Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα

Σημειακή εκτίμηη και εκτίμηη με διάτημα Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Σημειακή εκτίμηη Ιδιότητες τω εκτιμητριώ 3 Εκτίμηη με διάτημα Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ο πληθυμός είαι καοικός Το μέγεθος το δείγματος είαι μεγάλο 3 Διάτημα εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό 4 Διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού 5 Διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ 5 Εξαρτημέα δείγματα/ζευγαρωτές παρατηρήεις 5 Αεξάρτητα δείγματα 6 Διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά δύο διωυμικώ ποοτώ με δύο αεξάρτητα δείγματα 7 Διάτημα εμπιτούης για το λόγο τω διακυμάεω δύο καοικώ πληθυμώ 8 Πάω (κάτω φράγμα εμπιτούης 9 Σύτομη αακόπηη βαικώ εοιώ, προτάεω και τύπω

Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 39

Αρκετά τρόφιμα περιέχου το ιχοτοιχείο ελήιο το οποίο, ότα προλαμβάεται ε μικρές ποότητες ημερηίως, έχει ευεργετική επίδραη τη υγεία Έας φοιτητής, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας, πρέπει α μελετήει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες μέω της διατροφής τους ε δύο υγκεκριμέες περιοχές της χώρας, έτω Α και Β, όπου κατεξοχή κατααλώοται τρόφιμα τοπικής παραγωγής (η περιεκτικότητα τω τροφίμω ε ελήιο ποικίλει αάλογα με τη περιοχή παραγωγής τους Η ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάει ο άθρωπος από τις τροφές είαι προφαώς τυχαία μεταβλητή και από τη βιβλιογραφία ο φοιτητής γωρίζει ότι αυτή ακολουθεί καοική καταομή Δε γωρίζει όμως τις τιμές τω παραμέτρω της, τόο για τη περιοχή Α όο και για τη περιοχή Β και ειδικότερα για τους εήλικες αυτώ τω περιοχώ Δηλαδή, α Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α και Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Β, ο φοιτητής γωρίζει ότι ~ N( μ, και Y ~ N( μ, όμως δε γωρίζει τις τιμές τω παραμέτρω τους μ, και μ,, ατίτοιχα Για το κοπό αυτό επέλεξε με μια τυχαία διαδικαία 6 εήλικες από κάθε περιοχή και για καθέα υπολόγιε/μέτρηε (με κάποια μέθοδο τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάει μέω της διατροφής του Μετά τη επεξεργαία τω δεδομέω που υγκέτρωε, προέκυψε ότι o δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη για το δείγμα από τη περιοχή Α ατίτοιχα είαι x 75μgr και s 84μgr και για το δείγμα από τη περιοχή Β, ατίτοιχα είαι y 87μ gr και s 9μgr Με βάη τα ευρήματα ε αυτά τα δύο τυχαία δείγματα, τι μπορεί άραγε α υμπεράει ο φοιτητής για τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, για τη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες τη περιοχή Α, και για τη, άγωτη επίης, μέη τιμή μ, αλλά και για το πώς αυτές υγκρίοται, δηλαδή, α είαι ίες ή διαφέρου και ποια είαι μεγαλύτερη (και πόο α διαφέρου Επίης, τι μπορεί α υμπεράει για τις άγωτες διακυμάεις και και για το πώς αυτές υγκρίοται Αυτά τα ερωτήματα είαι τυπικά παραδείγματα ερωτημάτω τα οποία δίει απατήεις η τατιτική υμπεραματολογία Στη εότητα αυτή, θα δούμε ( επιτέλους πώς, για παράδειγμα, ο φοιτητής μπορεί, με βάη τα ευρήματα το τυχαίο δείγμα από τη περιοχή Α, α «πει κάτι» για τη μέη τιμή μ της τυχαίας μεταβλητής Χ της οποίας δε γωρίζει επακριβώς τη καταομή (γωρίζει μόο τη οικογέεια καταομώ τη οποία αήκει ή τι μπορεί α πει για το α οι μέες τιμές μ και μ είαι ίες ή διαφέρου (και πόο και ατίτοιχα για τις διακυμάεις και Θα δούμε επίης, τι απατήεις μπορεί α δώει ε αυτά τα ερωτήματα ακόμη και α δε γωρίζει ε ποια οικογέεια καταομώ αήκει η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Χ (και της Υ Εκτιμήτριες υαρτήεις και μέθοδοι εκτίμηης Έα από τα γεικότερα θέματα που τίθεται με τα ερωτήματα που απαχολού το φοιτητή, είαι το εξής: πώς μπορούμε α εκτιμήουμε μία ή περιότερες άγωτες παραμέτρους της καταομής μιας τυχαίας μεταβλητής με βάη έα τυχαίο δείγμα από αυτή; Εφόο θεωρούμε ότι το τυχαίο δείγμα που έχουμε τη διάθεή μας είαι έα ατιπροωπευτικό δείγμα τω δυατώ τιμώ της τυχαίας μεταβλητής που μελετάμε, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 393

είαι λογικό α εκτιμήουμε τις άγωτες παραμέτρους της μέω «κατάλληλω» τατιτικώ υαρτήεω που θα κατακευάουμε και θα μπορούμε (όπως έχουμε εξηγήει α υπολογίουμε από το δείγμα Για παράδειγμα, για α εκτιμήουμε τη άγωτη μέη τιμή μ μιας τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, είαι λογικό α χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο που είαι μια υάρτηη του δείγματος και μπορεί α υπολογιθεί από αυτό Κάθε τατιτική υάρτηη που χρηιμοποιείται για τη εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού (δηλαδή, της καταομής μιας τμ οομάζεται εκτιμήτρια υάρτηη ή εκτιμήτρια (estmator της άγωτης παραμέτρου Η τιμή της εκτιμήτριας για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, οομάζεται εκτίμηη (estmaton της άγωτης παραμέτρου Έτι, το παράδειγμά μας, α ως εκτιμήτρια της άγωτης μέης τιμής μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ, επιλέξουμε το δειγματικό μέο 6 6 τότε, η τιμή του x 75μgr για το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα που πήρε ο φοιτητής από τη περιοχή Α, μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής μ της Χ, δηλαδή, της άγωτης μέης ημερήιας ποότητας εληίου που προλαμβάου οι εήλικες τη περιοχή Α μέω της διατροφής τους Ατίτοιχα, η τιμή y 87μgr του δειγματικού μέου Y 6 6 Y μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής μ Σημειακή εκτίμηη Η εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού μέω της τιμής μιας εκτιμήτριας (για υγκεκριμέη πραγματοποίηη εός τυχαίου δείγματος από τo πληθυμό, οομάζεται ημειακή εκτίμηη (pont estmaton της παραμέτρου και η εκτιμήτρια οομάζεται ημειακή εκτιμήτρια (pont estmator Είαι προφαές, ότι από κάθε πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, παίρουμε μια διαφορετική (ε γέει ημειακή εκτίμηη της άγωτης παραμέτρου του πληθυμού Έτι, α ο φοιτητής έπαιρε έα άλλο τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 από τη περιοχή Α και εύρικε, για παράδειγμα, δειγματικό μέο x 745μgr, αυτή θα ήτα μια άλλη ημειακή εκτίμηη της μέης τιμής μ του πληθυμού Επίης, α ως εκτιμήτρια της άγωτης πληθυμιακής μέης τιμής, ο φοιτητής δε επέλεγε το δειγματικό μέο αλλά κατακεύαζε μια άλλη τατιτική υάρτηη, για παράδειγμα, τη mn + T max δηλαδή, το ημιάθροιμα της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος, προφαώς, θα έπαιρε μια διαφορετική ημειακή εκτίμηη από αυτή που πήρε, για τη ίδια πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, από το δειγματικό μέο Γεώται επομέως δύο εύλογα ερωτήματα α Υπάρχει κάποια μέθοδος για α καθορίζουμε/κατακευάζουμε εκτιμήτριες με βάη κάποια κριτήρια και όχι αυθαίρετα; Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 394

β Ποιο είαι το «φάλμα της εκτίμηης» που κάουμε, δηλαδή, πόο κοτά τη πραγματική τιμή της παραμέτρου βρίκεται η τιμή της εκτιμήτριας που υπολογίζουμε από τη πραγματοποίηη εός τυχαίου δείγματος; Σε ότι αφορά το πρώτο ερώτημα η απάτηη (αφαλώς είαι αι Μια πολύ γωτή μέθοδος κατακευής εκτιμητριώ είαι η μέθοδος μέγιτης πιθαοφάειας (method of maxmum lkelhood που προτάθηκε από το Ronald A Fsher (9 Μια άλλη, επίης πολύ γωτή μέθοδος/τεχική εκτίμηης, είαι η μέθοδος τω ροπώ (method of moments που προτάθηκε από το Karl Pearson (894 Επίης, για τις εκτιμήτριες έχου οριθεί επιθυμητές ιδιότητες, ή αλλιώς, κριτήρια «καλής υμπεριφοράς» τους, όπως αμεροληψία, υέπεια και αποτελεματικότητα Ας δούμε το όημα αυτώ τω ιδιοτήτω (τις μεθόδους εκτίμηης δε θα ααφερθούμε Ιδιότητες τω εκτιμητριώ Είαι προφαές, ότι μια εκτιμήτρια μπορεί α χαρακτηριθεί «καλή» ή όχι, δηλαδή, μπορούμε α θεωρήουμε ότι έχει ή δε έχει «καλές» ιδιότητες, αάλογα με τη υμπεριφορά της ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες (από δείγμα ε δείγμα, η οποία περιγράφεται από τη καταομή της, ή αλλιώς, από τη δειγματοληπτική καταομή Μια επιθυμητή/καλή ιδιότητα μιας εκτιμήτριας θα μπορούε α είαι η εξής: ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες, κατά μέο όρο α εκτιμά ωτά τη άγωτη παράμετρο, δηλαδή, ούτε α τη υπερεκτιμά ούτε α τη υποεκτιμά υτηματικά Η ιδιότητα αυτή οομάζεται αμεροληψία (unbasedness Μια εκτιμήτρια, έτω θˆ, μιας παραμέτρου θ, οομάζεται αμερόληπτη (unbased, α η μέη τιμή της είαι ίη με τη αληθή/πραγματική τιμή της παραμέτρου, δηλαδή, α E [ ˆ] θ θ Στο Σχήμα, η καταομή (α είαι η καταομή μιας εκτιμήτριας μιας παραμέτρου θ και η καταομή (β είαι η καταομή μιας άλλης εκτιμήτριας της ίδιας παραμέτρου θ Προφαώς, η (α είαι καταομή αμερόληπτης εκτιμήτριας της παραμέτρου θ εώ η (β, που είαι μετατοπιμέη προς τα αριτερά της αληθούς τιμής της θ, είαι καταομή μη αμερόληπτης εκτιμήτριας της θ και τείει α υποεκτιμά τη θ Σχήμα Η εκτιμήτρια (α είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ εώ η (β είαι μη αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 395

Στο Σχήμα δίουμε τη έοια της αμεροληψίας πιο παρατατικά Σκεφθείτε ότι έας κοπευτής τοχεύει με βέλη προς έα τόχο και θεωρείτε ότι ο τόχος (το κέτρο του τόχου είαι η αληθής/πραγματική τιμή μιας παραμέτρου θ και ο κοπευτής είαι η εκτιμήτρια Οι επααλαμβαόμεες ρίψεις του βέλους, κατ ααλογία, ατιτοιχού τις επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες και το ημείο πρόπτωης του βέλους, τη εκτίμηη της θ, που φυικά εξαρτάται από το κοπευτή (τη εκτιμήτρια Στη περίπτωη του κοπευτή-εκτιμήτριας (α το ημείο πρόπτωης του βέλους (η εκτίμηη, τις επααλαμβαόμεες ρίψεις (δειγματοληψίες, βρίκεται υτηματικά ε υγκεκριμέη περιοχή μακριά από το κέτρο του τόχου (πάω δεξιά, εώ τη περίπτωη (β βρίκεται γύρω/κοτά το κέτρο του τόχου (τη αληθή τιμή της παραμέτρου Σχήμα Στη περίπτωη (α το βέλος πέφτει υτηματικά ε υγκεκριμέη περιοχή μακριά από το κέτρο του τόχου (πάω δεξιά, εώ τη περίπτωη (β πέφτει κοτά το κέτρο του τόχου Ας δούμε α ο δειγματικός μέος είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής, μ, εός πληθυμού, δηλαδή, α κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μέη τιμή του πληθυμού Στο Πόριμα 55 δείξαμε ότι E ( E( μ Επομέως, για οποιοδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διακύμαη, ο δειγματικός μέος (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Επίης, για οποιοδήποτε πληθυμό, με μέη τιμή μ και διακύμαη αποδεικύεται ότι η δειγματική διακύμαη, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 396

Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 397 ( (για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής διακύμαης Πράγματι, ( ] [ E E E + + μ ] [ ( ( ( ( ] [ ] [ E Var E E ( μ μ + Σημείωη : Στη προηγούμεη απόδειξη χρηιμοποιήαμε τη γωτή από το Α Μέρος χέη ] [ ( μ E Var καθώς και το ότι για οποιοδήποτε πληθυμό με μέη τιμή μ και διακύμαη, η διακύμαη του δειγματικού μέου για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος, είαι (όπως δείξαμε το Πόριμα 55 ίη με, δηλαδή ( Var Παρατηρήεις : α Α ως εκτιμήτρια της διακύμαης εός πληθυμού χρηιμοποιήουμε τη τατιτική υάρτηη * ( εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι * ] [ E δηλαδή, η * δε είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμαης, αφού κατά μέο όρο υποεκτιμά τη Αυτός είαι και ο λόγος που τη Περιγραφική Στατιτική, ως δειγματική διακύμαη ορίαμε τη τατιτική υάρτηη ( και όχι τη *, που θα ήτα και πιο «λογικό» β Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί (δείτε το ως άκηη ότι α η πληθυμιακή μέη τιμή μ είαι γωτή τότε η τατιτική υάρτηη μ ( είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της διακύμαης Ο δειγματικός μέος, όπως αποδείξαμε, είαι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ Όμως, και η τατιτική υάρτηη T +

α χρηιμοποιηθεί ως εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής μ, θα τη εκτιμά κατά μέο όρο ωτά, αφού, + E [ T ] E ( E[ ] + E[ ] ( μ + μ μ δηλαδή, είαι και αυτή μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της μ Παρατηρείτε επίης, ότι για οποιουδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,,, K, με α, η τατιτική υάρτηη T a μπορεί α χρηιμοποιηθεί ως αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέης τιμής μ οποιουδήποτε πληθυμού (δείτε το ως μια απλή άκηη Άραγε, μεταξύ αμερόληπτω εκτιμητριώ της ίδιας παραμέτρου εός πληθυμού, έχει ημαία ποια θα επιλέξουμε ή μήπως δε έχει; Η απάτηη είαι ότι έχει Η αμεροληψία δε είαι η μόη επιθυμητή ιδιότητα για μια εκτιμήτρια Δείτε το Σχήμα 3 τη υάρτηη πυκότητας μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας ˆ θ μιας παραμέτρου θ και τη υάρτηη πυκότητας μιας άλλης, αμερόληπτης επίης, εκτιμήτριας ˆ θ της ίδιας παραμέτρου θ Η εκτιμήτρια ˆ θ έχει προφαώς μικρότερη διακύμαη από τη εκτιμήτρια ˆ θ Όπως φαίεται από το χήμα, γιαε > 0, P ( θ ε ˆ θ ( ˆ θ + ε > P θ ε θ θ + ε δηλαδή, η ˆ θ έχει μεγαλύτερη πιθαότητα από τη ˆ θ α πάρει τιμή που α βρίκεται ε απόταη το πολύ ε από τη αληθή τιμή της παραμέτρου θ Επομέως, η εκτιμήτρια ˆ θ υμπεριφέρεται καλύτερα από τη ˆ θ γιατί έχει μικρότερη διακύμαη Έτι, μια αμερόληπτη εκτιμήτρια είαι επιθυμητό (δείτε και το Σχήμα 4 α έχει μικρή διακύμαη Μια αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ μιας παραμέτρου θ, οομάζεται πιο αποτελεματική (more effcent από μια άλλη αμερόληπτη εκτιμήτρια, ˆ θ της ίδιας παραμέτρου θ, α Var ˆ θ < Var( ˆ ( θ Σχήμα 3 Η εκτιμήτρια ˆ θ είαι πιο αποτελεματική από τη ˆ θ Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 398

Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι από τις εκτιμήτριες T a, με α της μέης τιμής μ εός πληθυμού, τη μικρότερη διακύμαη έχει αυτή για τη οποία α,,,,, δηλαδή, ο δειγματικός μέος Προφαώς, είαι εδιαφέρο και φυικά επιθυμητό, από όλες τις αμερόληπτες εκτιμήτριες μιας παραμέτρου α προδιορίουμε εκείη με τη ελάχιτη διακύμαη, δηλαδή, α προδιορίουμε τη αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιτης διαποράς της παραμέτρου Όμως, για το πώς μπορούμε α προδιορίζουμε μια τέτοια εκτιμήτρια δε θα επεκταθούμε περιότερο Σχήμα 4 Επιθυμητή είαι η περίπτωη (δ αφού τα ημεία πρόπτωης του βέλους βρίκοται κοτά το κέτρο του τόχου όπως βέβαια και τη περίπτωη (γ, όμως επιπλέο είαι περιότερο υγκετρωμέα γύρω από το κέτρο Στις περιπτώεις (α και (β βρίκοται υτηματικά ε υγκεκριμέη περιοχή μακριά από το κέτρο του τόχου Στη περίπτωη (α είαι και περιότερο διακορπιμέα Ολοκληρώουμε αυτή τη ύτομη ααφορά ε κάποιες από τις επιθυμητές ιδιότητες τω εκτιμητριώ, με τη ιδιότητα της υέπειας (consstency η οποία κατατάεται τις ιδιότητες που ααφέροται τη αυμπτωτική υμπεριφορά τω εκτιμητριώ, δηλαδή, το πώς υμπεριφέρεται μια εκτιμήτρια ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται (θεωρητικά ότα + Δε θα ααφερθούμε εκτεώς, ούτε θα δώουμε το αυτηρό οριμό της υέπειας Θα κάουμε μόο μια ύτομη ααφορά το όημά της και θα δώουμε έα παράδειγμα Ότα, προηγουμέως, ααφερθήκαμε τη ιδιότητα της αποτελεματικότητας, προπαθήαμε α εξηγήουμε γιατί είαι επιθυμητό α έχει μια αμερόληπτη εκτιμήτρια μικρή διακύμαη Μπορεί α αποδειχθεί ότι α η διακύμαη μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας (ακριβέτερα, μια ακολουθίας αμερόληπτω εκτιμητριώ υγκλίει το μηδέ ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται ( +, τότε αυξάεται η πιθαότητα η εκτίμηη α βρίκεται «κοτά» τη τιμή της παραμέτρου Αυτή η ιδιότητα οομάζεται υέπεια Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 399

Μια εκτιμήτρια οομάζεται υεπής (consstent α, καθώς αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, η εκτίμηη γίεται καλύτερη/ακριβέτερη, δηλαδή, οι τιμές της εκτιμήτριας πληιάζου (υγκλίου τοχατικά τη τιμή της παραμέτρου Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι ο δειγματικός μέος είαι υεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής (αρκεί α θυμηθούμε ότι είαι αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυμιακής μέης τιμής και ότι η διακύμαη της,, τείει το μηδέ ότα + και εφόο, φυικά, η πληθυμιακή διακύμαη,, είαι πεπεραμέη Δηλαδή, όο αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, αυξάεται η πιθαότητα οι τιμές του δειγματικού μέου,, α βρίκοται κοτά, α υγκλίου, τη πληθυμιακή μέη τιμή, μ Σημειώουμε, τέλος, ότι και η αμερόληπτη δειγματική διακύμαη,, είαι υεπής εκτιμήτρια της πληθυμιακής διακύμαης Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε α απατήουμε το δεύτερο από τα δύο ερωτήματα που θέαμε προηγουμέως (τη εότητα, δηλαδή για το τι μπορούμε α πούμε για το φάλμα που κάουμε ότα εκτιμάμε μια άγωτη παράμετρο εός πληθυμού με βάη τη πληροφορία που παίρουμε από έα τυχαίο δείγμα τιμώ του 3 Εκτίμηη με διάτημα Μια ημειακή εκτίμηη μιας άγωτης παραμέτρου εός πληθυμού, όπως είδαμε, είαι έας υγκεκριμέος αριθμός Με τις επιθυμητές ιδιότητες τω εκτιμητριώ, ουιατικά ζητάμε οι τιμές της εκτιμήτριας (ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες α βρίκοται με μεγάλη πιθαότητα κοτά τη πραγματική/αληθή τιμή της παραμέτρου Ζητάμε δηλαδή, το φάλμα της εκτίμηης α είαι μικρό, με μεγάλη πιθαότητα Μπορούμε όμως α κάουμε κάτι ακόμη, έα επιπλέο βήμα Με βάη πάτα τη πληροφορία που παίρουμε από έα τυχαίο δείγμα, ατί α δίουμε έα μόο αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη ως εκτίμηη της άγωτης παραμέτρου του πληθυμού, α δίουμε έα διάτημα εμπιτούης, δηλαδή, έα διάτημα το οποίο α περιέχει, με δεδομέη εμπιτούη (πιθαότητα, τη εκτιμώμεη παράμερο Μια τέτοια εκτίμηη λέγεται εκτίμηη με διάτημα (nterval estmaton Έα 00( διάτημα εμπιτούης (confdence nterval ( 0 < α <, για μια παράμετρο εός πληθυμού, είαι έα διάτημα που υπολογίζεται από έα τυχαίο δείγμα από το πληθυμό και έχει πιθαότητα α α περιέχει τη πραγματική τιμή της παραμέτρου Η πιθαότητα α οομάζεται υτελετής εμπιτούης (confdence coeffcent του διατήματος Έτι, κατακευάζοτας για μια άγωτη παράμετρο εός πληθυμού, έα 00( διάτημα εμπιτούης, δίουμε ως εκτίμηή της, όχι έα αριθμό (μια ημειακή εκτίμηη αλλά δύο αριθμούς που ορίζου έα διάτημα το οποίο περιέχει τη άγωτη παράμετρο με οριμέη πιθαότητα, ίη με α Η πιθαότητα αυτή αφαλώς ορίζεται α είαι μεγάλη (υήθως, ίη με 090 ή 095 ή 098 ή 099 Διευκριίζουμε και επιημαίουμε, ότι λέγοτας «το διάτημα εμπιτούης υπολογίζεται από έα τυχαίο δείγμα», εοούμε ότι τα άκρα του είαι τατιτικές υαρτήεις (υαρτήεις του δείγματος που δε περιέχου άγωτες παραμέτρους, δηλαδή, μπορεί α υπολογιθεί αποκλειτικά από το υγκεκριμέο δείγμα που, κάθε φορά, έχουμε τη διάθεή μας Είαι προφαές, ότι από πραγματοποίηη ε πραγματοποίηη του δείγματος, το διάτημα εμπιτούης ε γέει μεταβάλλεται, είαι δηλαδή τυχαία μεταβλητή Πρι εξηγήουμε πώς κατακευάζεται, ας δούμε πώς πρέπει α ερμηεύεται έα 00( διάτημα εμπιτούης Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 400

Σύμφωα με το οριμό που δώαμε προηγουμέως, έα 00( διάτημα εμπιτούης μιας παραμέτρου εός πληθυμού, περιέχει τη τιμή της παραμέτρου με πιθαότητα α Αυτό, ύμφωα με τη ερμηεία της πιθαότητας ως οριακή χετική υχότητα (οριμός της πιθαότητας κατά von Mses, ημαίει/έχει τη έοια ότι: ε μεγάλο αριθμό επααλήψεω του πειράματος «παίρω έα τυχαίο δείγμα μεγέθους από το πληθυμό και κατακευάζω για τη άγωτη παράμετρο έα 00( διάτημα εμπιτούης», ποοτό α τω δειγμάτω, θα δώου διάτημα που θα περιέχει τη τιμή της παραμέτρου και ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που δε θα περιέχει τη τιμή της παραμέτρου Βέβαια, ότα πάρουμε έα υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα, ποτέ δε είματε βέβαιοι/δε ξέρουμε α το διάτημα εμπιτούης που θα κατακευάουμε από αυτό, περιέχει/εγκλωβίζει ή όχι τη τιμή της παραμέτρου (εκτός α γωρίζαμε τη τιμή της παραμέτρου Αυτό, φυικά, δε μειώει τη αξία εός διατήματος εμπιτούης Η εμπιτούη μας τη εκτίμηη της παραμέτρου με αυτό, είαι ίη με α, είαι αφώς οριμέη και έχει τη έοια που εξηγήαμε προηγουμέως Ας δούμε και μια πιο παρατατική ερμηεία της εκτίμηης με διάτημα εμπιτούης που πιτεύουμε ότι θα βοηθήει τη καταόηη Σκεφθείτε ότι προπαθείτε, πετώτας έα λάο, α «εγκλωβίετε» έα πακτωμέο/ταθερό πάαλο (α περάετε τη θηλιά του λάου το πάαλο Ο πάαλος ααπαριτά τη παράμετρο που θέλετε α εκτιμήετε και η θηλιά του λάου το διάτημα εμπιτούης Κάθε φορά που πετάτε το λάο προς το πάαλο, ελπίζετε ότι θα καταφέρετε α το «εγκλωβίετε» Όμως αυτό, κάποιες φορές υμβαίει και κάποιες όχι Κατ ααλογία, κάθε φορά που παίρετε έα τυχαίο δείγμα και κατακευάζετε από αυτό έα διάτημα εμπιτούης για α εκτιμήετε μια παράμετρο, ελπίζετε ότι θα «εγκλωβίετε» τη παράμετρο το διάτημα που κατακευάατε, αλλά όπως υμβαίει με τη θηλιά και το πάαλο, κάποιες φορές επιτυγχάετε και κάποιες αποτυγχάετε Το ποοτό τω «επιτυχιώ» ας, ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες, είαι ο υτελετής εμπιτούης Παρατήρηη : Κάποιος θα μπορούε α δώει τη εξής ερμηεία για έα 00( διάτημα εμπιτούης: η παράμετρος έχει α πιθαότητα α βρίκεται το υγκεκριμέο διάτημα που κατακευάαμε Προφαώς μια τέτοια ερμηεία είαι άτοχη/λάθος γιατί η παράμετρος είαι, άγωτη με, αλλά ταθερός αριθμός και επομέως ή αήκει ή δε αήκει το υγκεκριμέο διάτημα (πιθαότητες αποδίδουμε τις τιμές τυχαίω μεταβλητώ Ας δούμε τώρα, πώς μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού Διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Ως εκτιμήτρια της μέης τιμής μ θα χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο αφού όπως διαπιτώαμε έχει καλές ιδιότητες και επιπλέο, όπως είδαμε το Α Μέρος και το 0 ο Κεφάλαιο, υπάρχου αποτελέματα της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής που μας δίου επακριβώς ή με ικαοποιητική προέγγιη τη καταομή Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 40

του Συγκεκριμέα, έχουμε τη διάθεή μας αποτελέματα χετικά με τη καταομή του δειγματικού μέου α ότα ο πληθυμός είαι καοικός β ότα το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο (και ο πληθυμός όχι κατ αάγκη καοικός Για τις περιπτώεις αυτές ας δούμε πώς μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη εκτίμηη της μέης τιμής μ εός πληθυμού Ο πληθυμός είαι καοικός Θα διακρίουμε τη περίπτωη που η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή από τη περίπτωη που δε είαι γωτή (α Ο πληθυμός είαι καοικός με γωτή διακύμαη Έτω τυχαίο δείγμα,, K,, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο, από έα καοικό πληθυμό με άγωτη μέη τιμή μ (τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε και με γωτή διακύμαη Επειδή ~ N( μ,,,,,, από τη θεωρία πιθαοτήτω γωρίζουμε ότι η καταομή του δειγματικού μέου είαι καοική με μέη τιμή μ και διακύμαη, δηλαδή ~ N( μ, και επομέως ( μ n Z ~ N(0, Επίης γωρίζουμε, ότι για τη τυποποιημέη καοική καταομή μπορούμε α ορίουμε έα υμμετρικό γύρω από τη μέη τιμή της (από το 0 διάτημα, το οποίο η Ζ παίρει τιμές με δοθεία πιθαότητα α (θυμηθείτε πώς ορίζουμε και υμβολίζουμε έα άωα -ποοτιαίο ημείο τη τυποποιημέη καοική καταομή Έτι, όπως φαίεται και το Σχήμα, η Ζ παίρει τιμές το υμμετρικό διάτημα z α, z ] με πιθαότητα α Δηλαδή [ α P ( z Z α α zα Σχήμα P ( z Z α α zα Επομέως ( μ P ( zα zα α και επειδή Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 40

( μ z α zα z α μ zα zα μ + zα zα μ + zα τα εδεχόμεα ( μ zα zα και zα μ + zα υμβαίου με τη ίδια πιθαότητα, έτι P ( zα μ + zα α Αυτό ημαίει, ότι το τυχαίο διάτημα ± z α περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθαότητα α και επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Έτι, κάθε φορά που έχουμε τη διάθεή μας μια υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K,, υπολογίζουμε τη τιμή, x, της και αφού καθορίουμε έα επιθυμητό υτελετή εμπιτούης α, μπορούμε α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης, αφού η διακύμαη,, του πληθυμού μάς είαι γωτή και η τιμή z α δίεται από το πίακα της τυποποιημέης καοικής καταομής (με ατίτροφη αάγωη Κατακευάζοτας για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, με βάη μια υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος, έα υγκεκριμέο 00( διάτημα εμπιτούης x ± z α δε είματε ποτέ βέβαιοι, όπως ήδη έχουμε εξηγήει, α το διάτημα αυτό περιέχει ή όχι τη άγωτη μέη τιμή μ Γωρίζουμε όμως, ότι η πιθαότητα α υμβεί αυτό είαι α και έχει τη έοια, όπως επίης εξηγήαμε, ότι α επααλάβουμε τη προηγούμεη διαδικαία πολλές φορές, ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που θα περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού και ποοτό α τω δειγμάτω θα δώου διάτημα που δε θα τη περιέχει Στο Σχήμα, δείχουμε πιο παρατατικά αυτό ακριβώς Θεωρείτε ότι επααλάβαμε τη προηγούμεη διαδικαία 00 φορές και κατακευάαμε (για υγκεκριμέο/γωτό και υγκεκριμέο μέγεθος δείγματος 00 διατήματα εμπιτούης με 095 υτελετή εμπιτούης το καθέα, δηλαδή 00 διατήματα x ±96 Τα πέτε από αυτά ( 0 05 00 5, δηλαδή ποοτό 005, περιμέουμε α μη περιέχου τη πληθυμιακή μέη τιμή μ Παρατηρείτε ότι τα κέτρα τω διατημάτω που δε περιέχου τη μ (το χήμα φαίοται από τα 5 που περιμέουμε, είαι αρκετά απομακρυμέα από το κέτρο της δειγματοληπτικής καταομής (της καταομής της Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 403

Σχήμα 95% διατήματα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού Ποοτό 095 από αυτά ααμέουμε α «εγκλωβίζου» τη μέη τιμή μ και ποοτό 005 α αποτυγχάου α τη «εγκλωβίου» Παρατήρηη : Όπως φαίεται και το Σχήμα, το πλάτος τω 00( διατημάτω εμπιτούης, x ±, από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους δε αλλάζει, παραμέει ταθερό και είαι ίο με z α Αυτό υμβαίει γιατί το τύπο αυτό δε εμφαίζεται κάποια ποότητα που μεταβάλλεται από δείγμα ε δείγμα του ιδίου μεγέθους (η τυπική απόκλιη του πληθυμού, είαι έας μοαδικός/ταθερός αριθμός Περιθώριο φάλματος Ότα εκτιμάμε τη μέη τιμή μ εός πληθυμού με το δειγματικό μέο, το φάλμα της εκτίμηης (error of estmaton που κάουμε, για υγκεκριμέο κάθε φορά δείγμα, είαι μ x και προφαώς, από δείγμα ε δείγμα αυτό αλλάζει Είαι δηλαδή, τυχαία μεταβλητή ( μ Δίοτας ως εκτίμηη της πληθυμιακής μέης τιμής μ, έα 00( διάτημα εμπιτούης, x ± z α, ουιατικά δίουμε με προκαθοριμέη πιθαότητα ίη με α, έα περιθώριο φάλματος της εκτίμηης ίο με z α Α και είαι προφαές τι εοούμε με τη όρο περιθώριο φάλματος, καθώς και γιατί τη περίπτωη που εξετάζουμε αυτό είαι z α (με πιθαότητα α, ας δούμε πώς ορίζεται και πώς τα προηγούμεα προκύπτου πιο «φορμαλιτικά» Ως περιθώριο φάλματος (margn of error της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής μ από το δειγματικό μέο, ορίζουμε το μέγιτο φάλμα, με πιθαότητα α, που μπορεί α κάουμε Δηλαδή, έα θετικό αριθμό d, τέτοιο ώτε P ( μ d α Επομέως, ιοδύαμα, έχουμε d d P ( d μ d α ή P ( Z α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 404 z α

Άρα d zα d zα Έτι, εκτιμώτας τη άγωτη μέη τιμή μ με έα, για παράδειγμα, 95% διάτημα εμπιτούης, το περιθώριο φάλματος, με πιθαότητα 095, είαι 96 Δηλαδή, ο δειγματικός μέος, με πιθαότητα 095, βρίκεται ε απόταη το πολύ ίη με 96 (αριτερά ή δεξιά από τη πληθυμιακή μέη τιμή Σημείωη : Όπως διαπιτώαμε, η τυπική απόκλιη του δειγματικού μέου, υδέεται άμεα με το φάλμα της εκτίμηης της πληθυμιακής μέης τιμής από το δειγματικό μέο Έτι εξηγείται γιατί η τυπική απόκλιη, οομάθηκε τυπικό φάλμα (standard error Εμπιτούη vs ακρίβεια και επιλογή μεγέθους δείγματος Είαι φαερό ότι όο μεγαλύτερο υτελετή εμπιτούης ορίζουμε, δηλαδή, όο μεγαλύτερη θέλουμε α είαι η πιθαότητα το διάτημα που θα κατακευάουμε α περιέχει τη πληθυμιακή μέη τιμή, τόο το πλάτος/εύρος του διατήματος, έτω l, γίεται μεγαλύτερο Επομέως, αυξάοτας το υτελετή εμπιτούης, αυξάεται το περιθώριο φάλματος, ή αλλιώς, μειώεται η ακρίβεια της εκτίμηης Παρατηρείτε το τύπο που δίει το διάτημα εμπιτούης Το πλάτος/εύρος του διατήματος είαι l zα d δηλαδή, καθορίζεται από το περιθώριο φάλματος Α αυξήουμε το υτελετή εμπιτούης, α, η τιμή z α θα μεγαλώει γιατί είαι αύξουα υάρτηη του α (ή αλλιώς, φθίουα υάρτηη του α και επειδή το είαι ταθερό/μοαδικό για το πληθυμό και το είαι καθοριμέο, το περιθώριο φάλματος και επομέως το πλάτος του διατήματος, ααπόφευκτα, θα μεγαλώει και θα χάουμε ε ακρίβεια Εφόο ότα απαιτούμε μεγαλύτερη εμπιτούη αυξάεται το περιθώριο φάλματος (χάουμε ε ακρίβεια, για α ελέγξουμε και τα δύο αυτά μεγέθη, μπορούμε α κάουμε το εξής Στη φάη χεδιαμού της έρευας, δηλαδή, πρι πάρουμε το δείγμα, καθορίζουμε, τόο το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούης α, όο και το αεκτό περιθώριο φάλματος d Έτι, αξιοποιώτας το τύπο d z α λύουμε ως προς το μέγεθος του δείγματος, z α zα ή d l και με αυτό το τρόπο βρίκουμε το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος, για α πετύχουμε, το επιθυμητό επίπεδο εμπιτούης, το αεκτό περιθώριο φάλματος Πρι υεχίουμε με άλλες περιπτώεις υπολογιμού διατημάτω εμπιτούης, ας δούμε έα παράδειγμα Παράδειγμα : Μια αυτόματη μηχαή υκευάζει καλαμπόκι ε τουβάλια τω 5kg Το βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι είαι τυχαία μεταβλητή, έτω Χ, η οποία, ύμφωα με το κατακευατή της μηχαής, ακολουθεί Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 405

μια καοική καταομή με διακύμαη 5 Kg Ο υπεύθυος παραγωγής αμφιβάλλει για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι και προκειμέου α το εκτιμήει, επέλεξε τυχαία 5 τουβάλια από τη παραγωγή μιας ημέρας, τα ζύγιε και βρήκε ότι έχου μέο βάρος 4 8kg Με βάη τη πληροφορία από το τυχαίο δείγμα που πήρε ο υπεύθυος παραγωγής, τι μπορούμε α υμπεράουμε για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή; Απάτηη: Ως μια εκτίμηη (ημειακή της μέης τιμής μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ μπορούμε προφαώς, α χρηιμοποιήουμε το δειγματικό μέο x 4 8kg και α υμπεράουμε ότι η τιμή της μ είαι περίπου ίη με 48kg Βέβαια, έα άλλο τυχαίο δείγμα του ιδίου μεγέθους δε περιμέουμε α δώει ακριβώς τη ίδια εκτίμηη, μπορεί α δώει 5kg, ή 5kg ή 45kg ή κάποια άλλη εκτίμηη Γωρίζουμε όμως ότι ο δειγματικός μέος έχει καλές ιδιότητες, όπως ότι ε επααλαμβαόμεες δειγματοληψίες κατά μέο όρο εκτιμά ωτά τη μ και ότι όο αυξάεται το μέγεθος του δείγματος, παίρει τιμές κοτά τη πραγματική τιμή της μ με πιο μεγάλη πιθαότητα Επιπλέο μπορούμε α κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης με ικαοποιητική εμπιτούη, για παράδειγμα 095, δηλαδή έα διάτημα το οποίο με πιθαότητα 095 α περιέχει τη πραγματική τιμή της μέης τιμής, μ Επειδή το δείγμα μας προέρχεται από καοικό πληθυμό με γωτή διακύμαη 5 kg, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή, μ, της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή, είαι 5 5 x ± z 005 ή 48 ± z 0 05 ή 4 8 ± 96 ή 4 8 ± 0 76 5 5 Μπορούμε επομέως α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 404, 556] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή Το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης, με πιθαότητα 095, είαι 076kg Α θέλουμε α έχουμε μεγαλύτερη εμπιτούη τη εκτίμηή μας, ας πούμε 099, κατακευάζουμε από το ίδιο δείγμα έα 99% διάτημα εμπιτούης Έτι, παίρουμε 5 5 x ± z 00 ή 48 ± z 0 005 ή 4 8 ± 58 ή 4 8 ± 5 5 Συεπώς, τώρα μπορούμε α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 38, 58] έχει 099 πιθαότητα α περιέχει το πραγματικό μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή Όμως, το περιθώριο φάλματος αυτής της εκτίμηης με πιθαότητα 099, είαι kg, δηλαδή, μεγάλωε και επομέως χάαμε ε ακρίβεια εκτίμηης Παρατηρείτε ότι το πλάτος του 99% διατήματος εμπιτούης είαι kg kg εώ του 95% διατήματος εμπιτούης είαι 076kg 5kg (δείτε και το Σχήμα 3 Σχήμα 3 Το 99% διάτημα εμπιτούης είαι πιο πλατύ από το ατίτοιχο 95% διάτημα εμπιτούης Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 406

Α θέλουμε η εμπιτούη τη εκτίμηή μας για το μέο βάρος του καλαμποκιού που υκευάζεται αά τουβάλι από τη μηχαή α είαι 099 και το φάλμα της εκτίμηης α είαι, για παράδειγμα, το πολύ ± 05kg, δηλαδή, το περιθώριο φάλματος με πιθαότητα 099 α είαι d 0 5kg (καθοριμέο εκ τω προτέρω, τότε το απαιτούμεο μέγεθος του δείγματος που πρέπει α επιλέξουμε είαι z α 5z0005 60 d 05 Στη περίπτωη που ακολουθεί όπως και τις επόμεες, δίουμε μόο τους τύπους υπολογιμού τω διατημάτω εμπιτούης Η μέθοδος που εφαρμόζουμε για α κατακευάουμε αυτά τα διατήματα εμπιτούης είαι αάλογη με αυτή που εφαρμόαμε προηγουμέως Φυικά, αξιοποιούμε τα ατίτοιχα, κατά περίπτωη, αποτελέματα τω Πιθαοτήτω και της Στατιτικής για τις δειγματοληπτικές καταομές που ααφέραμε το 0 ο Κεφάλαιο (για δείγματα από καοική καταομή ή για μεγάλα δείγματα Σημειώουμε επίης, ότι όα προηγουμέως ααφέραμε για το πώς επηρεάζεται η ακρίβεια της εκτίμηης από το επίπεδο εμπιτούης, ιχύου και τις περιπτώεις που ακολουθού Μόο οι χετικοί τύποι αλλάζου (β Ο πληθυμός είαι καοικός με άγωτη διακύμαη Στη περίπτωη (α προηγουμέως, υπολογίαμε το τύπο που δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός καοικού πληθυμού του οποίου γωρίζουμε τη διακύμαη Όμως, ε πρακτικά προβλήματα, η διακύμαη του πληθυμού, υήθως δε είαι γωτή Έτω λοιπό, τυχαίο δείγμα,, K, μεγέθους (οτιδήποτε, μικρό ή μεγάλο από μια καοική καταομή με άγωτη μέη τιμή μ (τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε και με άγωτη διακύμαη Στη περίπτωη αυτή, εκτιμάμε τη άγωτη πληθυμιακή διακύμαη από τη αμερόληπτη δειγματική διακύμαη ( και επειδή (όπως είδαμε το 0 ο Κεφάλαιο η τυχαία μεταβλητή ( μ T ακολουθεί t-καταομή με βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή ( μ T ~ t εργαζόμεοι όπως τη περίπτωη (α προηγουμέως, εύκολα μπορούμε α αποδείξουμε ότι το τυχαίο διάτημα ± t ; α, περιέχει τη μέη τιμή μ του πληθυμού με πιθαότητα α και επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του τυχαίου δείγματος, μας δίει έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού Υπεθυμίζουμε, ότι με t ; α υμβολίζεται το άω α -ποοτιαίο ημείο της t- καταομής με βαθμούς ελευθερίας, το οποίο για διάφορες τιμές του α και του, δίεται από χετικό πίακα (δείτε και το Σχήμα 4 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 407

Σχήμα 4 P ( t T ; α t ; α Παρατηρείτε ότι το τυχαίο διάτημα ± t ; α από δείγμα ε δείγμα (του ιδίου μεγέθους μεταβάλλεται, ε γέει, όχι μόο ως προς τη τιμή του δειγματικού μέου, αλλά και ως προς τη τιμή της δειγματικής τυπικής απόκλιης Δηλαδή, το πλάτος/εύρος l t ; α, τω 00( διατημάτω εμπιτούης που κατακευάζουμε είαι τυχαία μεταβλητή αφού από δείγμα ε δείγμα μεταβάλλεται (εώ τη περίπτωη (α προηγουμέως όπως είδαμε είαι ταθερό Έτι, και ο προδιοριμός κατάλληλου μεγέθους δείγματος για α πετύχουμε προκαθοριμέο περιθώριο φάλματος (το επιθυμητό υτελετή εμπιτούης, δε μπορεί α γίει όπως τη περίπτωη (α Λύη το πρόβλημα αυτό έχει δώει ο Charles ten (945, με μια διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας (ten s two-stage scheme, όμως δε θα επεκταθούμε περιότερο Ας επαέλθουμε τώρα τα ερωτήματα που απαχολού το φοιτητή (το ειαγωγικό παράδειγμα του κεφαλαίου Παράδειγμα : Το τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 που πήρε ο φοιτητής από τη περιοχή Α, προέρχεται από καοικό πληθυμό με άγωτη μέη τιμή μ και άγωτη διακύμαη Δηλαδή, για τη τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, έχουμε ~ N( μ, Επειδή ο δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη είαι ατίτοιχα, x 75μgr και s 84μgr, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, είαι 84 84 75 ± t 5;0 05 ή 75 ± 3 ή 75 ± 4 475 6 6 Επομέως, μπορούμε α υμπεράουμε ότι το διάτημα [ 705, 7948] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, τη άγωτη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α Το εύρος αυτού του διατήματος είαι ίο με 4 475 μgr Α θέλουμε, για το ίδιο υτελετή εμπιτούης, καλύτερη ακρίβεια (διάτημα μικρότερου εύρους πρέπει α πάρουμε μεγαλύτερου μεγέθους δείγμα Για α υπολογίουμε το μέγεθος του δείγματος που απαιτείται για α πετύχουμε, ε δεδομέο επίπεδο εμπιτούης έα προκαθοριμέο αεκτό εύρος για το διάτημα εμπιτούης, μπορούμε α εφαρμόουμε τη διαδικαία διταδιακής δειγματοληψίας ten Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 408 α

Βέβαια, όπως εξηγήαμε τα προηγούμεα, μπορούμε α βελτιώουμε τη ακρίβεια της εκτίμηης α από το ίδιο δείγμα κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης με μικρότερο υτελετή εμπιτούης, για παράδειγμα, 090 Πράγματι, το 90% διάτημα εμπιτούης που παίρουμε από το υγκεκριμέο δείγμα, είαι 84 84 75 ± t 5;0 05 ή 75 ± 753 ή 75 ± 3 68 6 6 και το εύρος τώρα είαι μικρότερο (είαι ίο με 368μgr Εργαζόμεοι με το ίδιο τρόπο μπορούμε α δώουμε εκτίμηη με διάτημα εμπιτούης και για τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, για τη μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Β (δείτε το ως άκηη Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο Θα διακρίουμε και πάλι τη περίπτωη που η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή από τη περίπτωη που δε είαι γωτή (α Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Α το τυχαίο δείγμα,, K, προέρχεται από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική, με μέη τιμή μ και διακύμαη, τότε όπως είδαμε το Α Μέρος (ΚΟΘ, για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 30, κατά προέγγιη έχουμε ~ N( μ, Επομέως, τη περίπτωη αυτή, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη, x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, όπως τη περίπτωη α, δίεται από το τύπο x ± z α Βέβαια, επειδή η καταομή της δε είαι καοική αλλά προεγγίζεται ικαοποιητικά από τη καοική, το διάτημα αυτό είαι υτελετή εμπιτούης α κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθαότητα περίπου α, α περιέχει τη άγωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ (β Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Α το δείγμα,, K, προέρχεται από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική, με μέη τιμή μ και διακύμαη, τότε (όπως είδαμε το 0 ο Κεφάλαιο για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 30, κατά προέγγιη έχουμε ( μ ~ N(0, Επομέως, τη περίπτωη αυτή, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K,, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού, δίεται από το τύπο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 409

s x ± zα Βέβαια, όπως και τη προηγούμεη περίπτωη α, το διάτημα αυτό είαι υτελετή εμπιτούης α κατά προέγγιη Δηλαδή, έχει πιθαότητα περίπου α, α περιέχει τη άγωτη πληθυμιακή μέη τιμή μ Για διευκόλυή μας υοψίζουμε τις προηγούμεες περιπτώεις το Πίακα Πληθυμός 00( α % Δ Ε Διακύμαη του Μέγεθος για τη μέη τιμή, μ, πληθυμού ( του δείγματος ( του πληθυμού Καοικός Γωτή Οτιδήποτε ± z Οποιοδήποτε Γωτή Μεγάλο α ( Οποιοδήποτε Άγωτη Μεγάλο ± zα ( Καοικός Άγωτη Οτιδήποτε ± t ; α (3 Όχι Καοικός Γωτή ή Άγωτη Μικρό? Πίακας 00( διατήματα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ εός πληθυμού από έα τυχαίο δείγμα μεγέθους Σημείωη : α Είαι προφαές, όμως το επιημαίουμε, ότι ε κάθε περίπτωη το δείγμα θεωρείται τυχαίο β Για μεγάλο δείγμα από καοική καταομή με άγωτη διακύμαη, μπορεί α εφαρμοθεί ή ο τύπος ( ή ο τύπος (3 αφού τη περίπτωη αυτή δίου ίδιο διάτημα (για μεγάλα, t ; α zα Όμως, για μικρό δείγμα από καοική καταομή με άγωτη διακύμαη, το διάτημα (3 αποτελεί μοαδική επιλογή μας γ Ο τύπος (3 εφαρμόζεται με τη προϋπόθεη ότι ο πληθυμός είαι καοικός, ετούτοις, έχει διαπιτωθεί ότι τη πράξη δίει καλά αποτελέματα ακόμη και ότα ο πληθυμός δε είαι καοικός Δηλαδή, η πιθαότητα το διάτημα αυτό α περιέχει τη πληθυμιακή μέη τιμή δε απέχει πολύ από α, αρκεί βέβαια, ο πληθυμός α μη απέχει δραματικά από το α είαι καοικός (οβαρή αυμμετρία, περιότερες από μια κορυφές, κτλ και το δείγμα α μη είαι πολύ μικρό Παράδειγμα 3 (υέχεια του Παραδείγματος 93: Στο Πίακα φαίεται για κάθε μια από 50 τυχαία επιλεγμέες γαλακτοπαραγωγές αγελάδες, ο χρόος (ε μήες από τη πρώτη εκδήλωη μιας υγκεκριμέης αθέειας που προβάλλει τις αγελάδες μέχρι τη επαεμφάιή της 7 08 08 4 87 4 9 9 7 44 55 70 8 0 0 09 40 07 0 65 07 43 0 56 4 4 3 05 39 74 33 88 03 0 57 08 6 99 6 8 0 06 3 08 59 09 04 Πίακας Οι χρόοι επαεμφάιης (ε μήες μιας αθέειας ε 50 γαλακτοπαραγωγές αγελάδες Στα Παραδείγματα 93&94 και τη Άκηη 93 μελετήαμε τη καταομή του υγκεκριμέου δείγματος Ας δούμε τώρα τι μπορούμε α πούμε, με βάη το υγκεκριμέο δείγμα, για το πληθυμό από το οποίο αυτό προέρχεται Δηλαδή, τι Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 40

μπορούμε α πούμε για τη καταομή της τυχαίας μεταβλητής, έτω Χ, που εκφράζει το χρόο επαεμφάιης της αθέειας Η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Χ μας είαι άγωτη Δε γωρίζουμε ούτε τη μορφή της (α είαι, για παράδειγμα, καοική ούτε κάποια παράμετρό της όπως τη μέη τιμή της ή τη διακύμαή της Έτω λοιπό μ η άγωτη μέη τιμή της Χ, δηλαδή, ο άγωτος μέος χρόος επαεμφάιης της αθέειας Με βάη το τυχαίο δείγμα τιμώ της Χ που έχουμε τη διάθεή μας, μπορούμε πλέο α κατακευάουμε έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη τιμή μ, δηλαδή, α πάρουμε μια εκτίμηη για το μέο χρόο επαεμφάιης της αθέειας Πράγματι, επειδή το δείγμα είαι μεγάλο ( 50 30 και η διακύμαη της Χ (του πληθυμού μας είαι άγωτη, με βάη όα προηγουμέως εξηγήαμε (περίπτωη β, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη τιμή μ της Χ δίεται από το τύπο ± zα Εύκολα βρίκουμε (Άκηη 93 ότι ο δειγματικός μέος και η δειγματική τυπική απόκλιη για το υγκεκριμέο δείγμα ατίτοιχα είαι x 8 μήες και s 5μήες και επομέως, με βάη το υγκεκριμέο δείγμα, το ζητούμεο 95% διάτημα εμπιτούης, είαι 5 5 5 8 ± z 005 ή 8 ± z 0 05 ή 8 ± 96 ή 8 ± 0 7 50 50 50 Αυτό ημαίει ότι το διάτημα [, 35] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το άγωτο μέο χρόο επαεμφάιης της αθέειας 3 Διάτημα εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό Έτω,, K, τυχαίο δείγμα από πληθυμό που ακολουθεί καταομή Bernoull με παράμετρο p (πιθαότητα επιτυχίας και επομέως με μέη τιμή μ p και διακύμαη p( p Στο 0 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι για τη τυχαία μεταβλητή + + K + η οποία εκφράζει το ποοτό τω επιτυχιώ το δείγμα Pˆ, για μεγάλα, κατά προέγγιη έχουμε ˆ + + K+ p( p P ~ N p, Η προέγγιη αυτή είαι ικαοποιητική α p 5 και ( p 5 ή p( p 0 (θυμηθείτε ότι το πόο μεγάλο πρέπει α είαι το εξαρτάται και από το p Επομέως, κατά προέγγιη έχουμε Pˆ p P ( zα zα α p( p Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 4

και χρηιμοποιώτας ως εκτιμήτρια της άγωτης διακύμαης p( p, τη Pˆ ( Pˆ, εύκολα προκύπτει ότι το διάτημα ˆ Pˆ( Pˆ P ± zα είαι έα κατά προέγγιη 00( διάτημα εμπιτούης για τη παράμετρο p (ποοτό το πληθυμό Έτι, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x του τυχαίου δείγματος,, K, με ποοτό επιτυχιώ το δείγμα p ˆ ( x + x + K + x, το, διάτημα pˆ( pˆ pˆ ± zα είαι έα κατά προέγγιη 00( διάτημα εμπιτούης για το ποοτό p το πληθυμό, εφόο, pˆ 5 και ( pˆ 5 Σημείωη 3: Α το μέγεθος του δείγματος δε είαι μεγάλο, η καοική προέγγιη που χρηιμοποιήαμε δε μπορεί α εφαρμοθεί Στη περίπτωη αυτή μπορεί α χρηιμοποιηθεί η ακριβής καταομή της τατιτικής υάρτηης ˆ + + P ~ B(, p Όμως, τη πράξη, ε προβλήματα εκτίμηης ποοτού, υήθως δε ατιμετωπίζουμε πρόβλημα μικρώ δειγμάτω Παράδειγμα 3: Έας ερευητής, προκειμέου α εκτιμήει το ποοτό τω ατόμω ε έα πληθυμό που έχου ομάδα αίματος Α, επέλεξε με βάη έα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας 00 άτομα από το πληθυμό αυτό και βρήκε ότι ομάδα αίματος Α έχου τα 89 Προφαώς, πρόκειται για δειγματοληψία από έα πληθυμό Bernoull με παράμετρο p (μέη τιμή, τη οποία ο ερευητής θέλει α εκτιμήει με βάη έα τυχαίο δείγμα,, K, μεγέθους 00 Η τιμή του δειγματικού μέου (δειγματικού ποοτού, 00 ˆ + + K + 00 P 00 για τη υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος είαι 89 p ˆ 0445 00 και επειδή pˆ 00 0445 89 5 και ( pˆ 00 0555 5, το διάτημα 0445 0555 0445 ± z 0 05 ή 0445 ± 96 0 035 ή 0 445 ± 0 0686 00 είαι έα κατά προέγγιη 95% διάτημα εμπιτούης για τη παράμετρο p (ποοτό το πληθυμό Επομέως, το διάτημα [ 0376, 054] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το ποοτό τω ατόμω το πληθυμό που έχει ομάδα αίματος Α Παράδειγμα 3 (υέχεια του Παραδείγματος 6: Στο Παράδειγμα 6 είδαμε ότι ε μια καλλιέργεια τουλίπας, από 5 βολβούς τουλίπας που τυχαία επελέγηα, βλάτηα μόο οι 38 και γι αυτό ο αγρότης που τους καλλιεργεί αμφιβάλλει για το α το ποοτό τω βολβώ που βλατάου είαι πράγματι 90% όπως ιχυρίζεται ο γεωπόος του φυτώριου από το οποίο τους αγόραε Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 4

Η απάτηη που δώαμε (το Παράδειγμα 6 δικαιώει όπως είδαμε τις αμφιβολίες του αγρότη γιατί όπως δείξαμε «με τη υπόθεη ότι αληθεύει ο ιχυριμός του γεωπόου, η πιθαότητα α βλατήου μόο 38 από τους 5 βολβούς είαι περίπου μηδεική» Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε, με βάη το δειγματικό ποοτό που έχουμε τη διάθεή μας, α κατακευάουμε έα διάτημα εμπιτούης για το ποοτό p τω βολβώ που βλατάου (επί του υόλου της παραγωγής του φυτώριου και α πάρουμε έτι για το p μια εκτίμηη με δεδομέη εμπιτούη, έτω 95% Το δειγματικό ποοτό είαι 38 p ˆ 073 5 και επειδή pˆ 5 073 38 5 και ( pˆ 5 07 4 5, το διάτημα 073 07 073 ± z 0 05 ή 073 ± 96 0 06 ή 0 73 ± 0 5 είαι έα κατά προέγγιη 95% διάτημα εμπιτούης για το ποοτό p τω βολβώ του φυτωρίου που βλατάου (ποοτό το πληθυμό Επομέως, το διάτημα [ 06, 085] έχει 095 πιθαότητα α περιέχει το ποοτό τω βολβώ (επί του υόλου της παραγωγής που βλατάου Παρατηρείτε ότι δε περιέχει τη τιμή 09, δηλαδή, οι αμφιβολίες του αγρότη και πάλι δικαιώοται Παρατήρηη 3: Το εύρος z ˆ α pˆ( p εός 00( διατήματος εμπιτούης για το διωυμικό ποοτό p, προφαώς δε είαι ταθερό από δείγμα ε δείγμα Όμως, για p ˆ, το γιόμεο pˆ ( pˆ γίεται μέγιτο και επομέως το περιθώριο φάλματος της εκτίμηης με πιθαότητα α είαι d zα ή d zα 4 Α επομέως προκαθορίουμε έα αεκτό περιθώριο φάλματος d, με πιθαότητα α, τότε για τη εκτίμηη του ποοτού το πληθυμό, απαιτείται μέγεθος δείγματος z α 4 d Α έχουμε λόγους α πιτεύουμε ότι το άγωτο πληθυμιακό ποοτό είαι περίπου ίο με κάποια τιμή, έτω p, τότε, το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος είαι zα p ( p d Έτι, α το παράδειγμά μας θέλουμε το φάλμα της εκτίμηης, με πιθαότητα 095, α μη ξεπερά, για παράδειγμα, το 003, τότε πρέπει α πάρουμε δείγμα μεγέθους 96 067 068 4 003 Α εκτιμάμε/θεωρούμε ότι το ποοτό το πληθυμό είαι περίπου 040, τότε το απαιτούμεο μέγεθος δείγματος είαι zα 96 p ( p 040 060 05 d 003 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 43

4 Διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού Έτω,, K, τυχαίο δείγμα από καοικό πληθυμό, δηλαδή, ~ N( μ, για κάθε,, K, Στο 0 ο Κεφάλαιο είδαμε ότι για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος ( ~ χ όπου ( η αμερόληπτη δειγματική διακύμαη Επομέως (δείτε και το Σχήμα 4, ( P ( χ ; α χ ; α α ή ιοδύαμα P α χ α χ ; ; α Αυτό ημαίει ότι για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, το διάτημα s, s χ ; α χ ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη του πληθυμού P ( χ Σχήμα 4 ( χ ; α ; α Προφαώς, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη τυπική απόκλιη του πληθυμού είαι s, s χ ; α χ ; α Υπεθυμίζουμε ότι με χ ; α και χ ; α υμβολίζουμε, ατίτοιχα, το άω α και το άω α ποοτιαίο ημείο της καταομής χ τα οποία δίοται, για διάφορες τιμές του α και του από χετικό πίακα (δείτε και το Σχήμα 4 Παράδειγμα 4 (υέχεια του Παραδείγματος : Επειδή για τη τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει τη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου από τη διατροφή τους οι εήλικες τη περιοχή Α, έχουμε ότι ~ N( μ, και η Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 44 α

δειγματική τυπική απόκλιη είαι s 84μgr, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη διακύμαη της Χ, είαι το διάτημα 5 χ 5;005 84, 5 χ 5;0975 84 ή 5 7488 84, 5 84 66 ή [ 385, 690] Επομέως, μπορούμε α υμπεράουμε ότι με πιθαότητα 095 το διάτημα [ 385, 690] περιέχει τη άγωτη διακύμαη της Χ Επίης, μπορούμε α υμπεράουμε ότι με πιθαότητα 095, το διάτημα [ 385, 690] ή [ 6, 3] περιέχει τη άγωτη τυπική απόκλιη της Χ Ως άκηη, μπορείτε α κατακευάετε έα 99% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη διαπορά της Υ Σημείωη 4: Το διάτημα εμπιτούης που δώαμε για τη διακύμαη εός καοικού πληθυμού, όπως είδαμε, κατακευάθηκε «αδιαφορώτας» για τη μέη τιμή του πληθυμού μ Α η μέη τιμή του πληθυμού μ, είαι γωτή, χρηιμοποιώτας τη τυχαία μεταβλητή,, όπου, ( μ (ατί τη (, με αάλογο τρόπο (επειδή, ~ χ προκύπτει ότι για υγκεκριμέη πραγματοποίηη x, x, K, x, του τυχαίου δείγματος,, K,, το διάτημα s, s χ ; α χ ;α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διακύμαη του πληθυμού Συχά απαιτείται α εκτιμήουμε τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ ή το λόγο τω διακυμάεώ τους Ας δούμε πώς μπορούμε α κατακευάουμε διατήματα εμπιτούης για αυτές τις περιπτώεις 5 Διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ Ο φοιτητής το ειαγωγικό παράδειγμα αυτού του κεφαλαίου εδιαφέρεται α εκτιμήει πόο διαφέρει η μέη ημερήια ποότητα εληίου που προλαμβάου οι εήλικες μέω της διατροφής τους τις δύο περιοχές Α και Β Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου μιας παραγωγικής μοάδας εδιαφέρεται α εκτιμήει πόο διαφέρει το ποοτό τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από τη γραμμή παραγωγής Α από το ποοτό τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από τη γραμμή παραγωγής Β Σε μια μελέτη για τη περιεκτικότητα τω ζαχαρότευτλω ε άκχαρα, πρέπει α εκτιμήουμε πόο διαφέρει η μέη περιεκτικότητα ε άκχαρα μιας ποικιλίας ζαχαρότευτλω από τη μέη περιεκτικότητα μιας άλλης ποικιλίας ζαχαρότευτλω Μια απάτηη ε ερωτήματα όπως αυτά μπορεί προφαώς α δοθεί με τη κατακευή κατάλληλου διατήματος εμπιτούης Συγκεκριμέα, με τη κατακευή διατήματος εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ τω ατίτοιχω πληθυμώ Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 45

Για α κατακευάουμε έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ εργαζόματε όπως εργαθήκαμε τα προηγούμεα για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού Με μια βέβαια διαφορά Ατί για έα δείγμα χρηιμοποιούμε δύο, έα από κάθε πληθυμό Ας δούμε έα παράδειγμα που δόθηκε από το tudent (τη εργαία The probable error of a mean, Bometrka, 6, -5, 908 Παράδειγμα 5: Σε δέκα αθεείς που πάχου από αϋπία δόθηκε μια φαρμακευτική αγωγή, έτω Α, και για καθέα καταγράφηκε η παράταη του ύπου (ε ώρες Στους ίδιους αθεείς δόθηκε και μια άλλη φαρμακευτική αγωγή, έτω Β, και επίης καταγράφηκε η παράταη του ύπου για κάθε αθεή (ε ώρες Ας υμβολίουμε με Χ τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη παράταη του ύπου ε ώρες ότα οι αθεείς παίρου τη φαρμακευτική αγωγή Α και με Υ τη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη παράταη του ύπου ε ώρες ότα οι αθεείς παίρου τη φαρμακευτική αγωγή Β Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που υγκετρώθηκα Αύξω αριθμός αθεούς ( Παράταη ύπου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Α ( x Παράταη ύπου (ε ώρες υπό τη φαρμακευτική αγωγή Β ( y 3 4 5 6 7 8 9 0 9 08 0-0 44 55 6 46 34 07-6 -0 - -0 34 37 08 00 0 Α μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπου αθεώ που πάχου από αϋπία ότα παίρου τη αγωγή Α και μ η μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Υ, δηλαδή, η μέη παράταη του ύπου αθεώ που πάχου από αϋπία ότα παίρου τη αγωγή Β, το ζητούμεο είαι α κατακευάουμε, από τα τυχαία δείγματα,, K, 0 και Y, Y, K, Y0 έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ μ, της διαφοράς Y τω τυχαίω μεταβλητώ Χ και Υ Είαι εύλογο, ως εκτιμήτρια της διαφοράς μ μ α χρηιμοποιήουμε τη διαφορά Y τω ατίτοιχω δειγματικώ μέω Όμως δε μπορούμε α αξιοποιήουμε τα χετικά αποτελέματα της Θεωρίας Πιθαοτήτω και της Στατιτικής για τη καταομή της Y που παρουιάαμε το 0 ο Κεφάλαιο γιατί τα δύο δείγματα δε έχου ληφθεί το έα αεξάρτητα από το άλλο Βέβαια, τα ζεύγη (, Y, (, Y, K,( 0, Y0 είαι μεταξύ τους αεξάρτητα αφού ααφέροται ε διαφορετικούς αθεείς τυχαία επιλεγμέους, όμως τα και Y ετός του ίδιου ζεύγους δε είαι αεξάρτητα (δε μπορού α θεωρηθού αεξάρτητα αφού ααφέροται το ίδιο αθεή Για α κατακευάουμε επομέως, έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη διαφορά τω μέω τιμώ δύο πληθυμώ από δύο δείγματα, έα από κάθε πληθυμό, πρέπει α διακρίουμε τη περίπτωη που τα δύο δείγματα είαι αεξάρτητα από τη περίπτωη που τα δύο δείγματα δε είαι αεξάρτητα Υπεθυμίζουμε ότι τη πράξη, η αεξαρτηία (είτε εδεχομέω, είτε μεταβλητώ, είτε πειραμάτω υήθως ααγωρίζεται και διαπιτώεται από τη περιγραφή τω μεταβλητώ και από τις υθήκες εκτέλεης τω πειραμάτω και δε απαιτείται α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 46

ελεγχθού/αποδειχθού οι ατίτοιχες υθήκες αεξαρτηίας (ξααδείτε και τη Εότητα 55 του 5 ου Κεφαλαίου 5 Εξαρτημέα δείγματα/ζευγαρωτές παρατηρήεις Έτω ότι από κάθε δειγματοληπτική ή πειραματική μοάδα παίρουμε έα ζεύγος παρατηρήεω, Y,,, K,, δηλαδή, έτω ότι από τα δύο δείγματα (,, K, και Y, Y, K, Y δημιουργούται ζεύγη παρατηρήεω, (, Y, (, Y, K,(, Y, τα οποία είαι μεταξύ τους αεξάρτητα, όμως τα και Y ετός του ίδιου ζεύγους δε είαι αεξάρτητα Σε επόμεα κεφάλαια (το ο και το 3 ο θα εξηγήουμε πολύ ααλυτικά ε ποιες περιπτώεις (και γιατί εδείκυται α εργαζόματε με τέτοια δείγματα τα οποία τη βιβλιογραφία ααφέροται ως ζευγαρωτές παρατηρήεις (pared samples, matched samples, dependent samples, αλλά και πώς/με ποια κριτήρια πρέπει α δημιουργούται τα ζεύγη Στο ημείο αυτό ααφέρουμε μόο ότι έα ζεύγος παρατηρήεω μπορεί α ληφθεί από τη ίδια πειραματική ή δειγματοληπτική μοάδα πρι και μετά από κάποια επέμβαη ή υπό δύο διαφορετικές επεμβάεις ε κάποια χροική απόταη (όπως το προηγούμεο παράδειγμα, αλλά και από δύο όμοιες ή χεδό όμοιες μοάδες Παίροτας για κάθε ζεύγος, Y τη διαφορά ( D Y (η οποία το παράδειγμά μας εκφράζει τη διαφορά τω επιδράεω τω δύο φαρμάκω το αθεή, δημιουργούμε έα τυχαίο δείγμα D, D, K, D το οποίο μπορούμε α θεωρήουμε ότι προέρχεται από έα (θεωρητικό πληθυμό, το πληθυμό τω διαφορώ, με μέη τιμή μ D μ μ όπου μ η μέη τιμή της Χ και μ η μέη τιμή της Υ και επομέως, για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή μ D μ μ ιχύει ό,τι έχουμε ααφέρει για τη κατακευή εός 00( διατήματος εμπιτούης για τη μέη τιμή εός πληθυμού από έα δείγμα Έτω για παράδειγμα, ότι ο πληθυμός τω διαφορώ είαι καοικός με άγωτη διακύμαη D, και μέη τιμή μ D μ μ τη οποία θέλουμε α εκτιμήουμε με έα 00( διάτημα εμπιτούης Έτω επίης D Y και D ( D D ο μέος και η αμερόληπτη διακύμαη του δείγματος τω διαφορώ D, D, K, D ατίτοιχα Τότε με βάη όα ααφέραμε τα προηγούμεα, το διάτημα D ± t D ; α είαι έα 00( διάτημα εμπιτούης για τη μέη τιμή μ D του πληθυμού τω διαφορώ δηλαδή για τη διαφορά μ μ Επομέως, για υγκεκριμέη πραγματοποίηη ( x, y, ( x, y, K,( x, y τω, Y, (, Y, K,(, Y, το διάτημα ( d s D ± t ; α ή x y ± t ; α s D Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulos 47