HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/16/2016 1 1 3/16/2016 2 Προηγούµενη φορά Σύνολα, πολυσύνολα Ισότητα ιαγράµµατα Venn x S Κενό σύνολο, µοναδικότητα Υποσύνολο/υπερσύνολο συνόλου Πληθικός αριθµός Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Τοδυναµοσύνολο P(S) ενός συνόλου Sείναι το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του S. P(S) : {x x S}. Π.χ. P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Μερικές φορές το P(S) το συµβολίζουµε µε 2 S. Σηµειώστε ότι (σίγουρα για πεπερασµένα σύνολα S), P(S) = 2 S. Προκύπτει ότι S: P(S) > S, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα µε διαφορετικά µεγέθη! 3/16/2016 3 3 3/16/2016 4 4 1
Πράξεις µεταξύ συνόλων Ένωση Τοµή ιαφορά Συµµετρική διαφορά Συµπλήρωµα συνόλου Ένωση συνόλων Για δύο σύνολα A, B, η ένωσή τους ( nion) A B είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο A, ή ( ) ανήκουν στο B (ή, φυσικά, και στα δύο). Τυπικά, A,B: A B = {x x A x B}. Πχ. {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί υπερσύνολο και του A και του B : A, B: (A B A) (A B B) 3/16/2016 5 5 3/16/2016 6 6 Παράδειγµα ένωσης συνόλων {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Ένωση συνόλων Πως µπορούµε να αποδείξουµε ότι η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο και του A και του B; Έστω ότι υπάρχει σύνολο Μ, υπερσύνολο του Α και του Β που έχει λιγότερα στοιχεία από το A B Αυτό σηµαίνει πως Α Μ και Β Μ και ταυτόχρονα υπάρχει x A B τέτοιο ώστε x Μ. Αφού x A B, τότε x Aή x B. Και αφού Α Μ και Β Μ, x M. Αντίφαση Άρα, δεν υπάρχει υπερσύνολο του Α και του Β µε λιγότερα στοιχεία από το A B 3/16/2016 7 7 3/16/2016 8 8 2
Γενικευµένη ένωση συνόλων υαδικός τελεστής ένωσης: A B n-οστή ένωση: A A 2 A n : (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συµβολισµός: Ai i= 1 ή: A A X 3/16/2016 9 9 Τοµή συνόλων Για σύνολα A, B, ητοµή τους A B περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα στο A και ( ) στο B. Τυπικά, A,B: A B={x x A x B}. Ητοµή A B δύο συνόλων Α, Β είναι ένα υποσύνολοκαι του A και του B (το µέγιστο τέτοιο υποσύνολο): A, B: (A B A) (A B B) 3/16/2016 10 10 Παράδειγµα τοµής συνόλων {a,b,c} {2,3} = {2,4,6} {3,4,5} = {4} 3/16/2016 11 11 Γενικευµένη τοµή συνόλων υαδικός τελεστής τοµής: A B n-οστή τοµή: A 1 A 2 A n (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) n Συµβολισµός: A ή: A X A i= 1 i 3/16/2016 12 12 3
Ξένα σύνολα ύο σύνολα A, Bλέγονται ξένααν και µόνο αν η τοµή τους είναι το κενό σύνολο. (A B= ) Π.χ. {a,b,c} {2,3} = Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A Bδύο συνόλωνα καιβ; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; (Εκφράστε το µε βάση τα A, B και ό,τι άλλο χρειαστείτε.) 3/16/2016 13 13 3/16/2016 14 14 Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A Bδύο συνόλωνα καιβ; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; A B = A + B A B Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Παράδειγµα: Έστω ότι σε ένα σύνολο ανθρώπων, 50 άτοµα έχουν µηχανάκι, 180 άτοµα έχουν ποδήλατο και 30 άτοµα έχουν και µηχανάκι και ποδήλατο. Πόσοι άνθρωποι έχουν δίτροχο µεταφορικό µέσο; 3/16/2016 15 15 3/16/2016 16 16 4
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Α Μηχανάκι (50) Μηχανάκι + Ποδήλατο (30) Ποδήλατο (180) Β Έστω =Α Β, όπου, Α = {s sέχει µηχανάκι} Β = {s s έχει ποδήλατο} Μερικοί µπορεί να έχουν και τα δύο! = Α Β = Α + Β Α Β (στο παράδειγµά µας, = 50+180-30 = 200) 3/16/2016 17 17 3/16/2016 18 18 Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Στην περίπτωση τριών συνόλων Α 1 Α 2 Α 3 = Α 1 + Α 2 + Α 3 - Α 1 Α 2 - Α 1 Α 3 - Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Θα δούµε αργότερα πως γενικεύεται για την ένωση nσυνόλων. Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού για ξένα σύνολα Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: A B = A + B 3/16/2016 19 19 3/16/2016 20 20 5
ιαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, ηδιαφοράτου A από το B, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Aπου δεν ανήκουν στο B. Τυπικά: A B : {x x A x B} ιαφορά συνόλων - Venn Diagram Το σύνολο A Bείναι ότι αποµένει από το Α όταν από αυτό εξαιρέσουµε όλα τα στοιχεία του Β Σύνολο A B Σύνολο A Σύνολο B 3/16/2016 21 21 3/16/2016 22 22 Παραδείγµατα διαφοράς συνόλων {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {1,4,6} Z N = {x xακέραιος αλλά όχι φυσικός} = {, 1, 0, 1, 2, } {1, 2 } = {, 3, 2, 1, 0} Συµµετρική διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η συµµετρική διαφορά τους, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία της ένωσής τους, αν εξαιρεθούν τα στοιχεία της τοµής τους. Τυπικά: A B : (A B) (A B) 3/16/2016 23 23 3/16/2016 24 24 6
Συµπληρώµατα συνόλων Ο δειγµατικός χώροςµπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο, έστω U. Για κάθε σύνολο A U, το συµπλήρωµα του A, A, ως προς το U, είναι το U A. Π.χ., Εάν U=N, Αµοιβαία ξένα σύνολα Έστω n σύνολα Α i, 1=1, 2,, n Τα σύνολα Α i ονοµάζονται αµοιβαία ξένα αν και µόνο αν i j, (Αi Αj = ) {3,5} = {1,2, 4,6,7,...} 3/16/2016 25 25 3/16/2016 26 26 ιαµέριση ενός συνόλου Α Έστω nµη κενά σύνολα Α i, 1=1, 2,, n. Τα σύνολα Α i αποτελούν µία διαµέρισητου συνόλου Ααν και µόνο αν: n = (1) A Ai i= 1 (2) Ta Α i είναι αµοιβαία ξένα σύνολα Α Α 4 Α 1 Α 2 Α3 Ταυτότητες A = A = A U A U = U A = A A = A = A A A B = B A ( A ) = A A B = B A A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 3/16/2016 27 27 3/16/2016 28 28 7
Αντικ.: µε, µε, µε F, U µε T A = A = A U A U = U, A = A A = A = A A ( A ) = A A B = B A, A B = B A A (B C)=(A B) C, A (B C)=(A B) C Νόµος DeMorgan για σύνολα Ακριβώς ανάλογος µε (και αποδείξιµος από) τον νόµο DeMorgan για προτάσεις. A B= A B= A B A B 3/16/2016 29 29 3/16/2016 30 30 Παράδειγµα χρήσης αρχής εγκλεισµούαποκλεισµού, διαφοράς συνόλων και De Morgan Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15? Παράδειγµα Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15; Έστω Σ= {οι ακέραιοι από το 1 έως το 1000} Έστω Α= {τα πολλαπλάσια του 10} Έστω Β= {τα πολλαπλάσια του 4} Έστω Γ= {τα πολλαπλάσια του 15} Τι θέλουµε να υπολογίσουµε; 3/16/2016 31 31 3/16/2016 32 32 8
Παράδειγµα Θέλουµε να υπολογίσουµε την ποσότητα: Όµως Α Β Γ Α Β Γ=Α Β Γ=Σ ( Α Β Γ) Α Β Γ = Σ ( Α Β Γ ) = Σ Α Β Γ γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; Εποµένως, Α Β Γ = Σ Α Β Γ Παράδειγµα = Σ ( Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + Α Β Γ ) = Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ Α Β = πολλαπλάσια του 20 Α Γ = πολλαπλάσια του 30 Β Γ = πολλαπλάσια του 60 Α Β Γ = πολλαπλάσια του 60 3/16/2016 33 33 3/16/2016 34 34 Αρα, Α Β Γ = Παράδειγµα Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ 1000-( 1000/10 + 1000/4 + 1000/15 ) + ( 1000/20 + 1000/30 + 1000/60 )- 1000/60 =1000-(100+250+66)+(50+33+16)-16=667. Απόδειξη ισότητας συνόλων Για να αποδείξουµε προτάσεις της µορφής E 1 = E 2 (όπου τα E 1, E 2 είναι εκφράσεις συνόλων), υπάρχουν τέσσερις βασικές τεχνικές: 1. Χρήση του πίνακα µελών 2. ιαγράµµατα Venn 3. Απόδειξη ότι E 1 E 2 και E 2 E 1. 4. Χρήση ταυτοτήτων 3/16/2016 35 35 3/16/2016 36 36 9
Μέθοδος 1: Πίνακες µελών Κατ αναλογία µε τους πίνακες αληθείας στον προτασιακό λογισµό Στήλες για διαφορετικές εκφράσεις µε σύνολα. Γραµµές για όλους τους συνδυασµούς συµµετοχής στα σύνολα που απαρτίζουν τις εκφράσεις Χρήση 1 για τα µέλη, 0 για τα µη-µέλη. Απόδειξη ισότητας µε σύγκριση στηλών. Παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) B = A B. A B A B (A B) B A B 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 3/16/2016 37 37 3/16/2016 38 38 Κι άλλο παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 συνέχεια Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 3/16/2016 39 39 3/16/2016 40 40 10
Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β A B = (A B) B 3/16/2016 41 41 3/16/2016 42 42 Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 1ο: είχνω ότι A (B C) (A B) (A C). Υποθέτω x (A (B C)), & δείχνω ότι x ((A B) (A C)). Γνωρίζουµε ότι x A, και είτε x B είτε x C. Περ. 1: x B. Τότε x A B, εποµένως x (A B) (A C). Περ. 2: x C. Τότε x A C, εποµένως x (A B) (A C). Άρα, x (A B) (A C). Άρα, A (B C) (A B) (A C). Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 2ο: είχνω ότι (A B) (A C) A (B C). Υποθέτω x ((A B) (A C)) & δείχνω ότι x (A (B C)). Γνωρίζουµε ότι x (A B), ή x (A C). Περ. 1: x (A B). Τότε x A και x (B C), εποµένως x (A (B C)). Περ. 2: x (A C). Τότε x Aκαι x (B C), εποµένως x (A (B C)). Άρα, x (A (B C)). Άρα, (A B) (A C) A (B C). Άρα, A (B C)=(A B) (A C). 3/16/2016 43 43 3/16/2016 44 44 11
Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Aπ ευθείας µε ταυτότητες ισότητας συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Ποιά αντίστοιχη πρόταση θα πρέπει να αποδείξουµε στον προτασιακό λογισµό; Είτε απ ευθείας µε ταυτότητες συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Αρκεί να δείξουµε ότι η πρόταση A (B C) (A B) (A C) αποτελεί ταυτολογία 3/16/2016 45 45 3/16/2016 46 46 Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Πράγµατι: A (B C) (A B) (A C) (A (B C)) ((A B) (A C) ) (A (B C)) (A (B C)) T ιατεταγµένες n-άδες Για n N, µίαδιατεταγµένη n-αδαή µία ακολουθία µήκους nγράφεται ως (a 1, a 2,, a n ). Τοπρώτοστοιχείο της είναι το a 1, κλπ. Mπορούµε να έχουµε αντίγραφα στοιχείων H σειρά των στοιχείων έχει σηµασία! (1, 2) (2, 1) (2, 1, 1). 3/16/2016 47 47 3/16/2016 48 48 12
Οι διατεταγµένες n-άδες έχουν πολλές εφαρµογές. Για παράδειγµα, Μαθηµατικές δοµές συχνά περιγράφονται µε µία συγκεκριµένη διάταξη που επιτρέπει να ξέρουµε πιο στοιχείο παίζει πιο ρόλο. π.χ., το (N,<) είναι µία συγκεκριµένη δοµή που χρησιµοποιεί το < για να δηµιουργήσει µία διάταξη στο N. Οι σχέσεις εκφράζονται µέσω n-αδων. Π.χ.: < = { (0,1), (1,2), (0,2), ) } Το πρώτο και το δεύτερο όρισµα µιας σχέσης µπορεί να προέρχεται από διαφορετικά σύνολα, π.χ. Προτιµάει_να_βλέπει = {(Κώστας,ειδήσεις), (Νίκος, ποδόσφαιρο), (Μαρία, ταινίες)} 1ο: στοιχεία από το σύνολο των ανθρώπων 2ο: στοιχεία από το σύνολο των προγραµµάτων της TV 3/16/2016 49 49 3/16/2016 50 50 Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B, τοκαρτεσιανότους γινόµενοείναι το A B : {(a, b) a A b B }. René Descartes (1596-1650) π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Ο ορισµός επεκτείνεται για πολλά σύνολα: A 1 A 2 A n ={(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1 a 2 A 2 a n A n } Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B Σηµειώστε ότι, A B = A B A,B: A B=B A 3/16/2016 51 51 3/16/2016 52 52 13
Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων {Κώστας, Μαρία, Νίκος} {Νέα,Ταινίες}= { (Κώστας, Νέα), (Μαρία, Νέα), (Νίκος, Νέα), (Κώστας, Ταινίες), (Μαρία, Ταινίες), (Νίκος, Ταινίες) } ( 3/16/2016 53 53 3/16/2016 54 54 Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Για ένα δειγµατικό χώρο U µε διάταξη x 1, x 2,, αναπαράσταση ενός πεπερασµένου συνόλου S Uσαν το πεπερασµένο bit string B=b 1 b 2 b n όπου i: x i S (1 i n b i =1). Π.χ. U=N, S={2,3,5,7,11}, B=01101010001. Σε αυτή την αναπαράσταση, οι βασικές πράξεις συνόλων υλοποιούνται κατευθείαν µε τις bitwise πράξεις OR, AND, NOT 3/16/2016 55 55 Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Π.χ., {2,3,5,7,11} {1,3,4,9} 01101010001 10110000100 = 11111010101 δηλ. το {1,2,3,4,5,7,9,11} 3/16/2016 56 56 14
Αξιωµατική θεωρία συνόλων ιάφορα αξιώµατα Ένα βασικό αξίωµα: οσµένου ενός κατηγορήµατος P, κατασκεύασε ένα σύνολοπου να περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία x για τα οποία η xp(x) να είναι αληθής πρόταση. Ωστόσο, η προκύπτουσα θεωρία είναι λογικά ασυνεπής! Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν κάποιες προτάσεις p για τις οποίες να µπορούµε να δείξουµε ότι και η p και η pπροκύπτουν λογικά ώς αποτέλεσµα της θεωρίας µας!... ηλαδή ότι ξεκινώντας από τα αξιώµατα οδηγούµαστε σε αντίφαση! Μια τέτοια θεωρία είναι θεµελιωδώς µη ενδιαφέρουσα, γιατί οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή µπορεί (τετριµµένα) να αποδειχθεί Παράδειγµα: Ο κουρέας ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστω ότι σε µία πόλη ο κουρέας ξυρίζει όλους εκείνους τους άντρες (και µόνο αυτούς) που δεν ξυρίζονται µόνοι τους. Ερώτηση: Ο κουρέας αυτός ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστωότι ξυρίζεται µόνος του. Άρα δεν ξυρίζεται µόνος του. Έστωότι δεν ξυρίζεται µόνος του. Άρα ξυρίζεται µόνος του.!!! 3/16/2016 57 57 3/16/2016 58 58 Η παράκαµψη του παράδοξου Για να αποφύγουµε την ασυνέπεια, η θεωρία συνόλων πρέπει µε κάποιο τρόπο να τροποποιηθεί... Μπορούµε µόνο να µιλάµε για τα σύνολα S τα οποία είναι υποσύνολα ενός άλλου ευρύτερου συνόλου U και για τα οποία ισχύει ότι δεν είναι υποσύνολα του εαυτού τους: S = {x x U και x x } Για περισσότερες πληροφορίες, διαβάστε για το παράδοξο του Russel: https://en.wikipedia.org/wiki/russell's_paradox Bertrand Russell 1872-1970 3/16/2016 59 59 ) 3/16/2016 60 60 15