Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του Μετρό της Αθήνας πρόκειται να υποβάλουν προσφορές οι κοινοπραξίες «Μετροπόντικας Α.Ε.» (παίκτης Ι) και «Στοά Α.Ε.» (παίκτης ΙΙ). Ανάλογα με τις προδιαγραφές του τεύχους δημοπράτησης του έργου αλλά και του κόστους, μία προσφορά μπορεί να «χαρακτηριστεί» τύπου Α (υπερκαλύπτει τις προδιαγραφές αλλά έχει σχετικά μεγάλο κόστος υλοποίησης), τύπου Β (συμμορφώνεται ακριβώς με τις προδιαγραφές με μέτριο σχετικά κόστος), ή τύπου Γ (υπολείπεται οριακά των προδιαγραφών αλλά έχει χαμηλό κόστος υλοποίησης). Οι πιθανότητες να αναλάβει η εταιρεία «Μετροπόντικας Α.Ε.» το έργο είναι συνάρτηση του τύπου της προσφοράς που θα υποβάλει τόσο αυτή όσο και η ανταγωνίστρια κοινοπραξία και αποτυπώνονται στον παρακάτω πίνακα: «Μετροπόντικας Α.Ε.» Παίκτης Ι «Στοά Α.Ε.» - Παίκτης ΙΙ Α Β Γ Α 0,7 0,6 0, Β 0,3 0, 0,7 Γ 0,8 0,6 0, 1. Προσδιορίστε αν για κάποια από τις δύο εταιρείες υπάρχει τύπος προσφοράς η οποία δεν συμφέρει να υποβληθεί σε καμία περίπτωση. 2. Εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα του προηγούμενου αποτελέσματος και διατυπώστε τα συμπεράσματά σας. Στη συνέχεια να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε εταιρεία στο παίγνιο αυτό. 3. Ποια εταιρεία έχει την μεγαλύτερη (αναμενόμενη) πιθανότητα να κερδίσει το έργο; Αν το μέσο κόστος για την εκπόνηση μίας προσφοράς (σε χιλιάδες ευρώ) για κάθε τύπο προσφοράς δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Α Β Γ 90 0 30 Υπολογίστε το αναμενόμενο κόστος της άριστης στρατηγικής της εταιρείας αυτής. ΘΕΜΑ 2 ο Βρείτε τη βέλτιστη λύση προβλήματος μεταφοράς με αρχικό tableau το ακόλουθο (οι τιμές στα κελιά εκφράζουν το κόστος μεταφοράς μιας μονάδος κάποιου προϊόντος σε ): S 1 D 1 D 2 D 3 2 1 S 2 12 8 1 Στη συνέχεια υποθέστε ότι το s 1 αυξάνεται και γίνεται 16 κι ότι το d 3 (αυξάνεται και) γίνεται 11. Αποδείξτε ότι, αν και μεταφέρονται περισσότερα προϊόντα (31 αντί 30), το συνολικό κόστος μεταφοράς θα μειωθεί κατά 2. ΘΕΜΑ 3 ο Ένας επαρχιακός δρόμος θα πρέπει να περάσει αναγκαστικά μέσα από το Εθνικό Πάρκο. Η νομοθεσία επιβάλλει αυστηρούς περιορισμούς ως προς την όχληση και ομαλή διαβίωση των ζώων που φιλοξενούνται στο πάρκο. Στο δίκτυο διαδρομών που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα, ο 1 απεικονίζει την είσοδο του πάρκου και ο 9 την έξοδο ενώ οι αριθμοί κάθε ακμής παριστάνουν την απόσταση (σε χιλιόμετρα) των ενδιάμεσων σημείων απ όπου μπορεί να περάσει ο δρόμος.

6 1 2 2 3 3 2 6 7 3 8 9 3 3 8 6 Το υπουργείο Χωροταξίας και Περιβάλλοντος επιθυμεί να σχεδιάσει και να κατασκευάσει τη διαδρομή που θα οδηγεί από την είσοδο στην έξοδο του πάρκου, με τέτοιο τρόπο ώστε να εξασφαλιστεί η μικρότερη όχληση για τα ζώα που φιλοξενούνται στο πάρκο. Να εφαρμόσετε τον κατάλληλο αλγόριθμο της θεωρίας δικτύων για να λύσετε το πρόβλημα. Η παρουσίαση της διαδικασίας επίλυσης του προβλήματος πρέπει να είναι αναλυτική ώστε να είναι διακριτά τα βήματα του αλγορίθμου που οδηγούν στη λύση. ΘΕΜΑ ο Το έργο κατασκευής μιας μικρής γέφυρας αποτελείται από 8 κύριες δραστηριότητες, με τον χρόνος υλοποίησης εκάστης (σε εβδομάδες) να έχει ως ακολούθως. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣ ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ A -- 2 8? 1 B Α 7? 1 C Α 9 1? 2.78 D B 6 20?. E C 1 3? 0. F C 3 6 9? 1 G D 12? 1.78 H E 6 8? 0. 1. Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου. 2. Να υπολογιστούν οι ενωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων, τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια, και ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσής του έργου. 3. Ποια είναι η κρίσιμη διαδρομή;. Ποια είναι η κατανομή του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου;. Ποια είναι η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 36 εβδομάδες; 6. Ποια είναι η αναμενόμενη διάρκεια του έργου με πιθανότητα 9%; Δίνεται: P(0 Z 1.29) = 0.01, P(0 Z 2.30) = 0.893, P(0 Z 1.6) = 0.0, P(0 Z 0.9) = 0.3289.

ΘΕΜΑ 1 ο ερώτημα 1 Πρόκειται για παίγνιο σταθερού αθροίσματος όπου το άθροισμα είναι η μονάδα (πιθανότητα 0%). Έστω Α1, Β1, Γ1 οι στρατηγικές της εταιρείας «Μετροπόντικας Α.Ε.» να καταθέσει προσφορά τύπου Α, Β, Γ αντίστοιχα. Επίσης έστω Α2, Β2, Γ2 οι στρατηγικές της εταιρείας «Στοά Α.Ε.» να καταθέσει προσφορά τύπου Α, Β, Γ αντίστοιχα. Ονομάζουμε για ευκολία τις δύο εταιρείες Ι και ΙΙ αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι, για την εταιρεία Ι, η στρατηγική Γ1 επιφέρει υψηλότερες πιθανότητες επιτυχίας από την Α1, οποιαδήποτε και αν είναι προσφορά του ανταγωνιστή. Άρα σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να γίνει προσφορά τύπου Α από την εταιρεία Ι. Συνεπώς διαγράφουμε την γραμμή που αντιστοιχεί στην στρατηγική Α1 (αφού η στρατηγική αυτή είναι υποδεέστερη από την Γ1) και ο Πίνακας γίνεται Παίκτης Ι Παίκτης ΙΙ Α2 Β2 Γ2 Β1 0,3 0, 0,7 Γ1 0,8 0,6 0, Από τον παραπάνω πίνακα, καμία άλλη στρατηγική δεν φαίνεται να είναι υποδεέστερη από κάποια άλλη. Αυτό ισχύει για αμφότερες τις εταιρείες. ερώτημα 2 Για να ελέγξουμε αν οι αμιγείς στρατηγικές οδηγούν σε σημείο ισορροπίας εφαρμόζουμε το κριτήριο Maximin/Minimax στον προηγούμενο πίνακα: Παίκτης Ι Παίκτης ΙΙ Α2 Β2 Γ2 Ελάχιστο γραμμής Β1 0,3 0, 0,7 0,3 Γ1 0,8 0,6 0, 0, Μέγιστο Στήλης 0,8 0,6 0,7 0, 0,6 Επειδή το μέγιστο του ελάχιστου των γραμμών (0,) είναι διαφορετικό από το ελάχιστο του μέγιστου των στηλών (0,6), το παίγνιο δεν έχει σημείο ισορροπίας που να προσδιορίζεται από την εφαρμογή των αμιγών στρατηγικών. Άρα θα πρέπει να υπολογίσουμε το σημείο ισορροπίας με τη βοήθεια μικτών στρατηγικών. Το παίγνιο είναι διάστασης 2 3. Άρα πρέπει αρχικά να οδηγηθεί στη γραφική επίλυση που ακολουθεί.

Επειδή η εταιρεία Ι επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα, θα καθορίσει τη στρατηγική της κατά τρόπο ώστε να βρεθεί στο σημείο Κ (σημείο Maximin) το οποίο είναι το υψηλότερο σημείο του χαμηλότερου τεθλασμένου ευθύγραμμου τμήματος που φαίνεται με έντονη γραμμή. Στον καθορισμό του σημείου Κ δεν παίζει ρόλο η στρατηγική Α2 η οποία απορρίπτεται για τη συνέχεια. Έτσι, προκύπτει ένα παίγνιο διάστασης 2 2 το οποίο απεικονίζεται στον παρακάτω Πίνακα. y 1-y Β2 Γ2 x Β1 0, 0,7 1-x Γ1 0,6 0, Η άριστη στρατηγική της εταιρείας Ι προσδιορίζεται ως εξής: Έστω V(Ι, B2) και V(Ι, Γ2) η αναμενόμενη πιθανότητα κατακύρωσης του διαγωνισμού στην εταιρεία Ι, αν η εταιρεία ΙΙ αποφασίσει να καταθέσει προσφορά τύπου Β ή τύπου Γ αντίστοιχα. Οι πιθανότητες αυτές πρέπει να είναι ίσες. Άρα: V(Ι, B2)=V(Ι, Γ2). (1) Επίσης, έστω x η πιθανότητα να επιλεγεί η στρατηγική Β1 από την εταιρεία Ι. Άρα 1-x είναι η πιθανότητα να επιλεγεί η στρατηγική Γ1. Επομένως, V(Ι, B2)=0,x+0,6(1-x) (2) V(Ι, Γ2)= 0,7x+0,(1-x) (3)

Από την (1) και τις παραπάνω δύο εξισώσεις έχουμε 0,x+0,6(1-x)=0,7x+0,(1-x) που δίνει 0,1(1-x)=0,3x x=0,2 οπότε 1-x=0,7 Για την εταιρεία ΙΙ η άριστη στρατηγική καθορίζεται με αντίστοιχο τρόπο. Δηλαδή V(ΙΙ, B1)=0,y+0,7(1-y), () V(ΙΙ, Γ1)=0,6y+0,(1-y), () όπου y η πιθανότητα να επιλεγεί η στρατηγική Β2 από την εταιρεία ΙΙ. Επειδή V(ΙΙ, B1) = V(ΙΙ, Γ1) έχουμε ότι 0,y+0,7(1-y) = 0,6y+0,(1-y) που δίνει 0,2(1-y)=0,2y y =0, οπότε 1-y=0,. Συνοψίζοντας: Άριστη μεικτή στρατηγική της «Μετροπόντικας Α.Ε.»: (0, 1/, 3/) Άριστη μεικτή στρατηγική της «Στοά Α.Ε.»: (0, 1/2, 1/2) ερώτημα 3 Η αξία του παιγνίου V, είναι η ζητούμενη αναμενόμενη πιθανότητα και μπορεί να βρεθεί αν σε οποιαδήποτε από τις (2) και (3) ή () και () αντίστοιχα, αντικαταστήσουμε την τιμή του x ή του y που βρήκαμε προηγουμένως. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας στην (2) το x = 1/ έχουμε V = 0,*(0,2)+0,6*(0,7)=0, Επομένως, μακροπρόθεσμα το παίγνιο ευνοεί ελαφρώς την εταιρεία «Μετροπόντικας Α.Ε.» αφού της δίνει μεγαλύτερη πιθανότητα, ίση με %, να ανακηρυχθεί ανάδοχος του έργου, σε αντίθεση με την εταιρεία «Στοά Α.Ε.» που θα έχει πιθανότητα % να κερδίσει το έργο. Το ζητούμενο αναμενόμενο κόστος της άριστης στρατηγικής της είναι 0,9*0+0,2*0+0,7*30=3 (χιλιάδες ευρώ)

ΘΕΜΑ 2 ο ερώτημα 1 Η συνολική προσφορά είναι ίση με τη συνολική ζήτηση. Η μέθοδος Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος δίνει ως τέτοια την: 2 2 Ζήτηση 6 0 8 6 0 Προσφορά 0 2 12 8 1 1 1 Η λύση αυτή έχει θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά u i, v j και σχηματίζοντας τις διαφορές δ ij = u i + v j - c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δ ij 0 i, j) και συνεπάγεται κόστος μεταφοράς της τάξης των 130. u 0 6 v 2-2 -2 12 8 2-6 1 1 ερώτημα 2 Οι ποσότητες s 1 και d 3 έχουν αυξηθεί κατά Δ = 1. Ξεκινάμε να αναπροσαρμόζουμε κατά +Δ την εκχώρηση στο (βασικό) κελί (1, 2) της πρώτης γραμμής, συνεχίζουμε με Δ την εκχώρηση στο (βασικό) κελί (2, 2) της δεύτερης στήλης και τερματίζουμε με αναπροσαρμογή κατά +Δ την εκχώρηση στο (βασικό) κελί (2, 3) της δεύτερης γραμμής: 2 +Δ 12 8 -Δ +Δ +Δ 1+Δ 1 Συνεπώς νέα βέλτιστη λύση είναι η

2 6 12 8 11 11 16 1 η οποία έχει κόστος μεταφοράς της τάξης των ( ) + (2 6) + (8 ) + ( 11) = 128, μειωμένο δηλαδή κατά Δ (u 1 +v 3 ) = 1 (0-2) = 2 μονάδες.

ΘΕΜΑ 3 ο Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης όπου πρέπει να εντοπιστεί η συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο 1, που είναι η αφετηρία, προς τον κόμβο 9, οπότε το κριτήριο τερματισμού θα είναι «η έξοδος, 9 να γίνει μόνιμος». Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο της συντομότερης. Πρώτος λυμένος καθίσταται η αφετηρία 1 με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Το σύνολο των λυμένων κόμβων είναι το {1}. Πίνακας 1 Σύνολο μονίμων κόμβων Συνολικό Λ={1} (+{2 1 }) 1-2 2 2 1 2 1-3 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 2 με ελάχιστη απόσταση 2 Km οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1 } (ο δείκτης 1 δηλώνει τον κόμβο προέλευσης, δηλ. ο 2 προσεγγίζεται από τον κόμβο 1) Πίνακας 2 Σύνολο μονίμων κόμβων Συνολικό Λ={1,2}+ ({3 1 }) 1-3 3 1 2-3 2-2-6 6 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 3 με ελάχιστη απόσταση Km οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1 } (ο δείκτης 1 δηλώνει τον κόμβο προέλευσης δηλ. ο 3 προσεγγίζεται από τον κόμβο 1). Πίνακας 3 Σύνολο μονίμων κόμβων Συνολικό Λ={1,2,3}+({ 2 }) 2-2 2-6 6 3-9 3-7 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο με ελάχιστη απόσταση Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1, 2 } (ο δείκτης 2 δηλώνει τον κόμβο προέλευσης δηλ. ο προσεγγίζεται από τον κόμβο 2).

Πίνακας Σύνολο μονίμων κόμβων Συνολικό Λ={1,2,3,}+({6 2 } 2-6 6 6 2 6-6 7-7 11-8 - 9 3-7 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 6 με ελάχιστη απόσταση 6 Km οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1, 2, 6 2 }. Πίνακας Σύνολο μονίμων κόμβων Λ={1,2,3,,6}+({ 3 }) -7 11-8 6-7 11-9 Συνολικό 3-7 3 7 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο με ελάχιστη απόσταση 7 Km χιλιόμετρα οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1, 2, 6 2, 3 } Πίνακας 6 Σύνολο μονίμων κόμβων Λ={1,2,3,,6,}+({8 }) -7 11 Συνολικό -8 8 6-7 11-8 11 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 8 με ελάχιστη απόσταση Km οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1, 2, 6 2, 3, 8 }

Πίνακας 7 Σύνολο μονίμων κόμβων Συνολικό Λ={1,2,3,,6,,8}+({7 }) -7 11 7 11 6-7 11 8-7 13 8-9 16 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 7 με ελάχιστη απόσταση 11 Km οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1, 2, 6 2, 3, 8, 7 }. Εναλλακτικά το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1, 2, 6 2, 3, 8, 7 6 } (δηλ. ο 7 προσεγγίζεται από τον κόμβο 6). Πίνακας 8 Σύνολο μονίμων κόμβων Λ={1,2,3,,6,,8,7}+({9 8 }) 7-9 19 Συνολικό 8-9 16 9 8 16 Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο 9 με ελάχιστη απόσταση 16Km οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται {1, 2 1, 3 1, 2, 6 2, 3, 8, 7, 9 8 } Έγινε μόνιμος και ο τελευταίος (9) οπότε η διαδικασία ολοκληρώνεται. Συμπέρασμα: Το ελάχιστο είναι 16 χιλιόμετρα. Για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 9 ο οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 8. Από τον κόμβο 8 οδηγούμαστε στον κόμβο, στον κόμβο 2, και από εκεί στην αφετηρία 1. Κατά συνέπεια υπάρχει μία άριστη (συντομότερη) διαδρομή, με 16 χιλιόμετρα, και είναι η 1 2 8 9

ΘΕΜΑ ο Απαιτείται ο υπολογισμός της αναμενόμενης διάρκειας εκάστης δραστηριότητας: ερώτημα 1, 2, 3 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ A B 7 C 9 D 11 E 3 F 6 G 6 H 8 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 0 0 0 B 12 12 0 C 1 9 18 D 12 23 12 23 0 E 1 17 18 21 F 1 20 23 29 9 G 23 29 23 29 0 H 17 2 21 29 B 12 D 12 23 G 23 29 7 12 11 12 23 6 23 29 START Α 0 E 1 17 H 17 2 0 3 18 21 8 21 29 FINISH C 1 F 1 20 9 9 18 6 23 29 Κρίσιμη διαδρομή: A B D G Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 29 εβδομάδες ερώτημα Η τ.μ. Χ = Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = μ A + μ B + μ D + μ G = + 7 + 11 + 6 = 29 και διακύμανση σ 2 = σ 2 A + σ 2 B + σ 2 D + σ 2 G = 1 + 1 +. + 1.78= 9.22 = 3.036 2.

ερώτημα X-29 36-29 Prob X 36 Prob Prob Z 2.3067 0.9892 3.036 3.036 ερώτημα 6 X-29 a-29 a-29 Prob X a 0.9 Prob 0.9 1.6 a = 3 3.036 3.036 3.036