3 Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία

3 Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία 3.1 Εισαγωγή Η μετάδοση θερμότητας, στην πράξη, γίνεται όχι αποκλειστικά με έναν από τους τρεις δυνατούς μηχανισμούς (αγωγή, μεταφορά, ακτινοβολία), αλλά με κάποιον συνδυασμό δυο ή και των τριών αυτών μηχανισμών. Στην παρούσα άσκηση μελετάται η μετάδοση θερμότητας από ένα θερμό σώμα στο περιβάλλον του με συνδυασμό φυσικής μεταφοράς και ακτινοβολίας. 3. Προσδιορισμός παραμέτρων Έστω ένα σώμα του οποίου η θερμοκρασία είναι Τ σ, που περιβάλλεται από αέριο θερμοκρασίας Τ α (Τ σ > Τ α ). Σ' αυτήν την περίπτωση, θα μεταδοθεί θερμότητα από το θερμό σώμα στο περιβάλλον: με μεταφορά (συναγωγή): η θερμοκρασιακή διαφορά ανάμεσα στο σώμα και το περιβάλλον προκαλεί διαφορά πυκνότητας στο αέριο, με αποτέλεσμα τη μετακίνηση της αέριας μάζας και τη μετάδοση θερμότητας. Όταν το σύστημα είναι απομονωμένο από το εξωτερικό περιβάλλον, τότε η κίνηση αυτή δεν ενισχύεται από εξωτερικά ρεύματα και η μεταφορά ονομάζεται φυσική, η δε ενέργεια που μεταφέρεται υπολογίζεται από την παρακάτω εξίσωση: Q μετ = h A (Τ σ - Τ α ) (3.1) όπου h ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας [W m - K -1 ] και Α η επιφάνεια, από την οποία γίνεται η μετάδοση της θερμότητας, και με ακτινοβολία: το θερμό σώμα εκπέμπει ακτινοβολία και η μεταδιδόμενη ενέργεια προς το περιβάλλον του υπολογίζεται από την εξίσωση: Q ακτ = ε σ Α (Τ σ 4 - Τ α 4 ) (3.) όπου ε ο βαθμός μελανότητας του υλικού και σ η σταθερά Stefan-Boltzmann (σ = 5.67 10-8 W m - K -4 ). Συνολικά, η μεταδιδόμενη θερμότητα θα είναι: Q ολ = Q μετ + Q ακτ (3.3) Αν το σώμα θερμαίνεται από κάποια εξωτερική πηγή - για παράδειγμα, ηλεκτρικό ρεύμα - τότε σε συνθήκες σταθερής κατάστασης: παρεχόμενη ενέργεια = μεταδιδόμενη ενέργεια Π. ΜΑΥΡΟΣ 18

Άσκηση 3. Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία 19 ή Q ηλ = Q ολ (3.4) Όπως φαίνεται από τις παραπάνω εξισώσεις, η μελέτη της μετάδοσης θερμότητας απαιτεί τον προσδιορισμό τόσο του βαθμού μελανότητας του υλικού του θερμού σώματος (που αποτελεί χαρακτηριστική ιδιότητα του υλικού), όσο και του συντελεστή μεταφοράς θερμότητας. Ο προσδιορισμός θα ήταν εφικτός αν ήταν δυνατό να μηδενισθεί ο ένας από τους δυο όρους της εξίσ. 3.3. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει πειραματική διάταξη, στην οποία να μπορεί να επιτευχθεί μηδενισμός της ακτινοβολίας, θα ήταν επιθυμητό να μηδενισθεί η μετάδοση θερμότητας με μεταφορά (π.χ., με την επίτευξη απόλυτου κενού), οπότε: Q ηλ = Q ακτ = ε σ Α (Τ σ 4 - Τ α 4 ) (3.5) ώστε να προσδιορισθεί ο βαθμός μελανότητας του υλικού και, στη συνέχεια, να προκύψει ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας: Q μετ = Q ολ - Q ακτ (3.6) και h = Qµετ A (T - T σ α ) (3.7) Η επίτευξη απόλυτου κενού είναι κι αυτή πρακτικά ανέφικτη, έχει όμως παρατηρηθεί ότι, για μια δεδομένη σταθερή ηλεκτρική παροχή: η θερμοκρασία του (κλειστού) περιβάλλοντος (Τ α ) παραμένει σταθερή, και ότι η διαφορά θερμοκρασίας (Τ σ - Τ α ) είναι γραμμική συνάρτηση της απόλυτης πίεσης στον κλειστό χώρο υψωμένη στη δύναμη 0.5. 'Αρα, είναι δυνατό: να εκτελεσθεί σειρά πειραμάτων για διαδοχικά μειούμενες πιέσεις και να καταγραφούν οι θερμοκρασίες Τ σ και Τ α, για την ίδια Q ηλ, να σχεδιασθεί διάγραμμα (Τ σ - Τ α ) ως προς Ρ 0.5, να χαραχθεί η ευθεία, που προκύπτει από τα πειραματικά σημεία και να προεκταθεί μέχρι τον άξονα των θερμοκρασιών, οπότε προκύπτει η διαφορά θερμοκρασίας ΔΤ για τη μηδενική πίεση, οπότε: Τ σ,ρ=0 = Τ α + ΔΤ (3.8) Με αυτόν τον τρόπο προσδιορίζεται η θερμοκρασία του σώματος για την ιδανική περίπτωση του απόλυτου κενού. Η αντικατάσταση των θερμοκρασιών Τ σ,ρ=0 και Τ α στις εξισ. 3.5 και 3.6 προσδιορίζουν τον βαθμό μελανότητας (ε) και τον συντελεστή μεταφοράς θερμότητας (h), αντιστοίχως. 3.3 Συσχέτιση αποτελεσμάτων Η μετάδοση θερμότητας με μεταφορά εξαρτάται κυρίως από τις ιδιότητες του περιβάλλοντος ρευστού, όπως π.χ. το ιξώδες, την πυκνότητα, κάποια χαρακτηριστική διάσταση κλπ. Στην πράξη, οι διάφοροι παράγοντες ομαδοποιούνται σε αδιάστατους αριθμούς, όπως είναι για

Άσκηση 3. Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία 0 παράδειγμα: ο αριθμός Reynolds (Re): Re = Duρ µ (3.9) όπου D μια χαρακτηριστική διάσταση (διάμετρος, μήκος κλπ.) [m], u η ταχύτητα του ρευστού [m s -1 ], μ το ιξώδες του [Pa.s], και ρ η πυκνότητά του [kg m -3 ]: για τον αέρα ισχύει: ρ = P R T α όπου P και Τ η απόλυτη πίεση [Pa] και θερμοκρασία [Κ] του ρευστού (αερίου), 1, (3.10) ο αριθμός Nusselt (Nu): Nu = h D k (3.11) όπου k ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του ρευστού [W m -1 K -1 ], ο αριθμός Prandlt (Pr): Pr = Cp µ k (3.1) όπου C p η ειδική θερμότητα του ρευστού (αερίου) [J kg -1 K -1 ], ο αριθμός Grashof (Gr): 3 β g T D ρ Gr = µ (3.13) όπου β ο συντελεστής θερμικής διαστολής του αερίου: β = 1 / T (3.14) και: g η επιτάχυνση της βαρύτητας [= 9.81 m s - ] και ΔΤ η διαφορά θερμοκρασίας [Κ], και γίνεται προσπάθεια να βρεθεί εξίσωση που να συσχετίζει αυτούς τους αριθμούς (ή κάποιους από αυτούς) και να περιγράφει επαρκώς τα πειραματικά αποτελέσματα. Μια τέτοια εξίσωση επιτρέπει στη συνέχεια τον προ-υπολογισμό της τιμής μιας παραμέτρου, αν δοθούν 1 Για τον αέρα: R α = 87 J kg -1 K -1. To ιξώδες, η ειδική θερμότητα και η πυκνότητα του ρευστού υπολογίζονται για την πίεση και θερμοκρασία του περιβάλλοντος αερίου.

Άσκηση 3. Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία 1 τα υπόλοιπα στοιχεία, κι έτσι υποστηρίζει σημαντικά τον σχεδιασμό των συσκευών. Στην περίπτωση της μεταφοράς θερμότητας, έχει βρεθεί ότι συσχετίζονται οι παραπάνω τέσσερεις αδιάστατοι αριθμοί: Nu = f(re,pr,gr) (3.15) Στη φυσική μεταφορά, η ταχύτητα του αερίου είναι σχεδόν μηδενική, οπότε και η επίδραση του αριθμού Re αμελητέα. Η επιθυμητή εξίσωση είναι τότε της μορφής: Nu = f(pr,gr) = α Pr γ Gr δ (3.16) όπου οι αριθμοί α, γ και δ προσδιορίζονται από τη συσχέτιση μεγάλου αριθμού πειραματικών διατάξεων. 3.4 Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη περιλαμβάνει ένα ατσάλινο δοχείο πίεσης, συνδεδεμένο με αντλία κενού, ώστε να εφαρμόζονται σ' αυτό είτε μεγάλες πιέσεις ή να δημιουργείται κενό. Μέσα στο δοχείο αιωρείται ένας μικρός χάλκινος κύλινδρος, με διάμετρο D = 0.00635 m και επιφάνεια Α = 0.0033 m, που συνδέεται με ηλεκτρικό κύκλωμα. Η διάταξη περιλαμβάνει ακόμα δυο θερμοζεύγη, το ένα πάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου και το άλλο στην εσωτερική επιφάνεια του δοχείου για τη μέτρηση των θερμοκρασιών του σώματος και του περιβάλλοντος αερίου. Ένα μέρος της ηλεκτρικής ενέργειας, που τροφοδοτείται στον κύλινδρο, χάνεται λόγω μετάδοσης θερμότητας με αγωγή από τα στηρίγματα και τις συνδέσεις. Γι' αυτό, η εξίσωση για τον υπολογισμό της προσδιδόμενης ηλεκτρικής ενέργειας γίνεται: Q ηλ = 0.96 Ι V - 1.675 10-3 (Τ σ - Τ α ) (3.17) όπου η ένταση (Ι) καταγράφεται σε Α και η τάση (V) του ηλεκτρικού ρεύματος σε V. 3.5 Πειραματική διαδικασία a) Κλείνεται η βάνα, που συνδέει το δοχείο πίεσης με το εξωτερικό περιβάλλον (στον πίνακα ελέγχου). b) Ανοίγεται η βάνα, που συνδέει το δοχείο πίεσης με την αντλία κενού. c) Τίθεται σε λειτουργία η αντλία κενού και παρακολουθείται το επιτυγχανόμενο κενό από το υδραργυρικό μανόμετρο, που βρίσκεται στον πίνακα ελέγχου. Για πιέσεις μικρότερες από 150 mm Hg ακριβέστερη ένδειξη δείχνει το μανόμετρο McLeod. d) Όταν επιτευχθεί το επιθυμούμενο κενό στο δοχείο, κλείνεται η βάνα, που συνδέει την αντλία κενού με το δοχείο και έτσι το δοχείο παραμένει απομονωμένο. e) Τροφοδοτείται ο χάλκινος κύλινδρος με ηλεκτρικό ρεύμα και παρακολουθούνται οι θερμοκρασίες του κυλίνδρου και του δοχείου. Όταν σταθεροποιηθούν, καταγράφονται οι τιμές τους και η πίεση στο δοχείο. f) Το παραπάνω βήμα (e) επαναλαμβάνεται για μερικές τιμές της έντασης και τάσης του ηλεκτρικού ρεύματος, για την ίδια πίεση. g) Ανοίγεται η βάνα, που συνδέει το δοχείο με το περιβάλλον, ώστε να αυξηθεί η πίεση

Άσκηση 3. Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία μέσα στο δοχείο, μέχρι μια νέα τιμή πίεσης, και επαναλαμβάνονται τα βήματα (e) και (f). ΠΙΝΑΚΑΣ 3.1. Ενδεικτικές πειραματικές μετρήσεις. Ι V ΔΡ Τ σ Τ α [Α] [V] [mm Hg] [ C] [ C] 0.8 9. 667 149 16 577 14 16 49 139 16 58 19 16 17 15 17 C p (αέρα) 1.005 kj kg -1 K -1 3.6 Επεξεργασία μετρήσεων Έστω ότι σ' ένα πείραμα καταγράφηκαν οι μετρήσεις του Πίνακα 3.1 και ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι P ατμ = 755 mm Hg. Αρχικά, μετατρέπονται οι μετρήσεις πίεσης και θερμοκρασίες σε μονάδες του S.I. Στη συνέχεια, σχεδιάζεται το διάγραμμα ΔΤ-Ρ 0.5 και προκύπτει: ΔΤ 0 = 17.6 Κ οπότε Τ σ,ρ=0 = 89. + 17.6 = 461.8 Κ Συνεπώς: Q ηλ = 0.96 0.8 0.9-1.675 10-3 (461.8-89.) = 6.95 W 160 140 10 Tσ-Τα [K] 100 80 60 40 0 y = -3.7366x + 17.58 0 0.00 5.00 10.00 15.00 0.00 Pa^0.5 ΣΧΗΜΑ 3.1. Διάγραμμα πίεσης - διαφοράς θερμοκρασίας. και

Άσκηση 3. Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία 3 ε = Q σ A T ηλ 4 4 ( T ) σ α = 5.67 6.95 4 4 ( 461.8 89. ) = 0.96. 8 10 0.0033 Για Ρ = (76-667) 133.3 = 1664 Pa: Q ηλ = 0.96 0.8 9. - 1.675 10-3 (4. - 89.) = 7.0 W Q ακτ = 0.96 5.67 10-8 0.0033 (4. 4-89. 4 ) = 4.48 W και h = 7.0-4.48 0.0033 ( 4.-89.) = 5.76 W m - K -1 Για τον υπολογισμό των αδιάστατων αριθμών, υπολογίζεται το β: β = 1 89. = 0.00346 Κ -1 k = 0.054 W m -1 K -1, μ = 1.78 10-5 Pa.s 3 οπότε 5.76 0.00635 Nu = = 1.44 0.054 5 1005 1.78 10 Pr = = 0.70 0.054 (ο αριθμός Pr παραμένει σταθερός για όλες τις μετρήσεις), ρ = 11730 87 89. = 0.141 kg m -3 Gr = ( 4. 89.) 3 0.00346 9.81 0.00635 0.0000178 0.141 = 7.9 Oι υπολογισμοί επαναλαμβάνονται και για τις άλλες τιμές πίεσης-θερμοκρασιών, συμπληρώνεται ο παρακάτω Πίνακας αποτελεσμάτων και σχεδιάζεται το διάγραμμα Nu ως προς το γινόμενο Pr.Gr (Σχήμα 3.). 3 Θεωρούμε την τιμή του ιξώδους σταθερή ακόμα και για την πιο χαμηλή πίεση.

Άσκηση 3. Μετάδοση Θερμότητας με Φυσική Μεταφορά και με Ακτινοβολία 4 ΠΙΝΑΚΑΣ 3.. Συνοπτικά αποτελέσματα υπολογισμών. P ΔT Q ηλ Q ακτ Q μετ h ρ Nu Gr [Pa] [K] [W] [W] [W] [W m - K -1 ] [kg m -3 ] [-] [-] 11730.4 133 7.0 4.48.54 5.76 0.141 1.44 7.9 377.4 16 7.03 4.11.93 6.99 0.86 1.75 8.4 35057.9 13 7.04 3.95 3.08 7.55 0.4 1.89 601.8 6650.1 113 7.05 3.46 3.59 9.57 0.798.39 1974.3 8371.4 108 7.06 3.6 3.80 10.60 1.009.65 301.8 10.00 y = 0.7448x 0.1617 Nu 1.00 10.0 100.0 1000.0 10000.0 Pr. Gr ΣΧΗΜΑ 3.. Συσχέτιση του αριθμού Nu με το γινόμενο Pr Gr.