ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 65 8. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ...9 9. ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ... 0

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αυτές οι σηµειώσεις προορίζονται να χρησιµοποιηθούν ως ϐοηθητικές του συγγράµµατος που διανέµει το Χηµικό Τµήµα του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων για τη διδασκαλία του µαθήµατος Γενικά Μαθηµατικά Ι. Καλύπτουν ύλη που ϑα µπορούσε να ϐρεί κανείς σε ένα εξαµηνιαίο µάθηµα ιαφορικού Λογισµού µιας µεταβλητής ενός Μαθηµατικού Τµήµατος, εµβαθύνουν όµως σε µικρότερο ϐαθµό, ώστε να είναι συµβατές µε τις απαιτήσεις ενός Χηµικού Τµήµατος από ένα τέτοιο µάθηµα. Ευχαριστώ ϑερµά τον Επίκουρο Καθηγητή του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων κ. Θεόδωρο Βιδάλη για την πολύτιµη ϐοήθεια του στη διόρθωση των χειρογράφων καθώς το Λέκτορα του ιδίου τµήµατος κ. Απόστολο Μπατσίδη για τις εύστοχες παρατηρήσεις του όσον αφορά την αρτιότερη παρουσίαση του κειµένου. Το παρόν στοιχειοθετήθηκε την Φεβρουαρίου 00 διατίθεται σε ηλεκτρονική µορφή µέσω της ιστοσελίδας http://users.uoi.gr/kmavridi/. Για οτιδήποτε έχει σχέση µε αυτές τις σηµειώσεις µπορείτε να αποστείλετε την ηλεκτρονική σας αλληλογραφία στις διευθύνσεις kmavride@otenet.gr ή kmavridi@uoi.gr. Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος Ε. Γιαννακούλιας, Απειροστικός Λογισµός Ι, Εκδόσεις Συµµετρία, 007.. Σωτήρης Κ. Ντούγιας, Απειροστικός Λογισµός Ι, Εκδόσεις Leader Books, 007. 3. Βασίλειος Α. Στάικος, Σηµειώσεις Απειροστικού Λογισµού, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, 980. 4. Παναγιώτης Χρ. Τσαµάτος, Θεµελιώδεις Εννοιες Μαθηµατικής Ανάλυσης, Εκδόσεις Τζιόλα, 009. 5. T. M. Flett, Mathematical Analysis, McGraw Hill Book Company, 966.

Κεφάλαιο ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση.. Χωρίς αυτό να αποτελεί αυστηρό µαθηµατικό ορισµό της έννοιας, µπορούµε να πούµε ότι µια συλλογή καθορισµένων αντικειµένων ϑεωρούµενη αυτή καθαυτή ως νέο αντικείµενο καλείται σύνολο. Τα αντικείµενα που απαρτίζουν ένα σύνολο καλούνται στοιχεία του συνόλου. Σηµείωση.. Αν το στοιχείο a ανήκει στο σύνολο E, τότε γράφουµε a E, ενώ αν δεν ανήκει γράφουµε a / E. Ορισµός.3. Ας είναι A B δυο σύνολα.. Αν κάθε στοιχείο του A είναι στοιχείο του B, τότε το A καλείται υποσύνολο του B, το B καλείται υπερσύνολο του A συµβολίζουµε A B ή ισοδύναµα B A.. Αν κάθε στοιχείο του A είναι στοιχείο του B ταυτόχρονα κάθε στοιχείο του B είναι στοιχείο του A, τότε τα σύνολα A B καλούνται ίσα συµβολίζουµε A = B. Στην αντίθετη περίπτωση γράφουµε A B. 3. Αν A B ταυτόχρονα A B, τότε το A καλείται γνήσιο υποσύνολο του B, το B γνήσιο υπερσύνολο του A συµβολίζουµε A B ή ισοδύναµα B A. Σηµείωση.4.. εχόµαστε ότι υπάρχει ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το σύνολο αυτό καλείται κενό συµβολίζεται µε. εχόµαστε επίσης ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.. Αν ένα σύνολο αποτελείται από ένα µόνο στοιχείο a, τότε αυτό το σύνολο καλείται µονοσύνολο συµβολίζεται ως {a}. Ορισµός.5. Ας είναι A B δυο σύνολα.. Τοµή των A B καλείται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων συµβολίζεται ως A B.. Ενωση των A B καλείται το σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δυο συνόλων συµβολίζεται ως A B. 3. ιαφορά του B από το A, µε αυτή τη σειρά, καλείται το σύνολο που αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία του B τα οποία δεν ανήκουν στο A συµβολίζεται ως B\A. Σηµείωση.6.. Η τοµή δυο συνόλων που δεν έχουν κοινά στοιχεία είναι το κενό σύνολο.. Η ένωση δυο συνόλων, από τα οποία τουλάχιστον το ένα είναι µη κενό, είναι επίσης µη κενό σύνολο. 3. Αν A B, τότε A\B =. Ορισµός.7.. Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών συµβολίζεται µε N ορίζεται να είναι το N := {,, 3,...}.. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών συµβολίζεται µε Z ορίζεται να είναι το Z := {..., 3,,, 0,,, 3,...}.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 3. Το σύνολο των ϱητών αριθµών συµβολίζεται µε Q ορίζεται να είναι το { } p Q := : p Z q Z\{0}. q 4. Οι άρρητοι αριθµοί είναι εκείνοι οι πραγµατικοί) αριθµοί που δεν µπορούν να γραφούν ως πηλίκα ακεραίων π.χ..4, π 3.4, e.7. 5. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών συµβολίζεται µε R αποτελείται από τους ϱητούς µαζί µε τους άρρητους αριθµούς. Ορισµός.8. Ενα υποσύνολο I του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών καλείται διάστηµα αν κάθε στοιχείο του R που ϐρίσκεται µεταξύ δυο στοιχείων του συνόλου I είναι επίσης στοιχείο του I. Παράδειγµα.9.. Για τον αριθµό 3 ισχύουν τα ακόλουθα { } 3 /, 3 3 3, / N, 3 / Z, 3 Q, 3 R δηλαδή το 3 δεν είναι άρρητος. 3 / R\Q,. Ισχύουν τα ακόλουθα N Z Q R Z = N {..., 3,,, 0}. Από τα παραπάνω σύνολα, το R είναι διάστηµα ενώ τα N, Z Q δεν είναι. 3. Εχουµε 0, ), 3) =, ) 0, 3), 4) = 0, 4) 3, 5)\, 4) = [4, 5). Επίσης, όλα τα παραπάνω σύνολα είναι διαστήµατα. Ορισµός.0. Αν x R, τότε αποδεικνύεται ότι υπάρχει µοναδικός ακέραιος α, τέτοιος ώστε α x < α+. Αυτός ο ακέραιος καλείται ακέραιο µέρος του x συµβολίζεται µε [x]. Παράδειγµα... [4.3] = 4, αφού 4 4.3 < 4 + = 5.. [4.8] = 4, αφού 4 4.8 < 4 + = 5. 3. [4] = 4, αφού 4 4 < 4 + = 5. 4. [ 4.3] = 5, αφού 5 4.3 < 5 + = 4. 5. [ 4.8] = 5, αφού 5 4.8 < 5 + = 4. 6. [ 4] = 4, αφού 4 4 < 4 + = 3. Θεώρηµα. Ανισότητα Bernoulli). Αν x, + ) ν N, τότε ισχύει ότι + x) ν + xν. Ορισµός.3.. Ενα σύνολο = A R ϑα λέγεται άνω ϕραγµένο αν υπάρχει αριθµός M R τέτοιος ώστε x M, x A. Σε αυτήν την περίπτωση το M καλείται άνω ϕράγµα του A.. Ενα σύνολο = A R ϑα λέγεται κάτω ϕραγµένο αν υπάρχει αριθµός m R τέτοιος ώστε x m, x A. Σε αυτήν την περίπτωση το m καλείται κάτω ϕράγµα του A. 3. Ενα σύνολο = A R ϑα λέγεται ϕραγµένο αν είναι άνω κάτω ϕραγµένο, δηλαδή αν υπάρχει αριθµός M R τέτοιος ώστε x M, x A.

ΣΥΝΟΛΑ 3 Σηµείωση.4.. Τα άνω κάτω ϕράγµατα, αν αυτά υπάρχουν, δεν είναι µοναδικά. Πράγµατι, αν ο αριθµός M είναι άνω ϕράγµα ενός συνόλου A, τότε κάθε αριθµός µεγαλύτερος του M είναι επίσης άνω ϕράγµα του A. Αντίστοιχα, αν ο αριθµός m είναι κάτω ϕράγµα του A, τότε κάθε αριθµός µικρότερος του m είναι επίσης κάτω ϕράγµα του A.. εχόµαστε ότι οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός είναι ταυτόχρονα άνω κάτω ϕράγµα του κενού συνόλου, εάν αυτό ϑεωρηθεί ως υποσύνολο του R. Παράδειγµα.5. Εστω ότι A = [, ) R. Τότε οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός µεγαλύτερος ή ίσος µε είναι άνω ϕράγµα του A, ενώ οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός µικρότερος ή ίσος µε είναι κάτω ϕράγµα του A. Ορισµός.6.. Ενας αριθµός M R καλείται supremum ενός συνόλου = A R συµβολί- Ϲεται µε sup A, αν το M είναι άνω ϕράγµα του A επιπλέον είναι µικρότερο ή ίσο από κάθε άνω ϕράγµα του A.. Ενας αριθµός m R καλείται infimum ενός συνόλου = A R συµβολίζεται µε inf A, αν το m είναι κάτω ϕράγµα του A επιπλέον είναι µεγαλύτερο ή ίσο από κάθε κάτω ϕράγµα του A. Ορισµός.7.. Ενας αριθµός M R καλείται µέγιστο maximum) ενός συνόλου = A R συµβολίζεται µε max A, αν το M είναι στοιχείο του A επιπλέον είναι µεγαλύτερο ή ίσο από κάθε στοιχείο του A.. Ενας αριθµός m R καλείται ελάχιστο minimum) ενός συνόλου = A R συµβολίζεται µε min A, αν το m είναι στοιχείο του A επιπλέον είναι µικρότερο ή ίσο από κάθε στοιχείο του A. Θεώρηµα.8.. Ενα σύνολο = A R έχει µέγιστο αν µόνο αν έχει supremum επιπλέον sup A A. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι max A = sup A.. Ενα σύνολο = A R έχει ελάχιστο αν µόνο αν έχει infimum επιπλέον inf A A. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι min A = inf A. Παράδειγµα.9. Εστω ότι A = [, ) R. Τότε sup A = inf A =. Επιπλέον, παρατηρούµε ότι sup A = / A άρα το σύνολο A δεν έχει µέγιστο, ενώ αντιθέτως inf A = A, οπότε το σύνολο A έχει ελάχιστο µάλιστα min A = inf A =. Σηµείωση.0.. εχόµαστε ως αξίωµα ότι κάθε µη κενό άνω ϕραγµένο υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών έχει supremum. Το αξίωµα αυτό είναι γνωστό ως Αξίωµα του Συνεχούς ή Αξίωµα του Ελαχίστου Ανω Φράγµατος ή Αξίωµα της Πληρότητας. Από αυτό προκύπτει άµεσα ότι κάθε µη κενό κάτω ϕραγµένο υποσύνολο του συνόλου των πραγµατικών αριθµών έχει επιπλέον infimum.. Το Αξίωµα του Συνεχούς πρακτικά σηµαίνει ότι η ευθεία των πραγµατικών αριθµών δεν έχει τρύπες. 3. Το Αξίωµα του Συνεχούς δεν ισχύει στο σύνολο Q, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα µη κενό άνω ϕραγµένο υποσύνολο του Q, το οποίο δεν έχει supremum στο Q. Ενα τέτοιο σύνολο είναι το S = {x Q : x > 0 x < }, το οποίο δεν έχει supremum στο Q ενώ έχει supremum στο R, το. 4. Σύµφωνα µε το Αξίωµα του Συνεχούς, το µοναδικό µη κενό υποσύνολο του R που δεν έχει ούτε supremum ούτε infimum είναι το ίδιο το R. Θεώρηµα.. Εστω A R ένα µη κενό ϕραγµένο σύνολο. Τότε inf A = max{x R : x είναι κάτω ϕράγµα του A} sup A = min{x R : x είναι άνω ϕράγµα του A}.

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Σηµείωση... Αν δεχθούµε ότι sup A = +, στην περίπτωση που το σύνολο A δεν είναι άνω ϕραγµένο, inf A =, στην περίπτωση που το σύνολο A δεν είναι κάτω ϕραγµένο, τότε κάθε υποσύνολο του R, ανεξάρτητα από το αν είναι ϕραγµένο ή όχι, έχει supremum infimum στη γενικευµένη πραγµατική ευθεία, δηλαδή στο σύνολο R = R { } {+ }.. Στην ειδική περίπτωση του κενού συνόλου, ϑέτουµε sup = inf = +. Αυτή η ϑεώρηση είναι συµβατή µε τη Σηµείωση.4) αν λάβουµε υπόψη το Θεώρηµα.. Θεώρηµα.3. Εστω A R. Αν υπάρχει το sup A αντίστοιχα το inf A) τότε αυτό είναι µοναδικό. Απόδειξη. Εστω ότι το sup A δεν είναι µοναδικό, δηλαδή υπάρχουν δυο supremum του A, τα M R M R µε M M. Τότε έχουµε Οµοίως sup A = M M άνω ϕράγµα του A M = sup A M. sup A = M M άνω ϕράγµα του A M = sup A M. Άρα M M M M, δηλαδή M = M, το οποίο είναι άτοπο, αφού υποθέσαµε ότι M M. Ανάλογα δουλεύουµε για το infimum. Θεώρηµα.4. Εστω A R. Τότε M = sup A αν µόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα τα ακόλουθα. x M, x A δηλαδή το M είναι άνω ϕράγµα του A).. ɛ > 0) x A) τέτοιο ώστε M ɛ < x. M-ε M A Απόδειξη. Εστω ότι M = sup A. Τότε προφανώς το M είναι άνω ϕράγµα του A. Επίσης, έστω ότι ɛ 0 > 0) x A) ισχύει M ɛ 0 x. Τότε το M ɛ 0 είναι ένα άνω ϕράγµα του A αφού M = sup A ϑα πρέπει να ισχύει ότι M M ɛ 0, πράγµα άτοπο αφού το ɛ 0 είναι ϑετικό. Αντίστροφα, έστω ότι ισχύουν τα ακόλουθα. x M, x A.. ɛ > 0) x A) τέτοιο ώστε M ɛ < x. Θα δείξουµε ότι M = sup A. Ας υποθέσουµε ότι M sup A. Τότε από το ) έχουµε ότι το M είναι άνω ϕράγµα του A, οπότε sup A M. Οµως υποθέσαµε ότι sup A M, συνεπώς sup A < M. Ετσι M 0 R) τέτοιο ώστε sup A < M 0 < M. Θεωρούµε το αριθµό ɛ 0 = M M 0. Προφανώς ɛ 0 > 0. Τότε από το ) υπάρχει x A τέτοιο ώστε x > M ɛ = M M M 0 ), δηλαδή x > M 0, το οποίο είναι άτοπο αφού x sup A < M 0. Συνεπώς το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. Θεώρηµα.5. Εστω A R. Τότε m = inf A αν µόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα τα ακόλουθα. m x, x A δηλαδή το m είναι κάτω ϕράγµα του A).

ΣΥΝΟΛΑ 5. ɛ > 0) x A) τέτοιο ώστε x < m + ɛ. Απόδειξη. Η απόδειξη είναι ανάλογη αυτής του Θεωρήµατος.4. Σηµείωση.6. Στα Θεωρήµατα.4.5 οι σχέσεις ɛ > 0) x A) τέτοιο ώστε M ɛ < x ɛ > 0) x A) τέτοιο ώστε x < m + ɛ αντίστοιχα, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύουν για µικρά ɛ, δηλαδή για ϑετικά ɛ που είναι οσοδήποτε κοντά στο µηδέν. Θεώρηµα.7. Εστω A R ένα µη κενό ϕραγµένο σύνολο B ένα µη κενό υποσύνολο του A. Τότε inf A inf B sup B sup A. Θεώρηµα.8. Εστω λ R A R ένα µη κενό ϕραγµένο σύνολο. Θέτουµε Τότε { λ sup A, λ 0. supλa) = λ inf A, λ < 0.. infλa) = { λ inf A, λ 0 λ sup A, λ < 0. λa = {λx : x A}. Θεώρηµα.9. Εστω ξ R A ένα µη κενό ϕραγµένο σύνολο. Θέτουµε Τότε. supξ + A) = ξ + sup A.. infξ + A) = ξ + inf A. ξ + A = {ξ + x : x A}. Θεώρηµα.30. Εστω A R, B R δύο µη κενά ϕραγµένα σύνολα. Θέτουµε Τότε. inf C = inf A + inf B,. sup C = sup A + sup B. C = {x : x = α + β, α A, β B}. Παράδειγµα.3. Εστω A = { ν : ν N }. Τότε sup A = inf A = 0. Πράγµατι, παρατηρούµε ότι ν <, ν N, συνεπώς το σύνολο A είναι άνω ϕραγµένο ένα άνω ϕράγµα είναι το ), οπότε έχει supremum. Επίσης ισχύει ότι ν 0, ν N, οπότε το A είναι κάτω ϕραγµένο ένα κάτω ϕράγµα είναι το 0), συνεπώς έχει infimum. Θα δείξουµε ότι sup A =, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα.4. Πράγµατι, έχουµε ήδη δείξει ότι το είναι άνω ϕράγµα του A. Επιπλέον, επιλέγουµε ένα τυχαίο ɛ > 0. Αναζητούµε x A τέτοιο ώστε ɛ < x. Αφού x A, το x έχει τη µορφή x = ν x,

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ συνεπώς αρκεί να ϐρούµε ένα ϕυσικό αριθµό ν x τέτοιο ώστε ή ισοδύναµα ɛ < ν x ν x > ɛ. Ενα τέτοιο ν x είναι το Συνοψίζοντας, έχουµε ότι ɛ > 0) x = [ ] +. ɛ ) [ ] A ɛ + τέτοιο ώστε ɛ < x. Αυτό, µαζί µε το ότι ο πραγµατικός αριθµός είναι άνω ϕράγµα του A, αποδεικνύει ότι sup A =. Για τη σχέση inf A = 0, αρκεί να παρατηρήσουµε ότι = 0, δηλαδή ο αριθµός µηδέν είναι στοιχείο του συνόλου A. Επίσης, έχουµε δείξει παραπάνω ότι το µηδέν είναι κάτω ϕράγµα του A, συνεπώς τελικά καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το σύνολο A έχει ελάχιστο, το µηδέν. Άρα inf A = min A = 0. Παράδειγµα.3. Εστω Τότε sup A = inf A = 3. Πράγµατι, παρατηρούµε ότι A = {x R : x + x + < }. x = 0 x = 0 x + = 0 x =. - x+>0 0 x>0 x+<0 x<0 ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις. x <. Τότε έχουµε x = x x + = x, οπότε x + x + < x) + x ) < x < x > 3. Συνεπώς τα στοιχεία του A που ταυτόχρονα ανήκουν στο διάστηµα, ) είναι τα { x R : x < x > 3 } = 3 ),.

ΣΥΝΟΛΑ 7. < x < 0. Τότε έχουµε x = x x + = x +, οπότε x + x + < x) + x + ) < <, άρα αυτή η ανισότητα δεν µας δίνει κανέναν επιπλέον περιορισµό για το x. Συνεπώς τα στοιχεία του A που ταυτόχρονα ανήκουν στο διάστηµα, 0) είναι ολόκληρο το διάστηµα, 0). Σηµειώνουµε εδώ ότι αν αντί της σχέσης < καταλήγαµε σε µία σχέση που δεν ισχύει ποτέ, π.χ. στην 3 <, τότε ϑα συµπεραίναµε ότι δεν υπάρχουν στοιχεία του A που να ανήκουν στο, 0). 3. 0 < x. Τότε έχουµε x = x x + = x +, οπότε x + x + < x + x + < x <. Συνεπώς, τα στοιχεία του A που ταυτόχρονα ανήκουν στο 0, + ) είναι τα { x R : x > 0 x < } = 0, ). Επίσης, προφανώς τα σηµεία 0 ανήκουν στο A, άρα A = 3 ),, 0) 0, ) {0} { } = 3, ). Ετσι προκύπτει άµεσα ότι sup A = inf A = 3. Επιπλέον, το σύνολο A δεν έχει ελάχιστο ούτε µέγιστο στοιχείο.

Κεφάλαιο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σηµείωση... Χωρίς αυτό να είναι αυστηρός µαθηµατικός ορισµός της έννοιας, µπορούµε να πούµε ότι αν A B είναι δυο σύνολα τότε µια συνάρτηση f από το A στο B είναι µια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου A αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο στοιχείο του συνόλου B. Το σύνολο A καλείται πεδίο ορισµού της f για τυχόν x A το fx) καλείται εικόνα του x µέσω της συνάρτησης f. Σηµειώνουµε ότι γενικά δεν απαιτείται κάθε στοιχείο του B να είναι εικόνα κάποιου στοιχείου του A. Αν όµως αυτό συµβαίνει, τότε το σύνολο B καλείται πεδίο τιµών της f λέµε ότι η f είναι ορισµένη στο A παίρνει τιµές στο B.. Γενικά το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f συµβολίζεται µε Df) το πεδίο τιµών της µε Rf). 3. Γεωµετρικά µια συνάρτηση παρίσταται µε το γράφηµα της. Για παράδειγµα, το γράφηµα της συνάρτησης f : [, 6] R µε τύπο fx) = x sin x + 0, x [, 6] δίνεται από το επόµενο σχήµα R f) f x) x 6 D f) Ορισµός.. Ας είναι f : A B µια συνάρτηση.. Η f καλείται αµφιµονοσήµαντη αν για τυχόντα x, y A ισχύει ότι. Η f καλείται επί αν ισχύει ότι Rf) = B, δηλαδή fx) = fy) x = y. y B) x A) τέτοιο ώστε fx) = y. 3. Αν η συνάρτηση f είναι αµφιµονοσήµαντη, τότε ορίζεται η συνάρτηση g : Rf) A µε τύπο gy) = x, y Rf), όπου το x είναι τέτοιο ώστε fx) = y. Η g καλείται αντίστροφη της f συµβολίζεται µε f. 4. Ας είναι C A. Η συνάρτηση g : C B µε τύπο gx) = fx), x C καλείται περιορισµός της f στο σύνολο C συµβολίζεται µε f C. 9

0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Σηµείωση.3. Προκειµένου για πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής ισχύουν τα ακόλουθα.. Μια συνάρτηση είναι αµφιµονοσήµαντη αν τυχούσα παράλληλη προς τον άξονα των x τέµνει το γρά- ϕηµα της f σε ένα το πολύ σηµείο. ΑΜΦΙΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ ΜΗ ΑΜΦΙΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ. Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. f y = x f Ορισµός.4. Ας είναι f : R R µια συνάρτηση. Η f καλείται περιοδική αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός T τέτοιος ώστε fx) = fx + T ), για κάθε x R. Ορισµός.5. Ας είναι f : A B g : C D δύο συναρτήσεις, τέτοιες ώστε Rf) C. Η σύνθεση της f µε την g, µε αυτή τη σειρά, συµβολίζεται µε g f ορίζεται να είναι η συνάρτηση g f : A D µε τύπο g f)x) = gfx)), x A. A C D f R f) g g 0 f Ορισµός.6. Ας είναι f : A R R µια συνάρτηση.. Η f καλείται αύξουσα αν για τυχόντα x, y A ισχύει ότι x > y fx) fy).

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η f καλείται γνησίως αύξουσα αν για τυχόντα x, y A ισχύει ότι x > y fx) > fy). 3. Η f καλείται ϕθίνουσα αν για τυχόντα x, y A ισχύει ότι x > y fx) fy). 4. Η f καλείται γνησίως ϕθίνουσα αν για τυχόντα x, y A ισχύει ότι x > y fx) < fy). 5. Η f καλείται µονότονη αν είναι αύξουσα ή ϕθίνουσα. 6. Η f καλείται γνησίως µονότονη αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως ϕθίνουσα. Ορισµός.7. Μια πραγµατική συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Df) καλείται ϕραγµένη στο A Df), αν υπάρχει αριθµός M τέτοιος ώστε fx) M, x A. Η f καλείται άνω ϕραγµένη στο A αν fx) M, x A, κάτω ϕραγµένη στο A αν fx) M, x A. Θεώρηµα.8. Εστω ότι f, g : A R είναι δυο ϕραγµένες συναρτήσεις. Αν ϑέσουµε sup f = sup{fx) : x A} inf f = inf{fx) : x A}, τα αντίστοιχα για τη συνάρτηση g, τότε ισχύουν τα ακόλουθα { k sup f,. sup{kf} = k inf f, k > 0 k < 0. { k inf f,. inf{kf} = k sup f, k > 0 k < 0. 3. sup{f + g} sup f + sup g. 4. inf{f + g} inf f + inf g. Ορισµός.9. Εστω f : D R, όπου D R.. Η f έχει τοπικό µέγιστο στο a D αν µόνο αν υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε fa) fx) για κάθε x a δ, a + δ) D. Τότε το fa) καλείται τοπικό µέγιστο της f στο σηµείο a.. Η f έχει τοπικό ελάχιστο στο a D αν µόνο αν υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε fa) fx) για κάθε x a δ, a + δ) D. Τότε το fa) καλείται τοπικό ελάχιστο της f στο σηµείο a. 3. Το τοπικό µέγιστο το τοπικό ελάχιστο της f καλούνται από κοινού τοπικά ακρότατα της f. 4. Αν υπάρχει a D τέτοιο ώστε fa) fx) για κάθε x D τότε το fa) καλείται ολικό µέγιστο της f στο D ή, αλλιώς, µέγιστο της f στο D. 5. Αν υπάρχει a D τέτοιο ώστε fa) fx) για κάθε x D τότε το fa) καλείται ολικό ελάχιστο της f στο D ή, αλλιώς, ελάχιστο της f στο D. 6. Το ολικό µέγιστο το ολικό ελάχιστο της f καλούνται από κοινού ολικά ακρότατα της f. Σηµείωση.0.. Το ολικό µέγιστο της f, αν αυτό υπάρχει, είναι ταυτόχρονα τοπικό µέγιστο της f. Οµοίως, το ολικό ελάχιστο της f, αν αυτό υπάρχει, είναι ταυτόχρονα τοπικό ελάχιστο της f.. Το ολικό µέγιστο της f, αν αυτό υπάρχει, είναι µοναδικό. Μπορεί, όµως, να λαµβάνεται σε περισσότερα από ένα σηµεία του πεδίου ορισµού της f. Οµοίως για το ολικό ελάχιστο. 3. Μια συνάρτηση µπορεί να έχει τοπικά µέγιστα τοπικά ελάχιστα χωρίς να έχει ολικό µέγιστο ολικό ελάχιστο. Για παράδειγµα, η fx) = x sin x, x [0, + ), όπως ϕαίνεται από το γράφηµα της, δεν έχει ολικό µέγιστο ούτε ολικό ελάχιστο, αλλά σε κάθε διάστηµα [νπ, ν + )π], ν N, έχει τοπικό µέγιστο το fνπ + π ) τοπικό ελάχιστο το fνπ + 3π ).

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ g x) = x f x) = x sin x) 0 g x) = -x Ορισµός.. µορφή όπου. Θεωρούµε το διάστηµα x, x ). Τότε το τυχαίο x x, x ) προφανώς γράφεται στη x = λx + λ)x, λ = x x x x. Σε αυτήν την περίπτωση λέµε ότι το x παριστάνεται µε έναν κυρτό συνδυασµό των άκρων x x. Παρατηρούµε επίσης ότι 0 < λ <.. Εστω I R ένα διάστηµα. Μια συνάρτηση f : I R καλείται κυρτή στο I, αν για κάθε λ µε 0 λ οποιαδήποτε x, x στο I ισχύει fλx + λ)x ) λfx ) + λ)fx ). 3. Μια συνάρτηση f καλείται κοίλη αν η f είναι κυρτή. ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΛΗ x λ x + - λ) x x x λ x + - λ) x x Σηµείωση.. Αν η f : I R είναι κυρτή x, x I, τότε η χορδή που συνδέει τα σηµεία x, fx )) x, fx )) του γραφήµατος της f ϐρίσκεται πάνω από το γράφηµα της f, ενώ αν η f είναι κοίλη τότε αυτή η χορδή ϐρίσκεται κάτω από το γράφηµα της f. Παράδειγµα.3. Η συνάρτηση fx) = x, x R, είναι κυρτή. Πράγµατι, για τυχόντα x, x R λ [0, ] έχουµε fλx + λ)x ) = λ x + λ λ)x x + λ) x. Οµως οπότε x x ) 0 x x x + x 0 x x x + x λ x + λ λ)x x + λ) x λ x + λ λ)x + x ) + λ) x = λ x + λx λ x + λx λ x + x λx + λ x = λx + λ)x = λfx ) + λ)fx ), τελικά έχουµε fλx + λ)x ) λfx ) + λ)fx ).

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3 Ορισµός.4.. Ας είναι c τυχαίος πραγµατικός αριθµός A τυχαίο υποσύνολο του R. Η συνάρτηση f : A R µε τύπο fx) = c, x A, καλείται σταθερή. c A. Ας είναι A τυχαίο υποσύνολο του R. Η συνάρτηση f : A R µε τύπο fx) = x, x A, καλείται ταυτοτική. A Ορισµός.5.. Αν a R µε a > 0 a, τότε η συνάρτηση f : R 0, + ) µε τύπο fx) = a x καλείται εκθετική µε ϐάση το a. a > 0 < a <. Η συνάρτηση f : 0, + ) R µε τύπο fx) = log a x καλείται λογαριθµική µε ϐάση το a είναι η αντίστροφη της εκθετικής µε την ίδια ϐάση.

