ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24)

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ και ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ (ΚΕΦ 24)

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα. Ένας πυκνωτής αποτελείται από 2 χωρικά διαχωρισμένους αγωγούς που φορτίζονται με και αντίστοιχα. Η χωρητικότητα ορίζεται ως ο λόγος του φορτίου στον αγωγό του πυκνωτή προς τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των αγωγών. C Εξαρτάται η χωρητικότητα μόνο από τον πυκνωτή και ανεξάρτητα από το φορτίο και το δυναμικό; V

Παράδειγμα 1: Πυκνωτής με παράλληλα πλακίδια Υποθέτουμε σ, σ πυκνότητες φορτίου σε κάθε πλακίδιο εμβαδού Α και διαφορά δυναμικού V: Το φορτίο : = σ A Η ένταση Ε του πεδίου εντός των πλακών (Gauss): Το δυναμικό V (υπολογίστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) : Τελικά A C =ε0 V d E d σ = = ε B A Aε 0 0 V = V V = E d Παρατηρούμε ότι η χωρητικότητα εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία (A, d). A

Παράδειγμα 2: Κυλινδρικός Πυκνωτής r a b L Υποθέτουμε φορτίο, ομογενώς κατανεμημένο στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V.

Υπενθύμιση: Κυλινδρική συμμετρία Gaussian επιφάνεια κυλινδρική ακτίνας r και μήκους L Ο κύλινδρος έχει φορτίο E r E r Από το νόμο του Gauss L E dr = 2π rle = ε 2πε 0 0 E = Lr

Παράδειγμα 2: Κυλινδρικός Πυκνωτής, ομογενώς στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V. E = 2πε Lr Αν υποθέσουμε το είναι στον εσωτερικό κύλινδρο, τότε η διαφορά δυναμικού V είναι θετική εάν πάρουμε το μηδέν του δυναμικού στο r = b: 0 a a b b 2πε 0L V = E dr = E dr = dr = ln C = b b a 2πε0rL 2πε0L a V b ln a πάλι: εξαρτάται από τη γεωμετρία Τα ομοαξονικά καλώδια έχουν χωρητικότητα (χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους καλωδίου) r σ a b σ L

Παράδειγμα 3: α. Φορτισμένη σφαίρα Φορτισμένη σφαίρα έχει την ικανότητα να αποθηκεύει ορισμένο φορτίο σε δεδομένο δυναμικό (έναντι V=0 στο άπειρο) V = 0, VR = C 4πε 0R 4πε R = V = Υπολογισμός χωρητικότητας:, στην επιφάνεια των σφαιρών με διαφορά δυναμικού V. 0 β. Σφαιρικός πυκνωτής a b b b dr 1 1 1 Va Vb = E() r dr = 4πε = 4πε = r 4πε a b a 4πε = = 4πε a b 0 C 0 V 1 1 b a 2 0 a r 0 a 0 ab b Και πάλι εξαρτάται από τη γεωμετρία

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ/ ΜΟΝΑΔΕΣ Οι χωρητικότητες αυτών των πυκνωτών (υπάρχει αέρας ανάμεσα στους αγωγούς) έχουν την μορφή C = ε 0 G όπου G είναι γεωμετρικός παράγοντας, με διαστάσεις μήκους π.χ. G = 4π R, 4π ab/(ba), 2πL, A/d, κτλ. Μονάδες του C (=/V) [C] = Cb/Volt=Farad 1 Farad = 1 Coulomb προς Volt (προς τιμή του Faraday) Παρατήρηση: Όπως το Coulomb έτσι και το Farad είναι μεγάλη μονάδα. Πρακτικά οι χωρητικότητες μετρώνται σε (μf), nanofarad (nf) ή ακόμη και picofarad (pf).

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΘΗΚΕΥΟΜΕΝΗ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗ Για μεταφέρουμε φορτίο dq από σημείο με V = 0 (π.χ. το ( ) πλακίδιο ενός πυκνωτή) στο () πλακίδιο, που φέρει φορτίο q και συνεπώς βρίσκεται σε δυναμικό V = q/c, απαιτείται έργο: dw = V dq = (q/c) dq Συνεπώς, για να φορτίσουμε τον πυκνωτή από q = 0 σε q = απαιτείται έργο: Αυτό το έργο αποθηκεύεται στον πυκνωτή ως ενέργεια. Που; Θεωρείστε πυκνωτή με παράλληλα πλακίδια με χωρητικότητα C = ε 0 A/d. Εδώ όγκος του πυκνωτή

όπου τ = Ad είναι ο όγκος μεταξύ των πλακιδίων, που «γεμίζει» από το ηλεκτρικό πεδίο E = σ/ε 0. Πράγματι, η παρουσία αυτού του πεδίου είναι το βασικό χαρακτηριστικό που ξεχωρίζει έναν φορτισμένο από έναν αφόρτιστο πυκνωτή. Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η ενέργεια αποθηκεύεται στο πεδίο E με ενεργειακή πυκνότητα u e (δηλ. ενέργεια ανά μονάδα όγκου) που δίνεται από ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΥΚΝΩΤΩΝ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (1) Παράλληλη σύνδεση πυκνωτών Πρόβλημα: Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής ( ισοδύναμος ) C eq θα φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C 1 και C 2 μαζί, ενώ έχει την ίδια διαφορά δυναμικού V μεταξύ των πλακιδίων;

Απάντηση: 1 = C 1 V, 2 = C 2 V, = 1 2 = (C 1 C 2 )V = C eq V, οπότε C eq = C 1 C 2. (2) Σύνδεση πυκνωτών σε σειρά Πρόβλημα: Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής ( ισοδύναμος ) C eq θα έχει την ίδια ολική διαφορά δυναμικού V = V 1 V 2 στα άκρα του ενώ φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C 1 και C 2. Απάντηση: V 1 = /C 1, V 2 = /C 2

Παρατήρηση: ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Εισάγοντας ένα μη αγώγιμο υλικό μεταξύ των πλακιδίων πυκνωτή αλλάζει η ΤΙΜΗ της χωρητικότητας του. Ορισμός: Η διηλεκτρική σταθερά υλικού είναι ο λόγος της χωρητικότητας του πυκνωτή όταν είναι πλήρης από το διηλεκτρικό υλικό, προς αυτήν χωρίς το υλικό. δηλ. κ = C C κ πάντοτε > 1 (π.χ., γυαλί = 5.6; νερό = 78) Τα διηλεκτρικά ΑΥΞΑΝΟΥΝ τη χωρητικότητα πυκνωτή (γενικά πολύ καλό, αλλιώς πρέπει να αυξήσω το μέγεθος του πυκνωτή) Επιτρέπουν την αποθήκευση περισσότερης ενέργειας σε δεδομένο πυκνωτή. 0

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Όταν δηλαδή ένα διηλεκτρικό (μονωτής), παρεμβάλλεται σε έναν πυκνωτή, αυξάνει την χωρητικότητα από C 0 σε C = κ C 0, όπου κ είναι η διηλεκτρική σταθερά. Συνεπώς, και σύμφωνα με τον ορισμό C = /V: για V σταθερό, το αυξάνει από 0 σε = κ 0, για σταθερό, V ελαττώνεται από V 0 σε V = V 0 /κ. Αυτό πρέπει να σημαίνει και ότι E ελαττώνεται από E 0 σε E = E 0 /κ.

Παράδειγμα επίπεδου πυκνωτή Φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής σε κενό σε δυναμικό V 0. Σε κάθε πλακίδιο υπάρχει = C V 0 Εισάγουμε υλικό διηλεκτρικής σταθεράς κ. Το φορτίο παραμένει σταθερό Δυναμικό ελαττώνεται από V 0 σε V V = 0 κ Το ηλεκτρικό πεδίο επίσης: E E = 0 κ και C = κ C 0 = κ ε 0 G = ε G σχετική διηλεκτρική σταθερά υλικού σχετική επιτρεπτότητα V διηλεκτρική σταθερά του κενού επιτρεπτότητα του κενού κ κ E διηλεκτρική σταθερά υλικού επιτρεπτότητα του υλικού γεωμετρικός παράγοντας

ΛΟΓΟΣ: ΠΟΛΩΣΗ Εφαρμόζοντας το νόμο του Gauss (για E = σταθερό) στα δυο παραλληλεπίπεδα που φαίνονται: (i) Για την κλειστή επιφάνεια με διακεκομμένη γραμμή: ε 0 E 0 = σ f (1) (σ f = επιφανειακή πυκνότητα ελεύθερου φορτίου) (ii) Για την κλειστή επιφάνεια με συνεχή γραμμή: ε 0 E = σ f σ i (2) (σ i = πυκνότητα επαγόμενου ή δέσμιου φορτίου) Όμως είπαμε ότι Ε=Ε 0 /κ άρα: σχέση (1)/ σχέση (2) και λύση ως προς σ i : σ i = σ f ( 11/κ) και αντικαθιστώντας στην (2): κ ε 0 Ε = ε Ε = σ f = μέσω της (1) = ε 0 Ε 0

Επέκταση του νόμου του Gauss για να περιλαμβάνει διηλεκτρικά: ή Γενικός κανόνας: Όλες οι εκφράσεις και οι νόμοι που ισχύουν για το κενό ισχύουν και για διηλεκτρικά υλικά εάν το ε 0 αντικατασταθεί από την διηλεκτρική σταθερά του, ε, του διηλεκτρικού. Δηλαδή: