Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Ενότητα : Εισαγωγή στην Αεροδυναμική Γεώργιος Λευθεριώτης, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις βασικές έννοιες και τις θεμελιώσεις αρχές της ρευστομηχανικής και της αεροδυναμικής. Εφαρμογή των παραπάνω εννοιών για την ανάλυση και κατανόηση της σχεδίασης των αεροτομών Παρουσίαση ιδιαίτερων χαρακτηριστικών των ρευστών και του ρόλου τους στη διαμόρφωση του είδους της ροής γύρω από αεροτομές.
Περιεχόμενα ενότητας Η έννοια του «ιδανικού ρευστού» Θεμελιώδη στοιχεία αεροδυναμικής Ροη ιδανικού ρευστού γύρω από κύλινδρο Εξίσωση συνέχειας Νόμος Bernoulli Διατμητικές τάσεις οριακό στρώμα Ροή γύρω από κύλινδρο δύο διαστάσεων Γεωμετρικά χαρακτηριστικά και κατανομή πίεσης τυπικής αεροτομής Άντωση και οπισθέλκουσα Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο Γωνία προσβολής (απώλεια στήριξης) Αριθμός Reynolds Στρωτή και τυρβώδης ροή 3
Η έννοια του «ιδανικού ρευστού» (1) Ιδανικό Ρευστό Ασυμπίεστο: ρ=ct Μηδενικό Ιξώδες: μ=0 Ένα τέτοιο ρευστό έχει ορισμένες «θαυμαστές» ιδιότητες: Τα μόριά του δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους ούτε και με τα στερεά που βρίσκονται εμβαπτισμένα μέσα στο ρευστό και «γλιστρούν» χωρίς τριβή επάνω στα τοιχώματα των στερεών. Το πεδίο ταχυτήτων V του ιδανικού ρευστού είναι: αστρόβιλο => σωληνοειδές => V =0 V =0
Η έννοια του «ιδανικού ρευστού» () Υπάρχει συνάρτηση Φ(x,y,z) που ονομάζεται δυναμικό ταχύτητας και για την οποία ισχύει: V με V την ταχύτητα του ρευστού. Έτσι προκύπτει η εξίσωση Laplace: Το πεδίο ροής που περιγράφει την κατανομή ταχυτήτων του ρευστού σε κάθε του σημείο είναι ανάλογο με το ηλεκτρικό πεδίο ορίζονται ρευματικές γραμμές, κλπ xyz,, Φ = Φ = ( ) 0 E U xyz,, Αρχή της υπέρθεσης των λύσεων της εξίσωσης Laplace, δηλαδή ο συνδυασμός λύσεων απλών προβλημάτων μπορεί να δώσει λύσεις σε πιο δύσκολα πεδία ροής.
Θεμελιώδη στοιχεία αεροδυναμικής Ομογενές πεδίο (V=ct), Σημειακή πηγή (V~1/r για δύο διαστάσεις), Καταβόθρα (επίσης V~1/r για δύο διαστάσεις), Σημειακός στρόβιλος που προκαλεί περιστροφική κίνηση με V~1/r, διπολική πηγή πού είναι συνδυασμός σημειακής πηγής και καταβόθρας.
Παράδειγμα δισδιάστατης ροής ιδανικού ρευστού γύρω από κύλινδρο.
Εξίσωση συνέχειας Νόμος Bernoulli (1) P S 1 P 1 Q 1 Q V 1 S V L 1 = V 1 t Q Q Q 1 L = V t S V 1 S L S L SVt SVt 1 1 1 1 SV SV ή 1 1 S V Αρχή διατήρησης της ενέργειας: 1 W E ct ( W FL, F PS, m Q SL )
Εξίσωση συνέχειας Νόμος Bernoulli () P S 1 P 1 Q 1 Q V 1 S V L 1 = V 1 t L = V t 1 1 1 1 L mv P S V t SVtV P S V tv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F L mv F t SV P ό P, P 1 Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει ότι P V P V P 1 1 1 1 ό 1 V : «ολική πίεση» : «στατική πίεση» : «δυναμική πίεση»
Διατμητικές τάσεις, οριακό στρώμα (1) Τα συνήθη ρευστά (π.χ. αέρας, νερό) συμπεριφέρονται με καλή προσέγγιση ως «ιδανικά» εκτός από περιοχές του πεδίου ροής όπου εμφανίζονται μεγάλες και απότομες βαθμίδες ταχύτητας κάθετες στην κατεύθυνση της ροής: Στα σημεία αυτά αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις xy x (μεταφορά ορμής στα αέρια / δυνάμεις συνοχής και συνάφειας στα υγρά) y V Προφίλ ταχυτήτων Αμελητέες διατμητικές τάσεις dv dy dv x dy Πάχος δ του οριακού στρώματος V x (y) Διατμητικές τάσεις σημαντικές
Διατμητικές τάσεις, οριακό στρώμα () Αποτέλεσμα: Εμφάνιση «οριακού στρώματος» και «οπισθέλκουσας D»: y V Προφίλ ταχυτήτων Αμελητέες διατμητικές τάσεις Ακριβώς στην επιφάνεια V x =0 για y=0, αρχή της μη ολίσθησης. Λίγο πιο πάνω από τη στερεή επιφάνεια το ρευστό κινείται με ταχύτητα V x (y). Σε άπειρη απόσταση πάνω από την επιφάνεια γίνεται V (ταχύτητα του αδιατάρακτου υστού). Πάχος δ του οριακού στρώματος V x (y) Διατμητικές τάσεις σημαντικές Το πάχος του οριακού στρώματος (δ) ορίζεται ως η απόσταση y δ στην οποία ισχύει V x (y δ ) = 0,99 V. Συνεχής μεταφορά ορμής από το ρευστό στο σώμα, εμφάνιση οπισθέλκουσας δύναμης (D τριβής ).
Ροή γύρω από κύλινδρο δύο διαστάσεων Κατανομή της στατικής πίεσης στην επιφάνεια του κυλινδρου V 0 ΙΔΑΝΙΚΟ ΡΕΥΣΤΟ: Συμμετρική κατανομή πίεσης στην επιφάνεια του κυλινδρου Ανάπτυξη του οριακού στρώματος Δημιουργία απορρεύματος V 0 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΡΕΥΣΤΟ: Μη συμμετρική κατανομή πίεσης στην επιφάνεια του κυλινδρου Αποκόλληση του οριακού στρώματος Αποτέλεσμα: εμφάνιση επιπλέον οπισθέλκουσας (D μορφής ): D D D ή ή ή
Περιστρεφόμενος κύλινδρος ή σφαίρα (φαινόμενο Magnus) by Rdurkacz http://commons.wikimedia.org/wiki/file:sketc h_of_magnus_effect_with_streamlines_and_t urbulent_wake.svg
Αποκόλληση (ή διαχωρισμός) του οριακού στρώματος P 1 P > P 1 dv 0 dy = Νέα θέση μηδενός για την ταχύτητα Θέση αποκόλλησης του οριακού στρώματος Ανασχετική βαθμίδα πίεσης Ανάκτηση πίεσης
Αεροδυναμικό σχήμα αεροτομής Δημιουργία μικρότερου απορρεύματος V 0 Μείωση της οπισθέλκουσας με «αεροδυναμικό» σχήμα Η αποκόλληση του οριακού στρώματος καθυστερεί
Γεωμετρικά χαρακτηριστικά και κατανομή πίεσης τυπικής αεροτομής
Αντωση και οπισθέλκουσα (1) Η οπισθέλκουσα (Drag) είναι παράλληλη στο διάνυσμα της ταχύτητας του ρευστού. D Η «δυναμική άνωση (Lift)» ή «άντωση» είναι κάθετη στο διάνυσμα της ταχύτητας ροής. L 1 1 VCc VCc (*Οι αδιάστατοι συντελεστές C L και C D εξαρτώνται από τη γωνία προσβολής α) D L N m N m
Άντωση και οπισθέλκουσα () ΑΕΡΟΤΟΜΗ: CLARCK Y Απώλεια στήριξης Μέγιστο C L /C D CL (Συντελεστής άντωσης) Γραμμική περιοχή C L CD (Συντελεστής οπισθέλκουσας) C L /C D Απώλεια στήριξης Γωνία προσβολής (α) Γωνία προσβολής (α)
Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο (1) Για τον κύλινδρο ισχύει : F = F1+ F + F3 F 1 = ομογενές πεδίο στο εξωτερικό του κυλίνδρου γωνία α V ze ia F = Στρόβιλος στο εσωτερικό του κυλίνδρου ln ( z z ) iγ π το περιστρέφουμε κατά μια F 3 = διπολική πηγή στο εξωτερικό του κυλίνδρου με φορά αντίθετη του ia µ e ομογενούς πεδίου π z z ( ) 0 0 Τελικά F = V ze ia iγ π + ln ( z z ) 0 + µ e π ia ( z z ) 0
Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο () Ρώμη της πηγής ia df ia iγ µ e Q= = Ve + dz π z z z z ( ) π ( ) 0 0 Ρυθμίζουμε τη ρώμη της πηγής ώστε µ π = RV ia iγ Q= V e + π ( z z ) 0 π RVe π iγ VRe ia ia ia Q= Ve ( ) ( ) ( ) ( 1 ) + z z π z z 0 0 z z0 Η ταχύτητα στο επίπεδο ξ δηλαδή της αεροτομής: df df dz 1 Q = Q Q dξ = dz dξ = d ξ dz Q ia ia iγ VRe ΣΤ.. Ve π ( z z0 ) ( z z0 ) = 0 + = 0 z = z + Re z z = Re iβ ΣΤ.. 0 ΣΤ.. 0 iβ
Μετασχηματισμός αεροτομής σε 4πRV sin ( a β) κύλινδρο (3) Γ= + κυκλοφορία ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη kutta Δηλαδή: L = ρv Γ= ρv 4π RV sin ( a + β ) L = 4πρV Rsin ( a + β ) Συντελεστής άντωσης: C L L = = 1 ρv c 4πρV 1 Rsin V ρ ( a+ β ) 8πRsin ( a+ β) c = c σχετίζεται με γεωμετρικά χαρακτηριστικά Συντελεστής άντωσης για μοναδιαίο κύκλο που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων CL = π sin a (γραμμική εξάρτηση μεταξύ C L και α)
Μετασχηματισμός αεροτομής σε κύλινδρο (4) Περίπτωση Αεροτομών z = re µ... z = r cosθ µ + ir sinθ 1 ( µ + 1+ µ ) + 1 δεν έχουμε μοναδιαία ακτίνα => ξ = z + ξ = z µ + 1+ µ ( 1+ µ ) ( ) ( ) ( ) r= µ + 1 1+ µ c 1+ µ c= 4 1+ µ c= 4 1 ( 1+ r 1 ) = 4 µ = r 1+ 1+ r 1+ i Εξίσωση κύκλου: θ ( ) µ µ µ o C 1 µ L π sina( a 5 ) CL π 1 µ = + < = + a r r Μετατόπιση κύκλου κατά μ x από τον άξονα x και κατά μ y από τον άξονα y r ( ) µ y = µ x + 1 + µ y, β = arcsin r L ( < 5 o ) ( + ) C a π α β Για λεπτές αεροτομές
Γωνία προσβολής Απώλεια στήριξης (stall) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5b/stall Formation.gif http://en.wikipedia.org/wiki/stall_ %8fluid_mechanics%9
Αριθμός Reynolds Re VL VL ρ πυκνότητα του ρευστού, V χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής, L χαρακτηριστικό μήκος των εμβαπτισμένων στερεών, μ συντελεστής «δυναμικού» ιξώδους ν (=μ/ρ) συντελεστής «κινηματικού» ιξώδους. Ο αριθμός Reynolds εκφράζει το λόγο των δυνάμεων αδράνειας της ροής (~ρv ) προς τις δυνάμεις ιξώδους (~μv/l).
Στρωτή και τυρβώδης ροή (1) Μικροί Re: Στρωτή ροή. Μοιάζει δηλαδή το ρευστό να κινείται σε «στρώσεις», που η μία ολισθαίνει πάνω στην άλλη. Οι δυνάμεις ιξώδους συγκρατούν τις διάφορες «στρώσεις» και αυτές έχουν παραπλήσιες ταχύτητες. Μέλι, λάδι. Μεγάλοι Re: Τυρβώδης ροή. Υπερτερούν οι δυνάμεις αδράνειας, οπότε, είναι δυνατόν περιοχές του ρευστού με μεγάλη ταχύτητα να «ξεφεύγουν» και να δημιουργούνται «ριπές» με σημαντικές διακυμάνσεις στο χρόνο τόσο του μέτρου όσο και της κατεύθυνσης της ταχύτητας του ρευστού. Άνεμος.
Στρωτή και τυρβώδης ροή () «Κρίσιμος» Re: Ασταθής στρωτή ροή. Μια μικρή διακύμανση της ταχύτητας (εξαιτίας θορύβου, κραδασμών, ανωμαλιών της επιφάνειας, κλπ), προκαλεί μετάπτωση στην τυρβώδη ροή. Περιοχή μετάβασης Πάχος του οριακού στρώματος Τυρβώδης ροή Στρωτή ροή Αρχή της ροής Σημείο μετάβασης Προφίλ ταχυτήτων
Στρωτή και τυρβώδης ροή (3) Συντελεστής οπισθέλκουσας για ροή ανέμου γύρω από κύλινδρο με λεία τοιχώματα. Re critical = 3x10 5. Μεταβολή της οπισθέλκουσας με την ταχύτητα. D 1 VCc N D m Re VL VL Για μικρά Re (<100, έρπουσα ροή): C D ~(1/Re) C D ~(1/V), επομένως D~V (Νόμος του Stokes). Για μεγαλύτερα Re: C D ct C D ct, επομένως D~V.
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Λευθεριώτης Γεώργιος, 015. «Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού, Ενότητα: Εισαγωγή στην Αεροδυναμική» Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/units/?course=phy1954&id=487
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων