Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 10 69 97 985 e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr εν ε ιτρέ εται η ολική ή µερική αναδηµοσίευση του κειµένου ή των σχηµάτων χωρίς την γρα τή άδεια του συγγραφέα. 1
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr (α) Σύµφωνα µε το ατοµικό πρότυπο του Bohr, για το άτοµο του υδρογόνου οι επιτρεπόµενες ενεργειακές στάθµες δίνονται από τη σχέση Εn = E/n, όπου E= 13,6eV και n= 1,,3. Αν υποθέσουµε ότι ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην E n ενεργειακή στάθµη και εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, να βρεθούν η ακτίνα της τροχιάς, η ταχύτητα και η στροφορµή του, συναρτήσει του κβαντικού αριθµού n. (β) Αν το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην τρίτη ενεργειακή κατάσταση (δηλαδή n= 3) να υπολογίσετε την ακτίνα της τροχιάς του, την ταχύτητα και την στροφορµή του, δίνοντας αριθµητικό αποτέλεσµα. Αν το ηλεκτρόνιο µεταπέσει από την κατάσταση αυτή στην πρώτη διεγερµένη κατάσταση να υπολογίσετε τη συχνότητα της ακτινοβολίας που θα εκπεµφθεί. (α) Το ηλεκτρόνιο εκτελεί κυκλική κίνηση, υπό την επίδραση της δύναµης Coulomb που παίζει το ρόλο της κεντροµόλου: e υ = m r r Λόγω της κεντρικότητας του πεδίου, η στροφορµή του ηλεκτρονίου διατηρείται και (σύµφωνα µε τη συνθήκη του Bohr) είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας ħ = h/π, συνεπώς: n L= mυr= nħ υ= ħ mr Συνδυάζοντας παίρνουµε: e m nħ nħ = r n = r r m r me Η τελευταία σχέση δίνει την ακτίνα του ηλεκτρονίου. Αντικαθιστώντας, παίρνουµε για τη ταχύτητα του ηλεκτρονίου e υn = n ħ (β) Για n=3 η λαµβάνουµε διαδοχικά: 9ħ 8 r3 = = 4,77 10 cm me
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr e υ3 = = 3ħ Επίσης από τη συνθήκη της στροφορµής 34 L3 = 3ħ = 3.16 10 Js Η συχνότητα εκποµπής θα δίνεται ως 1 ν = (Ei E f ) h 7 7,3 10 cm/sec Εξ υποθέσεως Συνεπώς E Ei = E3 = = 1,51 ev 3 E Ef = E = = 3,4 ev 1.1eV 19 1.1 1,60 10 J 34 6,66 10 Js 34 6,66 10 Js ν= = = 15.93 10 H (α) Σωµατίδιο µάζας m βρίσκεται σε πηγάδι δυναµικού απείρου βάθους και πλάτους l. Τη χρονική στιγµή t= 0 η κατάσταση του σωµατιδίου περιγράφεται από τη συνάρτηση Ψ( x) = A sin( 3πx/ L). Με την βοήθεια της εξίσωσης Schrodinger να βρεθεί η ενέργεια E του σωµατιδίου. (β) Να δείξετε ότι η πυκνότητα πιθανότητας για την συγκεκριµένη περίπτωση δεν µεταβάλλεται µε το χρόνο. (α) Σύµφωνα µε την τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schrodinger: 3
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr όπου: ħ ψ(x) + V(x)ψ(x) = Eψ(x) m x < x< 0 V(x) = 0 0< x< L L < x < Στη περιοχή απείρου δυναµικού η κυµατοσυνάρτηση είναι µηδέν. Άρα 0 < x< 0 ψ(x) = A sin( 3πx/ L) 0< x< L 0 L< x< Ο όρος που εµπλέκει το δυναµικό δεν συνεισφέρει αφού είτε το δυναµικό είτε η κυµατοσυνάρτηση είναι µηδέν σε όλο το χώρο. Συνεπώς: ψ(x) = 9π Asin ( 3πx/L ), 0 < x < L x L Τελικά: ħ 9π 3πx 3πx 9πħ Asin EAsin E = = m L L L ml (β) Έστω ότι η ολική κυµατοσυνάρτηση δίνεται υπό µορφή απλού γινοµένου ως Ψ(x, t) = φ(t)ψ(x) Βάση της χρονοεξαρτηµένης εξίσωσης του Schrodinger ħ iħ Ψ(x, t) = Ψ(x, t) + V(x)Ψ(x, t) t m x παίρνουµε iet/ ħ iħ φ(t) = Eφ(t) φ(t) = Be t Τελικά -iet/ ħ * Ψ(x, t) = Βe ψ(x) Ψ(x, t) = Ψ(x, t)ψ (x, t) Β ψ(x) Συνεπώς η πυκνότητα πιθανότητας δεν µεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου. 4
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr (α) είξτε ότι η δύναµη που ασκείται σε µια µαγνητική ροπή µ, που βρίσκεται σε ανοµοιογενές µαγνητικό πεδίο Β, δίνεται από τη σχέση B F = µ Αν µια δέσµη ατόµων αργύρου διασχίζει µια οριζόντια απόσταση L µέσα στο πεδίο αυτό και κάθε άτοµο έχει οριζόντια ταχύτητα υ, πόσο ισχυρή πρέπει να είναι η βαθµίδα του B πεδίου,, ώστε να προκαλέσει απόκλιση της δέσµης κατά ; (β) Ξεκινώντας από την έκφραση J= L + S για την ολική στροφορµή ενός ηλεκτρονίου, να συναγάγετε µια έκφραση για το βαθµωτό µέγεθος L S συναρτήσει των κβαντικών αριθµών, j,l και s (γ) Χρησιµοποιώντας το ότι L S= L S cos θ, όπου θ είναι η γωνία ανάµεσα στα L και S, βρείτε τη γωνία ανάµεσα στην τροχιακή στροφορµή του ηλεκτρονίου και στην στροφορµή του σπιν συναρτήσει των κβαντικών αριθµών, j,l και s. (α) Η δυναµική ενέργεια προσανατολισµού δίνεται από τη σχέση U = µb = µ B όπου µ είναι η προβολή της ολικής µαγνητικής ροπής πάνω στη διεύθυνση του πεδίου. µ B Η δύναµη θα είναι F = U = ˆ. Λόγω της ανοµοιογένειας του µαγνητικού πεδίου Β, η δύναµη είναι: 5
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr F = µ Λόγω του ότι η δύναµη δρα µόνο κατά, συµπεραίνουµε ότι η οριζόντια κίνηση θα είναι B ευθύγραµµη οµαλή ενώ η κατακόρυφη επιταχυνόµενη. Συνεπώς: Αντικαθιστώντας βρίσκουµε: L= υt t= L /υ και συγχρόνως 1 1 F γt = = t m (β) µ B L B m B υ = = m υ µ L Αν ορίσουµε την ολική στροφορµή J= L + S, λαµβάνουµε: J = L + S + L S Άρα: L S= Οι ιδιοτιµές του ανωτέρω τελεστή θα είναι: ( J L S ) (γ) [ j(j+ 1) ll ( + 1) s(s+ 1) ] ħ Αξιοποιώντας την προηγούµενη σχέση παίρνουµε: L S L S= L S cosθ cosθ= L S [ j(j+ 1) ll ( + 1) s(s+ 1) ] 1 cosθ= ll ( + 1) s(s+ 1) 6
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr (α) Άτοµα υδρογόνου εκπέµπουν µία φασµατική γραµµή µε λ= 1 nm. Στη συνέχεια τοποθετούνται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, οπότε παρατηρούνται τρεις (3) φασµατικές γραµµές που απέχουν µεταξύ τους κατά λ= 0, 00139 nm. Να εξηγήσετε το φαινόµενο (αγνοώντας το spin του ηλεκτρονίου) και να υπολογίσετε την ένταση του µαγνητικού πεδίου. (Μπορείτε να θεωρήσετε ότι λ1 λ λ3 λ ). (β) Τι πληροφορίες µας δίνει η θεωρία του Schrodinger για το άνυσµα της στροφορµής και την κατεύθυνση που έχει στο χώρο. (α) Έχουµε το άτοµο του υδρογόνου µέσα σε µαγνητικό πεδίο. Η παρουσία του πεδίου έχει σαν αποτέλεσµα το διάνυσµα της στροφορµής να εκτελεί µετάπτωση γύρω από το µαγνητικό πεδίο µε συχνότητα Larmor: gµ BB ω L = ħ Συγχρόνως δηµιουργείται δυναµική ενέργεια προσανατολισµού που δίνεται από τη σχέση U = µ B = µ B J όπου µ B είναι η προβολή της ολικής µαγνητικής ροπής πάνω στη διεύθυνση του πεδίου. Βάση της σχέσης gµ B µ J = J ħ και θεωρώντας ότι ο άξονας συµπίπτει µε τη διεύθυνση του πεδίου προκύπτει: E = gµ m B mj B j Κάθε στάθµη εποµένως, αναλύεται σε τόσες στάθµες όσες είναι οι δυνατές τιµές της προβολής µ j. Συνεπώς η ενέργεια της κάθε στάθµης διαχωρίζεται σε j+1 συνιστώσες. Αγνοώντας το σπιν ο g παράγοντας του Lande είναι g= 1. Συνεπώς E = µ m B mj B j Συνεπώς κατά την µετάπτωση µέσα σε µαγνητικό πεδίο, λόγω του χωρισµού των πριν εκφυλισµένων ενεργειών θα παρατηρούνται πολλαπλές φασµατικές γραµµές. Αυτές θα ικανοποιούν τις σχέσεις hνh hν 0 = µ BB m J µε βάση του κανόνα επιλογής 7 B
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr m J = 0, ± 1 (όπου όταν j= 0 απαγορεύεται η µετάπτωση m j = 0 m j= 0 ). Συνεπώς: hc hc λ hc λ hνh hν 0 = µ BB = µ BB hc = µ BB B= = 0, Tesla λ λ λ µ λ H 0 B (β) Η σύγχρονη κβαντική θεωρία δίνει όλα τα αποτελέσµατα για την κβάντωση της στροφορµής. ηλαδή προβλέπει τόσο την κβάντωση του µέτρου της το οποίο καθορίζεται από τον αζιµουθιακό κβαντικό αριθµό l, µέσω της σχέσης L = ll ( + 1) ħ όσο και για την κατεύθυνση της στο χώρο η οποία καθορίζεται από το µαγνητικό κβαντικό αριθµό m l, µέσω της αντίστοιχης σχέσης L = m l ħ. ίνουµε στη συνέχεια, ως παράδειγµα, τη χωρική κβάντωση της στροφορµής για την περίπτωση l =, m = 0, ± 1, ±. l (α) Να σχεδιάσετε προσεγγιστικά και να σχολιάσετε συνοπτικά τα κύρια χαρακτηριστικά του διαγράµµατος που δείχνει τη µέση ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο E B /A, συναρτήσει του µαζικού αριθµού Α. Ποιες θεµελιώδεις αλληλεπιδράσεις (δυνάµεις) ασκούνται µεταξύ των 8
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr νουκλεονίων και είναι υπεύθυνες για την συγκρότηση του πυρήνα; Ποια είναι τα κύρια χαρακτηριστικά των δυνάµεων αυτών; Τι εννοούµε µε την έκφραση «οι πυρηνικές δυνάµεις παρουσιάζουν κορεσµό»; (β) Να δώσετε µια εκτίµηση για τη µάζα, την ακτίνα και την πυκνότητα ενός πυρήνα που έχει Α νουκλεόνια. (α) Έχουµε το εξής διάγραµµα που δείχνει τη µέση ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο (MeV) συναρτήσει του µαζικού αριθµού Α. Παρατηρούµε ότι σε πρώτη προσέγγιση EB A. Συνεπώς η συνεισφορά στην ενέργεια σύνδεσης από αυτό τον όρο του όγκου είναι EB = a VA όπου η σταθερά a V προσδιορίζεται από το διάγραµµα και είναι περίπου 8 MeV. Αν τα νουκλεόνια έλκυαν όλα τα άλλα θα περιµέναµε η ενέργεια σύνδεσης να ήταν ανάλογη του A(A 1) ή περίπου του A. Αλλά αφού είναι ανάλογη του Α συµπεραίνουµε ότι τα νουκλεόνια έλκουν µόνο τους πλησιέστερους γείτονές τους. Γενικά είναι αποδεκτό ότι οι πυρηνικές δυνάµεις παράγονται από το µεσονικό πεδίο το οποίο έχει πολύ µικρή εµβέλεια. Ο Yukawa έδειξε ότι αυτό είναι συµβατό µε ένα πεδίο το οποίο προκύπτει από κβάντα τα οποία έχουν µάζα ηρεµίας µη µηδενική. Γενικά το µηχανικό δυναµικό που εξασκείται µεταξύ δύο νουκλεονίων δίνεται ως 9 µr e V= g. r Ο κορεσµός των πυρηνικών δυνάµεων προκύπτει λόγω της E (β) B A και είναι συνώνυµο της µικρής τους εµβέλειας. EB Η µάζα του πυρήνα θα δίνεται ως: M(Z, A) = Zm + (A Z)m BE p n A και όχι της αναµενόµενης όπου λαµβάνουµε υπόψη τόσο τη συνεισφορά από τη µάζα των πρωτονίων και των νετρονίων, όσο και τη συνεισφορά από την ενέργεια σύνδεσης. Για τον υπολογισµό της ενέργειας σύνδεσης θα χρησιµοποιήσουµε τον ηµιεµπειρικό τύπο της µάζας (πρότυπο της υγρής σταγόνας): ( ) /3 N Z d Z δ BE= a A b A s 1/3 3/4 A A A ίνουµε στη συνέχεια µια σύντοµη ερµηνεία των όρων του ηµιεµπειρικού τύπου:
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr f 1(A,Z) = a A, η βασική συνεισφορά από την ενέργεια όγκου λόγω της µικρής εµβέλειας των πυρηνικών δυνάµεων. /3 f (A,Z) = b A, η συνεισφορά από την ενέργεια επιφανείας. Προκύπτει δεδοµένου ότι τα επιφανειακά νουκλεόνια είναι χαλαρότερα συνδεδεµένα, η επιφάνεια είναι ανάλογη του τετραγώνου 1/3 της ακτίνας και αυτή ανάλογη του A. ( N Z) f 3(A,Z) = s Οφείλεται στην τάση των πυρήνων για Ζ=Ν και συνδέεται µε την A απαγορευτική αρχή του Pauli. d Z f 4(A,Z) =, είναι η συνεισφορά από την απωστική ενέργεια Coulomb των πρωτονίων και 1/3 A 3 q Z παραπέµπει τον κλασικό τύπο UC =. 1/3 5 R A δ f 5(A, Z) = είναι το κλάσµα σύζευξης πυρήνα. Ισχύει δ< 0 για Ζ άρτιο και Ν άρτιο, δ= 0 3/4 A για Ζ άρτιο και Ν περιττό, δ= 0 για Ζ περιττό και Ν άρτιο και δ> 0 για Ζ περιττό και Ν περιττό. Όσον αφορά την ακτίνα του πυρήνα θεωρούµε ότι ο πυρήνας είναι σφαιρικός και έχει όγκο ανάλογο 1/3 του Α. Συνεπώς για την ακτίνα ισχύει R= r0 A. Το r 0 είναι µεταξύ 1,1 fm και 1,5 fm. Αφού ο όγκος είναι σχεδόν ανάλογος του Α η πυρηνική µάζα είναι σχεδόν ασυµπίεστη και έχει πυκνότητα 11 Kgr 10. cm 3 10
Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωµάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χηµεία Πρακτικά Χηµείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτροµαγνητισµός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντοµηχανική Ι, ΙΙ Συστήµατα Τηλε ικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υ ολογιστές Ε ιλογές H σίγουρη λύση ου οδηγεί στο τυχίο 11