ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04)
Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556 [παράγραφος 5] Δίνονται τα διανύσματα α και β π με α, β = 3 και α = α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ, β = β) Αν τα διανύσματα α+ β και κα + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α+ β α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: π 4 αβ = α β συνα,β ( ) = συν = = = 3 Οπότε αβ = β) Έστω γ = α+ β και δ= κα+ β τα δοσμένα διανύσματα Από την υπόθεση έχουμε: γ δ γ δ= 0 α+ β κα+ β = 0 ( )( ) = αβ κα αβ καβ β 0 κα 4 κ β 0 + + + = + + + = ( ) κ + 4+ κ + = 0 4κ + 4+ κ + 8= 0 6κ = κ = γ) Θα υπολογίσουμε αρχικά το τετράγωνο του μέτρου για το γ = α+ β Έχουμε λοιπόν: αβ= α+ β = ( α+ β) = 4α + 4αβ + β = 4 α + 8 + β = 4 + 8+ ( ) = = 8+ 8+ 8= 4 α+ β = 4 = 6 (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) 3
GI_V_MATHP 8558 [παράγραφος 5] Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = ( 4, 6), ΑΓ = (, 8) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 7) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία (Μονάδες 0) γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α ( 3, ), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ (Μονάδες 8) α) Η ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ Δηλαδή το σημείο Μ είναι μέσο του ΒΓ Γνωρίζουμε ότι η διανυσματική ακτίνα του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούται με το ημιάθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των άκρων Οπότε: ΑΜ = ( ΑΒ + ΑΓ) = ( 4, 6) + (, 8) = (, 4) = (, 7) β) Η γωνία Α του τριγώνου είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ Α= ΑΒ, ΑΓ Τη γωνία (Δηλ: το αν είναι αμβλεία ή οξεία ) των διανυσμάτων θα Δηλαδή ( ) την υπολογίσουμε μέσω του συνημιτόνου της Δηλαδή από τη σχέση: ΑΒ ΑΓ συν( ΑΒ, ΑΓ) = ΑΒ ΑΓ Καταρχήν έχουμε ΑΒ > 0, ΑΓ > 0 Στη συνέχεια βρίσκουμε το εσωτερικό τους γινόμενο ΑΒ ΑΓ = ( 4, 6) (, 8) = 8 + 48 = 40 ΑΒ ΑΓ 40 Έτσι συν( ΑΒ, ΑΓ) = = > 0, άρα η γωνία των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ είναι οξεία αφού έχει θετικό συνημίτονο Συνεπώς και η γωνία Α είναι επίσης οξεία ΑΒ = x x,y y 4, 6 = x 3,y γ) Είναι ( B A B A) ( ) ( B B ) ( x 3= 4 και y = 6) ( x = και y = 5), δηλαδή B(, 5) B B Ακόμη ΑΓ = ( xγ x A,yΓ ya ) (, 8) = ( xγ 3,yΓ ) ( x 3= και y = 8) ( x = 5 και y = 7), δηλαδή Γ( 5, 7) Γ Γ Γ Γ B B 4
GI_V_MATHP 8575 [παράγραφος ] Δίνονται τα σημεία Α (, ) και ( ) Β 5, 6 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και B (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση την y x 7 = + α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B είναι η yb ya 6 y ya = ( x xa) y = ( x ) y = x y= x+ x x 5 B A xa + xb + 5 ya + yb + 6 β) Αν M το μέσο του AB, τότε xm = = = 3 και ym = = = 4, (Μονάδες 5) αφού οι συντεταγμένες του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων Οπότε M( 3,4 ) Επιπλέον: ε AB λλ ε AB = λ ε = λε = Οπότε η εξίσωση της μεσοκαθέτου της ε της AB είναι: ( ) ( ) y y = λ x x y 4= x 3 y 4= x+ 3 y= x+ 7 M ε M GI_V_MATHP 858 [παράγραφος 5] Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α = β = και α,β = 60 α) Να αποδείξετε ότι αβ = β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α+ β και α β ( ) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: ο αβ = α β συν α, β = συν60 = 4 = β) Θα υπολογίσουμε αρχικά τα τετράγωνα των μέτρων Έχουμε λοιπόν: α β α β + = + = α + α β+ β = + + = + 4+ 8= 4 ( ) ( ) και ( ) α β = α β = α α β+ β = + ( ) = 4+ 8= 6 Άρα α+ β = 4 και α β = 6 5
