµόζω τους γενικούς κανόνες των µετατοπίσεων, όπως τους έχουµε δει στο σχετικό κεφάλαιο. 1. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) + c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) + c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα πάνω.(σχήµα α ). Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα κάτω (Σχήµα ϐ ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 30

3. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x c), µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε : όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα δεξιά (Σχήµα γ ). 4. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x + c), µε c > 0; γραφική παράσταση της συνάρτησης ϕ, µε : f(x) = φ(x + c), όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα αριστερά (Σχήµα δ ). 5. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c, µε c 1, c > 0; Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουµε για να παραστήσουµε γραφικά τις συναρτήσεις της µορφής : f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c, µε c 1, c > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 31

ηλαδή, αξιοποιούµε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη µετατόπιση κα- µπύλης. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 3

1.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων : i. f(x) = ηµx ii. f(x) = συν(x + π 3 ) iii. f(x) = 3ηµx 5συν4x + iv. f(x) = ɛφx 1 v. f(x) = ɛφ(x π 3 ). Να ϐρείτε την περίοδο των παρακάτω περιοδικών συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ 3x 4 ii. g(x) = συν(3x + π 4 ) iii. h(x) = ɛφ x iv. f(x) = σφ(4x) 3. Να ϐρείτε την περίοδο των συναρτήσεων : i. f(x) = 1 3 ηµx ii. f(x) = 5συν x iii. f(x) = 3 5 ηµx 7 iv. f(x) = συν πx v. f(x) = ɛφx vi. f(x) = ɛφx 4. Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ(x π ) ii. iii. g(x) = 4συνx 3 3 5. Να ϐρείτε, αν υπάρχουν, τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = 8ηµ3x ii. f(x) = 3συνx iii. 1 ɛφx 6. Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = 3ηµx ii. f(x) = 5 συνx iii. f(x) = ηµ x + 1 7. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 3συν x 3. Να ϐρείτε : 3 i. το µέγιστο και το ελάχιστο της, ii. την περίοδο της 8. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις : i. f(x) = x ηµ3x ii. f(x) = 5συν x iii. f(x) = ηµx συνx iv. f(x) = ηµx + xσφx v. f(x) = (x + 1)συνx xɛφx vi. f(x) = ηµ(x + π 6 ) + ηµ(x π 6 ) 9. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ3x ii. f(x) = 3συνx iii. f(x) = ɛφx 5. 10. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3συν(x + π ) 11. Αν η συνάρτηση f(x) = ασυν βx, α, β > 0 έχει περίοδο 4π και µέγιστη τιµή, να ϐρείτε τα α, β. 1. Αν η συνάρτηση g(x) = ɛφ( 3β x), β R, έχει περίοδο π, να ϐρείτε το β. 4 13. Ποια είναι η µέγιστη τιµή και ποια η ελάχιστη τιµής της συνάρτησης : f(x) = ηµ(3x π 4 ) 3συν(3π 4 3x). 14. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = ɛφx + 1. 15. Να µελετήσετε και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = σφx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 33

16. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = ɛφ x. 17. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (3λ )ηµx, λ R διέρχεται από το σηµείο A( π, 5). Να ϐρείτε : 1 i. την τιµή του λ, ii. την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή της f. 18. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = α+βσυνx περνάει από τα σηµεία A( π, 0) και B(π 6, 3 ), να αποδειχθεί ότι ϑα περνάει και από το σηµείο Γ(0, ). 19. Να συγκρίνετε τους αριθµούς : i. ηµ18 και ηµ147 ii. συν00 και συν0 iii. ɛφ300 και ɛφ340 0. ίνεται η συνάρτηση f(x) = αηµx, α > 0 η οποία έχει µέγιστη τιµή το. i. Να ϐρείτε το α ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 4 είναι αδύνατη. 1. ίνεται η συνάρτηση f(x) = (3λ 11)ηµ(µ )x, λ > 11 3, µ >, η οποία έχει περίοδο T = π και µέγιστη τιµή το 4. Να ϐρείτε τα λ, µ. 3. Να ϐρείτε τις εξισώσεις των ηµιτονοειδών καµπύλων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 34

Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 35

3. Να ϐρείτε τις εξισώσεις των ηµιτονοειδών καµπύλων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 36

1.5 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις 1.5.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.7 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ηµx = ηµθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους : x = κπ + θ ή x = κπ + (π θ), κ Z Ερώτηση 1.8 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης συνx = συνθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους : x = κπ + θ ή x = κπ θ, κ Z Ερώτηση 1.9 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ɛφx = ɛφθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο : x = κπ + θ, κ Z Ερώτηση 1.30 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης σφx = σφθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο : x = κπ + θ, κ Z Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 39

1.5. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.8 Τριγωνοµετρικές είναι οι εξισώσεις, στις οποίες η άγνωστη µεταβλητή είναι µια γωνία, η οποία ϐρίσκεται µέσα σ ένα τριγωνοµετρικό αριθµό. Οι τύποι επίλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω : ηµx = ηµα x = { κπ + α κπ + π α, κɛz συνx = συνα x = κπ ± α, κɛz ɛφx = ɛφα x = κπ + α, κɛz σφx = σφα x = κπ + α, κɛz Παρατηρούµε στους τύπους ότι, ϑα πρέπει και στα δύο µέλη της εξίσωσης, να έχω τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό. Εδώ ϑα ήταν χρήσιµο, να ϑυµηθούµε τον πίνακα µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των ϐασικών γωνιών. µοίρες rad ηµ συν ɛφ σφ 0 0 0 1 0 π 30 6 π 45 4 1 3 3 3 3 3 1 1 π 1 60 3 3 3 3 π 90 1 0 0 Οταν έχω αρνητικό ο µέλος στην εξίσωση, τότε ακολουθώ την αντίστροφη διαδικασία απ την αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο. ηλαδή : ηµ(x) = ηµ( x) συν(x) = συν(π x) ɛφ(x) = ɛφ( x) σφ(x) = σφ( x) Παρατηρούµε ότι στο ηµίτονο,την εφαπτοµένη και την συνεφαπτοµένη, το - πάει µέσα στη γωνία, ενώ στο συνηµίτονο το - ϕεύγει και η γωνία αντικαθίσταται από την παραπληρωµατική της Θέµα 1.13 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(x) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 40

{κπ Λύση 1.13 ηµ(x) = 1 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) x = + π 6 κπ + π { π 6, κɛz κπ + π x = 6 κπ + 5π 6, κɛz Θέµα 1.14 Να λυθεί η εξίσωση : συν(x) = 1 Λύση 1.14 συν(x) = 1 συν(x) = συν( π 3 ) x = {κπ + π 3 κπ π 3, κɛz Θέµα 1.15 Να λυθεί η εξίσωση : ɛφ(x) = 1 Λύση 1.15 ɛφ(x) = 1 ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) x = κπ + π 4, κɛz Θέµα 1.16 Να λυθεί η εξίσωση : σφ(x) = 3 Λύση 1.16 σφ(x) = 3 σφ(x) = σφ( π 6 ) x = κπ + π 6, κɛz Θέµα 1.17 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(x) = 1 Λύση 1.17 { ηµ(x) = 1 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) ηµ(x) = ηµ( π 6 ) κπ + ( π x = 6 ) κπ + π ( π 6 ), κɛz { x = κπ π 6 κπ + 7π 6, κɛz Θέµα 1.18 Να λυθεί η εξίσωση : συν(x) = 1 Λύση 1.18 { συν(x) = 1 συν(x) = συν(π π 3 ) συν(x) = συν( π 3 ) κπ + π x = 3 κπ π 3, κɛz Θέµα 1.19 Να λυθεί η εξίσωση : ɛφ(x) = 1 Λύση 1.19 ɛφ(x) = 1 ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) x = κπ π 4, κɛz Θέµα 1.0 Να λυθεί η εξίσωση : σφ(x) = 3 Λύση 1.0 σφ(x) = 3 σφ(x) = σφ( π 6 ) σφ(x) = σφ( π 6 ) x = κπ π 6, κɛz Θέµα 1.1 Να λυθούν οι εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 41

i. συνx = 3. ii. 3 + ɛφx = 0. Λύση 1.1 i. ii. συνx = 3 συνx = συν π 6 συνx = συν π 6 συνx = συν(π π 6 ) x = κπ + 5π 6 ή κ Z κπ 5π 6 3 + ɛφx = 0 ɛφx = 3 ɛφx = ɛφ π 3 ɛφx = ɛφ( π 3 ) x = κπ π 3, κ Z. Θέµα 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. ɛφ(x π ) + ɛφx = 0. 3 ii. συν(x π ) = 1. µε 0 x < π 5 Λύση 1. i. ɛφ(x π 3 ) + ɛφx = 0 ɛφ(x π 3 ) = ɛφx ɛφ(x π 3 ) = ɛφ( x) x π 3 = κπ x x = κπ + π 3 x = κπ + π 6 κ Z. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 4

ii. συν(x π 5 ) = 1 συν(x π 5 ) = 1 συν(x π 5 ) = συν π 3 x π 5 = κπ + π 3 ή x π 5 = κπ π 3 x = κπ + 4π 15 ή x = κπ π 15, κ Z Οµως από υπόθεση, ϑα πρέπει 0 x < π έτσι ϑα έχουµε : 0 x < π 0 κπ + 4π 15 < π 0 (κ + 4 15 )π < π οπότε x = 4π 15 0 κ + 4 15 < 1 4 15 κ 1 4 15 4 15 κ 11 15 κ = 0 (αφούκ Z) Θέµα 1.3 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ (x) 5ηµ(x) + = 0 Λύση 1.3 ηµ (x) 5ηµ(x) + = 0 ϑέτω ηµ(x) = w και έχω : w 5w + = 0 οι ϱίζες της οποίας είναι : και 1 άρα έχω : ηµ(x) = που είναι αδύνατη και ηµ(x) = 1 ηµ(x) = 1 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) x = {κπ + π 6 κπ + π π 6, κɛz x = { κπ + π 6 κπ + 5π 6, κɛz Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 43

1.5.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = ηµ π 7 ii. συνx = συν π 10 iii. ɛφx = ɛφ π iv. σφx = σφ 3π 9 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ(x π 3 ) = ηµ(x + π 4 ) ii. συν(x + π 3 ) = συν(3x π 6 ) iii. ɛφ(5x + π 4 ) ɛφ(x π 1 ) = 0 iv. σφπx = σφ(πx π 4 ) 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = 1 ii. συνx = iii. ɛφx = 3 3 iv. σφx = 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx 3 = 0 ii. συνx = 1 iii. ɛφx = 6 iv. 7σφx 3 = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = ii. ɛφx = 1 iii. σφx = 3 iv. συνx = 1 6. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx συνx = 0 ii. (ηµx 3)(1 συνx) = 0 iii. (ηµx 1)(συνx 1) = 0 iv. ɛφx (1 ɛφx) 0 v. (σφx 3) (3σφx 3)σφx = 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. (ηµx + 1)(συνx + 3) = 0 ii. συνx ηµx = συνx iii. ɛφ x = ɛφx iv. (ηµx 1) + (ηµx 1) = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ x = 1 ii. συν x 1 = 0 iii. 3ɛφ x = 1. 4 9. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ x 5ηµx + = 0 ii. 4συν x ( + 3)συνx + 6 = 0 iii. 3ɛφ x 4 3ɛφx + 3 = 0 iv. σφ x 3σφx + 3 = 0 10. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 3συν x = ηµ x ii. 3ηµx συν x + ηµ x = 1 iii. ɛφx 3σφx = 1 3 iv. συν 4 x 1 = 0 v. ɛφ 3 x = ɛφx vi. ηµ 4 x 7ηµ x + 3 = 0 vii. συν 3 x συν x συνx + 1 = 0 viii. ηµ 3 x + συν 3 x = 1 11. Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστηµα που δίνεται : i. ɛφx = 1 στο [π, 3π] ii. συνx = 0 στο [0, π] ηµx 1 iii. ηµx + 1 = 11 στο [0, π] 5 0 1. Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστηµα που δίνεται : i. 3ɛφ(4x π 3 ) = 3 στο [π, 3π ] ii. ηµ (x + π 3 ) + ηµ (x π ) = 0 στο [0, π] 3 iii. ηµ x + συν x = 1 στο [π, 3π] 13. Να λύσετε τις εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 44

i. ηµx + ηµx = 0 ii. συνx + συνx = 0 iii. ɛφx + ɛφx = 0 iv. ηµx = συν( π 6 x) v. ηµx + συν3x = 0 vi. ɛφ( π 3 3x) + σφ(π x) = 0. 6 14. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. συνx = σφx ii. ɛφx = 3 συνx iii. ɛφ x = σφx iv. συνx (1 + ɛφ x) = ɛφx + συνx v. ηµx 1 σφx = συνx ɛφx 1 vi. ηµx + συνx = 1 συνx vii. ηµ 4 x = ηµx viii. ɛφx ηµx ηµx ɛφx + 1 = 0 15. Να λύσετε τις εξισώσεις : = 1 x. ηµ(π ηµx) = 1 ix. ηµ x + συν x 3 xi. ηµ 3 x + συν 3 x = συνx xii. ηµ x συνx 4(1 συνx) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 45

1.6 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών 1.6.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.31 Με τι ισούται το συνηµίτονο της διαφοράς δύο γωνιών α και β; Ας ϑεωρήσουµε δυο γωνίες α, β. Τότε συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ Η ισότητα αυτή ισχύει για οποιεσδήποτε γωνίες α, β. Ερώτηση 1.3 Να αποδείξετε ότι συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ. Ισχύει ότι : συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε το β, έχουµε : συν(α ( β)) = συνα συν( β) + ηµα ηµ( β) Εποµένως : συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ Ερώτηση 1.33 Να αποδείξετε ότι ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Ισχύει ότι : συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ (σχέση 1) Επειδή συν( π x) = ηµx και ηµ(π x) = συνx, και µε τη ϐοήθεια της σχέσης 1 έχουµε : ηµ(α + β) = συν( π (α + β)) = συν(π α) + β)) = συν( π α)συνβ + ηµ(π α)ηµβ = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Ερώτηση 1.34 Να αποδείξετε ότι ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. Ισχύει ότι ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε β έχουµε : ηµ(α + ( β)) = ηµα συν( β) + συνα ηµ( β) Εποµένως : ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. Ερώτηση 1.35 Να αποδείξετε ότι ɛφ(α + β) = Για να ορίζονται οι ɛφ(α + β), ɛφα και ɛφβ, πρέπει : Με την προϋπόθεση αυτή έχουµε : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ. συν(α + β) 0, συνα 0 και συνβ 0. ηµ(α + β) ηµα συνβ + συνα ηµβ = συν(α + β) συνα συνβ ηµα ηµβ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 46

ιαιρούµε αριθµητή και παρανοµαστή µε συνα συνβ 0 και έχουµε : ηµα συνβ συνα ηµβ + συνα συνβ συνα συνβ = συνα συνβ συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ Ερώτηση 1.36 Να αποδείξετε ότι ɛφ(α β) = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ. ɛφα + ɛφβ Ισχύει ότι ɛφ(α + β) = 1 ɛφα ɛφβ. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε β έχουµε : ɛφ(α + ( β)) = ɛφα + ɛφ( β) 1 ɛφα ɛφ( β). Εποµένως : ɛφ(α β) = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ. Ερώτηση 1.37 Τι ισχύει για την συνεφαπτοµένη αθροίσµατος και διαφοράς δύο γωνιών ; σφ(α + β) = σφα σφβ 1 σφβ + σφα και σφ(α β) = σφα σφβ + 1 σφβ σφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 47

1.6. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.9 Γράφουµε τη γωνία σαν άθροισµα ή διαφορά ϐασικών γωνιών του 1ου τεταρτηµορίου Θέµα 1.4 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 75 o Λύση 1.4 Είναι : ηµ75 o = ηµ(30 o + 45 o ) = ηµ30 o συν45 o + συν30 o ηµ45 o = 1 3 + + 6 = 4 συν75 o = συν(30 o + 45 o ) = συν30 o συν45 o ηµ30 o ηµ45 o 3 = + 1 6 = 4 ɛφ75 o = ηµ75o συν75 o = + 6 6 = + 3 + 6 4 6 4 75 o = = 1 ɛφ75 o 1 + 3 = 3 Μεθοδολογία 1.10 Χρησιµοποιούµε τους τύπους αθροίσµατος και διαφοράς συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 48

ɛφα + ɛφβ ɛφ(α + β) = 1 ɛφα ɛφβ ɛφα ɛφβ ɛφ(α β) = 1 + ɛφα ɛφβ σφα σφβ 1 σφ(α + β) = σφβ + σφα σφα σφβ + 1 σφ(α β) = σφβ σφα Θέµα 1.5 Να αποδείξετε ότι : ηµ(α + β)ηµ(α β) = ηµ α ηµ β Λύση 1.5 ηµ(α + β)ηµ(α β) = (ηµασυνβ + συναηµβ)(ηµασυνβ συναηµβ) = (ηµασυνβ) (συναηµβ) = ηµ ασυν β συν αηµ β = ηµ α(1 ηµ β) (1 ηµ α)ηµ β = ηµ α ηµ αηµ β ηµ β + ηµ βηµ α = ηµ α ηµ β Μεθοδολογία 1.11 Μας δίνει κάποια από τα ηµα, ηµβ, συνα, συνβ, ɛφα, ɛφβ, 1ον Υπολογίζουµε τους υπόλοιπους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µε τους τύπους ηµ α = 1 συν α συν α = 1 ηµ α ɛφα = ηµα συνα σφα = 1 ɛφα 1 + ɛφ α = 1 συν α ον Λαµβάνοντας υπόψιν µας και το τεταρτηµόριο στο οποίο ϐρίσκεται η γωνία, προσδιορίζουµε το πρόσηµο 3ον Προσδιορίζουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς του αθροίσµατος και της διαφοράς των γωνιών α και ϐ, από τους τύπους Θέµα 1.6 Αν συνα = 3 5, µε π 15 < α < π και ηµβ = 17 µε 0 < β < π να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων ηµ(α + β) και ɛφ(α β) Λύση 1.6 Από το συνα = 3 5, µε π < α < π ϑα υπολογίσω το ηµα και την ɛφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 49

ηµ α = 1 συν α = 1 ( 3 5 ) = 16 5 ηµα = 4 5, επειδή π < α < π 4 ɛφα = ηµα συνα = 5 3 = 4 3 5 Από το ηµβ = 15 17, µε 0 < β < π ϑα υπολογίσω το συνβ και την ɛφβ συν β = 1 ηµ β = 1 ( 15 17 ) = 64 89 ɛφβ = ηµβ συνβ = Οπότε, συνβ = 8 17, επειδή 0 < β < π 15 17 8 17 = 15 8 ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ = 4 8 5 17 + 15 17 ( 3 5 ) = 13 85 ɛφ(α β) = = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ 4 3 15 8 = 77 36 1 + ( 4 3 )15 8 Μεθοδολογία 1.1 Οταν έχουµε να αποδείξουµε µια ισότητα µε τριγωνοµετρικούς αριθ- µούς, δεδοµένου ότι ισχύει και µια σχέση µεταξύ των γωνιών, τότε µπορούµε να το αντιµετωπίσουµε µε τρόπους. 1ον Να κάνω πράξεις στη σχέση που έχω να αποδείξω, να χρησιµοποιήσω τη συνθήκη µε τη ϐοήθεια τριγωνοµετρικών αριθµών και να καταλήξω σε κάτι το οποίο προφανώς Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 50

ισχύει, ή ον Να λύσω τη συνθήκη ως προς τη µια γωνία, να αντικαταστήσω στον τύπο και να κάνω πράξεις, χρησιµοποιώντας τύπους αθροίσµατος και διαφοράς Θέµα 1.7 Αν α + β = π 4 να αποδείξετε ότι (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = Λύση 1.7 1ος τροπος α + β = π 4 ɛφ(α + β) = ɛφ( π 4 ) ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ = 1 ɛφα + ɛφβ = 1 ɛφα ɛφβ ɛφα + ɛφβ + ɛφα ɛφβ = 1 (1) Η σχέση (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = που ϑέλουµε ν αποδείξουµε, γράφεται : (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = 1 + ɛφα + ɛφβ + ɛφα ɛφβ = ος τρόπος 1 + 1 = λόγω της (1) = ισχύει α + β = π 4 α = β + π 4 Αντικαθιστώντας στην (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = έχουµε : (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = [ 1 + ɛφ( β + π 4 )] (1 + ɛφβ) = ɛφ π 1 + 4 ɛφβ 1 + ɛφ π (1 + ɛφβ) = ɛφβ 4 ( 1 + 1 ɛφβ ) (1 + ɛφβ) = 1 + ɛφβ 1 + ɛφβ + 1 ɛφβ (1 + ɛφβ) = 1 + ɛφβ = ισχύει Μεθοδολογία 1.13 Οταν έχουµε να λύσουµε τριγωνοµετρικές εξισώσεις οι οποίες περιέχουν αθροίσµατα και διαφορές γωνιών, κάνουµε πρώτα τα αναπτύγµατα των τύπων και στη συνέχεια µε κατάλληλες παραγοντοποιήσεις και πράξεις λύνουµε τις εξισώσεις Θέµα 1.8 Να λυθεί η εξίσωση : ηµx = συν(x π 6 ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 51

Λύση 1.8 ηµx = συν(x π 6 ) ηµx = συνxσυν π 6 ηµxηµπ 6 3 ηµx = συνx ηµx1 4ηµx = 3συνx ηµx 3ηµx = 3συνx (1) Αν συνx = 0 από την (1) έχουµε ότι και ηµx = 0 άρα : ηµ x + συν x = 0 + 0 = 0, ΑΤΟΠΟ Άρα συνx 0 οπότε : (1) ηµx 3 συνx = 3 ɛφx = ɛφπ 6 x = kπ + π 6, k Z Μεθοδολογία 1.14 Οταν µας δίνουν τις γωνιες A, B, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε ισχύουν τα παρακάτω : A + B + Γ = π όποτε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις : A + B = π Γ, A + Γ = π B B + Γ = π A δηλαδή : ηµ(a + B) = ηµ(π Γ) = ηµγ ή συν(a + B) = συν(π Γ) = συνγ κ.ο.κ. A + B + Γ = π όποτε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις : A + B = π Γ, B + Γ = π A, A + Γ = π B δηλαδή : ηµ( A + B ) = ηµ(π Γ ) = συν Γ ή συν(a + B ) = συν(π Γ ) = ηµγ κ.ο.κ. Επειδή έχουµε 0 < A < π προκύπτουν τα παρακάτω : 1. ηµa > 0. ηµa = 1 A = π 3. συνa = 0 A = π 4. οµοίως για τς γωνίες Β και Γ Ισχύει ακόµα ότι 0 < A < π 1. ηµ A > 0. συν A > 0 3. ɛφ A > 0 άρα έχουµε : 4. οµοίως για τς γωνίες Β και Γ Ακόµα, επειδή 0 < A < π και 0 < B < π έχουµε π < A B < π όποτε άµεσα προκύπτουν και οι παρακάτω σχέσεις : 1. ηµ(a B) = 0 A B = 0 A = B. συν(a B) = 1 A B = 0 A = B 3. οµοίως για Β-Γ και Γ-Α Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 5

Θέµα 1.9 Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση : συν(b Γ) = ηµbηµγ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Λύση 1.9 συν(b Γ) = ηµbηµγ συνbσυνγ + ηµbηµγ = ηµbηµγ συνbσυνγ + ηµbηµγ ηµbηµγ = 0 συνbσυνγ ηµbηµγ = 0 συν(b + Γ) = 0 A+B+Γ=π συν(π A) = 0 συνa = 0 A = 90 o Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 53

1.6.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. συν π 18 συν π 9 ηµ π 18 ηµπ 9 iii. συν10 o συν30 o + ηµ10 o ηµ30 o ii. συν 19π 0 συν π 5 + ηµ19π 0 ηµπ 5 iv. ηµ80 o ηµ40 o συν80 o συν40 o. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. ηµ 13π 7π 13π συν συν 1 1 1 ηµ7π ii. ηµ40 o συν5 o + συν40 o ηµ5 o 1 iii. ɛφ 3π 0 + ɛφ π 10 1 ɛφ 3π 0 ɛφ π 10 iv. ɛφ45 o ɛφ15 o 1 + ɛφ45 o ɛφ15 o 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A = συν70 o συν10 o + συν0 o συν80 o 4. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ x συν 3x + συν x ηµ3x ii. ηµ(x + π 4 )συνx συν(x + π 4 )ηµx iii. ɛφ(x + y) + ɛφ(x y) 1 ɛφ(x + y)ɛφ(x y) 5. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : ɛφ( 3π iv. 4 3x) + ɛφ(π 4 x) 1 ɛφ( 3π 4 3x)ɛφ(π 4 x) i. συν( 4x)συνx ηµ4xηµ( x) ii. συν(x + π 3 )συνx + ηµ(xπ 3 )ηµx συν π ηµ ( π ) 6. Να δείξετε ότι : 7 ηµ 3π + 7 ηµ 3π = 0 14 14 7. Να δείξετε ότι : συν(x + π 6 ) + συν(x π 6 ) = 3συνx 8. Να δείξετε ότι : συν (x + π 4 ) + συν (x π 4 ) = 1 9. Να δείξετε ότι :(συνα + συνβ) + (ηµα ηµβ) = [1 + συν(α + β)] 10. Να δείξετε ότι : i. ηµ(α β)συνβ + ηµβσυν(α β) = ηµα ii. ηµ( π 3 x)ηµ(π 6 + x) + ηµ(π 6 + x)ηµ(π 3 x) = 1 11. Να δείξετε ότι οι παρακάτω παραστάσεις είναι ανεξάρτητη του x ηµ(α + x) ηµ(α x) (αʹ) A = συν(β x) συν(β + x) (ϐʹ) B = ηµx + ηµ(x + 10 o ) + ηµ(x + 40 o ) (γʹ) Γ = συν (x + 60 o ) + syn (x 60 o ) + syn x 1. Να δείξετε ότι : i. συν(α + β)συν(α β) = συν α ηµ β ii. συν(α + β)συνγ συν(β + γ)συνα = ηµβηµ(γ α) συν(α β) iii. ɛφα + β = συναηµβ ηµ(β α) iv. σφα β = ηµαηµβ 13. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α + β όταν : ηµα = 15 1, συνβ = 17 13 µε π < α < π και 3π < β < π Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 54

14. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α β όταν : ηµα = 5 13, ɛφβ = 3 π µε 4 < α < π και π < β < π 15. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 15 o και των 75 o 16. Να λυθούν οι εξισώσεις i. ηµx = συν(x π 6 ) ii. ɛφ(x π 4 ) + σφx = 1 iii. συν3xσυνx + ηµ3xηµx = 1 iv. ηµ(x π 7 )συνx + ηµxσυν(x π 7 ) = συνx 17. Αν α + β = 135 o και ɛφβ =, να ϐρείτε την ɛφα και την ɛφ(α β) 18. Αν α + β = π να δείξετε ότι, (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = 4 19. Αν σε τρίγωνο ABΓ ισχύει συν(b Γ) = ηµbηµγ να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 0. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, ν αποδείξετε ότι : (αʹ) ηµ A + ηµ B + ηµ Γ = + συνaσυνbσυνγ (ϐʹ) Αν επιπλέον ισχύει ότι ηµ A + ηµ B + ηµ Γ = Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 55

1.7 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες πλάσιου τόξου 1.7.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.38 Να γράψετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του διπλασίου τόξου α ηµα = ηµασυνα συνα = συν α ηµ α = συν α 1 = 1 ηµ α ɛφα = ɛφα 1 ɛφ α Ερώτηση 1.39 Να γράψετε τους τύπους αποτετραγωνισµού ηµ α = 1 συνα συν α = 1 + συνα ɛφ α = 1 συνα 1 + συνα Ερώτηση 1.40 Να γράψετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του µισού τόξου α ηµ α = 1 συνα συν α = 1 + συνα ɛφ α = 1 συνα 1 + συνα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 56

1.7. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.15 Ασκήσεις µε απλή εφαρµογή των τύπων ηµα = ηµασυνα συνα = συν α ηµ α = συν α 1 = 1 ηµ α ɛφα = ɛφα 1 ɛφ α Θέµα 1.30 Να απλοποιήσετε το κλάσµα A = συνx ηµx + συνx Λύση 1.30 συνx ηµx + συνx = συν x ηµ x ηµx + συνx (συνx ηµx)(συνx + ηµx) = ηµx + συνx = συνx ηµx Μεθοδολογία 1.16 Ασκήσεις στις οποίες υπάρχει το 1 ή το -1 και το συνx. Οταν έχουµε το 1, αντικαθιστούµε το συνx = συν x 1 ώστε να απλοποιηθούν τα 1 και -1 Οταν έχουµε το -1, αντικαθιστούµε το συνx = 1 ηµ x ώστε να απλοποιηθούν τα 1 και -1 Θέµα 1.31 Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες ηµα i. 1 + συνα = ɛφα ηµα ii. 1 συνα = σφα Λύση 1.31 i. ηµα 1 + συνα = ηµασυνα 1 + συν α 1 = ηµασυνα συν α = ηµα συνα = ɛφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 57

ii. ηµα 1 συνα = ηµασυνα 1 (1 ηµ α ) = ηµασυνα 1 1 + ηµ α = ηµασυνα ηµ α = συνα ηµα = σφα Θέµα 1.3 Να αποδείξετε ότι : i. ηµ3x = 3ηµx 4ηµ 3 x ii. συν3x = 3συν 3 x 3συνx Λύση 1.3 i. ηµ3x = ηµ(x + x) = ηµxσυνx + ηµxσυνx από τον τύπο ηµ(x + y) = ηµxσυνy + ηµyσυνx = ηµxσυνxσυνx + ηµx(1 ηµ x) από τον τύπο συνx = συν x 1 = ηµxσυν x + ηµx ηµ 3 x = ηµx(1 ηµ x) + ηµx ηµ 3 x από τον τύπο συν x = 1 ηµ x = ηµx1 ηµ 3 x) + ηµx ηµ 3 x = 3ηµx 4ηµ 3 x ii. Οµοίως Μεθοδολογία 1.17 Ασκήσεις στις οποίες πρέπει να υπολογίσουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς από τις µισές γωνίες των ϐασικών, του 1ου τεταρτηµορίου. Για να τις υπολογίσουµε αυτές, πρώτα κάνουµε αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο και µετά χρησιµοποιούµε τους τύπους τετραγωνισµού για το µισό τόξο ηµ α = 1 συνα συν α = 1 + συνα ɛφ α = 1 συνα 1 + συνα Θέµα 1.33 Να υπολογίσετε το συν 3π 8 Λύση 1.33 Είναι : συν 3π 8 = 1 + συν 3π 8 = 1 + συν 3π 4 = 1 + συν(π π 4 ) = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 58

1 συν π 1 = 4 = = 4 Άρα συν 3π 8 = επειδή 0 < 3π 4 8 < π Μεθοδολογία 1.18 Ασκήσεις στις οποίες ϑέλω από γωνίες ω να πάω σε γωνίες ω, γράφω ηµω = ηµ ω συν ω συνω = 1 ηµ ω = συν ω 1 ɛφω = ɛφ ω 1 ɛφ ω χρησιµοποιώντας και τις παραπάνω µεθοδολογίες Θέµα 1.34 Να αποδείξετε ότι : ηµα 1 + συνα συνα 1 + συνα = ɛφα Λύση 1.34 ηµα 1 + συνα συνα 1 + συνα = ηµασυνα 1 + συν α 1 ηµα = 1 + συνα = ηµ α συν α 1 + συν α συνα έκανα όλες τις γωνίες α 1 + συνα έκανα όλες τις γωνίες α = ηµ α συν α = ɛφ α Μεθοδολογία 1.19 Για να υπολογίσουµε ένα γινόµενο από συνηµίτονα, γράφουµε το κάθε συνα = ηµα ηµα το οποίο προκύπτει εύκολα από τον τύπο ηµα = ηµασυνα Θέµα 1.35 Να αποδείξετε ότι : συν0 o συν40 o συν60 o συν80 o = 1 16 Λύση 1.35 Κάνοντας χρήση του τύπου συνα = ηµα ηµα, έχουµε : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 59

συν0 o συν40 o συν60 o συν80 o = ηµ40o ηµ80 o ηµ10 o ηµ160 o ηµ0 o ηµ40 o ηµ60 o ηµ80 o = ηµ10o ηµ160 o 16ηµ0 o ηµ60 o = ηµ(180o 60 o )ηµ(180 o 0 o ) 16ηµ0 o ηµ60 o = ηµ60o ηµ0 o 16ηµ0 o ηµ60 o = 1 16 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 60

1.7.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. ηµ π 1 συν π 1 ii. συν 75 o 1 iii. 1 ηµ π 8 iv. ɛφ67, 5 o 1 ɛφ67, 5 o. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης ɛφ(α β), όταν ɛφα = 3 και ɛφβ = 3. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ3xσυν3x ii. 1 ηµ x 3π ɛφ α iii. 4 1 ɛφ α 4 4. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ α συν α ii. 4ηµασυνα iii. συν α 1 iv. 1 ηµ ( π 4 α ) v. συν ( π 4 α) ηµ ( π 4 α) ɛφα vi. 1 ef α 5. Να δείξετε ότι : i. ηµ15 o ηµ75 o = 1 ii. συν 10 o συν 80 o = συν0 o iii. συν 4 α ηµ 4 α = συνα 1 συνα iv. = ɛφα ηµα συνα + ηµα συνα ηµα v. συνα ηµα συνα + ηµα = ɛφα 1 ηµα vi. συνα = 1 ɛφα 1 + ɛφα vii. 8ηµ 4 x = 3 4συνx + συν4x 6. Να δείξετε ότι : i. (ηµα + συνα) = 1 + ηµα ηµα ii. 1 συν α = σφα iii. ɛφα + σφα = ηµα iv. 4ηµασυν 3 α 4ηµ 3 ασυνα = ηµ4α v. συν α 4ηµ α α συν = συνα 1 συνα + ηµα vi. 1 + συνα + ηµα = ɛφα ηµα + ηµα vii. 1 + συνα + συνα = ɛφα ηµ3α viii. ηµα συν3α συνα = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 61

7. Να αποδείξετε ότι : 1 + συνα + ηµα i. 1 + ηµα συνα = συν α ηµα συνα ii. 1 + συνα 1 + συνα = ɛφα 8. Να αποδείξετε ότι, ɛφ ( π 4 x) 1 ηµx 1 + ηµx 9. Αν 0 < α < π 4 να αποδείξετε ότι, συνα ηµα = 1 ηµα ηµ α + 1 συν α 10. Να αποδείξετε ότι, = ɛφα ηµα(1 + συνα) 11. ίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx + ηµ x 1 + συνx, x ( π, π ) i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή π ii. Να ϐρείτε το f( 015 ) 1. Αν ɛφα = 3 4 και π < α < π, να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α 13. Αν ɛφα = 1 4 και ɛφβ = 1 να υπολογίσετε την ɛφ(α + β) 3 14. Αν συνx = 4 5 και π < x < π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. x ii. 3x iii. 4x x iv. 15. Αν ηµx = 3 και π < x < 3π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. x ii. 3x iii. 4x iv. x 16. Αν ɛφx = 3π και < x < π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. x ii. 3x iii. 4x x iv. π 17. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 16 18. Αν 3συν x 13συνx+4 = 0, µε 0 < x < π, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x 19. 3συν x 16συνx 1 = 0, π < x < π, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x 0. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. συνx + ηµ x = 0 ii. 1 + συνx = 6ηµ x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

iii. συνx + 3ηµ x = iv. ηµx = συνx v. συνx = + 3συν x vi. (συν x ηµx ) = 1 συνx 1. Να λυθεί η εξίσωση ηµ x = συν x. Να λυθούν οι εξισώσεις i. συνx + συν x = 0 ii. συνx ηµ x = 0 iii. συν x = 4ηµ x iv. συν x 1 = συν x v. συνx ηµx 1 = 0 vi. ηµx συνx + ηµx 1 = 0 3. Να λυθούν οι εξισώσεις i. ɛφx = συνx ii. ɛφxɛφx = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 63

Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες. Βιβλιογραφία.1 Βιβλία 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8.. Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες 1.. 3. 4. www.mathematica.gr www.mathsteki.gr www.study4maths.com www.study4exams.gr