Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εφαρμοσμένη Άλγεβρα. Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη

Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εφαρμοσμένη Άλγεβρα Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη Έκδοση ΕΠΕΑΕΚ «Μαθηματικά για το» Ηράκλειο,

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα Εισαγωγή Η θεωρία των πεπερασμένων σωμάτων αποτελεί, παραδοσιακά, μέρος της Θεωρίας του Galois. Ιδιαίτερα στο πρόγραμμα σπουδών του Τμήματός μας, αποτελεί μέρος του περιεχομένου του αντίστοιχου μεταπτυχιακού μαθήματος. Η θεωρία όμως είναι πάρα πολύ χρήσιμη τόσο στη Θεωρία Κωδίκων όσο και στην Κρυπτολογία, δυο σχετικά καινούριους κλάδους των μαθηματικών με τεράστια ανάπτυξη τα τελευταία χρόνια. Είναι συνεπώς απαραίτητη η διδασκαλία της σε προπτυχιακό επίπεδο. Αυτό θα πρέπει να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι κατανοητή από το ακροατήριο, χωρίς τη χρήση πολλών τεχνικών όρων, ιδιαίτερα δε διότι, συνήθως, το ακροατήριο αποτελείται και από φοιτητές άλλων τμημάτων, όπως αυτό της Επιστήμης των Υπολογιστών. Οι παρούσες σημειώσεις ασχολούνται με την μελέτη των πεπερασμένων σωμάτων και την ανάλυση σε γινόμενο αναγώγων παραγόντων των κυκλοτομικών πολυωνύμων. Έχει χρησιμοποιηθεί αποκλειστικά το βιβλίο του Robert J. McEliece, Fiite Fiels for Computer Scietists a Egieers, Kluwer Acaemic Publisers. Λόγω έλλειψης χρόνου μερικά θεωρήματα δεν αποδείχθηκαν. Σημειώσεις κράτησε ο φοιτητής Μάριος Μαγιολαδίτης ο οποίος είχε και την ηλεκτρονική επεξεργασία του κειμένου. Τον ευχαριστώ θερμά. Επίσης ευχαριστώ τον επιστημονικό υπεύθυνο του ΕΠΕΑΕΚ «Μαθηματικά για το» και Επ. Καθηγητή του Τμήματος κύριο Χρήστο Κουρουνιώτη με τη βοήθεια του οποίου εκδίδονται οι παρούσες σημειώσεις. Γιάννης Α. Αντωνιάδης, Καθηγητής Ηράκλειο, Μάρτης

Γιάννη Α. Αντωνιάδη

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 3 Κεφάλαιο Εισαγωγικά (.) Έστω ένα μη κενό σύνολο Α. Μια (διμελής) πράξη ή αλλιώς ένας νόμος εσωτερικής σύνθεσης είναι μια απεικόνιση : Α A A. (.) Ορισμός Ένα σύνολο G εφοδιασμένο με μία διμελή πράξη θα λέγεται ομάδα, και θα συμβολίζεται (G, ), όταν ισχύουν τα εξής αξιώματα: (i) H πράξη * είναι προσεταιριστική. (ii) Υπάρχει ένα στοιχείο e στο G τέτοιο ώστε e x = x e = x για κάθε x στο G. (iii) Για κάθε α στο G υπάρχει ένα στοιχείο β στο G με την ιδιότητα α β = β α = e. Αν, επιπλέον, η πράξη είναι αντιμεταθετική η ομάδα θα λέγεται αντιμεταθετική ή αβελιανή. Αποδεικνύεται ότι αν G ομάδα, τότε υπάρχει μοναδικό e με αυτή την ιδιότητα. Θα το ονομάζουμε μοναδιαίο ή ουδέτερο στοιχείο. Επίσης αν μας δοθεί ένα α στην ομάδα G τότε το β που ορίσαμε πιο πάνω είναι μοναδικό. Θα το ονομάζουμε αντίστροφο ή αντίθετο του α. (.3) Παραδείγματα Το (Z, +) είναι αβελιανή ομάδα ενώ το (Z,. ) δεν αποτελεί ομάδα. (.4) Ορισμός Έστω Η ένα υποσύνολο ενός συνόλου G. Αν (G, ) και (Η, ) είναι ομάδες για κάποια διμελή πράξη τότε λέμε ότι η (Η, ) είναι υποομάδα της (G, ). Θα γράφουμε (Η, ) (G, ). (.5) Παράδειγμα (Z, +) (R, +) (C, +) (.6) Ορισμός Ένα σύνολο R εφοδιασμένο με δυο πράξεις + και. θα λέγεται δακτύλιος, όταν ισχύουν τα ακόλουθα αξιώματα: (i) (ii) Η ομάδα (R,+) είναι αβελιανή Για το (R,. ) ισχύουν () προσεταιρισμός: α (βγ) = (αβ) γ, για κάθε α, β, γ R () επιμερισμός: α (β+γ) = αβ + αγ, για κάθε α, β, γ R (α+β) γ = αγ + βγ, για κάθε α, β, γ R

4 Γιάννη Α. Αντωνιάδη Αν υπάρχει ένα στοιχείο, R τέτοιο ώστε a = a = a, για κάθε a R τότε αυτό θα λέγεται μοναδιαίο στοιχείο του δακτυλίου και ο δακτύλιος λέγεται δακτύλιος με μοναδιαίο. Αν ισχύει αβ = βα για κάθε α, β R τότε ο δακτύλιος λέγεται αντιμεταθετικός. Αν, τέλος ένας δακτύλιος R έχει μοναδιαίο και ισχύει η αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού θα λέγεται αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο. (.7) Ορισμός Ένα μη μηδενικό στοιχεία a του δακτυλίου (R,+,. ) θα λέγεται διαιρέτης του μηδενός αν υπάρχει μη μηδενικό στοιχείο b του δακτυλίου τέτοιο ώστε ab =. (.8) Ορισμός Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο, χωρίς διαιρέτες του μηδενός, λέγεται ακεραία περιοχή. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος (Z, +,. ) των ακεραίων αριθμών είναι ακεραία περιοχή. (.9) Ορισμός Ένα σύνολο Κ εφοδιασμένο με δυο πράξεις + και. θα λέγεται σώμα, όταν ισχύουν τα εξής αξιώματα: (i) (ii) (iii) Η ομάδα (Κ,+) είναι αβελιανή. Η ομάδα (Κ *,. ), όπου Κ * = Κ\{}, είναι αβελιανή. α (β+γ) = αβ+αγ, για κάθε α, β, γ Κ (.) Παρατήρηση Ένα σώμα είναι ένας αντιμεταθετικό δακτύλιος με μοναδιαίο όπου κάθε μη-μηδενικό στοιχείο έχει αντίστροφο ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα τα σύνολα Q, C, R εφοδιασμένα με τις πράξεις της συνήθης πρόσθεσης και του συνήθη πολλαπλασιασμού είναι σώματα και μάλιστα με άπειρα στοιχεία. Αυτά τα σώματα δεν μας ενδιαφέρουν στο παρών μάθημα. Εμείς ενδιαφερόμαστε για τα πεπερασμένα σώματα. (.) Ορισμός Ένα σώμα θα λέγεται πεπερασμένο όταν έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Για παράδειγμα το σύνολο F ={,} με πράξεις: + Και αποτελεί πεπερασμένο σώμα με δύο στοιχεία.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 5 (.) Ορισμός Έστω φυσικός αριθμός, >. Αν a, b Z θα λέμε ότι το a είναι ισοδύναμο (ή ισότιμο) moulo αν το διαιρεί το a b. Θα συμβολίζουμε ότι το a είναι ισοδύναμο moulo μe το b με a b (mo ). Αυτή είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο Z αφού ισχύουν i) a a (mo ) διότι a-a = για κάθε a R (ανακλαστική) ii) a b m a b m (a b) m b a b a (συμμετρική) iii) a b b c a c (μεταβατική) άρα χωρίζει το Z σε κλάσεις ισοδυναμίας. Την κλάση ενός στοιχείου a Z θα την συμβολίζουμε με [a] ή με a mo ή με Κ a. Δηλαδή [a] = { b Z b a (mo )}. Το σύνολο των κλάσεων mo θα το συμβολίζουμε με Z. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι Z = {[ ], [],, [ ] }. Για παράδειγμα για = 4 έχουμε 4 κλάσεις ισοδυναμίας: = {, ± 4, ± 8 ±, 6, } [ ] = {, 4,, 6,,,6,, } = {, 7, 3,,5,9, } [ 3] = {, 9, 5,,3,7,,5, } [ ] ± [ ] Ορίζουμε στο σύνολο των κλάσεων Z πράξεις πρόσθεσης + και πολλαπλασιασμού ως εξής: [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [a b] Εύκολα αποδεικνύεται ότι οι πράξεις είναι καλά ορισμένες και ότι η τριάδα (Z, +, ) αποτελεί αντιμεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο. Ξεχωρίζουμε δύο περιπτώσεις: (I) Ο είναι σύνθετος. Δηλαδή υπάρχουν a, b N, a >, b > τέτοια ώστε = ab. Τότε όμως [a] [], [b] [] αφού a, b < αλλά [a] [b] = [ab] = [] = []. Δηλαδή ο δακτύλιος (Z, +, ) έχει διαιρέτες το. (II) Ο είναι πρώτος. Τότε αν υπήρχαν a, b N τέτοιοι ώστε [a] [b] = [] ή αλλιώς [ab] = [] θα σήμαινε ότι το θα διαιρούσε το ab ή επειδή ο είναι πρώτος ότι θα διαιρούσε ή το a ή το b δηλαδή ή [a] = [] ή [b] = []. Επομένως, ο (Z, +, ) δεν έχει διαιρέτες το. Είναι δηλαδή ακέραια περιοχή. Πιο συγκεκριμένα είναι σώμα διότι για κάθε [a] με [a] [] αυτό σημαίνει ότι το δεν διαιρεί το a δηλαδή μκδ(a, ) =, δηλαδή η ισοδυναμία ax (mo ) έχει μοναδική λύση, έστω b. Επομένως, [a] [b] = [ab] = [] άρα κάθε μημηδενική κλάση ισοδυναμίας έχει αντίστροφο.

6 Γιάννη Α. Αντωνιάδη Ώστε για κάθε πρώτο p η (Z p, +, ) είναι σώμα με p στοιχεία. Θα το συμβολίζουμε με F p. Για παράδειγμα το F 3 = Z 3 = {[ ], [], [ ] } αποτελεί σώμα με πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού: + [] [] [] [] [] [] [] [] [] Και [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] [] Επειδή το 4 είναι σύνθετος, δείξαμε προηγουμένως ότι ο δακτύλιος Z 4 δεν είναι σώμα. Για παράδειγμα το [] δεν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο. Ωστόσο, υπάρχει σώμα με 4 στοιχεία. Αν συμβολίσουμε τα στοιχεία του με,,, 3 τότε οι πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού είναι οι εξής: + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3. Εντελώς φυσιολογικά τίθενται τα ακόλουθα δύο ερωτήματα: (I) (II) Έστω N, υπάρχει σώμα με στοιχεία; Υποθέτουμε ότι για κάποιο N υπάρχει τουλάχιστον ένα σώμα με στοιχεία. Πόσα μη ισόμορφα μεταξύ τους σώματα με στοιχεία υπάρχουν; Οι απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα αποτελούν το πρώτο μέρος του βιβλίου και θα είναι οι εξής: (I) (II) Αν ο είναι δύναμη πρώτου αριθμού, δηλαδή = p λ για κάποιο πρώτο p και κάποιο ακέραιο λ τότε υπάρχει πάντοτε ένα σώμα με στοιχεία. Αλλιώς, αν ο δεν είναι δύναμη πρώτου δεν υπάρχει κανένα με στοιχεία. Αν υπάρχει πεπερασμένο σώμα με στοιχεία τότε αυτό είναι μοναδικό. Δηλαδή δύο πεπερασμένα σώματα με στοιχεία είναι μεταξύ τους ισόμορφα.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 7 Κεφάλαιο Ευκλείδειες περιοχές και Ευκλείδειος αλγόριθμος Όπως ειπώθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο το (Z, +,. ) είναι μια ακέραια περιοχή, Επίσης γνωρίζουμε ότι στους ακέραιους μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη δυο (ή και περισσότερων) ακεραίων. (.) Ορισμός Αν a, b Z ο φυσικός αριθμός είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) των a και b όταν: (i) a και b (είναι δηλαδή ένας κοινός τους διαιρέτης) (ii) Αν ακέραιος τέτοιος ώστε a και b τότε (είναι δηλαδή μέγιστος) Για παράδειγμα: ΜΚΔ(6,5) = 3 ΜΚΔ(4,36) = Επίσης στο Z, μπορούμε να διαιρέσουμε δυο ακεραίους, δηλαδή αν a, b Z, b τότε υπάρχουν και r τέτοιοι ώστε a = b + r όπου r < b. Το ονομάζεται πηλίκο της διαίρεσης των a και b και το r ονομάζεται υπόλοιπο και είναι μονοσήμαντα ορισμένα. Εδώ βλέπουμε ότι στον ορισμό της διαιρετότητας χρησιμοποιείται η έννοια της απόλυτης τιμής. Η απόλυτη τιμή ενός ακεραίου είναι μη-αρνητικός ακέραιος. Επίσης, η διαιρετότητα χρησιμοποιείται για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων. Για παράδειγμα: 36 = 4 + 4 =. + Δηλαδή ΜΚΔ(36,4)= Αυτή η διαδικασία λέγεται αλγόριθμος του Ευκλείδη. Όταν το υπόλοιπο γίνει μηδέν το τελευταίο πηλίκο είναι ο ΜΚΔ. Μάλιστα ακολουθώντας την αντίθετη πορεία, ο ΜΚΔ(a, b) γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των a, b. Θα προσπαθήσουμε τώρα να δώσουμε κατάλληλο ορισμό, σε δακτυλίους που έχουν ιδιότητες ανάλογες με αυτές του Ζ που μόλις περιγράψαμε. (.) Ορισμός Ευκλείδεια περιοχή (ή ευκλείδειος δακτύλιος) R είναι μια ακέραια περιοχή εφοδιασμένη με μια συνάρτηση g : R * {,,,3, }, R * = R \ {}, τέτοια ώστε: (i) g(a) g(ab) για κάθε μη μηδενικά στοιχεία a, b του R.

8 Γιάννη Α. Αντωνιάδη (ii) Για κάθε a, b R με b υπάρχουν, r R (ονομάζονται πηλίκο και υπόλοιπο αντίστοιχα) τέτοια ώστε a = b + r όπου r = ή αλλιώς g(r) < g(b). Σημείωση: Αν χρειαστεί ορίζουμε g() = Κλασικό παράδειγμα (το πρότυπο) είναι (Z,. ) (όπου. η συνήθης απόλυτη τιμή). Ας πάρουμε το δακτύλιο R = Z[i] = Z + Zi = {a + bi a, b Z} Η ομάδα (R,+) είναι αβελιανή και μάλιστα υποομάδα της (C,+) x = a + bi a, b Z Διότι αν πάρουμε x, y R τότε οπότε y = c + i c, Z x y = (a c) + (b )i R αφού (a c Z) και (b Z). Ισχύει επίσης ( R, ) ( C *,. ) Ο προσεταιρισμός, οι επιμερισμοί και η αντιμεταθετικότητα ισχύούν διότι ισχύουν για όλα τα στοιχεία του C * = C\{}. Το μοναδιαίο στοιχείο του R είναι το +i και επίσης ο R δεν έχει διαιρέτες του μηδενός διότι είναι υποδακτύλιος του C ο οποίος είναι σώμα και συνεπώς δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. Επομένως ο δακτύλιος R = Z[i] είναι ακέραια περιοχή. Θα αποδείξουμε ότι ο R αποτελεί ευκλείδεια περιοχή ως προς την συνάρτηση g : Z[i]\ {,,,3, } η οποία ορίζεται ως εξής: Αν x = a+bi τότε g(x) = a +b = (a+bi)(a bi). Έστω x = a + bi, y = c + i Z[i], όπου a, b, c, Z και y Τότε g(x) = a + b και xy = (ac b) + (a + bc)i οπότε g(xy) = (ac b) + (a + bc) = a c + b + a + b c = a (c + ) + b (c + ) = = (a + b )(c + ) = g(x) g(y). Επειδή c + έχουμε ότι g(xy) g(x), έτσι αποδείξαμε την (i). Τώρα θα αποδείξουμε την (ii). Έστω x = a + bi, y = c + i Z[i] (a, b, c, Z) y (c,) (, ) Επειδή x, y C μπορoύμε να διαιρέσουμε. Έστω x a + bi (a + bi)(c i) ac + b cb a : = xy = = = = + i Q[i]. y c + i (c + i)(c i) c + c + Γράφουμε, = x + y i x, y Q. Διαλέγουμε ένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες που βρίσκεται πιο κοντά στο σημείο ( x, y ).

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 9 Έστω (z, w) αυτό το σημείο. Τότε x z, y w. Έστω = z + wi Z[i]. Οπότε g( ) = = (x z) + (y w)i x z Έστω r : = x y Z[i]. Τότε r = y y = ( )y. + y w 4 + 4 =. Αν = έπεται ότι r = Αλλιώς g(r) = (( )y) g = y y < y = g(y). (αποδείξαμε και την (ii)). Αν K σώμα τότε ο δακτύλιος R = K[X] των πολυωνύμων μιας μεταβλητής με συντελεστές από το σώμα K με την συνάρτηση g : R \ {} {,,,3, } με τύπο g ( f (X)) = eg f, όπου eg f ο βαθμός του πολυωνύμου f(χ), είναι ευκλείδεια περιοχή. (i) Έστω f, f K[X] με egf = k, egf = k g (f f ) = eg(f f ) = k + k k = eg(f ) = g(f ) (ii) Έστω f, f K[X], f τότε υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα, r R τέτοια ώστε: f = f + r όπου r = ή g(r) = eg(r) < eg(f ) = g(f ). Απόδειξη του (ii): Έστω = + X + + m X m K[X] ( m ) και f = f + f X + + f X K[X] (f ) - Αν < m τότε παίρνουμε = και r = f. Δηλαδή f = + f και eg r = eg f = < m = eg. - Αν m θα εφαρμόσουμε επαγωγή ως προς. Για = το θεώρημα ισχύει διότι m οπότε και m =. Δηλαδή = και f = f. Οπότε f = ( f) +. Επομένως, = f και r =. Υποθέτουμε ότι ισχύει για όλα τα πολυώνυμα βαθμού μικρότερου του και θεωρούμε το * m * πολυώνυμο f = f f X. Επειδή ο eg f είναι μικρότερος του egf λόγω της m υπόθεσης της μαθηματικής επαγωγής έπεται ότι υπάρχουν μοναδικά * του K[X] τέτοια ώστε r = ή eg r < eg και f = + r. Επομένως, f = f = = ( + f + f m + r + f * * * m X m m X X m = m = ) + r = ( *, r) πολυώνυμα

Γιάννη Α. Αντωνιάδη = + r * m Όπου = + f X. m Έστω τώρα ότι για τα δοσμένα πολυώνυμα f και υπάρχουν δύο ζευγάρια (, r) και (, r) τέτοια ώστε: f = + r r = είτε eg r < eg f = + r r = είτε eg r < eg. Θα αποδείξουμε ότι = και r = r. Πράγματι: + r = + r ή ( ) = r r Αν τότε eg ( ( ) ) eg. Ενώ eg( ( ) ) = eg(r r) < eg. Άτοπο Συνεπώς =. Οπότε και r = r. (.3) Άσκηση: Να αποδείξετε ότι ο Z [ 3] = { a + b 3 a, b Z} είναι ευκλείδειος δακτύλιος ως προς την συνάρτηση g : Z [ 3] {,,,3, } με g ( a b 3) + = a + b 3 = a^ + 3b. (.4) Ορισμοί Έστω R Ευκλείδεια περιοχή. Το ε λέγεται μονάδα (ή αντιστρέψιμο στοιχείο) του R όταν υπάρχει ε R τέτοιο ώστε ε ε =. Το σύνολο Ε(R) : = { ε R / ε R τ. ω. ε ε = } είναι το σύνολο των μονάδων του R. (.5) Παράδειγμα Για R = Z έχουμε ότι E ( R) ={,} (.6) Ορισμός Δυο στοιχεία a, b R θα λέγονται συνεταιρικά όταν υπάρχει ε Ε(R) τέτοιο ώστε a = bε. Θα το συμβολίζουμε a b. (.7) Παραδείγματα: (i) Το 3 και το 3 είναι συνεταιρικά στοιχεία της ευκλείδειας περιοχής Z. (ii) Το πολυώνυμο X + X + 9 είναι συνεταιρικό του 5X + X + 45 στην Ευκλείδεια περιοχή Κ[Χ] διότι 5X + X + 45 = 5(X + X + 9) και 5 E( K[X] ) =Κ *. (iii) Τα στοιχεία + i και i της ευκλείδειας περιοχής Ζ[i] είναι συνεταιρικά αφού i E Z[i]. i(+ i) = i i = i ( ) = i και ( ) (.8) Παρατήρηση Έστω (R, +,. ) ένας δακτύλιος. Τότε η (Ε(R),. ) αποτελεί πολλαπλασιαστική ομάδα.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα Σε κάθε ευκλείδεια περιοχή μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του μεγίστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο ή περισσοτέρων (πεπερασμένου όμως πλήθους) στοιχείων της περιοχής. (.9) Ορισμός: Αν R Ευκλείδεια περιοχή και a, b R ένα στοιχείο R θα είναι ένας ΜΚΔ των a, b όταν ισχύουν: (i) a και b (είναι δηλαδή ένας κοινός τους διαιρέτης) (ii) Αν R τέτοιο ώστε a και b τότε (είναι δηλαδή μέγιστος) Αν τώρα, δύο ΜΚΔ των a, b τότε έχουμε: = r = s (r R) (s R) = rs ( rs) = rs = r E(R). Επομένως, τα και είναι συνεταιρικά (διαφέρουν δηλαδή κατά μια μονάδα του δακτυλίου R). Επομένως, ο ΜΚΔ των a και b ορίζεται κατά προσέγγιση μονάδας του R. - Αν = ΜΚΔ(a, b) τότε υπάρχουν x και y στοιχεία του R τέτοια ώστε ax + by =. (Η απόδειξη είναι εντελώς όμοια με το Z). - Αν s, t, r Z τότε ΜΚΔ(s, t) = ΜΚΔ(s, t rs). Απόδειξη Στο Ζ έχουμε τα εξής. Έστω := ΜΚΔ(s, t) και = ΜΚΔ(s, t rs). Έχουμε ότι s t s (t rs) s rs = s (t rs) s t s rs Εντελώς όμοια είναι η απόδειξη σε οποιοδήποτε Ευκλείδειο δακτύλιο R. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στον λεγόμενο αλγόριθμο του Ευκλείδη. Πρόκειται για έναν αλγόριθμο υπολογισμού του μέγιστου κοινού διαιρέτη.

Γιάννη Α. Αντωνιάδη Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη Ζητείται ο ΜΚΔ των ακεραίων a, b. Γράφουμε: a = b + r r < b b = r + r r < Συνεχίζουμε... r Τελικά: r = r + + και = r + Τότε ΜΚΔ(α, b) = r (.) Παράδειγμα: Αν πάρουμε a = 45 και b = 9 τότε 45 = 9 + 7 9 = 7 + 5 7 = 5 + 5 = + = + Επομένως ΜΚΔ(a, b) =. Το μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των α και b με τον παρακάτω τρόπο: = 5 = 5 (7 5) = 3 5 7 = 7 + 3 (9 7 ) = 3 9 8 7 = 3 9 8 (45 9 ) = 9 9 8 45 Δηλαδή = 9 9 + ( 8) 45 (.) Πρόταση Έστω R μια ευκλείδεια περιοχή και t R, m, θετικοί ακέραιοι. Τότε ΜΚΔ(t, t m ΜΚΔ (,m) ) = t Απόδειξη Θα κάνουμε την απόδειξη επαγωγικά ως προς το max{, m}. - Αν max{, m} = τότε m = =. Οπότε έχουμε ότι ΜΚΔ(t δηλαδή η πρόταση ισχύει.,t m ) = ΜΚΔ(t,t ) = t = t ΜKΔ(,) - Επίσης αν m = τότε ΜΚΔ(, m) = = m Οπότε ΜΚΔ(t, t m ) = ΜΚΔ(t, t ) = t. Η πρόταση ισχύει και πάλι. - Έστω τώρα m <.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 3 Παρατηρούμε ότι (t ) t m (t m ) = t m. Επομένως ΜΚΔ(t, t m ) = ΜΚΔ(t m, t m ) Οπότε λόγω της μαθηματικής επαγωγής m ΜΚΔ (m, m) ΜΚΔ (m,) ΜΚΔ ( t, t ) = t = t Άρα αποδείξαμε τη πρόταση. (.) Πόρισμα: ΜΚΔ (X X,X X) = X ΜΚΔ(,) X ( N) (.3) Παραδείγματα ΜΚΔ( 5, ) = = (5,) ΜΚΔ 5 = 3. ΜΚΔ(X 5, X )= X 5

4 Γιάννη Α. Αντωνιάδη

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 5 Κεφάλαιο Μονοσήμαντη ανάλυση σε Ευκλείδειες περιοχές Στην Ευκλείδεια περιοχή Z, ισχύει το λεγόμενο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Δηλαδή ότι κάθε ακέραιος α, α {,, } γράφεται μονοσήμαντα στη μορφή α = ε p p p s όπου ε {, } και p, p,, p s είναι πρώτοι αριθμοί. Υπενθυμίζουμε και την βασική ιδιότητα που πληρούν οι πρώτοι: Αν p πρώτος και a, b ακέραιοι τέτοιοι ώστε p ab τότε p a ή p b. Σκοπός μας είναι να γενικεύσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής για κάθε Ευκλείδεια περιοχή R. Έστω R οποιαδήποτε Ευκλείδεια περιοχή. (.) Ορισμός Αν b R τότε μια ανάλυση του b θα είναι κάθε παράσταση της μορφής b = a a a s όπου τα στοιχεία a i είναι στοιχεία της R. ( ) Βέβαια αν u E R τότε υπάρχει v R τέτοιο ώστε uv = οπότε κάθε b R έχει μια ανάλυση της μορφής b = ( bu) v = b v (b =bu) όπου v μονάδα και b συνεταιρικό του b. Αυτή βέβαια είναι μια τετριμμένη ανάλυση. (.) Ορισμός Η ανάλυση b = a a a a R i θα λέγεται τετριμμένη όταν s i κάθε παράγοντας a i του γινομένου είναι ή μονάδα ή συνεταιρικό στοιχείο του b. Σημείωση Στην τετριμμένη ανάλυση του b μπορεί να υπάρχει το πολύ ένα συνεταιρικό στοιχείο του b. (γιατί;) (.3) Ορισμός Ένα στοιχείο R \ E( R) a (όχι μονάδα) θα λέγεται ανάγωγο αν δεν έχει μη τετριμμένη ανάλυση. (Δηλαδή, κάθε ανάλυση του a είναι τετριμμένη). Έστω b R. Ο R θα λέγεται γνήσιος διαιρέτης του b αν ο δεν είναι συνεταιρικός του b και, φυσικά, b.

6 Γιάννη Α. Αντωνιάδη (.4) Πρόταση Έστω R Ευκλείδεια περιοχή. Αν a ανάγωγο στοιχείο του R και γνήσιος διαιρέτης αυτού τότε E R. Απόδειξη: Έχουμε ότι ( ) a a = λ λ R. Η ανάλυση a = λ είναι τετριμμένη διότι a ανάγωγο. Επομένως, το είναι ή συνεταιρικό του a ή μονάδα του R. Δεν είναι E R. συνεταιρικό διότι είναι γνήσιος διαιρέτης άρα ( ) (.5) Παραδείγματα: (i) Στο R=Z τα ανάγωγα στοιχεία είναι τα ±, ± 3, ± 5, ± 7, ±, ± 3, ± 7, (ii) Στο R = K[X] τα ανάγωγα στοιχεία είναι τα ανάγωγα πολυώνυμα. Σ αυτά θα αναφερθούμε αναλυτικά σε επόμενα κεφάλαια. (iii) Στον Ζ[i] τα ανάγωγα στοιχεία είναι: ) Οι πρώτοι αριθμοί p όπου p 3 (mo 4). Π.χ. 3, 7,, 9, ) Τα στοιχεία a + bi Z[i] a, b Z τέτοια ώστε a + b = ή a + b = p όπου p πρώτος, p (mo 4). Π.χ. + i, + i, 3 + i, (χωρίς απόδειξη) (.6) Ορισμός Έστω R ευκλείδεια περιοχή. Δυο στοιχεία a, b R θα λέγονται πρώτα μεταξύ τους όταν ΜΚΔ(a, b) = (ή οποιαδήποτε άλλη μονάδα του R). (.7) Λήμμα Αν R ευκλείδεια περιοχή και a, b R πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ΜΚΔ(a, b) = ) s, t R τέτοια ώστε sa + tb =. Απόδειξη: ( ) Ο ΜΚΔ των a,b γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των a και b. Αφού, ΜΚΔ(a,b) = έπεται ότι το γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των a και b. ( ) Αν το γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των a,b τότε ο ΜΚΔ(a, b) θα διαιρεί το, δηλαδή ΜΚΔ(a, b) =. (.8) Λήμμα Αν p R ανάγωγο (δεν έχει γνήσια ανάλυση) και p δεν διαιρεί το τότε p και α είναι πρώτοι μεταξύ τους (ΜΚΔ(α,p)=). α R Απόδειξη: Αν κοινός παράγοντας των p και α, δηλαδή p a, τότε επειδή p έχουμε ότι υπάρχει β R τέτοιο ώστε p = β. Επειδή p ανάγωγο το είναι συνεταιρικό του p ή μονάδα του R. Επειδή με τη σειρά του το p δεν διαιρεί το α κανένα συνεταιρικό του p δεν διαιρεί το α (διότι αλλιώς p α). Τελικά, το είναι κατ ανάγκη μονάδα του R. Επομένως ΜΚΔ(α,p)=μονάδα του R δηλαδή ΜΚΔ(α,p)=.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 7 (.9) Λήμμα Έστω a R, p R όπου p ανάγωγο στοιχείο του R και p / a. Tότε υπάρχουν s, t R τέτοια ώστε ps + at =. Απόδειξη: Από το λήμμα (.8) έπεται ότι ΜΚΔ(p, a)= οπότε από το λήμμα (.7) υπάρχουν s, t R τέτοια ώστε ps + at =. (.) Λήμμα Αν p ανάγωγο στοιχείο του R, a, b R και p ab τότε p a ή p b. Απόδειξη: Αν p a τελειώσαμε. Αν p / a τότε από το λήμμα (.9) έπεται ότι υπάρχουν Τότε p (bs) + (ab)t = b = b. p p(bs) Οπότε p p(bs) + ab p b. p ab s, t R τέτοια ώστε ps + at =. (.) Λήμμα Αν a, b R και ο a είναι γνήσιος διαιρέτης του b τότε g (a) < g(b). Απόδειξη Έστω b = ac Επειδή a γνήσιος διαιρέτης του b έχουμε ότι c E( R). Επειδή R Ευκλείδεια περιοχή έχουμε ότι υπάρχουν, r R τέτοια ώστε a = b+r με r = είτε g (r) < g(b). Αν r = θα είχαμε ότι b a άτοπο. Συνεπώς r = a b = a ac = a( c). c E( R) c. Επομένως g(r) = g(a)g( c) g(a). g(r) g(a) g(a) < g(b). g(r) < g(b) (.) Ορισμός Μια ακέραια περιοχή R θα λέγεται δακτύλιος μονοσήμαντης ανάλυσης (ή περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης) αν ( ) (i) Κάθε b R, b E R έχει μια ανάλυση σε γινόμενο ανάγωγων στοιχείων b = p p ps, όπου pi ανάγωγα (ii) Αν b = r, όπου i ανάγωγα, τότε s = r και, με κατάλληλη αλλαγή των = p ε ε E R i, i s. δεικτών, ( ( )) i i i i (.3) Θεώρημα Κάθε Ευκλείδειος δακτύλιος είναι δακτύλιος με μονοσήμαντη ανάλυση. Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το g(b).

8 Γιάννη Α. Αντωνιάδη Αν b ανάγωγο τότε b = b Αν b όχι ανάγωγο τότε b = ac όπου a και c γνήσιοι διαιρέτες του b. Από το λήμμα (.) έχουμε ότι g(a) < g(b) g(c) < g(b) Λόγω της υπόθεσης της μαθηματικής επαγωγής τα a και c αναλύονται σε γινόμενο a = pp p j όπου p i = ανάγωγα ( i j) ανάγωγων στοιχείων. Έστω b = p p p όπου p = ανάγωγα (j + i r j+ j+ r i ) Τότε b = ac = p p p p + p όπου p = ανάγωγα ( i r) (αποδείξαμε την (i)). Έστω b = p j j r i p p r = s δύο αναλύσεις του b σε γινόμενο ανάγωγων. p b = s i τ. ω. p i ε Έχουμε ότι. Οπότε λόγω του λήμματος (.): Υπάρχει. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι p. Επομένως υπάρχει R τέτοιο ώστε = p ε. Επειδή ανάγωγο έπεται ότι ε E ( R) (διότι p ανάγωγο p E( R)). Οπότε και p συνεταιρικά. Το b λοιπόν γράφεται p = () όπου p r 3 s Η έκφραση () είναι η ανάλυση του στοιχείου b =. Δηλαδή p pp p r = εp s = ε. b b = του R σε γινόμενο ανάγωγων κατά δυο «διαφορετικούς» τρόπους. Το b είναι γνήσιος διαιρέτης του b επομένως g(b ) < g(b). Από την υπόθεση της μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι r- = s- ή r = s και pi συνεταιρικά των i για i =,3,, r. (.4) Παρατήρηση Δεν είναι όλες οι ακέραιες περιοχές, περιοχές μονοσήμαντης [ 5] = a + b 5 a,b Z δεν είναι ανάλυσης. Για παράδειγμα η ακέραια περιοχή Z { } περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης αφού 6 =. 3 = (+ 5 )( 5 ) είναι δύο γνήσιες αναλύσεις του 6 σε γινόμενο αναγώγων.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 9 Κεφάλαιο 3 Κατασκευή σωμάτων μέσω ευκλείδειων περιοχών Ας πάρουμε R = Z και p ένα πρώτο αριθμό. Δείξαμε στο κεφάλαιο ότι μέσω της ισοδυναμίας a, b Z, a b (mo p) : p a b φτιάχνουμε το σώμα με p στοιχεία, το οποίο συμβολίσαμε με Z p ή F p. Εντελώς ανάλογα, αν R ευκλείδεια περιοχή και p ανάγωγο στοιχείο αυτής φτιάχνουμε ένα σώμα, το σώμα των κλάσεων υπολοίπων mo p του R. (3.) Ορισμός Έστω m R όχι κατ ανάγκη ανάγωγο. Δυο στοιχεία a, b R θα λέγονται ισοδύναμα mo m (συμβολίζονται: a ~ b ή a ~ b ή a b mo m ) όταν m a b. m Αποδεικνύεται, ακριβώς όπως και στο Z, ότι αυτή είναι μια σχέση ισοδυναμίας επομένως ο R διαμερίζεται σε κλάσεις ισοδυναμίας mo m. Αν a R η κλάση ισοδυναμίας του a είναι το σύνολο { b R b ~ a} = { b R b a mom}. Άλλοι συμβολισμοί: [a] = a = K a = a mo m. Στο σύνολο των κλάσεων mo m του R ορίζουμε τις πράξεις: [a] [b] = [a + b] και [a] [ b] = [a b]. Θα πρέπει οι πράξεις να είναι καλά ορισμένες δηλαδή ανεξάρτητες των αντιπροσώπων των κλάσεων. Αυτό σημαίνει ότι, αν a ~ a ([a] = [a ]) και b ~ b ([b] = [b ]) τότε [ a + b] = [a + b ] και [ a b] = [a b ]. Για την πρόσθεση αυτό θα πει ότι a + b a + b (mo m) το οποίο ισχύει διότι m (a + b) ( a + b ) = (a a ) + (b b ) αφού m ( a a ) m (b b ) (το τελευταίο διότι a ~ a b ~ b ) Ανάλογα αποδεικνύουμε ότι και ο πολλαπλασιασμός είναι καλά ορισμένος. (3.) Πρόταση: Το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων mo m αποτελεί αντιμεταθετικό δακτύλιο με μοναδιαίο ως προς τις πράξεις και. Ο δακτύλιος αυτός θα συμβολίζεται R m ή R/m. Απόδειξη: (i) Η πρόσθεση είναι καλά ορισμένη. (ii) Ισχύει ο προσεταιρισμός ως προς την πρόσθεση αφού για κάθε a, b, c R ισχύει ότι () ([a] [b]) [c] = [a + b] [c] = [(a + b) + c] = [a + (b + c)] = [a] [b + c] = [a] ([b] [c] ) Στη θέση () χρησιμοποιήσαμε τον προσεταιρισμό του δακτυλίου R.

Γιάννη Α. Αντωνιάδη (iii) Η κλάση [] είναι ουδέτερο στοιχείο διότι για κάθε [a] R m ισχύει ότι [] [a]=[+a]=[a] [α] []=[a+]=[a] (iv) Για κάθε a R υπάρχει η αντίθετη κλάση του [a] η ποία είναι η [ a] διότι [α] [ a]=[a+( a)]=[] (v) Ισχύει η αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης αφού για κάθε a, b R ισχύει ότι Ομοίως ως προς τον πολλαπλασιασμό: (vi) (vii) [a] [ b] = [a + b] = [b + a] = [b] [a] Ο πολλαπλασιασμός είναι καλά ορισμένος. Ισχύει ο προσεταιρισμός του πολλαπλασιασμού αφού για κάθε a, b,c R ισχύει ότι () [a] [b] [c] = [a b] [c] = [(a b) c] = [a (b c)] = [a] [b c] = [a] [b] [c ) ( ) ( ] Η ισότητα () ισχύει, λόγω προσεταιρισμού του πολλαπλασιασμού στον δακτύλιο R. (viii) Ισχύει ο επιμερισμός του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση (τόσο από τα δεξιά όσο και από τα αριστερά) (ix) Η κλάση [] είναι μοναδιαίο στοιχείο διότι για κάθε a R ισχύει ότι [] [a]=[a]=[a] [a] []=[a]=[a] (x) Ισχύει η αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού αφού για κάθε a, b R ισχύει ότι [ a] [b] = [a b] = [b a] = [b] [a] Ενδιαφερόμαστε να γνωρίζουμε πότε ο ( R / m,, ) είναι σώμα. Θα πρέπει να ελέγξουμε για κάθε [ a] [] την ύπαρξη αντιστρόφου, δηλαδή την ύπαρξη κάποιας κλάσης [b] (b R) τέτοιας ώστε [a] [b] = []. Αυτή η κλάση δεν υπάρχει πάντα. Για παράδειγμα αν πάρουμε R = Z και m = 4 έχουμε ότι η κλάση [] δεν έχει αντίστροφο γιατί: [][]=[] [][]=[] [][3]=[]

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα (Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αφού [][]=[] έχουμε ότι [] διαιρέτης του μηδενός, δηλαδή διαιρέτης της κλάσης του, άρα δεν έχει αντίστροφο). Θα αποδείξουμε όμως ότι (3.3) Θεώρημα Αν R ευκλείδεια περιοχή και p ανάγωγο ( πρώτο) στοιχείο του R τότε το R/p είναι σώμα. Απόδειξη: Έστω [a] [], a R. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει b R τέτοιο ώστε [a] [b] = []. Κατ αρχήν [a] [] θα πει ότι p / a. Από το λήμμα (.9) έπεται ότι υπάρχουν b, t R τέτοια ώστε ab + pt =. Οπότε ab (mo p). Δηλαδή [ab] = [] ή [a] [b] = [] (3.4) Παραδείγματα () Έστω R = Z και p = 3 Σύμφωνα με το Θεώρημα (3.3) ο δακτύλιος Z/3 είναι σώμα. Θα βρούμε τον αντίστροφο του [6]. Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη. 3 = 6 + = 3 + 6 ( ) Επομένως [] = [3] + [6][ ] δηλαδή b =, [b] = []. () Έστω R = Z και p = 9 Σύμφωνα με το Θεώρημα (3.3) ο δακτύλιος Z/9 είναι σώμα. Θα βρούμε τα αντίστροφα των κλάσεων [5], [3], [8]. Για το [5]: 9 = 5 5 + 4 5 = 4 + = 5 4 = 5 (9-5 5) = 9 + 6 5 Επομένως [5] = [6] Ανάλογα, με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη βρίσκουμε ότι [3] = [9] [8] = [] (3) Αν R = Z και p οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός τότε το R/p είναι σώμα.

Γιάννη Α. Αντωνιάδη Επομένως υπάρχουν άπειρα στο πλήθος πεπερασμένα σώματα διότι έχουμε άπειρο πλήθος πρώτων. Εδώ το R/p θα το συμβολίζουμε F p ή GF(p). Αργότερα θα αποδείξουμε την ύπαρξη κι άλλων πεπερασμένων σωμάτων πέραν των F p. (4) Έστω R = R[Χ] ο δακτύλιος των πολυωνύμων μιας μεταβλητής με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς. Αφού R σώμα έπεται ότι R ευκλείδειος δακτύλιος. Το p(x) = X + R[X] = R είναι ανάγωγο στοιχείο του R. Επομένως ο δακτύλιος R[Χ]/p(Χ) είναι σώμα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το σώμα αυτό είναι ισόμορφο προς το σώμα των μιγαδικών αριθμών. (3.4) Δυο πολυώνυμα f(x), g(x) R[X] είναι ισοδύναμα moulo p(x) (δηλαδή p(x) f (X) g(x) ) όταν και μόνο όταν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων των f(x) και g(x) ( ) με το p(x), έστω r (X), r (X), είναι ίσα. Απόδειξη: ( ) Έστω f(x) = p(x)π (X) + r(x) και g(x) = p(x)π (X) + r(x) με r(x) = ή eg r (x) < eg p(x). Τότε f(x) g(x) = p(x)(π(x) π (X)). Οπότε p(x) ( f (X) g(x) ) ( ) Αν p(x) ( (X) g(x) ) τότε p(x) ( (X) π (X) + r (X) p(x) π (X) r (X)) f και f(x) = p(x)π (X) + r (X) και g(x) = p(x)π (X) + r (X) p Επομένως, p(x) ( (X)( π (X) π (X)) + ( r (X) r (X))) ή αλλιώς p(x) ( (X) r (X)) p Αν (x) r (X) θα είχαμε ότι eg (r r ) < eg p άτοπο, r (αφού το p διαιρεί το r r ). Συνεπώς, κατ ανάγκη r (X) = r (X). r Επομένως ένα σύνολο αντιπροσώπων των κλάσεων [f(x)] στον δακτύλιο R = R[X]/p(X) είναι τα πολυώνυμα της μορφής ax + b όπου a, b R. Η απεικόνιση φ : ( R[X]/ p(x),, ) ( C, +, ) ax + b ai + b αποδεικνύεται ότι είναι ισομορφισμός σωμάτων δηλαδή R[X]/p(X) C. Ένα πολυώνυμο f(x) R[X], βαθμού egf =, έστω f(x) = AX + BX + C, είναι ανάγωγο αν και μόνο αν Δ = B 4AC <. Αν λοιπόν πάρουμε το πολυώνυμο f(x)

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 3 ξαναφτιάχνουμε το σώμα R[X]/f(X) αλλά όπως και για το p(x) = X + R[X] αποδεικνύεται ότι αυτό είναι πάλι ισόμορφο με το C, δηλαδή τίποτα καινούριο δεν προέκυψε. Αυτό είναι γνωστό σαν το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας το οποίο διατυπώνεται ως εξής: Στο δακτύλιο C[Χ] κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε γινόμενο γραμμικών παραγόντων δηλαδή στον C[Χ] τα μόνα ανάγωγα στοιχεία είναι τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού. AΧ B ή A X, δηλαδή τα πολυώνυμα της μορφής X a όπου a C. B Άμεση συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι ότι τα ανάγωγα στοιχεία του δακτυλίου R[X] είναι τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού και εκείνα από τα πολυώνυμα δεύτερου βαθμού που έχουν διακρίνουσα αρνητική. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε σώματα παίρνοντας τον δακτύλιο F p [X] όπου δηλαδή οι συντελεστές του πολυωνύμου θα είναι στοιχεία του πεπερασμένου σώματος F p (όπου p οποιοσδήποτε πρώτος) και όχι πραγματικοί αριθμοί. Ας δούμε τον αλγόριθμο της διαίρεσης δυο πολυωνύμων, μέσω ενός παραδείγματος. Θεωρούμε στον δακτύλιο F 3 [Χ] τα πολυώνυμα: α(x) = Χ 8 + Χ 6 + Χ 4 + Χ 3 + 8Χ + Χ + 8 και b(x) = 3Χ 6 + 5Χ 4 + 9Χ + 4Χ + 8. Ζητούνται πολυώνυμα (Χ) και r(χ) (στον F 3 [Χ]) για τα οποία: α(χ) = (Χ)b(Χ) + r(χ) με r(χ)= ή eg r(x) < eg b(x). Χ 8 +Χ 6 +Χ 4 +Χ 3 +8Χ +Χ+8 Χ 8 6Χ 6 3Χ 4 Χ 3 7Χ 9Χ + 7 8Χ 6 +7Χ 4 +Χ +Χ+8 8Χ 6 9Χ 4 Χ Χ 4 Χ 4 +3Χ +4 3Χ 6 +5Χ 4 +9Χ +4Χ+8 Ας μελετήσουμε, κατ αρχήν, ένα παράδειγμα κατασκευής του σώματος (Χ) ανάγωγο στοιχείο του F p [Χ] (p P). Έστω p = και (X) = X 3 + X +. F p [ X] (X) όπου Το (Χ) είναι ανάγωγο F [Χ] διότι αν δεν ήταν ανάγωγο θα είχε (επειδή eg (X)=3) στη παραγοντοποίησή του σε ανάγωγους παράγοντες τουλάχιστον ένα γραμμικό παράγοντα (παράγοντα πρώτου βαθμού) δηλαδή θα είχε τουλάχιστον μια ρίζα στο F={,}. Δεν έχει όμως καμία ρίζα στο F αφού ισχύει ότι () = + + = και () = + + =.

4 Γιάννη Α. Αντωνιάδη F [X] Μπορούμε να φτιάξουμε το σώμα. Ταυτίζουμε τα στοιχεία του με τα υπόλοιπα (X) της διαίρεσης των πολυωνύμων του F [Χ] με (Χ). Δηλαδή εδώ ένα πλήρες σύστημα αντιπροσώπων κλάσεων αποτελούν τα πολυώνυμα ax + bx + c a, b, c F. Υπάρχουν F [X] ακριβώς 8 τέτοια πολυώνυμα πράγμα που σημαίνει ότι το είναι σώμα με 8 (= 3 ) (X) στοιχεία. F [X] Οι πράξεις στο σώμα : (X) Το πολυώνυμο a X + a X + το γράφουμε και [ a,a, ]. - Η πρόσθεση. a a ( a X a X + ) + ( b X + b X + ) = (a+b )Χ +(a +b )Χ+(a +b ) + a b Δηλαδή [ a,a, a ] + [, b, b ] a b,a + b,a + b (Όπου + η πρόσθεση στο F ). - Ο πολλαπλασιασμός. b =[ ] +. Πολλαπλασιάζουμε κατ αρχήν τα πολυώνυμα: ( a X + ax + a )( b X + bx + b ) = ab Χ 4 + (a b +a b )Χ 3 + (a b +a b +a b )Χ + (a b + a b )Χ + a b Στη συνέχεια εκφράζουμε τις δυνάμεις που είναι μεγαλύτερες του σαν γραμμικό συνδυασμό μικρότερων δυνάμεων, moulo (Χ). Έχουμε ότι X 3 X + mo(x 3 +X +) οπότε X 4 X + X mo(x 3 +X +). (Τα πρόσημα δεν παίζουν σημασία γιατί βρισκόμαστε στο σώμα F ). 4 Άρα b X a b (X + X) a b X a b X mo (X) και a + 3 ( a b + ab )X (a b + ab )(X + ) (a b + ab )X + (a b + ab Επομένως [ a,a, a ][ b, b, b ] = [ c,c, c ] όπου c = a b + ab + a b + a b c = ab + a b + a b + a b + ab c = a b + a b + ab ) mo (X) Για να κάνουμε πιο εύκολο τον πολλαπλασιασμό, σχηματίζουμε ένα πίνακα των δυνάμεων του X mo (X). X X X X X X 3 X + X 4 X + X X 5 X 3 + X X + X +

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 5 X 6 X 3 + X + X (X + ) + X + X X + X 7 X 3 + X X + + X Παρατηρούμε ότι η ακολουθία των πολυωνύμων (δυνάμεις του X) είναι περιοδική με περίοδο 7. Ας συμβολίσουμε την κλάση του X mo (X) με α, α=[,,]. Έχουμε λοιπόν τον ακόλουθο πίνακα για τις δυνάμεις του α: 6 Με GF(8) = {,, α,, α,} α α α α α α 3 α + α 4 α + α α 5 α + α + α 6 α + α 7 α θα συμβολίσουμε το σώμα με 8 στοιχεία. Επομένως η πολλαπλασιαστική ομάδα του σώματος GF(8) είναι κυκλική (τάξης 7). Χρησιμοποιούμε το α σαν βάση των «λογαρίθμων». Συμφωνούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: log β = k α = β και φτιάχνουμε τους ακόλουθους πίνακες: α ( ) k k α k β log α β * * 3 3 4 6 5 4 6 5 Στο δεύτερο πίνακα η διάταξη των στοιχείων β είναι σύμφωνα με το δυϊκό σύστημα. (3.5) Παραδείγματα: ) Υποθέτουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε a = [] και b = [] (Δηλαδή θέλουμε να υπολογίσουμε το γινόμενο ab = [][]). Βρίσκουμε τους αντίστοιχους «λογάριθμους»: log α (a) = log α ([]) = 4 δηλαδή a = α 4 log α (b) = log α ([]) = 5 δηλαδή b = α 5

6 Γιάννη Α. Αντωνιάδη Επομένως ab = α 4 α 5 = α 9 = α = [] ) Το ίδιο για a = [] και b = [] Έχουμε ότι: log α (a)= log α ([])=5 δηλαδή a = α 5 log α (b)= log α ([])=3 δηλαδή b = α 3 Επομένως ab = α 5 α 3 =α 8 =α=[] 4 Ας πάρουμε πάλι το δακτύλιο F [X] και το πολυώνυμο (X) : = X + X + F[X] Κατ αρχήν επειδή () = + + = και () = + + = το (X) δεν έχει ρίζα στο F ={, }. Δηλαδή, αν το (X) αναλύεται (σε γινόμενο ανάγωγων πολυωνύμων), δεν εμφανίζεται παράγοντας πρώτου βαθμού στην ανάλυσή του. Δυνατοί τύποι ανάλυσης ως προς τον βαθμό των παραγόντων είναι: (,,, ), (,, ), (3, ), (, ). Επομένως μας μένει να ελέγξουμε αν το (X) αναλύεται σε γινόμενο δυο παραγόντων βαθμού ο καθένας. Από τη σχέση (Χ) = ( a X a X + )( b X + b X + ) με αντικατάσταση έχουμε ότι + a b 4 4 3 X + X+= a b X + (a b + ab )X + (a b + ab + a b )X + (ab + a b)x + a b Δηλαδή πρέπει: a b a b a b ab a b = + a b + a b + a b = = + a b = = Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το παραπάνω σύστημα δεν έχει λύση στο σώμα F. Επομένως F [X] το (X) είναι ανάγωγο και το είναι σώμα με 6 ( = 4 ) στοιχεία. (X)

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 7 Κεφάλαιο 4 Τάξη πεπερασμένου σώματος Κύριος σκοπός των επόμενων δύο κεφαλαίων είναι η απόδειξη της ύπαρξης ανάγωγου πολυωνύμου (X) βαθμού, για κάθε φυσικό αριθμό στο δακτύλιο F p [X], όπου F p το πεπερασμένο σώμα με p στοιχεία και p οποιοσδήποτε πρώτος αριθμός. Δηλαδή η απόδειξη της ύπαρξης (και αργότερα και της μοναδικότητας) ενός σώματος με p στοιχεία για κάθε πρώτο p και για κάθε φυσικό. (4.) Θεώρημα Αν F πεπερασμένο σώμα με στοιχεία τότε = p για κάποιο πρώτο p και κάποιο φυσικό. (Δηλαδή δεν υπάρχουν σώματα πεπερασμένα τάξεως όταν ο διαιρείται με περισσότερους από έναν πρώτους αριθμούς). Απόδειξη Με θα συμβολίζουμε το μοναδιαίο στοιχείο του πεπερασμένου σώματος F. Ορίζουμε την ακολουθία {u,u,u, } με u =, u = u - + =,,3, Από τον ορισμό της ακολουθίας (κάνοντας επαγωγή ως προς m) προκύπτει ότι u u m+ m = u = u m m + u u () () Επειδή το σώμα F είναι πεπερασμένο έπεται ότι δεν είναι δυνατόν όλα τα u m να είναι διαφορετικά μεταξύ τους, και συνεπώς υπάρχουν στοιχεία που συμπίπτουν (επαναλαμβάνονται). Έστω u k = u k+c η πρώτη επανάληψη. Δηλαδή τα u,u,u,,u k+c- είναι διακεκριμένα μεταξύ τους. Τότε: u k = u () u k+ c k+ c u k = u c u c = Δηλαδή το πρώτο στοιχείο που θα επαναληφθεί θα είναι το μηδέν. Επομένως {u,u,u,,u c- } είναι όλοι διακεκριμένοι μεταξύ τους. (4.) Ορισμός Ο ακέραιος c, ο οποίος θα είναι κατ ανάγκην μεγαλύτερος ή ίσος του, θα λέγεται χαρακτηριστική του σώματος F. Για παράδειγμα έστω το σώμα F τότε u =. Τότε έχουμε ότι u = u + = + = και u = u + = + =. Επομένως η χαρακτηριστική του σώματος F είναι. (4.3) Παρατήρηση Η χαρακτηριστική πεπερασμένου σώματος είναι κατ ανάγκη πρώτος αριθμός. Πράγματι αν c = ab με < a < c και < b < c τότε από την () θα είχαμε ότι u c = u a u b Αλλά όπως δείξαμε u c = ενώ u a και u b το οποίο είναι άτοπο. Επομένως c = p για κάποιο πρώτο αριθμό p.

8 Γιάννη Α. Αντωνιάδη Το {u,u,u,,u p- } είναι υποσύνολο του F και υπόσωμα του F, αφού είναι κλειστό ως προς τις πράξεις + και λόγω των () και (). Μάλιστα το σύνολο {u,u,u,, u p- } είναι ισόμορφο με το σώμα F p ={,,,,p-} μέσω της απεικόνισης i ( i =,,, K,p ) και συνεπώς Fp F. u i Μπορoύμε να δούμε το F σαν F p -δ.χ. δηλαδή σαν διανυσματικό χώρο πάνω από το σώμα F p. Έστω m η διάσταση του F και {ω,ω,,ω m } μια F p -βάση του F. Τότε κάθε a F μπορεί να γραφεί σαν a = a ω + a ω + a m ω m όπου a i F p. Επομένως #F = p m. Η πρόσθεση στο F είναι απλή και γίνεται κατά συνιστώσες. Θα μελετήσουμε την πολλαπλασιαστική δομή του F. Θα δούμε ιδιαίτερα ότι η πολλαπλασιαστική ομάδα (, ) είναι κυκλική τάξης. (4.4) Πρόταση Αν α F τάξης or(α) = t, τότε t ( ). ( ) F, όπου F = F \, του F Απόδειξη: Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Lagrage στην ομάδα ( F, ), όπου F = F \ ( ). (4.5) Λήμμα Αν p(x) πολυώνυμο βαθμού m με συντελεστές από ένα σώμα F, p(x) F[X], τότε η εξίσωση p(x) = έχει το πολύ m διακεκριμένες λύσεις στο F. Απόδειξη Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ως προς το βαθμό m του πολυωνύμου p(x). Αν m= τότε το p(x) είναι της μορφής p(x) = αx+b οπότε η εξίσωση p(x)= έχει b ακριβώς μια λύση στο F την x =. a Αν m και η p(x) = δεν έχει λύση στο F τελειώσαμε. Αν η εξίσωση p(x) = έχει τουλάχιστο μια λύση στο F, έστω α F, τότε p(α) = οπότε το πολυώνυμο p(x) γράφεται στη μορφή p(χ) = (Χ α)(χ) όπου (X) F[x]. Αν τώρα β α μια οποιαδήποτε λύση της p(χ) =, τότε p(β) =. Τότε όμως έχουμε ότι (β α)(β) = και επειδή β α έπεται ότι (β) =. Είδαμε ότι κάθε άλλη ρίζα του p(x) είναι και ρίζα του (X). Όμως eg (X) = m < m. Η υπόθεση της μαθηματικής επαγωγής δίνει ότι το (X) έχει το πολύ m ρίζες στο F. Το p(χ) έχει τις ρίζες στο F τις ρίζες του (X) και την ρίζα x = α. Δηλαδή έχει το πολύ (m ) + m = m ρίζες. Προσοχή Η εξίσωση δεύτερου βαθμού X = στο Z 8 έχει 4 λύσεις. Τις x =, 3, 5, 7 αφού:

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 9 = =, 3 = 9 = 8 =, 5 = 5 = =, 7 = ( ) = = Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με το λήμμα (4.5) διότι το Ζ 8 δεν είναι σώμα. Αν τώρα α F, or(α) = t τότε τα στοιχεία του συνόλου {,α,,α t } είναι λύσεις της εξίσωσης X t =. Σύμφωνα με το λήμμα (4.5) η εξίσωση X t = δεν έχει άλλες λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι αν b F και b t = τότε b = α λ για κάποιο λ =,,, t (4.6) Λήμμα Αν or(α) = t τότε or(a i ) = t ΜΚΔ(i, Απόδειξη: Έστω m η τάξη του α i. Τότε επειδή (α i ) t = (α t ) i = i = θα πρέπει το m να διαιρεί το it. Ο ΜΚΔ(i, t) γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των i και t. δηλαδή υπάρχουν u, v ακέραιοι τέτοιοι ώστε ΜΚΔ(i, t) = ut + vi. Αφού ο ΜΚΔ(i, t) διαιρεί τα t i t i και t μπορούμε να γράψουμε = u i ΜΚΔ(i, t) ΜΚΔ(i, t) t) + v ΜΚΔ(i, t). Οι ΜΚΔ(i, t) είναι ακέραιοι και όπως φαίνεται από την τελευταία ισότητα πρώτοι μεταξύ τους. Επομένως, ο t ΜΚΔ(i, t). t ΜΚΔ(i, t) και διαιρεί το it δηλαδή τον m. Δηλαδή, m = (4.7) Παράδειγμα Έστω α F (α ) και or(α) =. Σχηματίζουμε τις δυνάμεις α i (i=,,,,). (t = ) i ΜΚΔ(i,) or(α i ) 6 3 3 4 4 4 3 5 6 6 7 8 4 3 9 3 4 6 Παρατηρούμε ότι απ τις δυνάμεις του α τελικά υπάρχουν 4 που έχουν τάξη. Το αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να το δούμε υπολογίζοντας τη συνάρτηση φ του Euler.

3 Γιάννη Α. Αντωνιάδη a a a s Γενικά αν = p p K ps τότε φ() = ( ) ( ) K ( ). p p p s π.χ. για = = 3 4 3 έχουμε ότι φ() = ( ) ( ) = = = 4. 3 3 6 Ειδικά αν = p P τότε φ(p) = p ( ) = p. p (4.8) Πρόταση Έστω t φυσικός και F πεπερασμένο σώμα. Στο F είτε δεν υπάρχει στοιχείο τάξης t είτε υπάρχουν ακριβώς φ(t) στοιχεία τάξης t. Απόδειξη: Αν δεν υπάρχει στο σώμα F στοιχείο τάξης t δεν έχουμε να αποδείξουμε τίποτα. Αν υπάρχει ένα στοιχείο α F με or(α) = t τότε κάθε άλλο στοιχείο που έχει τάξη t περιέχεται στο σύνολο {,α,,α t }, λόγω του λήμματος (4.5). Από το λήμμα (4.6) έχουμε ότι t = or (α i t ) =. Επομένως ΜΚΔ(i, t) =. ΜΚΔ(i, t) Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς φ(t) τέτοια i (από τον ορισμό της συνάρτησης φ). Συνδυάζοντας τώρα τις προτάσεις (4.4) και (4.8) βλέπουμε ότι αν F είναι ένα πεπερασμένο σώμα με #F = στοιχεία τότε για κάθε t (I) (II) Αν t / τότε δεν υπάρχει α F με or(α) = t Αν t τότε είτε δεν υπάρχει στοιχείο α F τάξης t είτε υπάρχουν ακριβώς φ(t) στοιχεία του F τάξης t Εμείς θα αποδείξουμε ότι αν t τότε υπάρχουν πάντοτε ακριβώς φ(t) στοιχεία του F τάξης t. (4.9) Παράδειγμα Έστω = 6. Τότε = 6 = 5. Τα t για τα οποία t ( ) ή αλλιώς t 5 είναι τα t =, 3, 5, 5. Βρίσκουμε τα αντίστοιχα φ(t): t φ(t) 3 5 4 5 8 Το πλήθος αυτών τον στοιχείων είναι + + 4 + 8 = 5 δηλαδή ίσο με. Επομένως για t θα πρέπει να υπάρχουν ακριβώς φ(t) στοιχεία του σώματος F τάξης t. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γενικό και είναι άμεση συνέπεια του παρακάτω θεωρήματος: (4.) Θεώρημα Έστω N τότε φ () =.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 3 Απόδειξη: Η απόδειξη έχει γίνει στο μάθημα Θεωρία Αριθμών Ι. Συνδυάζοντας τώρα την πρόταση (4.4), την πρόταση (4.8) και το θεώρημα (4.) έχουμε το: (4.) Θεώρημα Έστω F πεπερασμένο σώμα με στοιχεία και t N. (i) (ii) Αν t / τότε δεν υπάρχει α F με or(α) = t Αν t τότε υπάρχουν ακριβώς φ(t) στοιχεία του F τάξης t Απόδειξη: Το (i) είναι άμεση συνέπεια της πρότασης (4.8). Για το (ii): Έστω t και έστω ψ(t) το πλήθος των στοιχείων του F που έχουν τάξη t. Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrage κάθε μη-μηδενικό στοιχείο του F έχει σαν τάξη κάποιο t όπου t. t ψ (t) =. Αλλά από το θεώρημα (4.) έχουμε ότι t Επομένως t φ( t) = ψ(t) t ή φ( t) ψ(t) = t t ( ) ή φ( t) ψ(t) = t φ (t) =. Αλλά από την πρόταση (4.8) έχουμε ότι φ(t) ψ(τ) (αφού ψ(t) είναι ίσο με φ(t) ή με μηδέν). για κάθε t το οποίο διαιρεί το Οπότε κατ ανάγκην ψ(t) = φ(t) για κάθε t, δηλαδή το θεώρημα. (4.) Πόρισμα Αν F πεπερασμένο σώμα με στοιχεία τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο τάξης. (Υπάρχουν μάλιστα φ( ) τέτοια στοιχεία). F, είναι πάντα κυκλική. Δηλαδή η ομάδα ( ) (4.3) Ορισμός Κάθε γεννήτορας της ομάδας ( F, ) θα λέγεται πρωταρχική ρίζα του σώματος F. (4.4) Παράδειγμα Έστω F = F 7 = {,,,3,4,5,6}. Θα βρούμε μια πρωταρχική ρίζα του σώματος F. Παίρνουμε τις δυνάμεις του : = = = 4 3 = Άρα or()=3 και το δεν είναι πρωταρχική ρίζα του F.

3 Γιάννη Α. Αντωνιάδη Παίρνουμε τις δυνάμεις του 3: 3 = 3 = 3 3 = 3 3 = 6 Άρα από Θ. Lagrage or(3) = 6 και το 3 είναι πρωταρχική ρίζα του σώματος F = F 7. Είδαμε ένα παράδειγμα υπολογισμού των πρωταρχικών ριζών ενός σώματος με τη μέθοδο της δοκιμής και της επιτυχίας. Αν το πεπερασμένο σώμα F είναι μεγάλο τότε τα πράγματα είναι δύσκολα. Υπάρχει ένας αλγόριθμος του Gauβ που μας δίνει στοιχεία του F, α,α,,α κ τέτοια ώστε: or(α ) < or(α ) < < or(α κ ) =. Μάλιστα ισχύει, or(α i ) or(α i+ ) για κάθε i =,,, k. (4.5) Αλγόριθμος του Gauβ G. Έστω i = και α F με or(α ) = t. G. Αν t i = τελειώσαμε. Το α i είναι μια πρωταρχική ρίζα. G3. Αν or(α i ) < επιλέγω μη-μηδενικό στοιχείο του F, έστω β, τέτοιο ώστε λ β α i για κάθε λ (το β να μην είναι δύναμη του αi). Έστω or(β) = s. Αν s = θέτουμε α i+ = β και τελειώσαμε. G4. Αλλιώς βρίσκουμε t i και e s τέτοια ώστε ΜΚΔ(, e) = και e = ΕΚΠ(t,s). Οπότε θέτουμε: i s / e ti / α i+ = α i β, ti+ = ΕΚΠ(t i,s), i a i + και πηγαίνουμε στο G. Αποδεικνύεται ότι και e υπάρχουν πάντα. Παρατήρηση Στο προηγούμενο παράδειγμα ουσιαστικά εφαρμόσαμε τον αλγόριθμο του Gauβ και είχαμε α =, t = 3 και β = 3, s = 6. Δεν φτάσαμε ποτέ στο βήμα G4. (4.6) Παράδειγμα Έστω F = F 5 το πεπερασμένο σώμα με 5 στοιχεία. Θεωρούμε το πολυώνυμο X F 5 [X]. Αυτό το πολυώνυμο είναι ανάγωγο ως προς το σώμα F 5. Πράγματι, το X δεν έχει ρίζα στο F 5 = {,,, 3=, 4= } αφού για x = έχουμε x = = για x = ± έχουμε x = = για x = ± έχουμε x = 4 = Επομένως το F είναι ισόμορφο με F 5[X]. < X > Το F είναι F 5 -δ.χ. διάστασης. Δηλαδή το F γράφεται F = {(α, β) α, β F 5 }. Η πρόσθεση γίνεται φυσιολογικά κατά συνιστώσες: (α, β ) + (α, β ) = (α + α, β + β ) F 5[X] Για τον πολλαπλασιασμό το F γράφεται F = = {αx+β α, β F 5 }. < X >

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 33 Έχουμε πολλαπλασιασμό πολυωνύμων: (α X + β ) (α X + β ) = α α X + (α β +α β )X + β β Ισχύει ότι X mo(x ). Δηλαδή X mo(x ). Άρα (α X + β ) (α X + β ) = (α β +α β )X + β β + α α Άρα ο πολλαπλασιασμός στο F είναι: (α, β ) ( α, β ) = (α β + α β, β β + α α ) Ξεκινάμε τον αλγόριθμο του Gauβ: Έστω α = (,). Με τη βοήθεια των κανόνων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού υπολογίζουμε μερικές δυνάμεις του α : α = (,) α = (,) α = α α = (,) (,) = ( +, + ) = (,) α 3 = α α = (,) (,) = ( +, + ) = (,) α 4 = α 3 α = (,) (,) = ( +, + ) = (,4) Με αυτό τον τρόπο κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα δυνάμεων του α : i (,) (,) (,) 3 (,) 4 (,4) 5 (4,) 6 (,3) 7 (3,) 8 (,) Για το α 8 έχουμε: α 8 = α 7 α = (3,) (,) = ( 3 +, + 3 ) = (,) Επομένως or(α ) = 8. Άρα t = 8 = 4. Το α δεν είναι πρωταρχική ρίζα. Εφαρμόζουμε το βήμα G3. i Διαλέγουμε β F, β α (i =,,,, 7). α i Έστω β = (,). Υπολογίζουμε τις δυνάμεις του β: i (,) (,) (,3) 3 (,) 4 (,) 5 (4,) 6 (,4) 7 (4,4) 8 (3,) β i

34 Γιάννη Α. Αντωνιάδη 9 (,3) (3,3) (,4) (,) Επομένως το β=(,) έχει τάξη (or(β) = ). Άρα s = = 4. Άρα πάλι δεν έχουμε βρει πρωταρχική ρίζα. Εφαρμόζουμε το βήμα G4. Ψάχνουμε, e με t = 8 και e s = τέτοια ώστε ΜΚΔ(, e) = και e = ΕΚΠ(t, s) = ΕΚΠ(8, ) = 4. Παίρνουμε = 8 και e = 3 t / s / e 8 / 8 / 3 Σύμφωνα με το βήμα G4 παίρνουμε α = α β. Δηλαδή α = α β ή α = α β 4. Από τον πίνακα των δυνάμεων του β έχουμε ότι β 4 = (,) = α + Από τον πίνακα των δυνάμεων του α έχουμε α = (,) = Οπότε α = α (α + ) = α + α = α + 4 Τώρα χρησιμοποιούμε το γνωστό από τη Θεωρία Ομάδων (4.7) Λήμμα: Αν or(α) = m, or(β) =, (m, ) = και α, β αντιμετατίθενται τότε or(αβ) = m Στο παράδειγμά μας or(α ) = 8, or( β 4 ) = = = 3, οπότε or(α ) = (4,) 4 4 or ( α β ) = 8 3 = 4. Επομένως το α = α + 4 είναι μια πρωταρχική ρίζα του F 5. Ας αφήσουμε για λίγο τις πρωταρχικές ρίζες και ας έρθουμε στην έννοια του ελάχιστου (ανάγωγου) πολυωνύμου. Αν F πεπερασμένο σώμα τότε #F = p m για κάποιο πρώτο p και κάποιο φυσικό m. Το F μπορεί να θεωρηθεί σαν F p -δ.χ. με διάσταση F = m. im Fp Έστω τώρα α F. Παίρνουμε τις δυνάμεις του α:, α, α,, α m Τα στοιχεία αυτά του F έχουν πλήθος m +. Επειδή im Fp F = m < m + έχουμε ότι τα, α, α,, α m είναι F p -γραμμικά εξαρτημένα. Δηλαδή υπάρχουν στοιχεία Α, Α, Α,, Α m του F p όχι όλα μηδέν τέτοια ώστε Α + Α α + Α α + + Α m α m =. Επομένως το α είναι ρίζα του πολυωνύμου Α(X) = Α + Α X + Α X + + Α m X m Το α μπορεί να είναι ρίζα κι άλλων πολυωνύμων. Έστω, S(α) = { f (X) Fp[X] f(α) = } το σύνολο όλων των πολυωνύμων του Fp[X] που έχουν ρίζα το α. Επειδή Α(X) S(α), το S(α) είναι μη κενό και αναγκαστικά περιέχει ένα πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου του m. Έστω P(X) ένα μη-μηδενικό πολυώνυμο του S(α) ελάχιστου βαθμού. Αν f(x) S(α) τότε υπάρχουν κάποια πολυώνυμα (X), r(x) F p [X] τέτοια ώστε f(x) = P(X)(X) + r(x) όπου r(x) = ή eg r(x) < eg P(X).

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 35 Αν r(x) θα είχαμε ότι eg r(x) < eg P(X) και ακόμα f(α) = P(α)(α) + r(α) και επειδή f(α) = P(α) = (τα υποθέσαμε στοιχεία του συνόλου S(α) ) τότε θα είχαμε r(α) =, άτοπο αφού εμείς υποθέσαμε ότι P(X) είναι το πολυώνυμο ελάχιστου βαθμού με αυτή την ιδιότητα. Συνεπώς r(x) = και επομένως f(x) = P(X)(X). Δηλαδή P(X) f(x) (στο F p [x]). Αποδείξαμε ότι P(X) f(x) για κάθε f(x) S(α). (4.8) Ορισμός Το P(X) θα λέγεται ελάχιστο πολυώνυμο του α ως προς το σώμα F p. Συνήθως θα παίρνουμε το P(X) σαν μονικό (moic) δηλαδή με συντελεστή της μεγαλύτερης δύναμης του x το. Οπότε το P(X) θα είναι μονοσήμαντα ορισμένο. Δηλαδή F a a P( Χ) F p [X] Παρατήρηση: Το P(X) είναι ανάγωγο στο F p [X]. Απόδειξη: Αν P(X) = A(X)B(X) με ega(x) < egp(x) και egb(x) < egp(x) τότε P(α) = Α(α)Β(α). Δηλαδή Α(α)Β(α) =. Οπότε Α(α) = ή Β(α) =. Δηλαδή το α θα ήταν ρίζα μη μηδενικού πολυωνύμου (του Α ή του Β) βαθμού μικρότερου του egp(x). Άτοπο. Επομένως P(X) ανάγωγο στο F p [x]. Έχουμε ήδη αποδείξει το (4.9) Θεώρημα: Αν F ένα σώμα με = p m στοιχεία τότε σε κάθε στοιχείο α του F αντιστοιχεί μονοσήμαντα ένα πολυώνυμο (τα ελάχιστο πολυώνυμο του α) με τις εξής ιδιότητες: (a) P(α) = (b) egp(x) m (c) Αν f(x) F p [X] με f(α) = τότε P(X) f(x). (4.) Ορισμός Το πολυώνυμο αυτό P(X) λέγεται ελάχιστο πολυώνυμο του α ως προς το υπόσωμα F p του F. Ας γυρίσουμε τώρα πάλι πίσω στο παράδειγμα για το F 5. Θα υπολογίσουμε το ελάχιστο πολυώνυμο για μερικά στοιχεία του F 5. Ας πάρουμε το στοιχείο (,) = α και ας πάρουμε τις δυνάμεις του α. - α = Το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το X. - Ας πάρουμε τώρα το α. (Φυσικά αν το α άνηκε στο F 5, το ελάχιστο πολυώνυμο του α θα ήταν το X α). Το α F 5 οπότε το X α δεν μας κάνει διότι ένας συντελεστής, ο α, δεν ανήκει στο F 5. Παίρνουμε τα στοιχεία α =, α, α τα οποία τα θεωρούμε σαν 3 διανύσματα του - διάστατου διανυσματικού χώρου F 5 ως προς το F 5. Επομένως θα είναι γραμμικά εξαρτημένα κάτι το οποίο μας δίνει ένα πολυώνυμο ου βαθμού που έχει σαν ρίζα το α. Ας βρούμε αυτό το πολυώνυμο. = (,), α = (,), α = (,) (το υπολογίσαμε προηγουμένως). Προφανώς α. =. Επομένως το ελάχιστο πολυώνυμο του α είναι το X. Είναι, δηλαδή, αυτό μέσω του οποίου ορίστηκε το σώμα F 5 σαν F 5[X]. Αυτό δεν είναι τυχαίο. < X >

36 Γιάννη Α. Αντωνιάδη Ας ξαναθυμηθούμε των πίνακα τον δυνάμεων του α. i α i ελάχιστο πολυώνυμο (,) X (,) X (,) X 3 (,) X 3 4 (,4) X 4 5 (4,) X 6 (,3) X 3 7 (3,) X 3 Ας προσπαθήσουμε τώρα να βρούμε το ελάχιστο πολυώνυμο της πρωταρχικής ρίζας β = α + 4 του F 5. Έχουμε ότι: β = = (,) β = α + 4 = (,) + 4(,) = (,4) β = β. β = (,4). (,4) = (. 4 +. 4, 4. 4 +.. ) = (6,4) = (,4) Πρέπει να εκφράσουμε το β σαν γραμμικό συνδυασμό των β και β = με συντελεστές από το σώμα F 5. Παρατηρούμε ότι β β = (,3) (,4) = (,4) ή β β = 4. ή β 3β =. ή β +β +3 = Συνεπώς το β έχει ελάχιστο πολυώνυμο το X +X +3. Το πολυώνυμο αυτό είναι ανάγωγο (δες παρατήρηση σελίδας 3). Θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει αυτό για την κατασκευή του F 5 αντί του X. Τότε το α = (,) θα ήταν πρωταρχική ρίζα. Αυτό θα ήταν πολύ πιο βολικό για την παράσταση του σώματος F. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε συστηματικά το ελάχιστο πολυώνυμο κάτι το οποίο θα μας επιτρέψει να κατανοήσουμε μερικά από τα «μυστήρια» του προηγούμενου παραδείγματος. Έστω F πεπερασμένο σώμα και Κ υπόσωμα του F. (Το Κ μπορεί να είναι το F p ή κάποιο μεγαλύτερό του). Το Κ θα είναι κι αυτό πεπερασμένο. Έστω ότι #Κ = = p m. Όπως και προηγουμένως το F μπορεί να θεωρηθεί σαν Κ-δ.χ. Προφανώς η im K F (διάσταση του F ως προς τον διανυσματικό χώρο Κ) είναι πεπερασμένη. Έστω η διάσταση. Τότε #F = = p m. Έστω α F. (4.) Ορισμός Το ελάχιστο πολυώνυμο P(X) του α ως προς το σώμα Κ είναι το μοναδικό μονικό πολυώνυμο με τις εξής ιδιότητες: (a) P(α) = (b) egp(x) (c) Αν f(x) Κ[X] με f(α) = τότε P(X) f(x) στο Κ[X]. Θα προσπαθήσουμε να έχουμε μια πιο σαφή εικόνα για το P(X). Θα χρειαστούμε μερικά λήμματα.

Εφαρμοσμένη Άλγεβρα 37 (4.) Λήμμα Το στοιχείο β του σώματος F ανήκει στο Κ τότε και μόνο τότε όταν β = β. Ιδιαίτερα, όλα τα στοιχεία του Κ επαληθεύουν την εξίσωση X X =. Απόδειξη Έστω β Κ. Αν β = έχουμε ότι β = β Αν β τότε έστω t := or(β) οπότε t ( ). Θα υπάρχει επομένως ένας ακέραιος λ τέτοιος ώστε = tλ. Επομένως β - = (β t ) λ = λ = και συνεπώς β = β. Τα στοιχεία του Κ είναι οι διακεκριμένες ρίζες του πολυωνύμου X X. Είχαμε δει όμως ότι το X X έχει το πολύ διακεκριμένες ρίζες. Οπότε δεν υπάρχουν άλλες λύσεις πέραν των στοιχείων του Κ. p (4.3) Λήμμα Αν p πρώτος τότε ο όπου k p διαιρείται από το p. k Απόδειξη p p! (p k)!(p k + )(p k + ) Kp (p k + )(p k + ) Kp = = = k k!(p k)! (p k)!k! K k p Έστω = λ τότε (p k+)(p k+) p = λ K (k ) k k Έχουμε ότι p (p k + )(p k + ) p οπότε το p διαιρεί το λ K (k ) k και p επειδή k p θα πρέπει το p να διαιρεί το λ. Δηλαδή p. k (4.4) Λήμμα Αν F πεπερασμένο (ή άπειρο) σώμα χαρακτηριστικής p (cf = p) και λ λ λ λ p p p p α, α,, α t στοιχεία του F τότε ( α + α + K + α t ) = α + α + K + α t για κάθε λ=,, 3, Απόδειξη Το αποδεικνύουμε για t = και συνεχίζουμε επαγωγικά. Για την απόδειξη με t =, χρησιμοποιούμε το διωνυμικό τύπο, και εφαρμόζουμε το λήμμα (4.3). Αν λοιπόν τώρα α F και p(x) το ελάχιστο πολυώνυμο του α ως προς το Κ και f(x) = f + f X + + f X K[X] τέτοιο ώστε f(α) = τότε f + f α + + f α = () (με f i K για κάθε i) άρα και f(α ) =, διότι αν υψώσουμε την () στην -δύναμη θα k έχουμε k f kα =. Οπότε σύμφωνα με το λήμμα (4.4) παίρνουμε = k= f k α k= ή f(α ) =. Επομένως α επίσης ρίζα του f(x). Δηλαδή αν α ρίζα του f(x) τότε και α, επίσης ρίζες του f(x). Αυτές λέγονται συζυγή του α ως προς το σώμα Κ. Η ακολουθία α, α, α,k έχει πεπερασμένο πλήθος διακεκριμένων μεταξύ τους στοιχείων. Υποθέτουμε α. Έστω, α, α 3 3