ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3"

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 23 Μαρτίου 28 a b Υπενθυµίζουµε τη µορφή του χαρακτηριστικού πολυώνύµου ενός 2 2 πίνακα A M c d 2 K): P A t) a t b c d t t2 a + b)t + ad bc) t 2 TrA)t + A Ασκηση Εστω A M n C) Να δειχθεί ότι η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η λ αν και µόνον αν A n Λύση Αν η µόνη ιδιοτιµή του πίνακα A είναι η λ, έπεται ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι : P A t) ) n t n Τότε από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton προκύπτει ότι P A A) A n O Αντίστροφα, έστω ότι A n Θεωρούµε το πολυώνυµο Qt) t n και τότε έχουµε QA) O Γνωρίζουµε τότε ότι Q A t) Qt) και εποµένως Q A t) t k για κάποιο k n Η µόνη ϱίζα του Q A t) είναι η λ Επειδή το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυµο του A έχουν τις ίδιες ϱίζες και οι ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι οι ιδιοτιµές του A, έπεται ότι η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η λ Ασκηση 2 Να δείξετε ότι ένας µηδενοδύναµος πίνακας A M n K), δηλαδή υπάρχει m έτσι ώστε A m O, είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µονον αν A O Λύση Εστω ότι A m O για κάποιο m και υποθέτουµε ότι ο µηδενοδύναµος πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Τότε γνωρίζουµε ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων Εστω το πολυώνυµο Qt) t m Τότε έχουµε ότι QA) A m O και άρα Q A t) Qt) Q A t) t k, k m Οµως επειδή το Q A t) είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων έπεται ότι Q A t) t Ε- ποµένως από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έχουµε ότι Q A A) A O Το αντίστροφο προκύπτει άµεσα Ασκηση 3 Να εξετασθεί αν υπάρχει 2 2 πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K έτσι ώστε A 3 O και A 2 O Λύση Εστω ότι υπάρχει ένας πίνακας A ώστε A 3 O και A 2 O Θεωρούµε το πολυώνυµο Qt) t 3 Τότε QA) A 3 O και άρα Q A t) Qt) Εποµένως Q A t) t ή Q A t) t 2 ή Q A t) t 3 Αν Q A t) t 3, τότε deg Q A t) 3 και καταλήγουµε σε άτοπο διότι deg Q A t) deg P A t) 2 Αν Q A t) t, τότε O Q A A) A και τότε A 2 O το οποίο είναι άτοπο από την υπόθεση Παρόµοια αν Q A t) t 2, τότε O Q A A) A 2 O το οποίο είναι άτοπο από την υπόθεση Άρα όλες οι περιπτώσεις οδηγούν σε άτοπο και εποµένως δεν υπάρχει 2 2 πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K έτσι ώστε A 3 O και A 2 O

2 2 Ασκηση 4 Εστω A M 2 K) Λύση ) Αν TrA 2 ) 5 και TrA) 3, να ϐρεθεί η ορίζουσα A του πίνακα A 2) Αν ra) και TrA) 5, να ϐρεθεί το ίχνος TrA 2 ) του πίνακα A 2 3) Αν B M 2 K) είναι ένας πίνακας όµοιος µε τον A, τότε : TrA) TrB) 4) Αν ο A έχει ϑετικές ακέραιες ιδιοτιµές και ορίζουσα A 5, να ϐρεθεί το ίχνος TrA) του πίνακα A ) Εστω ότι TrA 2 ) 5 και TrA) 3 Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έπεται ότι A 2 3A + A I 2 O A 2 3A A I 2 TrA 2 3A) Tr A I 2 ) Επειδή η απεικόνιση Tr: M 2 K) K είναι γραµµική ϑα έχουµε : TrA 2 ) Tr3A) 2 A 5 3TrA) 2 A A A 2 2) Πρώτος Τρόπος: Εστω ότι ra) και TrA) 5 Επειδή ra), έπεται ότι οι στήλες του A είναι γραµµικά εξαρτηµένες, δηλαδή η µια από τις δύο στήλες είναι πολλαπλάσιο της άλλης µε ένα στοιχείο k του σώµατος K Εποµένως, ο πίνακας A είναι της µορφής a ka A A b kb 2 a ka a ka a 2 ) + kab 2kab b kb b kb ab + kb 2 kab + k 2 b 2 Τότε ϑα έχουµε : TrA 2 ) a 2 + 2kab + kb) 2 a + kb) 2 TrA) 2 Οµως επειδή TrA) a + kb), από την υπόθεση έχουµε TrA) 5, και τότε : TrA 2 ) 25 εύτερος Τρόπος µε χρήση Θεωρήµατος Cayley-Hamilton: Επειδή ra), έπεται προφανώς ότι A και τότε από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton προκύπτει ότι : A 2 TrA)A O A 2 TrA)A TrA 2 ) TrTrA)A) TrA)TrA) TrA)) ) Επειδή όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο, έπεται ότι { P A t) P B t) t 2 TrA)t + A t 2 TrA) TrB) TrB)t + B A B 4) Εστω ότι ο A έχει ϑετικές ακέραιες ιδιοτιµές λ και λ 2 και ορίζουσα A 5 αʹ) Αν λ λ 2, τότε ο πίνακας A έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές και άρα ) είναι διαγωνοποιήσιµος λ Εποµένως ο πίνακας A είναι όµοιος µε τον διαγώνιο πίνακα Επειδή όµοιοι πίνακες λ 2 έχουν το ίδιο ίχνος και την ίδια ορίζουσα, έπεται ότι TrA) λ + λ 2 και A λ λ 2 5 Επειδή από την υπόθεση οι ιδιοτιµές λ και λ 2 είναι ϑετικές και ακέραιες, έπεται ότι λ και λ 2 5 Εποµένως : TrA) a b ϐʹ) Υποθέτουµε ότι λ λ 2 : λ και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο Αν A, τότε η µοναδική c d ιδιοτιµή λ είναι διπλή ϱίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του A: P A t) t 2 TrA)t + A t 2 a + b)t + ad bc) t 2 a + b)t + 5 Άρα ϑα έχουµε : λ 2 a + b)λ + 5 Οµως το τριώνυµο t 2 a+b)t+5 έχει διπλή ϱίζα αν και µόνον αν η διακρίνουσά του a+b) 2 2 και άρα a + b) 2 2 Τότε η διπλή ϱίζα είναι ίση µε λ a + b 2, και εποµένως ϑα έχουµε 2λ)2 2, δηλαδή 4λ 2 2 και τότε λ 2 5 Επειδή προφανώς η τελευταία σχέση δεν ικανοποιείται στο σύνολο των ακέραιων, καταλήγουµε σε άτοπο

3 3 Εποµένως : TrA) 6 Ασκηση 5 Εστω A και B δύο 2 2 πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K, και υποθέτουµε ότι AB) 2 O Να εξετασθεί αν BA) 2 O Λύση Θέτουµε : M AB και N BA Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton για τους πίνακες M και N έχουµε : M 2 TrM)M + M I 2 O και N 2 TrN)N + N I 2 O ) Επειδή M 2 AB) 2 O, ϑα έχουµε O AB) 2 AB)AB) AB AB AB 2 AB A B A ή B BA B A Τότε N BA, και άρα από τη σχέση ) προκύπτει ότι : TrM)M O και N 2 TrN)N O ) Από την πρώτη σχέση προκύπετι ότι είτε TrM) είτε M O Και στις δύο περιπτώσεις έχουµε TrM) Επειδή TrAB) TrBA) ) ϑα έχουµε TrM) TrN) TrN) Τότε από τη σχέση ) προκύπτει ότι : N 2 O, δηλαδή : BA O Ασκηση 6 Εστω A και B δύο 2 2 πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K, και υποθέτουµε ότι : Να δειχθεί ότι : A AB BA A 2 O Λύση Επειδή για το ίχνος πινάκων ικανοποιείται η σχέση TrC + D) TrC) + TrD), C, D M n K), χρησιµοποιώντας τη σχέση ), ϑα έχουµε : A AB BA TrA) TrAB BA) TrAB) TrBA) Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έπεται τότε ότι : A 2 TrA)A + A I 2 O A 2 + A I 2 O A 2 A I 2 ) Από τη σχέση A AB BA ϑα έχουµε : A AB BA A 2 AAB BA) A 2 B ABA και A 2 ABA BA 2 Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουµε άµεσα ότι : a Εστω A c Εποµένως : 2A 2 A 2 B BA 2 ) b x y και B Τότε : d z w ax + bz ay + bw AB cx + dz cy + dw ) 2A 2 A I 2 )B B A I 2 ) A B + A B O xa + yc xb + +yd και BA za + wc zb + wd TrAB) ax + bz + cy + dw xa + yc + zb + wd TrBA) )

4 4 Άρα 2A 2 O και τότε προφανώς 2 ϑα έχουµε A 2 O Ασκηση 7 Εστω A ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K, και υποθέτουµε ότι : A και TrA) Να δειχθεί ότι ο πίνακας A + I 2 είναι αντιστρέψιµος και : A I 2 + TrA) A Λύση Επειδή A, από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton, ϑα έχουµε : A 2 TrA)A O A 2 TrA)I 2 ) Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση, ϑα έχουµε : ) A + I 2 ) I 2 + TrA) A A + TrA) A2 + I 2 + TrA) A A TrA) + TrA) A + I 2 + TrA) A TrA) ) + TrA) A + I 2 I 2 + TrA) Γνωρίζουµε τότε ότι ο πίνακας A + I 2 είναι αντιστρέψιµος και A I 2 + TrA) A Ασκηση 8 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A 2 3 και έστω ο πίνακας B A 4 3A 3 + 3A 2 2A + 8I 2 ) Να δειχθεί ότι : B 2 I 2 2) Είναι ο πίνακας B ή ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του R; 3) Είναι ο πίνακας B ή ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του C; Αν είναι στις παραπάνω περοιπτώσεις ο πίνακας B ή ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος, να διαγωνοποιηθεί Λύση ) Θα υπολογίσουµε πρώτα τον πίνακα B A 4 3A 3 + 3A 2 2A + 8I 2 Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυλώνυµο του πίνακα A: P A t) t 2 3 t t2 4t + 5 Ακολούθως για να υπολογίσουµε τον πίνακα B εκτελούµετην Ευκλείδεια διαίρεση του πολυωνύµου P t) t 4 3t 3 + 3t 2 2t + 8 µε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A t) t 2 4t + 5 του πίνακα A: P t) P A t)qt) + Rt) t 4 3t 3 + 3t 2 2t + 8 t 2 4t + 5)t 2 + t + 2) + t 2 Άρα P t) P A t)qt) + t 2) Hamilton ϑα έχουµε : και τότε : Επειδή P A) B, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα των Cayley- B P A) P A A)QA) + A 2I 2 ) και P A A) O B A 2I 2 B A 2I B 2 2 Υπενθυµίζουµε ότι το σώµα K είναι ένα εκ των Q, R, και C Υπάρχουν σώµατα K για τα οποία ισχύει ότι 2a, a K, για παράδειγµα το σώµα Z 2 Για ένα τέτοιο σώµα K, ισχύει ότι 2C O για κάθε πίνακα C µε στοιχεία από το K

5 5 Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα B: P B t) t 2 t t2 + Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton προκύπτει ότι O P B B) B 2 + I 2 B 2 I 2 2) Επειδή P B t) t 2 +, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα B δεν έχει καµµία πραγµατική τιµή και άρα ο πίνακας B δεν είναι διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του R 3) Επειδή P B t) t 2 + t i)t + i), το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα B έχει δύο διακεκριµένες ϱίζες λ i και λ 2 i υπεράνω του C και εποµένως ο πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος υτπεράνω του C Για τον ιδιοχώρο Vi) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : B ii 2 )X O i 2 i) x y ) ) x y) + i Εποµένως ϑα έχουµε : Vi) + i Για τον ιδιοχώρο Vi) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : + i x B + ii 2 )X O 2 + i) y ) x y) + i Εποµένως ϑα έχουµε : V i) + i Θέτοντας P, αποκτούµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα µιγαδικών αριθµών έτσι + i + i ώστε : P B P 4) Επειδή B A 2I 2, ϑα έχουµε : P i B P P i A 2I 2 ) P i i i i P i A P 2I 2 P i i A P 2I 2 + i P 2 + i A P 2 i P A P P 2I 2 ) P i i i i Εποµένως ο πίνακας ) A είναι διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του C καθώς είναι όµοιος µε τον πίνακα 2 + i και δεν είναι διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του R διότι το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο 2 i P A t) t 2 4t + 5 δεν έχει πραγµατικές ϱίζες Ασκηση 9 Να ϐρεθεί µια τετραγωνική ϱίζα του πίνακα A B M 2 K) έτσι ώστε B 2 A 6 2 M K), δηλαδή να ϐρεθεί ένας πίνακας

6 6 Λύση Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A: P A t) 6 t t t2 3t + 36 Επειδή, όπως µπορούµε να δούµε εύκολα t 2 3t + 36 t 9)t 4), οι ϱίζες του P A t) είναι οι 9 και 4 και εποµένως οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι οι λ 4 και λ 2 9 Επειδή οι ιδιοτιµές του A είναι διακεκριµένες, έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P 4 A P 9 Παρατηρούµε ότι P A P Εποµένως, ϑέτοντας : A P 3 B P 2 2 P 3 A P ) 2 2 P 3 2 P 3 ) αποκτούµε έναν 2 2 πίνακα B έτσι ώστε : B 2 A Θα προσδιορίσουµε τους πίνακες P, P Για τον ιδιοχώρο V4) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : 2 2 x x A 4I 2 )X O x + y 3 3) y ) y) ) Εποµένως ϑα έχουµε : V4) Για τον ιδιοχώρο V9) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : 3 2 x A 9I 2 )X O 3x 2y 3 2) y ) Εποµένως ϑα έχουµε : 2 V9) 3) x 2 y) 3) Θέτουµε P ) 2 3 Τότε από τη σχέση ) προκύπτει ότι : 2 B P P 3 και τελικά : και τότε P 5 B ) Ασκηση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K και B µια ϐάση του E Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του E και P t) K[t] ένα πολυώνυµο Τότε : P f) P M B B f) ) M B B

7 7 Λύση Εστω P t) a + a t + a 2 t a m t m + a m t m Τότε : P M B B f)) a I n + a M B B f) + a 2M B B f)2 + + a m M B B f)m + a m M B B f)m ) Υπενθυµίζουµε από την Γραµµική Αλγεβρα Ι, ότι αν B είναι µια ϐάση του E, τότε η απεικόνιση Φ : LE, E) M n K), Φf) M B B f) είναι ισοµορφισµός K-διανυσµατικών χώρων, όπου n dim K E Επιπλέον η Φ στέλνει την σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων στο γινόµενο των αντίστοιων πινάκων, δηλαδή ισχύει : Ιδιαίτερα ϑα έχουµε : Φf g) Φf) Φg) M B B f) M B B g) Φf k ) Φf f f) Φf) Φf) Φf) Φf) k M B B f)k Επίσης η Φ και στέλνει τον ταυτοτικό ενδοµορφισµό Id E στον µοναδιαίο n n πίνακα I n : ΦId E ) I n Χρησιµοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες του ισοµορφισµού Φ, η σχέση ) δίνει : P M B B f)) a ΦId E ) + a Φf) + a 2 Φf) a n Φf) m Φa Id E + a f + a 2 f a m f m ) ΦP f)) MB B P f)) Ασκηση Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρουe, όπου dim K E < Να δειχθεί ότι το ελάχιστο πολυώνυµο της f συµπίπτει µε το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακά της σε µια τυχούσα ϐάση B του E: Q f t) Q M B B f) t) Λύση Εστω A M B B f) Τότε ϑέτοντας P t) Q f t) στην Άσκηση, ϑα έχουµε : M B B Q f f)) Q f M B B f)) Q f A) Επειδή Q f f) και ο πίνακας του µηδενικού ενδοµορφισµού ως προς τυχούσα ϐάση είναι ο µηδενικός, έπεται ότι Q f A) O, δηλαδή το ελάχιστο πολυώνυµο της f µηδενίζει τον πίνακα A Τότε όµως ϑα έχουµε : Από την άλλη πλευρά, ϑέτοντας P t) Q A t) στην Άσκηση, ϑα έχουµε : Q A t) Q f t) ) M B B Q Af)) Q A M B B f)) Q AA) Επειδή Q A A) O και επειδή ο µοναδικός ενδοµορφισµός µε µηδενικό πίνακα σε τυχούσα ϐάση είναι ο µηδενικός ενδοµορφισµός, έπεται ότι ο ενδοµορφισµός Q A f) είναι ο µηδενικός, δηλαδή το ελάχιστο πολυώνυµο του A µηδενίζει τον ενδοµορφισµό f Τότε όµως ϑα έχουµε : Q f t) Q A t) 2) Επειδή τα πολυώνυµα Q A t) και Q f t) είναι κανονικά, από τις σχέσεις ) και 2) έπεται ότι Q A t) Q f t), δηλαδή : Q M B B f) t) Q f t) Ασκηση 2 ) Εστω Qt) a + a t + a 2 t a m t m K[t] και A M n K) Τότε για κάθε αντιστρέψιµο πίνακα P M n K) ισχύει ότι : QP AP ) P QA)P 2) Να δειχθεί ότι όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο 3) Να δειχθεί ότι 3, για κάθε τετραγωνικό πίνακα A, οι πίνακες A και t A έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο 3 Αποδεικνύεται ότι οι πίνακες A κα t A είναι όµοιοι

8 8 Λύση ) Χρησιµοποιώντας ότι P AP ) k P A k P, k, ϑα έχουµε : QP AP ) a I n + a P AP ) + a 2 P AP ) a m P AP ) m a I n + a P AP ) + a 2 P A 2 P ) + + a m P A m P ) a I n + P a AP + P a 2 A 2 P + + P a m A m P P a I n + a A + a 2 A a m A m) P P QA)P 2) Εστω ότι A και B είναι όµοιοι πίνακες Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακς P έτσι ώστε P AP B Θέτοντας P t) Q B t) και P t) Q A t) στο µέρος ) να είναι τα ελάχιστα πολυώνυµα των πινάκων B και A, έπεται ότι : O Q B B) Q B P AP ) P Q B A)P Q B A) O Q A t) Q B t) ) Q A B) Q A P AP ) P Q A A)P P OP O Q A B) O Q B t) Q A t) ) Επειδή τα ελάχιστα πολυώνυµα Q A t) και Q B t) είναι κανονικά, από τις σχέσεις ) και ) προκύπτει ότι : Q A t) Q B t) 3) Εστω ότι Qt At) a + a t + a 2 t a k t k + t k είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του t A Τότε, χρησιµοποιώντας ότι η απεικόνιση M n K) M n K), A t A είναι γραµµική και t A m ) t A) m, m, ϑα έχουµε : Εποµένως : O Qt A t A) a I n + a t A + a 2 t A) a k t A) k + t A) k a I n + a t A + a 2 t A 2 ) + + a k t A k ) + t A k ) t a I n + a A + a 2 A a k A k + A k ) Qt AA) Q A t) Qt At) Παρόµοια, έστω ότι Q A t) b + b t + b 2 t b m t m + t m είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A Τότε : O Q A A) b I n + b A + b 2 A b m A m + A m Εποµένως : t b I n + b A + b 2 A b m A m + A m ) O b I n + b t A + b 2 t A 2 ) + + b m t A m ) + t A m ) O b I n + b t A + b 2 t A) b m t A) m + t A) m O Q A t A) O Qt At) Q A t) Επειδή τα ελάχιστα πολυώνυµα Q A t) και Qt At) είναι κανονικά, από τις σχέσεις ) και ) προκύπτει ότι : Q A t) Qt At) ) ) Ασκηση 3 Βρείτε τα ελάχιστα πολυώνυµα των ακόλουθων πινάκων πραγµατικών αριθµών : 3 4 A και B Λύση Για τον πίνακα A έχουµε : 3 t 4 P A t) 4 5 t 3 t 2 3 t t 3 t 2 2 t t + )2 t ) 2 2 t Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A t), και τα πολυώνυµα Q A t) και P A t) έχουν τις ίδιες ϱίζες Άρα το ελάχιστο πολυώνυµο του A είναι ένα εκ των : t + )t ), t + ) 2 t ), t + )t ) 2, t + ) 2 t ) 2

9 9 Στη συνέχεια για να προσδιορίσουµε το ελάχιστο πολυώνυµο, υπολογίζουµε ποιο από τα παρακάτω γινόµενα πινάκων δίνει το µηδενικό πίνακα : A + I 4 )A I 4 ), A + I 4 ) 2 A I 4 ), A + I 4 )A I 4 ) 2, A + I 4 ) 2 A I 4 ) 2 Εύκολα υπολογίζουµε ότι A + I 4 )A I 4 ) O, A + I 4 ) 2 A I 4 ) O, A + I 4 )A I 4 ) 2 O Άρα το ελάχιστο πολυώνυµο είναι το Πραγµατικά : 4 4 A + I 4 ) 2 A I 4 ) Q A t) t + ) 2 t ) δηλαδή το t + ) 2 t ) 2 µηδενίζει τον πίνακα A και είναι το κανονικό πολυώνυµο µε τον µικρότερο ϐαθµό το οποίο µηδενίζει τον πίνακα A Εποµένως το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A είναι Q A t) t + ) 2 t ) 2 2 Για τον πίνακα B έχουµε : 4 t 4 t Γ P B t) 4 t 2 Γ 2 Γ 4 t 4 t) 4 t 4 t) 5 t 5 t 5 t Γ 2 Γ 2 +Γ 3 4 t 4 t) 2 5 t 4 t) 4 t 5 t 2 5 t 4 t)t2 9t + 8) 4 t)t 3)t 6) Συνεπώς, αφού το ελάχιστο πολυώνυµο Q B t) έχει τις ίδιες ϱίζες µε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P B t) έπεται ότι Q B t) 4 t)t 3)t 6) Ασκηση 4 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A t) του πίνακα A και στη συνέχεια µε τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τον πίνακα B A 23 3A 22 4A 2 + A 2 A 6 + 3A 5 + 4A 4 A 3 + 4A 2 + 5A + I 3 Λύση Εύκολα ϐρίσκουµε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A t) είναι t 2 3 P A t) t t t3 + 3t 2 + 4t Θεωρούµε το πολυώνυµο Rt) t 23 3t 22 4t 2 + t 2 t 6 + 3t 5 + 4t 4 t 3 + 4t 2 + 5t + ιαιρώντας το πολυώνυµο Rt) µε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A t) ϑα έχουµε : Rt) P A t) t 2 + t 3 + ) + t 2 + t + ) )

10 Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έχουµε ότι P A A) Εποµένως, από τη σχέση ) έχουµε : B RA) P A A) A 2 + A 3 + I 3 ) + A 2 + A + I 3 ) B A 2 + A + I 3 2 B Ασκηση 5 Εστω A ένας τετραγωνικός n n πίνακας Να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν ο σταθερός όρος του ελαχίστου πολυωνύµου Q A t) του A είναι µη-µηδενικός Λύση Υποθέτουµε πρώτα ότι ο σταθερός όρος του ελαχίστου πολυωνύµου του πίνακα A είναι µη- µηδενικός και εποµένως, αν Q A t) b + b t + b 2 t b k t k + t k, τότε b Επειδή Q A A) O, ϑα έχουµε : b I n + b A + b 2 A b k A k + A k O b A + b 2 A b k A k + A k b I n b I n b 2 A b k A k 2 ) A k A I n b b b b Αυτό σηµαίνει ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και A b I n b 2 A b k A k 2 A k b b b Εστω ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος Γνωρίζουµε τότε ότι ο σταθερός όρος a του χαρακτηριστικού πολυωνύµου P A t) του A είναι µη-µηδενικός Εστω ότι : P A t) a + a t + a 2 t a n t n + ) n t n και Q A t) b + b t + b 2 t b k t k + t k Επειδή Q A t) P A t), έπεται ότι υπάρχει πολυώνυµο Rt) c + c t + + c m t m έτσι ώστε : b Επειδή a έπεται ότι b P A t) Q A t)rt) a b c Ασκηση 6 Εστω A αντίστροφο του πίνακα 2 5 Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να εκφράσετε τον 3 B A 4 + 5A 3 48A 2 I 2 στη µορφή κa + λi 2, όπου κ, λ R είναι κατάλληλοι πραγµατικοί αριθµοί Λύση Εχουµε : P A t) 2 t 5 3 t 2 t)3 t) 5 t2 5t + Θεωρούµε το πολυώνυµο Rt) t 4 + 5t 3 48t 2 και εκτελούµε τη διαίρεση του Rt) µε το P A t): Rt) P A t)t 2 + t + ) + 5t 2) Εποµένως, από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έχουµε : B RA) P A A)A 2 + A + I 2 ) + 5A 2I 3 ) 5A 2I 2 Εποµένως : B

11 Βρίσκουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα B Εχουµε : P B t) 2 t t 2 t) 7 t) 25 t2 + 29t + 79 Συνεπώς από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έχουµε : P B B) B B + 79I 2 BB + 29I 2 ) 79I 2 B 79 B + 29I 2)) I 2 B 79 B + 29I 2) B 79 5A 2I I 2 ) B 5 79 A I 2 Άρα εκφράσαµε τον αντίστροφο του πίνακα B στη µορφή κa + λi 2, όπου κ και λ 29 Ασκηση 7 Εστω A ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία από το K, και έστω k ένας ϕυσικός αριθµός, k > 2 Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να αποδειχθεί ότι A k A 2 Λύση Θεωρούµε το πολυώνυµο Rt) t k Τότε από υπόθεση έπεται ότι RA) A k Συνεπώς το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) του πίνακα A διαιρεί το πολυώνυµο gt) και άρα Q A t) t n όπου n k Οµως ο ϐαθµός του Q A t) δεν µπορεί να είναι µεγαλύτερος του 2 διότι Q A t)/p A t) και deg P A t) 2 Άρα έχουµε ότι n 2 Αν n τότε Q A t) t και από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έχουµε που είναι η τετριµµένη περίπτωση Q A A) A A 2 Αν n 2 τότε Q A t) t 2 και από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έπεται ότι και έτσι έχουµε το Ϲητούµενο Q A A) A 2 Ασκηση 8 Αν A είναι ένας n n πίνακας πραγµατικών αριθµών, όπου n είναι περιττός, να δειχθεί ότι A 2 + I n O Λύση Υποθέτουµε ότι A 2 + I n O και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο Θεωρούµε το πολυώνυµο Qt) t 2 + Τότε QA) O και εποµένως Q A t) t 2 + Επειδή το πολυώνυµο t 2 + είναι ανάγωγο, έπεται ότι Q A t) t 2 + Το πολυώνυµο t 2 + δεν έχει πραγµατικές ϱίζες Από την άλλη πλευρά, επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A t) είναι περιττού ϐαθµού, έπεται ότι 4 έχει τουλάχιστον µια πραγµατική ϱίζα Επειδή το ελάχιστο και χαρακτηριστικό πολυλωνυµο έχουν τις ίδιες ϱίζες, έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) t 2 + έχει τουλάχιστον µια πραγµατική ϱίζα, και αυτό είναι άτοπο Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι A 2 + I n O Άρα A 2 + I n O Ασκηση 9 Εστω Rt) a + a t + + a k t k ένα πολυώνυµο υπεράνω του K µε a ) Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του E, όπου E είναι ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης Αν Rf), να δειχθεί ότι ο f είναι ισοµορφισµός και να υπολογισθεί ο f 4 Θεωρούµε γνωστό ότι : «κάθε πολυώνυµο περιττού ϐαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον µια πραγµατική ϱίζα»

12 2 2) Αν A M n K) και RA), να δεχιθεί ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και να υπολογισθεί ο A Λύση Συµβολίζουµε µε Id E : E E τον ταυτοτικό ενδοµορφισµό του E Επειδή a έχουµε : Rf) a Id E + a f + + a k f k a f + + a k f k a Id E f a Id E + + a k f k ) a Id E f a Id E a k f k ) Id E a a Παρόµοια ϑα έχουµε : a a Id E a k a f k ) f Id E Άρα ο ενδοµορφισµός f είναι ισοµορφισµός µε αντίστροφο ενδοµορφισµό f a a Id E a k a f k Παρόµοια εργαζόµαστε στη περίπτωση του ερωτήµατος 2) Εναλλακτικά χρησιµοποιούµε τον ενδοµορφισµό f A : K n K n, f A X) AX Ασκηση 2 Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος α) υπεράνω του R; β) υπεράνω του C; Λύση Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A: t P A t) t t t3 + Επειδή, όπως µπορούµε να δούµε εύκολα P A t) t 3 + t )t 2 + t + ), η µόνη ϱίζα του P A t) υπεράνω του R είναι η λ και εποµένως ο πίνακας A δεν διαγωνοποιείται υπεράνω του R Το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) είναι όπως γνωρίζουµε διαιρέτης του χαρακτηριστικού πολυωνύµου P A t) t 3 + Οι µόνοι διαιρέτες, εκτός του σταθερού πολυωνύµου, υπεράνω του R του t 3 + t )t 2 + t + ) είναι οι t, t 2 + t +, και t )t 2 + t + ) t 3 Προφανώς Q A t) t διότι διαφορετικά ϑα είχαµε O Q A A) A I 2 και αυτό είναι άτοπο Αν Q A t) t 2 + t + τότε ϑα είχαµε O Q A A) A 2 + A + I 2 το οποίο είναι άτοπο Άρα Q A t) t 2 + t + και εποµένως : Q A t) t )t 2 + t + ) t 3 2 Εργαζόµενοι υπεράνω του C, έχουµε όπου P A t) t )t 2 + t + ) t ) t ω) t ω 2) ω + i 3 2 και ω 2 i 3 2

13 3 είναι οι κυβικές µιγαδικές ϱίζες της µονάδας Ετσι οι ιδιοτιµές του A υπεράνω του C είναι διακεκρι- µένες, έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του C, και άρα υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P A P ω ω 2 Για τον ιδιοχώρο V) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : A I 3 )X O x y z x + z x y y z Εποµένως ϑα έχουµε : x y x x x, x C z x V) Για τον ιδιοχώρο Vω) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : A ωi 3 )X O ω ω x y ωx + z x ωy ω z y ωz x y x ω 2 x x ω 2, x C z ωx ω Εποµένως ϑα έχουµε : Vω) ω 2 ω Για τον ιδιοχώρο Vω 2 ) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : A ω 2 I 3 )X O ω2 ω 2 x y ω 2 z Εποµένως ϑα έχουµε : Θέτοντας x y x ωx x ω, x C z ω 2 x ω 2 Vω 2 ) ω P ω 2 ω 2 ω ω ω 2 ω 2 x + z x ω 2 y y ω 2 z

14 4 αποκτούµε έναν αντιστρέψιµο ππινακα µιγαδικών αριθµών έτσι ώστε : P A P ω ω 2 Επειδή ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του C, το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) του A είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων και έχει ως ϱίζες τις ιδιοτιµές του A Εποµένως : Q A t) t )t 2 + t + ) t 3 Συνοψίζοντας, το ελάχιστο πολυώνυµο του A, υπεράνω του R ή του C είναι το : Q A t) t 3 Ασκηση 2 Εστω ο n n πίνακας A ) Να δειχθεί ότι ο πίνακας n A είναι ταυτοδύναµος, δηλαδή n A)2 n A 2) Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του n A 3) Να δειχθεί ότι ο πίνακας na είναι διαγωνοποιήσιµος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Λύση Για το πρώτο ερώτηµα έχουµε : n n n 2 n A n A n A n 2 n n n n 2 n A n n n και άρα ο πίνακας na είναι ταυτοδύναµος Εστω λ µια ιδιοτιµή του πίνακα B na Συνεπώς, υπάρχει ένα µη-µηδενικο διάνυσµα στήλη X έτσι ώστε BX λx Επειδή B 2 B από το πρώτο ερώτηµα, τότε έχουµε : BX λx B 2 X λbx BX λ 2 X λx λ 2 X λ λ 2 )X και επειδή το X έπεται ότι λ λ), δηλαδή λ ή λ Αντίστροφα εύκολα ϐλέπουµε ότι πράγµατι οι αριθµοί, είναι ιδιοτιµές του B Εποµένως, ο πίνακας B n A έχει ιδιοτιµές : λ, λ 2 µε κατάλληλες πολλαπλότητες Θεωρούµε το πολυώνυµο Rt) t 2 t Τότε RB) B 2 B B B και άρα το ελάχιστο πολυώνυµο Q B t) του πίνακα B διαιρεί το πολυώνυµο Rt) Εποµένως, έχουµε : Q B t) / Rt) Q B t) ή Q B t) t ή Q B t) tt ) Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο και το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχουν τις ίδιες ϱίζες, έπεται ότι Q B x) tt ) Άρα το ελάχιστο πολυώνυµο του A έχει διακεκριµένες ϱίζες και και συνεπώς από γνωστό κριτήριο διαγωνοποίησης έπεται ότι ο πίνακας B na είναι διαγωνοποιήσιµος Εποµένως ο πίνακας B είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακας στη διαγώνιο του οποίου είναι τα στοιχεία και Για να προσδιορίσουµε πόσες ϕορές εµφανίζεται το και πόσες ϕορές εµφανίζεται το, αρκεί να προσδιορίσουµε την αλγεβρική πολλαπλότητα τους ως ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του B

15 5 Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα B: n t n n n n n n P At) t n n n n n A ti n n n n t n n Σ Σ +Σ 2 + +Σ n n n n n t n n n n n n t t n n n n t n t n n n n n n n t n n t n t n n n n n n n t) t n n Γ 2 Γ 2 Γ, Γ 3 Γ 3 Γ, t n n n t,γ n Γ n t n n n n t n n n t n n n n n t t t t) ) n t)t n t t Άρα P An t) ) n t n t) και εποµένως οι ιδιοτιµές του B n A είναι οι λ µε πολλαπλότητα και λ 2 µε πολλαπλότητα n Επειδή ο πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος, έπεται ότι dim K V) και dim K V) n Εποµένως ο πίνακας B na είναι όµοιος µε τον διαγώνιο πίνακα Υπενθυµίζουµε ότι η σχέση οµοιότητας n n πινάκων είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M n K) Η κλάση οµοιότητας ενός πίνακα A M n K) αποτελείται από το σύνολο ολων των n n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K οι οποίοι είναι όµοιοι µε τον A Ασκηση 22 Να περιγραφούν οι διαφορετικές κλάσεις οµοιότητας ενός πίνακα A M n K) για τον οποίο ισχύει Λύση Θεωρούµε το πολυώνυµο A 3 A Qt) t 3 t Τότε προφανώς ϑα έχουµε ότι QA) O και εποµένως το πυλώνυµο Qt) διαιρείται από το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t): Q A t) Qt) Επειδή Qt) tt 2 ) tt )t + ), οι διαιρέτες του Qt), εκτός του σταθερού πολυωνύµου, είναι οι : t, t, t +, tt ), tt + ), t )t + ), και tt )t + ), ϑα έχουµε ότι το Q A t) ϑα είναι ένα εκ των πολυωνύµων : t, t, t +, tt ), tt + ), t )t + ), tt )t + )

16 6 ) Αν Q A t) t, τότε O Q A A) A O, και άρα : A O 2) Αν Q A t) t, τότε O Q A A) A I n O, και άρα : A I n 3) Αν Q A t) t +, τότε O Q A A) A + I n O, και άρα : A I n 4) Αν Q A t) tt ), τότε O Q A A) AA I n ) O, και άρα ο πίνακας A είναι ταυτοδύναµος : A 2 A Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο του A είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα ο A είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακα στη διαγώνιου του οποίου υπάρχουν τα στοιχεία και 5) Αν Q A t) tt+), τότε O Q A A) AA+I n ) O, και άρα για τον πίνακα A ισχύει ότι : A 2 A Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο του A είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα ο A είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακα στη διαγώνιου του οποίου υπάρχουν τα στοιχεία και 6) Αν Q A t) t )t + ), τότε O Q A A) A 2 I 2 O, και άρα : A 2 I 2 Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο του A είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα ο A είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακα στη διαγώνιου του οποίου υπάρχουν τα στοιχεία και 7) Αν Q A t) tt )t + ), τότε O Q A A) AA 2 I 2 ) O, και άρα : A 3 A Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο του A είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα ο A είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακα στη διαγώνιου του οποίου υπάρχουν τα στοιχεία, και Εποµένως υπάρχουν οι ακόλουθες 7 διαφορετικές κλάσεις οµοιοότητας για την πίνακα A, δηλαδή ο πίνακας A είναι όµοιος µε έναν και µόνον έναν εκ των παρακάτων 7 διαγώνιων πινάκων : O, I n, I n A, A 2, A 3, A 4 Επειδή ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος, η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής είναι ίση µε την διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου και εποµένως η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής συµπίπτει µε το πλήθος των εµφανίσεών της στον διαγώνιο πίνακα ο οποίος είναι όµοιος µε τον A Επειδή η διάσταση του ιδιοχώρου Vλ) συµπίπτει µε

17 7 τη διάσταση του χώρου των λύσεων ΛΣλ)), όπου Σλ) είναι το οµογενές γραµµικό σύστηµα A λi n )X O, έπεται ότι : dim K Vλ) n ra λi n ) Εποµένως ϑα έχουµε : ) Στον πίνακα O η µόνη ιδιοτιµή εµφανίζεται n ϕορές 2) Στον πίνακα I n η µόνη ιδιοτιµή εµφανίζεται n ϕορές 3) Στον πίνακα I n η µόνη ιδιοτιµή εµφανίζεται n ϕορές 4) Στον πίνακα A η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra) ϕορές και η ιδιοτιµή εµφανίζεται ra) ϕορές 5) Στον πίνακα A 2 η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra) ϕορές και η ιδιοτιµή εµφανίζεται ra) ϕορές 6) Στον πίνακα A 3 η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra I n ) ϕορές και η ιδιοτιµή εµφανίζεται ra I n ) n ra + I n ) ϕορές 7) Στον πίνακα A 4 η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra) ϕορές, η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra I n ) ϕορές, και η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra + I n ) ϕορές Ασκηση 23 Θεωρούµε τον πίνακα A ) Να ϐρεθεί µη-µηδενικό πολυώνυµο Qt) έτσι ώστε QA) 2) Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί πολυώνυµο P t) έτσι ώστε P A) A Λύση Βρίσκουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A: t 2 P A t) t t t3 + 6t 2 t + 6 και άρα από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έχουµε : P A A) A 3 + 6A 2 A + 6I 3 A 3 6A 2 + A 6I 3 A 6 A2 6A + I 3 )) I 3 A 6 A2 A I 3 Εποµένως ϐρήκαµε πολυώνυµα Qt) t 3 + 6t 2 t + 6 και P t) 6 t2 t + 6 έτσι ώστε QA) και P A) A Να σηµειώσουµε ότι από τον υπολογισµό του χαρακτηριστικού πολυωνύµου P A t) t 3 + 6t 2 t + 6 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος διότι A 6, όπου 6 είναι ο σταθερός όρος του πολυωνύµου P A t) Ασκηση 24 Θεωρούµε τον πίνακα 2 A ) Να δειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί πολυώνυµο P t) έτσι ώστε : A 2 P A) 2) Να δειχθεί ότι A 28 2A 27 A 2 2A

18 8 Λύση Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A: 2 t P A t) 2 t 2 t) 2 t 3 2 t 3 2 t 2 t) 2 t)2 t) + 3 ) 2 t)t 2 ) Εποµένως P A t) t 2)t )t + ) t 3 + 2t 2 + t 2 t 3 2t 2 t + 2) Εποµένως ο πίνακας A έχει τρεις διακεκριµένες ιδιοτιµές, τις λ, λ 2, και λ 3 2, και εποµένως είναι διαγωνοποιήσιµος Επειδή ο πίνακας A δεν έχει τον αριθµό ως ιδιοτιµή, έπεται ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Πράγµατι έχουµε A P A ) 2 Ετσι υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας A και εποµένως υπάρχουν οι πίνακες A ) n A n, n Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έπεται ότι : O P A A) A 3 2A 2 A + 2I 2 A 3 2A 2 A 2I 2 A ) 2 A2 2A I 2 ) I 2 Εποµένως : A 2 A 2 2A I 2 ) A 2 4 A 2 A ) 2 A 2 ) ) 2 2A I 2 2 ) A 4 4A 3 + 2A 2 + 4A + I 2 Επειδή A 3 2A 2 + A 2I 2, ϑα έχουµε : A 4 2A 3 + A 2 2A A 4 4A 3 + 2A 2 + 4A + I 2 2A 3 + A 2 2A 4A 3 + 2A 2 + 4A + I 2 2A 3 + 3A 2 + 2A + I 2 22A 2 + A 2I 2 ) + 3A 2 + 2A + I 2 4A 2 2A + 4I 2 + 3A 2 + 2A + I 2 Εποµένως : Άρα ϑεωρώντας το πολυώνυµο A 2 4 A 2 + 5I 2 A 2 + 5I 2 ) 4 A I 2 προκύπτει ότι : Από τη σχέση A 3 2A 2 A + 2I 2 προκύπτει ότι : είχνουµε µε επαγωγή ότι, k : P t) 4 t P A) A 2 A 3 2A 2 A 2I 2 A 4 2A 3 A 2 2A ) A 2k 2A 2k A 2 2A Η σχέση ) είναι προφανώς αληθής αν k, και η σχέση ) δείχνει ότι η Ϲητούµενη σχέση ) είναι αληθής αν k 2 Υποθέτουµε ότι k > 2 και ότι η σχέση ) είναι αληθής Τότε πολλαπλασιάζοντας τη σχέση ) µε A 2 προκύπτει ότι : A 2k+2 2A 2k+ A 4 2A 3 ) A 2k+) 2A 2k+) A 2 2A δηλαδή η σχέση ) ισχύει και για k + Εποµένως η σχέση ) ισχύει για κάθε k 2 Θέτοντας k 9 στη σχέση 2) έχουµε : A 28 2A 27 A 2 2A Γενικότερα, εργαζόµενοι παρόµοια δείχνουµε ότι, n 2: { A n+ 2A n A 2 2A, αν n : περιττός A 2I 2, αν n : άρτιος )

19 9 Ασκηση 25 Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα πραγµατικών αριθµών A 2 a a a 3 Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ; Λύση Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A: 2 a t a a 3 P A t) t t t3 a )t 2 + t + a Εποµένως Εξετάζουµε περιπτώσεις : P A t) t 2 )t + a )) t )t + ) t a) ) Αν a ±, δηλαδή a και a 2 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A t) έχει τρεις διακεκριµένες ϱίζες, τις,, και a Άρα ο πίνακας A έχει τρειςε διακεκριµένες ιδιοτιµές, τις λ, λ 2, και λ 3 a, και εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) του πίνακα A έχει τις ίδιες ϱίζες µε το P A t), έπεται ότι : Q A t) t 3 + a )t 2 t + a και υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P A P a Εύκολα ϐλέπουµε, επιλύοντας τα αντίστοιχα οµογενή γραµµικά συστήµατα, ότι : V) 3 2, V ), V a) a2 3a a Εποµένως 2 Εστω a Τότε : P 3 a2 3a a A 2 3 P A t) t )t + )t ) t ) 2 t + ) Το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) του A είναι ένα εκ διαιρετών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου, και άρα ϑα είναι ένα εκ των : t ), t + ), t )t + ), t ) 2, t ) 2 t + ) αʹ) Επειδή A I O Q A t) t 2 ϐʹ) Επειδή A + I O Q A t) t +

20 2 γʹ) Επειδή A I 2 )A + I O Q A t) t )t + ) 2 δʹ) Επειδή A I 2 ) O Q A t) t ) Άρα το πολυώνυµο που µένει t ) 2 t + ) είναι αναγκαστικά το ελάχιστο πολυώνυµο του A: Q A t) t ) 2 t + ) Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A δεν είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων, έπεται ότι ο πίνακας A δεν είναι διαγωνοποιήσιµος 3 Εστω a 2 Τότε : A 2 P A t) t )t + )t + ) t + ) 2 t ) Το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) του A είναι ένα εκ διαιρετών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου, και άρα ϑα είναι ένα εκ των : t ), t + ), t )t + ), t + ) 2, t ) 2 t + ) αʹ) Επειδή A I O Q A t) t 2 ϐʹ) Επειδή A + I O Q A t) t + γʹ) Επειδή 2 A I 2 )A + I 2 ) 2 O Q A t) t )t + ) 2 Συνοψίζουµε : δʹ) Επειδή A + I 2 ) O Q A t) t + ) 2 Άρα το πολυώνυµο που µένει t + ) 2 t ) είναι αναγκαστικά το ελάχιστο πολυώνυµο του A: Q A t) t + ) 2 t ) Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A δεν είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων, έπεται ότι ο πίνακας A δεν είναι διαγωνοποιήσιµος t 3 + a )t 2 t + a, αν a, 2 Q A t) t ) 2 t + ), αν a t + ) 2 t ), αν a 2

21 2 και και τότε ο A είναι όµοιος µε τον διαγώνιο πίνακα Ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος a, 2 a Ασκηση 26 Εστω ότι A M n K) είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε A 3 2A Αν ο A είναι πίνακας πραγµατικών αριθµών, δηλαδή αν K R, να δειχθεί ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Αν ο A είναι πίνακας ϱητών αριθµών, δηλαδή αν K Q, είναι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος ; Λύση Θεωρούµε το πολυώνυµο Qt) t 3 2t tt 2 2) Τότε προφανώς ϑα έχουµε : QA) A 3 2A O Q A t) Qt) Q A t) tt 2 2) ) Αν K Q, τότε, επειδή το πολυώνυµο t 2 2 είναι ανάγωγο υπεράνω του Q, και δεν έχει ϱίζες στο Q, έπεται ότι είτε Q A t) t είτε Q A t) t 2 2 είτε Q A t) tt 2 2) Η µόνη περίπτωση για να έχει το Q A t) διακεκριοµένες ϱίζες στο Q, είναι η περίπτωση Q A t) t και τότε A Άρα αν K Q, τότε ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του Q αν και µόνον αν A O 2) Υποθέτουµε ότι K R Τότε, tt 2 2) tt 2)t + 2) και εποµένως το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) είναι ένα εκ των : t, t 2, t + 2, tt 2), tt + 2), t 2 2 t 2)t + 2), tt 2)t 2) ΣΕ κάθε περίπτωση το ελάχιστο πολυώνυµο είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβάθµιων παραγόντων και εποµένως ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του R Επειδή ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος, η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής είναι ίση µε την διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου και εποµένως η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής συµπίπτει µε το πλήθος των εµφανίσεών της στον διαγώνιο πίνακα ο οποίος είναι όµοιος µε τον A Επειδή η διάσταση του ιδιοχώρου Vλ) συµπίπτει µε τη διάσταση του χώρου των λύσεων ΛΣλ)), όπου Σλ) είναι το οµογενές γραµµικό σύστηµα A λi n )X O, έπεται ότι : dim K Vλ) n ra λi n ) Εποµένως ϑα έχουµε : αʹ) Αν Q A t) t, τότε A O και η διαγώνια µορφή του πίνακα είναι ο µηδενικός πίνακας O και άρα η µόνη ιδιοτιµή εµφανίζεται n ϕορές ϐʹ) Αν Q A t) t 2, τότε A 2I n και η διαγώνια µορφή του πίνακα είναι ο διαγώνιος πίνακας 2In, όπου η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται n ϕορές γʹ) Αν Q A t) t + 2, τότε A 2I n και η διαγώνια µορφή του πίνακα είναι ο διαγώνιος πίνακας 2I n, όπου η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται n ϕορές δʹ) Αν Q A t) tt 2), τότε A 2 A 2I n και στη διαγώνια µορφή του πίνακα A, η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra) ϕορές και η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται ra) ϕορές εʹ) Αν Q A t) tt + 2), τότε A 2 A 2I n και στη διαγώνια µορφή του πίνακα A η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra) ϕορές και η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται ra) ϕορές ϛʹ) Αν Q A t) t 2)t + 2), τότε A 2 2I n και στη διαγώνια µορφή του πίνακα A η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται n ra 2I 2 ) ϕορές και η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται ra + 2I 2 ) ϕορές Ϲʹ) Αν Q A t) tt 2)t + 2), τότε A 3 2A και στη διαγώνια µορφή του πίνακα A, η ιδιοτιµή εµφανίζεται n ra) ϕορές, η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται n ra 2I 2 ) ϕορές, και η ιδιοτιµή 2 εµφανίζεται n ra + 2I 2 ) ϕορές Ασκηση 27 Εστω A ένας 4 4 πίνακας πραγµατικών αριθµών για τον οποίο ισχύουν τα εξής : 2 A, A, A 2 4, A

22 22 Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του A Λύση Θεωρούµε τον πίνακα B 2 2 και ϑέτουµε : E, E 2, E 3 2, E 4 2 Εύκολα υπολογίζουµε ότι B 6 και άρα ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος Εποµένως το σύνολο {E, E 2, E 3, E 4 } αποτελεί ϐάση του R 4 και ιδιαίτερα έχουµε : E : ιδιοδιάνυσµα του A µε αντίστοιχη ιδιοτιµή λ διότι : A E E E 2 : ιδιοδιάνυσµα του A µε αντίστοιχη ιδιοτιµή λ 2 διότι : A E 2 E 2 E 3 : ιδιοδιάνυσµα του A µε αντίστοιχη ιδιοτιµή λ 3 2 διότι : A E 3 2 E 3 E 4 : ιδιοδιάνυσµα του A µε αντίστοιχη ιδιοτιµή λ 3 2 διότι : A E 4 2 E 4 Επειδή η ϐάση {E, E 2, E 3, E 4 } αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A έπεται ότι ο A διαγωνοποιείται Επειδή ο χαρακτηριστικό πολυώνυµο και τπ ελάχιστο πολυώνυµο του A έχουν τις ίδιες ϱίζες, έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα A είναι Q A t) tt + )t 2) Τέλος να σηµειώσουµε ότι µπορούµε να υπολογίσουµε το πίνακα A Πράγµατι έχουµε : B A B 2 A B 2 B A Υπενθυµίζουµε ότι : ) Ενας ενδοµορφισµός f : E E καλείται µηδενοδύναµος αν : f m, για κάποιο m 2) Ο πίνακας A M n K) καλείται µηδενοδύναµος αν : A m, για κάποιο m Ασκηση 28 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος διάστασης dim K E n και f : E E ένας ενδοµορφισµός του E Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : ) Ο f είναι µηδενοδύναµος : f m, για κάποιο m 2) Η µόνη ιδιοτιµή του f είναι η µηδενική 3) f n 4) Το ελάχιστο πολυώνυµο Q f t) του f είναι της µορφής : Q f t) t m, για κάποιο m

23 23 Λύση ) 2) Αν f m, τότε το πολυώνυµο Qt) t m µηδενίζει τον f και άρα διαιρείται από το ελάχιστο πολυώνυµο Q f t) Προφανώς τότε το ελάχιστο πολυώνυµο της f είναι της µορφής Q f t) t k, για κάποιο k m, του οποίου η µοναδική ϱίζα είναι η λ Επειδή οι ϱίζες του ελαχίστου πολυωνύµου είναι οι ιδιοτιµές της f έπεται ότι η µόνη ιδιοτιµή του f είναι η µηδενική 2) 3) Αν η µόνη ιδιοτιµή του f είναι η µηδενική, τότε προφανώς το ελάχιστο πολυώνυµο του f ϑα είναι της µορφής Q f t) t m για κάποιο m n Επειδή το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυµο έχουν τις ίδιες ϱίζες, έπεται ότι P f t) ) n t n Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton ϑα έχουµε : P f f) ) n f n και άρα f n 3) 4) Αν f n, τότε το πολυώνυµο Qt) t n µηδενίζει τον f και άρα διαιρείται το από το ελάχιστο πολυώνυµο Q f t) της f Προφανώς τότε Q f t) t m για κάποιο m n 4) ) Αν το ελάχιστο πολυώνυµο Q f t) είναι της µορφής Q f t) t m, για κάποιο m, τότε Q f f) f m Ασκηση 29 Εστω A M n K) ένας τετραγωνικός πίνακας Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : ) Ο A είναι µηδενοδύναµος : A m O, για κάποιο m 2) Η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η µηδενική 3) A n O 4) Το ελάχιστο πολυώνυµο Q A t) είναι της µορφής : Q A t) t m, για κάποιο m Λύση Η λύση προκύπτει χρησιµοποιώντας τον ενδοµορφισµό f A : K n K n, f A X) AX, την Άσκηση 28, και τα γνωστά µας αποτελέσµατα : α) Ο πίνακας του f A στην κανονική ϐάση του K n είναι ο A, β) A m O αν και µόνον αν fa m, γ) οι ιδιοτιµές του A συµπίπτουν µε τις ιδιοτιµές του f A, και δ) το ελάχιστο πολυώνυµο του f A συµπίπτει µε το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα της σε τυχούσα ϐάση του K n Ασκηση 3 Αν A, B M n n K) Τότε οι πίνακες AB και BA έχουν το ίδιο χαρακτηρισικό πολυώνυµο : P AB t) P BA t) Λύση Πρώτη Περίπτωση: Ενας εκ των πινάκων A, B είναι αντστρέψιµος Εστω ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Τότε : BA A ABA A AB)A και εποµένως οι πίνακες AB και BA είναι όµοιοι Επειδή όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηρσιτικό πολυώνυµο, έπεται ότι : P AB t) P BA t) Παρόµοια αν ο B είναι αντιστρέψιµος, τότε AB B BAB B BA)B, δηλαδή οι πίνακες AB και BA είναι όµοιοι και άρα P AB t) P BA t) εύτερη Περίπτωση: Υποθέτουµε ότι ο A δεν είναι αντιστρέψιµος Τότε η ϐαθµίδα του είναι ra) : r < n Από την Γραµµική Αλγεβρα Ι γνωρίζουµε ότι ο A είναι ισοδύναµος µε τον πίνακα Ir O Ĩ r : r n r O n r r O n r n r ηλαδή υπάρχουν αντιστρέψιµοι πίνακες Q, P M n K) έτσι ώστε : Θέτοντας Q Q και P : P ϑα έχουµε τότε : Q AP Ĩr Θεωρούµε τον πίνακα C : P BQ τον οποίο τον χωρίζουµε σε υποπίνακες : C C C P BQ 2 C 2 C 22 όπου A QĨrP 3) C M r K), C 2 M r n r K), C 2 M n r r K), C 22 M n r K)

