Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η καταομή Posson με παράμετρο λ Προσέγγιση της διωυμικής καταομής από τη καταομή Posson Η διαδικασία Posson με ρυθμό λ Η καοική καταομή με παραμέτρους μ και σ Η τυποποιημέη καοική καταομή Είαι η καταομή της τυχαίας μεταβλητής, έστω Χ, που εκφράζει το αριθμό τω επιτυχιώ σε αεξάρτητες δοκιμές Bernoull με ίδια πιθαότητα επιτυχίας p. Συμβολίζεται με B(, p) και έχει συάρτηση πιθαότητας f ( ) = P( X = ) = p ( p), =,,,..., μέση τιμή μ = E( X ) = p διακύμαση σ = Var( X ) = p( p) πιο πιθαή τιμή = [( + ) ] ότα ( +) p δε είαι ακέραιος ή p ( + = ) p και = ( + ) p ότα ( +) p είαι ακέραιος. Συμβολίζεται με P (λ) και είαι γωστή και ως καταομή τω σπάιω εδεχομέω. Έστω Χ τ.μ. με X ~ P( λ). Η Χ έχει συάρτηση πιθαότητας λ λ f ( ) = P( X = ) = e, =,,,...! μέση τιμή μ = E (X ) = λ διακύμαση σ = Var ( X ) = λ πιο πιθαή τιμή = [ λ] ότα το λ δε είαι ακέραιος ή = λ και = λ ότα το λ είαι ακέραιος Α + και p έτσι ώστε p λ τότε λ λ p ( p) e, =,,,...! Πρακτικά, η προσέγγιση της διωυμικής B(, p) από τη P( p), είαι ικαοποιητική α και p ώστε η μέση τιμή λ = p α παίρει μέτριες τιμές (μικρότερες του ). Α X ο αριθμός εμφαίσεω εός εδεχομέου σε χρόο t (ή σε t μήκος t ή σε επιφάεια t ή σε όγκο t) τότε κάτω από ορισμέες προϋποθέσεις η συάρτηση πιθαότητας της X δίεται από το τύπο t λ t ( λt) P( X t = ) = e, =,,,...! Συμβολίζεται με N ( μ, σ ). Έστω Χ τ.μ. με X ~ N( μ, σ ). Η Χ έχει συάρτηση πυκότητας ( μ ) σ ( ) f = e σ π, < < +, < μ < +, σ > μέση τιμή E (X ) = μ διακύμαση Var ( X ) = σ. Είαι η καοική καταομή με μέση τιμή μ = και διακύμαση σ =. Συμβολίζεται με Ζ, δηλαδή, Z ~ N(,). Η συάρτηση πυκότητάς της συμβολίζεται με ϕ (z) και δίεται από το τύπο Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)
z ϕ ( z) = e, < z < + π και η συάρτηση καταομής της συμβολίζεται με Φ (z) και δίεται από το τύπο t z ( e Φ z) = P( Z z) = dt, < z < + π α) Τυποποιημέη καοική Z ~ N(,) : P ( Z z) = Φ( z) και P ( Z z) = Φ( z) = Φ( z). Υπολογισμός πιθαοτήτω καοικής τ.μ. Γραμμικός συδυασμός αεξάρτητω καοικώ τυχαίω μεταβλητώ Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Προσέγγιση της Διωυμικής καταομής από τη Καοική (Θεώρημα De Movre-Laplace) Προσέγγιση της καταομής Posson από τη Καοική (δίοται από το πίακα της τυποποιημέης καοικής) P ( α Z β ) = Φ( β ) Φ( α) P ( Z > a) = P( Z α) = Φ( α) P ( α Z α ) = Φ( α ) β) Καοική με X ~ N( μ, σ ) Α X ~ N( μ, σ ) τότε X μ Z = ~ N (,) σ β μ α μ P ( α X β ) = Φ Φ σ σ β μ P (X β ) = Φ σ α μ P (X α) = Φ σ Α X, X, K, X αεξάρτητες τ.μ. με X ~ N ( μ, σ ) και α, α, K, α, β πραγματικοί, τότε η τ.μ. = α X + β = α X + α X + K+ α X + β ακολουθεί μια καοική καταομή με μέση τιμή α μ + α μ +... + α μ + β και διακύμαση α σ + α σ +... + α σ. Επίσης, α X, X, K, X αεξάρτητες τ.μ. με ~ N( μ, σ ), τότε X = σ X = ~ N ( μ, ). Α X, X, K, X αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθού τη ίδια καταομή με E ( X ) = μ και Var ( X ) = σ, τότε για μεγάλα, κατά προσέγγιση, X = σ X = ~ N ( μ, ) ή, ισοδύαμα, S = X ~ N ( μ, σ ). = Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α 3. Α X ~ B(, p) τότε για μεγάλα, κατά προσέγγιση, X ~ N ( p, p( p)). Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α p 5 και ( p) 5. Α X ~ P( λ) τότε για μεγάλα λ, κατά προσέγγιση, X ~ N ( λ, λ). Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α λ >. X Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)
Προβλήματα και Ασκήσεις. Έχει διαπιστωθεί ότι το 3% τω ζώω που κατά το εμβολιασμό εκτίθεται σε μολυσμέη βελόα από ηπατίτιδα Β, ααπτύσσει ηπατίτιδα Β. Επιλέγουμε τυχαία 5 ζώα από έα πληθυσμό ζώω που έχου εμβολιασθεί με μολυσμέη βελόα. α) Ποια είαι πιθαότητα από τα 5 ζώα α βρεθού άρρωστα από ηπατίτιδα Β ) ακριβώς ) το πολύ ) τουλάχιστο 3. β) Πόσα ζώα (από τα 5) ααμέεται α βρεθού άρρωστα από ηπατίτιδα Β.. Σε έα πληθυσμό της μύγας Drosophla melanogaster το 5% είαι μαύρες λόγω κάποιας μετάλλαξης, εώ το υπόλοιπο 75% έχου το φυσιολογικό τους γκρι χρώμα. (Ι) Από 7 μύγες που παγιδεύσαμε τυχαία από αυτό το πληθυσμό α) πόσες ααμέεται α είαι μαύρες β) ποια είαι η πιθαότητα α βρεθού α είαι μαύρες ) όλες ) καμία ) τουλάχιστο μια v) λιγότερες από 7 v) ακριβώς 3 v) λιγότερες από 3 v) τουλάχιστο 3 v) το πολύ 3 γ) πόσες μύγες είαι πιο πιθαό α βρεθού α είαι μαύρες. (ΙΙ) Από μύγες που παγιδεύσαμε τυχαία από αυτό το πληθυσμό πόσες ααμέεται α είαι μαύρες; 3. Από τους σπόρους πιπεριάς συγκεκριμέου είδους βλαστάει μόο το 8%. Από μια συσκευασία τέτοιω σπόρω α) πόσοι ααμέεται α βλαστήσου β) ποια είαι η πιθαότητα α βλαστήσει ) τουλάχιστο έας ) όλοι ) τουλάχιστο οκτώ γ) πόσοι είαι πιο πιθαό α βλαστήσου. 4. Έχει παρατηρηθεί ότι από τα άτομα που κάου κράτηση για α ταξιδέψου με συγκεκριμέη αεροπορική εταιρεία, έα ποσοστό 5% δε εμφαίζεται για α ταξιδέψει. Α σε μια πτήση που γίεται με έα αεροσκάφος 4 θέσεω η εταιρεία κάει κράτηση για 43 άτομα, ποια είαι η πιθαότητα α ταξιδέψου όλα τα άτομα που θα εμφαισθού για α ταξιδέψου (από τα 43 που έχου κάει κράτηση). 5. Το δίκτυο oμβρίω μιας αγροτικής περιοχής δε μπορεί α αταποκριθεί σε δυσμεείς καιρικές συθήκες που εμφαίζοται στη περιοχή κατά μέσο όρο μια φορά στα 5 χρόια. Να υπολογισθεί η πιθαότητα από πέτε χροιές α πλημμυρίσει η περιοχή α) το πολύ δύο χροιές β) τουλάχιστο τρεις χροιές α ήδη έχει πλημμυρίσει τουλάχιστο μια χροιά. 6. Έα σύστημα το οποίο αποτελείται από 6 εξαρτήματα λειτουργεί α τουλάχιστο 4 από τα εξαρτήματά του λειτουργού. Α η πιθαότητα λειτουργίας (η αξιοπιστία) κάθε εξαρτήματος είαι.9 α βρεθεί α) η πιθαότητα λειτουργίας (η αξιοπιστία) του συστήματος β) η πιθαότητα α υποστού βλάβη τουλάχιστο τρία εξαρτήματα δεδομέου ότι έχου υποστεί βλάβη τουλάχιστο δύο. (Θεωρείστε ότι τα εξαρτήματα του συστήματος λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο.) 7. Έα σύστημα αποτελείται από n εξαρτήματα τύπου Ε και m εξαρτήματα τύπου Ε που λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο. Η πιθαότητα λειτουργίας κάθε εξαρτήματος τύπου Ε είαι p και κάθε εξαρτήματος τύπου Ε είαι p και το σύστημα λειτουργεί α λειτουργού συγχρόως τουλάχιστο 3 εξαρτήματα τύπου Ε και τουλάχιστο δύο εξαρτήματα τύπου Ε. Να βρεθεί η αξιοπιστία (η πιθαότητα λειτουργίας) του συστήματος. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3
8. Οι σπόροι του μπιζελιού Psum satvum είαι πράσιοι ή κίτριοι. Μια συγκεκριμέη διασταύρωση δίει σπόρους σε ααλογία 3 κίτριοι: πράσιο. Α από τους σπόρους που προέκυψα από μια τέτοια διασταύρωση επιλέξουμε τυχαία τέσσερις, ποια είαι η πιθαότητα α βρούμε (α) τρεις κίτριους και έα πράσιο (β) και τους τέσσερις πράσιους (γ) και τους τέσσερις του ιδίου χρώματος. 9. Έχει παρατηρηθεί ότι η πιθαότητα α συμβεί σοβαρό ατύχημα με γεωργικό μηχάημα σε μια μεγάλη αγροτική περιοχή είαι.. Α κατά τη διάρκεια μιας εργάσιμης ημέρας στη περιοχή αυτή χρησιμοποιούται γεωργικά μηχαήματα, ποια είαι η πιθαότητα α συμβού τουλάχιστο δύο ατυχήματα;. Από παρατηρήσεις πολλώ ετώ έχει επαληθευθεί ότι ο αριθμός X t τω σεισμώ μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter που συμβαίου σε μια σεισμογόο περιοχή σε χρόο t, περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson. Α ο ρυθμός εμφάισής τους είαι αά έτος α) ποια είαι η πιθαότητα α συμβού τουλάχιστο 3 σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter σε έα χροικό διάστημα. εός έτους. τριώ μηώ. δύο ετώ β) ποια είαι η πιθαότητα στα επόμεα έτη α υπάρξου ακριβώς 5 έτη σε καθέα από τα οποία α συμβού τουλάχιστο 3 σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter γ) ποια είαι η πιθαότητα σε χροικό διάστημα ετώ α συμβού τουλάχιστο σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter.. Έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός X t εός σπάιου είδους φυτώ σε έκταση εμβαδού t, περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson με μέσο αριθμό φυτώ αά στρέμμα 3 φυτά. α) Να βρεθεί η πιθαότητα. σε μια έκταση εός στρέμματος α υπάρχου τουλάχιστο δύο φυτά. σε μια έκταση μισού στρέμματος α υπάρχει το πολύ έα φυτό. σε μια έκταση στρεμμάτω α υπάρχου τουλάχιστο τρία φυτά. β) Σε μια έκταση 3 στρεμμάτω ποιος είαι ο πιθαότερος αριθμός φυτώ; Επίσης, α βρεθεί η πιθαότητα εμφάισης αυτού του αριθμού φυτώ.. Συέχεια της άσκησης 6 του φυλλαδίου 3): Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα τριώ τέτοιω εξαρτημάτω. Ποια είαι η πιθαότητα ακριβώς έα από αυτά α λειτουργήσει από έως 5 ώρες. 3. Συέχεια της άσκησης 8 του φυλλαδίου : Επιλέγοται τυχαία 6 άτομα, υποβάλλοται στη εξέταση και το αποτέλεσμα και στις έξι περιπτώσεις είαι θετικό. Ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιστο τρία από αυτά πράγματι α πάσχου από AIDS. 4. Σε μια μεγάλη μοάδα θερμοκηπίω έχει εγκατασταθεί σύστημα αυτόματου ποτίσματος. Έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός X t τω ελαττωματικώ μπεκ σε μήκος σωλήα t, περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson με μέσο αριθμό ελαττωματικώ μπεκ, 3 μπεκ αά κομμάτι σωλήα. α) Να βρεθού οι πιθαότητες:. σε έα κομμάτι σωλήα α υπάρχου τουλάχιστο δύο ελαττωματικά μπεκ. σε έα τρίτο κομματιού σωλήα α υπάρχει το πολύ έα ελαττωματικό μπεκ. σε μήκος σωλήα όσο τρία κομμάτια α υπάρχου τουλάχιστο δύο ελαττωματικά μπεκ v. από τρία τυχαία επιλεγμέα κομμάτια σωλήα α υπάρχει το πολύ έα με τουλάχιστο δύο ελαττωματικά μπεκ. β) Σε Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4
μήκος σωλήα όσο τρία κομμάτια, ποιος είαι ο πιθαότερος αριθμός ελαττωματικώ μπεκ. 5. Σε έα πληθυσμό (ας πούμε γυαίκες ηλικίας 3 ετώ σε μια πόλη), η μέση συστολική πίεση είαι mmhg, με τυπική απόκλιση mmhg και ο πληθυσμός (τω πιέσεω) ακολουθεί καοική καταομή. α) Τι ποσοστό του πληθυσμού έχει πίεση ) μεταξύ και 5mmHg ) μεγαλύτερη από 35mmHg ) μικρότερη από 35mmHg. β) Ποια είαι εκείη η τιμή της πίεσης μεγαλύτερη από τη οποία έχει ) μόο το % του πληθυσμού ) το 95% του πληθυσμού. γ) Η συστολική πίεση εός ατόμου κρίεται ως φυσιολογική α βρίσκεται σε εκείο το συμμετρικό διάστημα γύρω από το μέσο που περιέχει το 95% τω πιέσεω του πληθυσμού. Να βρεθεί εκείη η τιμή πίεσης πάω από τη οποία έα άτομο κρίεται ως υπερτασικό. Να βρεθεί επίσης εκείη η τιμή της πίεσης κάτω από τη οποία έα άτομο κρίεται ως υποτασικό. δ) Να χωρίσετε το διάστημα (, + ) σε 4 διαστήματα καθέα από τα οποία α περιέχει το ίδιο ποσοστό πιέσεω, δηλαδή, σε 4 ισοπίθαα διαστήματα. Ομοίως, ο χωρισμός α γίει σε 5 ισοπίθαα διαστήματα. ε) Α στη πόλη αυτή οι γυαίκες ηλικίας 3 ετώ είαι 5, πόσες από αυτές τις γυαίκες ααμέεται α έχου συστολική πίεση μεγαλύτερη από 35mmHg. 6. Σε έα πείραμα μετρήθηκε η αύξηση (σε διάστημα δύο εβδομάδω) του ύψους φυτώ ηλιόσπορου και βρέθηκε ότι ακολουθεί καοική καταομή με μέση τιμή 3.8cm και τυπική απόκλιση.53cm. α) Α επιλέξουμε στη τύχη έα από τα φυτά, ποια η πιθαότητα α έχει αυξηθεί το ύψος του ) περισσότερο από 4cm ) λιγότερο από 3cm ) τουλάχιστο.5 και όχι περισσότερο από 3.5cm. β) Α επιλέξουμε τρία από τα φυτά στη τύχη ) ποια η πιθαότητα α βρούμε τουλάχιστο έα με αύξηση ύψους λιγότερο από 3cm ) ποια η πιθαότητα η μέση αύξηση του ύψους τους α είαι τουλάχιστο.5 και όχι περισσότερο από 3.5cm. γ) Πώς συγκρίετε τις πιθαότητες που υπολογίσατε στα ερωτήματα (α-) και (β-). 7. Έας μεγάλος πειραματικός αγρός χωρίστηκε σε πολλά αγροτεμάχια (3m το καθέα) και σπάρθηκε με σιτάρι συγκεκριμέης ποικιλίας. Μετρήθηκε η παραγωγή αά αγροτεμάχιο (σε Kg) και βρέθηκε ότι ακολουθεί καοική καταομή με μέση τιμή 39.9Kg και τυπική απόκλιση 3.Kg. α) Τι ποσοστό τω αγροτεμαχίω έδωσε παραγωγή ) περισσότερο από 45Kg ) τουλάχιστο 36Kg ) μεταξύ 39.5 και 4.5Kg. β) Ποια είαι η πιθαότητα η συολική παραγωγή 5 αγροτεμαχίω που επιλέξαμε τυχαία α είαι μεγαλύτερη από Kg. γ) Ποια είαι η πιθαότητα η παραγωγή σε 5 τυχαία επιλεγμέα αγροτεμάχια κατά μέσο όρο α μη ξεπερά τα 5Kg; 8. Σε έα κλασικό πείραμα που έγιε για α διαχωριστού γεετικοί από περιβαλλοτικούς παράγοτες, μετρήθηκα τα βάρη 5494 σπόρω φασολιού (phaseolus vulgars) και βρέθηκε ότι αυτά ακολουθού μια καοική καταομή με μέση τιμή 54mg και διακύμαση 98.9mg. α) Τι ποσοστό αυτώ τω σπόρω έχου βάρη μεταξύ 4 και 55mg. β) Βρείτε εκείο το βάρος, μεγαλύτερο από το οποίο έχει ) μόο το % τω σπόρω ) το 99% τω σπόρω. γ) Βρείτε το 3 ο τεταρτημόριο της καταομής τω βαρώ. 9. Έχει διαπιστωθεί ότι από τα δέδρα εός συγκεκριμέου είδους μιας μεγάλης περιοχής, ποσοστό % προσβάλλεται κάθε χρόο από μια συγκεκριμέη ασθέεια (η οποία τις περισσότερες φορές τελικά ατιμετωπίζεται). α) Α έας γεωπόος Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5
εξετάσει έα τυχαίο δείγμα δέδρω από τη περιοχή, ποια η πιθαότητα στα αυτά δέδρα α υπάρχου ) ακριβώς που έχου προσβληθεί ) τουλάχιστο που έχου προσβληθεί. β) Α ο γεωπόος εξετάσει έα τυχαίο δείγμα 3 δέδρω από τη περιοχή, ποια η πιθαότητα α βρει ) μεταξύ τριώ και οκτώ δέδρω α έχου προσβληθεί ) τουλάχιστο 5 δέδρα α έχου προσβληθεί. γ) Α ότως βρει 5 στα 3 δέδρα α έχου προσβληθεί, υπάρχει λόγος αησυχίας ότι το ποσοστό τω δέδρω που έχου προσβληθεί παρουσιάζει αύξηση;. Από τη συολική παραγωγή εός παραγωγού καρπουζιώ, πρώτης ποιότητας είαι το 8% τω καρπουζιώ. Σε μια τυχαία παρτίδα (φορτίο) 5 καρπουζιώ από τη συγκεκριμέη παραγωγή, ποια είαι η πιθαότητα τα πρώτης ποιότητας καρπούζια α είαι μεταξύ 75% και 8%.. Έα τρυβλίο Petr με αποικίες βακτηριδίω χωρίζεται σε μικρά τετραγωίδια. Έχει επαληθευθεί πειραματικά ότι ο αριθμός X t τω βακτηριδίω σε τετραγωίδια εμβαδού t περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson. Α έχει παρατηρηθεί ότι ο μέσος αριθμός βακτηριδίω αά cm είαι 4 βακτηρίδια, α βρεθεί η πιθαότητα α) α υπάρξου τουλάχιστο βακτηρίδια ) σε cm ) σε 3 cm β) α υπάρξει τουλάχιστο βακτηρίδιο σε καθέα από 3 τετραγωίδια του cm γ) α υπάρξου το πολύ 8 βακτηρίδια σε 5 cm δ) από 5 τετραγωίδια του cm α υπάρξου σε τουλάχιστο 3 από αυτά, το πολύ βακτηρίδια.. Η ποσότητα ικοτίης που περιέχεται σε έα τσιγάρο συγκεκριμέης μάρκας είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή.8mg και τυπική απόκλιση.mg. Α έα άτομο καπίζει τσιγάρα τη εβδομάδα ποια είαι η πιθαότητα η συολική ποσότητα ικοτίης στη οποία θα εκτεθεί α είαι τουλάχιστο 8mg. 3. Κατά τη παραγωγή εός πακέτου φυτοφαρμάκου έχει βρεθεί ότι η ποσότητα ξέω προσμίξεω που υπάρχει στο πακέτο είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 4 gr και τυπική απόκλιση.5gr. Α πάρουμε δείγμα 5 τέτοιω πακέτω, ποια είαι η πιθαότητα η μέση ποσότητα ξέω προσμίξεω (στα 5 πακέτα) α βρίσκεται μεταξύ 3.5gr και 3.8gr. 4. Στο πλαίσιο εός πειράματος, έας μεγάλος αριθμός πειραματικώ αγρώ σπάρθηκα με σιτάρι συγκεκριμέης ποικιλίας. Κάθε πειραματικός αγρός είχε χωρισθεί σε αγροτεμάχια (3m το καθέα). Η μέση παραγωγή αά αγροτεμάχιο βρέθηκε 39.9Kg με τυπική απόκλιση 3.Kg. α) Ποια είαι η πιθαότητα έας τυχαία επιλεγμέος πειραματικός αγρός α έδωσε μέση παραγωγή αά αγροτεμάχιο ) περισσότερο από 45Kg ) τουλάχιστο 36Kg ) μεταξύ 39.5 και 4.5Kg. β) Να εκφράσετε τις πιθαότητες που ζητούται στο ερώτημα (α) ως ποσοστά. 5. Ο χρόος ζωής μιας λυχίας ορισμέου τύπου είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 85 ώρες και τυπική απόκλιση 5 ώρες. Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα λυχιώ αυτού του τύπου. Να βρεθεί η πιθαότητα ο μέσος χρόος ζωής τω λυχιώ του δείγματος α είαι μεγαλύτερος από 3 ώρες. 6. To % τω ζώω μιας μεγάλης κτηοτροφικής μοάδας έχει προσβληθεί από μια ασθέεια. Για τη διάγωση της συγκεκριμέης ασθέειας μπορεί α γίει μια εξέταση η οποία ότα το ζώο έχει προσβληθεί από τη ασθέεια δίει σωστή διάγωση με πιθαότητα 95% εώ ότα το ζώο δε έχει προσβληθεί από τη Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6
ασθέεια δίει σωστή διάγωση με πιθαότητα 98%. α) Επιλέγοται τυχαία 5 ζώα για α εξετασθού. Πρι υποβληθού στη εξέταση, ποια είαι η πιθαότητα α έχει προσβληθεί το πολύ έα από αυτά. β) Επιλέγεται τυχαία έα ζώο και εξετάζεται. ) Ποια είαι η πιθαότητα το αποτέλεσμα της εξέτασης α είαι θετικό. ) Α το αποτέλεσμα της εξέτασης είαι θετικό ποια είαι η πιθαότητα το ζώο α έχει πράγματι προσβληθεί. Επίσης, ποια είαι η πιθαότητα α μη έχει προσβληθεί. ) Τα εδεχόμεα «το ζώο έχει προσβληθεί» και «η εξέταση δίει θετικό αποτέλεσμα» είαι αεξάρτητα ή εξαρτημέα. γ) Από 5 ζώα που εξετάσθηκα και η εξέταση έδωσε και στις 5 περιπτώσεις θετικό αποτέλεσμα, ποια είαι η πιθαότητα το πολύ έα α έχει πράγματι προσβληθεί. δ) Από 3 ζώα που εξετάσθηκα και η εξέταση έδωσε και στις 3 περιπτώσεις θετικό αποτέλεσμα ) πόσα ζώα ααμέεται α έχου πράγματι προσβληθεί ) ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιστο α έχου πράγματι προσβληθεί. 7. Συέχεια της άσκησης 6 του φυλλαδίου 3: Ποια είαι η πιθαότητα ο μέσος χρόος λειτουργίας 5 εξαρτημάτω που επιλέγοται τυχαία α βρίσκεται μεταξύ και 5 ωρώ. 8. Σε μια αθοκομική μοάδα έχει συγκετρωθεί έας μεγάλος αριθμός σπόρω τουλίπας σε ααλογία, ως προς το χρώμα τω λουλουδιώ που θα παράγου, κόκκια: λευκά: κίτριο. Μια αυτόματη μηχαή συσκευασίας αακατεύει πολύ καλά τους σπόρους και τους συσκευάζει σε σακουλάκια τω σπόρω (περίπου). Επιλέγουμε τυχαία έα σακουλάκι. Ποια είαι η πιθαότητα α περιέχει α) το πολύ 5 σπόρους που παράγου λευκά λουλούδια β) τουλάχιστο 65 σπόρους που δε παράγου λευκά λουλούδια. 9. Η εθική επιτροπή για τη ασφάλεια και τη υγιειή της εργασίας ολοκλήρωσε μια μελέτη για το επίπεδο διοξίης TCDD στο οποίο εκτίθεται οι εργαζόμεοι σε μια βιομηχαική περιοχή. Η μελέτη έδειξε ότι το επίπεδο διοξίης είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ = 93 ppt και τυπική απόκλιση σ = 847 ppt. Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα 5 εργαζομέω από τη περιοχή. α) Α το συμπέρασμα της μελέτης είαι σωστό, ποια είαι η πιθαότητα το μέσο επίπεδο διοξίης που δέχοται οι 5 εργαζόμεοι α ξεπερά τα 6 ppt. β) Α βρεθεί ότι το μέσο επίπεδο διοξίης που δέχοται οι 5 εργαζόμεοι του δείγματος είαι 65 ppt και το συμπέρασμα της μελέτης είαι σωστό, πώς μπορεί α ερμηευθεί η τιμή 65 ppt που παρατηρήθηκε στο δείγμα; 3. Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται σε έα πορτοκάλι μεσαίου μεγέθους είαι καοική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ = 55 mg και τυπική απόκλιση σ = mg. α) Ποια είαι η πιθαότητα έα τυχαία επιλεγμέο πορτοκάλι μεσαίου μεγέθους α περιέχει τουλάχιστο 5mg κάλιο; β) Ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιστο έα από τρία τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους α περιέχει τουλάχιστο 5mg κάλιο; γ) Σε έα διαιτολόγιο ετάσσουμε τέσσερα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους ημερησίως και έστω Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη συολική ποσότητα καλίου που περιέχεται σε αυτά. ) Ποια είαι η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Υ; ) Ποια είαι η πιθαότητα η συολική ποσότητα καλίου που περιέχεται σε 4 τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους α είαι τουλάχιστο mg και το πολύ 8mg; ) Ποια είαι η πιθαότητα η ποσότητα καλίου που περιέχεται σε 4 τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους κατά μέσο όρο α ξεπερά τα 6mg; Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7
Τιμές τω πιθαοτήτω Φ( z) = P( Z z) της N (,) Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8