ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

5. Ράντες 5.1.1.Ορισμοι- Κατηγορίες Ράντα ονομάζουμε σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ανά ισα χρονικά διαστήματα. Για τα κεφάλαια αυτά ισχύει ανατοκισμός. Ορος Ράντας ονομάζουμε καθένα από τα ποσά που αποτελούν τη σειρά των κεφαλαίων. Ο ορος συμβολίζεται με R Αν οι όροι είναι σταθεροί μεταξύ τους η ράντα ονομάζεται σταθερή, αλλιώς είναι μεταβλητή. Περίοδος ράντας καλείται το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών όρων αυτής. Αρχή ράντας καλείται η αρχή της 1 ης περιόδου. (ημερομηνία αρχής πρώτης περιόδου) Τέλος ράντας καλείται το τέλος της τελευταίας περιόδου της ράντας (ημερομηνία που τελειώνει η τελευταία περίοδος) Αν η περίοδος της Ράντας είναι το έτος ή το εξάμηνο ή ο μήνας..η..ράντα ονομάζεται : ετήσια ή εξαμηνιαία ή μηνιαία ή.. Εάν η χρονική μονάδα του ανατοκισμού είναι ετήσια και η περίοδος της ράντας είναι ετήσια ράντα ονομάζεται ακέραια. Εάν η χρονική μονάδα του ανατοκισμού είναι ετήσια και η περίοδος της ράντας είναι εξάμηνη ή μηνιαία ή ράντα ονομάζεται κλασματική Ληξιπρόθεσμη ονομάζεται ή ράντα όταν κάθε όρος καταβάλλεται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου Γ. Ι. Ξανθός 2

Προκαταβλητέα ονομάζεται ή ράντα όταν κάθε όρος καταβάλλεται στην αρχή κάθε χρονικής περιόδου Διάρκεια ράντας είναι το χρονικό διάστημα από την αρχή μέχρι το τέλος της ράντας Εποχή υπολογισμού είναι η χρονική στιγμή που βρισκόμαστε για να υπολογίσουμε τη αξία των όρων της που καταβάλλονται στην αρχή ή στο τέλος της περιόδου. Άμεσος ονομάζεται ή ράντα εάν η εποχή του υπολογισμού συμπίπτει με την αρχή της. Μέλλουσα ονομάζεται ή ράντα εάν η εποχή του υπολογισμού βρίσκεται λ- περιόδους πριν από σημείο της αρχή της. Αρξάμενη ονομάζεται ή ράντα εάν η εποχή του υπολογισμού βρίσκεται λ- περιόδους μετά από σημείο της αρχή της. Εάν το πλήθος των όρων της ράντας είναι ορισμένο ή ράντες ονομάζονται πρόσκαιρες. Αν το πλήθος είναι άπειρο οι ράντες ονομάζονται διηνεκείς Τα ασφαλιστικά μαθηματικά ενδιαφέρονται για ράντες που η καταβολή των όρων της εξαρτάται από την πραγματοποίηση τυχαίων γεγονότων (Τυχαίες ράντες). Αν η καταβολή όρων δεν εξαρτάται από πραγματοποίηση τυχαίων γεγονότων η ράντα ονομάζεται βέβαιη Αρχική ή παρούσα αξία ράντας ονομάζεται η αξία της ράντας σε μια χρονική στιγμή που έχει ληφθεί ως εποχή υπολογισμού. Τελική αξία ράντας ονομάζεται η αξία της ράντας στο τέλος της τελευταίας περιόδου. Γ. Ι. Ξανθός 3

Για την κατανόηση των παραπάνω εννοιών βοηθούν τα παρακάτω διαγράμματα Αρχή λήξη-προθεσμη Ράντα R R R R R R 0.1.2.3.4...(-1). Τέλος Προ-καταβλητέα Ράντα R R R R R R 0.1.2.3.4...(-1). 5.1.2. Αρχική αξία Ράντας. 1. Εάν: -το ετήσιο επιτόκιο U 1, 1 1 U αρχική (παρούσα) αξία σταθερής, ακεραίας,ληξιπρόθεσμης πρόσκαιρης και άμεσης ράντας είναι : 2. Εάν: -το ετήσιο επιτόκιο U 1, 1 A R, όπου = έτη 1 U αρχική (παρούσα) αξία σταθερής, ακεραίας,προ-καταβλητέας πρόσκαιρης και άμεσης ράντας είναι : A έτη 3. Εάν: -το ετήσιο επιτόκιο U 1, 1 R( 1 ), όπου = 1 U αρχική (παρούσα) αξία σταθερής, ακεραίας,ληξιπρόθεσμης Γ. Ι. Ξανθός 4