24 24 και τότε Εποµένως : AB AP C C 2 C 2 C 22 Εύκολα ϐλέπουµε ότι : και εποµένως ϑα έχουµε : B P CQ P C C 2 C 2 C 22 Q QĨrP P C C 2 Q C 2 C 22 Q C C Ĩ 2 C C r 2 C 2 C 22 O r r O n r n r C C AB Q 2 O r r O n r n r ηλαδή ο πίνακας AB είναι όµοιος µε τον πίνακα C C M 2 O r r O n r n r Επίσης : Εύκολα ϐλέπουµε ότι : Άρα ϑα έχουµε BA P CQ A P C C 2 C 2 C 22 Q C C 2 C O Ĩ C 2 C r r n r 22 C 2 O n r n r BA P C O r n r P C 2 O n r n r ηλαδή ο πίνακας BA είναι όµοιος µε τον πίνακα C O N r n r C 2 O n r n r QĨr C C 2 C 2 C 22 Q QĨrP P C C 2 Ĩ C 2 C r P 22 Επειδή όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο ϑα έχουµε P AB t) P M t) Q Οµως : και P BA t) P N t) P M t) C ti r C 2 r r O n r n r ti n r n r P N t) C ti r C 2 O r n r O n r n r ti n r n r )n r P C t) )n r P C t) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι P M t) P N t) και εποµένως P AB t) P BA t) Ασκηση 3 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης, και έστω f, g : E E δύο ενδοµορφισµοί του E Τότε οι ενδοµορφισµοί f g και g f έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο : P f g t) P g f t)

25 Λύση Εστω B µια ϐάση του E και A M B B f) και B M B B g) Τότε από την Άσκηση 3 έχουµε : P ABt) P BA t) Επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο µιας γραµµικής απεικόνισης συµπίπτει µε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακά της σε τυχούσα ϐάση, έπεται ότι : P f t) P A t) και P g t) P B t) Επειδή ο πίνακας της f g στην ϐάση B είναι ο AB, δηλαδή MB B f g) AB, και ο πίνακας της g f στην ϐάση B είναι ο BA, δηλαδή MB B g f) BA, ϑα έχουµε : P f g t) P AB t) P BA t) P g f t) 25 Ασκηση 32 Εστω A ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K και υποθέτουµε ότι οι ιδιοτιµές του A είναι 3 και Εστω n Να ϐρεθεί ο πίνακας A n, n Z, συναρτήσει των πινάκων A και I 2, σε δύο µέρη : ) Να ϐρεθούν αριθµοί a n, b n K έτσι ώστε : A n+ a n A + b n I 2 2) Να ϐρεθούν αριθµοί c n, d n K έτσι ώστε : A n c n A + d n I 2 Λύση Επειδή οι ιδιοτιµές του A είναι οι αριθµοί 3 και, έπεται ότι το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο ϑα είναι P A t) t 3)t + ) t 2 2t 3 Επειδή ο A έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές, έπεται ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα είναι όµοιος µε τον πίνακα 3 ) Προφανώς ϑα έχουµε : A A + I 2 a και b Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton έπεται ότι P A A) O, και εποµένως : P A A) O A 2 2A 3I 2 O A 2 2A + 3I 2 a 2 και b 3 Πολλαπλασιάζοντας την προηγούµενη σχέση προκύπτει ότι : A 2 2A + 3I 2 A 3 2A 2 + 3A 22A + 3I 2 ) + 3A 7A + 6I 2 a 2 7 και b 2 { 6 } Υποθέτουµε ότι έχουµε προσδιορίσει τις ακολουθίες αριθµών a { n n και b n }n έτσι ώστε An+ a n A + b n I 2 Τότε : a n+ A + b n+ I 2 A n+2 A A n+ Aa n A + b n I 2 ) a n A 2 + b n A a n 2A + 3I 2 ) + b n A a n+ A + b n+ I 2 2a n + b n )A + 3a n I 2 ) Ισχυρισµός: Οι πίνακες A, I 2 είναι γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του χώρου M 2 K) Πράγµατι αν οι πίνακες A, I 2 είναι γραµµικά εξαρτηµένοι, τότε υπάρχουν αριθµοί x, y), ) έτσι ώστε : xa + yi 2 O Αν x, τότε ϑα έχουµε yi 2 από όπου άµεσα προκύπτει ότι y και αυτό είναι άτοπο διότι x, y), ) Άρα x και τότε A y x I 2 και αυτό σηµαίνει ότι ) λ A λ ίση µε δύο Αυτό είναι άτοπο διότι ο πίνακας έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές Εποµένως οι πίνακες A, I 2 είναι γραµµικά ανεξάρτητοι, όπου λ y x, ιδιαίτερα έπεται οτι η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η λ µε πολλαπλότητα Από τη γραµµική ανεξαρτησία των πινάκων A, I 2 και τη σχέση ) έπεται ότι : Η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναµα : an+ 2 an b n+ 3 b n a n+ 2a n + b n και b n+ 3a n ) an B b n όπου B 2 3 )

26 26 Τότε ϑα έχουµε : an+ an B B b n+ b 2 an B n b 3 an 2 B n b n a B n 2 b n 2 3 Θα προσδιορίσουµε την n-οστή δύναµη του πίνακα B Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα B είναι P B t) B t 2 2 t 3 t 2t + t2 3 t 2 2t 3 Επειδή t 2 2t 3 t 3)t+), έπεται ότι οι ιδιοτιµές του πίνακα B είναι οι αριθµοί λ 3 και λ 2 Επειδή ο πίνακας B έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές, έπεται ότι ο πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος Για τον ιδιοχώρο V3), ϑεωρούµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα Άρα 3 3) x y ) ) V3) { x + y 3x 3y x y { } x K ) 2 x K ) Για τον ιδιοχώρο V ), ϑεωρούµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα { 3 x 3x + y x 3x y 3 ) y ) 3x + y y) Άρα V ) { x } K 3 2 x K 3 x x y) x) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι µια ϐάση του ιδιοχώρου V3) είναι η στήλη ιδιοχώρου V ) είναι η στήλη Εποµένως, ϑέτοντας 3 P 3 αποκτούµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε : P 3 3 BP B P P n B n 3 P P 3 n P ) n P Υπολογίζουµε έυκολα ότι : Εποµένως ϑα έχουµε : B n 3 n 3 ) n 4 P 4 3 x x 3x ) x ) 3 3 n+ + ) n 3 n ) n ) 4 3 n+ 3 ) n 3 n + 3 ) n Τότε από τη σχέση ) προκύπτει ότι : an+ B b n 2 3 n+ + ) n 3 n ) n ) 2 n n+ 3 ) n 3 n + 3 ) n 3 4 Εποµένως : a n 3n+ + ) n 4 και b n 3n+ + 3 ) n n+2 + ) n+ ) 3 n ) n και µια ϐάση του

27 27 και άρα, n : A n+ 3n+ + ) n 4 A + 3n+ + 3 ) n 4 I 2 2) Επειδή ο αριθµός δεν είναι ιδιοτιµή του A, έπεται ότι ο A είναι αντιστρέψιµος Επειδή όπως είδαµε A 2 2A 3I 2 O, ϑα έχουµε : A 2 2A 3I 2 AA 2I 2 ) 3I 2 A 3 A 2 3 I ) 2 I2 A 3 A 2 3 I 2 A 2I2 3 Τότε : n+ A n n+ n+ A 2I2 A 2I2 3 3 n+ ) Άρα αρκεί να υπολογίσουµε την n-οστή δύναµη του πίνακα C A 2I 2 Υπολογίζουµε εύκολα ότι : C 2 2A + 7I 2 { } Υποθέτουµε ότι έχουµε προσδιορίσει τις ακολουθίες αριθµών c { n n και d n έτσι ώστε, n 2: }n C n c n A + d n I 2 Τότε : c και d 2 και c 2 και d 7 c n A + d n I 2 C n+ C C n A 2I 2 )c n A + d n I 2 ) d n A + 3c n 2d n I 2 ) c n A + d n I 2 d n A + 3c n 2d n I 2 ) Επειδή όπως είδαµε οι πίνακες A και I 2 είναι γραµµικά ανεξάρτητοι, έπεται ότι Η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναµα cn d n ) και εποµένως, ϑέτοντας c n d n και d n 3c n 2d n D cn 3 2 d n 3 2 ϑα έχουµε : cn cn D D d n d 2 cn 2 D n d 3 cn 3 D n 2 d n c D n 3 d n 2 Το χαρακτηριστικό πολυλωνυµο του πίνακα D είναι το P D t) t 2 + 2t 3 και οι ϱίζες του, δηλαδή οι ιδιοτιµές του D, είναι οι λ και λ 2 ) 3 Προφανώς τότε ο πίνακας D είναι διαγωνοποιήσιµος και άρα είναι όµοιος µε τον πίνακα 3 Εύκολα υπολογίζουµε V) και V 3) ) 3 Εποµέµνως ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος, µε αντίστροφο τον πίνακα P 3 3 4, και ικανοποιεί τη σχέση : P DP D P P 3 3 D n P 3 3 3) n 4 4 n P ) n 3) n ) 3 + 3) n+ 3) n+ ) )

28 28 Άρα D n 4 και τότε από τη σχέση ) ϑα έχουµε : cn D d n n 2 4 Εποµένως : και άρα, n : 3 + 3) n 3) n ) 3 + 3) n+ 3) n ) n 3) n ) 3 + 3) n+ 3) n+ 2 c n + 3 3)n 4 και A n 3 n+ Cn+ 3 n+ cn A + d n I 2 ) 3 n+ Εποµένως : ) 4 d n + 3 3)n ) n ) n + 3 3) n+ A + + ) 3 3)n+ I 2 4 A n + 3 3)n 4 3 n+ A )n+ 4 3 n+ I 2 Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Πινάκων Η επόµενη οµάδα ασκήσεων αφορά ταυτόχρονη διαγωνοποίηση ενδοµορφισµών και τετραγωνικών πινάκων, µε την ακόλουθη έννοια ) Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και f, g : E E δύο ενδοµορφισµοί του E Τότε οι ενδοµορφισµοί f και g καλούνται ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι, αν υπάρχει ϐάση C του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f και του g 2) Εστω A, B M n K) δύο n n πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Οι πίνακες A, B καλούνται ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P A P και P B P 2 όπου οι πίνακες και 2 είναι διαγώνιοι ηλαδή αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ο οποίος διαγωνοποιεί ταυτόχρονα τους A, B Ασκηση 33 Εστω A, B M n K) δύο n n πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Αν οι πίνακες A, B είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι, τότε ισχύει ότι : A B B A Λύση Υποθέτουµε ότι οι πίνακες A, B είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι Τότε οι πίνακες είναι διαγωνοποιήσιµοι και υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P A P και P B P 2 όπου οι πίνακες και 2 είναι διαγώνιοι Τότε ϑα έχουµε : P A B) P P A B P P A P P B P 2 P B A) P P B A P P B P P A P 2 Επειδή προφανώς διαγώνιοι πίνακες µετατίθενται, ϑα έχουµε 2 2 Τότε P A B) P P B A) P A B) P B A) P A B B A

29 29 Ασκηση 34 Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός, όπου dim K E < Υποθέτουµε ότι E V W και fv) V Θεωρούµε τον επαγόµενο ενδοµορφισµό f V f V : V V, όπου f V είναι ο περιορισµός του f στον υπόχωρο V Λύση ) Να δειχθεί ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q fv t) του f V διαιρεί το ελάχιστο πολυώνυµο Q f t) του f: 2) Να δειχθεί ότι Q fv t) Q f t) Ο f είναι διαγωνοποιήσιµος Ο f V είναι διαγωνοποιήσιµος ) Εστω Q f t) a + a t + a m t m + t m το ελάχιστο πολυώνυµο του f, και ϑεωρούµε την γραµµική απεικόνιση Q f f V ) a Id V + a f V + + a m f V ) m + f V ) m : V V Τότε, v V: Q f f V ) v) a v)+a f V v)+ +a m f V ) m v)+f V ) m v) Επειδή f V v) f v), v V, έπεται ότι ϑα έχουµε : Q f f V ) v) a v) + a f v) + + a m f m v) + f m v) a Id E + a f + a m f m + f m ) v) Q f f) v) Αυτό σηµαίναι ότι το πολυώνυµο Q f t) µηδενίζει την f V Τότε όµως το Q f t) ϑα διαιρείται από το ελάχιστο πολυώνυµο της f V : Q fv t) Q f t) 2) Από το µέρος ), έχουµε Q fv t) Q f t) Επειδή ο f είναι διαγωνοποιήσιµος, έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q f t) του f αναλύεται σε γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων Επειδή το ελάχιστο πολυώνυµο του f V είναι διαιρέτης του Q f t), έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυµο Q fv t) του f V αναλύεται σε γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων Εποµένως ο f V είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 35 Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός, όπου dim K E < Υποθέτουµε ότι E V V 2 V k και fv i ) V i, i k Θεωρούµε τους επαγόµενους ενδοµορφισµούς f Vi : V i V i, όπου f Vi f Vi είναι ο περιορισµός του f στον υπόχωρο V i Τότε : Ο f είναι διαγωνοποιήσιµος Ο f Vi είναι διαγωνοποιήσιµος, i k Λύση Αν ο ενδοµορφισµός f είναι διαγωνοποιήσιµος, τότε από την Άσκηση 34 έπεται ότι κάθε ενδοµορφισµός f Vi είναι διαγωνοποιήσιµος, i k Αντίστροφα, έστω B i µια ϐάση του V i, i k, η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα τοψ f Vi Από το ορισµό των ενδοµορφισµών f Vi, έπεται προφανώς ότι τα διανύσµατα κάθε ϐάσης B i είναι και ιδιοδιανύσµατα του f Επειδή το άθροισµα V + V V k είναι ευθύ και µας δίνει τον χώρο E, έπεται ότι το σύνολο C : B B 2 B k είναι µια ϐάση του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f Άρα ο f είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 36 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και f, g : E E δύο ενδοµορφισµοί του E Υποθέτουµε ότι οι f και g είναι διαγωνοποιήσιµοι και f g g f Να δειχθεί ότι υπάρχει ϐάση C του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f και του g Λύση Επειδή ο g είναι διαγωνοποιήσιµος, όπως γνωρίζουµε ϑα έχουµε : E V g λ ) V g λ 2 ) V g λ k ) όπου λ, λ k είναι οι διακεκριµένες ιδιοτιµές του g και V g λ i ) είναι οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι : V g λ i ) { x E g x) λ i x}, Εστω x V g λ i ) Τότε g x) λ i x και εποµένως, i, 2,, k: i k fg x)) fλ i x) f g) x) λ i f x) g f) x) λ i f x) gf x)) λ i f x)

30 3 Εποµένως το διάνυσµα f x) V g λ i ), και άρα : fv g λ i ) V g λ i ) Αυτό σηµαίναι ότι µπορούµε να περιορίσουµε τον f σε έναν ενδοµορφισµό f i : f Vgλ i ) : V g λ i ) V g λ i ), f i x) f x) Επειδή ο f είναι διαγωνοποιήσιµος, από την Άσκηση 35 έπεται ότι ο ενδοµορφισµός f i είναι διαγωνοποιήσιµο, για κάθε i, 2,, k Εστω B i µια ϐάση του V g λ i ) η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f i Από το ορισµό των ενδοµορφισµών f i, έπεται προφανώς ότι τα διανύσµατα κάθε ϐάσης B i είναι και ιδιοδιανύσµατα του f Επειδή το άθροισµα V g λ ) + V g λ 2 ) + + V g λ k ) είναι ευθύ και µας δίνει τον χώρο E, έπεται ότι το σύνολο C : B B 2 B k είναι µια ϐάση του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f Επειδή B i V g λ i ) έπεται ότι τα διανύσµατα κάθε ϐάσης B i είναι και ιδιοδιανύσµατα του g Καταλήγουµε ότι η ϐάση C του E αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f και του g Η ακόλουθη Άσκηση παρουσιάζει ένα κριτήριο ταυτόχρονης διαγωνοποίησης για ενδοµορφισµούς Ασκηση 37 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης και f, g : E E δύο ενδοµορφισµοί του E Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : ) Οι f και g είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι 2) Οι f και g είναι διαγωνοποιήσιµοι και : f g g f Λύση 2) ) Η κατεύθυνση αυτή αποδείχθηκε στην Άσκηση 36 ) 2) Εστω ότι οι f και g είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι, δηλαδή υπάρχει ϐάση C { e, e 2,, e n } του E η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f και του g, τα οποία αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ n του f και στις ιδιοτιµές µ, µ 2,, µ n του g Τότε : f g) e i ) fg e i )) fµ i e i ) µ i f e i ) µ i λ i e i g f) e i ) gf e i )) gλ i e i ) λ i g e i ) λ i µ i e i Εποµένως f g) e i ) g f) e i ), για κάθε διάνυσµα e i της ϐάσης C Τότε όµως προφανώς f g g f Η ακόλουθη Άσκηση παρουσιάζει ένα κριτήριο ταυτόχρονης διαγωνοποίησης για τετραγωνικούς πίνακες Ασκηση 38 Εστω A, B M n K) δύο n n πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : ) Οι πίνακες A και B είναι ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιµοι 2) Οι πίνακες A και B είναι διαγωνοποιήσιµοι και : A B B A Λύση ) 2) Η κατεύθυνση αυτή αποδείχθηκε στην Άσκηση 33 2) ) Υποθέτουµε ότι οι πίνακες A και B είναι διαγωνοποιήσιµοι και : A B B A Θεωρούµε τους ενδοµορφισµούς f A, f B : K n K n, f A X) A X και f B X) B X Επειδή οι πίνακες A και B είναι διαγωνοποιήσιµοι, έπεται ότι και οι ενδοµορφισµοί f A και f B είναι διαγωνοποιήσιµοι Επειδή A B B A, έπεται άµεσα ότι f A f B f B f A Τότε από την Άσκηση 37 έπεται ότι υπάρχει ϐάση C του K n η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f A και του f B Άρα ο πίνακας του f A στην C είναι ένας διαγώνιος πίνακας και ο πίνακας του f B στην C είναι ένας διαγώνιος πίνακας 2 Τότε όµως υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε οι πίνακας P A P και P B P 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii29/laii29html Παρασκευή 23 Μαρτίου 29 a b Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Θεωρητικα Θεµατα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Θεωρητικα Θεµατα Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 4 Μαίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai208/lai208html Παρασκευή 2 Οκτωβρίου 208 Ασκηση Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/liearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου 2018 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 11 Μαίου 2018

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 9 Μαρτίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 14 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018.html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 12 Οκτωβρίου

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii08/laii08.html Παρασκευή 4 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii09/laii09.html Παρασκευή 0 Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 23 Νεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αν N, να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html ευτέρα 23 Απριλίου 2018 Αν C

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 12 Απριλίου 2019 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα