1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα, τον χρόνο, τη θερμοκρασία. Αυτά τα μεγέθη τα ονομάζουμε βαθμωτά και παραμένουν ίδια όποιο σύστημα συντεταγμένων κι αν χρησιμοποιούμε. Αντίθετα, πολλά ενδιαφέροντα φυσικά μεγέθη έχουν μέτρο και, επιπλέον, μια κατεύθυνση. Αυτή η δεύτερη ομάδα μεγεθών περιλαμβάνει τη μετατόπιση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη δύναμη, την ορμή και τη στροφορμή. Τα μεγέθη με μέτρο και κατεύθυνση ονομάζονται διανυσματικά. Συνήθως, σε απλά προβλήματα, ένα διάνυσμα ορίζεται ως μια ποσότητα που διαθέτει μέτρο και κατεύθυνση. Για να διακρίνουμε τα διανυσματικά από τα βαθμωτά μεγέθη, γράφουμε τα διανυσματικά μεγέθη με έντονους χαρακτήρες, για παράδειγμα, V. Ένα διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί επίσης με ένα βέλος, με μήκος ανάλογο του μέτρου. Η κατεύθυνση του βέλους δίνει την κατεύθυνση του διανύσματος, με τη θετική φορά να υποδηλώνεται από την αιχμή του βέλους. Σ αυτήν την αναπαράσταση, η πρόσθεση διανυσμάτων C = A + B (1.1) συνίσταται στην τοποθέτηση της αρχής του διανύσματος B στην αιχμή του βέλους του διανύσματος A. Το διάνυσμα C αναπαρίσταται τότε από ένα βέλος με αρχή την αρχή του A και πέρας το πέρας του B. Αυτή η διαδικασία, ο νόμος του τριγώνου για την πρόσθεση διανυσμάτων, προσδίδει νόημα στην Εξ. (1.1) και παρουσιάζεται στο Σχ. 1.1. Συμπληρώνοντας το παραλληλόγραμμο, βλέπουμε ότι C = A + B = B + A (1.2) όπως φαίνεται στο Σχ. 1.2. Δηλαδή, η πρόσθεση διανυσμάτων είναι μεταθετική. 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σχήμα 1.1: Νόμος του τριγώνου για την πρόσθεση διανυσμάτων. Σχήμα 1.2: Νόμος του παραλληλογράμμου για την πρόσθεση διανυσμάτων. Για την πρόσθεση τριών διανυσμάτων ισχύει D = A + B + C, Από το Σχ. 1.3, βλέπουμε ότι πρώτα πρέπει να προσθέσουμε τα διανύσματα A και B: A + B = E. Κατόπιν αυτό το άθροισμα προστίθεται στο διάνυσμα C: D = E + C.

1.1. ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 3 Σχήμα 1.3: Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι προσεταιριστική. Ομοίως, πρώτα πρέπει να προσθέσουμε τα διανύσματα B και C: Κατόπιν Συναρτήσει της αρχικής έκφρασης, έχουμε B + C = F. D = A + F. (A + B) + C = A + (B + C). Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι προσεταιριστική. Ένα άμεσο φυσικό παράδειγμα του νόμου του παραλληλογράμμου για την πρόσθεση διανυσμάτων δίνεται από ένα βάρος αναρτημένο από δύο νήματα. Αν το σημείο που ασκούνται και οι τρεις δυνάμεις (το O στο Σχ. 1.4) βρίσκεται σε ισορροπία, το διανυσματικό άθροισμα των δύο δυνάμεων F 1 και F 2 πρέπει να αντισταθμίζει την προς τα κάτω δύναμη της βαρύτητας, F 3. Εδώ ο νόμος του παραλληλογράμμου για την πρόσθεση διανυσμάτων επιδέχεται άμεση πειραματική επαλήθευση. Η αφαίρεση διανυσμάτων είναι δυνατή αν ορίσουμε το αρνητικό ενός διανύσματος ως το διάνυσμα με το ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά. Τότε A B = A + ( B). Αυστηρά μιλώντας, η πρόσθεση που βασίζεται στο παραλληλόγραμμο εισήχθη ως ορισμός. Πειράματα έδειξαν ότι αν υποθέσουμε πως οι δυνάμεις είναι διανυσματικά μεγέθη και αν τις συνδυάσουμε μέσω της πρόσθεσης που βασίζεται στο παραλληλόγραμμο, ικανοποιείται η συνθήκη ισορροπίας σύμφωνα με την οποία η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σχήμα 1.4: Ισορροπία δυνάμεων: F 1 + F 2 = F 3. Στο Σχ. 1.3, A = E B. Σημειώστε ότι τα διανύσματα αντιμετωπίζονται ως γεωμετρικά αντικείμενα που είναι ανεξάρτητα από το σύστημα συντεταγμένων. Αυτή η αντίληψη περί της ανεξαρτησίας από ένα προτιμητέο σύστημα συντεταγμένων αναπτύσσεται λεπτομερώς στην επόμενη ενότητα. Η αναπαράσταση ενός διανύσματος A μέσω ενός βέλους υποδεικνύει μια δεύτερη δυνατότητα. Το βέλος A (Σχ. 1.5), με αρχή στην αρχή των αξόνων, καταλήγει στο σημείο (A x, A y, A z ). Ετσι, αν συμφωνήσουμε ότι το διάνυσμα έχει αρχή στην αρχή των αξόνων, το θετικό πέρας του μπορεί να προσδιοριστεί από τις καρτεσιανές συντεταγμένες (A x, A y, A z ) Η αρχή θα μπορούσε να είναι οποιοδήποτε σημείο του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων αλλά επιλέγουμε την αρχή των αξόνων για ευκολία. Αυτή η ελευθερία στη μετατόπιση της αρχής του συστήματος συντεταγμένων χωρίς να επηρεάζεται η γεωμετρία ονομάζεται αναλλοιότητα σε μετατοπίσεις.

1.1. ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 5 Σχήμα 1.5: Καρτεσιανές συνιστώσες και συνημίτονα κατεύθυνσης του A. της αιχμής του βέλους. Μολονότι το A θα μπορούμε να αναπαριστά οποιοδήποτε διανυσματικό μέγεθος (ορμή, ηλεκτρικό πεδίο, κλπ.) ένα ιδιαίτερα σημαντικό διανυσματικό μέγεθος, η μετατόπιση από την αρχή των αξόνων μέχρι το σημείο (x, y, z), συμβολίζεται με το ειδικό σύμβολο r (διάνυσμα θέσης). Τότε έχουμε την επιλογή να αναφερόμαστε στη μετατόπιση είτε ως το διάνυσμα r είτε ως το σύνολο (x, y, z), των συντεταγμένων του πέρατός του: r (x, y, z). (1.3) Συμβολίζοντας με r το μέτρο του διανύσματος r, διαπιστώνουμε ότι, σύμφωνα με το Σχ. 1.5, οι συντεταγμένες του πέρατος του διανύσματος και το μέτρο του συνδέονται μέσω των σχέσεων x = r cos α, y = r cos β, z = r cos γ. (1.4) Εδώ οι ποσότητες cos α, cos β, και cos γ ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης, με α να είναι η γωνία μεταξύ του δοθέντος διανύσματος και του θετικού άξονα x, και ούτω καθεξής.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τα μεγέθη A x, A y, και A z ονομάζονται (καρτεσιανές) συνιστώσες του A ή προβολές του A και ισχύει cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Επομένως, οποιοδήποτε διάνυσμα A μπορεί να αναλυθεί στις συνιστώσες του (ή να προβληθεί στους άξονες συντεταγμένων) ώστε να δώσει A x = A cos α, κλπ., όπως στην Εξ. (1.4). Μπορούμε να αναφερόμαστε στο διάνυσμα ως ένα και μόνο μέγεθος A ή στις συνιστώσες του (A x, A y, A z ). Σημειώστε ότι ο δείκτης x στην A x συμβολίζει τη συνιστώσα x και όχι εξάρτηση από τη μεταβλητή x. Η επιλογή μεταξύ της χρήσης του A ή των συνιστωσών του (A x, A y, A z ) είναι ουσιαστικά μια επιλογή μεταξύ μιας γεωμετρικής και μιας αλγεβρικής αναπαράστασης. Μπορείτε να χρησιμοποιείτε όποια αναπαράσταση σας βολεύει. Το γεωμετρικό βέλος στο χώρο ίσως βοηθά στην οπτικοποίηση. Το αλγεβρικό σύνολο συνιστωσών είναι συνήθως καταλληλότερο για ακριβείς αριθμητικούς ή αλγεβρικούς υπολογισμούς. Στη φυσική, τα διανύσματα εμφανίζονται με δύο ξεχωριστές μορφές. (1) Το διάνυσμα A ενδέχεται να αναπαριστά μία δύναμη που δρα σε ένα σημείο. Η δύναμη της βαρύτητας που δρα στο κέντρο βάρους καταδεικνύει αυτή τη μορφή. (2) Το διάνυσμα A ενδέχεται να ορίζεται σε μια εκτεταμένη περιοχή, δηλαδή, το A και οι συνιστώσες του ενδέχεται να είναι συναρτήσεις της θέσης: A x = A x (x, y, z), και ούτω καθεξής. Παραδείγματα αυτού του είδους περιλαμβάνουν την ταχύτητα ενός ρευστού που μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο ενός δοθέντος όγκου, καθώς και το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο. Αυτές οι δύο περιπτώσεις μπορεί να διακριθούν μεταξύ τους αν αναφερθούμε στο διάνυσμα που ορίζεται σε μια περιοχή ως διανυσματικό πεδίο. Η έννοια του διανύσματος που ορίζεται σε μια περιοχή και είναι συνάρτηση της θέσης θα καταστεί ιδιαιτέρως σημαντική κατά την παραγώγιση και την ολοκλήρωση διανυσμάτων. Σ αυτό το σημείο είναι κατάλληλο να εισαγάγουμε μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος καθενός από τους άξονες συντεταγμένων. Έστω ότι το ˆx είναι ένα διάνυσμα μοναδιαίου μέτρου κατά μήκος του θετικού άξονα x, το ŷ, ένα διάνυσμα μοναδιαίου μέτρου κατά μήκος του θετικού άξονα y, και το ẑ ένα διάνυσμα μοναδιαίου μέτρου κατά μήκος του θετικού άξονα z. Τότε το ˆxA x είναι ένα διάνυσμα με μέτρο ίσο με A x και κατεύθυνση κατά μήκος του άξονα x. Μέσω της πρόσθεσης διανυσμάτων, A = ˆxA x + ŷa y + ẑa z. (1.5) Σημειώστε πως αν το A μηδενίζεται, τότε πρέπει να μηδενίζονται ξεχωριστά κάθε μία από τις συνιστώσες του, δηλαδή, αν A = 0, τότε A x = A y = A z = 0. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα μοναδιαία διανύσματα χρησιμεύουν ως βάση, ή πλήρες σύνολο διανυσμάτων, στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο συναρτήσει των οποίων μπορεί να αναλυθεί οποιοδήποτε διάνυσμα. Έτσι η Εξ. (1.5) αποτελεί διαβεβαίωση πως τα τρία μοναδιαία

1.1. ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 7 διανύσματα ˆx, ŷ, και ẑ παράγουν τον πραγματικό τριδιάστατο χώρο μας: Οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των ˆx, ŷ, και ẑ. Επειδή τα ˆx, ŷ, και ẑ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα (κανένα από αυτά δεν είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο), αποτελούν βάση του πραγματικού τριδιάστατου ευκλείδειου χώρου. Τέλος, από το πυθαγόρειο θεώρημα, το μέτρο του διανύσματος A είναι A = (A 2 x + A 2 y + A 2 z) 1/2. (1.6) Σημειώστε ότι τα μοναδιαία διανύσματα συντεταγμένων δεν αποτελούν το μοναδικό πλήρες σύνολο ή βάση. Αυτή η ανάλυση ενός διανύσματος στις συνιστώσες του μπορεί να πραγματοποιηθεί σε ένα πλήθος συστημάτων συντεταγμένων, όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 2. Εδώ περιοριζόμαστε στις καρτεσιανές συντεταγμένες, όπου τα μοναδιαία διανύσματα έχουν συντεταγμένες ˆx = (1, 0, 0), ŷ = (0, 1, 0) και ẑ = (0, 0, 1) και είναι όλα σταθερά σε μήκος και κατεύθυνση, ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές για τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Αντί να χρησιμοποιήσουμε τη σχεδιαστική τεχνική, μπορούμε πλέον να πραγματοποιήσουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση διανυσμάτων συναρτήσει των συνιστωσών τους. Αν A = ˆxA x + ŷa y + ẑa z και B = ˆxB x + ŷb y + ẑb z, τότε A ± B = ˆx(A x ± B x ) + ŷ(a y ± B y ) + ẑ(a z ± B z ). (1.7) Εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι τα μοναδιαία διανύσματα ˆx, ŷ, και ẑ χρησιμοποιούνται για λόγους απλούστευσης. Η χρήση τους δεν είναι ουσιαστική. Μπορούμε να περιγράψουμε διανύσματα και να τα χρησιμοποιήσουμε εξ ολοκλήρου συναρτήσει των συνιστώσων τους: A (A x, A y, A z ). Αυτή είναι η προσέγγιση στους δύο πιο ισχυρούς και εκλεπτυσμένούς ορισμούς ενός διανύσματος την οποία θα πραγματευτούμε και στην επόμενη ενότητα. Ωστόσο, τα ˆx, ŷ, και ẑ δίνουν έμφαση στην κατεύθυνση του διανύσματος. Μέχρι στιγμής έχουμε ορίσει τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης διανυσμάτων. Στις επόμενες ενότητες, θα ορίσουμε τρία διαφορετικά είδη πολλαπλασιασμού με βάση τον τρόπο εφαρμογής τους: ένα βαθμωτό, ή εσωτερικό, γινόμενο, ένα διανυσματικό, ή εξωτερικό, γινόμενο ίδιο του τριδιάστατου χώρου, και ένα ευθύ, ή τανυστικό, γινόμενο που δίνει αποτέλεσμα έναν τανυστή δεύτερης τάξης. Η διαίρεση με διάνυσμα δεν ορίζεται. Ασκήσεις 1.1.1 Δείξτε πώς προσδιορίζονται τα A και B, αν δίνονται τα A + B και A B. 1.1.2 Το διάνυσμα A του οποίου το μέτρο είναι 1,732 μονάδες μήκους σχηματίζει ίσες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων. Να βρεθούν οι συνιστώσες A x, A y, και A z.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1.3 Υπολογίστε τις συνιστώσες ενός μοναδιαίου διανύσματος το οποίο κείται επί του επιπέδου xy και σχηματίζει ίσες γωνίες με τις θετικές κατευθύνσεις των αξόνων x και y. 1.1.4 Η ταχύτητα ενός ιστιοφόρου A ως προς ένα ιστιοφόρο B, v σχ, ορίζεται από την εξίσωση v σχ = v A v B, όπου v A η ταχύτητα του σκάφους A και v B εκείνη του B. Προσδιορίστε την ταχύτητα του A ως προς το B αν v A = 30km/hr ανατολικά v B = 40km/hr βόρεια. ΑΠ. v σχ = 50km/hr, 53, 1 νοτιοανατολικά. 1.1.5 Ένα ιστιοφόρο κινείται για 1 ώρα με 4 km/hr (ως προς το νερό) με μια σταθερή πυξίδα που είναι στραμμένη στις 40 βορειοανατολικά. Ταυτόχρονα, το ιστιοφόρο παρασύρεται από το ρεύμα. Με το πέρας της ώρας το σκάφος απέχει 6,12 km από το αφετηριακό σημείο. Η ευθεία που συνδέει το αφετηριακό σημείο με αυτήν τη θέση κείται 60 βορειοανατολικά. Βρείτε τις συντεταγμένες x (προς ανατολάς) και y (προς βορρά) της ταχύτητας του νερού. ΑΠ. v ανατ. = 2, 73km/hr, v βορ. 0km/hr. 1.1.6 Μια διανυσματική εξίσωση μπορεί να αναχθεί στη μορφή A = B. Από αυτή τη σχέση δείξτε ότι η μία διανυσματική εξίσωση ισοδυναμεί με τρεις βαθμωτές εξισώσεις. Υποθέτοντας την ισχύ του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα, F = ma, ως διανυσματική εξίσωση, αυτό σημαίνει ότι η συνιστώσα a x εξαρτάται μόνο από την F x και είναι ανεξάρτητη από τις F y και F z. 1.1.7 Οι κορυφές A, B, και C ενός τριγώνου δίνονται από τα σημεία ( 1, 0, 2), (0, 1, 0), και (1, 1, 0), αντίστοιχα. Βρείτε σημείο D τέτοιο ώστε το σχήμα ABCD να αποτελεί ένα επίπεδο παραλληλόγραμμο. ΑΠ. (0, 2, 2) ή (2, 0, 2). 1.1.8 Ένα τρίγωνο ορίζεται από τις κορυφές τριών διανυσμάτων A, B και C τα οποία εκκινούν από την αρχή των αξόνων. Συναρτήσει των A, B και C δείξτε ότι το διανυσματικό άθροισμα των διαδοχικών πλευρών του τριγώνου (AB + BC + CA) είναι μηδέν, όπου η πλευρά AB είναι από το A στο B, κλπ.

1.1. ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 9 1.1.9 Μια σφαίρα ακτίνας a έχει κέντρο σε ένα σημείο r 1. (αʹ) Να γραφεί η αλγεβρική εξίσωση της σφαίρας. (βʹ) Να γραφεί μια διανυσματική εξίσωση για τη σφαίρα. ΑΠ. (α ) (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 + (z z 1 ) 2 = a 2. (β ) r = r 1 + a, με r 1 = κέντρο. (το a μπορεί να δείχνει προς όλες τις κατευθύνσεις αλλά έχει σταθερό μέτρο a.) 1.1.10 Ένας γωνιακός ανακλαστήρας σχηματίζεται από τρεις αμοιβαία κάθετες ανακλαστικές επιφάνειες. Δείξτε ότι μια ακτίνα φωτός που προσπίπτει στον γωνιακό ανακλαστήρα (προσκρούοντας και στις τρεις επιφάνειες) ανακλάται κατά μήκος μιας ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία πρόσπτωσης. Υπόδειξη: Θεωρήστε την επίδραση της ανάκλασης στις συνιστώσες ενός διανύσματος το οποίο περιγράφει την κατεύθυνση της φωτεινής ακτίνας. 1.1.11 Νόμος του Hubble. Ο Hubble βρήκε ότι μακρυνοί γαλαξίες απομακρύνονται με ταχύτητα ανάλογη της απόστασής τους από το σημείο που εμείς βρισκόμαστε πάνω στη Γη. Για τον i-οστό γαλαξία, v i = H 0 r i, ενώ εμείς βρισκόμαστε στην αρχή των αξόνων. Δείξτε ότι αυτή η απομάκρυνση των γαλαξιών από εμάς δεν συνεπάγεται ότι εμείς βρισκόμαστε στο κέντρο του σύμπαντος. Ειδικότερα, θεωρήστε τoν γαλαξία που βρίσκεται στη θέση r 1 ως μια καινούργια αρχή αξόνων και δείξτε ότι ο νόμος του Hubble συνεχίζει να ισχύει. 1.1.12 Βρείτε τα διαγώνια διανύσματα ενός μοναδιαίου κύβου με μία κορυφή στην αρχή των αξόνων και τις τρεις πλευρές του κατά μήκος των καρτεσιανών αξόνων συντεταγμένων. Δείξτε ότι υπάρχουν τέσσερις διαγώνιες με μήκος 3. Αναπαριστώντας αυτές τις διαγωνίους ως διανύσματα, ποιες είναι οι συνιστώσες τους; Δείξτε ότι οι διαγώνιες των εδρών του κύβου έχουν μήκος 2 και προσδιορίστε τις συνιστώσες τους.