πρόσκαιρης και μέλλουσας ράντας είναι : / A RU, όπου = έτη και λ-περίοδοι πριν την καταβολή του πρώτου όρο. 4. Εάν: -το ετήσιο επιτόκιο U 1, 1 1 U αρχική (παρούσα) αξία σταθερής, ακεραίας,ληξιπρόθεσμης πρόσκαιρης και αρξάμενης ράντας είναι : όπου = έτη και λ-περίοδοι μετά από την αρχή. 5. Εάν: -το ετήσιο επιτόκιο U 1, 1 / A ) R(1, 1 U αρχική (παρούσα) αξία σταθερής, ακεραίας,προκαταβλητέα πρόσκαιρης και μέλλουσας ράντας είναι : / A R (1 ) 1 καταβολή του πρώτου όρου. 6. Εάν: -το ετήσιο επιτόκιο U 1, 1, όπου = έτη και λ-περίοδοι πριν την 1 U αρχική (παρούσα) αξία σταθερής, ακεραίας,προκαταβλητέα πρόσκαιρης και αρξάμενης ράντας είναι : / A R (1 ) 1, όπου = έτη και λ-περίοδοι μετά από την αρχή. 7. Τελική αξία ληξιπρόθεσμης σταθερής, ακεραίας, πρόσκαιρης και άμεσης ράντας είναι : S ( 1 ) 1 R, όπου = έτη 8. Τελική αξία προκαταβλητέα σταθερής, ακεραίας, πρόσκαιρης και (1 ) 1 άμεσης ράντας είναι : S R (1 ), όπου = έτη Γ. Ι. Ξανθός 5

9. Διηνεκής ληξιπρόθεσμη άμεση σταθερή και ακέραια ράντα έχει παρούσα αξία R 1 10. Διηνεκής προκαταβλητέα άμεση σταθερή και ακέραια ράντα έχει 1 παρούσα αξία R(1 ) 11. Παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης πρόσκαιρης άμεσης σταθερής Και Κλασματικής Ράντας : είναι το ετήσιο πραγματικό επιτόκιο και το ισοδύναμό του. Τότε A [ ] όπου. Οπότε τελικά A R j ό όρος της ράντας R 1U j j. = πόσες φορές μέσα στο έτος καταβάλλεται 12. Παρούσα αξία προκαταβλητέας πρόσκαιρης άμεσης σταθερής Και Κλασματικής Ράντας : είναι το ετήσιο πραγματικό επιτόκιο και το ισοδύναμό του και j. Τελικά A R ( 1 ). j = πόσες φορές μέσα στο έτος καταβάλλεται ό όρος της ράντας 13. Τελική αξία κλασματικής ληξιπρόθεσμης ράντας : (1 ) 1 S R[ ] j 14. Τελική αξία κλασματικής προκαταβλητέας ράντας : (1 ) 1 S R[ ] (1 ) j 1 1 Γ. Ι. Ξανθός 6

Βασική Βιβλιογραφία : 1. Αλεξανδρακης Αθανάσιος: Χρηματοοικονομικά & Ασφαλιστικά Μαθηματικά, εκδόσεις Σοφία 2007 2. Αποστολόπουλος Θ : Οικονομικά μαθηματικά και στοιχεία τραπεζικών εργασιών, Ευρώ-Έκδοση 2002 3. Κουγιας Γ Γεωργίου Δ: Χρηματοοικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών Αθήνα 2004 4. Οικονομοπουλος Γ : Οικονομικά Μαθηματικά Θεσσαλονίκη 2002 Γ. Ι. Ξανθός 7