ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ Αγγελίδης Π., Επίκ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, ΠΕΙΡΑΜΑ, ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Η ανάλυση των υδραυλικών και γενικότερα των φυσικών φαινομένων ακολούθησε κατά το παρελθόν και ακολουθεί και σήμερα δύο βασικές κατευθύνσεις: Εμπειρική Θεωρητική ΑΝΑΛΥΣΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ (ΦΥΣΙΚΩΝ) ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΕΜΠΕΙΡΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, ΠΕΙΡΑΜΑ, ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ο εμπειρικός τρόπος ανάλυσης των φαινομένων ακολουθεί σε γενικές γραμμές τα παρακάτω στάδια Παρατήρηση του φαινομένου. Γίνεται κατευθείαν Οι τυχόν μετρήσεις γίνονται κατά τη διάρκεια εξέλιξης του φαινομένου Παρουσιάζονται πολλές τεχνικές δυσκολίες, όπως ο χρόνος και οι μη ελεγχόμενες συνθήκες (π.χ. μέτρηση παροχής ποταμού κατά τη διάρκεια πλημμύρας κατά τη νύχτα, προβληματική προσέγγιση, κ.λ.π.) Επανάληψη παρατήρησης κάτω από ελεγχόμενες συνθήκες εργαστηρίου (πειραματική διαδικασία) Ταξινόμηση, έλεγχος και επεξεργασία αποτελεσμάτων Εξαγωγή ποσοτικών συμπερασμάτων και προσδιορισμός μαθηματικής σχέσης, συνήθως αγλεβρικής μορφής

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, ΠΕΙΡΑΜΑ, ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μειονεκτήματα εμπειρικής μεθόδου Υψηλό κόστος πειραματικών εγκαταστάσεων Υψηλό κόστος διαδικασίας διεξαγωγής Υψηλό κόστος επεξεργασίας αποτελεσμάτων Πλεονεκτήματα εμπειρικής μεθόδου Η αμεσότητα του ερευνητή με το υπό μελέτη φαινόμενο Η δυνατότητα κατευθείαν παρατήρησης των ιδιαιτεροτήτων κάθε φαινομένου

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, ΠΕΙΡΑΜΑ, ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ο θεωρητικός τρόπος ανάλυσης ακολουθεί τα παρακάτω στάδια Φυσικομαθηματική ανάλυση του φαινομένου. Γίνεται με βάση τους νόμους της Φυσικής Γίνονται πρώτα οι απαραίτητες απλουστευτικές παραδοχές Τα φυσικά φαινόμενα είναι συνήθως πολύπλοκα και με αλληλεπιδράσεις αναρίθμητων παραγόντων Πρέπει να γίνει αξιολόγηση της βαρύτητας που παρουσιάζει ο κάθε παράγοντας και να παραλειφθούν εκείνοι που επιδρούν ελάχιστα, ώστε να είναι δυνατή η εξαγωγή κάποιας μαθηματικής σχέσης, που να περιγράφει το φαινόμενο ικανοποιητικά.

Προσδιορισμός μαθηματικής έκφρασης που να περιγράφει τις σχέσεις των εμπλεκόμενων μεγεθών. Η μαθηματική έκφραση είναι συνήθως μία ή περισσότερες διαφορικές εξισώσεις. Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης ή του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων, που είναι συνήθως εξισώσεις με μερικές παραγώγους των οποίων η αναλυτική επίλυση είναι δυνατή μόνο σε ελάχιστες περιπτώσεις. Έτσι επί αιώνες τουλάχιστον στα υδραυλικά προβλήματα ο κύριος τρόπος ανάλυσης παρέμενε ο πειραματικός Τις τελευταίες δεκαετίες κατέστη δυνατή η επίλυση με αριθμητικές μεθόδους

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ, ΠΕΙΡΑΜΑ, ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μειονεκτήματα θεωρητικής μεθόδου Οι απλουστευτικές παραδοχές πολλές φορές αλλοιώνουν σημαντικά τα αποτελέσματα με επακόλουθο μη ακριβείς λύσεις Πλεονεκτήματα θεωρητικής μεθόδου Το μειωμένο κόστος ανάλυσης Η ευρύτερη ισχύς των αποτελεσμάτων Επιστημονικά ορθή είναι η συνδυασμένη χρήση των δύο μεθόδων, δηλαδή η θεωρητική ανάλυση και παράλληλα πειραματική επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων των υπολογισμών

Μέτρηση είναι η σύγκριση ενός μεγέθους με ένα σταθερό μέγεθος που ονομάζεται μονάδα Κάθε μετρούμενη ποσότητα χαρακτηρίζεται από την αριθμητική τιμή και τη μονάδα μέτρησης. Η αριθμητική τιμή δεν έχει έννοια αν δεν συνοδεύεται από την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης Η μέτρηση όπως ορίθηκε παραπάνω αντιστοιχεί στη σχετική μέτρηση. Στις σχετικές μετρήσεις χρησιμοποιούνται πρότυπα όργανα, όπως π.χ. μέτρα μήκους, σταθμά, θερμόμετρα, αντιστάσεις, χρονόμετρα, κ.λ.π. Επειδή είναι αδύνατο σε κάθε περίπτωση η μέτρηση να γίνεται με σύγκριση με την πρότυπη μονάδα, χρησιμοποιείται η έμμεση υπολογιστική μέθοδος.

Ημέθοδοςαυτήαποτελείτηναπόλυτη μέτρηση, που είναι η μέτρηση στην οποία το ζητούμενο μέγεθος προκύπτει εμμέσως με υπολογισμό άλλων μεγεθών μη ομοιειδών προς το μετρούμενο. Π.χ. για τον υπολογισμό της απόστασης ενός πλανήτη μετράται ο χρόνος μετάβασης και επιστροφής ηλεκτρομαγνητικού κύματος γνωστής ταχύτητας. Με τις κατάλληλες υποθέσεις περί ευθυγράμμου τροχιάς και σταθερότητας της ταχύτητας υπολογίζεται έμμεσα η απόσταση

ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Μέτρο Το 10-7 της απόστασης του Βόρειου πόλου από τον Ισημερινό στον μεσημβρινό που διέρχεται από το Παρίσι Η απόσταση2 χαραγών ενός πρότυπου, σε θερμοκρασία 0 0 C, κατασκευασμένου από κράμα Λευκόχρυσου Ιριδίου, το οποίο κατατέθηκε στο ιεθνές γραφείο μέτρων και σταθμών των Σεβρών Στις 14-11-1960 ορίσθηκε το μέτρο, ώστε να μπορεί να αναπαραχθεί παντού. Το πρότυπο αυτό μήκος είναι 1650763.73 το μήκος κύματος στο κενό της ερυθράς ακτινοβολίας του στοιχείου Κρυπτόν 86, που αντιστοιχεί στη μετάπτωση 5d-2p (ακρίβεια προτύπου 10-7 ).

ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Χιλιόγραμμο Ορίσθηκε η μάζα νερού όγκου 1000 cm 3 στη θερμοκρασία μέγιστης πυκνότητας (4 0 C). Με βάση αυτό τον ορισμό κατασκευάσθηκαν πρότυπα από κράμμα Ιριδίου (Ir) Λευκόχρυσου (Pt) με ακρίβεια μέτρησης 10-6 περίπου. Για ευκολότερη αναπαραγωγή των προτύπων αυτών ορίσθηκε ως πρότυπο μάζας η μάζα του πυρήνα C 12.

ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ευτερόλεπτο Για τον ορισμό του είναι απαραίτητο ένα περιοδικό φαινόμενο σταθερής περιόδου. Έτσι στην αρχή ορίσθηκε ως δευτερόλεπτο το 1/86400 της μέσης διάρκειας της μέρας, της διάρκειας δηλαδή μεταξύ δύο διαδοχικώνμεσουρανήσεωνσεέναντόπο. Όμως το πρότυπο αυτό δεν είναι ούτε σταθερό ούτε προσιτό. Τον Οκτώβριο του 1964 ορίσθηκε ως πρότυπο χρόνου η συχνότητα μεταπτώσεως του ατόμου Cs133 με τιμή 9192631770 c/s, αλλά και αυτή δεν θεωρείται ικανοποιητική.

ευτερόλεπτο Σήμερα γίνονται προσπάθειες μέσω των λεγόμενων ωρολογίων αμμωνίας, που στηρίζονται στην συχνότητα αναστροφής, του μορίου αμμωνίας, όταν προσπέσει κβαντική ακτινοβολία ορισμένης ενέργειας. Το μόριο απορροφά 1 quantum ενέργειας και αναστρέφεται όπως μια ομπρέλλα στον άνεμο. Η ακρίβεια στην περίπτωση αυτή είναι της τάξεως των 2 αναστροφών ανά 10 9 s.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΑ ΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Οι φυσικές ποσότητες που υπεισέρχονται στα διάφορα φαινόμενα είναι τόσο πολλές, ώστε ο καθορισμός προτύπου μεγέθους για κάθε ποσότητα είναι πρακτικά αδύνατη. Ορισμένες φυσικές ποσότητες μπορούν να συσχετιστούν μεταξύ τους, άρα και οι αντίστοιχες μονάδες τους έχουν αριθμητικές σχέσεις μεταξύ τους. Έτσι μπορούμε να διακρίνουμε τα φυσικά μεγέθη σε βασικά, όπου καμμία συσχέτιση μεταξύ τους δεν είναι δυνατή και τα παραγόμενα. Π.χ. καμμία συσχέτιση δεν υπάρχει μεταξύ διαστήματοςκαιχρόνουήχρόνουκαιμάζαςενόςσώματος. Η ταχύτητα όμως ενός συστήματος μπορεί να προκύψει από τον συσχετισμό μήκους και χρόνου.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΟΝΑ ΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Συνδυασμοί βασικών μονάδων αποτελούν το σύστημα μονάδων. CGS μήκος σε cm, μάζα σε gr και χρόνος σε sec Τεχνικό Σύστημα Μονάδων μήκος σε m, δύναμη σε Kp και χρόνος σε sec MKS μήκος σε m, μάζα σε Kg και χρόνος σε sec System International (SI) μήκος σε m, μάζα σε Kg, χρόνος σε sec και θερμοκρασία σε Kelvin (K) Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος σε Amper (A) Ένταση φωτεινής ακτινοβολίας σε κηρία (Cd)

ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1.1 Ποσότητα Εξίσωση Διαστάσεις Μονάδα Σύμβολο Γεωμετρική Γωνία Τόξο / Ακτίνα (λόγος) [M 0 L 0 T 0 ] ακτίνιο rad Μήκος (Εμπεριέχονται όλες οι [L] μέτρο m μονάδες μήκους) Eπιφάνεια Μήκος Μήκος [L 2 ] τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Επιφάνεια Μήκος [L 3 ] κυβικό μέτρο m 3 1η ροπή επιφάνειας Επιφάνεια Μήκος [L 3 ] μέτρο στην m 3 τρίτη 2η ροπή επιφάνειας Επιφάνεια Μήκος 2 [L 4 ] μέτρο στην m 4 τετάρτη Παραμόρφωση Επέκταση Μήκος [L 0 ] λόγος Κινηματική Χρόνος [T] δευτερόλεπτο s Ταχύτητα, Απόσταση / Χρόνος [LT -1 ] μέτρο ανά m s -1 γραμμική Επιτάχυνση, γραμμική Γραμμική ταχύτητα / Χρόνος [LT -2 ] δευτερόλεπτο μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο Ταχύτητα, γωνιακή Γωνία / Χρόνος [T -1 ] ακτίνια ανά δευτερόλεπτο Επιτάχυνση, Γωνιακή ταχύτητα / γωνιακή Χρόνος [T -2 ] ακτίνια ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο Παροχή Όγκος / Χρόνος [L 3 T -1 ] κυβικά μέτρα ανά δευτερόλεπτο m s -2 rad s -1 rad s -2 m 3 s -1 Δυναμική Μάζα Δύναμη / Επιτάχυνση [M] χιλιόγραμμο kg Δύναμη Μάζα Επιτάχυνση [MLT -2 ] νευτώνιο N= kg m s -2 Βάρος Δύναμη [MLT -2 ] νευτώνιο N Πυκνότητα μάζας Μάζα / Όγκος [ML -3 ] χιλιόγραμμο ανά κυβικό μέτρο Ειδικό βάρος Βάρος / Όγκος [ML -2 T -2 ] νευτώνιο ανά κυβικό μέτρο kg m -3 N m -3

Πίεση (pressure) Τάση (stress) Μέτρο ελαστικότητας Ορμή (momentum) Στροφορμή Δύναμη / Επιφάνεια [ML -1 T -2 ] νευτώνιο ανά μέτρο στο τετράγωνο= Pascal Δύναμη / Επιφάνεια [ML -1 T -2 ] νευτώνιο ανά μέτρο στο Τάση / Σχετική Παραμόρφωση [ML -1 T -2 ] τετράγωνο νευτώνιο ανά μέτρο στο τετράγωνο Μάζα ταχύτητα [MLT -1 ] χιλιόγραμμομέτρο ανά δευτερόλεπτο Ροπή αδράνειας Γωνιακή ταχύτητα [ML 2 T -1 ] χιλιόγραμμοτετραγωνικό μέτρο ανά δευτερόλεπτο Έργο, (ενέργεια) Δύναμη Απόσταση [ML 2 T -2 ] νευτώνιομέτρο = joule Ισχύς Έργο / Χρόνος [ML 2 T -3 ] joule ανά (power) δευτερόλεπτο = Watt Ροπή δύναμης Δύναμη Απόσταση [ML 2 T -1 ] νευτώνιομέτρο Ιξώδες, δυναμικό Διατμητική τάση / Βαθμίδα [ML -1 T -1 ] χιλιόγραμμο ταχύτητας ανά μέτρο- Ιξώδες, κινηματικό Δυναμικό ιξώδες / Πυκνότητα μάζας Επιφανειακή τάση ( προσοχή : δεν έχει διαστάσεις τάσης) δευτερόλεπτο [L 2 T -1 ] τετραγωνικό μέτρο ανά δευτερόλεπτο Δύναμη /μήκος [MT -2 ] νευτώνιο ανά μέτρο = χιλιόγραμμο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο N m -2 =Pa N m -2 N m -2 kgms -1 kg m 2 s -1 N m = j j s -1 = W N m kg m -1 s -1 m 2 s -1 N m -1 = kg s -2

Κάθε φυσική ποσότητα μπορεί να εκφρασθεί σε μια από τις βασικές μονάδες του συστήματος ή από τον συνδυασμό αυτών, ήτοι με μια έκφραση της μορφής M α L b T c θ d. Όταν α=b=c=d=0, τότε πρόκειται για αδιάστατη ποσότητα Οι μαθηματικές πράξεις που είναι δυνατές μεταξύ διαστάσεων των φυσικών μεγεθών είναι: πολλαπλασιασμός, διαίρεση και ύψωση σε δύναμη. Προσθέσεις και αφαιρέσεις είναι δυνατές μόνο μεταξύ διαστατικώς ομοίων ποσοτήτων. Όλοι οι εκθέτες, λογάριθμοι, τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι αδιάστατες ποσότητες 1 g t 2 2 χ = v g t = Q = A. V V = 2 g H Να γίνει έλεγχος διαστατικής ομοιογένειας:

ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Τα αποτελέσματα κάθε μέτρησης είναι ένας πραγματικός αριθμός που η ακρίβειά του εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου μέτρησης Π.χ. για μήκος (ΑΒ) 0.343mή 34.3cm ή 343mm έχει ακρίβεια χιλιοστού του μέτρου. Βασικός κανόνας: Η ακρίβεια αλγεβρικού αθροίσματος είναι ίση με την ακρίβεια του όρου που έχει τη μικρότερη ακρίβεια π.χ. 3.72m+4.6m+7m=15m και όχι 15.32m Αριθμός σημαντικών ψηφίων είναι ο αριθμός των ψηφίων του αποτελέσματος της μέτρησης μέχρι το τελευταίο μετρηθέν με ακρίβεια ψηφίο π.χ. 3.00x10 2 3 σημαντικά ψηφία π.χ. 30x10 2 2 σημαντικά ψηφία π.χ. 3x10 2 1 σημαντικό ψηφίο

Οι χαράξεις στην κλίμακα ενός οργάνου χρησιμεύουν για τον προσδιορισμό των σημαντικών ψηφίων της μέτρησης. Π.χ. το αποτέλεσμα της παρακάτω μέτρησης είναι 6.4mm, όπου το 6 αποτελείτοσύνολοτωνσημαντικώνψηφίωνμέτρησηςκαιο τελευταίος αριθμός 4 λαμβάνεται συνήθως κατ εκτίμηση. Όταν πρόκειται για παράγωγα μεγέθη, όπως π.χ. το εμβαδό ενός τετραγώνου με πλευρά 6.4mm, προκύπτει 40.96 mm 2, που δεν μπορεί να θεωρηθεί σωστό, γιατί θα σήμαινε ότι το κατ εκτίμηση ψηφίο θα ήταν το τελευταίο 0.06, γεγονός που δεν αληθεύει.

Συνήθως ως αριθμός σημαντικών ψηφίων λαμβάνεται ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων που παράγονται με τα λιγώτερα σημαντικά ψηφία. Π.χ. 2.23χ3.1=7.9 αντί του 7.913 Γραμμικός βερνιέρος είναι ένα όργανο που χρησιμεύει στην αύξηση της ακρίβειας της μέτρησης μηκών. Περιλαμβάνει μια μικρή κλίμακα δίπλα στην κύρια κλίμακα μέτρησης με συνολικό μήκος n-1 διαιρέσεων. Έτσι η κάθε διαίρεση είναι μικρότερη κατά 1/n. Για την μέτρηση ενός μήκους τίθεται η αρχή της κλίμακας του βερνέρου, ώστε να συμπίπτει με το τέλος του μετρούμενου μήκους. Αν η n-ιοστή διαίρεση του βερνιέρου συμπίπτει με τη διαίρεση της κύριας κλίμακας τότε η τιμή του μετρούμενου μεγέθους είναι: α+(1/10)n.

ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Συστηματικά σφάλματα, οφείλονται στη διάταξη ή στα όργανα μετρήσεως και έχουν συνήθως σταθερή φορά (+ ή - ). Οφείλονται: Σε ατέλεια οργάνων μέτρησης (μέτρο, ζυγός, κ.λ.π.) Σε εξωτερικά αίτια. Π.χ. μέτρηση βάθους στηρίζεται στην αγωγιμότητα του νερού, η οποία όμως επηρεάζεται από τη θερμοκρασία και την αλατότητα Στον παρατηρητή. Π.χ. ταχύτητα αντίδρασης σε πάτημα χρονόμετρου. Τα συστηματικά σφάλματα ελέγχονται με αλλαγή της μεθόδου ή των οργάνων μέτρησης.

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Τυχαία σφάλματα, οφείλονται στην ανάγνωση των ενδείξεων των οργάνων και αλλοιώνουν τα αποτελέσματα κατά τη θετική ή αρνητική κατεύθυνση. Οφείλονται: Σε περιορισμένη ευαισθησία των οργάνων Σε ατέλειες των αισθητήριων οργάνων του παρατηρητή Στην αστάθεια των εξωτερικών συνθηκών Σε πλήθος άλλων αστάθμητων παραγόντων Τα τυχαία σφάλματα είναι πρακτικά αδύνατο να προσδιοριστούν ακριβώς και υπολογίζονται με στατιστικές μεθόδους.

Στατιστική επεξεργασία σφαλμάτων Κατά την επανάληψη μετρήσεων ενός μεγέθους παρατηρείται, ότι οι τιμές που προκύπτουν διαφέρουν μεταξύ τους Έκταση του συνόλου των τιμών λέγεται η μέγιστη διαφορά μεταξύ τους Μέση τιμή xi fx i i N N x= N x= Ο μέσος όρος θεωρείται η πιθανότερη τιμή της μέτρησης, η οποία δεν ταυτίζεται απαραίτητα με την πραγματική τιμή Απόκλιση λέγεται ο μέσος όρος των απολύτων τιμών των διαφορών τιμών από τον μέσο όρο d= N x i N x N

Στατιστική επεξεργασία σφαλμάτων ιασπορά σ 2 σ = 2 N ( x x) 2 i N Τυπική απόκλιση σ σ= N ( x x) 2 i N Υπολογισμός σφάλματος μετρήσεως Αν x* είναι η πραγματική τιμή ενός μεγέθους και κατά την μέτρηση προέκυψε τιμή x i τότε το σφάλμα μετρήσεως είναι: e i =x* - x i To σφάλμα e i μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ώστε Σ e i =0, για επαρκή αριθμό μετρήσεων (Ν>30)

Στην πράξη η πραγματική τιμή δεν είναι γνωστή, γιαυτό αντί της τιμής αυτής χρησιμοποιείται η πιθανή τιμή, ήτοι η μέση τιμή. Τότε η απόκλιση είναι: d=x-x i i Σύμφωνα με την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων του Legendre η πλέον πιθανή τιμή κάποιου μεγέθους είναι εκείνη για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων των επί μέρους μετρήσεων είναι ελάχιστο. Μέσο σφάλμα μιας μεμονωμένης παρατήρησης είναι η ποσότητα: σ= ± N 2 e i

Υπολογισμός σφάλματος μετρήσεως Στην πράξη αντί του σφάλματος e i γνωρίζουμε την απόκλιση d i Γενικά ισχύει: e d η e = d + u Όπου u 0 για N 2 2 2 2 2 i i i i Στην πράξη δεχόμαστε ότι: e d N = N-1 2 2 i i οπότε μέσο ή κανονικό σφάλμα μιας μεμονωμένης παρατήρησης είναι: μ= ± 2 d i N-1

Υπολογισμός σφάλματος μετρήσεως Τέλος το μέσο σφάλμα του εξαγόμενου Ν παρατηρήσεων 2 d i M=± =+ N(N-1) μ Ν πιθανότερη τιμή μιας μεμονωμένης παρατήρησης: x ± μ πιθανότερη τιμή ενός μεγέθους είναι: x ± Μ

Κανόνες Το κανονικό σφάλμα αθροίσματος μεταβλητών ισούται με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των κανονικών σφαλμάτων κάθε μιας αν x=y 1 +y 2 2 2 x ± y y x σ = σ +σ x=x±σ 1 2 Αν x=y 1.y 2 2 2 ( ) ( ) σ = ± y σ + y σ x 1 y 2 y 1 2