( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 8 ο ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Έστω λ είναι ιδιοτιµή του ν ν πίνακα, αλγεβικής πολλαπλότητας ν > Ένα διάνυσµα τάξης x, διάφοο του µηδέν, ονοµάζεται γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα,, αντίστοιχο της ιδιοτιµής λ του πίνακα, ακιβώς όταν για τον ελάχιστο φυσικό αιθµό είναι Για λ I x=, λ I x (8) =, τα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα τάξης είναι τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Ποφανώς, ο πολλαπλότητα του αιθµός είναι το πολύ ίσος µε την αλγεβική λ στο ελάχιστο πολυώνυµο µ ( λ ) του Τα διανύσµατα = λ x, x x I x, x = λi x I, = λ είναι γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα τάξης,,, αντίστοιχα του λ, καθόσον και k k k λ I x = λ I λ I x= λ I x= k λ I x = λ I x k k Έτσι από το γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα x x, τάξης, δηµιουγείται από την αναδοµική σχέση ( k =,,,, ; = ) xk I x k+ = λ, (8) x, ένα σύνολο γενικευµένων ιδιοδιανυσµάτων { x, x,, x, x} X = Το σύνολο X ονοµάζεται αλυσίδα γενικευµένων ιδιοδιανυσµάτων πααγόµενη από το x και το πλήθος των διανυσµάτων αυτών ονοµάζεται µήκος της αλυσίδας

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Σε κάθε ιδιοτιµή λ δεν αντιστοιχεί µία µόνο αλυσίδα, καθόσον είναι δυνατόν στο λ ν αντιστοιχούν πεισσότεα από ένα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα που παάγουν αλυσίδες µε διαφοετικό µήκος Πόταση 8 Τα διανύσµατα της αλυσίδας είναι γαµµικά ανεξάτητα Απόδειξη : Έστω η γαµµική έκφαση c x + c x + + c x = Πολλαπλασιάζοντας αυτή επί ( ) I λ έχουµε I x I x I x c λ + + c λ + c λ = Επειδή λ I x =, ( I) x λ =,, λ I x =, συµπεαίνουµε c λ I x = και απ αυτή c = Πολλαπλασιάζοντας την αχική γαµµική σχέση επί ( ) I λ θα καταλήξουµε c = Έτσι, συνεχίζοντας τη διαδικασία, θα είναι c c = = = Αν θεωήσουµε τον πίνακα µε στήλες τα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα της αλυσίδας X κατά αύξουσα τάξη, από την (8) έχουµε x x x = x x x = λx λ x + x λ x + x λ O λ = x x x O λ x x x J = (83)

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 3 από Ο πίνακας J λ O λ = O λ ονοµάζεται πίνακας Jordan τύπου, αντίστοιχος της ιδιοτιµής Το λ µέγεθος του J ποφανώς ισούται µε το µήκος της αλυσίδας Πόταση 8 Στην ιδιοτιµή λ, ο αιθµός των αλυσίδων που αντιστοιχούν σε αυτήν, ισούται µε τη γεωµετική πολλαπλότητα του λ, δηλαδή { αλυσ δων } = ( λ ) = ν ( λ I) = ( λ I) # ί d rank dim ker Απόδειξη : Οι αλυσίδες που αντιστοιχούν στο λ έχουν µήκος Επειδή κάθε αλυσίδα πειέχει ακιβώς ένα ιδιοδιάνυσµα, το πλήθος των αλυσίδων ταυτίζεται µε το πλήθος των αντιστοίχων ιδιοδιανυσµάτων, δηλαδή τη γεωµετική πολλαπλότητα d( λ ) της ιδιοτιµής Θεώηµα 83 Αν µ ( λ ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k k είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα και V = ker λ I, τότε j j j = V V V n k και dim V ισούται µε την αλγεβική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ j j Η σχέση της αλγεβικής πολλαπλότητας των ιδιοτιµών στο ελάχιστο πολύωνυµο του πίνακα µε τα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατά του εκφάζεται στο επόµενο θεώηµα

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 4 από Θεώηµα 84 Αν µ ( λ ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k k είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του, τότε είναι ο ελάχιστος φυσικός ώστε j ker ( ji) ker ( ji) + λ = λ j j Από το θεώηµα αυτό είναι φανεό ότι στην ιδιοτιµή λ j υπάχει µία τουλάχιστον αλυσίδα µήκους και καµία αλυσίδα µήκους + j j Αναλυτικότεα συµπεάσµατα διατυπώνονται στις παακάτω δύο ποτάσεις Πόταση 85 Έστω λ είναι ιδιοτιµή του πίνακα, πολλαπλότητας στο ( ) ( k µλ Αν m = dim ker λ I, k =,,, ), τότε αντιστοιχούν σε αυτήν k sk = mk mk γαµµικά ανεξάτητα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα τάξης k Απόδειξη : Από τον οισµό του γενικευµένου ιδιοδιανύσµατος και από τη σχέση ker k ker ( λ I λ I), συµπεαίνουµε ότι στην ιδιοτιµή k λ αντιστοιχούν sk γαµµικά ανεξάτητα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα τάξης k k k Από την ισότητα rank ( I) dim ker ( I) λ =ν λ, έχουµε : Πόισµα Στην ιδιοτιµή λ του πίνακα αντιστοιχούν ακιβώς k ( I) ( I) k k = λ λ (84) s rank rank γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα τάξεως, πολλαπλότητα του στο µλ λ k ( k =,,, ), όπου είναι η Η διαφοά sk sk + εκφάζει το πλήθος των γενικευµένων ιδιοδιανυσµάτων τάξεως k, τα οποία δεν ανήκουν σε αλυσίδα µήκους τουλάχιστον k+, αλλά είναι τα µεγιστοτάξια

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 5 από ιδιοδιανύσµατα αλυσίδων µήκους του πίνακα διαστάσεων υπάχουν ακιβώς k k + k k k Συνεπώς στην κανονική µοφή Jordan s s υποπίνακες Jordan του λ, Πόταση 86 Αν λ είναι ιδιοτιµή του αλγεβικής πολλαπλότητας ν, σε αυτήν αντιστοιχούν συνολικά ν γαµµικά ανεξάτητα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα Έστω ιαδικασία υπολογισµού γενικευµένων ιδιοδιανυσµάτων είναι η πολλαπλότητα του λ στο ελάχιστο πολυώνυµο µλ του, τα ν γαµµικά ανεξάτητα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα βίσκονται ως εξής: Από τις σχέσεις ( λ I) x=, λ I x βίσκουµε τα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα x, x,, x s, τάξης Τα διανύσµατα τάξης λ I x j j=,,,s, είναι γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα Επιπλέον βίσκουµε από τις σχέσεις τα υπόλοιπα ( λ I) y =, λ I y σ = s s γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα y, y,, yσ τάξης, τα οποία παάγουν νέες αλυσίδες και δεν ανήκουν στις αλυσίδες ( λ ) όπου j=,,,s Σηµειώστε ότι { ( λi) x ( λi) xs y y y } σ span,,,,,, Τα διανύσµατα { xj, I xj, } ( I) \ ( I) = ker λ ker λ ( λ ) I x j ( j=,,,s ), ( λ I) yu ( u =,,, σ )

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 6 από είναι γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα τάξης, και από τις σχέσεις βίσκουµε τα υπόλοιπα ( λ I) ω =, σ = s s λ I ω γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα ω, ω,, ω σ τάξης, που παάγουν και αυτά νέες αλυσίδες Σηµειώστε ότι, {( λi) x ( λi) xs ( λi) y ( λi) y σ ω ωσ } span,,,,,,,, ( I) \ ( I) 3 = ker λ ker λ Συνεχίζοντας τη διαδικασία βίσκουµε τελικά το σύνολο των αλυσίδων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ Αν θεωήσουµε τον πίνακα M µε στήλες τα διανύσµατα των αλυσίδων, όπως διατάσσονται στην (83), και για όλες τις διακεκιµένες ιδιοτιµές λ, λ,, λ, έχουµε : k M M M M M M M = ν ν k kν k όπου οι στήλες του πίνακα M M i ν των αλυσίδων που αντιστοιχούν στην λ i Τότε M M M M M = ν k kνk i i είναι το σύνολο των διανυσµάτων = MJ M ν J ν M kjk Mkν J k kνk όπου J,, J νi i ( ν k kν ) = M diag J J J J (85) i είναι πίνακες Jordan που αντιστοιχούν στην k λ i Ο πίνακας M είναι αντιστέψιµος, οι δε στήλες του ονοµάζονται βάση Jordan του πίνακας στην (85) ( ν k k ν ) J = diag J J J J ονοµάζεται κανονική µοφή Jordan του k Ο

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 7 από Παάδειγµα: Έστω 3 3 J = diag 3,,, [ ], [ ] 3 3 είναι η κανονική µοφή Jordan του 9 9 πίνακα Τότε συµπεαίνουµε: σ = {,, 3 } αλγ πολ/τα ν =, αλγ πολ/τα ν =, αλγπολ/τα ν 3 5 ( 3) 5 δ λ =λ λ λ = = d 3, d, d = 3 µ λ = λ 3 λ λ 3 =, και Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση 8 Να βεθούν τα γαµµικά ανεξάτητα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα και η κανονική µοφή Jordan του πίνακα = Λύση : Ο πίνακας έχει χαακτηιστικό πολυώνυµο 4 δ λ = λ και ελάχιστο πολυώνυµο µ ( λ ) = ( λ ) Από την (84) έχουµε και s = rank I rank I = rank = s = rank I rank I = rank I rank I = 4 = 4

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 8 από Συνεπώς, στη µοναδική ιδιοτιµή λ = αντιστοιχούν δύο γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα και x τάξεως, τα οποία παάγουν δύο αλυσίδες X και x X, µήκους Η εξίσωση επιλέγουµε I x= επαληθεύεται για κάθε x και x [ ] T =, x [ ] T = καθόσον, σύµφωνα µε την (8), ( I) x και ( ) I x Από την (8) βίσκουµε τα δύο ιδιοδιανύσµατα και x που συµπληώνουν τις αλυσίδες και θα είναι Τότε x = ( ) = [ ] T, x = ( I) x = [ ] T x I x X = { x, x }, = { x, x } X Αν θεωήσουµε τον πίνακα M= [ x x x x ] επαληθεύουµε M = M diag, Ο σύνθετος διαγώνιος πίνακας είναι η κανονική µοφή Jordan του Άσκηση 8 Να υπολογίσετε την κανονική µοφή Jordan του πίνακα = Λύση : Βίσκουµε 4 πίνακες 3 δ λ = λi = λ, µ λ = λ και για τους I= ( ) = ( I) είναι rank I, rank =, ( I) =

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 9 από Επειδή 3 s = rank I rank I = =, υπάχει ένα γενικευµένο 3 ιδιοδιάνυσµα τάξης 3 Από τις εξισώσεις 3 I x=, ( I) x x= [ ] T Από το διάνυσµα αυτό οίζεται η αλυσίδα µήκους 3 { ( I) x, ( I) x, x} T T {[ ] [ ] [ ] T } X= =,, Επειδή s = rank I rank I = = και σ = s s3 = =, δεν υπάχει κανένα επιπλέον γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τάξης ( I)x της αλυσίδας X, εκτός από το Επειδή s = rank I rank I = 4 = και σ = s s = =, υπάχει ένα επιπλέον ιδιοδιάνυσµα Από την εξίσωση ( I) x ω [ ] T, ω [ ] T = = = Το ω αποίπτεται, διότι είναι συγγαµµικό µε το ιδιοδιάνυσµα ( ) I x στην αλυσίδα έχουµε X Κατά συνέπεια, για M =, = MJM J = Άσκηση 83 Όµοια για τον πίνακα 3 5 4 = 4 3 3

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Λύση : Έχουµε δ ( λ ) = λ = ( λ ) ( λ ) και µ ( λ ) =δ ( λ) είναι I 3 4 4 = 4 3 4 I, Το διάνυσµα [ ] T µαζί µε το διάνυσµα 3 4 4 4 I = 4 3 Για λ=, x = είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τάξης και αποτελούν αλυσίδα µήκους Επιπλέον, για λ= έχουµε 3 3 4 I= 4 3 5 [ ] T x = I x = 3 3 6 3, ( I) 3 3 4 6 3 4 = 6 8 4 3 4 και το διάνυσµα x = 3 3 4 4 T είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τάξης Συνεπώς, x 3 3 3 = I x = 4 4 4 Σηµειώνοντας T είναι = MJM [ ] M= x x x x, J = diag, Άσκηση 84 Όµοια για τον πίνακα = 3 Λύση : Βίσκουµε δ ( λ ) = λ = ( λ ) και ιδιοτιµή λ= είναι I µ λ = λ Για την

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από I= και τα γενικευµένα ιδιοδιανύσµατα τάξης Αν [ ] T I x =, επαληθεύουν τις σχέσεις I x x = α β γ, έχουµε και έστω Τα διανύσµατα {, } Jordan x = α+ β γ [ ] T [ ] T x = I x = Τότε x x είναι αλυσίδα µήκους και αντιστοιχούν στον πίνακα εν αναζητούµε άλλο γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τάξης, διότι ( I) ( I) s = rank rank = = Επειδή s = rank I rank I = 3 =, ο πίνακας έχει δύο ιδιοδιανύσµατα Το ένα ιδιοδιάνυσµα είναι το x, το δε άλλο βίσκεται από την εξίσωση Τα διανύσµατα [ c c c c c+ c T ( I) x= x= = [ ] + [ ] T και [ ] T οποιοδήποτε από αυτά µαζί µε την αλυσίδα στην (85) Για δεν είναι συγγαµµικά του και {, } ] T x x x οίζουν τον πίνακα M = ή M =, έχουµε J = = M M M

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από Άσκηση 85 Όµοια για τον πίνακα 4 = 3 8 3 4 8 Λύση : Έχουµε 3 δ λ = λi = λ, µ λ = λ και Επειδή 4 I = 3 6 3 4 8 4 ( I) ( I) s = rank rank = = και s = rank I rank I = 3 = ο πίνακας έχει µία αλυσίδα µήκους και ένα ιδιοδιάνυσµα ( σ = s s = ) Από τις σχέσεις ( I) x=, ( ) I x (*) η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε x και η δεύτεη για τα διανύσµατα [ x x x ] T x = για τα οποία x x+ x 3 3 Το διάνυσµα [ ] T u = είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα του τάξεως, αφού επαληθεύει την (*) και µε το διάνυσµα ( ) [ 3 ] T u = I u = 4, συµπληώνεται η αλυσίδα X = { u, u } Από την εξίσωση ( ) I x= βίσκουµε τα ιδιοδιανύσµατα του x x+ x3 x = x x c c = = + = cυ+ cυ x x 3 3 Το δεν είναι συγγαµµικό µε τα υ, υ και συνεπώς για u έχουµε = [ ] ή M= [ u u υ ] M u u υ

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 3 από M M = diag, [ ] ( 3 Άσκηση 86 Αν λ ) είναι το χαακτηιστικό πολυώνυµο του 3 3 πίνακα, να βείτε τις πιθανές µοφές Jordan του Λύση : Το ελάχιστο πολυώνυµο µ ( λ ) του θα είναι 3 µ ( λ ) = ( λ ) µ λ = λ ή ή µ λ =λ 3 Στην πώτη πείπτωση θα έχουµε J =, στη δεύτεη J = diag, [ ] και στην τίτη πείπτωση J 3 = diag (,, ) Άσκηση 87 Όµοια για τον 5 5 πίνακα, όταν µ ( λ ) = ( λ ) 3 Λύση : Το χαακτηιστικό πολυώνυµο του είναι δ ( λ ) = ( λ ) 5 Η κανονική µοφή Jordan του, θα έχει υποπίνακα Jordan 3 3, και θα είναι όταν J J = = diag J, ( I) ( I) s = rank rank = (γενικ ιδιοδιανύσµατα ης τάξης),

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 4 από Στην πείπτωση αυτή θα πέπει να είναι ( I) { ν } 5 rank = = # πλήθος αλυσδω ί και κατά συνέπεια rank I 3, ( ) = rank I = Θα έχουµε δε J = diag J,, όταν ( [ ] [ ] ) ( I) ( I) s = rank rank = 3 Άσκηση 88 Για τον αντιστέψιµο πίνακα ιδιοδιάνυσµά του, τάξεως, το ν x είναι γενικευµένο, αντίστοιχο της ιδιοτιµής λ σ, ακιβώς όταν είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα του τάξεως, αντίστοιχο της ιδιοτιµής λ σ( ) Λύση : Για το διάνυσµα Επειδή και x έχουµε τις σχέσεις, λ I x= λi x λ I x= λ λi x= το x είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα του λ I x= λ λi x, τάξεως Αντίστοφα, από τις σχέσεις (*) και επειδή (*) (*) είναι αντιστέψιµος, συµπεαίνουµε άµεσα ότι x είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα του, αντίστοιχο της ιδιοτιµής λ

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 5 από Άσκηση 89 Αν ο ν ν πίνακας είναι µηδενοδύναµος δείκτου, τότε ν Λύση : Ο πίνακας ως µηδενοδύναµος, έχει µοναδική ιδιοτιµή λ=, διότι από την χαακτηιστική εξίσωση Συνεπώς, x x =λx x =λ x λ x = λ= ν δ ( λ ) =λ και µλ=λ, όπου ν Για να διευκινίσουµε το δείκτη θεωούµε την κανονική µοφή Jordan του και έστω όπου J = diag J,, J σ J i O = O ν ν i i και ν+ +ν =ν Ο πίνακας J είναι µηδενοδύναµος δείκτου ν και αν σ { } = ν ν ν, έχουµε max,, σ i i διότι J = O MJ M O = =, Άσκηση 8 Αποδείξατε ότι δεν έχει τεταγωνική ίζα ο πίνακας Jordan = Λύση : Έστω ο 3 3 πίνακας X, ώστε η κανονική µοφή Jordan του Έτσι, θα έχουµε X, τότε X = Αν X= MJM, όπου J είναι { } { } MJ M J J = σ =σ = σ =

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 6 από J= ή J = diag, [ ] ή J = diag (,, ) Για = = = J MJ M M M Από την εξίσωση αυτή συµπεαίνουµε ότι η 3 η γαµµή του µηδενική, άτοπο, διότι M Για την επόµενη µοφή του άτοπο είναι αντιστέψιµος J από την ισότητα, MJ = M M = O = O, Τέλος, για J = O X= O = O, άτοπο M είναι Άσκηση 8 Να βεθούν για ποιες τιµές του α ο πίνακας α α α 3 = δεν διαγωνοποιείται και βείτε την κανονική µοφή Jordan Λύση : Στην άσκηση 69 αποδείχθηκε ότι ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται για α=, διότι έχει διπλή ιδιοτιµή λ = και d= Όµοια για α=, διότι είναι διπλή ιδιοτιµή και d = λ= Για α=, έχουµε Θα είναι δε µ λ δ λ, διότι δ λ = λ+ λ ( ) αν µ λ = λ+ λ, ο θα ήταν διαγωνοποιήσιµος, άτοπο Επιπλέον, και 3 I = 3 3, ( I) = 3 3

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 7 από 3 3 I x x u v ( ) = x 3x+ 3x3 = = c + c = c + c Οποιοδήποτε από τα u, v είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα του τάξης, διότι ( ) και ( I) v Το διάνυσµα I u συµπληώνει την αλυσίδα {, } Συνεπώς, [ ] T u = I u = 3 u u Για λ =, 3 3 ( + I) x= x= x= c[ ] T = MJM, όπου 3 3 M = diag,, J = [ ] Για, έχουµε και θα είναι µ λ δ λ Τότε, α= δ ( λ ) = ( λ+ ) ( λ ) ( ) και + I= 3 3, ( I) + = Το [ ] T ( I) ω ω c [ ] T + = =, c ω = είναι γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τάξεως, διότι ( + I) ω και µε το ιδιοδιάνυσµα ω = ( + I) ω = [ ] T αλυσίδα { ωω, } Για λ=, έχουµε Έτσι, για οίζεται η ( I) x= x= x= [ 3 ] T

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 8 από 3 = M, J [] = diag, έχουµε = MJM Άσκηση 8 Να βεθεί η κανονική µοφή Jordan του πίνακα όπου B 3 T = εε και [ ] T ε = I B O B, 3 = Λύση : Ο πίνακας B έχει ιδιοδιάνυσµα το ε, αντίστοιχο της ιδιοτιµής λ=, διότι T = = = 3 3 T Bε εε ε ε ε ε ε Επειδή rank B = < 3, ο B έχει ιδιοτιµή λ = και αντιστοιχούν σ αυτή δύο ιδιοδιανύσµατα, εφόσον d = 3 rankb = Ο πίνακας B έχει συνολικά 3 ιδιοδιανύσµατα, άα η αλγεβική πολλαπλότητα της δ ( λ ) =λ ( λ ) και κατά συνέπεια 4 B έχουµε δ λ =λ λ Επειδή = = = 9 3 T T T B ε ε ε ε εε B λ = είναι δύο Τότε και Συνεπώς, ο O B O O 6 = = O B I O B I ( I ) I3 B O O I6 = O O B = O B I έχει ελάχιστο πολυώνυµο µ λ =λ λ Στην ιδιοτιµή λ= αντιστοιχεί ένα γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τάξεως, που οίζει µία αλυσίδα

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα 9 από µήκους διότι και και δύο ιδιοδιανύσµατα (εκτός του ιδιοδιανύσµατος της αλυσίδας), rank ( B I) = rank 3 =, ( I ) ( I ) s = rank rank = 3 = 6 6 s = rank I rank I = 6 3 = 3 6 6 Από τη λύση του συστήµατος I x= έχουµε 6 O O x = Bx = x, x x = ε, x O B I x Αν θεωήσουµε x =, είναι ε Bε ε x= ( I6 ) x= =, τα δε διανύσµατα xx, είναι µια αλυσίδα µήκους που αντιστοιχεί στην λ = Από τη λύση του συστήµατος I ω = έχουµε 6 O B ω = Bω = ( B I) ω =, ω ω =, ω O B I ω και έστω τα ιδιοδιανύσµατα [ ] T και [ ] T Για λ=, είναι rank = 4 και αντιστοιχούν σε αυτή δύο ιδιοδιανύσµατα ( 6 rank = ) Από την εξίσωση z = έχουµε I B z z+ Bz = z = O B z = Bz = Bz = Έτσι, για z =, z = z =, z = c + c

Γαµµική Άλγεβα ΙΙ Σελίδα από έχουµε = MJM M =, J = diag, [], [], [ ], [ ] Άλυτες Ασκήσεις Μετασχηµατίστε στην κανονική µοφή Jordan τους πίνακες 3 6 3 5 3 3 = 4, B 4 3 3 =, Γ = 3 4 3 4 4 Βείτε τις πιθανές µοφές Jordan των πινάκων 5 5, όταν µ λ = λ 7 7, όταν B δ ( λ ) = ( λ )( λ ) 5, B µ λ = λ λ B