GI_V_MATHP 8584 [παράγραφος ] Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε :x y 8= 0, ε :x 4y+ 0= 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες 5) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε (Μονάδες 0) γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε καιε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β (Μονάδες 0) α) Έστω ( 4,α ) οι συντεταγμένες του σημείου A Το A είναι σημείο της ευθείας ε, κατά συ- ε, οπότε για ( x, y) = ( 4,α) η εξί- νέπεια οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της σωση της ε γίνεται: 4 α 8 0 α 4 α Α 4, β) Η ε είναι στη μορφή Αx+ By+ Γ = 0, με Α = και Β =, οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε Α = = = Β = = = Άρα ( ) Η ζητούμενη ευθεία ε είναι κάθετη στην ε, οπότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσής τους είναι Δηλαδή: ε ε λ λ = λ = ε ε ε Τότε η εξίσωση της ε είναι: y ya = λε ( x xa ) y ( ) = λε ( x 4) y+ = ( x 4) y+ = x+ 8 x+ y 6= 0 γ) Οι συντεταγμένες του σημείου B θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ε και ε ( ε ):x+ y 6= 0 ( ) x + y= 6 6 Έχουμε: 5y = 6 y = ( ε ):x 4y+ 0= 0( ) x + 4y = 0 5 6 4 7 Τότε η ( ) x + = 6 0x + 6 = 30 0x = 4 x = = 5 0 5 7 6 Άρα: Β, 5 5 6
GI_V_MATHP 8587 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :x 8y+ 6= 0 και ε :x+ y+ 5= 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ Αν οι ευθείες ε και ε τέμνουν τον άξονα yy στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B (Μονάδες 0) β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ΜΚ (Μονάδες 5) α) Οι συντεταγμένες του σημείου M θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο ευθειών, αφού το σημείο M είναι κοινό τους σημείο ( ε ) :x ( ) Έχουμε: 8y + 6 = 0 x 8y = 6 x + 6y = 3 ( + ) ( ε ):x+ y+ 5= 0( ) x + y = 5 x + y= 5 7y 7 y x 8 6 x 8 Μ 8, = = Τότε η ( ) = = Άρα ( ) Η ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A Για x = 0 η εξίσωση της ε γίνεται: 8y = 6 y = Άρα Α ( 0, ) Η ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο B Για x = 0 η εξίσωση της ε γίνεται: y 5 β) Έστω ( ) Κ Κ = Άρα Β( 0, 5) x,y οι συντεταγμένες του σημείου K Από υπόθεση το K είναι μέσο του τμήματος AB, οπότε οι συντεταγμένες του θα ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων xα + xβ 0 xκ = = = 0 Δηλαδή 3 Άρα Κ yα + y 0, Β 5 3 yκ = = = Για το διάνυσμα ΜΚ έχουμε: 3 5 ΜΚ = ( xκ x Μ,yΚ yμ) = 0+ 8, = 8, Άρα: λ 5 y 5 x 8 6 ΜΚ = = = ΜΚ ΜΚ 7
GI_V_MATHP 8589 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :8x+ y 8= 0 και ε :x y+ = 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα xx (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: λx y 3λ + 4= 0, όπου λ (Μονάδες 5) α) Οι συντεταγμένες του σημείου M θα προκύψουν από τη λύση του συστήματος των ευθειών ε και ε, αφού το σημείο Μ ανήκει και στις δύο Έχουμε λοιπόν: ( ) ( ) ε :8x+ y 8= 0 + 9x 7 = 0 x = 3 ε : x y+ = 0 x y+ = 0 y= 4 Άρα M( 3,4 ) Η ευθεία ( ε ) η οποία διέρχεται από το Μ είναι κάθετη στον άξονα xx και έχει εξίσωση της μορφής x Οπότε ( ) = xo, όπου o ε :x= x x= 3 M x η τετμημένη του γνωστού σημείου από το οποίο διέρχεται β) Οι ευθείες που διέρχονται από το M και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση: y 4= λ ( x 3) y 4= λx 3λ λx y 3λ + 4= 0 με λ 8
GI_V_MATHP 859 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :x 3y+ 5= 0 και ε :3x+ y 5= 0 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε και ε είναι κάθετες μεταξύ τους β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 9) (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων (Μονάδες 7) α) Αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των δύο ευθειών ισούται με 5 Είναι ε : x 3y + 5 = 0 3y = x + 5 y = x + οπότε: λε 3 3 = 3 Είναι ε :3x+ y 5= 0 y= 3x+ 5 οπότε: λε = 3 Τότε: λε λ ( ) ε = 3 = ε ε 3 β) Οι συντεταγμένες του σημείου A θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων ε, αφού το σημείο A ανήκει και στις δύο ευθείες των ( ) ε και ( ) () ( + x 3y+ 5= 0 x 3y= 5 x 3y= 5 ) Έχουμε: 0x = 0 x = 3x + y 5 = 0( ) 3x + y = 5 9x + 3y = 5 Α, Τότε η ( ) 3 y 5 y + = = Άρα ( ) γ) Έστω ( ζ ) η ζητούμενη ευθεία Η ( ζ ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων O, οπότε θα έχει εξίσωση της μορφής y= λx, όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης Επιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο A, κατά συνέπεια η εξίσωσή της επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου A, δηλαδή για x = και y= έχουμε: λ = Άρα η εξίσωση της ( ζ ) είναι y= x 9
GI_V_MATHP 8595 [παράγραφος ] Δίνονται οι ευθείες ε :3x+ y+ 3= 0 και ε :x+ y 4= 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε (Μονάδες 8) β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ (Μονάδες 8) ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 3x 4y = 0 (Μονάδες 9) α) Οι συντεταγμένες του σημείου A θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ευθειών ( ) ε και ( ) ε αφού το σημείο A είναι κοινό σημείο των δύο ευθειών ( + ) ε () :3x y 3 0 3x y 3 + + = + = 6x y = 6 Έχουμε: 5x = 0 ε :x+ y 4= 0 ( ) x+ y= 4 x+ y= 4 x = Τότε η ( ) 3 ( ) y 3 6 y 3 y 3 + = + = = Άρα Α (,3) β)(i) Το σημείο στο οποίο η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy έχει τετμημένη μηδέν Οπότε για x = 0 η εξίσωση της ( ε ) γίνεται: y+ 3= 0 y= 3 Άρα η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Β( 0, 3) Το σημείο στο οποίο η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy έχει τετμημένη μηδέν Οπότε για y= 0 η εξίσωση της ( ε ) γίνεται: x 4= 0 x = 4 Άρα η ( ε ) τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Γ( 4,0 ) yγ yβ 0+ 3 3 (ii) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ είναι: λβγ = = = x x 4 0 4 Τότε η εξίσωση της ΒΓ είναι: 3 y yγ = λβγ ( x xγ) y 0 = ( x 4) 4y = 3x 3x 4y = 0 4 Γ Β 0
GI_V_MATHP 8598 [παράγραφος 5] AΒ= κ 6κ + 9, κ 3 AΓ =, 6, όπου κ Δίνονται τα διανύσματα ( ) και ( ) α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο AB AΓ β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα AB και AΓ να είναι κάθετα γ) Για κ = να βρείτε το διάνυσμα BΓ (Μονάδες 8) (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) = είναι ( ) α) Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου έχουμε: ΑΒ ΑΓ = κ 6κ + 9+ 6 ( κ 3) = κ 6κ + 9+ 6κ 8 = κ 9 β) Τα AB και AΓ είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν α) ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ = 0 κ 9= 0 κ = 9 κ = 3 ή κ = 3 γ) Για κ ΑΒ = 4, ΑΓ =, 6 Χρησιμοποιώντας το σημείο A ως σημείο αναφοράς έχουμε: και ( ) ΒΓ = ΑΓ ΑΒ =, 6 4, = 4, 6 + = 3,8 ( ) ( ) ( ) ( )
GI_V_MATHP 8600 [παράγραφος ] Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους άξονες xx και yy αντίστοιχα α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε στα σημεία Α ( 3, 0 ) και Β( 0,6 ) (Μονάδες 8) β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε και ε α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεί A και B είναι yb ya 6 0 λab = = = x x 0 3 Οπότε η ευθεία ε έχει εξίσωση: y y = λ x x y 0= x 3 y= x+ 6 A AB A B ( ) ( ) A (Μονάδες 9) (Μονάδες 8) β) i) Αφού ε ε, οι δύο ευθείες θα έχουν γινόμενο συντελεστών διεύθυνσης Οπότε θα είναι λε λ ε = λ ε = Η ευθεία ε διέρχεται από το Ο( 0, 0 ) οπότε έχει εξίσωση της μορφής y= λx με λ= λε =, δηλαδή είναι η ευθεία ( ε ):y= x ii) Το σημείο τομής, έστω M, των δύο ευθειών θα προκύψει από τη λύση του συστήματος των δύο ευθειών, αφού το σημείο M είναι κοινό τους σημείο y= x+ 6 x = x+ 6 x = 5, y= x 6 y= x y= 5 6 οπότε το σημείο τομής τους είναι το Μ, 5 5
GI_V_MATHP 860 [παράγραφος ] Έστω Μ ( 3,5 ) το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με ( ) Α, α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β (Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα xx έτσι, ώστε να ισχύει ( ΚΑ) ( ΚΒ) = (Μονάδες ) α)(i) Έστω Ββ,β ( ) Από την υπόθεση το σημείο Μ ( 3,5 ) είναι το μέσο του τμήματος AB και συνεπώς οι συντεταγμένες του ισούνται με το ημιάθροισμα των συντεταγμένων των άκρων xα + xβ = xμ + β = 6 β = 5 οπότε: yα + yβ = yμ + β = 0 β = 9 Άρα Β( 5,9 ) ii) Έστω ( ε ) η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A και B yb ya 9 8 Τότε λε = λαβ = = = = xb xa 5 4 Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι: y y = λ x x y = x y = x y= x ( ) ( ) για το οποίο ισχύει ( ΚΑ) = ( ΚΒ ) ( ) A ε A β) Έστω Κ( κ,0 ) το σημείο του άξονα xx Α Κ Α Κ Β Κ Β Κ Τότε η ( ) ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) κ + 0 = 5 κ + 9 0 κ + = 5 κ + 8 ( ) ( ) 8κ = 04 κ = 3 Άρα Κ ( 3,0 ) κ + = 5 κ + 8 κ+ κ = 5 0κ+ κ + 80 3
GI_V_MATHP 860 [παράγραφος ] Δίνεται η ευθεία ( ε ):y+ x = και το σημείο A(, 4) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το A και είναι κάθετη στην ( ε ) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία ( ε ) (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Έστω ( ζ ) η ευθεία που διέρχεται από το Α με ( ζ) ( ε ) ( ) Έχουμε ( ε ):x+ y= y= x+, άρα: λ = ( ) ε Τότε: ( ) ε ( ) λζ λε = λζ = = λ Οπότε η εξίσωση της ( ζ ) είναι: ( ) ( ) y 4 = x y+ 4= x y= x 6 β) Δεδομένου ότι ( ζ) ( ε), η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία ( ) ε θα είναι το σημείο τομής Κ των δύο ευθειών, το οποίο θα βρεθεί από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των ( ε ) και ( ) ζ, 7 7 x = x = ( ε ): x y + = x+ x 6= x = 7 Έχουμε: ( ζ ):y= x 6 y= x 6 y= x 6 7 5 y= 6 y= 7 5 Άρα Κ, 4
GI_V_MATHP 8603 [παράγραφος 3] Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ = AB + 5AΓ και AΕ = 5AB + AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ (Μονάδες 3) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα (Μονάδες ) α) Χρησιμοποιώντας το σημείο Α ως σημείο αναφοράς έχουμε: ΔΕ = ΑΕ ΑΔ = 5ΑΒ + ΑΓ ( ΑΒ + 5ΑΓ) = = 5ΑΒ + ΑΓ ΑΒ 5ΑΓ = 3ΑΒ 3ΑΓ Άρα ΔΕ = 3ΑΒ 3ΑΓ ΔΕ = 3ΑΒ 3ΑΓ = 3 ΑΒ ΑΓ = 3ΓΒ = 3ΒΓ ΔΕ //ΒΓ β) Είναι: ( ) 5
GI_V_MATHP 8604 [παράγραφος 3] Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E, Z σημεία τέτοια ώστε: AE = AΔ, AΖ = AΓ 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EZ και ZB ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΔ (Μονάδες 3) β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά (Μονάδες ) α) Θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το A έχουμε: EZ = AZ AE = AΓ AΔ = ( AB + AΔ) AΔ = 7 5 7 5 4 AB AΔ AΔ AB AΔ + = = AB AΔ 7 7 5 7 35 7 5 Δηλαδή EZ = AB AΔ () και 7 5 ZB = AB AZ = AB AΓ = AB ( AB + AΔ) = AB AB AΔ = 7 7 7 7 5 5 AB AΔ = AB AΔ 7 7 7 5 5 7 5 Δηλαδή ZB = AB AΔ ( ) β) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) έχουμε: 5 5 () 5 5 ZB = AB AΔ = AB AΔ = EZ ZB = EZ ZB / /EZ 7 5 7 5 και αφού η αρχή του ενός διανύσματος είναι το πέρας του άλλου, τα δύο διανύσματα έχουν κοινό φορέα, που σημαίνει ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά 6
GI_V_MATHP 8605 [παράγραφος 4] Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ = i + 4 j, OB = 3i + j και ΟΓ = 5i 5j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των AB και BΓ (Μονάδες ) β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου (Μονάδες 3) α) Έχουμε ότι: OA = (, 4 ),OB = ( 3, ),OΓ = ( 5, 5) Οπότε: AB = OB OA = ( 3,) (, 4) = (, 3) και BΓ = OΓ OB = ( 5, 5) ( 3,) = (, 6) β) Αρκεί τα διανύσματα AB, BΓ να μην είναι παράλληλα, ώστε τα Α,Β,Γ να μην είναι συγ- det AB, BΓ 0 γραμμικά Οπότε αρκεί: ( ) 3 Όμως det ( AB, BΓ) = = ( 6) ( 3) = 6+ 6= 0 6 ΑΛΛΗ i=,0 j= 0, Οπότε για τα AB και BΓ χρησιμοποιώντας το σημείο α) Γνωρίζουμε ότι ( ) και ( ) O ως σημείο αναφοράς έχουμε: ΑΒ = ΟΒ ΟΑ = 3i + j ( i + 4j) = 3i + j i 4j = i 3j Άρα: ΑΒ = i 3j ΑΒ = (, 3) Όμοια: ΒΓ = ΟΓ ΟΒ = 5i 5j ( 3i + j) = 5i 5j 3i j = i 6j Άρα: ΒΓ = i 6j ΒΓ = (, 6) ΒΓ =, 6 =, 3 = ΑΒ ΒΓ //ΑΒ, οπότε τα σημεία Α,Β και Γ β) Παρατηρούμε ότι: ( ) ( ) είναι συνευθειακά, κατά συνέπεια δεν αποτελούν κορυφές τριγώνου Συνεπώς τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά, οπότε δεν μπορούν να σχηματίζουν τρίγωνο 7
α) Να βρεθεί η προβολή του α πάνω στο β (Μονάδες 0) είναι παράλληλη στο β (Μονάδες 5) GI_V_MATHP 0050 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 7) και β = (, 4) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να α) Ο τύπος για την προβολή διανύσματος σε διάνυσμα είναι: αβ = βπροβα ( ) β Ισχύει ότι: προβα //β προβα= κ β, κ β β προβ α = κ β = κ,4κ Άρα ( ) Έτσι από την ( ) β Επομένως προβ α = ( 3, 6) έχουμε: αβ = βπροβα, 7, 4 =, 4 κ,4κ β β ( )( ) ( )( ) β) Θέλουμε να αναλύσουμε το α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο β α = u+ v Δηλαδή ( ) Όπως φαίνεται από το σχήμα η συνιστώσα u είναι η η προβολή του α πάνω στο β, u = προβ α = 3, 6 δηλαδή ( ) Άρα από τη σχέση ( ) β (, 7) = v + ( 3, 6) v = (, 7) ( 3, 6) = (,) Επομένως α = (,) + ( 3,6) = (, 7) 3 + 47 = κ + 44κ 30 = 0κ κ = 8
GI_V_MATHP 005 Δίνονται τα διανύσματα α,β α) Να υπολογίσετε τα α με α = και β α + β β = 7, ( ) και α β = β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος α + β γ) Να βρείτε την προβολή του α + β στο διάνυσμα β (Μονάδες 6) (Μονάδες 9) (Μονάδες 0) α) Είναι: α = α = και α + β β = 7 α β + β = 7 + β = 7 β = 4 β = ( ) α + β = α+ β = α + 4α β + 4β = 4 + 6 = 3 β) Είναι ( ) Έτσι α + β = 3 γ) Ισχύει: β πρoβ( α+ β) = ( α+ β ) β β πρoβ( α+ β) = 7() β Όμως πρoβ( α+ β )//β πρoβ( α+ β) = λβ, λ R ( ) () ( ) β 7 λβ = 7 4λ = 7 λ = 4 7 πρoβ α+ β = β β 4 Από τη ( ) ( ) β β 9
GI_V_MATHP 0053 Δίνονται τα διανύσματα α, β με β = α = 4 και α β = 8 α) Να υπολογίσετε την γωνία α, β (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι β+ α = 0 (Μονάδες 5) α) Είναι: αβ 8 8 συν α, β = = = = 4 8 α β Επομένως 0 α, β = 80 0 β) Αφού α, β = 80 θα είναι: α, β αντίρροπα, οπότε λόγω της υπόθεσης β θα είναι β = α β+ α = 0 = α 0
GI_V_MATHP 0054 Θεωρούμε τα σημεία P,Λ,K και M του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5PΛ = PK + 3PM α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία K,Λ και M είναι συνευθειακά β) Για τα παραπάνω σημεία K,Λ και M να δείξετε ότι ισχύει: AΛ + 3BΛ + MB = AK + AM + BK όπου A και B είναι σημεία του επιπέδου (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Ισχύει: 5PΛ = PK + 3PM PΛ + 3PΛ = PK + 3PM PΛ PK = 3PM 3PΛ PΛ PK = 3 PM PΛ ( ) ( ) 3 KΛ = 3ΛM KΛ= ΛM Επομένως KΛ //ΛM Επιπλέον έχουν ένα κοινό σημείο το Λ Άρα τα σημεία K,Λ και M είναι συνευθειακά β) Αν P σημείο αναφοράς τότε AΛ + 3BΛ + MB = AK + AM + BK ( ) ( PΛ PA) + 3( PΛ PB) + ( PB PM) = PK PA+ PM PA+ PK PB PΛ PA + 3PΛ 3PB+ PB PM PK+ PA PM+ PA PK+ PB= 0 5PΛ 3PM PK = 0 5PΛ = 3PM + PK που ισχύει Επομένως ισχύει και η αρχική σχέση ( )
GI_V_MATHP 0055 Θεωρούμε τα σημεία ( ) ( ) ( ) Α α+,3, Βα, 4 και Γ 4,5α + 4, α α) Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ,ΒΓ β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά γ) Αν α =, να βρείτε αριθμό λ ώστε: ΑΓ = λαβ (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) α) ΑΒ = ( xb x A, yb ya) = ( α α, 4 3) = (,) και ΒΓ = x x,y y = 4 α,5α + 4 4 = 4 α,5α ( ) ( ) ( ) Γ Β Γ Β β) Τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ΑΒ //ΒΓ det ( ΑΒ, ΒΓ) = 0 = 0 5α ( 4 α) = 0 4 α 5α 4α + 4= 0 α = γ) Για α = είναι Α (,3 ), Β(, 4 ) και Γ( 4,9) ΑΓ = x x, y y = 4,9 3 = 6, 6 Άρα ( ) ( ) ( ) Γ Α Γ Α 6 = λ ΑΓ = λαβ 6, 6 = λ, 6, 6 = λ, λ λ= 6 6 = λ Έτσι έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )
GI_V_MATHP 0056 5π Έστω α, β δύο διανύσματα με α =, β =, α, β = και u = α+ β 6 α) Να υπολογίσετε τα γινόμενα αβ και β u (Μονάδες 6) β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u (Μονάδες 9) α) Είναι: 5π 6π π αβ = α βσυν α, β = συν = συν = 6 6 π π 3 = συν π = συν = = 6 6 6 Επομένως: αβ = 6 Επίσης: ( ) β u = β α+ β = β α+ β = 6+ = 4 6 Επομένως: β u = 4 6 β) Κατά τα γνωστά έχουμε: u = α+ β = α+ β = α + α β + β = α + 4 αβ+ 4 β = ( ) 4( 6) 4 4 6 6 4 6 = + + = + = Επομένως: u = 6 4 6 3
GΙ_V_MATHP 0057 π Δίνονται τα διανύσματα α,β με α =, β =, ( α,β) = Να υπολογίσετε τα εξής: 3 α) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β και κατόπιν την τιμή της παράστασης α + α β ( ) β) το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β + α (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Είναι: Ακόμα αβ = α β συν ( α,β) = = α + α β = α + αβ = + = 3, β + α ( ) ( ) β) Υπολογίζουμε πρώτα τα: ( α β)( β+ α), α β Είναι: ( α β)( β+ α) = αβ+ α β 4αβ = 3 + 4= 9 α β ( α β) α = = 4αβ + 4 β = 4 + 4 4= 3 Άρα α β = 3 β α β α β + = + = + 4αβ + 4 α = 4+ 4 + 4 = Άρα β + α = ( ) Επομένως ( α β)( β+ α) 9 9 3 3 3 39 συν( α β,β + α) = = = = α β β+ α 3 3 3 6 4
GI_V_MATHP 0058 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 3 ), β = ( 3,3) α) τη γωνία ( α,β ) β) το διάνυσμα = ( ) u αβ α β α Να υπολογίσετε (Μονάδες 0) (Μονάδες 5) α) Υπολογίζουμε α β = 3 + 3 3 = 3, α = + 3 = και β = 3+ 9 = = 3 επομένως β) Ισχύει: άρα α β 3 συν( α,β) = = = άρα η γωνία είναι αβ 3 α = α = = 4 και ( ) ( ) o 60 α β = α β = 3 = u = 4β α = 4 3,3, 3 = 4 3 +, 3 ( ) ( ) ( ) 5
GI_V_MATHP 0059 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 3 ), β =, α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u= α β β) Να βρείτε το θετικό αριθμό x για τον οποία τα διανύσματα u και κάθετα v = (x,x ) (Μονάδες 0) είναι (Μονάδες 5) α) Έχουμε u = (,3), = (,3) + ( 4,) = ( 3,4) β) Ισχύει ( ) u v u v = 0 3x + 4 x = 0 3x + 4x 4 = 0 Το τριώνυμο έχει Δ = 64 και ρίζες x = < 0, x = > 0 από τις οποίες δεκτή είναι η 3 x = 3 6
GI_V_MATHP 0060 Δίνονται τα διανύσματα α = (, ) και β = ( 3, 0) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u = 4α β 3 β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης από το σημείο A,αβ ( + ) u 5 (Μονάδες 0) και διέρχεται Μονάδες 5) 3 3 β) Είναι: u = 3 + ( 4) = 9 + 6 = 5 = 5 u u 5 Άρα = = = 5 5 5 5 αβ =, 3, 0 = 3 0 = 3 0 = 3, α) Είναι: u = 4α β= 4 (, ) ( 3,0) = ( 4, 4) (,0) = ( 3, 4) Ακόμη ( ) ( ) Συνεπώς A,5 ( ) Επομένως η ευθεία που αναζητούμε περνάει από το σημείο A,5 ( ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 5 Εφαρμόζουμε τον τύπο ε :y y0 = λ ( x x0) Έτσι ε :y 5= 5 ( x ) y 5= 5x 5 Δηλαδή ε :y = 5x 7
GI_V_MATHP 006 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (, ), Γ( 4,3) και Δ(,3 ) α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β (Μονάδες 6) α) Είναι AΔ = (,3 ) = (,) και ΔΓ = ( 4,3 3) = (,0) Έτσι ( ) ( ) BΓ = AΔ = AΔ = + = 5 AB = ΔΓ = ΔΓ = + 0 = 4 = και ( ) ( ) β) Το σημείο Κ είναι μέσο του AΓ, επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι: xa + xγ ya + yγ K,, άρα + 4 + 3 5 K, = K, AB = x, y Έστω B( x,y ), άρα ( ) Είναι AB = ΔΓ x,y =,0 x = Επομένως B3, ( ) ( ) ( ) x = και y = 0 x = 3 και y= 8
GI_V_MATHP 006 Δίνονται τα σημεία A, (, ) B,3 ( ) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα A,B (Μονάδες ) β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου OKΛ, όπου O είναι η αρχή των αξόνων και K,Λ είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες xx, yy αντίστοιχα (Μονάδες 4) α) Αφού xa xb, ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για το AB και είναι ίσος με ( ) 3 λ = = 5 Η ευθεία διέρχεται από το B άρα θα έχει εξίσωση: (ε):y 3= 5( x ) y= 5x 7 β) Για x = 0 έχουμε y= 7 και για y= 0 έχουμε To εμβαδόν επομένως είναι ( ) 7 x = άρα 5 7 49 OKΛ = 7 = τμ 5 0 7 K,0 5 και Λ( 0, 7) 9
GI_V_MATHP 0063 Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα AB με μέσο M και A, (, ) M(,5) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου B (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του AB καθώς και τα κοινά της σημεία με τους άξονες (Μονάδες 5) α) Αν B( x,y ) τότε ισχύουν x+ = x+ = 4 x = 5 y y = 0 y= = 5 άρα B( 5,) ( ) 7 β) Για το AB ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης λab = = άρα η κάθετη θα έχει 5 3 λ 3 7 ():y ε 5= 3 x+ y= 3 x+ 4 7 7 7 = και αφού διέρχεται από το M θα έχει εξίσωση ( ) Για x = 0 έχουμε 4 y = και για y= 0 έχουμε 7 4 x = άρα 3 C 0, 4 7 και 4 D,0 3 30
GI_V_MATHP 0065 Δίνεται η ευθεία ε :x+ y+ = 0 και το σημείο Α ( 5, ) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη προς την ευθεία ε (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, η οποία διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς τον άξονα xx (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών η και η και την απόστασή του από την αρχή των αξόνων (Μονάδες 9) α) Επειδή λε = και η ε, η ευθεία η έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και επειδή διέρχεται από το σημείο A έχει εξίσωση: η :y = x 5 y= x 4 ( ) β) Επειδή η ευθεία η είναι παράλληλη προς τον άξονα xx έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 και επειδή διέρχεται από το σημείο A έχει εξίσωση: η :y= ya y= γ) Επειδή και η η και η η διέρχονται από το A προφανώς το σημείο τομής τους είναι το A( 5, ) Η απόσταση του A από την αρχή των αξόνων είναι: ( ) OA = 5 + = 6 3
GI_V_MATHP 0066 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α ( 3, ), Β(,) και ( ) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους ΒΔ και της διαμέσου ΑΜ Γ, 4 (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) 4 α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΓ είναι λαγ = = 3, οπότε 3 A ΑΒ A ( ) ( ) ΑΓ :y y = λ x x y = 3 x 3 y = 3x+ 9 y= 3x+ 0 β) Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το ύψος ΒΔ είναι κάθετη στην ΑΓ και διέρχεται από το σημείο Β, οπότε λbδ λαγ = λβδ = και 3 4 ΒΔ :y yβ = λβδ( x xβ) y = ( x+ ) y= x+ x 3y+ 4= 0 3 3 3 + + 4 5 Το μέσο Μ της ΒΓ έχει συντεταγμένες: xm = = και ym = = 5 δηλαδή M, 5 3 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΜ είναι λ ΑM = =, οπότε 3 5 3 ΑM:y ya = λαm( x xa) y = ( x 3) 5y 5 = 3x + 9 3x + 5y = 4 5 3
GI_V_MATHP 0068 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α ( 5, 4), Β(, 6), ( ) Γ 4, και σημείο Μ της πλευράς ΑΒ για το οποίο ισχύει AM = AB 4 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος AB (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ (Μονάδες 9) 9 γ) Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 4,, να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Γ,Μ (Μονάδες 0) ( ) ( ) α) Είναι: AB = ( x B x A, yb ya) = ( 5 ),6 4 = 4, β) Έστω M( x M,y M) Τότε έχουμε AM = ( x x, y y ) = ( x + 5, y 4) M A M A M M AM = AB x M + 5, ym 4 = 4, x M + 5, ym 4 =, 4 4 Άρα ( ) ( ) ( ) xm + 5= xm = 4 9 Άρα ym 4= ym = 9 M 4, γ) Επειδή xm = xγ για την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Μ,Γ δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, η ευθεία αυτή είναι κατακόρυφη με εξίσωση ΜΓ :x= 4 33
GI_V_MATHP 0069 Δίνονται τα διανύσματα α = (, 3) και β =, α) Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β (Μονάδες 0) β) Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το β (Μονάδες 5) α) Η προβολή του διανύσματος α πάνω στο β είναι παράλληλη στο β, άρα ισχύει προβ α β προβ α λ β = () β β αβ = βπροβα αβ = β λβ αβ = λβ Επίσης ισχύει: β ( ) 3 αβ λ= = = λ= β 5 5 + 4 Άρα προβ α = λ β =, =, β 5 5 5 β) Έστω x,y οι δύο ζητούμενες συνιστώσες του α Οπότε ισχύει α = x+ y, x y και x β Από τα παραπάνω προκύπτει ότι x = προβ α =, β 5 5 8 6 και y = α x = (, 3 ), =, 5 5 5 5 34
GI_V_MATHP 0070 Έστω α και β δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν π 3 α + β = 9, α β = και α, β = 3 α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α και β και το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u = α 3β (Μονάδες ) (Μονάδες 3) α) Έστω 3 α + β = 9 () έχουμε: 5 α = 0 α = και α β = ( ) και από την ( ) οι δοθείσες σχέσεις Προσθέτοντας κατά μέλη για α = βρίσκουμε β = 3 Επιπλέον από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε: π αβ = αβσυν α, β = α β συν = 3 = 3 3 β) Αρχικά θα υπολογίσουμε το τετράγωνο του μέτρου για το διάνυσμα u Έχουμε: u = α 3β u = α 3β u = α 3β u = ( α 3β ) u = 4α αβ + 9β u = 4 α αβ + 9 β u = 4 3 + 93 u = 6 u = 6 35
GI_V_MATHP 007 Θεωρούμε τα σημεία Α ( + α,4α ) και Β( 5α ) +, α, α α) Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB = 0 (Μονάδες ) β) Έστω α = Να βρείτε σημείο Μ του άξονα xx ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ (Μονάδες 3) και AB = 0 3α + 5α = 0 9α + 4 0α + 5α = 00 α) Είναι AB = ( 5α + α, α 4α + ) = ( 3α, 5α) ( ) ( ) 34α 0α 96 = 0 7α 0α 48 = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει λύσεις α =, β) Για α = έχουμε ( ) 4 α = Άρα α = 7 Μ x,0 ώστε ΜΑ Α 5, 6 και Β(, ) Έστω ( ) Οπότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MA = MB x 5 + 6 = x + = ΜΒ άρα 6 Μ,0 3 x 0x + 5 + 36 = x x + 5 x = 64 x =, 3 6 36
GI_V_MATHP 007 Θεωρούμε μια ευθεία ( ε ) και ένα σημείο Α ( 6, ) εκτός της ( ) Έστω Μ (, ) η προβολή του Α στην ( ε ) Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας ( ε ) β) Το συμμετρικό του Α ως προς την ( ε ) ε (Μονάδες 3) (Μονάδες ) ( ) α) Επειδή λαμ = = και ΑΜ ( ε) είναι λε λαμ = λε = 6 ε :y y = λ x x y = x y= x 3 Άρα ( ) M ε ( M ) ( ) β) Έστω B( x,y ) το συμμετρικό του Α ως προς την ( ) Τότε ισχύει B Άρα B(,3) B 6+ x B + yb = xb = και ε = y = 3 B 37
GI_V_MATHP 0073 Δίνονται τα σημεία A(,3 ), B(,5) και Γ(, 4) α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο β) Να βρείτε το συμμετρικό Δ του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) 4 3 7 5 3 α) Επειδή λαγ = = και λαb = =, οι ΑΒ, ΑΓ δεν είναι παράλληλες, άρα τα 4 3 σημεία Α,Β, Γ δεν είναι συνευθειακά και σχηματίζουν τρίγωνο det AB, AΓ 0 Αλλιώς: ( ) 3 4 β) Το μέσο Μ της ΑΓ έχει συντεταγμένες: xm = = 0 και ym = = δηλαδή M 0, Δ x Δ,y Δ το συμμετρικό του Β ως προς το μέσο Μ της ΑΓ Έστω ( ) Τότε ισχύει + x Άρα Δ(, 6) Δ 5+ yδ 5+ yδ = xm xδ = και = yμ = yδ = 6 γ) Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ έχουν κοινό μέσο το Μ, δηλαδή διχοτομούνται 38
GI_V_MATHP 040 Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A(3,),B( 3,),Γ(4,0) α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς AB (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ, καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό (Μονάδες 6) 3 α) (AB):y-= (x 3) y = (x 3) y= x+ 3 3 6 6 β) Η AB έχει συντελεστή λab =, επομένως η ΓΔ ως κάθετη στην AB 6 θα έχει συντελεστή λγδ = 6 και αφού διέρχεται από το Γ θα έχει εξίσωση : y 0 = 6(x 4) y = 6x + 4 Το μήκος του ύψους ΓΔ είναι ίσο με την απόσταση d(γ,ab) Είναι Γ(4,0)και (AB): x 6y + 9 = 0 Επομένως 4 6 0+ 9 3 3 37 (ΓΔ) = d(γ,ab) = = = + 6 37 37 Σχόλιο: Είναι η GI_V_MATHP 0067, που αποσύρθηκε, με διορθωμένη εκφώνηση 39
GI_V_MATHP 048 Δίνονται τα διανύσματα α = i j, β = i 5j και γ = ( 7,3) α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α,β, γ είναι μη συγγραμμικά ανά δύο (Μονάδες 0) β) Να γραφεί το διάνυσμα γ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β (Μονάδες 5) α) Είναι α = (, ), β = (, 5) και γ = ( 7,3) Επομένως έχουν συντελεστές διεύθυνσης : λ α = =, 5 5 λ α = = και 3 λ α = αντίστοιχα 7 Αφού οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ανά δύο διαφορετικοί, τότε τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά ανά δύο β) Θέλουμε να γράψουμε το διάνυσμα γ στη μορφή: γ= κα+ μβ με κ,μ Επομένως ( 7,3) = κ (, ) + μ (, 5) ( 7,3) = ( κ, κ) + ( μ, 5μ ) ( 7,3) = ( κ + μ, κ 5μ ) κ + μ = 7 κ + 4μ = 4 κ 5μ = 3 κ 5μ = 3 Από τις σχέσεις ( ) και ( ) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει μ = 7 και με αντικατάσταση κ = 4, άρα γ = 4α 7β () ( ) 40
GI_V_MATHP 8556 Δίνονται τα διανύσματα α και β π με ( α,β) = 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Αν τα διανύσματα α+ β γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος α+ β και α =, β = και κα + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ (Μονάδες 8) (Μονάδες 0) (Μονάδες 7) π α) Είναι αβ = α β συνα,β ( ) = συν = = 3 β) ( α+ β) ( κα+ β) ( α+ β) ( κα+ β) = 0 κα + αβ + καβ + β = 0 κ α + + κ + β = 0 κ + + κ + = 0 4κ + 4+ κ + 8= 0 6κ = κ = ( ) γ) Είναι α+ β = α+ β = α + αβ + β = 4 α + 4αβ + β = 4 + 4 + = ( ) ( ) ( ) Τότε είναι α+ β = 4 = 4 6 = 6 = 4 + 4 + 4 = 4 4