Κεφάλαιο Κατανομές Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
- - Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Έστω οι διαφορετικές διατάξεις ενός αγοριού (B) και ενός κοριτσιού (G) σε τέσσερις ακολουθιακές γεννήσεις. Υπάρχουν ***= 4 = 6 δυνατές διατάξεις, έτσι ο δειγματικός χώρος είναι: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Αν η εμφάνιση αγοριού ή κοριτσιού είναι το ίδιο πιθανή [P(G) = P(B) = /] και το φύλο ενός παιδιού είναι ανεξάρτητο από το φύλο του προηγούμενου παιδιού, η πιθανότητα για κάθε μια από τις 6 πιθανές εμφανίσεις είναι: (/)(/)(/)(/) = /6.
- Τυχαίες Μεταβλητές Αν μετρήσουμε τον αριθμό των κοριτσιών σε κάθε μια από τις τέσσερις γεννήσεις έχουμε: BBBB () BGBB () GBBB () GGBB () BBBG () BGBG () GBBG () GGBG () BBGB () BGGB () GBGB () GGGB () BBGG () BGGG () GBGG () GGGG (4) Παρατηρήστε ότι: σε κάθε ένα πιθανό αποτέλεσμα αντιστοιχεί μια μόνο τιμή, όλα τα αποτελέσματα αντιστοιχούν σε κάποια τιμή και η τιμή που αντιστοιχεί μεταβάλλεται μεταξύ των αποτελεσμάτων. Η καταμέτρηση του αριθμού των κοριτσιών είναι μια τυχαία μεταβλητή: Η τυχαία μεταβλητή, έστω X, είναι μια αβέβαιη ποσότητα που η τιμή της εξαρτάται από την τύχη.
-4 Τυχαίες Μεταβλητές (Συνεχίζεται) BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG X Δειγματικός Χώρος 4 Τιμές στην ευθεία των πραγματικών
-5 Τυχαίες Μεταβλητές (Συνεχίζεται) Επειδή η τυχαία μεταβλητή X = εμφανίζεται όταν πραγματοποιείται οποιοδήποτε από τα ενδεχόμενα BGGG, GBGG, GGBG, ή GGGB έχουμε, P(X = ) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/6 Η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας που καταγράφει τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες. P() /6 4/6 6/6 4/6 4 /6 6/6= Η γραφική απεικόνιση για για αυτήν την κατανομή πιθανότητας παρουσιάζεται στην επόμενη διαφάνεια.
-6 Τυχαίες Μεταβλητές (Συνεχίζεται).4.4 Probability Probability Distribution Distribution of of the the Number Number of of Girls Girls in in Four Four Births Births 6 / 6 6 / 6.. Probabilit Probabilit y, y, P( P( X) X).. 4 / 6 4 / 6 4 / 6 4 / 6.. / 6 / 6 / 6 / 6.. Number Number of of Girls, Girls, X X 4 4
-7 Παράδειγμα - Έστω το πείραμα της ρίψης δυο (συνήθισμένων) ζαριών. Υπάρχουν 6 πιθανά αποτελέσματα. Έστω η τυχαία μεταβλητή X που αναπαριστά το άθροισμα των ενδείξεων στα δυο ζάρια: 4 5 6 7,,,,4,5,6 8,,,,4,5,6 9,,,,4,5,6 4, 4, 4, 4,4 4,5 4,6 5, 5, 5, 5,4 5,5 5,6 6, 6, 6, 6,4 6,5 6,6 P() * /6 /6 4 /6 5 4/6 6 5/6 7 6/6 8 5/6 9 4/6 /6 /6 /6 p() Probability Distribution of Sum of Two Dice.7..7. 4 5 6 7 8 9
Διακριτές και Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές -8 Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή: μπορεί να να πάρει το το πολύ ένα αριθμήσιμο πλήθος τιμών έχει διακριτά άλματα (ή (ή κενά) μεταξύ διαδοχικών τιμών έχει μετρήσιμη πιθανότητα σε σε διακριτές τιμές Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή :: έχει ένα μη μη μετρήσιμο άπειρο αριθμό πιθανών τιμών μετακινείται σε σε συνεχή κλίμακα από τιμή σε σε τιμή δεν έχει μετρήσιμη πιθανότητα που να να σχετίζεται με με κάθε τιμή μετρά (π.χ.: ύψος, βάρος, ταχύτητα, διάρκεια, μήκος)
Κανόνες για Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων -9 Η κατανομή πιθανοτήτων για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή X πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες δυο συνθήκες.. P( ) γγι όλα ττ.. όλα ττ P( ) Πόρισμα : P( X )
- Αθροιστική Συνάρτηση Κατανομής Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής, F(), μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής X είναι: F( ) P( X ) P( i) all i Cumulative Probability Distribution of the Number of Switches P() F()....9.8...7.6..6.5..8.4. 4..9.. 5.... 4 5 F()
- Αθροιστική Συνάρτηση Κατανομής Η πιθανότητα ότι θα γίνουν το πολύ τρεις εκτροπές είναι: P() F()......6..8 4..9 5.. Σημείωση: P(X < ) = F() =.8 = P() + P() + P() + P()
Χρησιμοποιώντας Αθροιστικές Συναρτήσεις Κατανομής - Η πιθανότητα ότι θα πραγματοποιηθούν περισσότερες από μια εκτροπές είναι: P() F()......6..8 4..9 5.. Σημείωση: P(X > ) = P(X > ) = P(X < ) = F() =. =.7
Χρησιμοποιώντας Αθροιστικές Συναρτήσεις Κατανομής - Η πιθανότητα ότι θα πραγματοποιηθούν από μια έως τρεις εκτροπές είναι: P() F()......6..8 4..9 5.. Σημείωση: P( < X < ) = P(X < ) P(X < ) = F() F() =.8. =.7
-4 Ένα δίκαιο παιχνίδι Υποθέστε ότι ότι παίζετε ένα παιχνίδι (ρίψη νομίσματος) στο οποίο κερδίζετε $ $ αν αν εμφανιστεί κεφάλι και χάνετε $ $ αν αν εμφανιστεί γράμματα. Η αναμενόμενη τιμή του παιχνιδιού είναι E(X) =.. Ένα παιχνίδι τύχης το το οποίο έχει αναμενόμενο κέρδος ονομάζεται δίκαιο παιχνίδι. P() P() -.5 -.5.5.5.. = E(X)= -
-5 Η Διωνυμική τυχαία μεταβλητή -5 Έστω μια διαδικασία στην οποία έχουμε μια σειρά από n ιδιες δοκιμές που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες:. Κάθε δοκιμή έχει δυο δυνατά αποτελέσματα, που ονομάζονται επιτυχία και αποτυχία. Τα δυο αποτελέσματα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλούν το δειγματικό χώρο.. Η πιθανότητα επιτυχίας, που συμβολίζεται με p, παραμένει σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή. Η πιθανότηα αποτυχίας συμβολίζεται με q, όπου q = -p.. Οι n δοκιμές είναι ανεξάρτητες. Το αποτέλεσμα μιας δοκιμής δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα άλλων δοκιμών. Μια τυχαία μεταβλητή, X, που καταμετρά τον αριθμό των επιτυχιών σε n δοκιμές, όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε οποιαδήποτε δοκιμή, λέμε ότι ακολουθεί την διωνυμική κατανομή πιθανότητας με παραμέτρους n (αριθμός δοκιμών) και p (πιθανότητα επιτυχίας). Ονομάζουμε την X διωνυμική τυχαία μεταβλητή.
-6 Διωνυμική πιθανότητα (Εισαγωγή) Υποθέστε ότι ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα πέντε φορές στη σειρά και έστω ότι X είναι ο αριθμός των φορών που θα εμφανιστεί κεφάλι. Υπάρχουν 5 = πιθανά αποτελέσματα H και T στο δειγματικό χώρο αυτού του πειράματος. Από αυτά υπάρχουν στα οποία υπάρχουν ακριβώς κεφάλια (X=): HHTTT HTHTΤ HTTHT HTTTH THHTT THTHT THTTH TTHHT TTHTH TTTHH Η πιθανότητα για κάθε ένα από αυτά τα αποτελέσματα είναι p q = (/) (/) = (/), έτσι η πιθανότητα να εμφανιστούν φορές κεφάλι σε 5 ρίψεις ενός αμερόληπτου νομίσματος είναι: P(X = ) = * (/) = (/) =.5
-7 Η Διωνυμική κατανομή πιθανότητας Η διωνυμική κατανομή πιθανότητας είναι: P( ) n p q n!!( n )! p q ( n ) ( n ) όπου : p είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε μια δοκιμή, q = -p, n είναι ο αριθμός δοκιμών και είναι ο αριθμός επιτυχιών. Αριθμός επιτυχιών, n Πιθανότητα P() n! p q!( n )! n! p q!( n )! n!!( n n! p q!( n )! n! n!( n p n)! ( n ) ( n ) p q )! n ( n ) ( n ) q ( n n).
Υπολογισμός Διωνυμικών πιθανοτήτων - Παράδειγμα 6% των μετοχών της Brooke κατέχονται από την LeBow. Επιλέγεται ένα τυχαίο δείγμα 5 5 μετοχών. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ότι το το πολύ τρεις από αυτές θα θα βρεθούν να να κατέχονται από την LeBow; -8 F() P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) P( X ).
Μέσος, Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Διωνυμικής κατανομής -9 Μέσος :: E (( X )) np np Για παράδειγμα αν Η είναι η καταμέτρηση του αριθμού των Διακύμανση :: V (( X )) npq npq Τυπική απόκλιση :: = SD(X) = npq npq κεφαλών σε πέντε ρίψεις ενός H H H E( H ) (5)(.5).5 δίκαιου νομίσματος ισχύει V ( H ) (5)(.5)(.5).5 SD( H ).5.8
Γραφική παράσταση Διωνυμικής Κατανομής - p =. p =. p =.5 Binomial Probability: n=4 p=. Binomial Probability: n=4 p=. Binomial Probability: n=4 p=.5.7.7.7.6.6.6 n = 4 P().5.4. P().5.4. P().5.4.......... 4 4 4 Binomial Probability: n= p=. Binomial Probability: n= p=. Binomial Probability: n= p=.5 5.. 5 5. n = P() 4... P(). 4.. P() 4....... 4 5 6 7 8 9. 4 5 6 7 8 9. 4 5 6 7 8 9 Binomial Probability: n= p=. Binomial Probability: n= p=. Binomial Probability: n= p=.5 n = P().. P().. P()... 4 5 6 7 8 9 456789. 4 5 6 7 8 9 456789. 4 5 6 7 8 9 456789 Η Διωνυμική κατανομή γίνεται όλο και περισσότερο συμμετρική όσο το n αυξάνει και το p.5.
- -6 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Μια Μια συνεχείς τυχαία τυχαία μεταβλητή είναι είναι μια μια τυχαία τυχαία μεταβλητή που που μπορεί μπορεί να να πάρει πάρει τιμές τιμές σε σε ένα ένα διάστημα τιμών. τιμών. Οι Οι πιθανότητες που που συνδέονται με με μια μια συνεχή συνεχή τυχαία τυχαία μεταβλητή X καθορίζονται από από την την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της της τυχαίας τυχαίας μεταβλητής. Η συνάρτηση που που ορίζεται ορίζεται ως ως f(),έχει f(),έχει τις τις ακόλουθες ιδιότητες... f() f() για για όλα όλα τα τα.... Η πιθανότητα ότι ότι η X θα θα βρίσκεται μεταξύ μεταξύ δυο δυο αριθμών a και και b είναι είναι ίση ίση με με την την περιοχή περιοχή κάτω κάτω από από την την f() f() και και μεταξύ μεταξύ των των a και και b. b... Η συνολική περιοχή περιοχή κάτω κάτω από από την την καμπύλη f() f() είναι είναι ίση ίση με με.... Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας μιας συνεχούς τυχαίας τυχαίας μεταβλητής είναι: είναι: F() F() = P(X P(X ) ) =Περιοχή κάτω κάτω από από την την f() f() μεταξύ μεταξύ της της μικρότερης δυνατής δυνατής τιμής τιμής της της X (συχνά (συχνά-) -) και και του του σημείου σημείου..
Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και Αθροιστική συνάρτηση κατανομής - F() F(b) } P(a X b)=f(b) - F(a) F(a) f() a b P(a X b) = Περιοχή κάτω από την f() μεταξύ των a και b = F(b) - F(a) a b