ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί κυρίως εφόσον τα πειραματικά ευρήματα συμφωνούν με τις ιδιότητες που αποδείξαμε μία προς μία ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η απόδοση μαθηματικής υπόστασης στην έννοια της κίνησης στο φυσικό χώρο απαιτεί τη θεώρηση ενός σημειακού γεωμετρικού προτύπου που καλούμε υλικό σημείο και η κίνηση ενός υλικού σημείου εκφράζεται μαθηματικά στον ευκλείδειο χώρο ως συνεχής απεικόνιση ορισμένη στο χρονικό άξονα ή σ ένα διάστημά του: x :I Κάθε χρονική στιγμή το υλικό σημείο καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση στο χώρο η οποία προσδιορίζεται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και υποδεικνύεται από το διάνυσμα θέσης: x() x (), x (), x () 1 2 Η τροχιά της κίνησης αναπαρίσταται με την προσανατολισμένη καμπύλη που ορίζεται από την εικόνα αυτής της απεικόνισης στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο και το γράφημά της εκφράζει την εξέλιξη της κίνησης στον αριθμητικό χώρο-χρόνο

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στιγμιότυπα της χωροχρονικής εξέλιξης μιας ελικοειδούς κίνησης Οι τροχιές που καταγράφονται στον ευκλείδειο χώρο δεν είναι απαραίτητα λείες, όμως για να οριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του υλικού σημείου χρειάζεται οι συνιστώσες συναρτήσεις της θέσης του να είναι τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: x :I, i 1, 2, i Η ταχύτητα με την οποία το υλικό σημείο διανύει την τροχιά του εκφράζεται, τη χρονική στιγμή I, με το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο x() : x () x (), x (), x () x 1 2 () και, την ίδια στιγμή, η επιτάχυνση εκφράζεται με το διάνυσμα: x () x1(), x2(), x () x () Τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης μιας κίνησης στον ευκλείδειο χώρο ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 19 Κάθε χρονική στιγμή, το διάνυσμα της επιτάχυνσης αποσυντίθεται στην επιτρόχια και την κεντρομόλο συνιστώσα του: x () () () όπου () x () και () x () Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσα της Αν η κεντρομόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι μηδενική: 0, τότε η τροχιά είναι ευθύγραμμη και αν επιπλέον η επιτρόχια συνιστώσα της είναι επίσης μηδενική: 0, τότε η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή: x() x v ( x v, x v, x v ), x, v 1 1 2 2 Η κεντρομόλος επιτάχυνση προκαλεί καμπύλωση της τροχιάς, ενώ η επιτρόχια επιτάχυνση επιδρά αποτρεπτικά στην καμπύλωσή της Με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας, η καμπυλότητα της τροχιάς προσμετράται κάθε στιγμή από την τιμή της συνάρτησης: x() x() :I, () x ( ) Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της καμπυλότητας τόσο εντονότερη είναι η καμπύλωση της τροχιάς και η κίνηση είναι ευθύγραμμη μόνο όταν η καμπυλότητα είναι παντού μηδενική Κάθε χρονική στιγμή, εφόσον η καμπυλότητα δεν μηδενίζεται, ορίζεται η στρέψη της τροχιάς που προσμετράται κάθε στιγμή από την τιμή της συνάρτησης: :I, x () x(), x() () 2 x() x() ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Όσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή της στρέψης τόσο εντονότερη είναι η εκτροπή της τροχιάς από το να είναι επίπεδη και η κίνηση είναι επίπεδη μόνο όταν η στρέψη είναι παντού μηδενική Η καμπυλότητα και η στρέψη είναι ενδογενή γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάθε τροχιάς που δεν εξαρτώνται από την επιλογή της παραμέτρησής της στον ευκλείδειο χώρο Τα χαρακτηριστικά αυτά εμπεριέχονται στο τρίεδρο Frene της τροχιάς, δηλαδή στο θετικά προσανατολισμένο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων που, κάθε στιγμή, προσαρτάται στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς και, εφόσον εκεί δεν μηδενίζεται η καμπυλότητα, ορίζεται από τα μοναδιαία διανύσματα: x () x() x() T( ), N( ) B( ) T( ), B( ) = x ( ) x () x () Τρίεδρο Frene σε κάποιο σημείο μιας τροχιάς στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο Η έκφραση των συναρτήσεων που προσμετρούν την καμπυλότητα και τη στρέψη μιας τροχιάς σε κάθε σημείο της προκύπτει με μεταχρονισμό του χρονικού άξονα, δηλαδή με κατάλληλη αναπαραμέτρηση της αριθμητικής του διαβάθμισης Ο μεταχρονισμός δεν επηρεάζει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς και ορίζεται από την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των αντίστοιχων χρονικών διαστημάτων: s :II, s(), όπου, λαμβάνοντας υπόψη το μήκος του διανυθέντος τμήματος της τροχιάς από μια αρχική στιγμή έως μια δεδομένη στιγμή, θέτουμε: s( ) x ( u) du Η αμφιμονοσήμαντη αυτή απεικόνιση είναι αμφιδιαφορίσιμη, δηλαδή η ίδια και η αντίστροφή της είναι διαφορίσιμες, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας Όταν εξετάζουμε μια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 21 x :I, x() x1(), x2(), x(), ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα οδηγεί στη μεταχρονισμένη κίνηση: όπου x:i, ( ) 1( ), 2( ), ( ) x x x x, x( ) x( s( )) x ( ), I Μεταχρονισμός του χρονικού άξονα και το τρίεδρο Frene σε αντίστοιχο σημείο της τροχιάς Ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα δεν επηρεάζει τη διεύθυνση της ταχύτητας αλλά αλλοιώνει την αριθμητική τιμή της ως εξής: dx i d( xi s ) dxi ds d d d d, i 1, 2, Συνεπώς, η ταχύτητα της μεταχρονισμένης κίνησης έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: ds d d d x( u) du x( ) x ( ) x ( ) d / ds 1 και η σταθερότητα αυτή επιβάλλει το μηδενισμό της επιτρόχιας επιτάχυνσης, άρα: x( ) x ( ), I * * Η ορθογωνιότητα ταχύτητας και επιτάχυνσης ισχύει μόνο όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό: x ( ), x ( ) 1 d x ( ), x ( d ) 0 x ( ), x ( ) 0 x( ) x ( ), I ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η καμπυλότητα της τροχιάς είναι λογικό να οριστεί με τη συνάρτηση που, κάθε μεταχρονισμένη στιγμή, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς το μέτρο της επιτάχυνσης της μεταχρονισμένης κίνησης: :I, ( ) x ( ) Με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της καμπυλότητας, ορίζεται το τρίεδρο Frene της μεταχρονισμένης κίνησης ως το θετικά προσανατολισμένο ορθοκανονικό σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων: T( ) x ( ), 1 N( ) T( ), B( ) T( ) N( ) ( ) Ας σημειωθεί ότι: B( ) N( ), I * Η στρέψη της τροχιάς είναι λογικό να οριστεί με τη συνάρτηση που, κάθε μεταχρονισμένη στιγμή, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς την αριθμητική τιμή: :I, ( ) B( ) / N ( ) Τώρα, κάθε στιγμή της κανονικής διαβάθμισης του χρόνου, μπορεί να οριστεί στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς η καμπυλότητα, η στρέψη και το τρίεδρο Frene : :I, (): (()) s και :I, (): ( s()), T( ): T ( s( )), N( ): N ( s( )), B( ) : B ( s( )), I Οι συναρτήσεις και, αντίστοιχα και, δεν ορίζονται απαραίτητα στο ίδιο διάστημα του χρόνου όμως οι τιμές τους είναι ίδιες σε κάθε σημείο x() x( ) * Η συγραμμικότητα αυτή που επιτρέπει τον ορισμό της στρέψης προκύπτει από το ότι: B( ) B ( ) και B( ) T( ) και οι σχέσεις αυτές προκύπτουν ως εξής: B d ( ) 1 B ( ), B ( ) 1 ( ), B B ( ) 0 B ( ), B ( ) 0, I, d d B ( ),T( ) 0 B ( ),T( ) 0 B ( ),T ( ) B ( ),T ( ) 0 d B ( ),T ( ) B ( ),T ( ) B ( ), ( ) N ( ) 0, I ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 2 Το τρίεδρο Frene που προσαρτάται σε κάθε σημείο μιας τροχιάς παρέχει σημαντικές πληροφορίες για τη συμπεριφορά της κίνησης στο χώρο, πριν την εκδήλωσή της, οι οποίες δεν είναι ορατές από το ευκλείδειο σύστημα αναφοράς Κάθε χρονική στιγμή, το πρώτο μοναδιαίο διάνυσμά του υποδεικνύει την κατεύθυνση της τροχιάς, το δεύτερο υποδεικνύει την κατεύθυνση εκτροπής της από την ευθύγραμμη πορεία και το τρίτο υποδεικνύει την κατεύθυνση εκτροπής της από την επίπεδη πορεία Ο ρυθμός αυτής της εκτροπής μπορεί να αναγνωστεί στον ακόλουθο πίνακα: Όταν επανέλθουμε στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου τότε απαιτείται η εισαγωγή ενός διορθωτικού συντελεστή, του μέτρου της ταχύτητας (): x () : T() 0 () 0 T() N() () () 0 () N() B() 0 () 0 B() Στο μεταχρονισμένο πίνακα, η πρώτη και η τελευταία γραμμή δίνουν αντίστοιχα τον ορισμό της καμπυλότητας και της στρέψης της τροχιάς και στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου προκύπτει: και B() () () N() T() () () N() Η ενδιάμεση γραμμή του μεταχρονισμένου πίνακα * δίνει μια αξιοσημείωτη πληροφορία η οποία στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου εκφράζεται ως εξής: N () () () T() () () B() Οι πληροφορίες αυτές υποδεικνύουν την έκφραση που αποκτούν τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο σύστημα αξόνων του τριέδρου Frene: x () ()T() και x 2 () ()T() () ()N() * Η απόδειξη αυτής της σχέσης προκύπτει από την κλασική ορθοκανονική ανάπτυξη ενός διανύσματος σε μια ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου: V V,T TV,N NV,BB ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η έκφραση της ταχύτητας είναι αναμενόμενη, όμως στην έκφραση της επιτάχυνσης εμφανίζονται δυο όροι, ο πρώτος που υποδεικνύει το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας και ο δεύτερος που υποδεικνύει το ρυθμό εκτροπής της διεύθυνσής της από την ευθύγραμμη πορεία Όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό τότε ισχύει: x 2 () () ()N() Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσα της το τρίεδρο Frene Η υπολογιστική διαδικασία μεταχρονισμού του χρόνου είναι γενικά περίπλοκη και έτσι αναδεικνύεται η πρακτική αξία των τύπων που δόθηκαν στην αρχή της ενότητας: x() x() () x ( ) x() x(), x() και () 2 x ( ) x ( ) * * Η απόδειξη αυτών των τύπων προκύπτει από την ορθοκανονική ανάπτυξη της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο τρίεδρο Frene: x () ()T() και x 2 () ()T() () ()N() Αρκεί ένα απλός υπολογισμός: () () () () x x x x() x( ) x( ) x x () () ()B() () () () x() x() x ( ) και d 2 2 x () ()T() () ()N() () ()N() () () ()B() d άρα 2 6 x () x(), x() () () () και x() x () () () x() x(), x() ( ) x x ( ) () 2 ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 25 Παραδείγματα υπολογισμού της καμπυλότητας και της στρέψης τροχιών Η τροχιά της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης στο χώρο διαγράφεται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου κυκλικής βάσης έτσι ώστε ο φορέας της ταχύτητάς της να διατηρεί σταθερή γωνία με τον άξονα του κυλίνδρου Θεωρώντας το σύστημα αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο, έτσι ώστε ο κατακόρυφος άξονάς του να συμπίπτει με τον άξονα του κυλίνδρου, η ομαλή κυκλική ελικοειδής κίνηση ορίζεται ως εξής: x :, () cs, sin, Η ταχύτητά της έχει σταθερό μέτρο: x a a b, a0, b 0 x () a sin, a cs, b x a b v, 2 2 ( ) άρα η επιτάχυνσή της έχει μόνο κεντρομόλο συνιστώσα: x () a cs, a sin,0 x ( ) a Με απευθείας εφαρμογή των τύπων της καμπυλότητας και της στρέψης προκύπτει: και () a () b 2 2 a b, 2 2 a b 1 T( ) a sin, a cs, b, v 1 N( ) cs, sin,0 B( ) b sin, b cs, a v a a, () 0 () 0 Τρίεδρο Frene κυκλικών ελικοειδών τροχιών στον ευκλείδειο χώρο ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στην περίπτωση της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης ο μεταχρονισμός είναι απλός: 0 s() v d v και θέτοντας s() προκύπτει η μεταχρονισμένη κίνηση: x :, ( ) ( / ) cs( / ), sin( / ), / x x v a v a v b v Όπως είναι αναμενόμενο η ταχύτητά της έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: 1 x ( ) asin( / v ), cs( a / v), b v και η επιτάχυνσή της έχει μόνο κεντρομόλο συνιστώσα: 1 x ( ) acs( / v ), sin( a / v), 0 v 2 που το μέτρο της υποδεικνύει την καμπυλότητα της τροχιάς σε κάθε σημείο της: (): ( ) x ( ) a 2 2 a b Το τρίεδρο Frene ορίζεται σε κάθε σημείο της τροχιάς από τα μοναδιαία διανύσματα: και από τη σχέση 1 T( ) x( ) asin( / v ), acs( / v ), b, v 1 N( ) x( ) cs( / v ), sin( / v),0, ( ) 1 B( ) T( ) N( ) bsin( / v ), cs( b / v), a v B( ) ( )N( ), προκύπτει η στρέψη της τροχιάς σε κάθε σημείο της: (): ( ) b 2 2 a b * * Στην περίπτωση b 0, η στρέψη είναι μηδενική και προκύπτει η καμπυλότητα () 1/ a, άρα πρόκειται για επίπεδη κυκλική τροχιά ακτίνας a και το τρίεδρο Frene εκφυλίζεται σε δυο ορθογώνιους άξονες ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 27 Αν η τροχιά της ελικοειδούς κίνησης διαγράφεται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου του οποίου η βάση δεν είναι απαραίτητα κυκλική και ο φορέας της ταχύτητας διατηρεί σταθερή γωνία προς ένα δεδομένο σταθερό άξονα στο χώρο, τότε η καμπυλότητα και η στρέψη δεν είναι πλέον σταθερές αλλά ο λόγος τους είναι σταθερός Η σταθερότητα αυτής της γωνίας προφανώς δεν επηρεάζεται από το μεταχρονισμό της διαβάθμισης του χρονικού άξονα: s ( ) x ( u) du Θεωρώντας τη σταθερή γωνία που ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα περιέλιξης της τροχιάς και το μοναδιαίο διάνυσμα της ταχύτητας της μεταχρονισμένης κίνησης προκύπτει: x ( ), cs, I Από μια αρχική στιγμή έως μια στιγμή του μεταχρονισμένου χρονικού άξονα, η ανύψωση της τροχιάς στην κατεύθυνση του άξονα περιέλιξης προσμετράται ως εξής: και h( ) x( ) x( ), dh ( ) x ( ), T ( ), T ( ), cs d Ο ρυθμός ανύψωσης της τροχιάς είναι λοιπόν σταθερός, άρα: h ( ) cs και στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου προκύπτει: hs (()) s ()cs Η ανύψωση μιας ελικοειδούς τροχιάς στον ευκλείδειο χώρο ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο σταθερός άξονας περιέλιξης της ελικοειδούς τροχιάς είναι ορθογώνιος προς το μοναδιαίο διάνυσμα N( ) του συστήματος αναφοράς Frene, άρα περιέχεται στο επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγμή από τα δυο άλλα μοναδιαία διανύσματα T( ) και B( ) : T( ), cs T( ), ( ) () N( ), 0 Από την ορθοκανονική ανάπτυξη στο σύστημα αναφοράς Frene: προκύπτει:,t() T (),N() N (),B() B() cs T() sin B() και παραγωγίζοντας και εφαρμόζοντας τους τύπους Frene προκύπτει: ()sin ()cs άρα ο λόγος της καμπυλότητας προς τη στρέψη είναι σταθερός: () / () g Αντίστροφα, αν ο λόγος της καμπυλότητας προς τη στρέψη μιας τροχιάς είναι σταθερός τότε πρόκειται για ελικοειδή τροχιά Πράγματι, επιλέγοντας μια γωνία τέτοια ώστε g () / (), ορίζεται κάθε χρονική στιγμή το διάνυσμα: και προκύπτει: V( ) cs T( ) sin B( ) V( ) ( )cs ( )sin N( ) = 0 Συνεπώς, το διάνυσμα αυτό διατηρείται σταθερό στην πάροδο του χρόνου και ορίζει ένα σταθερό άξονα μέσα στο χώρο γύρω από τον οποίον περιελίσσεται ελικοειδώς η τροχιά, αφού το διάνυσμα της ταχύτητάς της διατηρεί σταθερή γωνία με το μοναδιαίο διάνυσμα V/ V αυτού του άξονα: T( ), cs Άρα, οι ελικοειδείς τροχιές χαρακτηρίζονται από τη σταθερότητα του λόγου της στρέψης προς την καμπυλότητα με την προϋπόθεση μη μηδενισμού τους και όταν στρέψη και καμπυλότητα είναι σταθερές τότε πρόκειται για κυκλικές ελικοειδείς τροχιές ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 29 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: 1 Σχεδίασα στην ακόλουθη εικόνα την τροχιά στο χώρο και την εξέλιξη στο χώρο-χρόνο μιας ευθύγραμμης παλινδρομικής κίνησης και μιας κυκλικής κίνησης Μπορείς να βγάλεις κάποια συμπεράσματα για την ταχύτητα και την επιτάχυνση αυτών των κινήσεων; 2 Έχεις πειστεί για το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτη τη στρέψη και την καμπυλότητα των τροχιών; Έχεις πειστεί για το ότι ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα δεν επηρεάζει τη στρέψη και την καμπυλότητα των τροχιών; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: 1 Ο Νεύτωνας, στη νεαρή του ηλικία, προσπαθούσε να εντοπίσει σε κάθε σημείο μιας τροχιάς το αντίστοιχο κέντρο της καμπυλότητάς της ταυτίζοντάς την τοπικά με το τόξο ενός κύκλου Πώς εντοπίζονται σήμερα αυτά τα κέντρα καμπυλότητας και τι σηματοδοτεί ο γεωμετρικός τους τόπος για μια τροχιά; Θα ήθελα να δω μερικά απλά παραδείγματα 2 Έχεις αντιληφθεί ποιες φυσικές πληροφορίες εμπεριέχει το τρίεδρο Frene μιας τροχιάς; Με το μηχανικό κατασκεύασμα που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα προσπαθώ να αναδείξω την εξέλιξη στο χώρο-χρόνο μιας ταλαντωτικής κίνησης Μπορείς να βγάλεις κάποιο συμπέρασμα για την ταχύτητα και την επιτάχυνσή της; ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