ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014

Transcript

1 Περίληψη. ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Μαρία Α. Λευτάκη 1 & Ευάγγελος Π. Βαλάρης 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014 Μια απλή μη γραμμική επαναληπτική εξίσωση, η οποία όμως παρουσιάζει πλούσια συμπεριφορά, είναι η y i+1 = y i 2 + c, i = 0, 1, 2, 3, και cπραγματικός αριθμός. Για τους λόγους αυτούς, η εξίσωση αυτή συγκέντρωσε το ενδιαφέρον αρκετών ερευνητών. Αναλυτική λύση έχει μόνο για κάποιες τιμές της παραμέτρου c. Στην εργασία αυτή δίνουμε προσεγγιστική λύση για τις τιμές της παραμέτρου c που είναι αυτό δυνατό. Εισαγωγή. Η λογιστική απεικόνιση χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1845 από το Βέλγο μαθηματικό Pierre FrancoisVerhulst, ως ένα μοντέλο που περιέγραφε τη χρονική εξέλιξη ενός πληθυσμού μιας αποικίας έμβιων όντων. Ο Verhulst θεώρησε πως εάν p i και p i+1 είναι ο πληθυσμός της αποικίας κατά τις χρονικές στιγμές i και i+1, τότε, ο ρυθμός μεταβολής της ανάπτυξης του πληθυσμού K = p i+1 p i p i (1) είναι ανάλογος της δυνατότητας που έχει το σύστημα πληθυσμού p i να υποστεί περαιτέρω ανάπτυξη, μέσα στα πλαίσια του υπάρχοντος οικοσυστήματος. Αυτό σημαίνει πως εάν συμβολίσουμε με τη μονάδα τη συνολική δυνατότητα του συστήματος, και με p i την τρέχουσα τιμή του πληθυσμού, τότε, η εναπομένουσα δυνατότητα είναι ίση με 1 p i, και επομένως η χρονική εξέλιξη του πληθυσμού θα δίδεται από την εξίσωση p i+1 p i p i = λ(1 p i ) (2) όπου η παράμετρος λ αντιστοιχεί σε κάποια σταθερή τιμή. Εάν επιλύσουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς p i+1, αυτή θα λάβει τη μορφή : p i+1 = p i + λp i (1 p i ) (3) Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί ακόμη περισσότερο, εάν χρησιμοποιήσουμε μια νέα μεταβλητή την x i = λ λ+1 p i (4) και ορίσουμε μία νέα σταθερά, r, ως r = λ + 1. (5) Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (3) μετασχηματίζεται στη μορφή : x i+1 = rx i (1 x i ) (6) η οποία είναι γνωστή ως λογιστική απεικόνιση, και περιγράφει ένα δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου που

2 2 χρησιμοποιείται σε πάρα πολλές περιπτώσεις μελέτης χαοτικών συστημάτων. Άλλη μορφή της λογιστικής απεικόνισης. Στην λογιστική απεικόνιση δηλαδή η αν θέσουμε προκύπτει η απεικόνιση δηλαδή η απεικόνιση x i+1 = (x i ) με (x) = rx(1 x), (7) x i+1 = rx i (1 x i ), x i = y i r + 1 2, (8) y i+1 = y i 2 + c, όπου c = (1 r 2 ) r 2, (9) y i+1 = g(y i ) με g(y) = y 2 + c. (10) Στο επίπεδο (Ι, Y). Η επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y 2 i + c για την ίδια αρχική τιμή y 0 και για διαφορετικές τιμές c, μας δίνει διαφορετική εικόνα τροχιάς. Αυτό φαίνεται στα παρακάτω σχήματα, στα οποία παρουσιάζονται στο επίπεδο (Ι,Υ), δηλαδή οι επαναλήψεις Ι και οι αντίστοιχες τιμές Υ της απεικόνισης, για αρχική τιμή y 0 = 0 και c = 0.25, -0.75, -1.25, Παρατηρούμε ότι για c = 0.25 όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μία καμπύλη, για c = τα σημεία που αντιστοιχούν σε περιττό αριθμό επαναλήψεων βρίσκονται σε μία καμπύλη, ενώ τα σημεία που αντιστοιχούν σε άρτιο αριθμό επαναλήψεων βρίσκονται σε μία άλλη καμπύλη. Η εικόνα γίνεται πιο σύνθετη για c = Τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=1,5,9, βρίσκονται σε μία πρώτη καμπύλη, τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=3,7,11, βρίσκονται σε μία δεύτερη καμπύλη, τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=2,6,10, βρίσκονται σε μία τρίτη καμπύλη και τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=4,8,12, βρίσκονται σε μία τέταρτη καμπύλη. Στο τέταρτο σχήμα για c = -1.5 παρατηρούμε ότι τα σημεία έχουν τυχαία θέση.

3 3 Στο επίπεδο (Χ,Y). Για την επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y i 2 + c έχουμε σχεδιάσει στο επίπεδο (Χ,Υ) την γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 + c και την γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x. Ξεκινώντας από το σημείο x 0 παρακολουθούμε στα παρακάτω σχήματα με κόκκινη γραμμή την εξέλιξη της τροχιάς. Χρησιμοποιήσαμε για το c τις ίδιες τιμές όπως παραπάνω, δηλαδή 0.25, -0.75, και Στην πρώτη περίπτωση η τροχιά συγκλίνει σ' ένα σημείο x = , στην δεύτερη περίπτωση η τροχιά συγκλίνει σε δύο σημεία x = και x = , στην τρίτη περίπτωση η τροχιά συγκλίνει σε τέσσερα σημεία x = , x = , x= και x = , ενώ στην τέταρτη περίπτωση δεν έχουμε σύγκλιση.

4 4 Στο επίπεδο (C,Y). Τελικά, δηλαδή μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, η επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y i 2 + c για αρχική τιμή y 0 = 0 και για διάφορες τιμές του c, δίνει την εικόνα που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Οι τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης για 0.75 < c < 0.25 συγκλίνουν σ' ένα σημείο το οποίο είναι το y = 1 1 4c, για 1.25 < c < 0.75 σε δύο σημεία που είναι λύσεις της εξίσωσης y 2 + y + ( c + 1) = 0, 2 2 που προκύπτει από την εξίσωση g 2 (y) = g ( g( y ) ) = y, για < c < 1.25 σε τέσσερα σημεία, για < c < σε οκτώ σημεία, για < c < σε δεκαέξη σημεία κ.λ.π., ενώ από κάποια τιμή του c και αριστερά παρουσιάζεται χάος. Εξετάζοντας όμως με προσοχή παρατηρούμε ότι και μέσα στο χάος υπάρχουν περιοχές τάξης. Για να διακρίνουμε τι γίνεται στα μικρά ορθογώνια CY1, CY2 και CY3 παρουσιάζουμε το περιεχόμενό τους στα τρία επόμενα σχήματα. Ενδιαφέρον έχει να δούμε τις τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c για διάφορες τιμές του c, αλλά και για διάφορες τιμές του y 0. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Το σύμβολο (inally) δηλώνει ότι έχει προηγηθεί ένας μεγάλος αριθμός επαναλήψεων.

5 5 Πίνακας Ι. y 0 (-, ) ( , ) (1.8125, +) c=-1.5 CHAOS y 0 (-, -1.75) (-1.75, 1.75) (1.75, +) c= y 0 (-, -1.75) (-1.75, 1.75) (1.75, +) c= y 0 (-, -1.75) (-1.75,-1.25) (-1.25,-0.75) (-0.75,-0.25) (-0.25, 0.25) c= y (0.25, 0.75) 0.75 (0.75, 1.25) 1.25 (1.25, 1.75) 1.75 (1.75, +) c= y 0 (-, ) ( , ) ( , +) c= y 0 (-, ) ( , ) (1.6875, +) c=

6 6 y 0 (-, ) (-1.625, 1.625) (1.625, +) c= y 0 (-, ) ( , -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ) ( , +) c= y 0 (-, -1.5) (-1.5, 1.5) (1.5, +) c= y 0 (-, -1.5) -1.5 (-1.5, -0.5) -0.5 (-0.5, 0.5) 0.5 (0.5, 1.5) 1.5 (1.5, +) c= y 0 (-,-1.375) (-1.375, 1.375) (1.375, +) c= y 0 (-, ) ( , ) (1.3125, +) c= y 0 (-, -1.25) (-1.25, 1.25) (1.25, +) c= y 0 (-, -1.25) (-1.25, 1.25) 1.25 (1.25, +) c= y 0 (-, ) ( , ) (1.1875, +) c=

7 7 y 0 (-, ) ( , ) (1.0625, +) c= y 0 (-, -1.0) -1.0 (-1.0, 0.0) 0.0 (0.0, 1.0) 1.0 (1.0, +) c= y 0 (-, ) ( , ) (0.8125, +) c= y 0 (-, -0.75) (-0.75, -0.25) (-0.25, 0.25) 0.25 (0.25, 0.75) 0.75 (0.75, +) c= y 0 (-, -0.5) -0.5 (-0.5, 0.5) 0.5 (0.5, +) c= y 0 (-, +) c=0.375 Στο χώρο (Y0, C, Y). Τα στοιχεία του χώρου τάξης του Πίνακα Ι εμφανίζονται στο ακόλουθο σχήμα

8 8 Στο επίπεδο (X,Y). Περίπτωση c=-2. Στο σημείο αυτό να σημειώσουμε το εξής : H y i+1 = y i 2 2 με αρχική τιμή y 0, θα έχει λύση y i = 2 cos (2 i cos 1 ( y 0 2 )). Στο επόμενο σχήμα εμφανίζονται οι καμπύλες y i, i = 1, 2, 3, 4 με red, green, blue και magenta χρώμα αντίστοιχα. Περίπτωση c=-1.5. Περίπτωση c= Στο επόμενο σχήμα εμφανίζονται και οι καμπύλες y i, i = 5, 6, 7, 8 με dark yellow, navy, purple και wine χρώμα αντίστοιχα.

9 9 Στο σημείο αυτό παραθέτουμε τις αντίστοιχες γραμμές του Πίνακα Ι, ώστε να είναι πιο εύκολος ο συσχετισμός (οι σκιασμένες στήλες) : y 0 (-, -1.75) (-1.75,-1.25) (-1.25,-0.75) (-0.75,-0.25) (-0.25, 0.25) c= y (0.25, 0.75) 0.75 (0.75, 1.25) 1.25 (1.25, 1.75) 1.75 (1.75, +) c= Περίπτωση c= Και η αντίστοιχη γραμμή του Πίνακα Ι : y 0 (-, -1.5) -1.5 (-1.5, -0.5) -0.5 (-0.5, 0.5) 0.5 (0.5, 1.5) 1.5 (1.5, +) c=

10 10 Στο επίπεδο (R, Χ). Ο χώρος τάξης της επαναληπτικής απεικόνισης x i+1 = rx i (1 x i ) για αρχική τιμή x 0 = 0.5 και για διάφορες τιμές του r, μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Οι τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης για 0 < r < 1 συγκλίνουν στο σημείο x=0, για 1 < r < 3 στο σημείο x= r 1, τα οποία είναι λύσεις της εξίσωσης (x) = rx(1 x) = x, για 3 < r < σε δύο σημεία που είναι λύσεις της εξίσωσης r 2 x 2 (r 2 + r)x + (r + 1) = 0, που προκύπτει από την εξίσωση 2 (x) = ( ( x )) = x, για < r <3.544 σε τέσσερα σημεία, για 3.544< r <3.564 σε οκτώ σημεία κ.λ.π. ενώ από κάποια τιμή του r και δεξιά παρουσιάζεται χάος. r Στο σημείο αυτό, καλό είναι να έχουμε μία εικόνα για το τι συμβαίνει με τις τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης x i+1 = rx i (1 x i ), όταν συμβαίνει το ίδιο, δηλαδή μεταβάλουμε τις τιμές της r, αλλά και τις τιμές της αρχικής τιμής x 0. Στον πίνακα που ακολουθεί παρατηρούμε ότι η εικόνα είναι πιο απλή από τον αντίστοιχο πίνακα για την επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y 2 i + c. Πίνακας ΙΙ. x (0,1) 1.0 r = CHAOS 0.0 x (0,1) 1.0 r =

11 11 x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = Οι πρώτοι όροι στο επίπεδο (C, Y). Στα σχήματα που ακολουθούν εμφανίζονται οι πρώτοι όροι της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c για αρχική τιμή y 0 = 0 και για διάφορα διαστήματα τιμών του c.

12 12 Προσεγγιστική λύση. Παρουσιάζει ενδιαφέρον η εύρεση της λύσης της y i = y i (i) για την οποιαδήποτε επανάληψη i. Πολύ καλή ακρίβεια μας δίνει η εκθετική συνάρτηση 2 ης τάξης. Θεωρούμε ένα διάστημα τιμών του c, π.χ. -1 < c <0. A. Θεωρούμε την y i = y 0 + A 1 e (i 1) t 1 Για τις τιμές της μεταβλητής i = 3, 5, 7, 9 ισχύουν οι σχέσεις + A 2 e (i 1) t 2. (1) y 3 = y 0 + A 1 e 2 t 1 + A 2 e 2 t 2, y 5 = y 0 + A 1 e 4 t 1 + A 2 e 4 t 2 (2) y 7 = y 0 + A 1 e 6 t 1 + A 2 e 6 t 2, y 9 = y 0 + A 1 e 8 t 1 + A 2 e 8 t 2. (3) Θέτουμε r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2, οπότε y 3 = y 0 + A 1 r 1 + A 2 r 2, y 5 = y 0 + A 1 r A 2 r 2 (2 ) y 7 = y 0 + A 1 r A 2 r 3 2, y 9 = y 0 + A 1 r A 2 r 24 (3 ) Αλλά y 0 = y 1 A 1 A 2, οπότε y 3 y 1 = A 1 (r 1 1) + A 2 (r 2 1), y 5 y 1 = A 1 (r 2 1 1) + A 2 (r 2 2 1) (4) y 7 y 1 = A 1 (r 3 1 1) + A 2 (r 3 2 1), y 9 y 1 = A 1 (r 4 1 1) + A 2 (r 4 2 1) (5) από τις (4) βρίσκουμε : A 1 = (y 3 y 1 )(r 2 2 1) (r 2 1)(y 5 y 1 ) (r 1 1)(r 2 2 1) (r 2 1)(r 1 2 1) A 1 = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) A 2 = (r 1 1)(y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 2 1 1) (r 1 1)(r 2 2 1) (r 2 1)(r 2 1 1) A 2 = (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 2 1)( ) (6) (7) οπότε οι (5) γίνονται : y 7 y 1 = A 1 (r 1 3 1) + A 2 (r 2 3 1) = = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) (r 3 1 1) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 3 (r 2 1)( ) 2 1) = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r r 1 + 1) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r r 2 + 1)

13 13 = (y 3 y 1 ) r ( r 2 r 1 1) (y 3 y 1 ) r (r 2 1 r 2 r 2 + r 2 + 1) + (y 5 y 1 ) r 1 2 r (y 5 y 1 ) r r = (y 3 y 1 ) (r 2 + 1)( r 2 1 r 1 1) + (r 1 + 1)(r r 2 + 1) + (y r 2 r 5 y 1 ) ( r 1 2 r 1 1) + (r r 2 + 1) 1 = (y 3 y 1 ) ( r 1 2 r 2 r 2 1 ) + (r 1 r r 2 2 ) + (y r 2 r 5 y 1 ) ( r 1 2 r 1 ) + (r r 2 ) 1 = (y 3 y 1 ) ( )(r 1 r 2 + r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 ) ( )(r 1 + r 2 + 1) = (y 3 y 1 )(r 1 r 2 + r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 )(r 1 + r 2 + 1) = (y 3 y 1 )r 1 r 2 (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 )(r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 ) y 7 y 5 = (y 5 y 3 )(r 1 + r 2 ) (y 3 y 1 )r 1 r 2, (8) από την οποία r 1 r 2 = (y 5 y 3 )(r 1 + r 2 ) (y 7 y 5 ) y 3 y 1 (9) y 9 y 1 = A 1 (r 1 4 1) + A 2 (r 2 4 1) = = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) (r 4 1 1) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 4 (r 2 1)( ) 2 1) = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r + 1)(r ) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 1 r 2 r 2 + 1)(r ) 1 = (y 3 y 1 ) (r 2 + 1) (r + 1)(r ) (y 5 y 1 ) (r 1 + 1)(r ) (y 5 y 1 ) (r r 2 r 2 + 1)(r ) (y 3 y 1 ) (r 1 + 1) (r 1 r 2 r 2 + 1)(r ) 1 = (y 3 y 1 ) (r 1 + 1)(r 2 + 1)(r ) (r 2 + 1)(r 1 + 1)(r ) +(y 5 y 1 ) (r 2 + 1)(r ) (r 1 + 1)(r ) = (y 3 y 1 ) (r 1 + 1)(r 2 + 1)((r ) (r )) + (y r 2 r 5 y 1 ) (r 2 + 1)(r ) (r 1 + 1)(r ) 1 = (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )(r 1 + 1)(r 2 + 1) + (y 5 y 1 )(r r 2 2 +r 1 r 2 + r 1 + r 2 + 1) = (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )(r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1) + (y 5 y 1 )((r 1 + r 2 ) 2 r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1) y 9 y 1 = (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )(r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1) + (y 5 y 1 )((r 1 + r 2 ) 2 r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1), η οποία με την βοήθεια της (9) γίνεται: y 9 y 1 = (y 5 y 3 )(r 1 + r 2 ) 2 +(y 7 y 5 )(r 1 + r 2 ) (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 ) 2 (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )+ +(y 5 y 1 )(r 1 + r 2 ) 2 (y 5 y 1 )(y 5 y 3 ) y 3 y 1 (r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 3 y 1 + (y 5 y 1 )(r 1 + r 2 )+ +(y 5 y 1 )

14 14 y 9 y 5 (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 3 y 1 = (y 7 y 3 (y 5 y 1 )(y 5 y 3 ) y 3 y 1 ) (r 1 + r 2 ) r 1 + r 2 = y 9 y 5 (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 3 y 1 (y 9 y 5 )(y 3 y 1 ) (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 7 y 3 (y = 5 y 1 )(y 5 y 3 ) (y 7 y 3 )(y 3 y 1 ) (y 5 y 1 )(y 5 y 3 ), y 3 y 1 για να απλοποιήσουμε τον τύπο, ονομάζουμε: y 3 y 1 = a, y 5 y 3 = b, y 7 y 5 = c και y 9 y 7 = d, οπότε: r 1 + r 2 = S = (c+d)a (a+b)c = ad bc (b+c)a (a+b)b ac b 2 και αντικαθιστώντας τα στην (9) έχουμε : r 1 r 2 = P = b ad bc c ac b 2 bd c2 = a ac b 2, που σημαίνει ότι τα r 1, r 2 υπολογίζονται ως ρίζες της εξίσωσης r 2 Sr + P = 0, οπότε r 1 = S + D 2 και r 2 = S D, όπου D = S 2 4P. 2 Οι τύποι (6) και (7) πλέον γίνονται A 1 = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) = ar 2 b (r 1 1)( ) (10) και A 2 = (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 2 1)( ) = b ar 1 (r 2 1)( ). (11) Από τις r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2 προκύπτουν t 1 = 2 lnr 1 και t 2 = 2 lnr 2. (12) Τέλος, υπολογίζουμε το y 0 από την y 0 = y 1 A 1 A 2. (13) Στην συνέχεια τον ρόλο του y 3, παίζει το y 9 και αντίστοιχα τον ρόλο των y 5, y 7, y 9 τα y 17, y 25, y 33. Επίσης αντικαθιστούμε τα r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2 με τα r 1 = e 8 t 1 και r 2 = e 8 t 2, αντίστοιχα. Η y i = y 0 + A 1 e (i 1) t 1 + A 2 e (i 1) t 2, για i=1,3,5,7,9,11, (14) αποτελεί λύση της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c. (15) Αντίστοιχα, η y i = y 0 + A 1 e (i 2) t 1 + A 2 e (i 2) t 2 (16) αποτελεί λύση της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c, για i=2,4,6,8,10,12, Για του λόγου το αληθές, εμφανίζουμε στο παρακάτω σχήμα τα σημεία της επαναληπτικής απεικόνισης με κόκκινο χρώμα και τα σημεία των εκθετικών συναρτήσεων με μαύρο χρώμα. Παρατηρούμε ότι συμπίπτουν.

15 15 Στον επόμενο πίνακα δίνουμε για ορισμένες τιμές του c, τις αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων πρώτα για i=1,3,5,7,9,11, και εν συνεχεία για i=2,4,6,8,10,12, Πίνακας ΙΙΙ. C t 1 t 2 A 1 A 2 y E Στον πίνακα που ακολουθεί γίνεται σύγκριση των τιμών που προκύπτουν με την χρήση των τύπων (14) και (15) για κάποια τιμή του c. Πίνακας ΙV. αριθμός τιμή με χρήση τιμή με χρήση διαφορά επανάληψης τύπου (9) τύπου (10) E E E-5

16 E E E E E E E E E-4 Στην συνέχεια εξετάσαμε την δυνατότητα να προκύπτουν οι τιμές των παραμέτρων y 0, A 1, A 2, t 1, t 2 της y i =y 0 + A 1 e (i 1)/ t 1+A 2 e (i 1)/t 2, όπου: A 1 = ar 2 b (r 1 1)( ), A b ar 1 2 = (r 2 1)( ), y 0 = c A 1 A 2, t 1 = 8, t lnr 2 = 8 1 lnr 2 με αντικατάσταση των παραμέτρων a, b, r 1, r 2 από κατάλληλες συναρτήσεις τουc. Διαπιστώσαμε ότι αυτό είναι εφικτό και οι συναρτήσεις αυτές δίνονται παρακάτω. Έτσι έχουμε την δυνατότητα για δεδομένη τιμή του c να υπολογίζουμε απευθείας το ζητούμενο στοιχείο της αντίστοιχης επαναληπτικής απεικόνισης. Οι παράμετροι a, b, r 1, r 2 ως συναρτήσεις του c. Στο πρώτο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής a με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Extreme που είναι η συνάρτηση : a = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1), όπου z = (c-xc)/w. Οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων της είναι : y 0 = , A=0.1712, xc= , w= Στο δεύτερο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής b με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Extreme : b = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1), όπου z = (c-xc)/w. Οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων της είναι για το τμήμα -0.8<c<-0.55 οι τιμές : ενώ για το τμήμα -0.55<c<-0.3 οι τιμές : y 0 = , A= , xc= , w=

17 17 y 0 = , A=0.0282, xc= , w= Στο τρίτο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής r 1 με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Extreme : r 1 = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1), όπου z = (c-xc)/w για το τμήμα -0.8<c<-0.55 με τιμές : y 0 = , A= , xc= , w= και από την συνάρτηση BlNeldSmp που είναι η συνάρτηση : r 1 = (a 1 +b 1 *c)^(-1/c 1 ) για το τμήμα -0.55<c<-0.3 με τιμές : a 1 = , b 1 = , c 1 = Τέλος, στο τέταρτο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής r 2 με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Gauss που είναι η συνάρτηση : r 2 =y 0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((c-xc)/w)^2) για το τμήμα -0.8<c<-0.63 με τιμές : y 0 = , A= , w= , xc= και από την συνάρτηση BlNeldSmp : r 2 = (a 1+b 1*c)^(-1/c 1) για το τμήμα -0.63<c<-0.53 με τιμές : a 1 = , b 1 = , c 1 = ενώ για το τμήμα -0.52<c<-0.3 με τιμές : a 1 = , b 1 = , c 1 =

18 18 Συνοψίζουμε όλα τα παραπάνω στους πίνακες που ακολουθούν Πίνακας V. c values name o variable model parameter values -0.8<c<-0.3 a Extreme y 0 = , A=0.1712, xc= , w= <c<-0.55 b Extreme y 0 = , A= , xc= , w= <c<-0.3 b Extreme y 0 = , A=0.0282, xc= , w= <c<-0.55 r 1 Extreme y 0 = , A= , xc= , w= <c<-0.3 r 1 BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= <c<-0.63 r 2 Gauss y 0 = , A= , w= , xc= <c<-0.53 r 2 BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= <c<-0.3 r 2 BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= ή Πίνακας VΙ. c (-0.8, -0.63) (-0.63, -0.55) (-0.55, -0.53) (-0.52, -0.3) a b r 1 r 2 Extreme y 0 = , A=0.1712, xc= , w= Extreme y 0 = , A= , xc= , w= Extreme y 0 = , A= , xc= , w= Gauss y 0 = , A= , w= , BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= Extreme y 0 = , A=0.0282, xc= , w= BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1=

19 19 xc= και Πίνακας VΙΙ. model ExpDecay2 Extreme Equation y i = y 0 + A 1 *exp(-(i-1)/t1) + A 2 *exp(-(i-1)/t2) y = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1) z = (c-xc)/w BlNeldSmp y = (a 1 + b 1*c)^(-1/c 1) Gauss y=y 0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((c-xc)/w)^2) B. Πιο απλά μπορούμε να θεωρήσουμε την y i = A 1 e (i 1) t 1 Για τις τιμές της μεταβλητής i = 3, 5, 7, 9 ισχύουν οι σχέσεις : + A 2 e (i 1) t 2. (17) y 3 = A 1 e 2 t 1 + A 2 e 2 t 2, y 5 = A 1 e 4 t 1 + A 2 e 4 t 2 (18) y 7 = A 1 e 6 t 1 + A 2 e 6 t 2, y 9 = A 1 e 8 t 1 + A 2 e 8 t 2. (19) Θέτουμε r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2, οπότε y 3 = A 1 r 1 + A 2 r 2, y 5 = A 1 r A 2 r 2 2 (20) y 7 = A 1 r A 2 r 2 3, y 9 = A 1 r A 2 r 2 4 (21) από τις (20) βρίσκουμε : A 1 = y 3r 2 y 5 r 1 ( ), A 2 = y 5 y 3 r 1 r 2 ( ) (22) οπότε οι (21) γίνονται : y 7 = y 3r 2 y 5 r 1 ( ) r y 5 y 3 r 1 r 2 ( ) r 2 3 = y 3r 2 y 5 2 r + y 5 y 3 r 1 r 2 1 r 2 r 2 = (y 3r 2 y 5 )r (y 5 y 3 r 1 )r 2 1 = y 3r 2 r 2 1 y 5 r y 5 r y 3 r 1 r 2 = y 3r 1 r 2 (r 1 r 2 ) y 5 (r 2 1 r 2 2 ) = y 3r 1 r 2 ( ) + y 5 (r 1 + r 2 )( ) y 7 = y 5 (r 1 + r 2 ) y 3 r 1 r 2, (23) από την οποία r 1 r 2 = y 5(r 1 + r 2 ) y 7 y 3 (24)

20 20 y 9 = y 3 r 2 y 5 r 1 ( ) r y 5 y 3 r 1 r 2 ( ) r 2 4 = y 3r 2 y 5 r 3 + y 5 y 3 r 1 3 r 1 r 2 r 2 = y 3r 2 r 3 1 y 5 r y 5 r y 3 r 1 r 2 1 = y 3r 1 r 2 (r 1 2 r 2 2 ) y 5 (r 1 3 r 2 3 ) = y 3r 1 r 2 (r 1 + r 2 )( )+y 5 ( ) y 9 = y 3 (r 1 + r 2 )r 1 r 2 + y 5 (r r 2 2 +r 1 r 2 ), η οποία με την βοήθεια της (24) γίνεται : y 9 = y 3 (r 1 + r 2 ) y 5(r 1 + r 2 ) y 7 y 3 + y 5 (r r y 5(r 1 + r 2 ) y 7 y 3 ) = y 5 (r 1 + r 2 ) 2 + y 7 (r 1 + r 2 ) + y 5 r y 5 r y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 y 9 = y 5 r 1 2 y 5 r 2 2 2y 5 r 1 r 2 + y 7 (r 1 + r 2 ) + y 5 r y 5 r y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3, η οποία με την βοήθεια της (24) γίνεται : y 9 = 2y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 + y 7 (r 1 + r 2 ) + y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 y 9 = y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 + y 7 (r 1 + r 2 ) y 9 y 3 = y 5 (y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 ) + y 7 y 3 (r 1 + r 2 ) = y 5 2 (r 1 + r 2 ) + y 5 y 7 + y 7 y 3 (r 1 + r 2 ) y 9 y 3 y 5 y 7 = (y 7 y 3 y 5 2 )(r 1 + r 2 ) r 1 + r 2 = y 9y 3 y 5 y 7 y 7 y 3 y 5 2, (25) οπότε η (24) γίνεται r 1 r 2 = y 5y 9 y 7 2 y 7 y 3 y 5 2. (26) Από την y i = A 1 e (i 1) t 1 + A 2 e (i 1) t 2 έχουμε : y i = A 1 e 1 t1 i 1 e t1 + A 2 e 1 t2 i 1 e t2 = A 1 e 1 t1e 1 t1 i + A 2 e 1 t2e 1 όπου - 1 t 1 = s 1, - 1 t 2 = s 2, B 1 = A 1 e s 1 και B 2 = A 2 e s 2. t2 i = A 1 e s 1e s 1i + A 2 e s 2e s 2i = B 1 e s 1i + B 2 e s 2i, Η προσέγγιση είναι και πάλι πολύ καλή. Για κάποια τιμή του c, π.χ. c=-0.75, ευρίσκουμε : B 1 = , B 2 = , s 1 = , s 2 = και για κάποια επανάληψη, π.χ. την 21 η, ευρίσκουμε την τιμή αντί της τιμής Από την y i = C 1 e (i 2) u 1 + C 2 e (i 2) u 2 έχουμε

