Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή Ο άξονας των Χ παριστάνει τις χρονικές στιγμές όπου παίρνονται οι παρατηρήσεις (π.χ. ετήσια, μηνιαία, τριμηνιαία κλπ). Ο άξονας των Y παριστάνει τις τιμές της μεταβλητής στα αντίστοιχα χρονικά σημεία Παράδειγμα Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα 98-00 (σε χιλιάδες $) 5 7 3 5 9 3 3 33 39 44 55 66 69 58 67 75 8 0 95 Το διάγραμμα των τιμών (πολυγωνική γραμμή) δίνεται παρακάτω. 00 80 Άλλη γραφική μέθοδος είναι το ραβδόγραμμα. sales 60 40 0 3 8 3 8 tme
Είναι φανερό ότι οι πωλήσεις της εταιρείας έχουν ανοδική τάση Το παρακάτω διάγραμμα αφορά τριμηνιαία δεδομένα. 0 40 df.sales 0 0 df.hotel.come -0-60 -0-0 3 8 3 8 tme 3 8 3 8 tme Στο διάγραμμα οι τιμές δεν παρουσιάζουν τάση, ωστόσο είναι σαφές ότι η μεταβλητότητα των τιμών αυξάνεται με το πέρασμα του χρόνου. Το κύριο χαρακτηριστικό εδώ είναι η εποχικότητα, δηλαδή η μεταβολή των τιμών κατά τη διάρκεια ενός έτους, η οποία επαναλαμβάνεται με τον ίδιο τρόπο (π.χ. η ελάχιστη τιμή κάθε έτους αντιστοιχεί στο 3 ο τρίμηνο) 3 4
Παράδειγμα διαγράμματος το οποίο παρουσιάζει και τάση και εποχικότητα Δύο κύρια χαρακτηριστικά που παρουσιάζουν συχνά τα χρονολογικά δεδομένα hotel.come 00 50 00 50 3 8 3 8 tme. Τάση: η μακροχρόνια μεταβολή των τιμών της μεταβλητής ως προς το χρόνο Π.χ. αν παρατηρούμε την τιμή πώλησης ενός προϊόντος σε ένα διάστημα 0 ετών, περιμένουμε η τιμή αυτή να παρουσιάζει ανοδική τάση. Εποχικότητα: η μεταβολή των τιμών της μεταβλητής μέσα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα (π.χ. ένα έτος), σε περιπτώσεις όπου η μεταβολή αυτή παρουσιάζει μία επαναληπτικότητα (περιοδικότητα) Π.χ. αν παρατηρούμε τις αφίξεις τουριστών στην Ελλάδα σε μηνιαία βάση, αναμένουμε οι αφίξεις αυτές να είναι πολύ περισσότερες το καλοκαίρι από ότι τις άλλες εποχές 5 6
Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Χρησιμοποιούνται για ποσοτικά δεδομένα Ένα περιγραφικό μέτρο είναι ένας αριθμός ο οποίος μας δίνει κάποια πληροφορία για τη μορφή και τη δομή των δεδομένων Χρησιμοποιούνται ως βάση για τη στατιστική συμπερασματολογία (εκτιμητική, έλεγχος υποθέσεων) Π.χ. ο δειγματικός μέσος είναι μία εκτίμηση του πληθυσμιακού μέσου Είδη στατιστικών περιγραφικών μέτρων. Μέτρα κεντρικής τάσης (αριθμητικός, γεωμετρικός, αρμονικός μέσος). Μέτρα θέσης (διάμεσος, επικρατούσα τιμή, ποσοστημόρια) 3. Μέτρα διασποράς (διακύμανση, τυπική απόκλιση) 4. Μέτρα λοξότητας ή ασυμμετρίας (συντελεστής ασυμμετρίας του Pearso) 5. Μέτρα κύρτωσης (συντελεστής κύρτωσης) 7 8
Αριθμητικός μέσος Συμβολισμός Α. Πληθυσμιακός μέσος Έστω ένας πληθυσμός με Ν μονάδες,,...,. Ο πληθυσμιακός μέσος είναι μ + +... + Β. Αν επιλέξουμε ένα δείγμα,,..., μεγέθους, ο δειγματικός μέσος είναι + +... + Ιδιότητες. Αν a για όλα τα,,,, τότε a. Η τιμή του αριθμητικού μέσου βρίσκεται πάντα μεταξύ της ελάχιστης και της μέγιστης τιμής της μεταβλητής, m ma Πράγματι, ισχύει για κάθε, δηλαδή m, m m,,..., m, Προσθέτοντας όλες αυτές τις ανισότητες κατά μέλη παίρνω m και διαιρώντας δια προκύπτει ότι m. Παρόμοια αποδεικνύεται ότι ma. 9 0
3. Το άθροισμα των αποκλίσεων των τιμών της μεταβλητής από τον αριθμητικό μέσο είναι πάντα ίσο με μηδέν, δηλαδή ( ) 0 Πράγματι, με βάση τις ιδότητες των αθροισμάτων έχουμε ( ) από τον ορισμό του αριθμητικού μέσου. 4. Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών της μεταβλητής από μια ποσότητα a, δηλαδή το ( a) γίνεται ελάχιστο (ως προς a) όταν a. 0, Για την απόδειξη, θεωρούμε τη συνάρτηση f ( a) ( a) Για να είναι ένα σημείο ακρότατο της f, πρέπει να μηδενίζει την παράγωγό της, δηλαδή να ισχύει f ( a) Αλλά για την παράγωγο έχουμε f ( a) 0 ( a) + a Θέτοντας την ποσότητα αυτή ίση με μηδέν, παίρνουμε a Για να αποδείξουμε ότι πρόκειται για ελάχιστο, βρίσκουμε το πρόσημο της ης παραγώγου f ( a) > 0, άρα πράγματι η συγκεκριμένη τιμή ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση.
5. Αν σε όλες τις τιμές ενός συνόλου δεδομένων προσθέσουμε μία ποσότητα a, ο νέος αριθμητικός μέσος αυξάνεται κατά a. Δηλαδή, αν οι τιμές,,...,. έχουν μέσο, τότε οι τιμές + a, + a,...,. + a έχουν μέσο +a. Αυτό προκύπτει επειδή ( a) + + + + + a... + a + a 6. Αν πολλαπλασιάσουμε όλες τις τιμές ενός συνόλου δεδομένων με a, ο αριθμητικός μέσος πολλαπλασιάζεται επίσης επί a. Για την απόδειξη, έστω ότι τα αρχικά δεδομένα είναι,...,,. Πολλαπλασιάζοντας επί α, τα νέα δεδομένα είναι a, a,..., a και ο αριθμητικός μέσος για τα δεδομένα αυτά θα είναι ( a ) a a 3 4
7. Αν έχουμε σύνολα δεδομένων,,..., με μέσο + με μέσο, +,..., +. +, + +,..., + + 3 κοκ. + με μέσο 3,,..., + +... + + + +... + + + +... + +... + με μέσο τότε για τον αριθμητικό μέσο όλων των + παρατηρήσεων ισχύει ότι +... + +... + + + + 3 + +... + +... + + +... + + +... + +... + +... + Παράδειγμα Έστω ότι σε ένα δείγμα 50 ατόμων υπάρχουν 0 άντρες και 30 γυναίκες. Το μέσο ύψος των αντρών στο δείγμα είναι 74cm, ενώ το μέσο ύψος των γυναικών στο δείγμα είναι 67cm. Ζητάμε το μέσο ύψος των 50 ατόμων συνολικά. Λύση Εφαρμόζοντας την τελευταία ιδιότητα με 0, 30, 74, 67, παίρνουμε + 0 74 + 30 67 69,8. + 50 ή, για συντομία, 5 6
Γεωμετρικός μέσος Συμβολισμός Α. Πληθυσμιακός μέσος Έστω ένας πληθυσμός με Ν μονάδες,,...,. Ο πληθυσμιακός μέσος είναι G / / ( ) ( ) Π... Β. Αν επιλέξουμε ένα δείγμα,,..., μεγέθους, ο γεωμετρικός μέσος του δείγματος είναι g / / ( ) ( ) Π... Αρμονικός μέσος Ο αρμονικός μέσος Η για τον πληθυσμό ορίζεται από τη σχέση H ή, ισοδύναμα, + H +... + δηλαδή ο αντίστροφος του αρμονικού μέσου είναι ο αριθμητικός μέσος των αντιστρόφων των τιμών της μεταβλητής. Αντίστοιχα, για ένα δείγμα μεγέθους o αρμονικός μέσος είναι h, ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου των αντιστρόφων των τιμών στο δείγμα. 7 8