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ a > 0 < a < Σηµείωση.6.. Ο συµβολισµός log αντιστοιχεί στο λογάριθµο µε ϐάση το e.. Αν a R µε a > 0 a, τότε για τυχόν x R ισχύει ότι a x = e x log a. Ορισµός.7 Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις).. Η συνάρτηση f : R [, ] µε τύπο fx) = sin x, x R, καλείται ηµίτονο. Η γραφική της παράσταση δίνεται από το επόµενο σχήµα. 0 π 3 π / π / π. Η συνάρτηση f : R [, ] µε τύπο fx) = cos x, x R, καλείται συνηµίτονο. Η γραφική της παράσταση δίνεται από το επόµενο σχήµα. 0 π π π / 3 π / 3. Η συνάρτηση f : R\{x : x = kπ + π, k Z} R µε τύπο fx) = tan x = sin x cos x καλείται εφαπτοµένη. Η γραφική της παράσταση δίνεται από το επόµενο σχήµα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 - π - π / 0 π / π 4. Η συνάρτηση f : R\{x : x = kπ, k Z} R µε τύπο fx) = cot x = cos x sin x καλείται συνεφαπτοµένη. Η γραφική της παράσταση δίνεται από το επόµενο σχήµα. - π - π / 0 π / π Ορισµός.8 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις).. Η συνάρτηση fx) = sin x, x R, δεν είναι αµφιµονοσήµαντη στο R άρα δεν υπάρχει η αντίστροφη της στο R. Αν όµως περιοριστούµε σε διαστήµατα της µορφής [ k = kπ π, kπ + π ], k Z, τότε η f είναι αµφιµονοσήµαντη στο k. Σε αυτό το διάστηµα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση, η οποία ονοµάζεται τόξο ηµιτόνου συµβολίζεται µε arc k sin. Ειδικά για k = 0, δηλαδή για το διάστηµα 0 = [ π, ] π, έχουµε το ϐασικό κλάδο των αντιστρόφων συναρτήσεων της sin που συµβολίζεται µε Arcsin, για τον οποίο ισχύει ότι [ Arcsin : [, ] π, π ]. Η γραφική παράσταση της Arcsin δίνεται από το επόµενο σχήµα π / - 0 - π /

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. Η συνάρτηση fx) = cos x, x R, δεν είναι αµφιµονοσήµαντη στο R άρα δεν υπάρχει η αντίστροφη της στο R. Αν όµως περιοριστούµε σε διαστήµατα της µορφής k = [kπ, kπ + π], k Z, τότε η f είναι αµφιµονοσήµαντη στο k. Σε αυτό το διάστηµα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση, η οποία ονοµάζεται τόξο συνηµιτόνου συµβολίζεται µε arc k cos. Ειδικά για k = 0, δηλαδή για το διάστηµα 0 = [0, π], έχουµε το ϐασικό κλάδο των αντιστρόφων συναρτήσεων της cos που συµβολίζεται µε Arccos, για τον οποίο ισχύει ότι Arccos : [, ] [0, π]. Η γραφική παράσταση της Arccos δίνεται από το επόµενο σχήµα π - 0 3. Η συνάρτηση fx) = tan x, x R, δεν είναι αµφιµονοσήµαντη στο R άρα δεν υπάρχει η αντίστροφη της στο R. Αν όµως περιοριστούµε σε διαστήµατα της µορφής k = kπ π, kπ + π ), k Z, τότε η f είναι αµφιµονοσήµαντη στο k. Σε αυτό το διάστηµα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση, η οποία ονοµάζεται τόξο εφαπτοµένης συµβολίζεται µε arc k tan. Ειδικά για k = 0, δηλαδή για το διάστηµα 0 = π, ) π, έχουµε το ϐασικό κλάδο των αντιστρόφων συναρτήσεων της tan που συµβολίζεται µε Arctan, για τον οποίο ισχύει ότι Arctan : R π, π ). Η γραφική παράσταση της Arctan δίνεται από το επόµενο σχήµα π / 0 - π / 4. Η συνάρτηση fx) = cot x, x R, δεν είναι αµφιµονοσήµαντη στο R άρα δεν υπάρχει η αντίστροφη της στο R. Αν όµως περιοριστούµε σε διαστήµατα της µορφής k = kπ, kπ + π), k Z,

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 τότε η f είναι αµφιµονοσήµαντη στο k. Σε αυτό το διάστηµα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση, η οποία ονοµάζεται τόξο συνεφαπτοµένης συµβολίζεται µε arc k cot. Ειδικά για k = 0, δηλαδή για το διάστηµα 0 = 0, π), έχουµε το ϐασικό κλάδο των αντιστρόφων συναρτήσεων της cot που συµβολίζεται µε Arccot, για τον οποίο ισχύει ότι Arccot : R 0, π). Η γραφική παράσταση της Arccot δίνεται από το επόµενο σχήµα π π / 0 Ορισµός.9 Υπερβολικές Συναρτήσεις).. Υπερβολικό Συνηµίτονο: cosh x = ex + e x, x R. 3. Υπερβολική Εφαπτοµένη: tanh x = sinh cosh = ex e x +, x R. 4. Υπερβολική Συνεφαπτοµένη: coth x = cosh sinh = ex + e x, x R.. Υπερβολικό Ηµίτονο: sinh x = ex e x, x R. Ορισµός.0 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις). Οι συναρτήσεις που ακολουθούν προκύπτουν ως αντίστροφες των υπερβολικών συναρτήσεων.. Τόξο Υπερβολικού Ηµιτόνου: Arcsinhx = log x + ) x +, x R.. Τόξο Υπερβολικού Συνηµιτόνου: Η συνάρτηση υπερβολικό συνηµίτονο δεν είναι αµφιµονοσήµαντη στο R, συνεπώς δεν υπάρχει η αντίστροφη της σε αυτό το σύνολο. Αν όµως περιοριστούµε στο διάστηµα, 0] ή στο [0, + ) τότε σε καθένα από αυτά η cosh είναι αµφιµονοσήµαντη, οπότε υπάρχει η αντίστροφη της. Η αντίστροφη που αντιστοιχεί στο διάστηµα, 0] συµβολίζεται µε Arc cosh δίνεται από τον τύπο Arc coshx = log x ) x, x [, + ), ενώ η αντίστροφη που αντιστοιχεί στο διάστηµα [0, + ) συµβολίζεται µε Arc + cosh δίνεται από τον τύπο Arc + coshx = log x + ) x, x [, + ). 3. Τόξο Υπερβολικής Εφαπτοµένης: Arctanhx = log + x, x, ). x 4. Τόξο Υπερβολικής Συνεφαπτοµένης: Arccothx = log x +, x R\[, ]. x

Κεφάλαιο 3 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισµός 3.. Μία συνάρτηση a : N R καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Σηµείωση 3... Η ακολουθία αντιστοιχεί σε κάθε ϕυσικό αριθµό ένα µονοσήµαντα ορισµένο πραγ- µατικό αριθµό.. Η τιµή της ακολουθίας στο ν N συµβολίζεται µε a ν αντί του aν) που χρησιµοποιείται στις συναρτήσεις. 3. Η ακολουθία συµβολίζεται µε a ν ) ν N ή a ν, ν N. 4. Ο αριθµός a ν λέγεται ν-οστός όρος της ακολουθίας. Σηµείωση 3.3. Μία ακολουθία µπορεί να οριστεί µε δύο τρόπους :. Αναλυτικός τρόπος, π.χ. a ν = ν.. Αναγωγικός τρόπος, π.χ. a = 0, a =, a ν+ = a ν + a ν ), ν =, 3,... Ορισµός 3.4. Το πεδίο τιµών ή σύνολο τιµών µίας ακολουθίας συµβολίζεται µε an) ορίζεται ως an) = {x R : ν N) τέτοιο ώστε a ν = x}. Σηµείωση 3.5. Το σύνολο τιµών µίας ακολουθίας οι όροι µίας ακολουθίας είναι δύο διαφορετικές έννοιες. Ετσι, για την ακολουθία a ν = k, k = σταθερά, ν =,, 3,..., η οποία ονοµάζεται σταθερή, έχουµε ότι το σύνολο τιµών της είναι το µονοσύνολο {k}, ενώ οι όροι της είναι οι a = k, a = k, a 3 = k,... Οµοίως, για την ακολουθία a =, a =, a ν = ν, ν = 3, 4,..., έχουµε ότι το σύνολο τιµών της είναι το {, 3, 4 },..., ενώ οι όροι της είναι οι a =, a =, a 3 = 3, a 4 = 4,... Ορισµός 3.6. Η ακολουθία a ν, ν N, λέµε ότι συγκλίνει στο l ή ότι έχει όριο το l γράφουµε a ν = l R αν ισχύει ότι ɛ > 0) ν 0 N) ν N) ν ν 0 a ν l ɛ. l+ε l a ν l-ε ν 0 ν 9

0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Σηµείωση 3.7.. Το ν 0 εξαρτάται από το ɛ είναι το Ϲητούµενο που πρέπει να προσδιοριστεί για να δείξουµε τη σύγκλιση µιας ακολουθίας.. Ο Ορισµός 3.6 αρκεί να αποδειχθεί για όλα τα µικρά ɛ > 0, δηλαδή για ɛ > 0 οσοδήποτε κοντά στο µηδέν. 3. Η ανισότητα a ν l ɛ µπορεί να αντικατασταθεί από την a ν l kɛ, όπου k είναι µια ϑετική σταθερά ανεξάρτητη του ɛ. 4. Αν µια ακολουθία συγκλίνει στο µηδέν, τότε αυτή καλείται µηδενική ακολουθία. 5. Το όριο µιας ακολουθίας έχει νόηµα µόνο όταν το ν τείνει στο +. Παράδειγµα 3.8. Η ακολουθία a ν = ν, ν N, είναι µηδενική. Πράγµατι, αρκεί να δείξουµε ότι ɛ > 0) ν 0 N) ν N) ν ν 0 ν ɛ. Εχουµε συνεπώς για ν ɛ ν ɛ ν ɛ, ν 0 = [ ] + ɛ έχουµε το Ϲητούµενο. Παράδειγµα 3.9. Η ακολουθία a ν = 5ν 4 3ν, ν N, έχει όριο το 5 3. Πράγµατι, έχουµε 5ν 4 [ 3ν = 5 3 ɛ > 0) ν 0 N) ν N)ν ν 0 5ν 4 3ν + 5 ] 3 < ɛ, οπότε αφού πρέπει να ισχύει ότι ή ισοδύναµα Επιλέγουµε λοιπόν 5ν 4 3ν + 5 3 = 33ν ) ν 0 = 33ν ) < ɛ ν > 3 ) 3ɛ +. [ )] 3 3ɛ + + έχουµε το Ϲητούµενο. Παράδειγµα 3.0. Η ακολουθία a ν = ) ν, ν N, δε συγκλίνει. - 3 4

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Πράγµατι, έστω ότι συγκλίνει στον πραγµατικό αριθµό l. Θα καταλήξουµε σε άτοπο. Εχουµε ) ν = l [ ɛ > 0) ν 0 N) ν N)ν > ν 0 ) ν l < ɛ]. Αφού η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε ɛ > 0, ισχύει για ɛ = 4, οπότε έχουµε ) ν l < 4.. Αν ν = k, k N, τότε ) ν = ) k =, οπότε ) ν l < 4 l < 4 3 4 < l < 5 4.. Αν ν = k +, k N, τότε ) ν = ) k+ =, οπότε ) ν l < 4 l < 4 5 4 < l < 3 4. Άρα το l πρέπει να ικανοποιεί ταυτόχρονα τις σχέσεις 3 4 < l < 5 4 5 4 < l < 3 4, το οποίο είναι άτοπο. Συνεπώς, η ακολουθία a ν ) ν N δεν έχει όριο. Θεώρηµα 3.. Αν µια ακολουθία έχει όριο, τότε αυτό είναι µοναδικό. Απόδειξη. Εστω ότι a ν = l ταυτόχρονα a ν = m, µε l m. Τότε έχουµε καθώς a ν = l [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν a ν l < ɛ] a ν = m [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν a ν m < ɛ]. Συνεπώς για ν 0 = max{ν, ν } ɛ = 4 l m > 0, έχουµε l m = l a ν ) + a ν m) l a ν + a ν m < ɛ = l m, δηλαδή l m < l m που είναι άτοπο. Ορισµός 3.. Μια ακολουθία a ν ) ν N καλείται ϕραγµένη αν το πεδίο τιµών της είναι ϕραγµένο, δηλαδή αν M R) τέτοιο ώστε a ν M, ν N. Θεώρηµα 3.3. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ϕραγµένη. Ἀπόδειξη. Εστω ότι a ν = l. Τότε έχουµε ɛ > 0) ν 0 N) ν N) ν > ν 0 a ν l < ɛ οπότε για ɛ = ισχύει ότι Συνεπώς για ν > ν 0 έχουµε ν 0 N) ν N) ν > ν 0 a ν l <. a ν = a ν l) + l a ν l + l < + l. Θέτουµε M = max{ a, a,..., a ν0, + l }. Τότε, σύµφωνα µε τα παραπάνω, έχουµε a ν M, για όλα τα ν N, δηλαδή η a ν ) ν N είναι ϕραγµένη. Σηµείωση 3.4.. Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 3.3 δεν ισχύει γενικά, π.χ. η ακολουθία a ν = ) ν, ν N, ενώ είναι ϕραγµένη αφού ) ν, ν N) δε συγκλίνει.. Το Θεώρηµα 3.3 µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως αρνητικό κριτήριο, δηλαδή αν µια ακολουθία δεν είναι ϕραγµένη τότε σίγουρα δε συγκλίνει. Παράδειγµα 3.5. Οι ακολουθίες a ν = ν, ν N, b ν = ) ν ν, ν N, δεν συγκλίνουν. Πράγµατι, για την ακολουθία a ν, ν N, παρατηρούµε ότι δεν είναι ϕραγµένη, αφού αν ήταν ϑα έπρεπε να υπάρχει M R τέτοιο ώστε a ν = ν M, ν N, ή ισοδύναµα ν M, ν N, που είναι άτοπο µιας δεν ισχύει π.χ. για ν = [M ] +. Άρα, αφού δεν είναι ϕραγµένη, δεν είναι ούτε συγκλίνουσα. Οµοίως, η ακολουθία b ν, ν N, δεν είναι ϕραγµένη, αφού αν ήταν ϑα έπρεπε να υπάρχει M R τέτοιο ώστε b ν = ) ν ν M, ν N, ή ισοδύναµα ν M, ν N, που είναι άτοπο µιας δεν ισχύει π.χ. για ν = [M] +. Άρα, αφού δεν είναι ϕραγµένη, δεν είναι ούτε συγκλίνουσα.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός 3.6. Εστω a ν ) ν N µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών k ν ) ν N, µια ακολουθία ϕυσικών αριθµών τέτοια ώστε k < k <... < k ν <.... Τότε η ακολουθία b ν = a kν, ν N, καλείται υπακολουθία της a ν ) ν N. 3.... k k k3.... a a a.... k k k3 Σηµείωση 3.7.. Αν από µια ακολουθία παραλείψουµε µερικούς όρους κατά τρόπο ώστε αυτοί που ϑα αποµείνουν να είναι άπειροι στο πλήθος, τότε οι όροι που αποµένουν αποτελούν µια υπακολουθία της αρχικής.. Για την k ν ) ν N ισχύει ότι k ν ν, ν N. Παράδειγµα 3.8. Η ακολουθία a ν = ) ν, ν N, έχει ως υπακολουθίες, µεταξύ άλλων, τις a ν = ) ν =, ν N Επίσης, η ακολουθία a ν = ) ν =, ν N. b ν = cos νπ, ν N, έχει ως υπακολουθίες, µεταξύ άλλων, τις b 4ν = cos 4νπ =, ν N, 4ν )π b 4ν = cos = 0, ν N, 4ν )π b 4ν = cos =, ν N b 4ν 3 = cos 4ν 3)π = 0, ν N. Θεώρηµα 3.9. Αν a ν = l a kν ) ν N είναι µια υπακολουθία της a ν ) ν N, τότε a kν = l. Απόδειξη. Εχουµε a ν = l [ ɛ > 0) ν 0 N) ν N)ν > ν 0 a ν l < ɛ]. Οµως ισχύει ότι k ν ν, ν N, οπότε έχουµε ν > ν 0 k ν ν > ν 0, συνεπώς δηλαδή a kν = l. ɛ > 0) ν 0 N) ν N)ν > ν 0 a kν l < ɛ, Σηµείωση 3.0.. Αν a kν = l τότε δε συνεπάγεται αναγκαστικά ότι a ν = l. Πράγµατι, για την ακολουθία a ν = ) ν, ν N, την υπακολουθία της a ν = ) ν =, ν N, έχουµε a ν = ενώ το όριο της a ν ) ν N δεν υπάρχει, όπως δείξαµε στο Παράδειγµα 3.0.. Το Θεώρηµα 3.9 µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως αρνητικό κριτήριο, δηλαδή αν µια υπακολουθία της a ν ) ν N δε συγκλίνει, τότε η a ν ) ν N δε συγκλίνει.

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 3. Αν υπάρχουν δυο υπακολουθίες της a ν ) ν N που συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια, τότε η a ν ) ν N δε συγκλίνει, π.χ. η a ν = ) ν, ν N, δε συγκλίνει γιατί a ν = ) ν = ενώ a ν = ) ν =. 4. Αν µια ακολουθία είναι ϕραγµένη, τότε κάθε υπακολουθία της είναι επίσης ϕραγµένη. 5. Κάθε ακολουθία είναι υπακολουθία του εαυτού της για k ν = ν, ν N). 6. Αν γνωρίζουµε ότι µια ακολουθία συγκλίνει, τότε για να ϐρούµε το όριο της αρκεί να ϐρούµε το όριο µιας οποιασδήποτε υπακολουθίας της. Θεώρηµα 3.. Μία ακολουθία a ν ) ν N συγκλίνει αν µόνο αν οι υπακολουθίες a ν ) ν N a ν ) ν N συγκλίνουν στο ίδιο όριο. Απόδειξη. Εστω ότι a ν = l. Τότε γνωρίζουµε ότι όλες οι υπακολουθίες της a ν ) ν N συγκλίνουν στο l, οπότε a ν = a ν = l. Αντίστροφα, έστω ότι a ν = a ν = l. Θα δείξουµε ότι a ν = l. Εχουµε a ν = l [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν a ν l < ɛ] a ν = l [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν a ν l < ɛ]. Θέτουµε ν 0 = max{ν, ν }. Ετσι ɛ > 0) ν 0 N) ν N) µε ν > ν 0 ισχύει. αν ν = k τότε ν > ν 0 k > ν 0 ν k > ν a k l < ɛ a ν l < ɛ.. αν ν = k τότε ν > ν 0 k > ν 0 ν k > ν a k l < ɛ a ν l < ɛ. Άρα σε κάθε περίπτωση έχουµε a ν l < ɛ, ν > ν 0, οπότε a ν = l. Θεώρηµα 3.. Αν οι ακολουθίες a ν ) ν N b ν ) ν N είναι συγκλίνουσες επιπλέον ν N) τέτοιο ώστε ν N) µε ν > ν συνεπάγεται ότι a ν b ν, τότε a ν b ν. Απόδειξη. Εχουµε Ετσι, για ν > max{ν, ν, ν 3 } έχουµε a ν = l [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν a ν l < ɛ] b ν = m [ ɛ > 0) ν 3 N) ν N)ν > ν 3 b ν m < ɛ]. l ɛ < a ν b ν < ɛ + m l ɛ < ɛ + m l m < ɛ. Συνεπώς ισχύει ότι ɛ > 0) l m < ɛ. Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι l m. Πράγµατι, έστω ότι l m > 0. Τότε για ɛ = l m 4 έχουµε l m < l m 4 = l m που είναι άτοπο. Άρα l m 0, δηλαδή a ν b ν. Θεώρηµα 3.3. Αν a ν = l b ν = m, τότε. a ν ± b ν ) = l ± m.. ka ν ) = kl, k R. 3. a ν b ν ) = lm. 4. a ν b ν 0 < l m < l m = l m, αν b ν 0, ν N, m 0. Σηµειώνουµε εδώ ότι το a ν b ν αν b ν = m = 0, π.χ. αν a ν = ν, ν N, b ν = ν, ν N. Τότε a ν b ν δεν ισχύει η ισότητα, αφού το l m δεν ορίζεται. µπορεί να υπάρχει ακόµα =, αλλά προφανώς

4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 5. a ν = l. Σηµειώνουµε ότι το αντίστροφο ισχύει µόνο αν l = 0, γιατί π.χ. για την ακολουθία a ν = ) ν+, ν N, έχουµε a ν = ) ν+ =, ενώ το a ν δεν υπάρχει, αφού a ν = a ν =. 4-3 6. a ν = l, αν a ν 0, ν N. Σηµείωση 3.4. Είναι απαραίτητο να εξασφαλίσουµε ότι τα a ν b ν υπάρχουν πριν εφαρµόσουµε το Θεώρηµα 3.3, γιατί π.χ. για τις ακολουθίες a ν = ) ν, ν N, b ν = ) ν+, ν N, έχουµε ενώ τα ) ν ) ν+ δεν υπάρχουν. Παράδειγµα 3.5. Εχουµε Οµοίως έχουµε a ν + b ν ) = ) ν + ) ν+) = 0 = 0, 7ν3 6ν + 5ν + 4 5ν 3 + ν + ν = 7 6 ν + 5 ν + 4 ν 3 5 + ν + ν = 7 5. ν ν + = ν + = 0. ν Παράδειγµα 3.6. Αν a R µε a <, τότε a ν = 0. / /4 /6 3 Πράγµατι, αν a = 0 τότε προφανώς 0 ν = 0. Αν a 0 τότε a >, οπότε θ > 0) τέτοιο ώστε a = + θ έτσι, χρησιµοποιώντας την ανισότητα Bernoulli, έχουµε για τυχόν ν N ότι a ν = + θ)ν + νθ > νθ a ν < θ ν. Οµως ν = 0 οπότε αφού a ν 0 έχουµε a ν = 0. Συνεπώς, αν a <, τότε ισχύει ότι a ν = 0. Παράδειγµα 3.7. Αν a 0, + ), τότε ν a =.

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 α> α< α α α 3 α 3 α α 3 3 Πράγµατι, αν a =, τότε προφανώς ν =. Αν a >, τότε ν a > συνεπώς ω ν > 0) τέτοιο ώστε ν a = + ω ν οπότε από την ανισότητα Bernoulli έχουµε a = + ω ν ) ν + νω ν ω ν a. ν Οµως a = a ) ν ν = 0 οπότε αφού ω ν 0 ισχύει ότι ω ν = 0 έτσι Αν 0 < a < τότε δ ν > 0) τέτοιο ώστε ν a = + ω ν ) =. ν a = + δ ν οπότε από την ανισότητα Bernoulli έχουµε ) ν a = < 0 < δ ν < + δ ν + νδ ν νδ ν νa οπότε δ ν = 0 έτσι ν a =. Συνεπώς, αν a 0, + ), τότε ισχύει ότι ν a =. Παράδειγµα 3.8. Ισχύει ότι ν ν =. Πράγµατι, για τυχόν ν N έχουµε ν ν οπότε ν ν = +δ ν για κάποιο δ ν 0. Ετσι από την ανισότητα Bernoulli έχουµε ν ν ) ν = + δν ) ν ν = + δ ν ) ν + νδ ν > νδ ν δ ν < ν. Οµως ν 0 οπότε δ ν 0 έτσι έχουµε ν ν = + δ ν ν ν = + δ ν ) = + δ ν + δ ν ν ν = + δ ν + δ ν) =. Σηµειώνουµε εδώ ότι, για να υπολογίσουµε το όριο ν-οστής ϱίζας, ϑεωρούµε την kν ϱίζα, όπου k είναι ένας ϕυσικός αριθµός µεγαλύτερος κατά από τον ϐαθµό της υπόριζης ποσότητας, π.χ. για να υπολογίσουµε το ν ν + ν παίρνουµε την 3ν ν + ν >. Παρατηρούµε ότι ν + ν.

6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Παράδειγµα 3.9. Ισχύει ότι Οµοίως έχουµε ν + )ν + 3) ν 5ν + 6 ν + )ν + 3) ν) = = ν + )ν + 3) + ν ν + 5ν + 6 + ν ν ) 5 + 6 ν = [ ] = 5 ν + 5 ν + 6 ν +. ν + ν ν ν) = ν + ν ν + ν ν + ν + ν ν = ν ν [ + ν + ] =. ν Θεώρηµα 3.30. Εστω a ν ) ν N µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών, ν 0 N, b ν ) ν N η ακολουθία που ορίζεται από τον τύπο b ν = a ν0 +ν, ν N, b ν = l. Τότε a ν = l. Απόδειξη. Εχουµε b ν = l [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν b ν l < ɛ]. Ετσι, για ν > ν 0 + ν έχουµε a ν l = b ν ν0 l < ɛ, δηλαδή a ν = l. Παράδειγµα 3.3. Αν a ν 0, ν N, a ν+ a ν = k <, τότε a ν = 0. Πράγµατι, για λ R µε k < λ < ɛ = λ k έχουµε ] a ν+ a ν [ ν = k 0 N) ν N)ν ν 0 a ν+ a ν k < λ k, οπότε για κάθε ν ν 0 ισχύει a ν+ a ν = a ν+ a ν k + k a ν+ a ν k + k < λ k + k = λ, δηλαδή Συνεπώς, για τυχόν ρ N, έχουµε a ν+ λ a ν, ν ν 0. a ν0 + < λ a ν0, a ν0 + < λ a ν0 +,..., a ν0 +ρ < λ a ν0 +ρ. Πολλαπλασιάζοντας τις προηγούµενες σχέσεις κατά µέλη, έχουµε Οµως λ ρ 0, όταν ρ +, αφού λ <, οπότε a ν0 +ρ < λ ρ a ν0. a ν 0 +ρ = 0, ρ + συνεπώς από το Θεώρηµα 3.30 έχουµε ότι a ν = 0. Εφαρµόζοντας το παραπάνω για την ακολουθία a ν = ν ν!, ν N, έχουµε οπότε ν+ ν+)! ν ν)! = ν ν)!ν+) ν ν)! ν ν! = 0. = ν + 0,

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 7 Θεώρηµα 3.3 Θεώρηµα Ισοσυγκλινουσών Ακολουθιών). Αν a ν ) ν N, b ν ) ν N c ν ) ν N είναι ακολου- ϑίες τέτοιες ώστε a ν b ν c ν, ν N, a ν = l = c ν, τότε η b ν ) ν N είναι συγκλίνουσα b ν = l. Απόδειξη. Εχουµε a ν = l [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν a ν l < ɛ] c ν = l [ ɛ > 0) ν N) ν N)ν > ν c ν l < ɛ]. Ετσι, για ν 0 = max{ν, ν } τυχόν ν > ν 0 έχουµε ότι δηλαδή b ν = l. Παράδειγµα 3.33. Ισχύει ότι [νa] ν l ɛ < a ν b ν c ν < l + ɛ l ɛ < b ν < l + ɛ b ν l < ɛ, = a, a R. Πράγµατι, έχουµε νa [νa] νa a ν [νa] ν Οµως a ν ) = a a = a, άρα από το Θεώρηµα Ισοσυγκλινουσών Ακολουθιών έχουµε ότι [νa] ν = a. a. Παράδειγµα 3.34. Εστω ότι a ν = l > 0. Τότε ν a ν =. Πράγµατι [ a ν = l ν 0 N) ν N)ν > ν 0 a ν l < l ]. Οµως ενώ a ν l < l l < a ν < 3l l ν < ν 3l a ν < ν ν l = = ν 3l. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 3.30 το Θεώρηµα Ισοσυγκλινουσών Ακολουθιών, έχουµε ότι ν a ν =. Ορισµός 3.35. Η ακολουθία a ν ) ν N καλείται. αύξουσα αν a ν+ a ν, ν N.. γνησίως αύξουσα αν a ν+ > a ν, ν N. 3. ϕθίνουσα αν a ν+ a ν, ν N. 4. γνησίως ϕθίνουσα αν a ν+ < a ν, ν N. 5. µονότονη αν είναι αύξουσα ή ϕθίνουσα. 6. γνησίως µονότονη αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως ϕθίνουσα. Παράδειγµα 3.36. Η ακολουθία είναι αύξουσα αφού για τυχόν ν N έχουµε ν = a ν+ a ν = a ν = ν 7 3ν +, ν N, ν + ) 7 3ν + ) + ν 7 3ν + = 5 3ν + 5)3ν + ) > 0, άρα ν > 0 a ν+ a ν > 0 a ν+ > a ν, ν N.

8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Παράδειγµα 3.37. Η ακολουθία a ν = ν, ν N, είναι ϕθίνουσα, αφού για τυχόν ν N έχουµε a ν+ a ν = ν+ ν = <, άρα a ν+ < a ν, ν N. Σηµειώνουµε εδώ ότι αυτός ο τρόπος µπορεί να χρησιµοποιηθεί µόνο αν όλοι οι όροι της ακολουθίας έχουν το ίδιο πρόσηµο. Παράδειγµα 3.38. Η ακολουθία a ν ) ν N, µε a = a ν+ = 4 a ν +3), ν N, είναι γνησίως αύξουσα. Πράγµατι, έχουµε Επίσης, έστω ότι ισχύει a ν < a ν+. Τότε a = < 5 4 = a. a ν < a ν+ 4 a ν + 3) < 4 a ν+ + 3) a ν+ < a ν+. Άρα σύµφωνα µε τη µαθηµατική επαγωγή έχουµε ότι η a ν ) ν N είναι γνησίως αύξουσα. Παράδειγµα 3.39. Η ακολουθία a ν ) ν N, µε a = είναι γνησίως αύξουσα. Πράγµατι, παρατηρούµε ότι a ν+ = 4 + 3a ν 3 + a ν, ν N, ν+ = a ν+ a ν+ = 4 + 3a ν+ 4 + 3a ν = 3 + a ν+ 3 + a ν 3 + a ν+ )3 + a ν ) ν, δηλαδή δυο διαδοχικές διαφορές διατηρούν πρόσηµο µηδενίζονται ταυτόχρονα, άρα η ακολουθία είναι µονότονη. Επιπλέον, έχουµε ότι οπότε η ακολουθία είναι αύξουσα. Ακόµη, ισχύει ότι = a a = 5 > 0, a ν+ = a ν 4 + 3a ν 3 + a ν = a ν a ν =, το οποίο όµως είναι αδύνατο, αφού όπως προκύπτει από τον τύπο της ακολουθίας, όλοι οι οροι της είναι ϱητοί αριθµοί. Συνεπώς η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Θεώρηµα 3.40. Εστω a ν ) ν N µια µονότονη ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Η a ν ) ν N συγκλίνει αν µόνο αν είναι ϕραγµένη. Ειδικότερα,. αν η a ν ) ν N είναι αύξουσα ϕραγµένη, τότε a ν = sup{a ν, ν N}.. αν η a ν ) ν N είναι ϕθίνουσα ϕραγµένη, τότε a ν = inf{a ν, ν N}. Απόδειξη. Αν η a ν ) ν N είναι συγκλίνουσα τότε, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 3.3, η a ν ) ν N είναι ϕραγµένη. Αντίστροφα, έστω ότι η a ν ) ν N είναι ϕραγµένη. Θα εξετάσουµε την περίπτωση η a ν ) ν N να είναι αύξουσα. Η περίπτωση να είναι ϕθίνουσα εξετάζεται ϑεωρώντας την a ν ) ν N. Αφού η a ν ) ν N είναι ϕραγµένη, το σύνολο {a ν, ν N} είναι ϕραγµένο, συνεπώς έχει supremum έστω ότι sup{a ν, ν N} = l. Τότε, για τυχόν ɛ > 0 υπάρχει k N τέτοιο ώστε a k > l ɛ. Οµως η a ν ) ν N είναι αύξουσα, οπότε για τυχόν ν > k έχουµε l ɛ < a k a ν l + ɛ a ν l < ɛ, δηλαδή a ν = l. Σηµείωση 3.4.. Αν η a ν ) ν N είναι ϕθίνουσα, τότε η ακολουθία a ν ) ν N είναι αύξουσα.. Αν µια ακολουθία δεν είναι µονότονη, τότε µπορεί να είναι ϕραγµένη χωρίς να συγκλίνει, π.χ. η a ν = ) ν, ν N. Αν όµως συγκλίνει, τότε υποχρεωτικά είναι ϕραγµένη. 3. Μια ακολουθία µπορεί να συγκλίνει χωρίς να είναι µονότονη, π.χ. η a ν = )ν ν, ν N.

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 9 Παράδειγµα 3.4. Η ακολουθία a ν ) ν N, µε a = a ν+ = + + a ν, ν, συγκλίνει µάλιστα a ν =. Πράγµατι, παρατηρούµε ότι ισχύει a ν, ν N. Επιπλέον, έχουµε ) a ν+ a ν+ = + + ) a ν+ a ν ) = + a ν+ + a ν + a ν ) + a ν+ ), δηλαδή δύο διαδοχικές διαφορές έχουν αντίθετο πρόσηµο, συνεπώς η a ν ) ν N δεν είναι µονότονη. Οµως ισχύει ότι ) ) a ν a ν a ν+ a ν = + + = + a ν+ + a ν 3 + a ν )3 + a ν ), δηλαδή οι υπακολουθίες a ν ) ν N a ν ) ν N είναι µονότονες. Ειδικότερα, έχουµε άρα η a ν ) ν N είναι ϕθίνουσα ενώ από την a 4 a = < 0, a 3 a = 5 > 0 προκύπτει ότι η a ν ) ν N είναι αύξουσα. Συνεπώς η a ν ) ν N είναι ϕθίνουσα ϕραγµένη, άρα συγκλίνει έστω ότι a ν = l. Οµοίως η a ν ) ν N είναι αύξουσα ϕραγµένη, άρα συγκλίνει έστω ότι a ν = m. Τότε έχουµε a ν = + a ν = + + a ν l = + + m lm = m l m = + lm = m l). + a ν + l Από τις δυο τελευταίες σχέσεις έχουµε m l = m l) οπότε m l = 0, δηλαδή m = l. Άρα a ν = a ν = l = m, συνεπώς σύµφωνα µε το Θεώρηµα 3. έχουµε ότι a ν = l. Επίσης έχουµε οπότε τελικά ισχύει ότι a ν =. l = + + l l =, Θεώρηµα 3.43. Αν a ν ) ν N είναι µια µονότονη ακολουθία πραγµατικών αριθµών a kν ) ν N είναι µια υπακολουθία της που συγκλίνει στο l, τότε a ν = l. Ορισµός 3.44. Μια ακολουθία a ν ) ν N λέµε ότι έχει όριο το + αντ. το ) γράφουµε a ν = + αντ. a ν = ) αν µόνο αν ɛ > 0) ν 0 N) ν N)ν > ν 0 a ν > αντ. a ν < ). ɛ ɛ Θεώρηµα 3.45. Εστω a ν ) ν N b ν ) ν N δυο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών τέτοιες ώστε a ν b ν, ν N. Τότε. αν a ν = + ισχύει ότι b ν = +.. αν b ν = ισχύει ότι a ν =. Απόδειξη. Θα κάνουµε την απόδειξη για το ), ενώ η απόδειξη για το ) είναι ανάλογη. Εχουµε [ a ν = + ɛ > 0) ν 0 N) ν N)ν > ν 0 a ν > ]. ɛ Οµως οπότε b ν = +. ɛ < a ν b ν, για ν > ν 0,

30 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Παράδειγµα 3.46. Αν a > τότε a ν = +. Πράγµατι, αφού a >, υπάρχει b > 0 τέτοιο ώστε a = + b, οπότε µε τη ϐοήθεια της ανισότητας Bernoulli έχουµε Οµως bν) = + άρα ισχύει ότι a ν = +. a ν = + b) ν + νb > νb. Θεώρηµα 3.47. Αν a ν ) ν N b ν ) ν N είναι τέτοιες ώστε b ν 0, ν N, επιπλέον a ν b ν = l, l > 0, τότε ισχύει ότι a ν = + b ν = +. Ορισµός 3.48. Η a ν ) ν N καλείται ακολουθία του Cauchy ή ϐασική ακολουθία αν ισχύει το ακόλουθο ɛ > 0) ν 0 N) ν, µ N)ν > ν 0, µ > ν 0 a ν a µ < ɛ. Σηµείωση 3.49. Ο Ορισµός 3.48 µπορεί να πάρει την ισοδύναµη µορφή : a ν ) ν N ϐασική [ ɛ > 0) ν 0 N) ν N)ν > ν 0 k N) a ν+k a ν < ɛ]. Θεώρηµα 3.50. Η a ν ) ν N συγκλίνει αν µόνο αν είναι ακολουθία του Cauchy. Σηµείωση 3.5.. Με ϐάση το Θεώρηµα 3.50, για να δείξουµε ότι µια ακολουθία συγκλίνει αρκεί να δείξουµε ότι είναι ακολουθία του Cauchy. Από τον ορισµό της ϐασικής ακολουθίας, παρατηρούµε ότι δεν χρειάζεται να έχουµε καµία εκ των προτέρων γνώση για την τιµή του ορίου. Συνεπώς, το Θεώρηµα 3.50 µας δίνει έναν τρόπο να αποδείξουµε ότι µια ακολουθία συγκλίνει χωρίς να γνωρίζουµε την τιµή του ορίου της, κάτι που αποτελεί πλεονέκτηµα σε σχέση µε τον ορισµό του ορίου.. Αν αποδείξουµε ότι µια ακολουθία είναι ϐασική τότε για να ϐρούµε το όριο της αρκεί να ϐρούµε το όριο µιας οποιασδήποτε υπακολουθίας της. Παράδειγµα 3.5. Η ακολουθία είναι ϐασική. Πράγµατι, έστω ɛ > 0. Τότε a ν = ν +, ν N, ν a ν a µ = + ν µ ν µ + ν = = µ + ν µ νµ νµ νµ. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, µπορούµε να υποθέσουµε ότι µ > ν, οπότε Συνεπώς, επιλέγουµε έχουµε το Ϲητούµενο. a ν a µ µ + ν µν = ν + µ < ν + ν = ν < ɛ ν > ɛ. ν 0 = [ ] + ɛ Παράδειγµα 3.53. Η ακολουθία a ν = ν + )ν, ν N, ν δεν είναι ϐασική. Πράγµατι, παρατηρούµε ότι a ν a ν = ν ν ν ν = + ν + ν >. Εστω ότι είναι ϐασική. Τότε, από τον ορισµό της ϐασικής ακολουθίας αν επιλέξουµε τυχόν 0 < ɛ <, καταλήγουµε σε άτοπο.

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 Παράδειγµα 3.54. Η ακολουθία a ν ) ν N {0} µε a 0 = 0, a = a ν = 3 a ν + a ν ), ν, συγκλίνει. Πράγµατι, αρχικά παρατηρούµε ότι a ν+ a ν = 3 a ν a ν ), άρα η ακολουθία δεν είναι µονότονη. Οµως, έχουµε ότι a ν+ a ν = 3 a ν a ν, ν N, οπότε ισχύει ότι a a = 3 a a 0, a 3 a = 3 a a,..., a ν+ a ν = 3 a ν a ν. Πολλαπλασιάζοντας τις προηγούµενες σχέσεις κατά µέλη, έχουµε Εστω µ, ν N, µε µ > ν. Τότε έχουµε a ν+ a ν = ) ν a a 0 = 3 ) ν. 3 a µ a ν a µ a µ + a µ a µ +... + a ν+ a ν+ + a ν+ a ν ) µ ) µ ) ν+ ) ν = + +... + + 3 3 3 3 ) [ ν = + ) ] µ ν 3 3 3) + +... + 3 [ ) ν ) ] µ ν 3 = 3 3 ) ν ) µ ν 3 = 3 3 ν 3) < 0. 3 Άρα η a ν ) ν N {0} είναι Cauchy, οπότε συγκλίνει. Για να ϐρούµε το όριο, παρατηρούµε ότι l = l + l) 3l = 3l, 3 συνεπώς µε αυτόν τον τρόπο δε µπορούµε να προσδιορίσουµε το l. Ισχύει όµως ότι 3a = a + a 0, 3a 3 = a + a,..., 3a ν+ = a ν + a ν, 3a ν+ = a ν+ + a ν. Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά µέλη, έχουµε 3a ν+ + 3a ν+ = a ν+ + 3a + a 0, οπότε έτσι Άρα 3a ν+ + a ν+ = 3 5l = 3 l = 3 5. a ν = 3 5.

3 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Παράδειγµα 3.55. Η ακολουθία a ν ) ν N µε a ν = + + 3 +... + ν, ν N, συγκλίνει. Πράγµατι, αν ν, µ N µε µ > ν, έχουµε a µ a ν = + +... + ν + ν + ) +... + µ... ν = ν + ) + ν + ) +... + µ. Οµως για τυχόν ν N ισχύει ν < ν )ν = ν ν ) νν ) = ν ν, οπότε a µ a ν < ν ) + ν + ν + ) +... + ν + µ ) = µ ν µ < ν 0. Άρα η a ν ) ν N συγκλίνει.

Κεφάλαιο 4 ΣΕΙΡΕΣ Ορισµός 4.. Αν a ν ) ν N είναι µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών σ ν ) ν N είναι η ακολουθία που ορίζεται ως τότε σ = a σ = a + a σ 3 = a + a + a 3. σ ν = a + a +... + a ν =.. η ακολουθία σ ν ) ν N ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων της ακολουθίας a ν ) ν N.. ονοµάζουµε σειρά πραγµατικών αριθµών την ακολουθία σ ν ) ν N. Ο συµβολισµός ν= a ν χρησιµοποιείται για να δηλώσει τόσο την ίδια την σειρά όσο το όριο της ακολουθίας σ ν ) ν N, εφόσον αυτό υπάρχει. 3. κάθε όρος της ακολουθίας σ ν ) ν N ονοµάζεται µερικό άθροισµα της σειράς. Συγκεκριµένα, το σ ονοµάζεται πρώτο µερικό άθροισµα της σειράς, το σ ονοµάζεται δεύτερο µερικό άθροισµα της σειράς κ.ο.κ. Σηµείωση 4... Αν γνωρίζουµε την ακολουθία a ν ) ν N τότε γνωρίζουµε την ακολουθία σ ν ) ν N, αφού σ = a, σ = a + a,..., σ ν = a + a +... + a ν,... Αντίστροφα, αν γνωρίζουµε την ακολουθία σ ν ) ν N τότε γνωρίζουµε την ακολουθία a ν ) ν N, αφού ν k= a = σ, a = σ a = σ σ,..., a ν = σ ν σ ν,... a k. Κάθε όρος της ακολουθίας a ν ) ν N καλείται όρος της σειράς ενώ κάθε όρος της ακολουθίας σ ν ) ν N καλείται µερικό άθροισµα της σειράς. 3. Στο συµβολισµό ν= a ν, το δεν αντιπροσωπεύει άθροισµα, αφού το άθροισµα ορίζεται µόνο για πεπερασµένο πλήθος όρων, ενώ η σειρά αντιστοιχεί σε άπειρους το πλήθος όρους. Ετσι, για παράδειγµα, ο προσεταιριστικός νόµος δεν ισχύει, ενώ ο αντιµεταθετικός νόµος ισχύει µόνο σε ειδικές περιπτώσεις. Παράδειγµα 4.3. µε. Η σειρά των ϕυσικών αριθµών είναι η ν = + +... + ν +... ν= a ν = ν, ν N 33

34 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ σ ν = νν + ), ν N.. Η αριθµητική σειρά µε πρώτο όρο a λόγο ω είναι η µε a + ν )ω) = a + a + ω) + a + ω) +... + a + ν )ω) +... ν= a ν = a + ν )ω, ν N σ ν = a + ν )ω ν, ν N. 3. Η γεωµετρική σειρά µε πρώτο όρο a λόγο ω είναι η µε 4. Η αρµονική σειρά είναι η µε Παρατηρούµε ότι aω ν = a + aω + aω +... + aω ν +... ν=0 a ν = aω ν, ν N σ ν = aων+ ), ω, ν N. ω ν= ν = + + 3 +... + ν +... a ν = ν, ν N σ ν = + + 3 +... + ν, ν N. a ν = a ν + a ν+, ν. 5. Η σειρά που αντιστοιχεί στην ακολουθία µερικών αθροισµάτων είναι η αφού για τυχόν ν N έχουµε a ν = σ ν σ ν = σ ν = ν= ν ν +, ν N, ν + )ν ), ν ν + ν ν ) + = ν + )ν ). Ορισµός 4.4.. Η σειρά ν= a ν συγκλίνει στον πραγµατικό αριθµό l αν σ ν = l. Στην περίπτωση αυτή γράφουµε a ν = a + a +... + a ν +... = l ν= a ν < +. ν=. Η σειρά ν= a ν συγκλίνει κατ εκδοχή αν σ ν = ±. Αν σ ν = + λέµε ότι η σειρά απειρίζεται ϑετικά, ενώ αν σ ν = λέµε ότι η σειρά απειρίζεται αρνητικά.

ΣΕΙΡΕΣ 35 3. Η σειρά ν= a ν αποκλίνει ή κυµαίνεται αν το σ ν δεν υπάρχει. Παράδειγµα 4.5. Για τη γεωµετρική σειρά έχουµε ν= ν σ ν = + 4 +... + ν = ν, οπότε σ ν = ) ν =, συνεπώς ν= ν =. Παράδειγµα 4.6. Για τη σειρά ν= aων, a, ω R, ω 0, έχουµε { aν, αν ω =, σ ν = a + aω +... + aω ν = a ων ω, αν ω, οπότε. αν ω <, τότε. αν ω >, τότε 3. αν ω =, τότε ) σ ν = a ων = a ω ω. ) { σ ν = a ων +, αν a > 0 = ω, αν a < 0. σ ν = aν) = { +, αν a > 0, αν a < 0. 4. αν ω =, τότε ) σ ν = a )ν = a ) )ν ), το οποίο δεν υπάρχει αρκεί να ϑεωρήσουµε τις υπακολουθίες των άρτιων περιττών), συνεπώς η σειρά αποκλίνει. 5. αν ω <, τότε ) σ ν = a ων. ω Οµως το ω ν δεν υπάρχει αρκεί να ϑεωρήσουµε τις υπακολουθίες των άρτιων περιττών), οπότε η σειρά αποκλίνει. Συνοψίζοντας, έχουµε aω ν = ν= a ω, ω <, +, ω a > 0,, ω a < 0, αποκλίνει, ω. Παράδειγµα 4.7. Για την αρµονική σειρά πρώτης τάξης ν= ν έχουµε οπότε παρατηρούµε ότι σ ν = + + 3 +... + ν, σ ν σ ν = ν + + ν + +... + ν + ν ν + ν +... + ν = ν ν =.

36 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Άρα η ακολουθία σ ν ) ν N δεν είναι ϐασική συνεπώς δε συγκλίνει. Επιπλέον, έχουµε ότι άρα σ ν = + οπότε ν= ν = +. σ ν+ σ ν = ν + 0, Θεώρηµα 4.8. Αν µια σειρά ν= a ν συγκλίνει, τότε η ακολουθία µερικών αθροισµάτων σ ν ) ν N είναι ϕραγµένη η a ν ) ν N είναι µηδενική. Γενικά, τα αντίστροφα δεν ισχύουν. Απόδειξη. Αφού ν= a ν < +, το σ ν υπάρχει συνεπώς η σ ν ) ν N είναι ϕραγµένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει αφού η ν= )ν δε συγκλίνει, παρότι η αντίστοιχη σ ν ) ν N είναι ϕραγµένη. Για την a ν ) ν N, έχουµε a ν = σ ν σ ν, οπότε a ν = σ ν σ ν = 0. Το αντίστροφο δεν ισχύει αφού ν= ν = + ενώ ν = 0. Σηµείωση 4.9. Από το Θεώρηµα 4.8 προκύπτει το ακόλουθο αρνητικό κριτήριο : Αν για τη ν= a ν ισχύει ότι a ν 0, τότε η σειρά δε συγκλίνει. Για παράδειγµα, η σειρά δε συγκλίνει, αφού ν= ν ν + ν ν + =. Θεώρηµα 4.0. Αν ν= a ν = l R, ν= b ν = m R ξ, η R τότε ξa ν + ηb ν ) = ξl + ηm. ν= Απόδειξη. Αν σ ν = ν k= a k, τ ν = ν k= b k s ν = ν k= ξa k + ηb k ), τότε για τυχόν ν N έχουµε s ν = ν ξa k + ηb k ) = ξ k= ν a k + η k= ν b k = ξσ ν + ητ ν, k= οπότε s ν = ξ σ ν + η τ ν = ξl + ηm. Σηµείωση 4.. Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 4.0 δεν ισχύει, δηλαδή αν το άθροισµα δυο σειρών είναι συγκλίνουσα σειρά, τότε κάθε µια από αυτές δεν είναι αναγκαίο να συγκλίνει, π.χ. ν= = +, ν= ) = ενώ ν= + )) = 0. Θεώρηµα 4. Κριτήριο του Cauchy). Η σειρά ν= a ν συγκλίνει αν µόνο αν η ακολουθία µερικών αθροισµάτων σ ν ) ν N είναι ακολουθία του Cauchy. Ορισµός 4.3. Η ν= a ν καλείται σειρά µη αρνητικών όρων αν µόνο αν a ν 0, ν N. Σηµείωση 4.4. Αν η ν= a ν είναι σειρά µη αρνητικών όρων, τότε σ ν+ σ ν = a ν+ 0, ν N, οπότε η ακολουθία µερικών αθροισµάτων σ ν ) ν N είναι αύξουσα. Θεώρηµα 4.5. Η σειρά ν= a ν, µε a ν 0, ν N, συγκλίνει αν η σ ν ) ν N είναι ϕραγµένη ενώ απειρίζεται ϑετικά αν η σ ν ) ν N δεν είναι ϕραγµένη. Απόδειξη. Προφανής, αφού η σ ν ) ν N είναι αύξουσα. Θεώρηµα 4.6 Κριτήριο σύγκρισης σειρών). Αν οι ν= a ν ν= b ν είναι σειρές µη αρνητικών όρων, τέτοιες ώστε 0 a ν Mb ν, ν ν 0, όπου M 0 δεδοµένος πραγµατικός αριθµός ν 0 N, τότε. ν= b ν < + ν= a ν < +,. ν= a ν = + ν= b ν = +.