21 21 y i = C 1 e 1 u1 i 2 e u1 + C 2 e 1 u2 i 2 e u2 = C 1 e 2 u1e 1 u1 i + C 2 e 2 u2e 1 όπου - 1 u 1 = v 1, - 1 u 2 = v 2, D 1 = C 1 e 2v 1 και D 2 = C 2 e 2v 2. u2 i = C 1 e 2v 1e v 1i + C 2 e 2v 2e v 2i = D 1 e v 1i + D 2 e v 2i, Η προσέγγιση είναι και πάλι πολύ καλή. Για την ίδια τιμή του c δηλ. c=-0.75, ευρίσκουμε : D 1 = , D 2 = , v 1 = , v 2 = και για κάποια επανάληψη, π.χ. την 22 η, ευρίσκουμε την τιμή αντί της τιμής C. Ακόμη πιο απλά μπορούμε να θεωρήσουμε την y i = A 1 + A 2 r i 1 8. Παρακάτω εμφανίζονται στα διαστήματα τιμών του c, οι αντίστοιχες τιμές των A 1, A 2 και r. i) 0.75 < c < 0, A 1 = 1 2 (1 1 4c), A 2 = c A 1, r = y 9 A 1 c A 1 ii) 1.25 < c < 0.75, A 1 = 1 2 ( 1 3 4c), A 2 = c A 1, r = y 9 A 1 c A 1 iii) < c < 1.25, A 1 = y 33, A 2 = c A 1, r = y 9 A 1 c A 1 iv) < c < 1.368, A 1 = y 65, A 2 = c A 1, r = y 17 A 1 c A 1 Έστω y i = A 1 + A 2 r i 1 8 για i = 1, 3, 5, και y i = A 1 + Α 2 r i 1 8 για i = 2, 4, 6, όταν 0.75 < c < 0. Τότε ισχύει : A 1 = 1 2 (1 1 4c), A 2 = c A 1, r = y 9 A 1. Από y c A 2 = A 1 + Α 2 r 1 8 και y 10 = A 1 + Α 2 r ισχύει Α 2 = c2 +c Α 1 r 1 8 και r = y 10 Α 1 c 2 +c Α 1. Επειδή ισχύει για παράδειγμα y 16 = y c και y 10 = y c έχουμε την δυνατότητα να υπολογίσουμε τις τιμές των y 9 και y 10 οπότε και την τιμή για το οποιοδήποτε y i. Βεβαίως θα έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια στους υπολογισμούς των τιμών των y i για i = 1, 2, 3,, αν χρησιμοποιήσουμε τους τύπους π.χ. : y i = A 1 + A 2 r i 1 28 για i = 1, 3, 5, και y i = A 1 + Α 2 r i 1 28 για i = 2, 4, 6, και αντί των τιμών των y 9 και y 10, να χρησιμοποιήσουμε αντίστοιχα τις τιμές των y 29 και y 30.