HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/16/2016 1 1
Θεωρία Συνόλων 3/16/2016 2
Προηγούµενη φορά Σύνολα, πολυσύνολα Ισότητα ιαγράµµατα Venn x S Κενό σύνολο, µοναδικότητα Υποσύνολο/υπερσύνολο συνόλου Πληθικός αριθµός 3/16/2016 3 3
Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Τοδυναµοσύνολο P(S) ενός συνόλου Sείναι το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του S. P(S) : {x x S}. Π.χ. P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Μερικές φορές το P(S) το συµβολίζουµε µε 2 S. Σηµειώστε ότι (σίγουρα για πεπερασµένα σύνολα S), P(S) = 2 S. Προκύπτει ότι S: P(S) > S, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα µε διαφορετικά µεγέθη! 3/16/2016 4 4
Πράξεις µεταξύ συνόλων Ένωση Τοµή ιαφορά Συµµετρική διαφορά Συµπλήρωµα συνόλου 3/16/2016 5 5
Ένωση συνόλων Για δύο σύνολα A, B, η ένωσή τους ( nion) A B είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο A, ή ( ) ανήκουν στο B (ή, φυσικά, και στα δύο). Τυπικά, A,B: A B = {x x A x B}. Πχ. {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί υπερσύνολοκαι του Aκαι του B : A, B: (A B A) (A B B) 3/16/2016 6 6
Παράδειγµα ένωσης συνόλων {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} 3/16/2016 7 7
Ένωση συνόλων Πως µπορούµε να αποδείξουµε ότι η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί το µικρότερο δυνατό υπερσύνολοκαι του Aκαι του B; Έστω ότι υπάρχει σύνολο Μ, υπερσύνολο του Α και του Β που έχει λιγότερα στοιχεία από το A B Αυτό σηµαίνει πως Α Μ και Β Μ και ταυτόχρονα υπάρχει x A Bτέτοιο ώστε x Μ. Αφού x A B, τότε x Aή x B. Και αφού Α Μ και Β Μ, x M. Αντίφαση Άρα, δεν υπάρχει υπερσύνολο του Α και του Β µε λιγότερα στοιχεία από το A B 3/16/2016 8 8
Γενικευµένη ένωση συνόλων υαδικός τελεστής ένωσης: A B n-οστή ένωση: A A 2 A n : (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) Συµβολισµός: ή: A X A n i= 1 A i 3/16/2016 9 9
Τοµή συνόλων Για σύνολα A, B, ητοµή τους A B περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα στο A και ( ) στο B. Τυπικά, A,B: A B={x x A x B}. Ητοµή A B δύο συνόλων Α, Β είναι ένα υποσύνολοκαι του A και του B (το µέγιστο τέτοιο υποσύνολο): A, B: (A B A) (A B B) 3/16/2016 10 10
Παράδειγµα τοµής συνόλων {a,b,c} {2,3} = {2,4,6} {3,4,5} = {4} 3/16/2016 11 11
Γενικευµένη τοµή συνόλων υαδικός τελεστής τοµής: A B n-οστή τοµή: A 1 A 2 A n (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) Συµβολισµός: ή: A X A n i= 1 A i 3/16/2016 12 12
Ξένα σύνολα ύο σύνολα A, Bλέγονται ξένααν και µόνο αν η τοµή τους είναι το κενό σύνολο. (A B= ) Π.χ. {a,b,c} {2,3} = 3/16/2016 13 13
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A Bδύο συνόλωνα καιβ; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; (Εκφράστε το µε βάση τα A, B και ό,τι άλλο χρειαστείτε.) 3/16/2016 14 14
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A Bδύο συνόλωνα καιβ; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; A B = A + B A B 3/16/2016 15 15
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Παράδειγµα:Έστω ότι σε ένα σύνολο ανθρώπων, 50 άτοµα έχουν µηχανάκι, 180 άτοµα έχουν ποδήλατο και 30 άτοµα έχουν και µηχανάκι και ποδήλατο. Πόσοι άνθρωποι έχουν δίτροχο µεταφορικό µέσο; 3/16/2016 16 16
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Α Β Μηχανάκι (50) Μηχανάκι + Ποδήλατο (30) Ποδήλατο (180) 3/16/2016 17 17
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Έστω =Α Β, όπου, Α = {s sέχει µηχανάκι} Β = {s s έχει ποδήλατο} Μερικοί µπορεί να έχουν και τα δύο! = Α Β = Α + Β Α Β (στο παράδειγµά µας, = 50+180-30 = 200) 3/16/2016 18 18
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Στην περίπτωση τριών συνόλων Α 1 Α 2 Α 3 = Α 1 + Α 2 + Α 3 - Α 1 Α 2 - Α 1 Α 3 - Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Θα δούµε αργότερα πως γενικεύεται για την ένωση nσυνόλων. 3/16/2016 19 19
Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού για ξένα σύνολα Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: A B = A + B 3/16/2016 20 20
ιαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, ηδιαφοράτου A από το B, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Aπου δεν ανήκουν στο B. Τυπικά: A B : {x x A x B} 3/16/2016 21 21
ιαφορά συνόλων - Venn Diagram Το σύνολο A Bείναι ότι αποµένει από το Α όταν από αυτό εξαιρέσουµε όλα τα στοιχεία του Β Σύνολο A B Σύνολο A Σύνολο B 3/16/2016 22 22
Παραδείγµατα διαφοράς συνόλων {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {1,4,6} Z N = {x xακέραιος αλλά όχι φυσικός} = {, 1, 0, 1, 2, } {1, 2 } = {, 3, 2, 1, 0} 3/16/2016 23 23
Συµµετρική διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η συµµετρική διαφορά τους, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία της ένωσής τους, αν εξαιρεθούν τα στοιχεία της τοµής τους. Τυπικά: A B : (A B) (A B) 3/16/2016 24 24
Συµπληρώµατα συνόλων Ο δειγµατικός χώροςµπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο, έστω U. Για κάθε σύνολο A U, το συµπλήρωµα του A, A, ως προς το U, είναι το U A. Π.χ., Εάν U=N, {3,5} = {1, 2, 4,6,7,...} 3/16/2016 25 25
Αµοιβαία ξένα σύνολα Έστω n σύνολα Α i, 1=1, 2,, n Τα σύνολα Α i ονοµάζονται αµοιβαία ξένα αν και µόνο αν i j, (Αi Αj = ) 3/16/2016 26 26
ιαµέρισηενός συνόλου Α Έστω nµη κενά σύνολα Α i, 1=1, 2,, n. Τα σύνολα Α i αποτελούν µία διαµέρισητου συνόλου Ααν και µόνο αν: n (1) A= Ai i= 1 (2) Ta Α i είναι αµοιβαία ξένα σύνολα Α 2 Α Α 4 Α 1 Α3 3/16/2016 27 27
Ταυτότητες A = A = A U A U = U A = A A = A = A A A B = B A ( A ) = A A B = B A A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 3/16/2016 28 28
Αντικ.: µε, µε, A = A = A U A U = U, A = A A = A = A A µε F, Uµε T ( A ) = A A B = B A, A B = B A A (B C)=(A B) C, A (B C)=(A B) C 3/16/2016 29 29
Νόµος DeMorganγια σύνολα Ακριβώς ανάλογος µε (και αποδείξιµος από) τον νόµο DeMorgan για προτάσεις. A B = A B A B = A B 3/16/2016 30 30
Παράδειγµα χρήσης αρχής εγκλεισµούαποκλεισµού, διαφοράς συνόλων και De Morgan Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15? 3/16/2016 31 31
Παράδειγµα Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 10, του 4 και του 15; Έστω Σ= {οι ακέραιοι από το 1 έως το 1000} Έστω Α= {τα πολλαπλάσια του 10} Έστω Β= {τα πολλαπλάσια του 4} Έστω Γ= {τα πολλαπλάσια του 15} Τι θέλουµε να υπολογίσουµε; 3/16/2016 32 32
Παράδειγµα Θέλουµε να υπολογίσουµε την ποσότητα: Όµως Α Β Γ Α Β Γ=Α Β Γ=Σ ( Α Β Γ) Α Β Γ = Σ ( Α Β Γ ) = Σ Α Β Γ γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; 3/16/2016 33 33
Παράδειγµα Εποµένως, Α Β Γ = Σ Α Β Γ = Σ ( Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + Α Β Γ ) = Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ Α Β = πολλαπλάσια του 20 Α Γ = πολλαπλάσια του 30 Β Γ = πολλαπλάσια του 60 Α Β Γ = πολλαπλάσια του 60 3/16/2016 34 34
Παράδειγµα Αρα, Α Β Γ = Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ 1000-( 1000/10 + 1000/4 + 1000/15 ) + ( 1000/20 + 1000/30 + 1000/60 )- 1000/60 =1000-(100+250+66)+(50+33+16)-16=667. 3/16/2016 35 35
Απόδειξη ισότητας συνόλων Για να αποδείξουµε προτάσεις της µορφής E 1 = E 2 (όπου τα E 1, E 2 είναι εκφράσεις συνόλων), υπάρχουν τέσσερις βασικές τεχνικές: 1. Χρήση του πίνακα µελών 2. ιαγράµµατα Venn 3. Απόδειξη ότι E 1 E 2 και E 2 E 1. 4. Χρήση ταυτοτήτων 3/16/2016 36 36
Μέθοδος 1: Πίνακες µελών Κατ αναλογία µε τους πίνακες αληθείας στον προτασιακό λογισµό Στήλες για διαφορετικές εκφράσεις µε σύνολα. Γραµµέςγια όλους τους συνδυασµούς συµµετοχής στα σύνολα που απαρτίζουν τις εκφράσεις Χρήση 1 για τα µέλη, 0 για τα µη-µέλη. Απόδειξη ισότητας µε σύγκριση στηλών. 3/16/2016 37 37
Παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) B = A B. A B A B (A B) B A B 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 3/16/2016 38 38
Κι άλλο παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3/16/2016 39 39
συνέχεια Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 3/16/2016 40 40
Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β 3/16/2016 41 41
Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β A B = (A B) B 3/16/2016 42 42
Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 1ο: είχνω ότι A (B C) (A B) (A C). Υποθέτω x (A (B C)), & δείχνω ότι x ((A B) (A C)). Γνωρίζουµε ότι x A, και είτε x B είτε x C. Περ. 1: x B. Τότε x A B, εποµένως x (A B) (A C). Περ. 2: x C. Τότε x A C, εποµένως x (A B) (A C). Άρα, x (A B) (A C). Άρα, A (B C) (A B) (A C). 3/16/2016 43 43
Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 2ο: είχνω ότι (A B) (A C) A (B C). Υποθέτω x ((A B) (A C)) & δείχνω ότι x (A (B C)). Γνωρίζουµε ότι x (A B), ή x (A C). Περ. 1: x (A B). Τότε x Aκαι x (B C), εποµένως x (A (B C)). Περ. 2: x (A C). Τότε x Aκαι x (B C), εποµένως x (A (B C)). Άρα, x (A (B C)). Άρα, (A B) (A C) A (B C). Άρα, A (B C)=(A B) (A C). 3/16/2016 44 44
Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Aπ ευθείας µε ταυτότητες ισότητας συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Ποιά αντίστοιχη πρόταση θα πρέπει να αποδείξουµε στον προτασιακό λογισµό; 3/16/2016 45 45
Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Είτε απ ευθείας µε ταυτότητες συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Αρκεί να δείξουµε ότι η πρόταση A (B C) (A B) (A C) αποτελεί ταυτολογία 3/16/2016 46 46
Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Πράγµατι: A (B C) (A B) (A C) (A (B C)) ((A B) (A C) ) (A (B C)) (A (B C)) T 3/16/2016 47 47
ιατεταγµένες n-άδες Για n N, µία διατεταγµένη n-αδα ή µία ακολουθία µήκους nγράφεται ως (a 1, a 2,, a n ). Τοπρώτοστοιχείο της είναι το a 1, κλπ. Mπορούµε να έχουµε αντίγραφα στοιχείων H σειρά των στοιχείων έχει σηµασία! (1, 2) (2, 1) (2, 1, 1). 3/16/2016 48 48
Οι διατεταγµένες n-άδεςέχουν πολλές εφαρµογές. Για παράδειγµα, Μαθηµατικές δοµές συχνά περιγράφονται µε µία συγκεκριµένη διάταξη που επιτρέπει να ξέρουµε πιο στοιχείο παίζει πιο ρόλο. π.χ.,το (N,<) είναι µία συγκεκριµένη δοµή που χρησιµοποιεί το <για να δηµιουργήσει µία διάταξη στο N. 3/16/2016 49 49
Οι σχέσεις εκφράζονται µέσω n-αδων. Π.χ.: < = { (0,1), (1,2), (0,2), ) } Το πρώτο και το δεύτερο όρισµα µιας σχέσης µπορεί να προέρχεται από διαφορετικά σύνολα, π.χ. Προτιµάει_να_βλέπει = {(Κώστας,ειδήσεις), (Νίκος, ποδόσφαιρο), (Μαρία,ταινίες)} 1ο: στοιχεία από το σύνολο των ανθρώπων 2ο: στοιχεία από το σύνολο των προγραµµάτων της TV 3/16/2016 50 50
Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B, τοκαρτεσιανότους γινόµενοείναι το A B : {(a, b) a A b B }. π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Ο ορισµός επεκτείνεται για πολλά σύνολα: A 1 A 2 A n ={(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1 a 2 A 2 a n A n } René Descartes (1596-1650) 3/16/2016 51 51
Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B A B = A B Σηµειώστε ότι, A,B: A B=B A 3/16/2016 52 52
Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων {Κώστας,Μαρία,Νίκος} {Νέα,Ταινίες}= { (Κώστας, Νέα), (Μαρία, Νέα), (Νίκος, Νέα), (Κώστας, Ταινίες), (Μαρία, Ταινίες), (Νίκος, Ταινίες) } 3/16/2016 53 53
3/16/2016 54 54
Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Για ένα δειγµατικό χώρο U µε διάταξη x 1, x 2,, αναπαράσταση ενός πεπερασµένου συνόλου S Uσαν το πεπερασµένο bit string B=b 1 b 2 b n όπου i: x i S (1 i n b i =1). Π.χ. U=N, S={2,3,5,7,11}, B=01101010001. Σε αυτή την αναπαράσταση, οι βασικές πράξεις συνόλων υλοποιούνται κατευθείαν µε τις bitwise πράξεις OR, AND, NOT 3/16/2016 55 55
Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Π.χ., {2,3,5,7,11} {1,3,4,9} 01101010001 10110000100 = 11111010101 δηλ. το {1,2,3,4,5,7,9,11} 3/16/2016 56 56
Αξιωµατική θεωρία συνόλων ιάφορα αξιώµατα Ένα βασικό αξίωµα: οσµένου ενός κατηγορήµατος P, κατασκεύασε ένα σύνολοπου να περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία x για τα οποία η xp(x)να είναι αληθής πρόταση. Ωστόσο, η προκύπτουσα θεωρία είναι λογικά ασυνεπής! Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν κάποιες προτάσεις pγια τις οποίες να µπορούµε να δείξουµε ότι και η pκαι η pπροκύπτουν λογικά ώς αποτέλεσµα της θεωρίας µας!... ηλαδή ότι ξεκινώντας από τα αξιώµατα οδηγούµαστε σε αντίφαση! Μια τέτοια θεωρία είναι θεµελιωδώς µη ενδιαφέρουσα, γιατί οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή µπορεί (τετριµµένα) να αποδειχθεί 3/16/2016 57 57
Παράδειγµα: Ο κουρέας ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστω ότι σε µία πόλη ο κουρέας ξυρίζει όλους εκείνους τους άντρες (και µόνο αυτούς) που δεν ξυρίζονται µόνοι τους. Ερώτηση: Ο κουρέας αυτός ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστωότι ξυρίζεται µόνος του. Άρα δεν ξυρίζεται µόνος του. Έστωότι δεν ξυρίζεται µόνος του. Άρα ξυρίζεται µόνος του.!!! 3/16/2016 58 58
Η παράκαµψη του παράδοξου Για να αποφύγουµε την ασυνέπεια, η θεωρία συνόλων πρέπει µε κάποιο τρόπο να τροποποιηθεί... Μπορούµε µόνο να µιλάµε για τα σύνολα S τα οποία είναι υποσύνολα ενός άλλου ευρύτερου συνόλου U και για τα οποία ισχύει ότι δεν είναι υποσύνολα του εαυτού τους: S = {x x U και x x } Για περισσότερες πληροφορίες,διαβάστε για το παράδοξο του Russel: https://en.wikipedia.org/wiki/russell's_paradox Bertrand Russell 1872-1970 3/16/2016 59 59
3/16/2016 60 60