ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑ Α ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Οµοτ. Καθηγητής Πανεπιστηµίου Αθηνών Καθηγητής Βαρβακείου Πειραµατικού Λυκείου Καθηγητής Πανεπιστηµίου Αθηνών Μόνιµος Πάρεδρος του Π.Ι. Καθηγητής ου Πειραµατικού Λυκείου Αθηνών ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ Π.Ι. Σκούρας Αθανάσιος Πολύζος Γεώργιος Σύµβουλος του Π.Ι. Μόνιµος Πάρεδρος του Π.Ι. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΜΟΡΦΩΜΕΝΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Ελευθερόπουλος Ιωάννης Ζώτος Ιωάννης Καλλιπολίτου Ευρυδίκη Καθηγητής Μαθηµατικών, Αποσπασµένος στο Π.Ι. Καθηγητής Μαθηµατικών, Αποσπασµένος στο Π.Ι. Καθηγήτρια Μαθηµατικών, Αποσπασµένη στο Π.Ι. Με απόφαση της Ελληνικής Κυβερνήσεως τα διδακτικά βιβλία του ηµοτικού, του Γυµνασίου τυπώνονται από τον Οργανισµό Εκδόσεως ιδακτικών Βιβλίων και διανέµονται δωρεάν.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑI ΑΓΩΓΙΚΟ IΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Σ. ΑΝ ΡΕΑ ΑΚΗΣ Β. ΚΑΤΣΑΡΓΥΡΗΣ Σ. ΠΑΠΑΣΤΑΥΡΙ ΗΣ Γ. ΠΟΛΥΖΟΣ Α. ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚ ΟΣΕΩΝ Ι ΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο που κρατάτε στα χέρια σας περιλαµβάνει την ύλη της Άλγεβρας που προβλέπεται από το πρόγραµµα σπουδών της Α τάξης του Γενικού Λυκείου. Το βιβλίο αυτό προήλθε από αναµόρφωση της Α έκδοσης (990) του βιβλίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ, του οποίου τη συγγραφική οµάδα αποτελούσαν οι Ανδρεαδάκης Στυλιανός, Κατσαργύρης Βασίλειος, Παπασταυρίδης Σταύρος, Πολύζος Γεώργιος, Σβέρκος Ανδρέας, ενώ, την οµάδα κριτών αποτελούσαν οι Αχτσαλωτίδης Χριστόφορος, ικαιάκου- Μαυρουδαία Καλλιόπη, Καλοµητσίνης Σπύρος, Κουζέλης Ανδρέας και Παντελίδης Γεώργιος. Στην αναµόρφωση του βιβλίου, που έγινε από την ίδια συγγραφική οµάδα µε απόφαση και εποπτεία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου, ελήφθησαν υπόψη: Οι οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου, οι οποίες αναφέρονταν στην αναδιάταξη των περιεχοµένων και στη διδακτική µεθοδολογία. Τα νέα Αναλυτικά Προγράµµατα Σπουδών και τα νέα διδακτικά βιβλία των Μαθηµατικών του Γυµνασίου και Ο τρόπος αξιολόγησης των µαθητών Λυκείου στα Μαθηµατικά, όπως αυτός ορίζεται από το Π. 60/006. Κρίθηκε αναγκαίο να προηγηθεί της διδακτέας ύλης του βιβλίου ένα εισαγωγικό κεφάλαιο µε τα απολύτως απαραίτητα στοιχεία από τη µαθηµατική λογική και τη θεωρία συνόλων, τα οποία θεωρούνται χρήσιµα για τη σαφέστερη διατύπωση των µαθηµατικών εννοιών, των προτάσεων κτλ.. Τα στοιχεία αυτά, που ήταν διάσπαρτα στην Α έκδοση του βιβλίου, παρουσιάζονται στην αναµορφωµένη έκδοση µε οργανωµένο τρόπο. Το περιεχόµενο του βιβλίου, που αποτελεί και την διδακτέα ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, έχει σε γενικές γραµµές έχει ως εξής:. Στο ο Κεφάλαιο επαναλαµβάνονται, συµπληρώνονται και επεκτείνονται τα βασικά στοιχεία του αλγεβρικού λογισµού που διδάχτηκαν οι µαθητές στο Γυµνάσιο.. Στο ο Κεφάλαιο επαναλαµβάνονται και εξετάζονται συστηµατικότερα όσα ήταν γνωστά από το Γυµνάσιο για τις εξισώσεις ου βαθµού, τις εξισώσεις ου βαθµού, καθώς και για εξισώσεις που η επίλυσή τους ανάγεται σε εξισώσεις ου και ου βαθµού

. Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η επίλυση ανισώσεων ου και ου βαθµού, καθώς και ανισώσεων που η επίλυσή τους ανάγεται σε ανισώσεις ου και ου βαθµού. Με τη διδασκαλία των τριών πρώτων κεφαλαίων ολοκληρώνεται ο αλγεβρικός λογισµός στο βαθµό που είναι απαραίτητος όχι µόνο για την απρόσκοπτη συνέχεια της διδασκαλίας Άλγεβρας, αλλά και για την εξυπηρέτηση των συναφών µαθηµάτων. 4. To 4 ο Κεφάλαιο αναφέρεται στις συναρτήσεις. Η συνάρτηση είναι µια από τις θεµελιώδεις έννοιες των Μαθηµατικών, η οποία είναι το εργαλείο έκφρασης ενός µεγάλου φάσµατος φαινοµένων της φύσης και της κοινωνίας. Η έννοια της συνάρτησης θα είναι αντικείµενο συστηµατικής µελέτης και εµβάθυνσης σε όλο το Λύκειο. 5. Στο 5 ο Κεφάλαιο γίνεται κατ αρχήν η µελέτη των συναρτήσεων και y = α α y= και ακολουθεί η µελέτη της συνάρτησης τριώνυµο y= α + β+ γ, που αποτελεί τον κεντρικό στόχο του κεφαλαίου αυτού. 6. Στο 6 ο Κεφάλαιο κατ αρχήν επαναλαµβάνονται και συµπληρώνονται όσα διδάχτηκαν οι µαθητές στο Γυµνάσιο για γραµµικά συστήµατα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους και στη συνέχεια επιλύονται γραµµικά συστήµατα µε τρεις αγνώστους, καθώς και µη γραµµικά συστήµατα. Για την παρουσίαση των εννοιών του κεφαλαίου αυτού χρησιµοποιήθηκαν αναπαραστάσεις από τα κεφάλαια των συναρτήσεων 7. Στο 7 ο Κεφάλαιο, που είναι και το τελευταίο του βιβλίου, επαναλαµβάνονται και επεκτείνονται οι γνωστές από το Γυµνάσιο έννοιες των τριγωνοµετρικών αριθµών και των τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων και παρουσιάζεται η αναγωγή του υπολογισµού τριγωνοµετρικών αριθµών στο ο τεταρτηµόριο. Εκτιµούµε ότι η παρούσα αναµορφωµένη έκδοση του βιβλίου θα συµβάλει στην αναβάθµιση της διδασκαλίας της Άλγεβρας στο Λύκειο. Ωστόσο, για περαιτέρω βελτίωση του βιβλίου, οποιοσδήποτε µαθητής, καθηγητής ή ενδιαφερόµενος για την παιδεία στον τόπο µας θέλει να κάνει σχόλια, παρατηρήσεις ή κρίσεις για το βιβλίο αυτό, παρακαλείται να τις στείλει στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Μεσογείων 96, 50 Αγία Παρασκευή. εκέµβριος 009 Οι Συγγραφείς

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε Το Λεξιλόγιο της Λογικής 9 Ε Σύνολα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : Οι Πραγµατικοί Αριθµοί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 9. ιάταξη Πραγµατικών Αριθµών 0. Απόλυτη Τιµή Πραγµατικού Αριθµού 7.4 Ρίζες Πραγµατικών Αριθµών 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Εξισώσεις. Εξισώσεις ου Βαθµού 55 v. Η Εξίσωση = α 6. Εξισώσεις ου Βαθµού 64 Σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Ανισώσεις. Ανισώσεις ου Βαθµού 77. Ανισώσεις ου Βαθµού 8. Ανισώσεις Γινόµενο & Ανισώσεις Πηλίκο 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 4. Η Έννοια της Συνάρτησης 97 4. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 04 4. Η Συνάρτηση f ( ) = α+ β 4.4 Κατακόρυφη Οριζόντια Μετατόπιση Καµπύλης 0 4.5 Μονοτονία Ακρότατα Συµµετρίες Συνάρτησης 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων f = α 40 5. Μελέτη της Συνάρτησης : ( ) 5. Μελέτη της Συνάρτησης: f ( ) 5. Μελέτη της Συνάρτησης: ( ) α = 46 f = α + β+ γ 5

Σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο: Γραµµικά Συστήµατα 6. Γραµµικά Συστήµατα 59 6. Μη Γραµµικά Συστήµατα 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο: Τριγωνοµετρία 7. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 79 7. Βασικές Τριγωνοµετρικές Ταυτότητες 90 7. Αναγωγή στο ο Τεταρτηµόριο 96 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 05 ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ 7

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουµε µερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση µαθηµατικών εννοιών, προτάσεων κτλ.. Τα παραδείγµατα που θα χρησιµοποιήσουµε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυµνάσιο. Η συνεπαγωγή Ας θεωρήσουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α,β. Είναι γνωστό ότι: Αν οι αριθµοί ακαι β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα. Αυτό σηµαίνει ότι: Αν ο ισχυρισµός α= β είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισµός α = β θα είναι αληθής. Γι αυτό λέµε ότι ο ισχυρισµός α= β συνεπάγεται τον ισχυρισµό α = β και γράφουµε «Γενικά: a β a β = =». Αν P και Q είναι δύο ισχυρισµοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέµε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουµε P Q. Ο ισχυρισµός «P Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συµπέρασµα αυτής. ΣΧΟΛΙΟ Από τον ορισµό της συνεπαγωγής «P Q» προκύπτει ότι: Αν o Q δεν είναι αληθής, τότε και ο P δεν είναι αληθής. Άρα, για να ισχύει ο P πρέπει υποχρεωτικά να ισχύει ο Q.

0 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η Ισοδυναµία ή διπλή συνεπαγωγή Ας θεωρήσουµε τρεις πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ και τις γνωστές µας συνεπαγωγές: και α= β α = β () α= β α+ γ= β+ γ () Παρατηρούµε ότι: Για την πρώτη συνεπαγωγή, δεν ισχύει το αντίστροφο. ηλαδή δεν ισχύει Γενικά Αν η συνεπαγωγή α = β α= β για όλους του πραγµατικούς αριθµούς α και β, αφού για παράδειγµα είναι ( ) =, ενώ. Για τη δεύτερη, όµως, συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. ηλαδή για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει και η συνεπαγωγή: α+ γ= β+ γ α= β Γι αυτό λέµε ότι οι δύο ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι και γράφουµε: α= β α+ γ= β+ γ. Pκαι Q είναι δύο ισχυρισµοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο ένας από τους δύο, να αληθεύει και ο άλλος, τότε λέµε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο P είναι ισοδύναµος µε τον Q και γράφουµε P Ο ισχυρισµός P Q. «P αν και µόνο αν Q». Ο σύνδεσµος «ή» Γνωρίζουµε ότι: Q λέγεται ισοδυναµία και αρκετές φορές διαβάζεται Το γινόµενο δύο πραγµατικών αριθµών α και βείναι ίσο µε το µηδέν, αν και µόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθµούς α και β είναι ίσος µε το µηδέν. Για να δηλώσουµε ότι ένας τουλάχιστον από τους α και β είναι ίσος µε το µηδέν, γράφουµε α= 0 ή β= 0. Έτσι, έχουµε την ισοδυναµία Γενικά α β= 0 α= 0 ή β= 0

Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα Αν Pκαι Q είναι δύο ισχυρισµοί, τότε ο ισχυρισµός P ή Q αληθεύει µόνο στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισµούς αληθεύει. Ο ισχυρισµός «P ή Q» λέγεται διάζευξη των P και Q. Για παράδειγµα η εξίσωση ( )( ) = 0 αληθεύει, αν και µόνο αν ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες είναι ίσος µε το µηδέν, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει η διάζευξη: = 0 ή = 0. και Παρατηρούµε εδώ ότι: Για = αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, ενώ Για = 0 αληθεύει µόνο η πρώτη και για = αληθεύει µόνο η δεύτερη. Ο σύνδεσµος «και» Γνωρίζουµε ότι: «Το γινόµενο δύο πραγµατικών αριθµών ακαι β είναι διάφορο του µηδενός, αν και µόνον αν και οι δύο αριθµοί ακαι β είναι διάφοροι του µηδενός». Για να δηλώσουµε ότι και οι δύο αριθµοί γράφουµε α 0 και β 0 Έτσι, έχουµε την ισοδυναµία α β 0 α 0και β 0 Γενικά Αν ακαι β είναι διάφοροι του µηδενός Pκαι Q είναι δύο ισχυρισµοί, τότε ο ισχυρισµός P και Q αληθεύει µόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισµοί αληθεύουν. Ο ισχυρισµός «P και Q» λέγεται σύζευξη των Pκαι Q. Για παράδειγµα, ο ισχυρισµός ( ) = 0 και ( )( + ) = 0 αληθεύει για εκείνα τα για τα οποία αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, δηλαδή για =.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I. Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράµµα Α, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής για όλους του πραγµατικούς αριθµούς α, β και γ. ιαφορετικά να κυκλώσετε το γράµµα Ψ.. α = 9 α= Α Ψ. α = α α= Α Ψ. α α α 4. α α 4 5. ( α ) > 0 Α Ψ Α Ψ Α Ψ 6. α> α > 4 Α Ψ 7. α< α < 4 Α Ψ 8. α < 4 α< Α Ψ 9. α > 4 α> Α Ψ 0. α< και β< α β< 6 Α Ψ II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισµούς της οµάδας Α µε τον ισοδύναµό του ισχυρισµό από τη οµάδα Β. Α ΟΜΑ Α ( ) 0 Β ΟΜΑ Α = Α 0και ( ) 0 Β = 4 = Γ = ή = 4 = 4και < 0 = 0 = 0και = 0 Ε = 0ή = 5 ( ) ( ) 6 = 4και > 0 Ζ =

Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα Ε. ΣΥΝΟΛΑ Η Έννοια του Συνόλου Πολλοί άνθρωποι συνηθίζουν να συλλέγουν διάφορα πράγµατα, όπως π.χ. γραµµατόσηµα, νοµίσµατα, πίνακες ζωγραφικής, εφηµερίδες, βιβλία κτλ. Οι περισσότεροι συλλέκτες ταξινοµούν τις συλλογές τους σε κατηγορίες, π.χ. «γραµµατόσηµα που προέρχονται από την ίδια χώρα», «νοµίσµατα του περασµένου αιώνα», «πίνακες της αναγέννησης» κτλ. Επίσης από αρχαιοτάτων χρόνων οι άνθρωποι ενδιαφέρθηκαν για τους αριθ- µούς και τους ταξινόµησαν σε κατηγορίες, όπως είναι π.χ. «οι άρτιοι αριθ- µοί», «οι πρώτοι αριθµοί» κτλ. Συλλογές ή κατηγορίες όπως οι παραπάνω ή ακόµη οµάδες αντικειµένων, ο- µοειδών ή όχι, που µπορούµε µε κάποιο τρόπο να τα ξεχωρίσουµε, ονοµάζονται στα Μαθηµατικά σύνολα. Σύµφωνα µε τον µεγάλο µαθηµατικό Cantor: Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή τη διανόησή µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα αντικείµενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονοµάζονται στοιχεία ή µέλη του συνόλου. ΣΧΟΛΙΟ Ένα σύνολο πρέπει να είναι, όπως συνηθίζουµε να λέµε, «καλώς ορισµένο». Αυτό σηµαίνει ότι τα στοιχεία του µπορούν να αναγνωρίζονται µε σιγουριά. Για παράδειγµα δεν µπορούµε να µιλάµε για το σύνολο των µεγάλων πραγµατικών αριθµών. Αυτό δεν είναι σύνολο, µε τη µαθηµατική έννοια του όρου, διότι δεν υπάρχει κανόνας που να καθορίζει αν ένας πραγµατικός αριθµός είναι ή δεν είναι µεγάλος. Αν όµως θεωρήσουµε τους πραγµατικούς αριθµούς που είναι µεγαλύτεροι του 000000, τότε αυτοί αποτελούν σύνολο. Για να συµβολίσουµε ένα σύνολο στα Μαθηµατικά, χρησιµοποιούµε ένα από τα κεφαλαία γράµµατα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου, ενώ για τα στοιχεία του χρησιµοποιούµε τα µικρά γράµµατα αυτών. Για παράδειγµα: µε N συµβολίζουµε το σύνολο των φυσικών αριθµών, µε Z το σύνολο των ακεραίων αριθµών, µε Q το σύνολο των ρητών αριθµών και µε R το σύνολο των πραγµατικών αριθµών.

4 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τα σύµβολα και Για να δηλώσουµε ότι το είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουµε Α και διαβάζουµε «το ανήκει στο Α», ενώ για να δηλώσουµε ότι το δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουµε Α και διαβάζουµε «το δεν ανήκει στο Α». Για παράδειγµα 5 N, 5 Q, Z, Q, R κτλ. Παράσταση Συνόλου Για να παραστήσουµε ένα σύνολο χρησιµοποιούµε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους: α) Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουµε τα στοιχεία αυτά µεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα µε το κόµµα. Έτσι π.χ., αν το σύνολο Α έχει ως στοιχεία τους αριθµούς, 4 και 6, γράφουµε: Α= {, 4, 6} Πολλές φορές χρησιµοποιούµε έναν παρόµοιο συµβολισµό και για σύνολα που έχουν πολλά ή άπειρα στοιχεία, γράφοντας µερικά µόνο από αυτά και α- ποσιωπώντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά που παραλείπονται. Έτσι για παράδειγµα το σύνολο Β των ακεραίων από το µέχρι το 00 συµβολίζεται ως εξής Β= {,,,..., 00}, ενώ το σύνολο των κλασµάτων της µορφής, όπου ν θετικός ακέραιος, συµ- v βολίζεται ως εξής: Γ=,,,,..., 4 Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου µε αναγραφή των στοιχείων του». β) Αν από το σύνολο των πραγµατικών αριθµών επιλέξουµε εκείνους που έ- χουν την ιδιότητα να είναι θετικοί, τότε φτιάχνουµε το σύνολο των θετικών πραγµατικών αριθµών, το οποίο συµβολίζεται µε: { R > 0} και διαβάζεται «Το σύνολο των R, όπου > 0». Οµοίως το σύνολο των άρτιων ακεραίων συµβολίζεται { Z άρτιος}

Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα 5 Γενικά, αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουµε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν µια ορισµένη ιδιότητα Ι, τότε φτιάχνουµε ένα νέο σύνολο που συµβολίζεται µε: { Ω έχει την ιδιότητα Ι} και διαβάζεται «Το σύνολο των Ω, όπου έχει την ιδιότητα Ι». Ο παραπάνω τρόπος παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου µε περιγραφή των στοιχείων του». Ίσα σύνολα Ας θεωρήσουµε τώρα τα σύνολα: Α {, } = και Β= { R ( )( ) = 0 } Επειδή οι λύσεις της εξίσωσης ( )( ) = 0 είναι οι αριθµοί και, το σύνολο Β έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία µε το Α. Σε αυτήν την περίπτωση λέ- µε ότι τα σύνολα Α και Β είναι ίσα. Γενικά ύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Με άλλα λόγια: «ύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α». Στην περίπτωση αυτή γράφουµε Α=Β. Υποσύνολα συνόλου Ας θεωρήσουµε τα σύνολα Α= {,,,..., 5 } και Β= {,,,..., 00 } Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β. Γενικά Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή γράφουµε Α Β. Άµεσες συνέπειες του ορισµού είναι οι: i) Α Α, για κάθε σύνολο Α. ii) Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ. iii) Αν Α Β και Β Α, τότε Α=Β.

6 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το Κενό σύνολο Ας αναζητήσουµε τα στοιχεία του συνόλου Α= { R = }. Είναι φανερό ότι τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν, αφού η εξίσωση = είναι αδύνατη στο R. Το σύνολο αυτό, που δεν έχει κανένα στοιχείο, λέγεται κενό σύνολο και συµβολίζεται µε ή { }. ηλαδή: Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. εχόµαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. ιαγράµµατα Venn Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των µεταξύ τους σχέσεων γίνεται µε τα διαγράµµατα Venn. Κάθε φορά που εργαζόµαστε µε σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συµβολίζεται µε Ω. Για παράδειγµα, τα σύνολα N, Zκαι Q, είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου Ω=R. Το βασικό σύνολο συµβολίζεται µε το εσωτερικό ενός ορθογωνίου, ενώ κάθε υποσύνολο ενός βασικού συνόλου παριστάνεται µε το εσωτερικό µιας κλειστής καµπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Αν Α Β, τότε το Α παριστάνεται µε το εσωτερικό µιας κλειστής καµπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό της κλειστής καµπύλης που παριστάνει το Β. Πράξεις µε σύνολα Έστω Ω= {,,,...,0} ένα βασικό σύνολο και δύο υποσύνολά του: Α= {,,,4} και Β= {,4,5,6}. Το σύνολο {,,,4,5,6 }, που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα µη κοινά στοιχεία των Α και Β, δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α και Β λέγεται ένωση των συνόλων Α και Β.

Λεξιλόγιο της Λογικής Σύνολα 7 Γενικά: Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συµβολίζεται µε Α Β. ηλαδή είναι: { Ω Αή Β} Α Β = Το σύνολο {,4} που έχει ως στοιχεία τα κοινά µόνο στοιχεία των Α και Β λέγεται τοµή των Α και Β. Γενικά: Τοµή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συµβολίζεται µε Α Β ηλαδή είναι: { Ω Ακαι Β} Α Β = Στην περίπτωση που δύο σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή όταν Α Β =, τα δύο σύνολα λέγονται ξένα µεταξύ τους. Το σύνολο { 5,6,7,8,9,0 } που έχει ως στοιχεία τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α, λέγεται συµπλήρωµα του συνόλου Α. Γενικά: Συµπλήρωµα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συµβολίζεται µε Α. ηλαδή είναι: { Ω Α} Α =

8 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I.. Στους παρακάτω πίνακες να συµπληρώσετε µε το σύµβολο εκείνα τα τετραγωνάκια των οποίων ο αντίστοιχος αριθµός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο.. Πώς ονοµάζονται οι αριθµοί για τους οποίους έχουν συµπληρωθεί τα τετραγωνάκια µόνο της τελευταίας γραµµής;. Να χρησιµοποιήσετε τα διαγράµµατα του Venn για να παραστήσετε τις διαδοχικές σχέσεις εγκλεισµού των συνόλωνn, Z, Q και R και να τοποθετήσετε µέσα σε αυτά τους αριθµούς αυτούς. N Z Q R,5 0 0 π, 5 0 5 00 5 II. Σε καθεµιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συµπληρώσετε τις ισότητες.. Αν Α= { N διαιρέτης του 6} και Β= { N διαιρέτης του 4},τότε: α) Α Β=... β) Α Β=.... Ας θεωρήσουµε ως βασικό σύνολο το σύνολο Ω των γραµµάτων του ελληνικού αλφαβήτου και τα υποσύνολά του { } και Β= { Ω σύµφωνο} Α= Ω φωνήεν. Τότε: α) Α Β=... β) Α Β=... γ) Α =... δ) B =... III. Σε καθεµιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να βάλετε σε κύκλο τις σωστές απαντήσεις.. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε: α) Α Α Β β) Β Α Β γ) Α Β Α δ) Α Β Β. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε: α) Α Α Β β) Α Β Β γ) Α Β Α δ) Α Β Β IV. Σε καθεµιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συµπληρώσετε τις ισότητες.. Έστω Ω ένα βασικό σύνολο, το κενό σύνολο και Α Ω.Τότε: α) = β) Ω = γ) (Α ) =... Έστω Α Β.Τότε α) Α Β= β) Α Β =.

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) Εισαγωγή Στο Γυµνάσιο µάθαµε ότι οι πραγµατικοί αριθµοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθµούς και παριστάνονται µε τα σηµεία ενός άξονα, του άξονα των πραγµατικών αριθµών. Θυµίζουµε ότι: Κάθε ρητός αριθµός έχει (ή µπορεί να πάρει) κλασµατική µορφή, δηλαδή τη µορφή α β, όπου α, β ακέραιοι, µε β 0. Κάθε ρητός αριθµός µπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός µπορεί να πάρει κλασµατική µορφή. Για παράδειγµα, 4,8 5 =, 9 60 =,5, 5,45 8 =, 5 0,5= και,= 00 99 Μπορούµε δηλαδή να πούµε ότι οι ρητοί αριθµοί αποτελούνται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθµούς. Υπάρχουν όµως και αριθµοί, όπως οι,, π, κτλ., που δεν µπορούν να πάρουν τη µορφή α β, όπου α, β ακέραιοι, µε β 0 (ή, µε άλλα λόγια, δεν µπορούν να γραφούν ούτε ως δεκαδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκαδικοί). Οι αριθµοί αυτοί λέγονται άρρητοι αριθµοί.

0. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πράξεις Στους πραγµατικούς αριθµούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού και, µε τη βοήθειά τους, η αφαίρεση και η διαίρεση. Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον επόµενο πίνακα, οι οποίες και αποτελούν τη βάση του αλγεβρικού λογισµού. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασµός Αντιµεταθετική α+ β= β+ α αβ = βα Προσεταιριστική α+ ( β+ γ) = ( α+ β) + γ ( ) = ( ) Ουδέτερο Στοιχείο Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθµού α βγ αβ γ α+ 0= α α = α α+ ( α) = 0 Επιµεριστική α( β+ γ) = αβ+ αγ α =, α 0 α Στον πίνακα αυτόν, αλλά και στη συνέχεια του βιβλίου, τα γράµµατα που χρησιµοποιούνται παριστάνουν οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς, ε- κτός αν δηλώνεται διαφορετικά. Ο αριθµός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι προστιθέ- µενος σε οποιονδήποτε αριθµό δεν τον µεταβάλλει. Επίσης ο αριθµός λέγεται και ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού, διότι οποιοσδήποτε αριθµός πολλαπλασιαζόµενος µε αυτόν δεν µεταβάλλεται. ΣΧΟΛΙΟ Η αντιµεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης έχουν ως συνέπεια, κάθε άθροισµα µε περισσότερους από δυο προσθετέους, να ισούται µε οποιοδήποτε άλλο άθροισµα που σχηµατίζεται από τους ίδιους αριθ- µούς µε οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουµε. Για παράδειγµα, + + + + 5 = + + + 5+ = 5. Οµοίως, ένα γινόµενο µε περισσότερους από δυο παράγοντες ισούται µε ο- ποιοδήποτε άλλο γινόµενο που µπορεί να σχηµατισθεί από τους ίδιους αριθ- µούς µε οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουµε. Για παράδειγµα, 5 5 ( ) ( 6) 4 = ( ) ( 6) 4= 4 5 5

. Οι πράξεις και οι ιδιότητές του (Η απόδειξη των παραπάνω ισχυρισµών είναι αρκετά πολύπλοκη και παραλείπεται). Η αφαίρεση και η διαίρεση ορίζονται µε τη βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού αντιστοίχως ως εξής: α α β = α + ( β) και α : β = = α ( β 0) β β ηλαδή: Για να βρούµε τη διαφορά α β, προσθέτουµε στο µειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου, ενώ για να βρούµε το πηλίκο α β, µε β 0, πολλαπλασιάζουµε το διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Επειδή διαίρεση µε διαιρέτη το µηδέν δεν ορίζεται, όπου στο εξής συναντά- µε το πηλίκο α β, εννοείται ότι β 0 και δεν θα τονίζεται ιδιαίτερα. Για τις τέσσερις πράξεις και την ισότητα ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυµνάσιο:. ( α β και ) = γ= δ α + γ = β + δ δηλαδή, δυο ισότητες µπορούµε να τις προσθέσουµε κατά µέλη.. ( α β και ) = γ= δ αγ = βδ δηλαδή, δυο ισότητες µπορούµε να τις πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη.. α= β α + γ = β + γ δηλαδή, µπορούµε και στα δυο µέλη µιας ισότητας να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό. 4. Αν γ 0, τότε: α= β αγ= βγ δηλαδή, µπορούµε και τα δυο µέλη µιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσουµε ή να τα διαιρέσουµε µε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό. 5. α β= 0 α= 0 ή β = 0

. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ δηλαδή, το γινόµενο δύο πραγµατικών αριθµών είναι ίσο µε το µηδέν, αν και µόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθµούς είναι ίσος µε το µηδέν. Άµεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η ακόλουθη: α β 0 α 0 και β 0 ΣΧΟΛΙΟ Όταν από την ισότητα α+ γ= β+ γ ή από την ισότητα α γ= β γ µεταβαίνουµε στην ισότητα α= β, τότε λέµε ότι διαγράφουµε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο παράγοντα αντιστοίχως. Όµως στην περίπτωση που διαγράφουµε τον ίδιο παράγοντα πρέπει να ελέγχουµε µήπως ο παράγοντας αυτός είναι ίσος µε µηδέν, οπότε ενδέχεται να οδηγηθούµε σε λάθος, όπως συµβαίνει στο ακόλουθο παράδειγµα. Έστω α=. Τότε έχουµε διαδοχικά: α α= α α= α α = α = α ( α )( α ) ( α ) + = α+ = α= 0 Όµως έχουµε και α=, οπότε το θα είναι ίσο µε το 0. Οδηγηθήκαµε στο α+ α = α λανθασµένο αυτό συµπέρασµα, διότι στην ισότητα ( )( ) ( ) διαγράψαµε τον παράγοντα ( α ) ο οποίος, λόγω της υπόθεσης, ήταν ίσος µε µηδέν. υνάµεις Είναι γνωστή από το Γυµνάσιο η έννοια της δύναµης αριθµού µε εκθέτη α- κέραιο. Συγκεκριµένα, αν ο α είναι πραγµατικός αριθµός και ο ν φυσικός, έχουµε ορίσει ότι: ν α = α α α α, για ν> και ν παράγοντες α = α, για ν=. Αν επιπλέον είναι α 0, τότε ορίσαµε ότι: 0 α = και α ν = ν α

. Οι πράξεις και οι ιδιότητές του ΣΧΟΛΙΟ Ενώ είναι φανερό ότι, αν α= β, τότε ν ν α β φού για παράδειγµα είναι ( ) =, αλλά. =, δεν ισχύει το αντίστροφο, α- Στον επόµενο πίνακα συνοψίζονται οι ιδιότητες των δυνάµεων µε εκθέτη ακέραιο, µε την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζονται οι δυνάµεις και οι πράξεις που σηµειώνονται. = κ λ κ λ α α α + = ( ) κ κ κ α β αβ κ ( ) λ α = α κλ α α κ λ = α κ λ κ α α κ β β κ = Αξιοσηµείωτες Ταυτότητες Η έννοια της ταυτότητας είναι γνωστή από το Γυµνάσιο. Συγκεκριµένα, κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιµές των µεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. Στον πίνακα που ακολουθεί αναφέρονται οι γνωστές µας πιο αξιοσηµείωτες ταυτότητες: ( ) α+ β = α + αβ+ β ( ) α β = α αβ+ β α β = ( α+ β) ( α β) ( ) α+ β = α + α β+ αβ + β ( ) α β = α α β+ αβ β ( ) ( ) ( ) ( ) α + β = α+ β α αβ+ β α β = α β α + αβ+ β ( ) α+ β+ γ = α + β + γ + αβ+ βγ+ γα

4. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μέθοδοι Απόδειξης η ) Ευθεία Απόδειξη Έστω ότι για τρεις αριθµούς α, β και γ δίνεται η συνθήκη α+ β+ γ= 0 και θέλουµε να αποδείξουµε ότι αποδείξουµε τη συνεπαγωγή: Επειδή α β γ 0 + + =, δηλαδή έστω ότι θέλουµε να α β γ αβγ + + = + + = "Ανα β γ 0, τότε α β γ αβγ" + + =, είναι α ( β γ) ( ) α + β + γ = β+ γ + β + γ ( ) = +, οπότε θα έχουµε: = β+ γ + β + γ = β β γ βγ γ + β + γ = β γ βγ ( ) = βγ β+ γ ( β γ α) = αβγ, αφού + =. Για την απόδειξη της παραπάνω συνεπαγωγής ξεκινήσαµε µε την υπόθεση α+ β+ γ= 0 και µε διαδοχικά βήµατα καταλήξαµε στο συµπέρασµα + + =. Μια τέτοια διαδικασία λέγεται ευθεία απόδειξη. α β γ αβγ ΣΧΟΛΙΑ ο ) Ευθεία απόδειξη χρησιµοποιήσαµε και στο Γυµνάσιο για την απόδειξη των γνωστών µας ταυτοτήτων. Για παράδειγµα, για την απόδειξη της α+ β = α + αβ+ β, µε α, β R, έχουµε διαδοχικά: ταυτότητας ( ) ( α+ β) = ( α+ β)( α+ β) = α( α+ β) + β( α+ β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β [ Ορισµός δύναµης] [ Επιµεριστική ιδιότητα] [ Επιµεριστική ιδιότητα] [ Αναγωγή όµοιων όρων] ο ) Για να αποδείξουµε ότι ένας ισχυρισµός είναι αληθής, µερικές φορές µε διαδοχικούς µετασχηµατισµούς καταλήγουµε σε έναν λογικά ισοδύναµο ισχυρισµό που είναι αληθής. Έτσι συµπεραίνουµε ότι και ο αρχικός ι- σχυρισµός είναι αληθής. Για παράδειγµα, έστω ότι για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β,, y θέλουµε να αποδείξουµε την ταυτότητα:

. Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 5 Έχουµε διαδοχικά: ( α + β )( + y ) = ( α + βy) + ( αy β) ( α + β )( + y ) = ( α + βy) + ( αy β) α + α y + β + β y = α + αβy+ β y + α y αβy + β α + α y + β + β y = α + α y + β + β y, που ισχύει. ο ) Για να αποδείξουµε ότι ένας ισχυρισµός δεν είναι πάντα αληθής, αρκεί να βρούµε ένα παράδειγµα για το οποίο ο συγκεκριµένος ισχυρισµός δεν ισχύει ή, όπως λέµε, αρκεί να βρούµε ένα αντιπαράδειγµα. Έτσι ο ισχυρισµός δεν είναι αληθής, αφού για «για κάθε α> 0 ισχύει η ) Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο α= έχουµε Έστω ότι θέλουµε να αποδείξουµε τον ισχυρισµό: α > α» α =, δηλαδή 4 α < α. «Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου αριθµού είναι άρτιος, τότε και ο αριθµός αυτός είναι άρτιος», δηλαδή «Αν ο α είναι άρτιος αριθµός, τότε και ο α είναι άρτιος αριθµός» Για την απόδειξη του ισχυρισµού αυτού σκεπτόµαστε ως εξής: Έστω ότι ο α δεν είναι άρτιος. Τότε ο α θα είναι περιττός, δηλαδή θα έχει τη µορφή α= κ+, όπου κ ακέραιος, οπότε θα έχουµε: ηλαδή α λ, λ ( ) α κ = + = κ + κ+ 4 4 ( κ κ) = + + = λ+ λ= κ + κ (όπου ). = + Z, που σηµαίνει ότι ο α είναι περιττός. Αυτό όµως έρχεται σε αντίθεση µε την υπόθεση ότι ο α είναι άρτιος. Εποµένως, η παραδοχή ότι α δεν είναι άρτιος είναι λανθασµένη. Άρα ο α είναι άρτιος. Στην παραπάνω απόδειξη υποθέσαµε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαµε να α- ποδείξουµε και χρησιµοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάσαµε σε ένα συµπέρασµα που έρχεται σε αντίθεση µε αυτό που γνωρίζουµε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαµε όπως λέµε σε άτοπο.

6. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η µέθοδος αυτή απόδειξης χρησιµοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Αρχαίους Έλληνες και λέγεται απαγωγή σε άτοπο. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Να αποδειχθούν οι εξής ιδιότητες των αναλογιών: α γ i) = αδ= βγ εφόσονβδ 0 β δ ( ) α γ α β ii) = = εφόσον 0 β δ γ δ ( βγδ ) α γ α + β γ + δ iii) = = εφόσον 0 β δ β δ ( βδ ) α γ α γ α+ γ iv) = = = εφόσον + 0 β δ β δ β+ δ ( βδ( β δ) ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ i) Για βδ 0 έχουµε: α γ α γ = βδ = βδ αδ= βγ β δ β δ ii) Γιαβγδ 0 έχουµε: α γ αδ βγ α β = αδ= βγ = = β δ γδ γδ γ δ iii) Για βδ 0 έχουµε: α γ α γ α+ β γ+ δ = + = + = β δ β δ β δ α γ iv) Για βδ( β+ δ) 0, αν θέσουµε = = λ, έχουµε: β δ α= λβ και γ= λδ,οπότε α+ γ= λ( β+ δ). α+ γ α γ α+ γ Εποµένως, λ=, δηλαδή = = β+ δ β δ β+ δ η Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός είναι άρρητος. Στη συνέχεια, µε τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη, να παρασταθούν οι και στον άξονα των πραγµατικών αριθµών.

. Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 7 ΑΠΟ ΕΙΞΗ κ Έστω ότι ο είναι ρητός. Τότε µπορούµε να γράψουµε =, όπου κ, λ είναι λ φυσικοί αριθµοί και κ λ ανάγωγο κλάσµα (δηλαδή κλάσµα στο οποίο έχουν γίνει όλες οι δυνατές απλοποιήσεις). Τότε έχουµε διαδοχικά: ( ) κ = λ κ = λ κ = λ που σηµαίνει ότι ο κ είναι άρτιος, οπότε (σελ. 5) και ο κ είναι άρτιος, δηλαδή είναι της µορφής κ=µ. Τότε έχουµε διαδοχικά: Που σηµαίνει ότι ο ( ) κ = λ µ = λ 4µ = λ λ = µ λ είναι άρτιος, άρα και ο λ είναι άρτιος. Αφού λοιπόν οι κ, λ είναι άρτιοι, το κλάσµα κ λ δεν είναι ανάγωγο (άτοπο). Στο σηµείο Α του πραγµατικού άξονα που παριστάνει τον αριθµό υψώνουµε κάθετο τµήµα ΑΒ µε µήκος. Τότε η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ έχει µήκος ίσο µε. Στη συνέχεια µε κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΒ = γράφουµε κύκλο ο οποίος τέµνει τον άξονα στα σηµεία Μ και M που παριστάνουν τους α- ριθµούς και αντιστοίχως.

8. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ 4.. ίνεται η παράσταση Α ( y ) ( y ) i) Να δείξετε ότι Α = : y 9 9 = y. ii) Να βρείτε την τιµή της παράστασης για = 00 και y =. 00. Να βρείτε την τιµή της παράστασης 7 Α ( ) :( ) = 0, 4 και y=,5. = y y για. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i) 00 999 ii) 99 0 iii) ( 7,) ( 4,), 46. α+ β α β = 4αβ. 4. i) Να δείξετε ότι ( ) ( ) ii) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 999 000 999 000 + 000 999 000 999. 5. i) Να αποδείξετε ότι α ( α )( α ) ii) + =. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: (,65) 0,65,65. 6. Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δυο διαδοχικών φυσικών αριθ- µών (του µικρότερου από του µεγαλύτερου) ισούται µε το άθροισµα τους. 7. Αν ν φυσικός αριθµός, να δείξετε ότι ο αριθµός ν ν+ ν+ + + είναι πολλαπλάσιο του 7.

. Οι πράξεις και οι ιδιότητές του 9 Β ΟΜΑ ΑΣ. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) α α + α α α ii) ( ) α α + α. α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i) α + α α α α+ ( ) ii) α + α+ α α+ α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i) ( y) ( y ) + + ii) + y y y y. 4. Να δείξετε ότι + y : y =. y y 5. Αν α = β = γ, να δείξετε ότι α = β= γ. β γ α

. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Έννοια της ιάταξης Οι έννοιες «µεγαλύτερος από», «µικρότερος από», που είναι γνωστές από το Γυµνάσιο, ορίστηκαν ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας αριθµός α λέµε ότι είναι µεγαλύτερος από έναν αριθµό β, και γράφουµε α> β, όταν η διαφορά α βείναι θετικός αριθµός. Στην περίπτωση αυτή λέµε επίσης ότι ο βείναι µικρότερος του α και γράφουµε β< α Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει αµέσως ότι: Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από το µηδέν. Κάθε αρνητικός αριθµός είναι µικρότερος από το µηδέν. Έτσι ο αρχικός ορισµός γράφεται ισοδύναµα: α > β α β > 0 Γεωµετρικά η ανισότητα α> βσηµαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγµατικών ο αριθµός α είναι δεξιότερα από τον β. Αν για τους αριθµούς α και β ισχύει α> β ή α= β, τότε γράφουµε α β και διαβάζουµε: «α µεγαλύτερος ή ίσος του β». Από τον τρόπο µε τον οποίο γίνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού, προκύπτει ότι: ( ) ( ) α> 0 και β> 0 α+ β> 0 α< 0 και β< 0 α+ β< 0 α α, βοµόσηµοι α β> 0 > 0 β α α, βετερόσηµοι α β< 0 < 0 β

. ιάταξη πραγµατικών αριθµών α 0, για κάθε α R ( Η ισότητα ισχύει µόνο όταν α= 0) Από την τελευταία εύκολα προκύπτουν και οι ισοδυναµίες: α + β = 0 α = 0καιβ = 0 α + β > 0 α 0 ή β 0 Ιδιότητες των Ανισοτήτων Στηριζόµενοι στην ισοδυναµία α > β α β > 0, µπορούµε να αποδείξουµε τις παρακάτω ιδιότητες των ανισοτήτων:. ( α β και ) > β> γ α> γ α> β α+ γ> β+ γ. Αν γ> 0, τότε: α> β α γ> β γ Αν γ< 0, τότε: α> β α γ< β γ ( α β και ) > γ> δ α+ γ> β+ δ. Για θετικούς αριθµούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: ( α β και ) > γ> δ α γ> β δ Η ιδιότητα. ισχύει και για περισσότερες ανισότητες. Συγκεκριµένα: ( ) α > β και α > β και...και α > β α + α +... + α > β + β +... + β ν ν ν ν Αν, επιπλέον, τα µέλη των ανισοτήτων είναι θετικοί αριθµοί, τότε: ( ) α > β και α > β και...και α > β α α... α > β β... β (*) ν ν ν ν Στη συνέχεια θα αποδείξουµε και την παρακάτω ιδιότητα. 4. Για θετικούς αριθµούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: ν ν α> β α > β

. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω α> β. Τότε, από τη (*), για προκύπτει ότι: α = α =... = αν = α> 0 και β = β =... = βν = β> 0, ν ν α β >. Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της ν ν απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α > β και α β. Τότε: ν αν ήταν α= β, από τον ορισµό της ισότητας θα είχαµε α = β (άτοπο), ενώ ν ν αν ήταν α< β, θα είχαµε α < β ( άτοπο). Άρα, α> β. Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουµε τώρα ότι: Για θετικούς αριθµούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: ν ν α = β α = β ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω α= β. Τότε, από τον ορισµό της ισότητας προκύπτει, όπως είπα- µε και προηγουµένως, ότι ν ν α β =. Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της ν ν απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι α = β και α β. Τότε: Άρα, α= β. ν ν αν ήταν α> β, λόγω της (4), θα είχαµε α > β (άτοπο), ενώ αν ήταν α< β, λόγω της (4), θα είχαµε ν ν α β < (άτοπο). ν ΣΧΟΛΙΑ ο Σύµφωνα µε την ιδιότητα, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσουµε κατά µέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. εν συµβαίνει όµως το ίδιο µε την αφαίρεση. Για παράδειγµα, είναι 0> 6 και 7>, αλλά 0 7< 6. o Επίσης, σύµφωνα µε την ιδιότητα, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς µε θετικούς, όµως, όρους τις πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. εν συµβαίνει όµως το ίδιο µε τη διαίρεση. Για παράδειγµα, είναι

. ιάταξη πραγµατικών αριθµών ιαστήµατα 4 0 4> 0 και 6>, αλλά <. 6 Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µε α β λέγεται κλειστό διάστηµα από α µέχρι β και συµβολίζεται µε [ α, β ]. Αν τώρα από το κλειστό διάστηµα [ α, β ] παραλείψουµε τα α και β προκύπτει το αντίστοιχο ανοικτό διάστηµα από το α µέχρι β που συµβολίζεται µε ( α, β ). Οι αριθµοί α και β λέγονται άκρα των διαστηµάτων αυτών και κάθε α- ριθµός µεταξύ των α και β λέγεται εσωτερικό σηµείο αυτών. Η διαφορά δηλαδή µεταξύ ενός κλειστού και του αντίστοιχου ανοικτού διαστήµατος είναι ότι το πρώτο περιέχει τα άκρα του, ενώ το δεύτερο δεν τα περιέχει. Άλλες µορφές διαστηµάτων είναι: Το ανοικτό δεξιά διάστηµα [ α, β ) που αποτελείται από τους αριθµούς για τους οποίους ισχύει α < β και Το ανοικτό αριστερά διάστηµα ( α, β ] που αποτελείται από τους α- ριθµούς µε για τους οποίους ισχύει Τέλος, υπό µορφή διαστήµατος, α < β. Το σύνολο των αριθµών για τους οποίους ισχύει α συµβολίζεται µε [ α, + ), ενώ Το σύνολο των αριθµών για τους οποίους ισχύει α συµβολίζεται µε (, α]. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και τα διαστήµατα ( α, + ) και (, α). Τα σύµβολα + και, που διαβάζονται «συν άπειρο» και «πλην άπειρο» αντιστοίχως, δεν παριστάνουν πραγµατικούς αριθµούς. Στον παρακάτω πίνακα συνοψίζονται οι µορφές διαστηµάτων πραγµατικών αριθµών και οι διάφορες αναπαραστάσεις τους:

4. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ α β [ α, β ] α < β [ α, β ) α< β ( α, β ] α< < β ( α, β ) α [ α, + ) > α ( α, + ) α (, α] < α (, α) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Να αποδειχθεί ότι : i) Αν α, β οµόσηµοι αριθµοί, τότε α < β > α β ii) Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύει iii) Αν α> 0, τότε α + α + α β αβ ΑΠΟ ΕΙΞΗ i) Αφού α, β είναι οµόσηµοι αριθµοί έχουµεαβ > 0. Εποµένως ισχύει: α β α< β < < >. αβ αβ β α α β ii) Έχουµε: α β αβ α β αβ ( α β) + + 0 0, που ισχύει iii) Έχουµε: α+ α + α α + α 0 ( α ) 0, που ισχύει. α

. ιάταξη πραγµατικών αριθµών 5 η Αν < < και 4 5 < y <, να αποδειχθεί ότι: 6 < 8 y + < 7 ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από την ανισότητα Οµοίως από την < < έχουµε διαδοχικά: 4 8 < 8< 8 4 4< 8< 6 () 5 < y< έχουµε διαδοχικά: 6 5 < y< 6 8< y<0 8> y> 0 0< y<8 () Προσθέτουµε τώρα κατά µέλη τις ανισότητες () και (), που έχουν την ίδια φορά, και έχουµε: 4< 8 y< 4, οπότε θα ισχύει: Άρα 4+ < 8 y+ < 4+ < 8 y+ < 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ. Να αποδείξετε ότι: i) α + β α+ β α + 9 6α ii) ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι α β α + + 0. Πότε ισχύει η ισότητα;. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς και y σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: + y + = 0 ii) Αν i) Αν ( ) ( ) + + 4 + 5= 0 y y

6. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4. Αν 4,5< < 4,6 και 5,< y < 5,4 περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παραστάσεις: i) + y ii) y iii) y, να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων iv) + y 5. Το πλάτος και το µήκος y ενός ορθογωνίου ικανοποιούν τις ανισότητες < < και < y < 5. Αν Αυξήσουµε το πλάτος κατά 0, και ελαττώσου- µε το µήκος κατά 0,, να βρείτε τις δυνατές τιµές: i) της περιµέτρου ii) του εµβαδού του νέου ορθογωνίου. α β 6. Αν 0 α< β, να δείξετε ότι < + α + β. 7. Να βρείτε το λάθος στους παρακάτω συλλογισµούς: Έστω > 5 Β ΟΜΑ ΑΣ. Τότε έχουµε διαδοχικά > 5 5> 5 5 > 5 ( 5 ) > ( 5+ )( 5 ) > 5+ 0> 5.. ίνονται ένα κλάσµα α β µε θετικούς όρους και ένας θετικός αριθµός γ. Να αποδείξετε ότι: α i) Αν <, τότε β α ii) Αν >, τότε β α+ γ α > β+ γ β α+ γ α < β+ γ β. Αν α> > β, να αποδείξετε ότι α+ β> + αβ.. Αν, α β θετικοί αριθµοί, να δείξετε ότι ( α β) 4. Να αποδείξετε ότι: + + 4. α β i) α + αβ+ β 0 ii) α αβ+ β 0

. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισµός της Απόλυτης Τιµής Θεωρούµε έναν αριθµό α που παριστάνεται µε το σηµείο Α πάνω σε έναν άξονα. Γνωρίζουµε από το Γυµνάσιο ότι η απόσταση του σηµείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΟΑ, ονοµάζεται απόλυτη τιµή του αριθµού ακαι την συµβολίζεται µε α. Από τον τρόπο µε τον οποίο κατασκευάστηκε ο άξονας προκύπτει ότι: =, =, = και γενικά: α = α, για κάθε α > 0. 5 5 ηλαδή: Η απόλυτη τιµή θετικού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός. =, =, = και γενικά: α = α, για κάθε α< 0. 5 5 ηλαδή: Η απόλυτη τιµή αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του. 0 = 0. Εποµένως, έχουµε τον ακόλουθο αλγεβρικό ορισµό της απόλυτης τιµής πραγµατικού αριθµού. ΟΡΙΣΜΟΣ Η απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α συµβολίζεται µε α και ορίζεται από τον τύπο: α, αν α 0 α = α, αν α < 0

8. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Από τα προηγούµενα συµπεραίνουµε αµέσως ότι: α = α 0 α α και α α α = α Για παράδειγµα, = 5 = 5 ή = 5 Αν θ> 0, τότε: = θ = θ ή = θ = α = α ή = α α β = α β α β= α β ή α β= β α 4 α= β ή α= β Ιδιότητες των Απόλυτων Τιµών Από τον τρόπο εκτέλεσης των πράξεων µεταξύ πραγµατικών αριθµών, προκύπτουν για τις απόλυτες τιµές οι ακόλουθες ιδιότητες:. α β = α β. α α = β β. α+ β α + β Οι ιδιότητες αυτές, όµως, µπορούν να αποδειχθούν και µε τη βοήθεια των προηγούµενων συµπερασµάτων. ΑΠΟ ΕΙΞΗ. Επειδή και τα δύο µέλη της ισότητας α β = α β είναι µη αρνητικοί αριθµοί, έχουµε διαδοχικά: ( ) α β = α β α β = α β α β = α β ( ) α β α β. Αποδεικνύεται µε τον ίδιο τρόπο. =, που ισχύει.

. Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού 9. Επειδή και τα δύο µέλη της ανισότητας α+ β α + β είναι µη αρνητικοί αριθµοί, έχουµε διαδοχικά: ( ) α+ β α + β α+ β α + β ( ) α+ β α + β + α β + + + + α β αβ α β αβ αβ αβ, που ισχύει. Είναι φανερό ότι η ισότητα αβ= αβ ισχύει αν και µόνο αν αβ 0, δηλαδή αν και µόνο αν οι αριθµοί α και β είναι οµόσηµοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς είναι ίσος µε µηδέν. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητα α β= α β ισχύει και για περισσότερους παράγοντες. Συγκεκριµένα: α α... α = α α... α ν Στην ειδική µάλιστα περίπτωση που είναι α = α =... = αν = α, έχουµε: ν ν α = α Η ανισότητα α+ β α + β ισχύει και για περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριµένα: Απόσταση δυο Αριθµών α + α +... + α α + α +... + α ν Ας πάρουµε τώρα δυο αριθµούς, για παράδειγµα τους και, που παριστάνονται πάνω στον άξονα µε τα σηµεία Α και Β αντιστοίχως. ν ν Το µήκος του τµήµατος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθµών και. Παρατηρούµε ότι ( ΑΒ ) = 5= ( ) = ( ). Γενικότερα, ας θεωρήσουµε δυο αριθµούς α και βπου παριστάνονται πάνω στον άξονα µε τα σηµεία Α και Β αντιστοίχως.

40. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το µήκος του τµήµατος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθµών α και β, συµβολίζεται µε d( α, β) και είναι ίση µε α β. Είναι δηλαδή: Προφανώς ισχύει d( α, β) d( βα, ) d( α, β) = α β =. Στην περίπτωση µάλιστα που είναι α< β, τότε η απόσταση των α και β είναι ίση µε β α και λέγεται µήκος του διαστήµατος [ α, β ]. Ας θεωρήσουµε τώρα ένα διάστηµα [ α, β ] και ας ονοµάσουµε Α και Β τα σηµεία που παριστάνουν στον άξονα τα άκρα α και β αντιστοίχως. Αν Μ( 0) είναι το µέσον του τµήµατος AB, τότε έχουµε Ο αριθµός ( ) ( ) ( MA) = ( MB) d, α = d, β α+ β 0 0 0 α = 0 β α= β, ( αφού α< < β) 0 0 = α+ β 0 α+ β 0 = που αντιστοιχεί στο µέσον Μ του τµήµατος ΑΒ λέγεται κέντρο του διαστήµατος [ α, β ], ενώ ο αριθµός του [ α, β ]. 0 β α ρ= λέγεται ακτίνα Ως µήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστηµάτων ( α, β ), [ α, β ) και ( α, β ] ορίζουµε το µήκος, το κέντρο και την ακτίνα του διαστήµατος [ α, β ]. Έστω τώρα ότι θέλουµε να βρούµε τους πραγµατικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει <.

. Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού 4 Από τον ορισµό της απόστασης έχουµε: < d, < Γενικά: Για R και ρ> 0, ισχύει: 0 ( ) < <+, + ( ) (, ) < ρ ρ + ρ 0 0 0 ρ< < + ρ 0 0 ηλαδή, οι αριθµοί που ικανοποιούν τη σχέση 0 < ρ είναι τα σηµεία του διαστήµατος( 0 ρ, 0 + ρ) που έχει κέντρο το 0 και ακτίνα ρ. Στην ειδική περίπτωση που είναι 0 = 0, έχουµε: < ρ ( ρ, ρ) ρ< < ρ. Για παράδειγµα, < (, ) < <. Έστω, τώρα, ότι θέλουµε να βρούµε τους πραγµατικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει >. Από τον ορισµό της απόστασης έχουµε: > d, > Γενικά: ( ) < ή > + (, ) (, ) + +.

4. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Για R και ρ> 0, ισχύει: 0 (, ) (, ) > ρ ρ + ρ + 0 0 0 < ρ ή > + ρ 0 0 ηλαδή οι αριθµοί που ικανοποιούν τη σχέση 0 > ρ αντιστοιχούν σε σηµεία Μ( ) του άξονα µεγαλύτερη τουρ. που απέχουν από το σηµείο Κ( ) απόσταση 0 Στην ειδική περίπτωση που είναι 0 = 0,η τελευταία ισοδυναµία παίρνει τη µορφή: > ρ < ρ ή > ρ Για παράδειγµα: > < ή >. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιµές. i) π ii) π 4 iii) π + 4 π iv).. Αν < < 4, να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιµή την παράσταση + 4. Να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιµή την παράσταση 4, όταν: i) < ii) > 4.

. Απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού 4 4. Αν α β, να βρείτε την τιµή της παράστασης α β β α. 5. Αν 0 και y 0, να βρείτε τις τιµές που µπορεί να πάρει η παράσταση Α= + y y 6. Η διάµετρος ενός δίσκου µετρήθηκε και βρέθηκε,7dm. Το λάθος της µέτρησης είναι το πολύ 0,005dm. Αν D είναι η πραγµατική διάµετρος του κύκλου, τότε: i) Να εκφράσετε την παραπάνω παραδοχή µε τη βοήθεια της έννοιας της απόστασης ii) Να βρείτε µεταξύ ποιών ορίων βρίσκεται η τιµή D. 7. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως δείχνει η πρώτη γραµµή του. ΠΙΝΑΚΑΣ Απόλυτη Τιµή Απόσταση ιάστηµα ή ένωση διαστηµάτων 4 d(,4) [, 6 ] + < 4 4 > + 4 d(,5) < d(, ) > d(,5) d(, ) (, ) [ 5, ] (, ] [, + ) (, 5) (, + )

44. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Β ΟΜΑ ΑΣ. Να αποδείξετε ότι α β α γ + γ β.. Αν α> β, να δείξετε ότι: i) α+ β+ α β α= ii) α+ β α β β =. Τι σηµαίνει για τους αριθµούς και y : i) Η ισότητα + y= 0 ; ii) Η ανισότητα + y > 0 ; 4. Έστω 0< α< β. i) Να διατάξετε από τον µικρότερο στο µεγαλύτερο τους αριθµούς α β, και β α. ii) Να δείξετε ότι στον πραγµατικό άξονα ο αριθµός α β βρίσκεται πλησιέστερα στο από ότι ο αριθµός β α. 5. Αν < 0, και y 4 < 0,, να εκτιµήσετε την τιµή της περιµέτρου των παρακάτω σχηµάτων:

.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τετραγωνική Ρίζα µη Αρνητικού Αριθµού Στο Γυµνάσιο µάθαµε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας µη αρνητικού α- ριθµού και τις ιδιότητές της. Συγκεκριµένα µάθαµε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ H τετραγωνική ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Μπορούµε εποµένως να πούµε ότι: Αν α 0, η α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης = α. Για τις τετραγωνικές ρίζες µη αρνητικών αριθµών γνωρίσαµε τις παρακάτω ιδιότητες: α = α α β = α β α α β = β ν-οστή Ρίζα µη Αρνητικού Αριθµού Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να κατασκευάσουµε µια κυβική δεξαµενή χωρητικότητας 64 κυβικών µέτρων και ζητάµε την πλευρά της. Αν µέτρα είναι η πλευρά της δεξαµενής, τότε ο όγκος της θα είναι κυβικά µέτρα και εποµένως θα ισχύ- ει: = 64. Αναζητούµε λοιπόν έναν αριθµό που, όταν υψωθεί στον κύβο, θα µας δώσει 64. Ο αριθµός αυτός, αφού παριστάνει µήκος, πρέπει να είναι θετικός. Με δοκιµές βρίσκουµε ότι ο ζητούµενος

46. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ αριθµός είναι ο 4, διότι 4 = 64. Ο αριθµός 4 λέγεται τρίτη ρίζα του 64 και συµβολίζεται µε 64. ηλαδή 64 =4. Η τρίτη ρίζα ενός αριθµού λέγεται και κυβική ρίζα του αριθµού αυτού. Γενικεύοντας τώρα τα παραπάνω για κάθε θετικό ακέραιο ν, δίνουµε τον ακόλουθο ορισµό. ΟΡΙΣΜΟΣ Η ν-οστή ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε ν α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός () που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει τον α. Επίσης γράφουµε Μπορούµε εποµένως να πούµε ότι: α = α και α = α. Αν α 0, τότε η ν α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης ν = α. ΣΧΟΛΙΟ Είναι 4 0 = 0000, οπότε 4 0000 0 =. Είναι επίσης και ( ) 4 0 = 0000. Όµως, δεν επιτρέπεται να γράφουµε 4 0000= 0, αφού, σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό, η 0000 4 =. Ιδιότητες των Ριζών 4 0000 είναι η µη αρνητική λύση της εξίσωσης Από τον ορισµό της ν-οστής ρίζας ενός µη αρνητικού αριθµού α, συµπεραίνουµε αµέσως ότι: Αν α 0, τότε: ( ) ν ν α = α και ν ν α = α Αν α 0 και ν άρτιος, τότε: ν ν α = α. () Αποδεικνύεται ότι υπάρχει και είναι µοναδικός.

.4 Ρίζες πραγµατικών αριθµών 47 Για παράδειγµα: 6 6 =, ενώ ( ) 6 6 = =. Ισχύουν όµως και οι ακόλουθες ιδιότητες, οι οποίες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας: Αν α, β 0, τότε:. ν α ν β = να β ν α α. ν (εφόσον β 0) ν β = β. 4. µ ν µν α = α νρ α = α µρ ν µ ΑΠΟ ΕΙΞΗ. Έχουµε: ν ν ν ν ν ν ν ( ) ( ) ν ν ν ( α ν ) ( β) α β α α = α β α α = α β. Αποδεικνύεται όπως και η.. Έχουµε: 4. Έχουµε: = α β= α β, που ισχύει. ν ( ) ( ) µ ν µ ( ν α) α µν µ µ µν ν µν µν α = α α = α = ν ν ( α) α, που ισχύει. = νρ ( ) ρ µρ ν ρ µρ ν ρ µ ν µ α = α = α = α ν ΣΧΟΛΙΟ Η ιδιότητα. ισχύει και για περισσότερους από δυο µη αρνητικούς παράγοντες. Συγκεκριµένα, για µη αρνητικούς αριθµούς α, α,..., ακ ισχύει: α α... α = α α... α ν ν ν κ ν κ

48. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στην ειδική µάλιστα περίπτωση που είναι α = α =... = α = α 0, ισχύει: α ν κ ν ( α ) κ =, οπότε, λόγω της ιδιότητας, για α, β 0έχουµε =. ν ν ν α β α β κ υνάµεις µε Ρητό Εκθέτη Στη συνέχεια θα ορίσουµε παραστάσεις της µορφής µ ν a, όπου α> 0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τις οποίες θα ονοµάσουµε δυνάµεις µε ρητό εκθέτη. Ο ορισµός θα γίνει µε τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές µας ιδιότητες των δυνάµεων µε ακέραιο εκθέτη. Τι θα πρέπει, για παράδειγµα, να σηµαίνει το p η ιδιότητα ( α ) q 5 ; Αν απαιτήσουµε να ισχύει pq = a και για δυνάµεις µε ρητό εκθέτη, τότε θα είναι 5 5 5 5 = =. Άρα πρέπει ο ηλαδή πρέπει να είναι 5 5 να είναι λύση της εξίσωσης 5 =. Γενικά: 5 =. ΟΡΙΣΜΟΣ Αν a> 0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουµε: a µ ν = α ν µ µ Επιπλέον, αν µ, ν θετικοί ακέραιοι, τότε ορίζουµε 0 ν = 0. Για παράδειγµα: 8 8 64 4 = = = και 4 4 7 = 7 = = =. 4 4 4 7 7 Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ριζών αποδεικνύεται ότι οι ιδιότητες των δυνάµεων µε ακέραιο εκθέτη ισχύουν και για δυνάµεις µε ρητό εκθέτη. Το γεγονός αυτό διευκολύνει το λογισµό µε τα ριζικά. Έτσι έχουµε για παράδειγµα είναι: 7 + 4 4 4 7 = = = =. α α α α α α α

.4 Ρίζες πραγµατικών αριθµών 49 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Αν a και βείναι µη αρνητικοί αριθµοί, να αποδειχθεί η ισοδυναµία: a < < ν β α ν β ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έχουµε: ν ν ν ( ) ( ) < < ν α ν β α β α< β, ν που ισχύει. η Να τραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναµες, χωρίς ριζικά στους παρονοµαστές: 5 0 6 i) `ii) 5 iii) 7+ 5. ΛΥΣΗ Έχουµε ii) iii) iv) 5 5 5 5 = = = = 5. ( ) 0( 5+ ) 0( 5+ ) 0( 5+ ) 5( 5+ ) ( )( ) 5 ( ) 6( 7 5) 6( 7 5) 6( 7 5) ( )( ) 7 5 ( ) ( ) 0 = = = = 5 5 5+ 5. ( ) 6 = = = = 7 5. 7+ 5 7+ 5 7 5 7 5 η Να αποδειχθεί ότι: 6 0 5 40 = 0 =. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έχουµε: 6 6 6 ( ) ( ) 0 5 40 = 0 5 40 = 5 5 5 6 6 6 = 5 5 5 = 5 5 5 + + 6 = 5 = 5= 0

50. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ. Να υπολογίσετε τις ρίζες: i) 00, 000, 4 0000, 5 00000. ii) 4, 8, 4 6, 5. iii) 0,0, 0,00, 4 0,000, 5 0,0000.. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς ριζικά i) ( π 4) ii) ( 0) iii) ( ). Να αποδείξετε ότι: ( 5) + ( 5) =. iv) 4 5 + 5+ + = 8. 4. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) 5. Να αποδείξετε ότι: i) ( 8 8) ( 50+ 7 ) = 4. ii) ( 8+ 7+ ) ( 6 ) =. 6. Να αποδείξετε ότι: i) + = ii) + 5 5 =. 7. Να αποδείξετε ότι: i) = ii) 5 =. 8. Να αποδείξετε ότι: i) iii) 4 = =. 6 5 5 5 4 5 5 ii) = 9 8 6 5 8 9. Να αποδείξετε ότι: 5 i) = 0 ii) 75 6 75 = 8. 50

.4 Ρίζες πραγµατικών αριθµών 5 0. Να µετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ρητούς παρονοµαστές: i) 4 5. Να αποδείξετε ότι ii) 8 7 5 iii) 7+ 6 7 6 0 6+ 98 9 + i) = 6 ii) =, 6 50 9 + 7 αφού αναλύσετε τα υπόριζα σε γινόµενα πρώτων παραγόντων. Β ΟΜΑ ΑΣ. i) Να αποδείξετε ότι = 5+ 6 ii) Αν α, β > 0 να αποδείξετε ότι α α β β = ( α+ β) + αβ. α β. i) Να βρείτε τα αναπτύγµατα των ( + 7) και ( 7) ii) Να αποδείξετε ότι: 7+ 7 7 7 = 6... i) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός + είναι ρητός. ii) Αν α θετικός ρητός, να αποδείξετε ότι ο α+ α είναι ρητός. 4. Να αποδείξετε ότι 5 i) + = 4 5 5+ ii) = 8. ( ) ( + ) 5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο οι κάθετες πλευρές του είναι ΑΒ= ακαι ΑΓ = β. i) Να υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ του τριγώνου. ii) Με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας να αποδείξετε ότι: α+ β < α+ β. iii) Για µη αρνητικούς αριθµούς ακαι β, να αποδείξετε ότι α+ β α+ β. Πότε ισχύει η ισότητα;

5. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράµµα Α, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ και όλες τις τιµές της µεταβλητής. ιαφορετικά να κυκλώσετε το γράµµα Ψ.. ( α= β και γ= δ) α+ γ= β+ δ. Α Ψ. Αν. α = αβ, τότε α= β. Α Ψ ( α β) α β + = +. Α Ψ 4. Το άθροισµα α+ β δύο άρρητων αριθµών α και β είναι άρρητος αριθµός 5. Το γινόµενο α β δύο άρρητων αριθµών α και β είναι άρρητος αριθµός. Α Ψ Α Ψ 6. α> β και γ< δ,τότε α γ> β δ. Α Ψ 7. Αν α > αβ, τότε α> β. Α Ψ α 8. Αν β >, τότε α> β. Α Ψ 9. Αν α> β και α> β, τότε α> 0. Α Ψ 0. Αν α>, τότε α>. α Α Ψ. Αν α< β< 0, τότε α > β. Α Ψ. Αν α> και β >, τότε αβ > 6. Α Ψ. Αν α< και β<, τότε αβ > 6. Α Ψ 4. α αβ+ β. Α Ψ 4 0 5 0 5. ( α ) ( α ) + + > 0. 6. ( α ) ( a ) + + > 0. 7. ( α β) ( α β) Α Ψ Α Ψ + + = 0 α= β= 0. Α Ψ 8. Αν α β 0, τότε α+ β = α + β. Α Ψ 9. Αν α = β, τότε α= β. Α Ψ 0. α = α. Α Ψ

.4 Ρίζες πραγµατικών αριθµών 5. Αν α 0, τότε ( α) = α. Α Ψ. Αν α β 0, τότε µπορούµε πάντοτε να γράφουµε α β = α β. Α Ψ. Αν β 0, τότε α β = α β. Α Ψ 4. α + β = α+ β. Α Ψ 5. Αν α 0, τότε µπορούµε πάντοτε να γράφουµε 6 α = α. Α Ψ 6. Μπορούµε πάντοτε να γράφουµε 4 α = α. Α Ψ 7. 5 5 5 > 5. Α Ψ 8. >. Α Ψ II. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις.. Αν < < 5 τότε η παράσταση + 5 είναι ίση µε: Α) 7 Β) 7 Γ) ). 0 0. Αν 0< < 0 τότε η τιµή της παράστασης + είναι ίση µε: 0 0 Α) Β) Γ) 0 ) 0.. Αν α= 6 0, β = και γ= τότε: Α) α< β< γ Β) α< γ< β Γ) γ< α< β ) β< γ< α. 4. Ο αριθµός 9+ 4 5 είναι ίσος µε: Α) + 5 Β) 4 + 5 Γ) + 5 ) 4 + 5. III. Στον παρακάτω άξονα τα σηµεία Ο, Ι, Α και Β παριστάνουν τους αριθµούς 0,, α και β αντιστοίχως, µε 0 < α < και β>, ενώ τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ, Η και Θ παριστάνουν του αριθµούς α, β, α, β, α και β, όχι όµως µε την σειρά που αναγράφονται. Να αντιστοιχίσετε τα σηµεία Γ,, Ε, Ζ, Η και Θ µε τους αριθµούς που παριστάνουν. Γ Ε Ζ Η Θ