Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση
Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής της απλότητας που επιτρέπει τη διερεύνηση πολύ σημαντικών παραμέτρων της εξαναγκασμένης ταλάντωσης. Επιπλέον, μέσω του μετασχηματισμού Fourier, σύνθετες μορφές φόρτισης μπορούν να αναλυθούν σε άθροισμα αρμονικών συνιστωσών, και κατά συνέπεια (στα πλαίσια γραμμικής ανάλυσης) το τελικό τους αποτέλεσμα να συντεθεί ως το άθροισμα των αρμονικών ταλαντώσεων των επιμέρους συνιστωσών. Η αρμονική διέγερση έχει τη μορφή pt () = p siωt (1) όπου p είναι το πλάτος της αρμονικής δύναμης και ω είναι η κυκλική συχνότητα της αρμονικής δύναμης και ονομάζεται συχνότητα διέγερσης.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση Δ8-3 Η εξίσωση κίνησης μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση λόγω αρμονικής διέγερσης p(t)=p siωt είναι mu&& + ku = p siω t () Η εξίσωση () θα επιλυθεί ως προς την απόκριση u(t) για αρχικές συνθήκες u = u() και u& = u& () (3) Η εξίσωση () είναι γραμμική, μη-ομογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξης. Η λύση της εξίσωσης αποτελείται από δύο επιμέρους συνιστώσες: τη λύση της ομογενούς εξίσωσης u h (t) και τη μερική λύση u p (t): ut () = u() t + u() t h p
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Δ8-4 Η λύση της ομογενούς εξίσωσης u h (t) προσδιορίστηκε προηγουμένως όταν μελετήθηκε η ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση και δίνεται από τη σχέση u ( t) = Acosω t + Bsi ω t με ω = k m h Οι σταθερές Α και Β θα πρέπει να υπολογιστούν από τη γενική λύση και δεν ταυτίζονται με τις τιμές που υπολογίσαμε στην ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση. Η μερική λύση u p (t) είναι της μορφής όπου C μια σταθερά. u () t = C siωt p (4) Παραγωγίζοντας την εξίσωση (4) δύο φορές ως προς το χρόνο παίρνουμε u&& t = ω C ωt p () si (5)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Δ8-5 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (4) και (5) στην εξίσωση () προκύπτει η τιμή της σταθεράς C: C = p 1 k 1 ( ω / ω ) Άρα η γενική λύση u(t) της αρμονικής ταλάντωσης είναι ut () = u() t + u() t h p p 1 A cos ω t Bsi ω = + t + si t k 1 ( ω / ω) ω Οι σταθερές Α και Β προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες και δίνονται από τις σχέσεις u& () p ω / ω A = u() B = ω k 1 ( ω / ω )
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Δ8-6 Άρα η γενική λύση u(t) της αρμονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση καιγια ω ω δίνεταιαπότησχέση u& () p ω ω / ut () = u()cosωt+ si ω t ω k 1 ( ω / ω) 1444444444444444444443 παροδική (trasiet) p 1 + siωt k 1 ( ω / ω) 14444444443 μόνιμη (steady-state) (6)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Δ8-7 Ηαπόκρισηu(t), όπως φαίνεται από την εξίσωση (6), αποτελείται από δύο όρους: O πρώτος όρος περιγράφει ταλάντωση με συχνότητα ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω και καλείται παροδική ταλάντωση (trasiet respose). Στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση, ο όροςαυτός φαίνεται να συνεχίζει επ άπειρον. Στην πραγματικότητα, όμως, η ταλάντωση αυτή θα φθίνει λόγω απόσβεσης και γι αυτό ονομάζεται παροδική ταλάντωση. Ο όρος αυτός εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και υφίσταται ακόμα και όταν u() = u& () =. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (6) γράφεται p 1 ω ut () = si si ωt ωt k 1 ( ω / ω) ω (7)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Δ8-8 O δεύτερος όρος περιγράφει αρμονική ταλάντωση με συχνότητα ίση με τη συχνότητα της διέγερσης ω και καλείται μόνιμη ή εξαναγκασμένη ταλάντωση (steady-state respose). Ο όρος αυτός εκφράζει τη συμπεριφορά του συστήματος υπό συνεχή διέγερση και δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Δ8-9 Η μόνιμη (steady-state) απόκριση μπορεί να γραφτεί ως 1 ut () = ( ust ) si ωt 1 ( ω / ω) (8) όπου το (u st ) = p /k είναι η στατική μετατόπιση και εκφράζει το στατικό βέλος το οποίο θα προκαλούσε στην κατασκευή η μέγιστη τιμή p της φόρτισης, αν αυτή επιβαλλόταν στατικά. Η εξίσωση (8) μπορεί να γραφτεί και ως ut () = u si( ωt ϕ) = ( u ) R si( ωt ϕ) st d (9) όπου ο δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης R d ορίζεται ως R d o u 1 ω < ω o ( ) 18 ω > ω = = και ϕ = ust 1 ( ω / ω)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-1 Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) Για ω<ω, φ=, που υποδεικνύει ότι η μετατόπιση μεταβάλλεται όπως το siωt, σε φάση με την επιβαλλόμενη διέγερση. Για ω>ω, φ=18, που υποδεικνύει ότι ημετατόπισημεταβάλλεταιόπωςτο-siωt, εκτός φάσης με την επιβαλλόμενη διέγερση. O δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης R d ισούται με το λόγο u προς τη στατική μετατόπιση (u st ). Ο λόγοςαυτόςεκφράζει πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η μετατόπιση u από την αντίστοιχη στατική. Όταν το ω/ω είναι μικρό (δηλαδή για δύναμη που μεταβάλλεται αργά) το R d είναι λίγο μεγαλύτερο από 1 και u είναι βασικά ίσο με (u st ). Όταν ω/ω >, το R d < 1 και u < (u st ). Όσο μεγαλώνει
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-11 Αρμονική Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση (...) η συχνότητα της διέγερσης ω (ω/ω ), R d =, που δηλώνει ότι η μετατόπιση u είναι πολύ μικρή για γρήγορα μεταβαλλόμενη δύναμη. Όταν ω/ω είναι κοντά στο 1, το R d είναι πολύ μεγαλύτερο του 1 που δηλώνει ότι η μετατόπιση u είναι πολύ μεγαλύτερη από τη στατική μετατόπιση (u st ). Όταν η συχνότητα ω της αρμονικής διέγερσης πλησιάζει την ιδιοσυχνότητα ω του συστήματος, η μετατόπισηu(t) (όπως και το R d ) τείνει στο άπειρο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συντονισμός. Η συχνότητα συντονισμού για ταλάντωση χωρίς απόσβεση είναι ω. Στην περίπτωση που ω=ω, ηλύσηπουδίνεταιαπότην εξίσωση (7) δεν ισχύει. Η γενική λύση για την περίπτωση αυτή και για u() = u& () = είναι 1 P ut () = tcos t si t k ω ω ω (1)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-1 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση Η εξίσωση κίνησης μονοβάθμιου συστήματος με απόσβεση λόγω αρμονικής διέγερσης p(t)=p siωt είναι mu&& + cu& + ku = p si ωt ή P u&& + ζωu& + ω u = siωt m (11) Η εξίσωση (11) θα επιλυθεί ως προς την απόκριση u(t) για αρχικές συνθήκες u = u() και u& = u& () Η μερική λύση u p (t) είναι της μορφής u () t = C siωt + Dcosωt p (1) Αντικαθιστώντας την πρώτη και δεύτερη παράγωγο της εξίσωσης (1) στην εξίσωση (11) παίρνουμε P ( ω ω ) C ζωωd siωt + ζωωc + ( ω ω ) D cosωt = siωt m
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-13 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Εξισώνονταςτουςσυντελεστέςτωνημιτόνωνκαι συνημιτόνων στα δύο μέλη της εξίσωσης παίρνουμε ω ω P 1 C ζ D = ω ω k ω ω ζ C + 1 D = ω ω Επιλύοντας ως προς C και D έχουμε C D = = P k P k 1 ( ωω ) ( ωω ) ζ( ωω ) ( ) ( ωω ) ζ( ωω ) 1 + ζ ω ω 1 +
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-14 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Η λύση της ομογενούς εξίσωσης u h (t) προσδιορίστηκε προηγουμένως όταν μελετήθηκε η ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση και δίνεται από τη σχέση ( ) u e A t B t ζω = t cos ω + si ω με ω = ω 1 ζ D D D Άρα η γενική λύση u(t) της αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση είναι όπου β = ωω και Α, Β σταθερές που προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες. ( ) u t u t u t e A ω t B ω t C144ωt444443 D ζω () = () + () = + + 144444444443 t h p cos D si D + si cos μόνιμη (steady-state) παροδική (trasiet) ( ω ω ) ζω ut () = e t Acos Dt+ Bsi Dt 144444444443 παροδική (trasiet) p 1 + ( β ) ω ζβ ω 1 si t cos t k 1 β + ζβ 144444444444444444444443 μόνιμη (steady-state) (13)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-15 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Ο πρώτος όρος της εξίσωσης φθίνει με την πάροδο του χρόνου, επομένως η συμβολή του γίνεται αμελητέα μετά από κάποιο χρόνο, ο οποίοςφυσικάεξαρτάταιαπότολόγο απόσβεσης ζ. Άρα η απόκριση του συστήματος εξαρτάται κυρίως από το δεύτερο όρο. Γι αυτό λέμε ότι ο πρώτος όρος εκφράζει την παροδική απόκριση (trasiet respose), ενώ ο δεύτερος όρος τη μόνιμη απόκριση του συστήματος (steadystate respose).
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-16 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Στο σχήμα φαίνεται η ολική (total) απόκριση της αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση, καθώςεπίσηςκαιημόνιμη (steady-state) απόκριση. Η διαφοράτωνδύοείναιη παροδική (trasiet) απόκριση η οποία φθίνει εκθετικά με την πάροδο του χρόνου με ρυθμό που εξαρτάται από το ζ και το ω/ω. Μετά από κάποιο χρόνο, παραμένει μόνο η απόκριση λόγω εξωτερικής διέγερσης που ονομάζουμε και μόνιμη απόκριση.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-17 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Η μόνιμη απόκριση μπορεί να γραφτεί ως P ut u t R t k () = si( ω ϕ) = d si( ω ϕ) () όπου R d u = = ( u ) st 1 1 β + ζβ ϕ = 1 ζβ ta 1 β Το R d είναι ο δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης και το φ είναι η διαφορά φάσης.
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-18 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του δυναμικού συντελεστή μεγέθυνσης R d ως συνάρτηση του ω/ω για διάφορες τιμές του ζ. Παρατηρούμε ότι το R d μικραίνει όσο η απόσβεση ζ μεγαλώνει. Όταν β=ω/ω 1, δηλ. η συχνότητα της διέγερσης τείνει στο μηδέν, η διέγερση εκφυλίζεται σε στατική, και συνεπώς η δυναμική απόκριση τείνει στη στατική, δηλ. R d 1 u (u st ) = p /k Όταν β=ω/ω 1, δηλ. η συχνότητα της διέγερσης υπερβεί κατά πολύ την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, R d
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-19 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Όταν β=ω/ω 1, δηλ. η συχνότητα της διέγερσης προσεγγίζει την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η δυναμική απόκριση είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τη στατική. Στην περίπτωση που ω = ω, η γενικήλύσηu(t) της αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση, για μηδενικές αρχικές συνθήκες, γίνεται 1 ζω ζ ut () = ( u ) t st e cosωdt + siω cos Dt ωt ζ 1 ζ (3)
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8- Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Απότοσχήμαφαίνεταιότιο δυναμικός συντελεστής μεγέθυνσης R d τείνει ασυμπτωτικά στην τιμή 1/ζ. Άρα η ύπαρξη της απόσβεσης εμποδίζει τη δημιουργία άπειρων μετατοπίσεων όταν ω = ω. Δηλαδή, η απόσβεση επιδρά ανασταλτικά στο φαινόμενο του συντονισμού. Η συχνότητα συντονισμού είναι η συχνότητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο πλάτος απόκρισης. Στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης με απόσβεση, η συχνότητα συντονισμού ω res ισούται με ω = ω 1 ζ res (και όχι με ω όπως συνέβαινε στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης χωρίς απόσβεση). Ητιμήαυτήπροκύπτει θέτοντας dr d / dβ =. Σ αυτήν τη συχνότητα, ητιμήτουr d είναι R d = 1 ζ 1 ζ
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση:Δ8-1 Αρμονική Ταλάντωση Με Απόσβεση (...) Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης φ ως συνάρτηση του ω/ω για διάφορες τιμές του ζ. Η διαφορά φάσης φ δίνει τη χρονική καθυστέρηση της απόκρισης σε σχέση με την υποβαλλόμενη διέγερση. Όταν β=ω/ω 1, το φ, δηλαδή η μετατόπιση είναι σε φάση με τη διέγερση. Όταν β=ω/ω 1, το φ 18, δηλαδή η μετατόπιση είναι εκτός φάσης με τη διέγερση. Όταν β=ω/ω = 1, το φ = 9 για όλα τα ζ, δηλαδή η μετατόπιση γίνεται μέγιστη όταν η διέγερση είναι μηδέν.