4 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 4 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να κατανοήσετε τις κατηγορίες και τις ιδιότητες των συστημάτων. 4

Περιεχόμενα ενότητας Συστήματα συνεχούς χρόνου Συστήματα διακριτού χρόνου 5

Συστήματα Η σκοπιά σύμφωνα με την οποία αντιμετωπίζουμε ένα σύστημα στη θεωρία σημάτων και συστημάτων είναι αυτή του μαύρου κουτιού δηλαδή δε μας ενδιαφέρουν τα στοιχεία από τα οποία αποτελείται ένα σύστημα, αλλά μόνο τα σήματα εισόδου και εξόδου που διεγείρουν και παράγονται αντίστοιχα από αυτό το μαύρο κουτί. 6

Κατηγορίες συστημάτων (1) Κατηγοριοποίηση ανάλογα με τον αριθμό εισόδων και εξόδων Ο πρώτος διαχωρισμός μεταξύ κατηγοριών συστημάτων εξαρτάται από τον αριθμό των επιτρεπομένων εισόδων και εξόδων. Συστήματα μιας εισόδου - μιας εξόδου ή SISO (Single- Input, Single Output). Παράδειγμα ενός απλού συστήματος μιας εισόδου - μιας εξόδου είναι ένα σύστημα που περιγράφεται από μια σχέση εισόδου-εξόδου της μορφής y(t) =α. x(t-t 0 ). 7

Εφαρμογή σε MATLAB (1) Έστω ένα σύστημα που διέπεται υπό τη σχέση εισόδουεξόδου y(t) = x(t 2). Το σύστημα αυτό διεγείρεται υπό μια είσοδο x(t) = tcos(t), 0 t 3. Σας ζητείται να σχεδιάσετε τη έξοδο του συστήματος. 8

Κατηγορίες συστημάτων (2) Κατηγοριοποίηση ανάλογα με τον αριθμό εισόδων και εξόδων Συστήματα πολλών εισόδων και μίας εξόδου ή αλλιώς συστήματα MISO (Multi-Input, Single-Output). Παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι ένα σύστημα πού περιγράφεται από μια σχέση εισόδου-εξόδου της μορφής, y(t)= x 1 (t)+x 2 (t) ή y(t)= x 1 (t). x 2 (t). 9

Εφαρμογή σε MATLAB (2) 10

Κατηγορίες συστημάτων (3) Κατηγοριοποίηση ανάλογα με τον αριθμό εισόδων και εξόδων Συστήματα με πολλές εισόδους και πολλές εξόδους, γνωστά ως συστήματα ΜΙΜΟ (Multi-Input, Multi -Output). Παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι ένα σύστημα πού περιγράφεται από μια σχέση εισόδουεξόδου της μορφής, y 1 (t)= x 1 (t)+x 2 (t) και y 2 (t)= x 1 (t). x 2 (t). 11

Κατηγορίες συστημάτων (4) Συστήματα συνεχούς χρόνου και συστήματα διακριτού χρόνου Συστήματα συνεχούς χρόνου ή αναλογικά συστήματα, όταν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι αναλογικά σήματα. Όταν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι σήματα διακριτού χρόνου τότε τα συστήματα χαρακτηρίζονται ως συστήματα διακριτού χρόνου. Υπάρχουν επίσης συστήματα τα οποία μετασχηματίζουν αναλογικές εισόδους σε διακριτές εξόδους και το αντίθετο. Τέτοια συστήματα είναι γνωστά ως υβριδικά συστήματα. Ο ανάλογο-ψηφιακός μετατροπέας ο οποίος μετατρέπει ένα αναλογικό σήμα σε ψηφιακό αποτελεί μια περίπτωση υβριδικού συστήματος. 14

Κατηγορίες συστημάτων (5) Αιτιοκρατικά και στοχαστικά συστήματα Μια τρίτη κατηγοριοποίηση των συστημάτων είναι αυτή ανάμεσα σε Αιτιοκρατικά και στοχαστικά συστήματα. Ένα σύστημα λέγεται αιτιοκρατικό όταν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι αιτιοκρατικά σήματα. Όταν τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι στοχαστικά (δηλαδή τυχαία) σήματα τα συστήματα χαρακτηρίζονται ως στοχαστικά συστήματα. 15

Ιδιότητες συστημάτων (1) Αιτιατά- μη αιτιατά συστήματα Ένα σύστημα ονομάζεται αιτιατά, όταν η έξοδός του τη χρονική στιγμή t 0, y(t 0 ), δεν εξαρτάται από τις τιμές του σήματος εισόδου, χ(t), για t > t 0. Δηλαδή, για κάθε σήμα εισόδου χ(t), η αντίστοιχη έξοδος y(t) εξαρτάται μόνο από την παρούσα και τις προηγούμενες τιμές της εισόδου. Έτσι σε ένα αιτιατά σύστημα εάν ή είσοδος είναι μηδέν για ένα χρονικό διάστημα t < t 0, όπου t 0 σταθερός αριθμός ( δηλαδή χ(t) = 0 για χρόνο t < t 0 ) έχουμε ως αποτέλεσμα και η έξοδος να είναι μηδέν για το ίδιο χρονικά διάστημα. (δηλαδή y(t) = 0 για χρόνο t < t 0 ). 16

Εφαρμογή σε MATLAB#1 (1) 17

Ιδιότητες συστημάτων (2) Στατικά (χωρίς μνήμη) και Δυναμικά (με μνήμη) Συστήματα Ένα σύστημα καλείται στυτικό ή σύστημα χωρίς μνήμη, εάν για κάθε σήμα εισόδου η αντίστοιχη έξοδος, για κάθε χρονική στιγμή, εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου την ίδια χρονική στιγμή. Εάν ένα σύστημα δεν είναι στατικό, καλείται δυναμικό ή σύστημα με μνήμη. 19

Εφαρμογή σε MATLAB #1 (1) 20

Εφαρμογή σε MATLAB #2 23

Ιδιότητες συστημάτων (3) Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα 24

Ιδιότητες συστημάτων (4) Χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Ένα σύστημα λέγεται χρονικά αμετάβλητο (time invariant), όταν χρονικές ολισθήσεις του σήματος εισόδου μεταφράζονται σε αντίστοιχες χρονικές ολισθήσεις στην έξοδο. Σε ένα τέτοιο σύστημα αν ένα σήμα εισόδου x(t) παράγει ένα σήμα εξόδου y(t), τότε το σήμα εισόδου x(t t 0 ) παράγει ένα σήμα εξόδου y(t t 0 ). 30

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ MATLAB #1 (1) 31

Ιδιότητες συστημάτων (5) Αντιστρέψιμα και μη αντιστρέψιμα συστήματα Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο, όταν η γνώση της εξόδου καθιστά εφικτό τον υπολογισμό τον σήματος εισόδου. Πιο απλά ορίζουμε ένα σύστημα ως αντιστρέψιμο εάν η σχέση της εισόδου με την έξοδο είναι ένα προς ένα, δηλαδή διαφορετικές τιμές εισόδου δίνουν διαφορετικές τιμές εξόδου. 42

Εφαρμογή σε MATLAB#1 (2) Κατασκευή αντίστροφου συστήματος 44

Ιδιότητες συστημάτων (6) Ευσταθή και μη ευσταθή συστήματα Ένα σύστημα λέγεται ότι είναι ΦΕΦΕ ευσταθές (ευστάθεια Φραγμένης Εισόδου Φραγμένης Εξόδου ή Bounded lnput Bounded Output (ΒΙΒΟ)) όταν για κάθε φραγμένη είσοδο η έξοδός τον παραμένει φραγμένη. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ως εξής: Εάν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Μ <, για τον οποίο ισχύει x (t) Μ τότε για να είναι το σύστημα μας ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει να υπάρχει θετικός αριθμός Ν <, για τον οποίο ισχύει y(t) Ν. Ένα μη ευσταθές σύστημα ονομάζεται ασταθές. 47

Συστήματα διακριτού χρόνου Τα συστήματα διακριτού χρόνου πέραν του τρόπου ορισμού της ανεξάρτητης μεταβλητής δεν διαφοροποιούνται ουσιαστικά από τα συστήματα συνεχούς χρόνου. Ένα σύστημα διακριτού χρόνου είναι στην ουσία ένας μετασχηματισμός Τ[.] που μετασχηματίζει ένα σήμα εισόδου x(n) διακριτού χρόνου σε ένα σήμα εξόδου διακριτού πάλι χρόνου y(n),δηλαδή ισχύει y(n) = Τ[x(n)]. 52

Ιδιότητες συστημάτων διακριτού χρόνου (1) Οι ιδιότητες των συστημάτων διακριτού χρόνου είναι επί της ουσίας οι ίδιες με αυτές των συστημάτων συνεχούς χρόνου. Έτσι αναφέρουμε συνοπτικά μόνο τους θεωρητικούς ορισμούς χωρίς να παρουσιάζουμε παραδείγματα στο MATLAB. Τα συστήματα διακριτού χρόνου μπορούν να ταξινομηθούν σε σχέση με τις ιδιότητες που εμφανίζουν, οι σημαντικότερες εκ των οποίων είναι η γραμμικότητα, η αμεταβλητότητα στη μετατόπιση (χρονικά αμετάβλητα συστήματα), η αιτιότητα, η ευστάθεια και η αντιστρεψιμότητα. 53

Ιδιότητες συστημάτων διακριτού χρόνου (2) Σύστημα χωρίς μνήμη: Ονομάζεται όταν η έξοδος του κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται μόνο από την είσοδο την ίδια στιγμή. Υπέρθεση (Επαλληλία): Η αρχή της υπέρθεσης ορίζει ότι σε ένα σύστημα για οποιαδήποτε σήματα x 1 (η) και x 2 (η) θα πρέπει να ισχύει: Τ[x 1 (η) + x 2 (η)] = Τ[x 1 (η)] + Τ[x 2 (η)]. Ομογένεια: Ένα σύστημα καλείται ομογενές όταν ο πολλαπλασιασμός της εισόδου με μία σταθερά οδηγεί στον πολλαπλασιασμό της εξόδου με την ίδια ακριβώς ποσότητα. Δηλαδή για οποιαδήποτε μιγαδική σταθερά c και για οποιοδήποτε σήμα εισόδου x(η) ισχύει Τ[cx(η)] = ct[x(η)]. 54

Ιδιότητες συστημάτων διακριτού χρόνου (3) Γραμμικότητα: 'Ενα σύστημα που σε κατάσταση ηρεμίας είναι γραμμικό εάν είναι ομογενές και ισχύει ο κανόνας της επαλληλίας :Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει Τ[αx 1 (η) + b x 2 (η)] = αt[x 1 (η)] + bt[x 2 (η)] Χρονική αμεταβλητότητα: 'Ενα σύστημα διακριτού χρόνου λέγεται χρονικά αναλλοίωτο όταν μία χρονική μετάθεση του σήματος εισόδου έχει ως αποτέλεσμα μόνο την ίδια χρονική μετάθεση του σήματος εξόδου: Δηλαδή y(η) = Τ[x(η)] =» y( n n 0 ) = Τ[x(n n 0 )] Ευστάθεια: 'Ενα σύστημα ονομάζεται ευσταθές αν κάθε πεπερασμένη είσοδο ς δίνει πεπερασμένη έξοδο. Αιτιότητα : 'Ενα σύστημα είναι αιτιατό αν η έξοδος για n = n 0 = ηο, εξαρτάται από τις τιμές της εισόδου μόνο για n n 0 55

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΔΗΓΙΕΣ: Για τις ασκήσεις που ακολουθούν σας ζητείται να συμπληρώσετε τον κώδικα και γράψετε τα σχόλια σας σε ορισμένες εντολές. Σχολιάζετε τα αποτελέσματα σας

Άσκηση 1 58

Άσκηση 1: ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΤΟ MATLAB 1. Γραμμικότητα (1) 59

Άσκηση 1 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΤΟ MATLAB 2. Δυναμικό ή στατικό (1) 62

Άσκηση 1 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΤΟ MATLAB 2. Δυναμικό ή στατικό (2) 63

Άσκηση 1 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΤΟ MATLAB 3. Αιτιατό ή μη αιτιατό 64

Άσκηση 1 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΤΟ MATLAB 4. Χρονικά αμετάβλητο ή χρονικά μεταβαλλόμενο (1) 65

Άσκηση 1 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΤΟ MATLAB 5. Ευσταθές ή Ασταθές (1) 68

Άσκηση 2 (1) Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το σύστημα με σχέση εισόδου-εξόδου: y(t) = e x(t) 71

Άσκηση 2 (2) 72

Άσκηση 3 (1) Να εξεταστεί εάν το σύστημα πού διέπεται από τη σχέση εισόδου- εξόδου y(t) = x(t/ 4) είναι αιτιατό. 74

Τέλος Ενότητας