Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο

Εαρινό εξάμηνο 2009-2010

Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων (ΓΓ04) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Εαρινό Εξάμηνο 2009-2010

Στατιστική και Θεωρία Πιθανοτήτων users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr

Εισαγωγικά στοιχεία Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στις μεθόδους της Στατιστικής Ανάλυσης καθώς και στις λειτουργικές δυνατό- τητες του SPSS ώστε να είναι δυνατή η οργάνωση των δε- δομένων και η πραγματοποίηση των βασικών Στατιστικών Αναλύσεων μιας ποσοτικής έρευνας. Διδακτική μέθοδος Διαλέξεις Παρουσιάσεις επιλεγμένων ερευνών και κειμένων Εργαστήριο (SPSS)

Βαθμολογία Μαθήματος Βαρύτητα Εργασία (Προαιρετική) 0% (15%) Πρόοδος 0% Τελικές Εξετάσεις 100%

Περιεχόμενα μαθήματος Έννοιες Περιγραφικής Στατιστικής Εφαρμογές Περιγραφικής Στατιστικής στην Εκπαίδευση Μέθοδοι Εκτίμησης Διαστήματα Εμπιστοσύνης Έλεγχοι Υποθέσεων Παραμέτρων Στατιστικών Πληθυσμών Εφαρμογές Στατιστικής Συμπερασματολογίας στην Εκπαίδευση Στοιχεία και Εφαρμογές Απαραμετρικής Στατιστικής στην Εκπαίδευση Στοιχεία Συνδυαστικής Ανάλυσης Κλασσική Πιθανότητα - Δεσμευμένη Πιθανότητα. Κατανομή Gauss Προχωρημένα Αόριστα Ολοκληρώματα Ακολουθίες και Σειρές

Ορισμός Στατιστικής Ετυμολογία: στατίζω (ελληνική λέξη που σημαίνει διαπιστώνω) Η Στατιστική είναι η επιστήμη η οποία ασχολείται με τον σχεδιασμό πειραμάτων, τη συλλογή και ανάλυση στατιστικών δεδομένων με σκοπό την εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Στατιστική: Επιστήμη λήψης αποφάσεων σε καθεστώς αβεβαιότητας

Αντικείμενο & Εφαρμογές Στατιστικής Επιστήμης Το αντικείμενο της στατιστικής συνίσταται στην αποτελεσματική αξιοποίηση πληροφοριών μετά από κατάλληλη συλλογή, επεξεργασία, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση στατιστικών δεδομένων. Η στατιστική επιστήμη χρησιμοποιείται ευρύτατα για την διερεύνηση προβλημάτων σε όλους σχεδόν τους κλάδους της ανθρώπινης έρευνας και δραστηριότητας όπως στην οικονομία, την ιατρική, τη βιολογία, την ψυχολογία, την κοινωνιολογία, τη γεωπονική, τη μετεωρολογία κ.λ.π.

Συστατικά Στατιστικής Επιστήμης Στατιστική είναι η επιστήμη η οποία: Περιγράφει με σαφή και ακριβή τρόπο διάφορα μετρήσιμα οικονομικά, δημογραφικά, κοινωνικά, πολιτικά και άλλα φαινόμενα καθώς και τη διαχρονική τους εξέλιξη. (Περιγραφική). Μελετά τους νόμους που διέπουν τις συνολικές εκδηλώσεις των τυχαίων φαινομένων. (Πιθανότητες). Εκτιμά διαφόρους παραμέτρους ενός πληθυσμού ή προβλέπει τη διαχρονική εξέλιξη των φαινομένων στο άμεσο μέλλον μετά από αντικειμενική αξιοποίηση του παρελθόντος. (Εκτιμητική).

Πεδία Εφαρμογής Στατιστικής Σύνοψη δεδομένων Αντιμετώπιση αβεβαιότητας Δειγματοληψία Ανάλυση σχέσεων Προβλέψεις Λήψη αποφάσεων σε συνθήκες αβεβαιότητας

Στατιστική & Πληροφορική Η Στατιστική χειρίζεται μεγάλο πλήθος δεδομένων ενώ συχνά για την εξαγωγή συμπερασμάτων απαιτούνται πολύπλοκοι και εκτεταμένοι υπολογισμοί. Στην εποχή μας είναι απαραίτητη η χρήση μεθόδων Πληροφορικής για την εφαρμογή της Στατιστικής Επιστήμης. Απλές εφαρμογές με τη χρήση λογιστικών φύλλων όπως το ΕxcelΕ xcel. Εξειδικευμένα στατιστικά πακέτα: : SPSS, Minitab, SAS,, κτλ.

Θεωρία Πιθανοτήτων Η θεωρία Πιθανοτήτων μελετά τη συμπεριφορά των τυχαίων φαινομένων. Εξετάζει τους νόμους της τύχης και έχει εφαρμογή σε όλες σχεδόν τις επιστήμες Φυσική Βιολογία Κοινωνιολογία Ψυχολογία Ιατρική κ.α.

Ιστορική Αναδρομή Αριστοτέλης (384-322 322 π.χ.): διατύπωσε τις έννοιες του τυχαίου, του απροσδόκητου και τις σχετικής συχνότητας. Θεωρούσε όμως ότι το τυχαίο οφείλεται στην δική μας αδυναμία να ερμηνεύσουμε τα φαινόμενα. Καρνεάδης (214-129 129 π.χ.) έδωσε μία πρώτη έννοια της πιθανότητας ως μορφής γνώσης. Thomas Aquinas (1225-1274) 1274) θεωρούσε ότι ορισμένα γεγονότα ονομάζονται τυχαία γιατί δεν μπορούμε να συγκεντρώσουμε όλες τις πληροφορίες για να τα ερμηνεύσουμε.

Ιστορική Αναδρομή Η θεωρία πιθανοτήτων αναπτύχθηκε από την ανάγκη να αντιμετωπιστούν πρακτικά προβλήματα. Κατά τον 17 ο αιώνα με την ανάπτυξη του εμπορίου δημιουργήθηκε η ανάγκη για πληρωμή ασφαλίστρων λαμβάνοντας υπόψη πιθανά ατυχήματα. Η οργάνωση του κράτους απαιτούσε την πρόβλεψη των εξόδων και των εσόδων, του πληθυσμού, του στρατού.

Ιστορική Αναδρομή Ο Γαλιλαίος (1564-1642) 1642) μελέτησε τα σφάλματα των παρατηρήσεων των πλανητών που θεωρούσε τυχαία. Ο Cardano (1501-1576) 1576) στο βιβλίο του υπολογίζει τις πιθανότητες ρίψης ενός ζαριού. Ο Fermat (1601-1665) 1665) στην αλληλογραφία του περιγράφει τον υπολογισμό πιθανοτήτων σε τυχερά παιχνίδια. Ο Leonard Euler (1707-1783) 1783) το 1754 έδωσε συμβουλές στον βασιλιά της Πρωσίας για την τιμή πώλησης των κρατικών λαχείων.

Ιστορική Αναδρομή Η κλασσική θεωρία πιθανοτήτων θεμελιώθηκε από τον Laplace (1749-1840) 1840) με το βιβλίου του Theorie Analytique des Probabilites 1795. Η ανάγκη για αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων παρουσιάστηκε από τον Hilbert στον κατάλογο των σπουδαίων άλυτων προβλημάτων που κατάρτισε το 1900. Η σημερινή αξιωματική θεμελίωση οφείλεται στον Kolmogorov ο οποίος το 1933 παρουσίασε τις πιθανότητες ως ειδική περίπτωση της θεωρία του μέτρου.

Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης είναι κάθε διαδικασία που εκτελείται (πείραμα) ή παρατηρείται (φαινόμενο) και στην οποία το τελικό αποτέλεσμα είναι τυχαίο (όχι γνωστό εκ των προτέρων) Πλήθος παιδιών που κάνει μία οικογένεια Ρίψη ενός ζαριού Διάρκεια τηλεφωνικής συνδιάλεξης Καθυστέρηση μιας πτήσης κ.α. Χαρακτηριστικό ενός πειράματος τύχης είναι ότι μπορεί να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες.

Βασικές έννοιες Πληθυσμός Δείγμα Συλλογή πληροφορίας από δείγμα Εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό

Βασικές έννοιες Πληθυσμός: ένα σύνολο στοιχείων που μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε Διαδικασία: ένα σύνολο περιορισμών που εμφανίζονται κατά επανάληψη ώστε να μετατρέψουν πληρο- φορίες σε αποτέλεσμα Πλαίσιο: το σύνολο των στοιχείων του πληθυσμού, που εί- ναι δυνατό να περιληφθούν στο δείγμα Μεταβλητή: μια μετρήσιμη έκφραση ενός χαρακτηριστικού που μας ενδιαφέρει Δείγμα: είναι ένα υποσύνολο ενός πληθυσμού Παράμετρος: είναι μια αριθμητική ποσότητα που συνοψίζει κάποιο χαρακτηριστικό του πληθυσμού Στατιστική συνάρτηση: είναι μια συνάρτηση των στοιχείων ενός δείγματος Στατιστική συμπερασματολογία: είναι η διαδικασία χρησι- μοποίησης πληροφοριών από το δείγμα για την εξαγωγή συμπερασμάτων

Βασικές έννοιες Μεταβλητή: Αναφέρεται σε χαρακτηριστικό του πληθυσμού που μελετάται. (ταχύτητα αυτοκινήτου, βαθμολογία, βάρος ενός ατόμου, θερμοκρασία περιβάλλοντος, κατάσταση υγείας, φύλο) Παρατηρηθείσα τιμή ή παρατήρηση: Χρησιμοποιείται για την αριθμητική ή άλλη συμβολική έκφραση της μεταβλητής.

Βασικές έννοιες Είδη μεταβλητών ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ Οι τιμές τους δεν είναι αριθμητικές, αλλά αποτελούν περι- γραφές με τη χρήση ονομάτων. Φύλο, χαρακτηρισμός επί- δοσης,, οικογενειακή κατάσταση, κατάσταση υγείας, κατα- Γωγή. ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ Οι τιμές τους είναι αριθμημένες και επιδέχονται μέτρηση. Μισθοί, βαθμολογίες, θερμοκρασία, αριθμός παιδιών, ηλι- κία,, διάρκεια τηλεφωνικής συνδιάλεξης.

Βασικές έννοιες Διάκριση ποσοτικών μεταβλητών ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ Παίρνουν μόνο μεμονωμένες αριθμητικές τιμές. Ο αριθμός των παιδιών σε μια οικογένεια, ο αριθμός των δωματίων σε μια κατοικία, το νούμερο παπουτσιών. ΣΥΝΕΧΕΙΣ Μπορούν να πάρουν αριθμητικές τιμές που καλύπτουν ολό- κληρο διάστημα τιμών. Η ηλικία, η θερμοκρασία.

Παραδείγματα - Ασκήσεις

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Στατιστικοί πίνακες Διακρίνονται σε: Γενικούς πίνακες Περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα και αποτελούν πηγές στατιστικών πλη- ροφοριών στη διάθεση όλων για παραπέρα ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων. Ειδικούς πίνακες Είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συνήθως λαμβάνονται από τους γενικούς πίνακες.

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Οι σωστά κατασκευασμένοι πίνακες πρέπει να περιέχουν: Επικεφαλίδες γραμμών και στηλών Δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων. Το κύριο σώμα Περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα. Τίτλο Γράφεται στο πάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σα- φήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα. Την πηγή Γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέ- λευση των στατιστικών στοιχείων.

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Στατιστικοί πίνακες

Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Συχνότητα: : ο αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζε- κάθε τιμή της μεταβλητής. Σχετική συχνότητα: το πηλίκο της συχνότητας με το μεγε- θος του δείγματος. Τις σχετικές συχνότητες τις εκφράζουμε επί της εκατό (%).

Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Οι αθροιστικές συχνότητες (και αθροιστικές σχετικές συ- χνότητες) ) εκφράζουν το πλήθος (ή το ποσοστό αντίστοιχα) των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες κάποια τι- μής.

Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Παιδιά στην οικογένεια 1 2 3 4 5 Σύνολο Σχετική Αθροιστική σχετική Συχνότητα συχνότητα συχνότητα 52 15,2 15,2 208 60,6 75,8 58 16,9 92,7 20 5,8 98,5 5 1,5 100,0 343 100,0 ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ Σύνολο ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ Σύνολο Αθροιστική Σχετική σχετική Συχνότητα συχνότητα συχνότητα 141 83,9 83,9 27 16,1 100,0 168 100,0 150 85,7 85,7 25 14,3 100,0 175 100,0 ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ Σύνολο Αθροιστική Σχετική σχετική Συχνότητα συχνότητα συχνότητα 291 84,8 84,8 52 15,2 100,0 343 100,0

Πίνακες κατανομής συχνοτήτων Παιδιά στην οικογένεια 1 2 3 4 5 Σύνολο Σχετική Αθροιστική σχετική Συχνότητα συχνότητα συχνότητα 52 15,2 15,2 208 60,6 75,8 58 16,9 92,7 20 5,8 98,5 5 1,5 100,0 343 100,0

Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων Ραβδόγραμμα Ιστόγραμμα Κυκλικό διάγραμμα Σημειόγραμμα Χρονόγραμμα

Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων Ραβδόγραμμα

Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων Κυκλικό διάγραμμα

Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων σημειόγραμμα

Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων χρονόγραμμα

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Ομαδοποίηση των παρατηρήσεων Κλάσεις

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Κλάσεις Ύψος μαθητών Γ Λυκείου σε cm Παρατηρούμε ότι το εύρος του δείγματος είναι R= 191-156=35 156=35 Επειδή έχουμε ν=40 παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε κ=6 κλάσεις. Το πλάτος των κλάσεων είναι c=r/k=35/6=5,83 6

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Κλάσεις

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Κλάσεις ίσου πλάτους Ιστόγραμμα συχνοτήτων

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Κλάσεις άνισου πλάτους Ιστόγραμμα συχνοτήτων

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Καμπύλες συχνοτήτων

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Καμπύλες συχνοτήτων Ομοιόμορφη κατανομή

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Καμπύλες συχνοτήτων Κανονική κατανομή

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Καμπύλες συχνοτήτων 80 60 Frequency 40 20 Mean =81,51 Std. Dev. =8,612 N =1.609 0 50,00 60,00 70,00 80,00 marks 90,00 100,00 110,00 Κανονική κατανομή

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Καμπύλες συχνοτήτων 60 Frequency 40 20 Mean =18,99 Std. Dev. =20, 725 N =216 0 0 20 40 60 80 100 πόσες φορές εκπαιδευτής 120 Ασύμμετρη δεξιά η δεξιά ασυμμετρία

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Καμπύλες συχνοτήτων 100 80 Frequency 60 40 20 Mean =8,64 Std. Dev. =1,333 N =343 0 5,00 6,00 7,00 maths 8,00 9,00 10,00 Ασύμμετρη αριστερά η αρνητική ασυμμετρία

Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων Καμπύλες συχνοτήτων

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ Robson Colin (2007). Η Έρευνα του Πραγματικού Κόσμου: ένα μέσον για κοινωνικούς επιστήμονες και επαγγελματίες ερευνητές. Αθήνα : Gutenberg. Cohen Louis & Manion Lawrence (2000). Μεθοδολογία Εκπαιδευτικής Έρευνας. Αθήνα : Μεταίχμιο. Ρούσσος Πέτρος & Τσαούσης Γιάννης (2002). Στατιστική εφαρμοσμένη στις κοινωνικές επιστήμες. Αθήνα: Εκδόσεις Γρηγόρη. Γιαλαμάς Βασίλης (2005). Στατιστικές Τεχνικές και Εφαρμογές στις Επιστήμες της Αγωγής. Αθήνα: Εκδόσεις Πατάκη. Φίλιας Βασίλης (επ.) (1996). Εισαγωγή στη Μεθοδολογία και τις Τεχνικές των Κοινωνικών Ερευνών. Αθήνα : Gutenberg.