ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014"

Transcript

1 Περίληψη. ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Μαρία Α. Λευτάκη 1 & Ευάγγελος Π. Βαλάρης 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014 Μια απλή μη γραμμική επαναληπτική εξίσωση, η οποία όμως παρουσιάζει πλούσια συμπεριφορά, είναι η y i+1 = y i 2 + c, i = 0, 1, 2, 3, και cπραγματικός αριθμός. Για τους λόγους αυτούς, η εξίσωση αυτή συγκέντρωσε το ενδιαφέρον αρκετών ερευνητών. Αναλυτική λύση έχει μόνο για κάποιες τιμές της παραμέτρου c. Στην εργασία αυτή δίνουμε προσεγγιστική λύση για τις τιμές της παραμέτρου c που είναι αυτό δυνατό. Εισαγωγή. Η λογιστική απεικόνιση χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1845 από το Βέλγο μαθηματικό Pierre FrancoisVerhulst, ως ένα μοντέλο που περιέγραφε τη χρονική εξέλιξη ενός πληθυσμού μιας αποικίας έμβιων όντων. Ο Verhulst θεώρησε πως εάν p i και p i+1 είναι ο πληθυσμός της αποικίας κατά τις χρονικές στιγμές i και i+1, τότε, ο ρυθμός μεταβολής της ανάπτυξης του πληθυσμού K = p i+1 p i p i (1) είναι ανάλογος της δυνατότητας που έχει το σύστημα πληθυσμού p i να υποστεί περαιτέρω ανάπτυξη, μέσα στα πλαίσια του υπάρχοντος οικοσυστήματος. Αυτό σημαίνει πως εάν συμβολίσουμε με τη μονάδα τη συνολική δυνατότητα του συστήματος, και με p i την τρέχουσα τιμή του πληθυσμού, τότε, η εναπομένουσα δυνατότητα είναι ίση με 1 p i, και επομένως η χρονική εξέλιξη του πληθυσμού θα δίδεται από την εξίσωση p i+1 p i p i = λ(1 p i ) (2) όπου η παράμετρος λ αντιστοιχεί σε κάποια σταθερή τιμή. Εάν επιλύσουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς p i+1, αυτή θα λάβει τη μορφή : p i+1 = p i + λp i (1 p i ) (3) Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί ακόμη περισσότερο, εάν χρησιμοποιήσουμε μια νέα μεταβλητή την x i = λ λ+1 p i (4) και ορίσουμε μία νέα σταθερά, r, ως r = λ + 1. (5) Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (3) μετασχηματίζεται στη μορφή : x i+1 = rx i (1 x i ) (6) η οποία είναι γνωστή ως λογιστική απεικόνιση, και περιγράφει ένα δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου που

2 2 χρησιμοποιείται σε πάρα πολλές περιπτώσεις μελέτης χαοτικών συστημάτων. Άλλη μορφή της λογιστικής απεικόνισης. Στην λογιστική απεικόνιση δηλαδή η αν θέσουμε προκύπτει η απεικόνιση δηλαδή η απεικόνιση x i+1 = (x i ) με (x) = rx(1 x), (7) x i+1 = rx i (1 x i ), x i = y i r + 1 2, (8) y i+1 = y i 2 + c, όπου c = (1 r 2 ) r 2, (9) y i+1 = g(y i ) με g(y) = y 2 + c. (10) Στο επίπεδο (Ι, Y). Η επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y 2 i + c για την ίδια αρχική τιμή y 0 και για διαφορετικές τιμές c, μας δίνει διαφορετική εικόνα τροχιάς. Αυτό φαίνεται στα παρακάτω σχήματα, στα οποία παρουσιάζονται στο επίπεδο (Ι,Υ), δηλαδή οι επαναλήψεις Ι και οι αντίστοιχες τιμές Υ της απεικόνισης, για αρχική τιμή y 0 = 0 και c = 0.25, -0.75, -1.25, Παρατηρούμε ότι για c = 0.25 όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μία καμπύλη, για c = τα σημεία που αντιστοιχούν σε περιττό αριθμό επαναλήψεων βρίσκονται σε μία καμπύλη, ενώ τα σημεία που αντιστοιχούν σε άρτιο αριθμό επαναλήψεων βρίσκονται σε μία άλλη καμπύλη. Η εικόνα γίνεται πιο σύνθετη για c = Τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=1,5,9, βρίσκονται σε μία πρώτη καμπύλη, τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=3,7,11, βρίσκονται σε μία δεύτερη καμπύλη, τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=2,6,10, βρίσκονται σε μία τρίτη καμπύλη και τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ι=4,8,12, βρίσκονται σε μία τέταρτη καμπύλη. Στο τέταρτο σχήμα για c = -1.5 παρατηρούμε ότι τα σημεία έχουν τυχαία θέση.

3 3 Στο επίπεδο (Χ,Y). Για την επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y i 2 + c έχουμε σχεδιάσει στο επίπεδο (Χ,Υ) την γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 + c και την γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x. Ξεκινώντας από το σημείο x 0 παρακολουθούμε στα παρακάτω σχήματα με κόκκινη γραμμή την εξέλιξη της τροχιάς. Χρησιμοποιήσαμε για το c τις ίδιες τιμές όπως παραπάνω, δηλαδή 0.25, -0.75, και Στην πρώτη περίπτωση η τροχιά συγκλίνει σ' ένα σημείο x = , στην δεύτερη περίπτωση η τροχιά συγκλίνει σε δύο σημεία x = και x = , στην τρίτη περίπτωση η τροχιά συγκλίνει σε τέσσερα σημεία x = , x = , x= και x = , ενώ στην τέταρτη περίπτωση δεν έχουμε σύγκλιση.

4 4 Στο επίπεδο (C,Y). Τελικά, δηλαδή μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, η επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y i 2 + c για αρχική τιμή y 0 = 0 και για διάφορες τιμές του c, δίνει την εικόνα που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Οι τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης για 0.75 < c < 0.25 συγκλίνουν σ' ένα σημείο το οποίο είναι το y = 1 1 4c, για 1.25 < c < 0.75 σε δύο σημεία που είναι λύσεις της εξίσωσης y 2 + y + ( c + 1) = 0, 2 2 που προκύπτει από την εξίσωση g 2 (y) = g ( g( y ) ) = y, για < c < 1.25 σε τέσσερα σημεία, για < c < σε οκτώ σημεία, για < c < σε δεκαέξη σημεία κ.λ.π., ενώ από κάποια τιμή του c και αριστερά παρουσιάζεται χάος. Εξετάζοντας όμως με προσοχή παρατηρούμε ότι και μέσα στο χάος υπάρχουν περιοχές τάξης. Για να διακρίνουμε τι γίνεται στα μικρά ορθογώνια CY1, CY2 και CY3 παρουσιάζουμε το περιεχόμενό τους στα τρία επόμενα σχήματα. Ενδιαφέρον έχει να δούμε τις τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c για διάφορες τιμές του c, αλλά και για διάφορες τιμές του y 0. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Το σύμβολο (inally) δηλώνει ότι έχει προηγηθεί ένας μεγάλος αριθμός επαναλήψεων.

5 5 Πίνακας Ι. y 0 (-, ) ( , ) (1.8125, +) c=-1.5 CHAOS y 0 (-, -1.75) (-1.75, 1.75) (1.75, +) c= y 0 (-, -1.75) (-1.75, 1.75) (1.75, +) c= y 0 (-, -1.75) (-1.75,-1.25) (-1.25,-0.75) (-0.75,-0.25) (-0.25, 0.25) c= y (0.25, 0.75) 0.75 (0.75, 1.25) 1.25 (1.25, 1.75) 1.75 (1.75, +) c= y 0 (-, ) ( , ) ( , +) c= y 0 (-, ) ( , ) (1.6875, +) c=

6 6 y 0 (-, ) (-1.625, 1.625) (1.625, +) c= y 0 (-, ) ( , -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, ) ( , +) c= y 0 (-, -1.5) (-1.5, 1.5) (1.5, +) c= y 0 (-, -1.5) -1.5 (-1.5, -0.5) -0.5 (-0.5, 0.5) 0.5 (0.5, 1.5) 1.5 (1.5, +) c= y 0 (-,-1.375) (-1.375, 1.375) (1.375, +) c= y 0 (-, ) ( , ) (1.3125, +) c= y 0 (-, -1.25) (-1.25, 1.25) (1.25, +) c= y 0 (-, -1.25) (-1.25, 1.25) 1.25 (1.25, +) c= y 0 (-, ) ( , ) (1.1875, +) c=

7 7 y 0 (-, ) ( , ) (1.0625, +) c= y 0 (-, -1.0) -1.0 (-1.0, 0.0) 0.0 (0.0, 1.0) 1.0 (1.0, +) c= y 0 (-, ) ( , ) (0.8125, +) c= y 0 (-, -0.75) (-0.75, -0.25) (-0.25, 0.25) 0.25 (0.25, 0.75) 0.75 (0.75, +) c= y 0 (-, -0.5) -0.5 (-0.5, 0.5) 0.5 (0.5, +) c= y 0 (-, +) c=0.375 Στο χώρο (Y0, C, Y). Τα στοιχεία του χώρου τάξης του Πίνακα Ι εμφανίζονται στο ακόλουθο σχήμα

8 8 Στο επίπεδο (X,Y). Περίπτωση c=-2. Στο σημείο αυτό να σημειώσουμε το εξής : H y i+1 = y i 2 2 με αρχική τιμή y 0, θα έχει λύση y i = 2 cos (2 i cos 1 ( y 0 2 )). Στο επόμενο σχήμα εμφανίζονται οι καμπύλες y i, i = 1, 2, 3, 4 με red, green, blue και magenta χρώμα αντίστοιχα. Περίπτωση c=-1.5. Περίπτωση c= Στο επόμενο σχήμα εμφανίζονται και οι καμπύλες y i, i = 5, 6, 7, 8 με dark yellow, navy, purple και wine χρώμα αντίστοιχα.

9 9 Στο σημείο αυτό παραθέτουμε τις αντίστοιχες γραμμές του Πίνακα Ι, ώστε να είναι πιο εύκολος ο συσχετισμός (οι σκιασμένες στήλες) : y 0 (-, -1.75) (-1.75,-1.25) (-1.25,-0.75) (-0.75,-0.25) (-0.25, 0.25) c= y (0.25, 0.75) 0.75 (0.75, 1.25) 1.25 (1.25, 1.75) 1.75 (1.75, +) c= Περίπτωση c= Και η αντίστοιχη γραμμή του Πίνακα Ι : y 0 (-, -1.5) -1.5 (-1.5, -0.5) -0.5 (-0.5, 0.5) 0.5 (0.5, 1.5) 1.5 (1.5, +) c=

10 10 Στο επίπεδο (R, Χ). Ο χώρος τάξης της επαναληπτικής απεικόνισης x i+1 = rx i (1 x i ) για αρχική τιμή x 0 = 0.5 και για διάφορες τιμές του r, μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Οι τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης για 0 < r < 1 συγκλίνουν στο σημείο x=0, για 1 < r < 3 στο σημείο x= r 1, τα οποία είναι λύσεις της εξίσωσης (x) = rx(1 x) = x, για 3 < r < σε δύο σημεία που είναι λύσεις της εξίσωσης r 2 x 2 (r 2 + r)x + (r + 1) = 0, που προκύπτει από την εξίσωση 2 (x) = ( ( x )) = x, για < r <3.544 σε τέσσερα σημεία, για 3.544< r <3.564 σε οκτώ σημεία κ.λ.π. ενώ από κάποια τιμή του r και δεξιά παρουσιάζεται χάος. r Στο σημείο αυτό, καλό είναι να έχουμε μία εικόνα για το τι συμβαίνει με τις τιμές της επαναληπτικής απεικόνισης x i+1 = rx i (1 x i ), όταν συμβαίνει το ίδιο, δηλαδή μεταβάλουμε τις τιμές της r, αλλά και τις τιμές της αρχικής τιμής x 0. Στον πίνακα που ακολουθεί παρατηρούμε ότι η εικόνα είναι πιο απλή από τον αντίστοιχο πίνακα για την επαναληπτική απεικόνιση y i+1 = y 2 i + c. Πίνακας ΙΙ. x (0,1) 1.0 r = CHAOS 0.0 x (0,1) 1.0 r =

11 11 x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = x (0,1) 1.0 r = Οι πρώτοι όροι στο επίπεδο (C, Y). Στα σχήματα που ακολουθούν εμφανίζονται οι πρώτοι όροι της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c για αρχική τιμή y 0 = 0 και για διάφορα διαστήματα τιμών του c.

12 12 Προσεγγιστική λύση. Παρουσιάζει ενδιαφέρον η εύρεση της λύσης της y i = y i (i) για την οποιαδήποτε επανάληψη i. Πολύ καλή ακρίβεια μας δίνει η εκθετική συνάρτηση 2 ης τάξης. Θεωρούμε ένα διάστημα τιμών του c, π.χ. -1 < c <0. A. Θεωρούμε την y i = y 0 + A 1 e (i 1) t 1 Για τις τιμές της μεταβλητής i = 3, 5, 7, 9 ισχύουν οι σχέσεις + A 2 e (i 1) t 2. (1) y 3 = y 0 + A 1 e 2 t 1 + A 2 e 2 t 2, y 5 = y 0 + A 1 e 4 t 1 + A 2 e 4 t 2 (2) y 7 = y 0 + A 1 e 6 t 1 + A 2 e 6 t 2, y 9 = y 0 + A 1 e 8 t 1 + A 2 e 8 t 2. (3) Θέτουμε r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2, οπότε y 3 = y 0 + A 1 r 1 + A 2 r 2, y 5 = y 0 + A 1 r A 2 r 2 (2 ) y 7 = y 0 + A 1 r A 2 r 3 2, y 9 = y 0 + A 1 r A 2 r 24 (3 ) Αλλά y 0 = y 1 A 1 A 2, οπότε y 3 y 1 = A 1 (r 1 1) + A 2 (r 2 1), y 5 y 1 = A 1 (r 2 1 1) + A 2 (r 2 2 1) (4) y 7 y 1 = A 1 (r 3 1 1) + A 2 (r 3 2 1), y 9 y 1 = A 1 (r 4 1 1) + A 2 (r 4 2 1) (5) από τις (4) βρίσκουμε : A 1 = (y 3 y 1 )(r 2 2 1) (r 2 1)(y 5 y 1 ) (r 1 1)(r 2 2 1) (r 2 1)(r 1 2 1) A 1 = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) A 2 = (r 1 1)(y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 2 1 1) (r 1 1)(r 2 2 1) (r 2 1)(r 2 1 1) A 2 = (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 2 1)( ) (6) (7) οπότε οι (5) γίνονται : y 7 y 1 = A 1 (r 1 3 1) + A 2 (r 2 3 1) = = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) (r 3 1 1) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 3 (r 2 1)( ) 2 1) = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r r 1 + 1) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r r 2 + 1)

13 13 = (y 3 y 1 ) r ( r 2 r 1 1) (y 3 y 1 ) r (r 2 1 r 2 r 2 + r 2 + 1) + (y 5 y 1 ) r 1 2 r (y 5 y 1 ) r r = (y 3 y 1 ) (r 2 + 1)( r 2 1 r 1 1) + (r 1 + 1)(r r 2 + 1) + (y r 2 r 5 y 1 ) ( r 1 2 r 1 1) + (r r 2 + 1) 1 = (y 3 y 1 ) ( r 1 2 r 2 r 2 1 ) + (r 1 r r 2 2 ) + (y r 2 r 5 y 1 ) ( r 1 2 r 1 ) + (r r 2 ) 1 = (y 3 y 1 ) ( )(r 1 r 2 + r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 ) ( )(r 1 + r 2 + 1) = (y 3 y 1 )(r 1 r 2 + r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 )(r 1 + r 2 + 1) = (y 3 y 1 )r 1 r 2 (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 )(r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 ) y 7 y 5 = (y 5 y 3 )(r 1 + r 2 ) (y 3 y 1 )r 1 r 2, (8) από την οποία r 1 r 2 = (y 5 y 3 )(r 1 + r 2 ) (y 7 y 5 ) y 3 y 1 (9) y 9 y 1 = A 1 (r 1 4 1) + A 2 (r 2 4 1) = = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) (r 4 1 1) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 4 (r 2 1)( ) 2 1) = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r + 1)(r ) + (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 1 r 2 r 2 + 1)(r ) 1 = (y 3 y 1 ) (r 2 + 1) (r + 1)(r ) (y 5 y 1 ) (r 1 + 1)(r ) (y 5 y 1 ) (r r 2 r 2 + 1)(r ) (y 3 y 1 ) (r 1 + 1) (r 1 r 2 r 2 + 1)(r ) 1 = (y 3 y 1 ) (r 1 + 1)(r 2 + 1)(r ) (r 2 + 1)(r 1 + 1)(r ) +(y 5 y 1 ) (r 2 + 1)(r ) (r 1 + 1)(r ) = (y 3 y 1 ) (r 1 + 1)(r 2 + 1)((r ) (r )) + (y r 2 r 5 y 1 ) (r 2 + 1)(r ) (r 1 + 1)(r ) 1 = (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )(r 1 + 1)(r 2 + 1) + (y 5 y 1 )(r r 2 2 +r 1 r 2 + r 1 + r 2 + 1) = (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )(r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1) + (y 5 y 1 )((r 1 + r 2 ) 2 r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1) y 9 y 1 = (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )(r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1) + (y 5 y 1 )((r 1 + r 2 ) 2 r 1 r 2 + (r 1 + r 2 ) + 1), η οποία με την βοήθεια της (9) γίνεται: y 9 y 1 = (y 5 y 3 )(r 1 + r 2 ) 2 +(y 7 y 5 )(r 1 + r 2 ) (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 ) 2 (y 3 y 1 )(r 1 + r 2 )+ +(y 5 y 1 )(r 1 + r 2 ) 2 (y 5 y 1 )(y 5 y 3 ) y 3 y 1 (r 1 + r 2 ) + (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 3 y 1 + (y 5 y 1 )(r 1 + r 2 )+ +(y 5 y 1 )

14 14 y 9 y 5 (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 3 y 1 = (y 7 y 3 (y 5 y 1 )(y 5 y 3 ) y 3 y 1 ) (r 1 + r 2 ) r 1 + r 2 = y 9 y 5 (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 3 y 1 (y 9 y 5 )(y 3 y 1 ) (y 5 y 1 )(y 7 y 5 ) y 7 y 3 (y = 5 y 1 )(y 5 y 3 ) (y 7 y 3 )(y 3 y 1 ) (y 5 y 1 )(y 5 y 3 ), y 3 y 1 για να απλοποιήσουμε τον τύπο, ονομάζουμε: y 3 y 1 = a, y 5 y 3 = b, y 7 y 5 = c και y 9 y 7 = d, οπότε: r 1 + r 2 = S = (c+d)a (a+b)c = ad bc (b+c)a (a+b)b ac b 2 και αντικαθιστώντας τα στην (9) έχουμε : r 1 r 2 = P = b ad bc c ac b 2 bd c2 = a ac b 2, που σημαίνει ότι τα r 1, r 2 υπολογίζονται ως ρίζες της εξίσωσης r 2 Sr + P = 0, οπότε r 1 = S + D 2 και r 2 = S D, όπου D = S 2 4P. 2 Οι τύποι (6) και (7) πλέον γίνονται A 1 = (y 3 y 1 )(r 2 + 1) (y 5 y 1 ) (r 1 1)( ) = ar 2 b (r 1 1)( ) (10) και A 2 = (y 5 y 1 ) (y 3 y 1 )(r 1 + 1) (r 2 1)( ) = b ar 1 (r 2 1)( ). (11) Από τις r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2 προκύπτουν t 1 = 2 lnr 1 και t 2 = 2 lnr 2. (12) Τέλος, υπολογίζουμε το y 0 από την y 0 = y 1 A 1 A 2. (13) Στην συνέχεια τον ρόλο του y 3, παίζει το y 9 και αντίστοιχα τον ρόλο των y 5, y 7, y 9 τα y 17, y 25, y 33. Επίσης αντικαθιστούμε τα r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2 με τα r 1 = e 8 t 1 και r 2 = e 8 t 2, αντίστοιχα. Η y i = y 0 + A 1 e (i 1) t 1 + A 2 e (i 1) t 2, για i=1,3,5,7,9,11, (14) αποτελεί λύση της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c. (15) Αντίστοιχα, η y i = y 0 + A 1 e (i 2) t 1 + A 2 e (i 2) t 2 (16) αποτελεί λύση της επαναληπτικής απεικόνισης y i+1 = y i 2 + c, για i=2,4,6,8,10,12, Για του λόγου το αληθές, εμφανίζουμε στο παρακάτω σχήμα τα σημεία της επαναληπτικής απεικόνισης με κόκκινο χρώμα και τα σημεία των εκθετικών συναρτήσεων με μαύρο χρώμα. Παρατηρούμε ότι συμπίπτουν.

15 15 Στον επόμενο πίνακα δίνουμε για ορισμένες τιμές του c, τις αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων πρώτα για i=1,3,5,7,9,11, και εν συνεχεία για i=2,4,6,8,10,12, Πίνακας ΙΙΙ. C t 1 t 2 A 1 A 2 y E Στον πίνακα που ακολουθεί γίνεται σύγκριση των τιμών που προκύπτουν με την χρήση των τύπων (14) και (15) για κάποια τιμή του c. Πίνακας ΙV. αριθμός τιμή με χρήση τιμή με χρήση διαφορά επανάληψης τύπου (9) τύπου (10) E E E-5

16 E E E E E E E E E-4 Στην συνέχεια εξετάσαμε την δυνατότητα να προκύπτουν οι τιμές των παραμέτρων y 0, A 1, A 2, t 1, t 2 της y i =y 0 + A 1 e (i 1)/ t 1+A 2 e (i 1)/t 2, όπου: A 1 = ar 2 b (r 1 1)( ), A b ar 1 2 = (r 2 1)( ), y 0 = c A 1 A 2, t 1 = 8, t lnr 2 = 8 1 lnr 2 με αντικατάσταση των παραμέτρων a, b, r 1, r 2 από κατάλληλες συναρτήσεις τουc. Διαπιστώσαμε ότι αυτό είναι εφικτό και οι συναρτήσεις αυτές δίνονται παρακάτω. Έτσι έχουμε την δυνατότητα για δεδομένη τιμή του c να υπολογίζουμε απευθείας το ζητούμενο στοιχείο της αντίστοιχης επαναληπτικής απεικόνισης. Οι παράμετροι a, b, r 1, r 2 ως συναρτήσεις του c. Στο πρώτο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής a με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Extreme που είναι η συνάρτηση : a = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1), όπου z = (c-xc)/w. Οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων της είναι : y 0 = , A=0.1712, xc= , w= Στο δεύτερο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής b με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Extreme : b = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1), όπου z = (c-xc)/w. Οι κατάλληλες τιμές των παραμέτρων της είναι για το τμήμα -0.8<c<-0.55 οι τιμές : ενώ για το τμήμα -0.55<c<-0.3 οι τιμές : y 0 = , A= , xc= , w=

17 17 y 0 = , A=0.0282, xc= , w= Στο τρίτο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής r 1 με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Extreme : r 1 = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1), όπου z = (c-xc)/w για το τμήμα -0.8<c<-0.55 με τιμές : y 0 = , A= , xc= , w= και από την συνάρτηση BlNeldSmp που είναι η συνάρτηση : r 1 = (a 1 +b 1 *c)^(-1/c 1 ) για το τμήμα -0.55<c<-0.3 με τιμές : a 1 = , b 1 = , c 1 = Τέλος, στο τέταρτο από τα επόμενα τέσσερα σχήματα παρακολουθούμε την σχέση των τιμών της μεταβλητής r 2 με τις τιμές της μεταβλητής c. Αυτή η σχέση προσεγγίζεται πολύ καλά από την συνάρτηση Gauss που είναι η συνάρτηση : r 2 =y 0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((c-xc)/w)^2) για το τμήμα -0.8<c<-0.63 με τιμές : y 0 = , A= , w= , xc= και από την συνάρτηση BlNeldSmp : r 2 = (a 1+b 1*c)^(-1/c 1) για το τμήμα -0.63<c<-0.53 με τιμές : a 1 = , b 1 = , c 1 = ενώ για το τμήμα -0.52<c<-0.3 με τιμές : a 1 = , b 1 = , c 1 =

18 18 Συνοψίζουμε όλα τα παραπάνω στους πίνακες που ακολουθούν Πίνακας V. c values name o variable model parameter values -0.8<c<-0.3 a Extreme y 0 = , A=0.1712, xc= , w= <c<-0.55 b Extreme y 0 = , A= , xc= , w= <c<-0.3 b Extreme y 0 = , A=0.0282, xc= , w= <c<-0.55 r 1 Extreme y 0 = , A= , xc= , w= <c<-0.3 r 1 BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= <c<-0.63 r 2 Gauss y 0 = , A= , w= , xc= <c<-0.53 r 2 BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= <c<-0.3 r 2 BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= ή Πίνακας VΙ. c (-0.8, -0.63) (-0.63, -0.55) (-0.55, -0.53) (-0.52, -0.3) a b r 1 r 2 Extreme y 0 = , A=0.1712, xc= , w= Extreme y 0 = , A= , xc= , w= Extreme y 0 = , A= , xc= , w= Gauss y 0 = , A= , w= , BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= Extreme y 0 = , A=0.0282, xc= , w= BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1= BlNeldSmp a 1= , b 1= , c 1=

19 19 xc= και Πίνακας VΙΙ. model ExpDecay2 Extreme Equation y i = y 0 + A 1 *exp(-(i-1)/t1) + A 2 *exp(-(i-1)/t2) y = y 0 +A*exp(-exp(-z)-z+1) z = (c-xc)/w BlNeldSmp y = (a 1 + b 1*c)^(-1/c 1) Gauss y=y 0 + (A/(w*sqrt(PI/2)))*exp(-2*((c-xc)/w)^2) B. Πιο απλά μπορούμε να θεωρήσουμε την y i = A 1 e (i 1) t 1 Για τις τιμές της μεταβλητής i = 3, 5, 7, 9 ισχύουν οι σχέσεις : + A 2 e (i 1) t 2. (17) y 3 = A 1 e 2 t 1 + A 2 e 2 t 2, y 5 = A 1 e 4 t 1 + A 2 e 4 t 2 (18) y 7 = A 1 e 6 t 1 + A 2 e 6 t 2, y 9 = A 1 e 8 t 1 + A 2 e 8 t 2. (19) Θέτουμε r 1 = e 2 t 1 και r 2 = e 2 t 2, οπότε y 3 = A 1 r 1 + A 2 r 2, y 5 = A 1 r A 2 r 2 2 (20) y 7 = A 1 r A 2 r 2 3, y 9 = A 1 r A 2 r 2 4 (21) από τις (20) βρίσκουμε : A 1 = y 3r 2 y 5 r 1 ( ), A 2 = y 5 y 3 r 1 r 2 ( ) (22) οπότε οι (21) γίνονται : y 7 = y 3r 2 y 5 r 1 ( ) r y 5 y 3 r 1 r 2 ( ) r 2 3 = y 3r 2 y 5 2 r + y 5 y 3 r 1 r 2 1 r 2 r 2 = (y 3r 2 y 5 )r (y 5 y 3 r 1 )r 2 1 = y 3r 2 r 2 1 y 5 r y 5 r y 3 r 1 r 2 = y 3r 1 r 2 (r 1 r 2 ) y 5 (r 2 1 r 2 2 ) = y 3r 1 r 2 ( ) + y 5 (r 1 + r 2 )( ) y 7 = y 5 (r 1 + r 2 ) y 3 r 1 r 2, (23) από την οποία r 1 r 2 = y 5(r 1 + r 2 ) y 7 y 3 (24)

20 20 y 9 = y 3 r 2 y 5 r 1 ( ) r y 5 y 3 r 1 r 2 ( ) r 2 4 = y 3r 2 y 5 r 3 + y 5 y 3 r 1 3 r 1 r 2 r 2 = y 3r 2 r 3 1 y 5 r y 5 r y 3 r 1 r 2 1 = y 3r 1 r 2 (r 1 2 r 2 2 ) y 5 (r 1 3 r 2 3 ) = y 3r 1 r 2 (r 1 + r 2 )( )+y 5 ( ) y 9 = y 3 (r 1 + r 2 )r 1 r 2 + y 5 (r r 2 2 +r 1 r 2 ), η οποία με την βοήθεια της (24) γίνεται : y 9 = y 3 (r 1 + r 2 ) y 5(r 1 + r 2 ) y 7 y 3 + y 5 (r r y 5(r 1 + r 2 ) y 7 y 3 ) = y 5 (r 1 + r 2 ) 2 + y 7 (r 1 + r 2 ) + y 5 r y 5 r y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 y 9 = y 5 r 1 2 y 5 r 2 2 2y 5 r 1 r 2 + y 7 (r 1 + r 2 ) + y 5 r y 5 r y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3, η οποία με την βοήθεια της (24) γίνεται : y 9 = 2y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 + y 7 (r 1 + r 2 ) + y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 y 9 = y 5 y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 y 3 + y 7 (r 1 + r 2 ) y 9 y 3 = y 5 (y 5 (r 1 + r 2 ) y 7 ) + y 7 y 3 (r 1 + r 2 ) = y 5 2 (r 1 + r 2 ) + y 5 y 7 + y 7 y 3 (r 1 + r 2 ) y 9 y 3 y 5 y 7 = (y 7 y 3 y 5 2 )(r 1 + r 2 ) r 1 + r 2 = y 9y 3 y 5 y 7 y 7 y 3 y 5 2, (25) οπότε η (24) γίνεται r 1 r 2 = y 5y 9 y 7 2 y 7 y 3 y 5 2. (26) Από την y i = A 1 e (i 1) t 1 + A 2 e (i 1) t 2 έχουμε : y i = A 1 e 1 t1 i 1 e t1 + A 2 e 1 t2 i 1 e t2 = A 1 e 1 t1e 1 t1 i + A 2 e 1 t2e 1 όπου - 1 t 1 = s 1, - 1 t 2 = s 2, B 1 = A 1 e s 1 και B 2 = A 2 e s 2. t2 i = A 1 e s 1e s 1i + A 2 e s 2e s 2i = B 1 e s 1i + B 2 e s 2i, Η προσέγγιση είναι και πάλι πολύ καλή. Για κάποια τιμή του c, π.χ. c=-0.75, ευρίσκουμε : B 1 = , B 2 = , s 1 = , s 2 = και για κάποια επανάληψη, π.χ. την 21 η, ευρίσκουμε την τιμή αντί της τιμής Από την y i = C 1 e (i 2) u 1 + C 2 e (i 2) u 2 έχουμε

21 21 y i = C 1 e 1 u1 i 2 e u1 + C 2 e 1 u2 i 2 e u2 = C 1 e 2 u1e 1 u1 i + C 2 e 2 u2e 1 όπου - 1 u 1 = v 1, - 1 u 2 = v 2, D 1 = C 1 e 2v 1 και D 2 = C 2 e 2v 2. u2 i = C 1 e 2v 1e v 1i + C 2 e 2v 2e v 2i = D 1 e v 1i + D 2 e v 2i, Η προσέγγιση είναι και πάλι πολύ καλή. Για την ίδια τιμή του c δηλ. c=-0.75, ευρίσκουμε : D 1 = , D 2 = , v 1 = , v 2 = και για κάποια επανάληψη, π.χ. την 22 η, ευρίσκουμε την τιμή αντί της τιμής C. Ακόμη πιο απλά μπορούμε να θεωρήσουμε την y i = A 1 + A 2 r i 1 8. Παρακάτω εμφανίζονται στα διαστήματα τιμών του c, οι αντίστοιχες τιμές των A 1, A 2 και r. i) 0.75 < c < 0, A 1 = 1 2 (1 1 4c), A 2 = c A 1, r = y 9 A 1 c A 1 ii) 1.25 < c < 0.75, A 1 = 1 2 ( 1 3 4c), A 2 = c A 1, r = y 9 A 1 c A 1 iii) < c < 1.25, A 1 = y 33, A 2 = c A 1, r = y 9 A 1 c A 1 iv) < c < 1.368, A 1 = y 65, A 2 = c A 1, r = y 17 A 1 c A 1 Έστω y i = A 1 + A 2 r i 1 8 για i = 1, 3, 5, και y i = A 1 + Α 2 r i 1 8 για i = 2, 4, 6, όταν 0.75 < c < 0. Τότε ισχύει : A 1 = 1 2 (1 1 4c), A 2 = c A 1, r = y 9 A 1. Από y c A 2 = A 1 + Α 2 r 1 8 και y 10 = A 1 + Α 2 r ισχύει Α 2 = c2 +c Α 1 r 1 8 και r = y 10 Α 1 c 2 +c Α 1. Επειδή ισχύει για παράδειγμα y 16 = y c και y 10 = y c έχουμε την δυνατότητα να υπολογίσουμε τις τιμές των y 9 και y 10 οπότε και την τιμή για το οποιοδήποτε y i. Βεβαίως θα έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια στους υπολογισμούς των τιμών των y i για i = 1, 2, 3,, αν χρησιμοποιήσουμε τους τύπους π.χ. : y i = A 1 + A 2 r i 1 28 για i = 1, 3, 5, και y i = A 1 + Α 2 r i 1 28 για i = 2, 4, 6, και αντί των τιμών των y 9 και y 10, να χρησιμοποιήσουμε αντίστοιχα τις τιμές των y 29 και y 30.

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι

Επαναληπτικές μέθοδοι Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος 9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηματικά

Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηματικά Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους Η/Υ Μαθηματικά Άσκηση 3 (15%) Ι) Για να βρούμε την τιμή και τη ποσότητα ισορροπίας εξισώνουμε την συνάρτηση ζήτησης με την συνάρτηση προσφοράς: Q = Q 3P+ 8= 4 P 3P +

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων

2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοημοσύνη Ι» 5 o Φροντιστήριο Πρόβλημα ο Ασκήσεις Φροντιστηρίου 5 o Φροντιστήριο Δίνεται το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης: # Είσοδος Κατηγορία 0 0 0 Α 2 0 0 Α 0 Β 4 0 0 Α 5 0 Β 6 0 0 Α 7 0 Β 8 Β α) Στον παρακάτω κύβο τοποθετείστε τα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! ookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα : Πρότυπο Πρότυπα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Φυσική για να ερμηνεύσει τα φαινόμενα, δημιουργεί τα πρότυπα ή μοντέλα. Τα πρότυπα αποτελούνται από ένα πλέγμα

Διαβάστε περισσότερα

5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) 3 x έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα Οx. Σ Λ., τότε ισχύει

5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) 3 x έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα Οx. Σ Λ., τότε ισχύει ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x.

, και για h 0, . Άρα. Α2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α είναι f 1, για κάθε. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 12: Ακρότατα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x).

Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Κεφάλαιο 2, άσκηση 1: Δίνονται οι συναρτήσεις: α) 2, β), Να εξετάσετε αν είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, κι αν είναι να υπολογίσετε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F x (x). Λύση : Για να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. 5η κατηγορια: ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. 5η κατηγορια: ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5η κατηγορια: Για να βρούμε τη σύνθεση gof των συναρτήσεων f,g ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού A f,a g των συναρτήσεων f,g. Στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο A A f / f(

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Συστήματα Ιδιότητες Συναρτήσεων- Τριγωνομετρία 06-11-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Τι ονομάζουμε γραμμική εξίσωση; (4 μον.) ii. Πότε μία συνάρτηση f ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ. ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο )

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ. ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 2018-2019 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Στις παρακάτω Δ.Ε. να προσδιορίσετε: α) την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 2: Συναρτήσεις Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα