Αναφορά Π.13 Εσωτερική αναφορά σχετικά με τις ιδιαιτερότητες παραμέτρων και αλληλεπιδράσεων

Αναφορά Π.13 Εσωτερική αναφορά σχετικά με τις ιδιαιτερότητες παραμέτρων και αλληλεπιδράσεων Το έγγραφο που ακολουθεί είναι μια αναφορά στα πλαίσια του έργου «Γενικευμένο σύστημα ασαφούς γνωστικού χάρτη για ρεαλιστική προσομοίωση πολύπλοκων δυναμικών συστημάτων». Μέσα από την αναφορά αυτή ο αναγνώστης θα μπορέσει να εντοπίσει και να κατανοήσει τις παραμέτρους που χαρακτηρίζουν έναν Ασαφή Γνωστικό Χάρτη (ΑΓΧ) καθώς και τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις. Ο ΑΓΧ είναι ένα μοντέλο που μπορεί να δώσει στο χρήστη μεγάλη δυναμική πρόγνωσης καταστάσεων ή ρυθμίσεων του μοντελοποιημένου προβλήματος. Η επιτυχής λειτουργία του όμως εξαρτάται κατά πολύ από το σωστό ορισμό των παραμέτρων και τη σωστή ακουλουθία των αλληλεπιδράσεων, όπως ορίζονται από το μοντέλο. Γι αυτόν ακριβώς τον λόγο κρίνεται απαραίτητη η εκτεταμένη και αναλυτική επεξήγηση κάθε μιας παραμέτρου που χαρακτηρίζει το μοντέλο ΑΓΧ αλλά και η περιγραφή των μεταξύ τους διεργασιών. Αρχικά, στην 1 η ενότητα, γίνεται μια γενική αναφορά στους ΑΓΧ και δίνεται μια πρώτη εικόνα για τη λειτουργία τους. Στην 2 η ενότητα ακολουθεί η περιγραφή των κόμβων, που αποτελούν δομικά συστατικά ενός ΑΓΧ. Προχωρώντας στην ενότητα 3 φτάνουμε στην περιγραφή των βαρών και της σημασίας τους μέσα στο μοντέλο ΑΓΧ ενώ στην ενότητα 4 υπάρχει η περιγραφή των Συναρτήσεων Συμμετοχής. Στην 5 η και 6 η ενότητα αναφέρονται οι παραμέτροι που σχετίζονται με τη στατική και δυναμική ανάλυση ενός ΑΓΧ, αντίστοιχα. Ακολουθεί η 7 η ενότητα η οποία περιγράφει τις Συναρτήσεις Μεταφοράς. Στη συνέχεια, η 8 η ενότητα καταπιάνεται με τις παραμέτρους που θα χρειαστούμε στην προσπάθειά μας για το χρονικό προσδιορισμό της λειτουργίας των ΑΓΧ. Η αναφορά αυτή κλείνει με τον Επίλογο (9 η ενότητα), όπου συνοψίζονται τα βασικά στοιχεία ενός ΑΓΧ που τον καθιστούν κατάλληλο στην πρόγνωση και επίλυση προβλημάτων. Σελ. 1 από 33

1. Ασαφείς Γνωστικοί Χάρτες Οι Ασαφείς Γνωστικοί Χάρτες (ΑΓΧ) αποτελούν μία μέθοδο μοντελοποίησης πολύπλοκων συστημάτων. Η μέθοδος αυτή παίρνει στοιχεία από τους χώρους της Ασαφούς Λογικής και των Νευρωνικών Δικτύων και αποτελεί μέρος του συνόλου των Ευέλικτων Υπολογιστικών Μεθόδων (Soft Computing) [6]. Η γραφική αναπαράσταση των ΑΓΧ είναι ένας κατευθυνόμενος γράφος, ο οποίος αποτελείται από κόμβους και διασυνδέσεις μεταξύ των κόμβων οι οποίες χαρακτηρίζονται από κάποιο βάρος. Ο κάθε κόμβος περιγράφει ένα ξεχωριστό χαρακτηριστικό συμπεριφοράς του συστήματος που μοντελοποιείται μέσω των ΑΓΧ, ενώ τα βάρη, τα οποία χαρακτηρίζονται από πρόσημο και τιμή, δηλώνουν τη σχέση αιτιότητας μεταξύ των κόμβων. Ο ΑΓΧ μοντελοποιεί ένα σύστημα ως ένα μονο-επίπεδο ή πολυ-επίπεδο δίκτυο, όπου οι κόμβοι συμβολίζουν βασικές έννοιες του συστήματος και τα βάρη αναπαριστούν αιτιώδεις σχέσεις ανάμεσα σε αυτές τις έννοιες [6]. Επιτρέπει επίσης την ανάδραση ανάμεσα στους κόμβους, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα της μοντελοποίησης συστημάτων που εξελίσσονται με το χρόνο. Η ανάδραση αυτή παίζει ένα πολύ σημαντικό ρόλο στην ανανέωση των τιμών των καταστάσεων των κόμβων διαδίδοντας αιτιώδεις επιδράσεις από κόμβο σε κόμβο, χρησιμοποιώντας ποικίλα μονοπάτια. Σε έναν ΑΓΧ κωδικοποιείται η γνώση των ειδικών για τη συμπεριφορά ενός συστήματος μέσω της δομής των κόμβων και των διασυνδέσεων του ΑΓΧ. Σημαντικές παράμετροι στην επιτυχία της κατασκευής ενός ΑΓΧ είναι ο αριθμός των κόμβων, η πυκνότητα του δικτύου και η σωστή περιγραφή τους μέσα από τον καθορισμό των τιμών ενεργοποίησης των κόμβων Ai και των βαρών Wij. Στην Εικόνα 1 παρουσιάζεται ένα παράδειγμα ενός μικρού μοντέλου ΑΓΧ. Το πρόβλημα που μοντελοποιεί ο πιο κάτω ΑΓΧ είναι οι συνθήκες ενός δρόμου σε ώρα αιχμής[4]. Βασισμένοι σε αυτό το παράδειγμα θα γνωρίσουμε σταδιακά, μέσα από Σελ. 2 από 33

αυτή την αναφορά, τις παραμέτρους του ΑΓΧ αλλά και την αλληλεπίδραση μεταξύ τους. 0.5 Συνωστισμός στο δρόμο - C2-1 Εκνευρισμός οδηγού - C3- Άσχημες Καιρικές Συνθήκες - C1-1 1 0.2 Ατύχημα στο δρόμο - C4- -0.6 Επίγνωση κινδύνου από τον οδηγό - C5- Εικόνα 1 ΑΓΧ για τις συνθήκες του δρόμου σε ώρα αιχμής [4] 1.1 Κόμβοι Οι κόμβοι ενός ΑΓΧ αναπαριστούν τις διαφορετικές έννοιες που διέπουν το σύστημα που μοντελοποιείται. Αυτές οι έννοιες ή τα χαρακτηριστικά μπορεί να είναι γεγονότα, καταστάσεις, πράξεις, στόχοι, τάσεις, περιορισμοί του συστήματος κ.τ.λ. Κάθε κόμβος χαρακτηρίζεται από μια τιμή καταστάσεως ενεργοποίησης, Αi. Η τιμή αυτή δηλώνει το μέγεθος της «υπόστασης» που έχει κάθε κόμβος μεταβλητή στο γενικότερο σύστημα. Η τιμή καταστάσεως ενεργοποίησης κάθε κόμβου, όμως, θεωρείται υποκειμενική αφού η αξιοπιστία της εξαρτάται από τις γνώσεις και την εμπειρία των ειδικών. Έτσι ενδέχεται να υπάρξει περίπτωση πολύ μεγάλης απόκλισης των τιμών ενεργοποίησης κάθε κόμβου με αποτέλεσμα να υποβαθμίζεται η «συνεισφορά» ενός κόμβου στο γενικό σύνολο του συστήματος. Γι αυτό και οι τιμές αυτές πρέπει να Σελ. 3 από 33

κανονικοποιούνται έτσι ώστε να αποφεύγεται η ανάθεση δυσανάλογης σημαντικότητας σε συγκεκριμένους κόμβους στις αλυσίδες αιτιότητας. Έτσι, κάθε τιμή καταστάσεως ενεργοποίησης Αi αποτελεί τη μεταφορά της πραγματικής τιμής της αντίστοιχης μεταβλητής, του μοντελοποιημένου συστήματος, στο διάστημα [0,1]. Για να επιτευχθεί αυτή η μεταφορά χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις μεταφοράς οι οποίες περιγράφονται στην παράγραφο 1.7. Η τιμή της καταστάσεως ενεργοποίησης κάθε κόμβου ορίζεται ανάλογα με τη φύση και τον τύπο των δεδομένων που περιγράφει η μεταβλητή, την οποία μοντελοποιεί ο συγκεκριμένος κόμβος. Μερικές μεταβλητές μπορούν να οριστούν βάσει ποσοτικών κριτηρίων (π.χ. μέγεθος πληθυσμού, χωρητικότητα, ποσοστά, κ.τ.λ.) ενώ άλλες βάσει ποιοτικών κριτηρίων (π.χ. επίπεδα εθνικισμού σε μια κοινωνία, επίπεδο άγχους, γνώση τεχνολογίας από ένα σύνολο ανθρώπων, κ.τ.λ.). Οι μεταβλητές ορίζονται υποκειμενικά, έτσι η τιμή τους μπορεί να διαφέρει από μοντέλο σε μοντέλο. Ένας ΑΓΧ που περιγράφει ένα σύστημα με n μεταβλητές, μοντελοποιεί τις καταστάσεις όλων των κόμβων σε ένα 1 x n διάνυσμα Α, το οποίο περικλείει τις τιμές των καταστάσεων ενεργοποίησης των n κόμβων. Στο παράδειγμα της Εικόνας 1 οι κόμβοι αναπαρίστανται από τους κύκλους με τις λεκτικές περιγραφές του καθενός από αυτούς, στο εσωτερικό τους. Στο μοντέλο αυτό έχουμε 5 κόμβους (C1 C5) που σημαίνει ότι οι συνθήκες ενός δρόμου σε ώρα αιχμής ρυθμίζονται από 5 έννοιες (χαρακτηριστικά) οι οποίες είναι: 1. Οι άσχημες καιρικές συνθήκες 2. Ο συνωστισμός στο δρόμο 3. Ο εκνευρισμός των οδηγών 4. Η επίγνωση κινδύνου από τους οδηγούς 5. Η ύπαρξη ατυχήματος στο δρόμο Aρχικά οι ειδικοί πρέπει να ορίσουν τις τιμές ενεργοποίησης κάθε κόμβου, έτσι ώστε να αντικατοπτρίζεται όσο πιο αντικειμενικά γίνεται η πραγματική εικόνα των Σελ. 4 από 33

συνθηκών του μοντελοποιημένου προβλήματος στον ΑΓΧ. Για παράδειγμα, εάν μέσω των ειδικών, το αρχικό διάνυσμα τιμών ενεργοποίησης Α 0 του προβλήματος στη Εικόνα 1 ήταν το: Α 0 = [0.2, 0.9, 0.7, 0, 1] Τότε η εικόνα των συνθηκών στο μοντελοποιημένο δρόμο θα ήταν: 1. Δεν υπάρχουν άσχημες καιρικές συνθήκες. Ο καιρός είναι σχετικά πολύ καλός. (C1 = 0.2) 2. Υπάρχει αυξημένος συνωστισμός στο δρόμο. (C2 = 0.9) 3. Οι οδηγοί είναι αρκετά εκνευρισμένοι. (C3 = 0.7) 4. Δεν υπάρχει κάποιο ατύχημα στο δρόμο. (C4 = 0) 5. Οι οδηγοί έχουν πλήρη επίγνωση του κινδύνου που διατρέχουν στο δρόμο. (C5 = 1) 1.2 Βάρη Τα βάρη είναι οι συνδέσεις που ενώνουν δύο κόμβους σε έναν ΑΓΧ. Έχουν κατεύθυνση και χαρακτηρίζονται από πρόσημο και τιμή. Γενικότερα περιγράφουν τις σχέσεις αιτίας συνέπειας ανά 2 κόμβους. Ο ΑΓΧ είναι ένας γράφος που δείχνει τον βαθμό αιτιότητας σε μια σχέση μεταξύ δύο κόμβων. Αυτές οι σχέσεις αιτιότητας (βάρη) χαρακτηρίζονται είτε από θετικό είτε από αρνητικό πρόσημο. Το θετικό βάρος μιας αιτιώδους σχέσης εκφράζει την ευθεία σχέση επηρεασμού που έχουν οι 2 κόμβοι ενώ αντιθέτως το αρνητικό πρόσημο προσδιορίζει μια αντίστροφη σχέση μεταξύ τους. Έτσι, εάν 2 κόμβοι Ci και Cj συνδέονται με το βάρος Wij και: 1. Wij > 0 τότε Εάν η τιμή της καταστάσεως του κόμβου Ci, Αi αυξηθεί τότε θα αυξηθεί και η τιμή της καταστάσεως του κόμβου Cj, Αj, Εάν η τιμή του κόμβου Ci, Αi, μειωθεί τότε θα μειωθεί και η τιμή του Cj, Αj. Σελ. 5 από 33

2. Wij < 0 τότε Εάν η τιμή της καταστάσεως του κόμβου του Ci, Αi αυξηθεί τότε θα μειωθεί η τιμή της καταστάσεως του κόμβου Cj, Αj. Εάν η τιμή της καταστάσεως του κόμβου Ci, Αi, μειωθεί τότε θα αυξηθεί η τιμή της καταστάσεως του κόμβου Cj, Αj. 3. Wij = 0 τότε δεν υφίσταται σχέση αιτιότητας μεταξύ του κόμβου Ci και του κόμβου Cj Η αναπαράσταση της αιτιότητας στον ΑΓΧ επιτρέπει τη διαβάθμισή της σε διάφορα επίπεδα και ξεφεύγει από τη συνηθισμένη δυαδική λογική που επικρατούσε στους Γνωστικούς Χάρτες. Στο μοντέλο ΑΓΧ οι αιτιώδεις σχέσεις μεταξύ των κόμβων ασαφοποιούνται. Κάθε αιτιώδης σχέση αντιστοιχίζεται με μία πραγματική, αριθμητική τιμή εκφράζοντας έτσι το βαθμό ένταση της αιτιώδους επιρροής της συγκεκριμένης σχέσης. Με πιο απλά λόγια εκφράζει πόσο δυνατή είναι μια σχέση και πόση επιρροή μπορεί να ασκήσει ο ένας κόμβος στον άλλο. Ως εκ τούτου τα βάρη μεταξύ των κόμβων παίρνουν τιμές στο διάστημα [-1,1]. Η τιμές -1 και 1 αναπαριστούν την ολοκληρωτικά αρνητική και ολοκληρωτικά θετική επιρροή αντίστοιχα, η τιμή 0 δείχνει τη μη ύπαρξη οποιασδήποτε αιτιώδους σχέσης ενώ όλες οι ενδιάμεσες τιμές αντιστοιχούν σε διαφορετικά ασαφή επίπεδα αιτιότητας. Όσο πιο κοντά στο 0 βρίσκεται η τιμή του βάρους τόσο πιο αδύνατη είναι η σχέση. Όσο πλησιάζει την τιμή 1 τόσο πιο έντονα επηρεάζει, ευθέως, ο ένας κόμβος τον άλλο ενώ όσο πιο κοντά βρίσκεται στην τιμή -1 τόσο πιο έντονα επηρεάζει, αντίστροφα, ο ένας κόμβος τον άλλο. Ένας ΑΓΧ που περιγράφει ένα σύστημα με n μεταβλητές, μοντελοποιεί τις τιμές των βαρών σε ένα n x n πίνακα W. Η θέση Wij συμβολίζει το βάρος που ενώνει τον κόμβο Ci με τον κόμβο Cj ενώ η τιμή του στοιχείου eij του πίνακα αντιστοιχεί στην τιμή του βάρους Wij. Σελ. 6 από 33

Επιστρέφοντας στο παράδειγμα της Εικόνας 1, οι ειδικοί θα έπρεπε να ορίσουν με κάποιον τρόπο τα εξής βάρη: 1. Βάρος που ενώνει τον κόμβο C1 με τον κόμβο C2 (W12) 2. Βάρος που ενώνει τον κόμβο C2 με τον κόμβο C3 (W23) 3. Βάρος που ενώνει τον κόμβο C3 με τον κόμβο C4 (W34) 4. Βάρος που ενώνει τον κόμβο C5 με τον κόμβο C4 (W54) 5. Βάρος που ενώνει τον κόμβο C1 με τον κόμβο C4 (W14) 6. Βάρος που ενώνει τον κόμβο C4 με τον κόμβο C2 (W42) Οι τιμές των βαρών αυτών είναι ορισμένες και φαίνονται στην Εικόνα 1 οπότε ο αντίστοιχος πίνακας βαρών W είναι: Πίνακας 1 Πίνακας βαρών του ΑΓΧ όπως παρουσιάζεται στην Εικόνα 1 C1 C2 C3 C4 C5 C1 0.0 0.5 0.0 0.2 0.0 C2 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 C3 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 C4 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 C5 0.0 0.0 0.0-0.6 0.0 Από τις τιμές των βαρών μπορούμε να καταλάβουμε για το μοντέλο αυτό ότι: 1. W12 = 0.5 Οι άσχημες καιρικές συνθήκες (C1) συνεισφέρουν στην δημιουργία συνωστισμού στο δρόμο (C2) 2. W14 = 0.2 Οι άσχημες καιρικές συνθήκες (C1) συνεισφέρουν σε μικρό βαθμό στο να συμβεί ατύχημα στο δρόμο (C4) Σελ. 7 από 33

3. W23 = 1 Όταν δημιουργηθεί συνωστισμός στο δρόμο (C2) τότε σίγουρα θα δημιουργηθεί εκνευρισμός στους οδηγούς (C3) 4. W34 = 1 Όταν δημιουργηθεί εκνευρισμός στους οδηγούς (C3) τότε σίγουρα θα υπάρξει κάποιο ατύχημα στο δρόμο (C4) 5. W42 =1 Όταν συμβεί κάποιο ατύχημα στο δρόμο (C4) τότε σίγουρα θα δημιουργηθεί συνωστισμός στο δρόμο (C2) 6. W54 = -0.6 Όταν οι οδηγοί έχουν επίγνωση του κινδύνου που διατρέχουν στο δρόμο (C5) αυτό συνεισφέρει στη μη δημιουργία ατυχήματος στο δρόμο (C4) 7. Τα υπόλοιπα βάρη όπου Wij = 0, δείχνουν την απουσία οποιασδήποτε σχέσης αιτιότητας μεταξύ των κόμβων i και j Έτσι μέχρι τώρα βλέπουμε ότι ένα μοντέλο ΑΓΧ μπορεί να περιγραφεί από ένα διάνυσμα τιμών ενεργοποίησης των κόμβων Α και ένα πίνακα βαρών W. Η δυναμική του ΑΓΧ είναι ότι μέσα από τις τιμές του διανύσματος αλλά και του πίνακα μπορεί οποιοσδήποτε να αναπτύξει λεκτικά τις σχέσεις, αλλά και την αξία της παρουσίας κάθε κόμβου στο μοντέλο, παρατηρώντας απλά τις τιμές και τα πρόσημά τους. 1.3 Συναρτήσεις συμμετοχής Συνάρτηση συμμετοχής μa(x) (προτάθηκε κυρίως από τον Lotfi Zadeh [10]), ορίζεται ο βαθμός στον οποίο το αντικείμενο x ενός συνόλου Χ ανήκει στο σύνολο Α έτσι ώστε μa(x) = Degree (x ε A)[11]. Μια συνάρτηση συμμετοχής αναπαρίσταται γραφικά ως μια καμπύλη η οποία ορίζει την αντιστοίχιση κάθε στοιχείου από το χώρο εισόδου, με μια τμή βαθμού συμμετοχής μεταξύ του 0 και του 1. Σελ. 8 από 33

Στην περίπτωση του μοντέλου των ΑΓΧ οι συναρτήσεις συμμετοχής αποτελούν τον συνδετικό κρίκο μεταξύ της γλωσσολογικής περιγραφής των βαρών μεταξύ των κόμβων (λεκτική περιγραφή της επιρροής που ασκεί ο ένας κόμβος στον άλλο) και της ανάθεσης μίας ασαφούς αριθμητικής τιμής σε αυτά. Έτσι στην περίπτωση των ΑΓΧ η συνάρτηση συμμετοχής μa(x) δείχνει το ποσοστό στο οποίο το αντικείμενο x ανήκει στο ασαφές σύνολο Α. Δηλαδή εισάγοντας τις συναρτήσεις συμμετοχής στα ασαφή σύνολα μπορούμε να έχουμε αντικείμενα που να έχουν «μερική» συμμετοχή σε αυτά τα ασαφή σύνολα (0<μA(x)<1). Έτσι ξεφεύγουμε από τη δυαδική συνάρτηση συμμετοχής (μa(x) = 1 αν το x ανήκει στο σύνολο Α, διαφορετικά μa(x) = 0). Για την καλύτερη κατανόηση των συναρτήσεων συμμετοχής στο πλαίσιο των ασαφών συνόλων παρουσιάζεται ένα από τα πιο γνωστά παραδείγματα χρησιμοποιώντας το σύνολο των ψηλών ανθρώπων. Στην περίπτωση αυτή η λέξη «ψηλός» αντιστοιχεί στην καμπύλη η οποία ορίζει το βαθμό στον οποίο ένας άνθρωπος μπορεί να θεωρείται ψηλός. Εάν το σύνολο των ψηλών ανθρώπων δίνεται από σαφή όρια της κλασσικής λογικής συνόλων, τότε μπορούμε να πούμε ότι όλοι οι άνθρωποι οι οποίοι υπερβαίνουν τα 2.20 μέτρα θεωρούνται ψηλοί. Βέβαια ακολουθώντας την πιο πάνω λογική εύκολα διερωτάται κανείς κατά πόσο ένας άνθρωπος με ύψος 2.19 μέτρα θεωρείται ψηλός ή όχι. Εικόνα 2 Χαρακτηριστική εικόνα που απεικονίζει την λογική των κλασικών συνόλων όπου, αν το ύψος ενός ανθρώπου ξεπερνά μια συγκεκριμένη τιμή τότε αυτός χαρακτηρίζεται ψηλός, διαφορετικά όχι. (www.mathworks.com) Σελ. 9 από 33

Εικόνα 3 Δυαδική συνάρτηση συμμετοχής για τους ψηλούς ανθρώπους η οποία αναπαριστά το φαινόμενο της Εικόνας 2. (www.mathworks.com) Έτσι, αναδύεται η ανάγκη ενός διαφορετικού ορισμού του συνόλου των ψηλών ανθρώπων. Η γραφική παράσταση στην Εικόνα 4 δείχνει μια ομαλή καμπύλη που μεταβαίνει από τα μεγέθη ύψους των μη ψηλών έως τα μεγέθη ύψους των ψηλών ανθρώπων. Εικόνα 4 Συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου των ψηλών ανθρώπων. Όλοι οι άνθρωποι ανήκουν στο ασαφές σύνολο των ψηλών ανθρώπων αλλά σε διαφορετικό βαθμό συμμετοχής ο καθένας. (www.mathworks.com) Αυτή η καμπύλη είναι γνωστή ως συνάρτηση συμμετοχής ενώ ο άξονας y συμπεριλαμβάνει τις τιμές συμμετοχής που κυμαίνονται από το 0 έως το 1. Η συνάρτηση συμμετοχής πολύ απλά ορίζει την ομαλή μετάβαση από τον μη ψηλό, Σελ. 10 από 33

στον ψηλό άνθρωπο. Η ιδέα χρήσης συναρτήσεων συμμετοχής θεωρεί ότι δύο άνθρωποι διαφορετικού ύψους μπορούν να είναι ψηλοί σε κάποιο βαθμό αλλά ο ένας σε μεγαλύτερο βαθμό από τον άλλο. Οι συναρτήσεις συμμετοχής πρέπει να ικανοποιούν μία και μόνο συνθήκη και το πεδίο τιμών τους να είναι μεταξύ του 0 και του 1. Μία συνάρτηση συμμετοχής μπορεί να οριστεί με τέτοιο τρόπο που να ικανοποιεί το εκάστοτε ασαφές σύνολο όπως ορίζεται μέσα από το πρόβλημα που θα μοντελοποιηθεί. Για παράδειγμα, ένα κλασσικό σύνολοο είναι το πιο κάτω: A = {x x > 6} Το ασαφές σύνολο είναι μια προέκταση του κλασσικού συνόλου. Εάν το Χ είναι το σύμπαν αναφοράς και τα στοιχεία του συμβολίζονται με το x, τότε ένα ασαφές σύνολο Α στο Χ ορίζεται το σύνολο από διατεταγμένα ζευγάρια: A = {x, µa(x) x X} Όπου µa(x) είναι η συνάρτηση συμμετοχής του x στο A. Η συνάρτηση συμμετοχής αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του X με μια τιμή συμμετοχής μεταξύ του 0 και του 1. Όπως γίνεται κατανοητό το στοιχείο x δύναται να ανήκει παράλληλα και σε άλλο ασαφές σύνολο Β έχοντας διαφορετικό βαθμό συμμετοχής μβ(x). Εικόνα 5 Οι 2 βαθμοί συμμετοχής του στοιχείου xο στα σύνολα Α και Β όπου μα( (xο) = 0.75 και μβ(xο) = 0.25 (www.atp.ruhr-uni-bochum.de) Ο τύπος αναπαράστασης της συνάρτησης συμμετοχής εξαρτάται από το βασικό σύνολο στο οποίο στηρίζεται η «κατασκευή» της συνάρτησης συμμετοχής. Εάν αυτό Σελ. 11 από 33

το σύνολο είναι συνεχές τότε κατάλληλη είναι μια παραμετρική αναπαράσταση. Για τις παραμετρικές αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται συναρτήσεις που προσαρμόζονται στο εκάστοτε σύνολο που ικανοποιεί τα πιο πάνω προαναφερθέντα χαρακτηριστικά αλλάζοντας τις παραμέτρους τους. Γι αυτό το σκοπό υπάρχει ιδιαίτερη προτίμηση στις γραμμικές συναρτήσεις συμμετοχής λόγω της απλότητας και της ελάχιστης πολυπλοκότητας που τις χαρακτηρίζουν. Οι πιο συνηθισμένες από αυτές είναι οι τριγωνικές και οι τραπεζοειδείς συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται από 3 και 4 σημεία αντίστοιχα. Εικόνα 6 Γραφική αναπαράσταση μιας τραπεζοειδούς και μιας τριγωνικής συνάρτησης αντίστοιχα.(www.mathworks.com) Πιο κάτω ακολουθεί μια γενική περιγραφή μιας τραπεζοειδούς συνάρτησης. μ(x, a, b, c, d) = 0,,,, Εξίσωση 1 1,, Σελ. 12 από 33

Στην Εξίσωση 1 βλέπουμε τα 4 σημεία που περιγράφουν μια τέτοια συνάρτηση (a, b, c, d) όπως φαίνονται στην Εικόνα 7 ενώ το x είναι το στοιχείο του οποίου η συνάρτηση μ(x, a, b, c, d) θα δώσει το βαθμό συμμετοχής σε ένα ασαφές σύνολο. Για να αναπαραστήσουμε με τον ίδιο τρόπο μια τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να ταυτίσουμε τα σημεία b και c έτσι ώστε b = c. Εικόνα 7 Μερικά από τα χαρακτηριστικά μιας τραπεζοειδούς συνάρτησης συμμετοχής.( www.atp.ruhr-uni-bochum.de) Στην Εικόνα 7 φαίνονται τα βασικά χαρακτηριστικά μιας τραπεζοειδούς συνάρτησης που είναι ο πυρήνας (core) και τα όρια (boundaries). Ο πυρήνας ενός κανονικού ασαφούς συνόλου Α είναι ένα κλασσικό σύνολο το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία ενός συνόλου Χ τα οποία έχουν βαθμό συμμετοχης ίσον με 1 στο ασαφές σύνολο Α. Core (A) = {x E X μα(x) = 1}, Εξίσωση 2 (www.atp.ruhr-unibochum.de) Τα όρια της τραπεζοειδούς συνάρτησης συμμετοχής είναι επίσης ένα κλασσικό σύνολο το οποίο περιέχει τα στοιχεία του συνόλου Χ τα οποία έχουν βαθμό συμμετοχής μεγαλύτερο του 0 και μικρότερο του 1 στο ασαφές σύνολο Α. boundaries (A) = {x E X 0 < μα(x) < 1}, Εξίσωση 3 (www.atp.ruhr-unibochum.de) Σελ. 13 από 33

Για πιο σύνθετα βασικά σύνολα υπάρχουν οι αντίστοιχες πιο σύνθετες συναρτήσεις συμμετοχής όπως π.χ. η Γκαουσιανές, οι σιγμοειδείς, οι πολυωνυμικές κ.ά. Εικόνα 8 (a)γκαουσιανή συνάρτηση, (b) Διαφορά 2 σιγμοειδών(c)συνάρτηση Bell (www.atp.ruhr-uni-bochum.de) Στο μοντέλο των ΑΓΧ οι τιμές των βαρών που συνδέουν τους κόμβους καθορίζονται χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή Επιρροή (Influence) η οποία αποτελεί μια λεκτική μεταβλητή που παίρνει τιμές στο διάστημα U = [-1,1][14]. Το σύνολο τιμών της Τ(Επιρροή) ορίζεται από τους κατασκευαστές κάθε ΑΓΧ σύμφωνα με τη διαβάθμιση της επιρροής που θέλουν να δώσουν στον δικό τους ΑΓΧ. Ένα τέτοιο σύνολο που προτάθηκε από το [14] αποτελείται από 9 λεκτικές μεταβλητές, Τ(Επιρροή) = { αρνητικά πολύ ισχυρό, αρνητικά ισχυρό, αρνητικά μέσο, αρνητικά αδύνατο, μηδέν, θετικά αδύνατο, θετικά μέσο, θετικά ισχυρό και θετικά πολύ ισχυρό} και οι συναρτήσεις συμμετοχής τους αντίστοιχα είναι μnvs, μns, μnm, μnw, μz, μpw, μpm, μps, και μpvs. Εικόνα 9 Συναρτήσεις Συμμετοχής της λεκτικής μεταβλητής Επιρροή [15] Σελ. 14 από 33

Έχοντας λοιπόν περιγράψει τα επίπεδα επιρροής που μπορεί κάθε κόμβος να ασκήσει σε έναν άλλο με λεκτικές μεταβλητές και έπειτα να σχηματίσει τις συναρτήσεις συμμετοχής για τον ΑΓΧ, που να αντιστοιχούν αυτές με τις λεκτικές μεταβλητές, ακολουθούν οι διαδικασίες ασαφοποίησης και απο-ασαφοποίησης για την ανάθεση μίας τιμής σε κάθε βάρος. Έχοντας λοιπόν υπόψη τις συναρτήσεις συμμετοχής της μεταβλητής Επιρροής μπορούμε να περιγράψουμε λεκτικά την επιρροή που έχει κάθε κόμβος στους υπόλοιπους άλλους μέσω των τιμών των βαρών του μοντέλου στην Εικόνα 1. Έτσι το βάρος: 1. W12 = 0.5 Περιγράφεται με τη συνάρτηση συμμετοχής μpm. Έχει βαθμό συμμετοχής 1 στο σύνολο της θετικά μέσης επιρροής και μηδέν στα υπόλοιπα σύνολα. Αυτό μας δείχνει ότι ο κόμβος C1 επηρεάζει θετικά τον κόμβο C2 σε μέτρια επίπεδα. 2. W14 = 0.2 Περιγράφεται με 2 συναρτήσεις συμμετοχής, την μz και τη μpw οι οποίες ορίζουν το σύνολο της μηδενικής επιρροής και το σύνολο της θετικά αδύνατης επιρροής. Έχει μεγαλύτερο βαθμό συμμετοχής στο σύνολο της θετικά αδύνατης επιρροής. Αυτό μας δείχνει ότι ο κόμβος C1 επηρεάζει θετικά τον κόμβο C2 σε πάρα πολύ χαμηλά επίπεδα. 3. W23 = 1 Περιγράφεται με τη συνάρτηση συμμετοχής μprs. Έχει βαθμό συμμετοχής 1 στο σύνολο της θετικά πολύ ισχυρής επιρροής. Αυτό μας δείχνει ότι μια αλλαγή στον κόμβο C2 θα επιφέρει τη μέγιστη δυνατή θετική αλλαγή στην κατάσταση του κόμβου C3. 4. W34 = 1 Περιγράφεται με τη συνάρτηση συμμετοχής μprs. Έχει βαθμό συμμετοχής 1 στο σύνολο της θετικά πολύ ισχυρής επιρροής. Αυτό μας δείχνει ότι μια αλλαγή στον κόμβο C3 θα επιφέρει τη μέγιστη δυνατή θετική αλλαγή στην κατάσταση του κόμβου C4. Σελ. 15 από 33

5. W42 =1 Περιγράφεται με τη συνάρτηση συμμετοχής μprs. Έχει βαθμό συμμετοχής 1 στο σύνολο της θετικά πολύ ισχυρής επιρροής. Αυτό μας δείχνει ότι μια αλλαγή στον κόμβο C4 θα επιφέρει τη μέγιστη δυνατή θετική αλλαγή στην κατάσταση του κόμβου C2. 6. W54 = -0.6 Περιγράφεται με 2 συναρτήσεις συμμετοχής, τη μns και τη μnm οι οποίες ορίζουν το σύνολο της αρνητικά ισχυρής επιρροής και το σύνολο της αρνητικά μέσης. Έχει μεγαλύτερο βαθμό συμμετοχής στο σύνολο της αρνητικά μέσης επιρροής. Αυτό μας δείχνει ότι ο κόμβος C5 επηρεάζει αρνητικά τον κόμβο C4 σε αρκετά ψηλά επίπεδα. 1.4 Στατική Ανάλυση ΑΓΧ Η στατική ανάλυση των ΑΓΧ χωρίζεται σε 3 μέρη: 1. Πυκνότητα Ένα χαρακτηριστικό του ΑΓΧ αλλά και κάθε δικτύου που μπορεί να δώσει πληροφορίες για την μετέπειτα δυναμική συμπεριφορά του δικτύου είναι η πυκνότητα. Η πυκνότητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον αριθμό των κόμβων (Ν) και τον αριθμό σχέσεων αιτιότητας (R) που μπορεί να έχει ο ΑΓΧ. Η πυκνότητα μπορεί να λειτουργήσει σαν ένα μέτρο του βαθμού συνδετικότητας που έχει το δίκτυό μας. Υπολογίζεται ως: D, Εξίσωση 4 [12] Η πυκνότητα είναι ένας δείκτης της πολυπλοκότητας κάθε δικτύου. Όσο μεγαλύτερη τιμή έχει τόσο πιο πολύπλοκο είναι το δίκτυο και αντίστοιχα το πρόβλημα που μοντελοποιεί. Γι αυτό το λόγο η συνιστώμενη τιμή πυκνότητας για ένα δίκτυο ανήκει στο διάστημα [0.05, 0.3]. Σελ. 16 από 33

Ο ΑΓΧ του παραδείγματος της Εικόνας 1, που σταδιακά αναλύουμε, έχει 5 κόμβους (N = 5) και 6 σχέσεις αιτιότητας (R = 6). Άρα η πυκνότητα αυτού του μοντέλου είναι: D = 0.24. 2. Σχετική «σημαντικότητα» κάθε κόμβου του δικτύου Ο Kosko [7] περιγράφει την κεντρικότητα ως ένα μέτρο που καθορίζει την σημαντικότητα ενός κόμβου στον ΑΓΧ. Η κεντρικότητα του κόμβου Cj σε ένα γνωστικό χάρτη δίνεται από το άθροισμα των βαρών που δείχνουν σε αυτόν και το άθροισμα των βαρών τα οποία «ξεκινούν» από αυτόν. Κεντρικότητα κόμβου (Ci) = IN(Ci) + OUT(Ci), Εξίσωση 5 [12] Όπου IN(Ci) είναι το άθροισμα των απόλυτων τιμών των βαρών που οδηγούν στον κόμβο Ci, i j, ενώ το OUT(Ci) αποτελεί το άθροισμα των απόλυτων τιμών των βαρών από τον κόμβο Ci προς τους κόμβους Cj, i j. IN(Ci) =, Εξίσωση 6 [12] OUT(Ci) =, Εξίσωση 7 [12] Αθροίζοντας τα βάρη, μπορούμε να βρούμε την απόλυτη τιμή για κάθε βάρος υπολογίζοντας έτσι τη θετική ή την αρνητική αιτιότητα που δίνει και τη σημαντικότητα σε κάθε κόμβο. Κόμβοι που αποδεικνύεται να έχουν μεγάλη κεντρικότητα χρειάζονται ειδική προσοχή στην οποιαδήποτε ανάλυση του ΑΓΧ που θα προκύψει. Στον ΑΓΧ της Εικόνας 1 παρουσιάζονται 5 κόμβοι. Πιο κάτω υπολογίζεται η κεντρικότητα του καθενός. C1 C2 C3 C4 C5 IN( ) 0.0 1.0 + 0.5 = 1.5 1.0 1.0 + 0.2 + (-0.6) = 0.6 0.0 Σελ. 17 από 33

C1 C2 C3 C4 C5 OUT( ) 0.5 + 0.2 = 0.7 1.0 1.0 1.0-0.6 =0.6 C1 C2 C3 C4 C5 Κεντρικότητα ( ) 0.7 2.5 2.0 1.6 0.6 3. Έμμεσες και ολικές συνέπειες μεταξύ 2 κόμβων Ο Kosko [7] περιγράφει επίσης μία μέθοδο ανεύρεσης των έμμεσων και ολικών συνεπειών μεταξύ 2 κόμβων σε έναν ΑΓΧ. Έστω ότι υπάρχουν 2 κόμβοι Ci και Cj τους οποίους συνδέουν m διαφορετικά μονοπάτια σχέσεων αιτίας (βαρών). Κάθε μονοπάτι μπορεί να γραφτεί ως (i, kl1, kl2,, kln, j) για 1 <= l <= m. Έστω τώρα ότι Il(Ci και Cj) συμβολίζει τις έμμεσες συνέπειες που έχει ο κόμβος Cj από τον κόμβο Ci μέσω του l ου μονοπατιού. Τ(Ci και Cj) συμβολίζει τις ολικές συνέπειες που επιφέρει ο κόμβος Ci στον κόμβο Cj μέσω όλων των m μονοπατιών που τους ενώνουν. Il(Ci και Cj) = min {e(cp, Cp+1) : (p, p + 1) ε (i, kl1, kl2,, kln, j)}, Εξίσωση 8[7] Τ(Ci και Cj) = max(il(ci και Cj)), Εξίσωση 9 [7] όπου p και p+1 συνεχόμενα μονοπάτια. Έτσι βλέπουμε ότι η έμμεση συνέπεια που προκαλεί ο κόμβος Ci στον κόμβο Cj δίνεται από το μικρότερο (σε τιμή) πιο αδύνατο βάρος που βρίσκεται στο συγκεκριμένο μονοπάτι που ξεκινά από τον Ci και καταλήγει στον Cj. Από την άλλη η ολική συνέπεια δίνεται από τη μέγιστη έμμεση συνέπεια από όλα τα μονοπάτια που συνδέουν τους 2 κόμβους. Στον ΑΓΧ της Εικόνας 1 θα ασχοληθούμε με την έμμεση και ολική συνέπεια των 2 μονοπατιών που συνδέουν τους κόμβους C1 και C3. Το 1 ο μονοπάτι ακολουθεί την διαδρομή C1 -> C2 -> C3 ενώ το 2 ο τη διαδρομή C1 -> C4 -> C2 Σελ. 18 από 33

-> C3. I1(C1 και C3) = min{0.5, 1.0} = 0.5 I2(C1 και C3) = min{0.2, 1.0, 1.0} = 0.2 Τ(C1 και C3) = max{ I1(C1 και C3), I2(C1 και C3)} = {0.5, 0.2} = 0.5 4. Βαθμός Ισορροπίας ενός ΑΓΧ Ένας ΑΓΧ στερείται ισορροπίας εάν βρεθούν δύο μονοπάτια μεταξύ δύο ίδιων κόμβων που να δημιουργούν αιτιώδεις σχέσεις διαφορετικού προσήμου. Σε οποιαδήποτε αντίθετη περίπτωση ο ΑΓΧ θεωρείται ισορροπημένος. Σε έναν μη ισορροπημένο ΑΓΧ δεν είναι δυνατή η λήψη μιας απόφασης εάν το πρόσημο της ολικής συνέπειας που επιφέρει ένας κόμβος πάνω σε έναν άλλο είναι θετικό ή αρνητικό. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι υπολογισμού της ισορροπίας ενός ΑΓΧ. Όλες οι μέθοδοι χρησιμοποιούν τον αριθμό των θετικών και αρνητικών ημίκυκλων για να συμπεράνουν την ισορροπία ή την μη ισορροπία για ένα ΑΓΧ. Ένας ημίκυκλος σε ένα γράφο είναι ένας οποιοσδήποτε κύκλος που μπορεί να δημιουργηθεί μη λαμβάνοντας υπόψη την κατεύθυνση των βελών του γράφου. Ένας θετικός ημίκυκλος είναι ένας κύκλος που αποτελείται από βέλη εκ των οποίων εάν υπάρχουν αρνητικού προσήμου βέλη τότε ο αριθμός αυτών είναι ζυγός. Ένας αρνητικός ημίκυκλος είναι ένας κύκλος ο οποίος περιέχει μονό αριθμό βελών με αρνητικό πρόσημο. Πολλές μέθοδοι προσδιορισμού της ισορροπίας ενός γράφου λαμβάνουν υπόψη και το μέγεθος του κάθε ημίκυκλου. Μία τέτοια μέθοδος που προτάθηκε από το [21] είναι η: ή, Εξίσωση 10 Σελ. 19 από 33

, Εξίσωση 11 Όπου: είναι ο αριθμός των θετικών ημίκύκλων στον γράφο που έχουν μέγεθος m είναι ο αριθμός των αρνητικών ημίκυκλων στον γράφο που έχουν μέγεθος m. είναι ο αριθμός όλων των ημίκυκλων στον γράφο που έχουν μέγεθος m. (m) είναι μια μονότονη αυξητική συνάρτηση όπως π.χ. f(m) = 1/m, f(m) = 1 / m 2 ή f(m) = 1/2 m. Έτσι για τον ΑΓΧ όπως παρουσιάζεται στην Εικόνα 1 έχουμε συνολικά 3 ημίκυκλους από τους οποίους και οι 3 είναι θετικοί! Οι ημίκυκλοι αυτού είναι: 1. C1 -> C2 -> C4 -> C1 ( με μήκος m = 3) 2. C2 -> C3 -> C4 -> C2 ( με μήκος m = 3) 3. C1 -> C2 -> C3 -> C4 -> C1 ( με μήκος m = 4) Έτσι οι παράμετροι: 2 = 1 = 2 = 1 Βάσει της Εξίσωσης 10 και επιλέγοντας τη συνάρτηση f(m) = 1/m έχουμε: = / / / / = 1 Σελ. 20 από 33

Σύμφωνα με το αποτέλεσμα ο ΑΓΧ στην Εικόνα 1 έχει βαθμό ισορροπίας 1. Όσο πιο κοντά στο 1 είναι ο βαθμός ισορροπίας τόσο πιο ισορροπημένος είναι ο ΑΓΧ που μοντελοποιούμε οπότε ο ΑΓΧ της Εικόνας 1 είναι ισορροπημένος. 1.5 Δυναμική Ανάλυση ΑΓΧ Η δυναμική ανάλυση ενός ΑΓΧ περιλαμβάνει την περιγραφή των αλλαγών που επιφέρουν οι αλληλεπιδράσεις των κόμβων στο δίκτυο σε κάθε βήμα εκτέλεσης. Δοθέντος του πίνακα βαρών W και ενός αρχικού διανύσματος καταστάσεων Α 0 των κόμβων το δίκτυο ΑΓΧ θα «τρέχει»(όπως θα δούμε στον αλγόριθμο πιο κάτω) μέχρι να καταλήξει σε ένα διάνυσμα Α τελικό με τις τελικές σταθερές καταστάσεις των κόμβων (ή με πολλά διανύσματα καταστάσεων στην περίπτωση του φαινομένου limit cycle ή chaotic attractor). Το τελικό ή τα τελικά διανύσματα καταστάσεων κρύβουν πολλές χρήσιμες πληροφορίες για τα πιθανά αποτελέσματα που μπορεί να επιφέρει μία ή περισσότερες αλλαγές στις καταστάσεις των κόμβων στο σύστημα που μοντελλοποιείται από τον ΑΓΧ. Ο αλγόριθμος που ακολουθεί ένας ΑΓΧ δίνεται πιο κάτω: Σελ. 21 από 33

Αρχή Βήμα 1: Διάβασε το αρχικό διάνυσμα Α 0, t=0 Βήμα 2: Δώσε τον πίνακα βαρών διασύνδεσης W Βήμα 3: t = t + 1 Βήμα 4: Υπολόγισε την καινούρια κατάσταση κάθε κόμβου του ΑΓΧ, Ai (t),χρησιμοποιώντας, Εξίσωση 12 ή μια άλλη συνάρτηση ανανέωσης καταστάσεων κόμβων ( βλ. Παράγραφο 1.6) Βήμα 5: Εφάρμοσε τη συνάρτηση μεταφοράς στο διάνυσμα A (t) = f(a (t) )(βλ. Παράγραφο 1.7) Βήμα 6: ΕΑΝ (A (t) == A (t-1) ) ή (t == μέγιστο αριθμό επαναλήψεων), ΣΤΑΜΑΤΑ Διαφορετικά ΠΗΓΑΙΝΕστο Βήμα 1. Εικόνα 10 Αλγόριθμος Προσομοίωσης των Αλληλεπιδράσεων του ΑΓΧ [15] Στον πιο πάνω αλγόριθμο η μεταβλητή t απαριθμεί τις επαναλήψεις που χρειάζεται ο ΑΓΧ μέχρι να συγκλίνει σε μια συμπεριφορά η οποία δυνατόν να είναι ισορροπία σε ένα σταθερό σημείο, παρουσίαση κύκλου επαναλήψεων ή χαοτική συμπεριφορά. Το διάνυσμα Α (t) περιέχει τις καταστάσεις των κόμβων στην t επανάληψη ενώ το Α (t-1) είναι το αντίστοιχο διάνυσμα με τις καταστάσεις της προηγούμενης επανάληψης. Όπως βλέπουμε στον πιο πάνω ψευδοκώδικα, σε κάθε επανάληψη οι κόμβοι αλληλεπιδρούν μεταξύ τους επηρεάζοντας ο ένας τον άλλο, στο βαθμό που τους επιτρέπουν τα βάρη που τους ενώνουν. Η νέα τιμή κάθε κόμβου εξαρτάται από την Σελ. 22 από 33

τιμή της κατάστασης των κόμβων που τον επηρεάζουν πολλαπλασιαζόμενη με το βάρος ένωσής τους. Αυτή είναι η βασική λογική της ανανέωσης των καταστάσεων των κόμβων σε κάθε επανάληψη. Παρόλ αυτά υπάρχουν κάποιες άλλες συναρτήσεις ανανέωσης βαρών με διαφοροποιήσεις στον υπολογισμό της νέας κατάστασης των κόμβων οι οποίες αναφέρονται στην παράγραφο 1.6. Ο αλγόριθμος τερματίζει όταν ο ΑΓΧ παρουσιάσει μία από τις πιο κάτω συμπεριφορές: 1. Ισορροπία σε σταθερό σημείο όπου ο ΑΓΧ σταθεροποιείται σε ένα συγκεκριμένο διάνυσμα καταστάσεων κόμβων οι οποίες δεν μεταβάλλονται σε κάθε βήμα εκτέλεσης (steady state) Εικόνα 11 Φαινόμενο ισορροπίας όλων των κόμβων ενός ΑΓΧ σε σταθερό σημείο [2] 2. Κύκλο επαναλήψεων όπου ο ΑΓΧ εμπίπτει σε έναν βρόγχο διανυσμάτων καταστάσεων κόμβων τα οποία επαναλαμβάνονται σε συγκεκριμένο αριθμό επαναλήψεων με την ίδια σειρά (limit cycle) Σελ. 23 από 33

Εικόνα 12 Φαινόμενο όπου οι καταστάσεις μερικών από τους κόμβους ενός ΑΓΧ πέφτουν σε κύκλο επαναλήψεων [2] 3. Χαοτική συμπεριφορά όπου ο ΑΓΧ παρουσιάζει αστάθεια στις τιμές των καταστάσεων των κόμβων αφού αλλάζει συνεχώς τις τιμές αυτές με ένα τυχαίο, μη καθοριστικό τρόπο (chaotic behavior) Εικόνα 13 - Φαινόμενο όπου οι καταστάσεις όλων των κόμβων ενός ΑΓΧ παρουσιάζουν χαωτική συμπεριφορά [2] Το μοντέλο ΑΓΧ μέσα από τη δυναμική λειτουργία του μπορεί να απαντήσει ερωτήματα του τύπου «Εάν Τότε» τα οποία ρωτούν τι θα γίνει στο υπόλοιπο σύστημα εάν αλλάξουμε μια κατάσταση του μοντέλου μας. Τέτοια ερωτήματα μας βοηθούν να κτίσουμε σενάρια υποθέσεων τα οποία μπορούν να μας καθοδηγήσουν Σελ. 24 από 33

στην ανεύρεση κρυμμένων σχέσεων μεταξύ των κόμβων μεταβλητών του συστήματος. Για να γίνει αυτό εκτελείται μία συγκεκριμένη ακολουθία βημάτων. Αρχικά πρέπει να ορίσουμε την τρέχουσα κατάσταση στο σύστημα. Για να το πράξουμε αυτό ορίζονται με κάποιο τρόπο (συνήθως από ειδικούς στο εκάστοτε πρόβλημα) οι αρχικές τιμές των καταστάσεων των κόμβων όπως επίσης και ο πίνακας βαρών που συνδέουν τους κόμβους. Έπειτα αφήνουμε τον ΑΓΧ να «τρέξει» με τους κόμβους αλληλεπιδρώντας μέχρι να σταθεροποιηθεί το μοντέλο σε μια συμπεριφορά ΑΓΧ. Αυτός ο σταθεροποιημένος ΑΓΧ αποτελεί την τρέχουσα χαρτογράφηση του μοντελοποιημένου συστήματος στο σήμερα. Στη συνέχεια ορίζουμε το ερώτημα «Εάν Τότε» κλειδώνοντας έναν ή περισσότερους κόμβους σε μια συγκεκριμένη τιμή (στην τιμή που θέλουμε εμείς). Έπειτα αφήνουμε τον ΑΓΧ να «τρέξει» σύμφωνα με τον προτεινόμενο αλγόριθμο με τη διαφορά ότι οι καταστάσεις των κλειδωμένων κόμβων δεν θα ανανεώνονται αλλά αντιθέτως θα παραμένουν σταθερές. Και πάλι ο ΑΓΧ θα σταματήσει όταν παρουσιάσει μία από τις τρεις συμπεριφορές. Ο ΑΓΧ τώρα αποτελεί την εικόνα του συστήματος όπως θα είναι στο μέλλον μετά από την αλλαγή των καταστάσεων των κόμβων όπως τις κλειδώσαμε εμείς. Μέσα από τις τελικές καταστάσεις των κόμβων του ΑΓΧ μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για τη μελλοντική εξέλιξη του μοντελλοποιημένου συστήματος κάτω από τις προϋποθέσεις που ορίσαμε αρχικά χρησιμοποιώντας κλειδωμένους κόμβους. 1.6 Συναρτήσεις Ανανέωσης Τιμών Κόμβων Η τιμή του κάθε κόμβου Ai ανανεώνεται σε κάθε διακριτή επανάληψη. Η μαθηματική φόρμουλα υπολογισμού των τιμών αυτών διαφέρει από υλοποίηση σε υλοποίηση. Το κοινό δεδομένο σε κάθε μία από αυτές είναι το γεγονός ότι η νέα τιμή ενεργοποίησης Ai του κάθε κόμβου Ci εξαρτάται από τις τιμές των κόμβων που «δείχνουν» προς αυτόν αλλά και από το βάρος που τους ενώνει. Μερικές από αυτές τις υπολογιστικές συναρτήσεις προτείνονται πιο κάτω. Σελ. 25 από 33

(1) A A W, Εξίσωση 13 [7] (2) A A W A, Εξίσωση 14 [16] (3) A A W A, Εξίσωση 15 [20] Όπου: (4) A,, A,,,, W,, είναι η τιμή του κόμβου Ci στην επανάληψη t,, είναι η τιμή του κόμβου Ci στην επανάληψη t 1, Εξίσωση16 [12] A είναι η τιμή του κόμβου γείτονα Ci μέσω σύνδεσης στην επανάληψη t 1 n είναι ο αριθμός των κόμβων οι οποίοι «δείχνουν» προς τον κόμβο Ci είναι το βάρος που συνδέει τον κόμβο Cj με τον κόμβο (και με κατεύθυνση προς τον) Ci k1 είναι ο συντελεστής που ρυθμίζει το ποσοστό που θα επηρεάσει τη νέα τιμή του κόμβου A οι τιμές των κόμβων που τον επηρεάζουν (που συνδέονται μαζί του με κάποιο βάρος και έχουν κατεύθυνση προς αυτόν) k2 είναι ο συντελεστής που ρυθμίζει το ποσοστό που θα επηρεάσει τη νέα τιμή του κόμβου A η προηγούμενη τιμή του ιδίου κόμβου (στην επανάληψη t 1) f(.) είναι μία συνάρτηση μεταφοράς την οποία έχουμε αναφέρει στην παράγραφο 1.1 και περιγράφεται στην επόμενη παράγραφο Σελ. 26 από 33

A, είναι η τιμή ενεργοποίησης του κόμβου Ci στην επανάληψη t στο επίπεδο l στον ΑΓΧ k A,, είναι η τιμή ενεργοποίησης του κόμβου Cj στην επανάληψη t στο ίδιο επίπεδο και στον ίδιο ΑΓΧ, είναι ο συντελεστής εξασθένησης (decay factor) ο οποίος αφαιρά ένα ποσοστό από την τιμή ενεργοποίησης του κόμβου στην προηγούμενη επανάληψη έτσι ώστε να εξασθενήσει η επιρροή του πάνω στην παρούσα τιμή ενεργοποίησής του 1.7 Συναρτήσεις Μεταφοράς Οι συναρτήσεις μεταφοράς χρησιμοποιούνται στο μοντέλο ΑΓΧ έτσι ώστε να μεταφέρεται η πραγματική τιμή κάθε μεταβλητής του μοντελοποιημένου συστήματος στο διάστημα[0,1] ή [-1,1]. Η επιλογή της συνάρτησης μεταφοράς εξαρτάται από τη μέθοδο που χρησιμοποιείται για την περιγραφή των μεταβλητών ενός ΑΓΧ. Έτσι εάν οι τιμές των κόμβων θέλουμε να περιορίζονται στο διάστημα [0,1] τότε μια πρόταση είναι η σιγμοειδής συνάρτηση μεταφοράς ενώ αν οι τιμές περιορίζονται στο διάστημα [-1,1] τότε η συνάρτηση (2) είναι η πιο κατάλληλη. 1. Sigmoid :, Εξίσωση 17 [20] 2. tanh, Εξίσωση 18 [20] 3. Bivalent: 0, 0 1, 0, Εξίσωση 19[19] 4. Trivalent: 1, 0.5 0, 0.5 0.5 1, 0.5, Εξίσωση 20 [19] 1.8 Επαναλήψεις Χρόνος Ένας ΑΓΧ εξελίσσεται δυναμικά. Ο χρόνος στο μοντέλο των ΑΓΧ μοντελοποιείται με διακριτές επαναλήψεις βήματα. Σε κάθε επανάληψη ο ΑΓΧ ανανεώνει τις τιμές των Σελ. 27 από 33

καταστάσεων των κόμβων του δείχνοντας έτσι σταδιακά την εξέλιξη στις παραμέτρους του συστήματος. Μετά από έναν αριθμό επαναλήψεων το σύστημα θα παρουσιάσει είτε τη συμπεριφορά του σταθερού σημείου, είτε του οριακού κύκλου είτε της χαώδους συμπεριφοράς όπως περιγράφηκαν πιο πάνω. Παρόλ αυτά η μοντελοποίηση αυτή έχει μια σημαντική έλλειψη η οποία μειώνει την ευελιξία και την εφαρμοσιμότητα των ΑΓΧ. Σε ένα ρεαλιστικό σύστημα, οικονομικό, κοινωνικό κ.ο.κ., όταν αλλάξουν τα δεδομένα για την κατάσταση ενεργοποίησης μιας μεταβλητής κόμβου, η κάθε μεταβλητή που συνδέεται μαζί της με σχέση αιτίας επιρροής θα αλλάξει επίσης την τιμή της κατάστασής της. Παρόλα αυτά η κάθε μία θα χρειαστεί διαφορετικό μέγεθος χρόνου για να αντιδράσει στην αλλαγή. Έτσι αναδεικνύεται η ανάγκη χρονικού προσδιορισμού της επανάληψης στα πλαίσια του ΑΓΧ. Ο χρόνος που χρειάζεται για τη ολική έκφραση των συνεπειών σε μία κατάσταση ενός κόμβου (αφού προηγήθηκε αλλαγή καταστάσεως σε γείτονα κόμβο) περιγράφεται με δύο χρονικές παραμέτρους: 1. Τον νεκρό χρόνο 2. Τον χρόνο αντίδρασης Ο νεκρός χρόνος ορίζεται ως η χρονική περίοδος που χρειάζεται μία μεταβλητή ενός συστήματος για να αρχίσει να εμφανίζει τις συνέπειες μιας αλλαγής καταστάσεως στους υπόλοιπους κόμβους του συστήματος. Ο χρόνος αυτός ξεκινά τη στιγμή που γίνεται η αλλαγή στον γείτονα κόμβο και ολοκληρώνεται τη στιγμή που ο επηρεαζόμενος κόμβος αρχίζει να εμφανίζει τις συνέπειες της αλλαγής αυτής. Γενικά, ο χρόνος αντίδρασης περιγράφεται ως ο χρόνος που χρειάζεται μία μεταβλητή για να εμφανίσει όλες τις συνέπειες μετά από μία αλλαγή. Στα δυναμικά συστήματα, είναι ο χρόνος απόκρισης στο 68% των τιμών κατωφλίου. Μία μεταβλητή μπορεί να αλλάζει αμέσως την τιμή της και να παίρνει την τελική τιμή συνεπεία μιας αλλαγής ενώ μια άλλη να αλλάζει την τιμή της σταδιακά, με μεγαλύτερο ή μικρότερο ρυθμό. Είναι η συνέχεια του νεκρού χρόνου. Ξεκινά από εκεί Σελ. 28 από 33

που τελειώνει ο νεκρός χρόνος και τελειώνει όταν ολοκληρωθεί η έκφραση της συνέπειας στην κατάσταση του επηρεαζόμενου κόμβου. Και οι 2 χρονικές παράμετροι πρέπει να μοντελοποιηθούν χρησιμοποιώντας με κάποιο τρόπο τις διακριτές επαναλήψεις του ΑΓΧ. Μια ρεαλιστική μοντελοποίηση του χρόνου στα ΑΓΧ αποτελεί πρόκληση αφού έτσι θα μπορούμε να απαντήσουμε και την ερώτηση «Πότε;» σε κάθε αλλαγή καταστάσεως στο γενικότερο σύστημα. 1.9 Επίλογος Περιγράψαμε τις παραμέτρους και τις αλληλεπιδράσεις αυτών μέσα στα πλαίσια του μοντέλου ΑΓΧ. Ένα βασικό χαρακτηριστικό του ΑΓΧ είναι η απλότητα του μοντέλου αυτού. Η απλότητα και ευχρηστία του ΑΓΧ σε πολύπλοκα προβλήματα οφείλεται στη μαθηματική αναπαράσταση των 2 βασικών παραμέτρων του δικτύου που είναι οι κόμβοι και τα βάρη που τους συνδέουν. Οι τιμές των κόμβων ενός ΑΓΧ το οποίο αποτελείται από n κόμβους, μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένα 1 x n διάνυσμα Α, ενώ τα βάρη μπορούν να αναπαραστηθούν από ένα n x n πίνακα βαρών. Κάθε αντικείμενο eij του πίνακα W δηλώνει την τιμή του βάρους Wij που ενώνει τον κόμβο Ci και Cj. Έχοντας τα πιο πάνω ως δεδομένα ο υπολογισμός των νέων τιμών των κόμβων σε κάθε επανάληψη μπορεί να γίνεται πιο απλά σύμφωνα με το μαθηματικό μοντέλο: A t = f ( A t-1 W + A t-1 ), Εξίσωση 21 [15] Υπολογίζοντας έτσι με μία κίνηση το διάνυσμα με όλες τις καταστάσεις των κόμβων A t για την επανάληψη t. Συνεχίζοντας τη μαθηματική ανάλυση το διάνυσμα A t μπορεί να γραφτεί και ως εξής: A t = f ( A t-1 W new ), Εξίσωση 22 [20] Σελ. 29 από 33

όπου W new είναι ο πίνακας βαρών W αλλά με τη διαφορά ότι τώρα στις τιμές της διαγωνίου του βάλαμε την τιμή 1 (εδώ προϋποθέτουμε ότι κανένας κόμβος δεν δείχνει στον εαυτό του) έτσι ώστε Wii = 1. Έτσι μπορούμε να δούμε ότι η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου περιορίζεται σε ένα πολλαπλασιασμό διανύσματος με πίνακα. Το μεγαλύτερο πλεονέκτημα των ΑΓΧ πέρα από την απλότητά τους είναι η μοναδικότητα της λειτουργίας τους η οποία πλησιάζει κατά πολύ την ανθρώπινη σκέψη και κατ επέκταση μοντελοποιούν με μεγάλο ρεαλισμό την πραγματική εξέλιξη δυναμικών συστημάτων από όλους τους τομείς την σημερινής κοινωνίας. Αυτό τα καθιστά ίσως το καταλληλότερο μοντέλο για την περιγραφή δυναμικών συστημάτων που αποτελούνται από σχέσεις αιτίας συνέπειας και την πρόγνωση των καταστάσεων και των γεγονότων που μπορεί να φέρει μια ανατροπή σε μία ή σε περισσότερες παραμέτρους ενός τέτοιου συστήματος. Έτσι τα συστήματα ΑΓΧ μπορούν να λειτουργήσουν ως σύμβουλοι προγραμματισμού και σχεδιασμού σε οποιοδήποτε τομέα της κοινωνίας ή της πολιτείας αλλά και ως σύμβουλοι λήψης αποφάσεων σε διαπραγματεύσεις (βλ. κυπριακό πρόβλημα [11,13]). Οι ΑΓΧ βοηθούν τον άνθρωπο του σήμερα να προ-βλέπει τι συνέπειες θα έχει κάθε αλλαγή ή καινοτομία σε ένα σύστημα βοηθώντας τον έτσι να απαλλαγεί σε μεγάλο βαθμό από το φαινόμενο της στέρησης. Το φαινόμενο της στέρησης παρουσιάζεται όταν μετά από μια ή περισσότερες αλλαγές των ως έχει δεδομένων σε ένα σύστημα, οι παράμετροι του συστήματος φτάνουν σε μη αναστρέψιμες καταστάσεις. Εάν αυτές οι μη αναστρέψιμες καταστάσεις είναι μια θετική εξέλιξη για το γενικότερο σύστημα τότε δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα αλλά εάν είναι αρνητική εξέλιξη τότε δυστυχώς δεν υπάρχει η δυνατότητα επιστροφής πίσω στο χρόνο ώστε να αποτρεπόταν η αρχική κίνηση που έφερε τις μετέπειτα μη επιθυμητές αλλαγές στο σύστημα. Για αυτό και κάθε κίνηση αλλαγής σε ένα οποιοδήποτε σύστημα εμπεριέχει ένα βαθμό ρίσκου. Θα ήταν ευχής έργο αν μπορούσαμε να εξαλείψουμε όσο το δυνατό περισσότερο το ρίσκο που κρύβει κάθε καινούρια αλλαγή ή κίνηση σε ένα σύστημα. Σελ. 30 από 33

Με άλλα λόγια οι ΑΓΧ δίνουν το μαξιλαράκι ασφαλείας στους χρήστες σε κάθε λήψη απόφασης έχουν να πάρουν δίνοντάς τους την δυνατότητα της προσομοίωσης αυτής της απόφασης αλλά και του ελέγχου των περαιτέρω εξελίξεων που έπονται αυτής στο σύστημα μέσα από τη δυναμική ανάλυση του μοντέλοποιημένου με ΑΓΧ συστήματος. Οι ΑΓΧ αποτελούν μια καινοτομική μέθοδο προσομοίωσης της αναπαράστασης της γνώσης σύμφωνα με τα ανθρώπινα πρότυπα. Αυτή η μέθοδος μπορεί να βοηθήσει τον άνθρωπο να κατασκευάσει πολύπλοκα συστήματα αξιοποιώντας απευθείας τη δική του γνώση και εμπειρία, χρησιμοποιώντας απλά τη γλώσσα του για να περιγράψει με λέξεις το σύστημα, τις παραμέτρους που το απαρτίζουν και τις σχέσεις που το διέπουν. Σελ. 31 από 33

Βιβλιογραφία 1. Aguilar J. A survey about fuzzy cognitive maps papers (invited paper). International Journal of Computational Cognition 2005; 3: 27-33. 2. Andreou AS, Mateou NH, Zombanakis GA. 2005; Soft Computing for crisis management and political decision making: the use of genetically evolved fuzzy cognitive maps. Soft Computing A Fusion of Foundations, Methodologies and Applications; 9(3):194-210 3. Georgopoulos VC, Malandraki GA, and Stylios CD. A fuzzy cognitive map approach to differential diagnosis of specific language impairment. Artif Intell Med 2003; 29: 261-278. 4. Khan MS, Quaddus M. Group decision support using fuzzy cognitive maps for causal reasoning. Group Decis Negotiation 2004; 13: 463-480. 5. Khan MS, Chong A. 2003; Fuzzy cognitive map analysis with genetic algorithm. 1196-1205. 6. Kok K. The potential of fuzzy cognitive maps for semi-quantitative scenario development, with an example from brazil. Global Environ Change 2009; 19: 122-133. 7. Kosko B. Fuzzy cognitive maps. International Journal of Man-Machine Studies 1986; 24: 65-75. 8. Koulouriotis DE, Diakoulakis IE, Emris DM, Antonidakins EN, and Kaliakatsos IA. Efficiently modeling and controlling complex dynamic systems using evolutionary fuzzy cognitive maps (invited paper). International Journal of Computational Cognition 2003; 1: 41-65. 9. Laureano-Cruces AL, Ramírez-Rodríguez J, and Terán-Gilmore A. 2004; Evaluation of the teaching-learning process with fuzzy cognitive maps. Lecture Notes in Artificial Intelligence (Subseries of Lecture Notes in Computer Science) 3315: 922-931. 10. Liu Z-. Causation, bayesian networks, and cognitive maps. Zidonghua Xuebao/Acta Automatica Sinica 2001; 27: 552-566. Σελ. 32 από 33

11. Lotfi A. Zadeh. 1965; Fuzzy Sets Information and Control; 8(3): 338-353. 12. Mateou NH. 2008; A framework for developing intelligent information systems to support decision making in complex and uncertain environments. 13. Miao Y, Liu Z-. On causal inference in fuzzy cognitive maps. IEEE Trans Fuzzy Syst 2000; 8: 107-119. 14. Νeocleous C, Schizas C, Yenethlis C. 2004; Fuzzy Cognitive Models in studying political dynamics: The case of Cyprus problem. Proceedings of the International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance 2004. St Petersburg, June 17-20; p. 340-349. 15. Papageorgiou EI. 2004; ΝΕΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΚΜΑΘΗΣΗΣ ΓΙΑ ΑΣΑΦΗ ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ. 16. Papageorgiou EI, Stylios C, and Groumpos PP. Unsupervised learning techniques for fine-tuning fuzzy cognitive map causal links. International Journal of Human Computer Studies 2006; 64: 727-743. 17. Siraj A, Bridges SM, and Vaughn RB. 2001; Fuzzy cognitive maps for decision support in an intelligent intrusion detection system. Annual Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society - NAFIPS 4: 2165-2170. 18. Stach W, Kurgan L, Pedrycz W, and Reformat M. 2005; Evolutionary development of fuzzy cognitive maps. IEEE International Conference on Fuzzy Systems 619-624. 19. Stach W, Kurgan L, Pedrycz W, and Reformat M. Genetic learning of fuzzy cognitive maps. Fuzzy Sets Syst 2005; 153: 371-401. 20. Stylios CD, Groumpos PP. Modeling complex systems using fuzzy cognitive maps. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part A:Systems and Humans. 2004; 34: 155-162. 21. Tsadiras AK, Margaritis KG. A new balance degree for fuzzy cognitive maps. Διαδικτιακοί Τόποι 22. www.mathworks.com 23. www.atp.ruhr-uni-bochum.de Σελ. 33 από 33