ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΙΘΑΝΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ, ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι ροές ιας τυχαίας εταβητής ορούν να υοογιτούν ε τη βοήθεια κατάηων υναρτήεων Σε αυτό το κεφάαιο θα εετήουε τις ιθανογεννήτριες τις ροογεννήτριες και τις χαρακτηριτικές υναρτήεις Ειέον θα δούε τον τρόο ε τον οοίο αυτές οι υναρτήεις χρηιοοιούνται για τον υοογιό των ροών ιας τυχαίας εταβητής Στο εόενο κεφάαιο θα εετήουε ία ακόη εφαρογή αυτών των υναρτήεων την εύρεη της κατανοής του αθροίατος δύο ή εριότερων ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών Πιθανογεννήτριες Έτω ία διακριτή τυχαία εταβητή η οοία αίρνει η-αρνητικές ακέραιες τιές ίνουε τον ακόουθο οριό Οριός Πιθανογεννήτρια Η ιθανογεννήτρια obbl gg uco η ή ιας P τυχαίας εταβητής ορίζεται ως εξής: η P E P όου είναι η υνάρτηη ιθανότητας της Για ιχύει ότι Εοένως η ιθανογεννήτρια υγκίνει άντοτε και άιτα αόυτα το διάτηα οεδήοτε φορές αραγωγίζοντας τη δυναοειρά όρο ρος όρο Έχουε η και η Θέτοντας τις δύο τεευταίες χέεις ροκύτει [ ] Μορούε να αραγωγίουε την ιθανογεννήτρια η E και η E[ ] Εοένως η έη τιή και η διαορά της ροδιορίζονται αό την ιθανογεννήτρια η έω των τύων E η και E E E[ ] E E η η η Η οότητα E[ ] καείται αραγοντική ροή δευτέρας τάξεως της 45 Ανάογοι τύοι ου χρηιοοιούν

αραγώγους ανώτερης τάξεως της η για δίνουν τις αραγοντικές ροές ανώτερης τάξεως της Μορούε να υοογίουε την αραγοντική ροή τάξεως της αό την ιθανογεννήτρια της η d d d Ιχύει ότι: η E E E[ ] d d d L Στη δεύτερη ιότητα υοθέτουε ότι η ενααγή των d d και E είναι ειτρετή Εοένως ιχύει ότι: η P L K Για η χέη γράφεται ως εξής: τεευταίας ιότητας καείται αραγοντική ροή d d η E[ L ] Το δεξιό έος της τάξεως της τυχαίας εταβητής Η εόενη ρόταη είναι ού ηαντική και αρατίθεται χωρίς αόδειξη Πρόταη Η ιθανογεννήτρια ιας διακριτής τυχαίας εταβητής ροδιορίζει ονοήαντα την κατανοή της δηαδή αν είναι δύο διακριτές τυχαίες εταβητές ε ιθανογεννήτριες η και η αντίτοιχα και ιχύει ότι η η για τότε οι τυχαίες εταβητές και έχουν την ίδια κατανοή Όως θα δούε το εόενο κεφάαιο η αραάνω ρόταη είναι ού χρήιη για την εύρεη της κατανοής του αθροίατος εεραένου ήθους ανεξάρτητων διακριτών τυχαίων εταβητών Παράδειγα Μία διακριτή τυχαία εταβητή έχει c 4 α Να βρεθεί η τιή της ταθεράς c β Να υοογιτεί η ιθανογεννήτρια P της γ Να βρεθεί η έη τιή και η αραγοντική ροή δευτέρας τάξεως E [ ] της δ Να βρεθεί η διακύανη της Λύη α Αό τη υνθήκη 4 έεται ότι c 4 5 β ιαδοχικά έχουε P E γ Παραγωγίζοντας τη υνάρτηη P δύο φορές έχουε 5 4

P 5 4 5 4 4 4 και P Εοένως E P E [ ] P δ Έχουε E E E[ ] E E 9 Ροογεννήτριες Η ροογεννήτρια είναι ία ακόη υνάρτηη ου χρηιεύει για τον υοογιό όων των ροών k K ιας τυχαίας εταβητής k k τάξεως Οριός Ροογεννήτρια Η ροογεννήτρια mom gg uco ιας τυχαίας εταβητής είναι η ραγατική υνάρτηη ε τύο E για κάθε ου ανήκει ε ένα διάτηα της ορφής ιθανότητας δ δ δ > Αν η τυχαία εταβητή είναι διακριτή ε φορέα και υνάρτηη η ροογεννήτρια της θα δίνεται αό τον τύο < δ ενώ αν η S S τυχαία εταβητή είναι υνεχής ε υνάρτηη υκνότητας η ροογεννήτρια της θα δίνεται αό τον τύο d < δ Σηειώνουε ότι η οότητα d είναι ο εταχηατιός Llc της υνάρτηης Όως φαίνεται αό τον Οριό η ροογεννήτρια δεν υάρχει για κάθε εκείνες τις τιές του R για τις οοίες υάρχει ύγκιη R αά εριοριζόατε ε d d Έχουε E E E όου έχουε υοθέει ότι ορούε να εναάξουε τη d d θέη των d και E Αυτή η ενααγή των θέεων είναι εν γένει ειτρετή Έχουε ότι d E Παραγωγίζοντας δύο φορές την έχουε d d d E E E E d d d Άρα E Στη γενική ερίτωη η k οτή αράγωγος της ροογεννήτριας της δίνεται αό τον k k k τύο E αό τον οοίο υνεάγεται ότι E k Συνεώς η ροή k τάξεως k της είναι ίη ε την τιή της k οτής αραγώγου της το ηείο Για ία διακριτή k 47

τυχαία εταβητή η οοία αίρνει ακέραιες τιές ιχύει ότι η Ειέον ιχύει ότι η log > Οι δύο τεευταίες ιότητες είναι φανερές υνέειες των οριών της ιθανογεννήτριας και της ροογεννήτριας Η εόενη ρόταη είναι ού ηαντική και αρατίθεται χωρίς αόδειξη Πρόταη Η ροογεννήτρια ιας τυχαίας εταβητής χαρακτηρίζει ονοήαντα την κατανοή της δηαδή αν είναι δύο τυχαίες εταβητές ε ροογεννήτριες αντίτοιχα και αν για κάοιο δ > ιχύει ότι κατανοή για κάθε δ δ τότε οι τυχαίες εταβητές και έχουν την ίδια Παράδειγα Η ροογεννήτρια της διακριτής τυχαίας εταβητής δίνεται αό τον τύο: Να υοογιτεί η έη τιή και η διακύανη της τυχαίας εταβητής Λύη Είναι και Εοένως E [ ] E[ ] E[ ] E[ ] Παράδειγα Έτω ία τυχαία εταβητή ε υνάρτηη ιθανότητας c K όου c είναι ία ραγατική ταθερά α Να βρεθεί η ροογεννήτρια της β Να βρεθεί η τιή της ταθεράς c γ Να υοογιτεί η έη τιή και η διακύανη της c Λύη α E c c < c c β Εειδή έχουε c Εοένως < l c γ Παραγωγίζοντας δύο φορές τη ροογεννήτρια βρίκουε Εοένως E [ ] E [ ] E[ ] E[ ] Χαρακτηριτικές υναρτήεις 48

Οι χαρακτηριτικές υναρτήεις είναι ίγο ιο ούοκες αό τις ροογεννήτριες και τις ιθανογεννήτριες διότι τον οριό τους εέκονται ιγαδικοί αριθοί Έχουν όως δύο ηαντικά εονεκτήατα ε ύγκριη ε τις ροογεννήτριες Το ρώτο είναι το γεγονός ότι ε αντίθεη ε τις ροογεννήτριες οι οοίες ααιτούν την ύαρξη της έης τιής E για τιές του ε κάοιο διάτηα της ορφής δ δ δ > οι χαρακτηριτικές υναρτήεις υάρχουν άντοτε δηαδή για όες τις κατανοές και για όες τις τιές του R Για αράδειγα αν η τυχαία εταβητή έχει υνάρτηη υκνότητας τότε d δεν υάρχει για και η τεευταία οότητα αειρίζεται για όα τα > Συνεώς η ροογεννήτρια της > Το δεύτερο είναι το γεγονός ότι η υνάρτηη κατανοής αά και η υνάρτηη ιθανότητας ή υκνότητας ιας τυχαίας εταβητής ροκύτουν αό την χαρακτηριτική της υνάρτηη έω τύων αντιτροφής ίνουε τον ακόουθο οριό Οριός Χαρακτηριτική υνάρτηη Έτω ία τυχαία εταβητή Η χαρακτηριτική υνάρτηη chcsc uco φ της είναι ία υνάρτηη οριένη το R ε τύο φ E Αν η είναι διακριτή τυχαία εταβητή ε υνάρτηη ιθανότητας K η χαρακτηριτική της υνάρτηη θα δίνεται αό τον τύο φ Αν η είναι υνεχής τυχαία εταβητή ε υνάρτηη υκνότητας η χαρακτηριτική της υνάρτηη θα δίνεται αό τον τύο φ d Η υνάρτηη φ όως ορίτηκε την τεευταία ιότητα είναι γνωτή ε την ονοαία εταχηατιός Fou της υνάρτηης Σ αυτό το ηείο θα ανακεφααιώουε κάοια βαικά τοιχεία της θεωρίας των ιγαδικών αριθών Κάθε ιγαδικός αριθός z ορεί να γραφεί τη ορφή z όου και είναι ραγατικοί αριθοί και είναι τέτοιο ώτε Το έτρο ενός ιγαδικού αριθού z είναι z Θέτουε z όου είναι ένας ραγατικός αριθός Ιχύει ότι! 4 5!! 4! 5! 4 5 L L L! 4!! 5! Οι δύο δυναοειρές τις δύο αρενθέεις της τεευταίας αράταης είναι τα ανατύγατα των cos και s αντίτοιχα Εοένως cos s και cos s 49

Έτω ία τυχαία εταβητή και ία ραγατική ταθερά Τότε Εοένως η υνάρτηη έχει εεραένη έη τιή και η χαρακτηριτική υνάρτηη της φ E R είναι καά οριένη Ιχύει ότι φ E E Για κάθε R έχουε φ E E E Η τεευταία ανιότητα είναι υνέεια της Πρόταης 8 Συνεώς οι χαρακτηριτικές υναρτήεις είναι εεραένες για κάθε ενώ οι ροογεννήτριες δεν είναι εν γένει εεραένες για κάθε διότι η υνάρτηη είναι φραγένη για κάθε ενώ η υνάρτηη δεν είναι φραγένη για κάθε Υοθέτουε ότι η τυχαία εταβητή έχει εεραένη ροή φ της χαρακτηριτικής υνάρτηης υάρχει και υοογίζεται ως εξής: d d φ E E E d d R τάξεως Τότε η οτή αράγωγος Αν τις αραάνω ιότητες θέουε έχουε φ E E E φ Η τεευταία χέη ας δίνει τη δυνατότητα υοογιού των ροών είναι γνωτή η χαρακτηριτική της υνάρτηη τάξεως για ία τυχαία εταβητή αν Έτω δ ένας θετικός ραγατικός αριθός και έτω ία τυχαία εταβητή της οοίας η ροογεννήτρια είναι εεραένη ε κάοιο διάτηα της ορφής δ δ Τότε φ E δ δ Η τεευταία ιότητα δίνει ία χέη ανάεα τη χαρακτηριτική υνάρτηη και τη ροογεννήτρια ιας τυχαίας εταβητής το διάτηα ύγκιης της ροογεννήτριας Έτω ία διακριτή τυχαία εταβητή η οοία αίρνει ακέραιες τιές Μία αό τις ιο χρήιες ιδιότητες της χαρακτηριτικής υνάρτηης είναι ότι ε τη βοήθειά της ορούε να υοογίουε τη υνάρτηη ιθανότητας της Ιχύει ο τύος αντιτροφής φ d Ο τύος διαορφώνεται ανάογα την ερίτωη των υνεχών τυχαίων εταβητών Έτω ία τυχαία εταβητή της οοίας η χαρακτηριτική υνάρτηη φ είναι οοκηρώιη δηαδή είναι τέτοια ώτε το οοκήρωα είναι εεραένο Σε αυτή την ερίτωη αοδεικνύεται ότι η φ d να είναι ία υνεχής τυχαία εταβητή ε υνάρτηη υκνότητας ου δίνεται αό τον τύο αντιτροφής φ d Μία άεη υνέεια των αραάνω τύων αντιτροφής είναι η εόενη ρόταη ου ονοάζεται Θεώρηα Μοναδικότητας και αρατίθεται χωρίς αόδειξη 5

Πρόταη Θεώρηα Μοναδικότητας Η χαρακτηριτική υνάρτηη φ ιας τυχαίας εταβητής χαρακτηρίζει ονοήαντα την κατανοή της Παράδειγα 4 Έτω ία υνεχής τυχαία εταβητή ε χαρακτηριτική υνάρτηη φ R Χρηιοοιώντας τον τύο αντιτροφής της χαρακτηριτικής υνάρτηης να δειχτεί ότι η υνάρτηη υκνότητας της δίνεται αό τον τύο R Λύη Είναι [ ] [ ] < lm lm d d d d φ Αό τον τύο της αντιτροφής έχουε d d d lm lm Όως θα δούε το εόενο κεφάαιο οι Προτάεις και χρηιοοιούνται για τον ροδιοριό της κατανοής του αθροίατος εεραένου ήθους ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών 4 Παραδείγατα υοογιών Παράδειγα 5 ιωνυική κατανοή Έτω όου θετικός ακέραιος και ~ B ] [ Τότε και η φ Έχουε Η τεευταία ιότητα είναι υνέεια του διωνυικού ανατύγατος R φ b b b Είναι και η E Στη υνέχεια θα υοογίουε ε δύο τρόους τη έη τιή και τη διαορά της τυχαίας εταβητής 5

ος τρόος Είναι φ Για φ και εοένως E Έχουε η και η Για η η Ιχύει ότι V η η η και εοένως έχουε V ος τρόος Είναι και υνεώς E Είης και εοένως E Άρα E E Παράδειγα Κατανοή Posso Έτω ~ Posso > Τότε η και φ Είναι φ!! η!! E P!! Στη υνέχεια θα υοογίουε ε δύο τρόους τη έη τιή και τη διαορά της τυχαίας εταβητής ος τρόος Είναι φ Για φ και εοένως E Έχουε η και η Για η και η Ιχύει ότι V η η η και υνεώς V ος τρόος Είναι και υνεώς E Είης και εοένως E Άρα V E E Παράδειγα 7 Έτω ότι η ροογεννήτρια ιας τυχαίας εταβητής είναι R Ποια είναι η τιή της ιθανότητας P ; Λύη Παρατηρούε ότι η είναι η ροογεννήτρια της Posso Αό την Πρόταη έεται ότι ~ Posso Συνεώς P 5

Παράδειγα 8 Έτω Θα υοογίουε τη υνάρτηη ιθανότητας της ~ B ε τον τύο της αντιτροφής Στο Παράδειγα 5 αοδείξαε ότι ιαδοχικά έχουε φ φ d d d d d d s Η έκτη ιότητα ροκύτει αό τη χέη s και η τεευταία ιότητα είναι υνέεια του γεγονότος ότι s m για όους τους ακέραιους αριθούς m Παράδειγα 9 Εκθετική κατανοή Έτω ~ Εκθετική > Τότε φ και < Είναι ] [ d d φ διότι και η υνάρτηη είναι φραγένη ως ρος Εοένως lm lm lm Είναι d d E για < Παρατηρούε ότι η ροογεννήτρια της Εκθετικής κατανοής ορίζεται όνο για εκείνες τις τιές του ου είναι ικρότερες του Στη υνέχεια θα υοογίουε τη έη τιή και τη διαορά της τυχαίας εταβητής ε χρήη ροογεννητριών Είναι και Για E και E Άρα E E V 5

Παράδειγα Τυική κανονική κατανοή Έτω ~ N Είναι dz z z dz E z z d dz dz z z Στην ροτεευταία ιότητα θέαε z Ειέον φ Παράδειγα Κανονική κατανοή Έτω ~ N Αό την Πρόταη έχουε ~ N Χρηιοοιούε τα αοτεέατα του ροηγούενου αραδείγατος και έχουε E E E Ειέον έχουε E E E φ φ Στη υνέχεια θα υοογίουε τη έη τιή και τη διαορά της ε τη χρήη ροογεννητριών Είναι και Για E E Εοένως E E V Παράδειγα Έτω Θα υοογίουε τη υνάρτηη υκνότητας της ~ N ε τον τύο της αντιτροφής Στο Παράδειγα αοδείξαε ότι φ Ιχύει ότι φ και < d ο υοογιός του τεευταίου οοκηρώατος βρίκεται το βιβίο του Μ Κούτρα Ειαγωγή τις Πιθανότητες Μέρος Ι ε 97 ιαδοχικά έχουε 54

z z z z z u z z φ d d d du z υκνότητας ιας τυχαίας εταβητής Στην τέταρτη ιότητα θέαε u z Η z είναι ράγατι η υνάρτηη ~ N Παράδειγα Έτω ~ Γάα Να βρεθεί η ροογεννήτρια και η χαρακτηριτική υνάρτηη της u u du u Είναι d d u du Γ Γ Γ Γ < Στην τρίτη ιότητα θέαε u Ειέον φ Στη υνέχεια θα υοογίουε τη έη τιή και τη διαορά της ε τη χρήη των ροογεννητριών Είναι και < Για E και E Άρα V E E 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε αυτό το κεφάαιο θα ανατύξουε τη θεωρία των διανυατικών τυχαίων εταβητών Θα εετήουε την έννοια της ανεξαρτηίας και θα αχοηθούε ε την εύρεη της κατανοής του αθροίατος δύο ή εριότερων ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών Ειέον θα αναφερθούε τις έννοιες της υνδιακύανης και του υντεετή υχέτιης 4 ιακριτές και υνεχείς διανυατικές τυχαίες εταβητές Έτω οι τυχαίες εταβητές K ου ορίζονται τον ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο Ω I P Για κάθε K οι τυχαίες εταβητές είναι τέτοιες ώτε : Ω R Ποές φορές ας ενδιαφέρει να εετήουε τις τυχαίες εταβητές K ε υνδυαό για να διερευνήουε τυχόν υχετίεις τους ~ Με άα όγια ας ενδιαφέρει το διάνυα των τυχαίων εταβητών K Για αράδειγα έτω ότι η τυχαία εταβητή ανααριτά το βάρος η τυχαία εταβητή ανααριτά το ύψος η τυχαία εταβητή ανααριτά την ηικία και η τυχαία εταβητή ανααριτά την ίεη ενός αθενούς Μας 4 ενδιαφέρει να διερευνήουε τις τυχόν υχετίεις αυτών των εταβητών Μεετούε οιόν το διάνυα ~ ίνουε τον ακόουθο οριό 4 ~ Οριός 4 Ένα διάνυα K ου αοτεείται αό τυχαίες εταβητές οριένες τον ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο Ω I P καείται διάτατη τυχαία εταβητή ή διανυατική τυχαία εταβητή δτ dmsol dom vbl o dom vco Για το διάνυα ~ ιχύει ότι ~ ~ : ω Ω ω ω K R ω Κατά τη ρίψη δύο ζαριών ας ενδιαφέρει υνήθως τόο η ένδειξη του ρώτου όο και του δεύτερου ζαριού Σε ία κινική εέτη ας ενδιαφέρει ο τρόος ε τον οοίον η ηικία ενός αθενούς εηρεάζει το χρόνο αντίδραής του ε ένα υγκεκριένο φάρακο Σε αυτές τις εριτώεις εφανίζονται δύο τυχαίες εταβητές Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αρουιάζει ο ροδιοριός της υεριφοράς της ιας τυχαίας εταβητής ε χέη ε τη υεριφορά της άης Στη υνέχεια του αρόντος κεφααίου θα ανατύξουε τη θεωρία των ~ διανυατικών τυχαίων εταβητών την ερίτωη κατά την οοία δηαδή όταν 5

Οριός 4 Η υνάρτηη κατανοής F : R [] της διανυατικής διδιάτατης τυχαίας εταβητής ορίζεται ως εξής: F P[ ] < < και καείται αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοής jo dsbuo uco της διδιάτατης διανυατικής τυχαίας εταβητής Η υνάρτηη κατανοής διδιάτατης δτ F F της τυχαίας εταβητής ορεί να ηφθεί αό τη υνάρτηη F της ως εξής: P[ ] P[ < ] P[lm{ }] lm P[ ] lm F Στην τέταρτη ιότητα η ενααγή της θέης του ορίου και της ιθανότητας είναι ειτρετή Εντεώς ανάογα ροκύτει ότι F lm F Οι υναρτήεις F και F καούνται εριθώριες υναρτήεις κατανοής mgl dsbuo ucos των τυχαίων εταβητών και Παράδειγα 4 Θα υοογίουε την ιθανότητα P [ > > ] υναρτήει των εριθωρίων υναρτήεων κατανοών των τυχαίων εταβητών και της αό κοινού αθροιτικής υνάρτηης κατανοής της διδιάτατης δτ ιαδοχικά έχουε c c c P[ > > ] P[{ > > } ] P[{ > } { > } ] P[{ } { }] [ P{ } P{ } P{ }] F F F Η δεύτερη ιότητα είναι υνέεια του Νόου D og για την τοή δύο ενδεχοένων και η τέταρτη ιότητα είναι υνέεια του ροθετικού νόου Αν οι τυχαίες εταβητές και είναι διακριτές τότε ορίζουε την αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας jo obbl uco της διδιάτατης δτ όου S και ως εξής: P[ ] Ααραίτητη υνθήκη για να είναι η ία αό κοινού για τη δτ Η υνάρτηη ιθανότητας είναι η εξής: S S S της τυχαίας εταβητής ορεί να εκφρατεί υναρτήει της ως εξής: P[ ] P[ ] S S S 57

Οοίως η υνάρτηη ιθανότητας της τυχαίας εταβητής ορεί να εκφρατεί υναρτήει της ως εξής: P[ ] P[ ] S S S Παράδειγα 4 Έτω η διακριτή δτ ε ύνοο δυνατών τιών φορέα S { } { } και P[ ] S α είξτε ότι η είναι ράγατι ία αό κοινού β 45 Βρείτε τις των τυχαίων εταβητών Λύη α Είναι ράγατι ία αό κοινού και S Ειέον Εοένως η είναι 45 β Είναι P[ ] 7 5 5 8 5 P[ ] 5 5 5 5 7 5 Μορούε να υνοψίουε τις αραάνω ιθανότητες τον ακόουθο ίνακα: 4 45 7 45 45 7 5 5 45 8 45 45 8 5 5 5 5 7 5 Παρατηρούε ότι η υνάρτηη ιθανότητας της τυχαίας εταβητής ορεί να ηφθεί αν υοογίουε τα αθροίατα ανά γραή του ίνακα ενώ η υνάρτηη ιθανότηατς της τυχαίας εταβητής ορεί να ηφθεί αν υοογίουε τα αθροίατα ανά τήη του ίνακα Εειδή οι και 58

των τυχαίων εταβητών και εριθώριες υναρτήεις ιθανότητας mgl obbl ucos εφανίζονται τα εριθώρια του αραάνω ίνακα καούνται Παράδειγα 4 Υοθέτουε ότι 5% των οικογενειών ιας κοινωνίας δεν έχει κανένα αιδί % των οικογενειών έχει ένα αιδί 5% των οικογενειών έχει δύο αιδιά και % των οικογενειών έχει τρία αιδιά Υοθέτουε ειέον ότι ε κάθε οικογένεια κάθε αιδί έχει την ίδια ιθανότητα να γεννηθεί αγόρι ή κορίτι Έτω ότι η τυχαία εταβητή B ανααριτά τον αριθό των αγοριών και η τυχαία εταβητή G ανααριτά τον αριθό των κοριτιών ου έχει ία οικογένεια η οοία ειέγεται τυχαία Να βρεθεί η αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας της διδιάτατης δτ B G Λύη Ας υοογίουε την ιθανότητα P { B G } Οι υόοιες ιθανότητες υοογίζονται ε αρόοιο τρόο Είναι P { B G } P{ η οικογένεια έχει δύο κορίτια και υνοικά δύο αιδιά} P{ η οικογένεια έχει δύο αιδιά} P{ η οικογένεια έχει δύο κορίτια η οικογένεια έχει δύο αιδιά} 5 875 Ο ακόουθος ίνακας εριέχει τις ιθανότητες P { B G j} j j B 5 875 75 75 75 5 875 875 5 75 75 G j 75 875 75 Παράδειγα 44 Ένα ζάρι ρίτεται δύο φορές και υβοίζουε ε και τις τυχαίες εταβητές ου δηώνουν το αοτέεα της ρώτης και της δεύτερης ρίψης αντίτοιχα α Να βρεθεί το ύνοο τιών και η αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας της διδιάτατης δτ β Να βρεθεί το ύνοο τιών και η αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας της διδιάτατης δτ m και m γ Να υοογιτούν οι εριθώριες υναρτήεις ιθανότητας των τυχαίων εταβητών όου Λύη α Το ύνοο τιών της είναι S { : } K 59

Ειέον P αν S και P διαφορετικά β Το ύνοο τιών της διαορφώνεται ως εξής S { : K } ενώ για την αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας της διδιάτατης διανυατικής τυχαίας εταβητής έχουε αν u όου u K τότε αν < όου K τότε P P u u P u u P u u P P[ { }] Εοένως P αν αν < και διαφορετικά γ Για την εριθώρια υνάρτηη ιθανότητας έχουε K όου K : S Για την εριθώρια υνάρτηη ιθανότητας έχουε K : S όου K 8 Παράδειγα 45 Έτω η διδιάτατη διακριτή δτ ε υνάρτηη ιθανότητας 5 K και K α Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις ιθανότητας των τυχαίων εταβητών και β Να υοογιτεί η ιθανότητα P Λύη α Είναι 8 5 8 5 5 8 5 5 K 8 5 8 5 β Έτω τα ενδεχόενα 4 5 A { < } και B { < } K Είναι P P A B P A P B P A B

P P P F F F όου F F είναι οι εριθώριες αθροιτικές υναρτήεις κατανοών των τυχαίων εταβητών και F είναι η αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοής της διδιάτατης δτ F P P F P P 4 8 Άρα P 5 5 5 F P P 8 5 4 5 Έτω δύο υνεχείς τυχαίες εταβητές οι οοίες είναι οριένες τον ίδιο δειγατικό χώρο Τότε η διδιάτατη διανυατική τυχαία εταβητή είναι υνεχής αν υάρχει ία η-αρνητική υνάρτηη δύο εταβητών : R R [ R τέτοια ώτε για κάθε εριοχή C R R η οοία ορεί να γραφεί έω ορθογωνίων ε χρήη εεραένου ή αείρως αριθήιου ήθους ράξεων τοή ένωη υήρωα ιχύει ότι P [ C] dd Η υνάρτηη καείται αό κοινού C υνάρτηη υκνότητας jo obbl ds uco της διδιάτατης δτ Αν A και B είναι υούνοα του υνόου των ραγατικών αριθών τότε αν ορίουε C { : A B} A B έχουε P [ C] P[ A B] dd BA Αν A ] και B b] έχουε P{ ] b]} P[ b] F b b dd Η υνάρτηη F καείται αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοής της διδιάτατης δτ Αν αραγωγίουε ως ρος και b έχουε F b b Η τεευταία χέη υνδέει την αό κοινού b και την αό κοινού υνάρτηη κατανοής της διδιάτατης δτ η ία αό κοινού για τη διδιάτατη δτ είναι Αν η διδιάτατη δτ Ααραίτητη υνθήκη για να είναι dd είναι υνεχής τότε οι τυχαίες εταβητές και είναι υνεχείς εναακτικά καούνται αό κοινού υνεχείς jo couous και οι υναρτήεις υκνότητας τους αντίτοιχα ορούν να ηφθούν ως εξής: και

A P{ A} P{ A } dd d όου d είναι η της τυχαίας εταβητής Οοίως η της τυχαίας εταβητής δίνεται αό τη χέη A Για τις εριθώριες υναρτήεις κατανοών F F ιχύουν οι εκφράεις: F lm F και F lm F Αό τις δύο τεευταίες χέεις ορούε να υοογίουε αευθείας τις εριθώριες υναρτήεις κατανοών των τυχαίων εταβητών διδιάτατης δτ d και Ιχύει ότι: F P P < < s d ds Όοια F P P < < d d αό την αό κοινού υνάρτηη κατανοής της d s ds Παράδειγα 4 Η αό κοινού της δτ Να υοογιτούν οι ιθανότητες α δίνεται αό τον τύο P [ > < ] β P [ < ] και γ P [ < ] Λύη α Είναι P > < ] dd [ ] d [ d β P [ < ] dd dd d d { : < } γ P[ < ] dd d d Παράδειγα 47 Η αό κοινού της δτ Βρείτε την της τυχαίας εταβητής δίνεται αό τον τύο Λύη Αρχικά θα υοογίουε τη υνάρτηη κατανοής της τυχαίας εταβητής Για > έχουε διαδοχικά

F P [ ] dd dd d Αν αραγωγίουε ως ρος αβάνουε τη της τυχαίας εταβητής η οοία δίνεται αό τον τύο: F > Παράδειγα 48 Η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας ιας διδιάτατης διανυατικής τυχαίας εταβητής δίνεται αό τον τύο < < < < και αού 5 α Να υοογιτεί η ιθανότητα P < < < < β Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις υκνότητας γ Να βρεθεί η αό κοινού υνάρτηη κατανοής F δ Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις κατανοών F P < < < < dd d 5 5 Λύη α β d 5 d < < 5 d d < < 5 5 F 8 γ δ s F P dsd 5 5 F s s s ds ds < < 5 5 < < < < s F s ds ds < < 5 5 Παράδειγα 49 Η αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοής των χρόνων ζωής δύο ατήρων 4 A B ε χιιάδες ώρες δίνεται αό τον τύο: F > και F αού α Να υοογιτούν οι εριθώριες υναρτήεις κατανοών των τυχαίων εταβητών και

β Ποια είναι η ιθανότητα και οι δύο ατήρες να ζήουν εριότερο αό 5 ώρες τουάχιτον ένας αό τους δύο ατήρες να ζήει εριότερο αό 5 ώρες; γ Να βρεθούν οι εριθώριες υναρτήεις υκνότητας των τυχαίων εταβητών και Ποια είναι η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας της διδιάτατης διανυατικής τυχαίας εταβητής ; Λύη α lm lm 4 4 > F F lm lm 4 > F F β Έτω τα ενδεχόενα ο ατήρας : A A ζει ιγότερο αό 5 ώρες δηαδή < και ο ατήρας B : B ζει ιγότερο αό 5 ώρες δηαδή < Ζητάε την ιθανότητα B A P B P A P B A P B A P B A P c c c Είναι % 4 < F P A P < F P B P < < F P B A P Ζητάε την ιθανότητα B A P B A P B A P c c c γ 8 4 4 > F > F 4 4 F 4 Ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές Θεωρούε ένα είραα το οοίο ρίχνουε ένα νόια και ένα ζάρι ιαιθητικά ιτεύουε ότι όοιο κι αν είναι το αοτέεα της ρίψης ενός νοίατος δεν θα ρέει να έχει καία είδραη το αοτέεα της ρίψης του ζαριού και αντίτροφα Έτω η τυχαία εταβητή ου ιούται ε ή ανάογα ε το αν το νόια δείχνει κεφαή ή γράατα και έτω η τυχαία εταβητή ου αίρνει τις τιές ή ανάογα ε το αν η άνω έδρα του ζαριού φέρει τον αριθό ή αντίτοιχα Το αοτέεα του διού ειράατος εριγράφεται αό τη διδιάτατη διακριτή δτ Το διαιθητικό ας υέραα ότι τα αοτεέατα των ρίψεων του νοίατος και του ζαριού δεν έχουν καία είδραη το ένα το άο ορεί να διατυωθεί αυτηρά ως εξής: αν είναι ένας αό τους αριθούς ή και είναι ένας αό τους 5 4 45 4

αριθούς 45 τότε τα ενδεχόενα { } και { } ρέει να είναι ανεξάρτητα ίνουε τον ακόουθο οριό Οριός 4 Οι τυχαίες εταβητές και καούνται ανεξάρτητες dd αν για οοιαδήοτε υούνοα A και B του υνόου των ραγατικών αριθών ιχύει ότι P{ A B} P{ A} P{ B} 4 Ιοδύναα οι τυχαίες εταβητές και είναι ανεξάρτητες όταν και όνο όταν για οοιαδήοτε ύνοα A και B τα ενδεχόενα { A} και { B} είναι ανεξάρτητα Για οοιαδήοτε b R ιχύει ότι E A P{ b} P{ } P{ b} ή ιοδύναα E B F b F F b όου F είναι η αό κοινού αθροιτική υνάρτηη κατανοής της διδιάτατης δτ και F F είναι οι υναρτήεις κατανοών των τυχαίων εταβητών και αντίτοιχα Όταν οι και είναι διακριτές τυχαίες εταβητές η υνθήκη ανεξαρτηίας 4 είναι ιοδύναη ε τη χέη ή ε τη χέη 4 P [ ] P[ ] P[ ] για κάθε Η ιοδυναία των χέεων 4 και 4 εξηγείται ως εξής: Αν τη χέη 4 θέουε A {} και B {} αβάνουε τη 4 Ειέον αν η χέη 4 ιχύει τότε για οοιαδήοτε ύνοα A και B έχουε P{ A B} P{ } P{ } P{ } P{ } B A B A B A P{ } P{ B} P{ A} Όταν οι και είναι υνεχείς τυχαίες εταβητές η υνθήκη της ανεξαρτηίας 4 είναι ιοδύναη ε τη χέη για κάθε ιαιθητικά οι τυχαίες εταβητές και είναι ανεξάρτητες όταν η γνώη της ίας δεν εηρεάζει την κατανοή της άης Αν δύο τυχαίες εταβητές δεν είναι ανεξάρτητες τότε καούνται εξαρτηένες Παράδειγα 4 Ένας άνδρας και ία γυναίκα έχουν υφωνήει να υναντηθούν ε ένα ζαχαροατείο κάοια χρονική τιγή εταξύ : και : το εηέρι Υοθέτουε ότι ο άνδρας φθάνει το ζαχαροατείο τις και η γυναίκα φθάνει τις Υοθέτουε ειέον ότι οι και είναι 5

ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές και ότι ακοουθούν την Oοιόορφη κατανοή το διάτηα Να υοογιτεί η ιθανότητα αντίτροφα για εριότερο αό δέκα ετά P > δηαδή η ιθανότητα ο άνδρας να εριένει τη γυναίκα ή Λύη Έτω η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας της διδιάτατης δτ και οι των τυχαίων εταβητών και αντίτοιχα Είναι > { > } { < } και τα ενδεχόενα { > } { < } αυβίβατα Άρα P > P{ < } P{ < } P{ < } < dd < dd dd d 5 7 5 είναι < dd Η δεύτερη ιότητα είναι υνέεια της υετρίας και η τέταρτη ιότητα είναι υνέεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων εταβητών και Παράδειγα 4 Υοθέτουε ότι ο αριθός των ατόων ου ειέρχονται κατά τη διάρκεια ιας έρας ε ένα ταχυδροείο ακοουθεί την κατανοή Posso ε αράετρο είξτε ότι αν το κάθε άτοο ου ειέρχεται το ταχυδροείο είναι άνδρας ε ιθανότητα και γυναίκα ε ιθανότητα τότε ο αριθός των ανδρών και των γυναικών ου αίνουν το ταχυδροείο κατά τη διάρκεια ιας έρας είναι ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές ου ακοουθούν την κατανοή Posso ε αραέτρους και αντίτοιχα Λύη Έτω και αντίτοιχα ο αριθός των ανδρών και των γυναικών ου ειέρχονται το ταχυδροείο κατά τη διάρκεια ιας έρας Αό το Θεώρηα Οικής Πιθανότητας και αν δεευτούε ως ρος την τυχαία εταβητή έχουε P [ j] P[ j j] P[ j] P[ j j] P[ j] j j j P[ j j] P[ j] j! Η δεύτερη ιότητα ροκύτει διότι ροφανώς ιχύει ότι P [ j j] Η τρίτη ιότητα ροκύτει διότι εξ υοθέεως η τυχαία εταβητή ακοουθεί την κατανοή Posso ε αράετρο Ειέον δοθέντος ότι j άνθρωοι ειέρχονται το ταχυδροείο και ο καθένας αό αυτούς είναι άνδρας ε ιθανότητα η ιθανότητα ακριβώς άτοα να είναι άνδρες και εοένως ακριβώς j άτοα να είναι

j j γυναίκες είναι ίη ε P [ j j] δηαδή η αραάνω ιθανότητα j [ ] είναι διωνυική ε αραέτρους j και Συνεώς P[ j]! j! Η εριθώρια υνάρτηη κατανοής της τυχαίας εταβητής βρίκεται ως εξής: j K P[ j [ ] ] P[ j]! j!!! K j j Άρα ~ Posso Οοίως η εριθώρια υνάρτηη κατανοής της τυχαίας εταβητής είναι P[ j] P[ j] [ ] j! j j K Άρα ~ Posso[ ] Παρατηρούε ότι P [ j] P[ ] P[ j] j K Εοένως οι τυχαίες εταβητές και είναι ανεξάρτητες Παράδειγα 4 Έτω ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές οι οοίες είναι οοιόορφα κατανεηένες το διάτηα Υοογίτε την ιθανότητα P[ ] Λύη Έτω η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας της τριδιάτατης δτ και οι υναρτήεις υκνότητας των τυχαίων εταβητών Αφού οι είναι ανεξάρτητες ιχύει ότι z z z Είναι P[ ] z dddz dddz z ddz z z z dz 4 4 Κατανοή του αθροίατος ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών Η Πρόταη 5 ορεί να γενικευτεί την ερίτωη των δτ Η έη τιή ιας υνάρτηης g της δτ είναι E [ g ] g αν η δτ είναι διακριτή ε αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας ενώ E [ g ] g dd αν η δτ είναι υνεχής ε αό κοινού υνάρτηη υκνότητας Ιχύει η ακόουθη ρόταη Πρόταη 4 Έτω τυχαίες εταβητές ου ορίζονται τον ίδιο ιθανοθεωρητικό χώρο Ω I P Αν οι είναι ανεξάρτητες τότε E [ g h ] E[ g ] E[ h ] όου g και h είναι ραγατικές υναρτήεις 7

Αόδειξη Θα αοδείξουε την ρόταη την ερίτωη κατά την οοία οι τυχαίες εταβητές και είναι υνεχείς Η αόδειξη είναι αρόοια την ερίτωη κατά την οοία οι και είναι διακριτές τυχαίες εταβητές Έτω η αό κοινού υνάρτηη υκνότητας της διδιάτατης δτ και οι υναρτήεις υκνότητας των ιαδοχικά έχουε g h dd g h dd h d g E[ g h ] d E[ h ] E[ g ] Έτω και δύο ανεξάρτητες διακριτές τυχαίες εταβητές ου αίρνουν ακέραιες τιές και έτω η η και η οι ιθανογεννήτριες των τυχαίων εταβητών και αντίτοιχα Αό την αραάνω ρόταη και τον οριό της ιθανογεννήτριας διαδοχικά έχουε η E E E E η η Υοθέτουε ότι η ραγατική εταβητή αίρνει τιές ε ένα κατάηο διάτηα ύγκιης των ιθανογεννητριών Η τρίτη ιότητα είναι υνέεια της ανεξαρτηίας των τυχαίων εταβητών Με εαγωγή έεται ότι αν οι K είναι ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές ιχύει ότι η L η Lη όου η είναι η ιθανογεννήτρια της τυχαίας εταβητής L και L η K η είναι οι ιθανογεννήτριες των K Παρόοια αοτεέατα ροκύτουν για τις ροογεννήτριες και τις χαρακτηριτικές υναρτήεις Αν είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές και είναι οι ροογεννήτριες των αντίτοιχα διαδοχικά έχουε E E E E Υοθέτουε ότι η ραγατική εταβητή του αραάνω τύου αίρνει τιές ε ένα κατάηο διάτηα ύγκιης των ροογεννητριών Είης αν αντίτοιχα διαδοχικά έχουε φ φ φ είναι οι χαρακτηριτικές υναρτήεις των φ E E E E φ φ R Οι δύο τεευταίοι τύοι όως την ερίτωη των ιθανογεννητριών εεκτείνονται άεα ε εαγωγή ε υνέεια η ροογεννήτρια ή η χαρακτηριτική υνάρτηη του αθροίατος εεραένου ήθους ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών ιούται ε το γινόενο των ροογεννητριών ή των χαρακτηριτικών υναρτήεων τους Τα αραάνω αοτεέατα ε υνδυαό ε τις Προτάεις και ας βοηθούν να ροδιορίουε την κατανοή του αθροίατος εεραένου ήθους ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών Στη υνέχεια αραθέτουε τρία χετικά αραδείγατα 8

Παράδειγα 4 Αν ~ Posso και ~ Posso και είναι ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές τότε ~ Posso Λύη Η ύη θα δοθεί ε δύο τρόους > ος τρόος Το ενδεχόενο { } K ορεί να γραφεί ως η τοή των ξένων εταξύ τους ενδεχοένων { k} και { k} k K ιαδοχικά έχουε P k [ ] P[ k k] P[ k] P[ k] k k k k! k k! k k! k k Άρα ~ Posso k! k!! k! k!! k k ος τρόος Έτω φ φ φ οι χαρακτηριτικές υναρτήεις των αντίτοιχα Τότε αφού οι είναι ανεξάρτητες ιχύει ότι φ φ φ R Αό το Παράδειγα έχουε φ και φ Άρα φ { } R Αό την Πρόταη ροκύτει άεα ότι ~ Posso Το αοτέεα του ροηγούενου αραδείγατος ορεί να γενικευτεί για την ερίτωη ου έχουε K ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές τέτοιες ώτε Τότε L ~ Posso L ~Posso K Παράδειγα 44 Αν ~ B ~ B m και είναι ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές τότε ~ B m Λύη Έτω η η η οι ιθανογεννήτριες των αντίτοιχα Τότε αφού οι είναι ανεξάρτητες ιχύει ότι η η η όου η ραγατική εταβητή ανήκει το διάτηα ύγκιης m των ιθανογεννητριών Αό το Παράδειγα 5 έχουε η και η Άρα m η Αό την Πρόταη ροκύτει άεα ότι ~ B m Το αοτέεα του ροηγούενου αραδείγατος ορεί να γενικευτεί για την ερίτωη ου έχουε K ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές τέτοιες ώτε ~ B K Τότε L ~ B L 9

Παράδειγα 45 Αν ~ N ~ N και είναι ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές τότε b ~ N b b όου b R Λύη Έτω b οι ροογεννήτριες των b αντίτοιχα Αφού ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές διαδοχικά έχουε b b b b E E E E Χρηιοοιούε τα αοτεέατα του Παραδείγατος και έχουε b b b b b b Αό την Πρόταη ροκύτει άεα ότι b ~ N b b R Το αοτέεα του ροηγούενου αραδείγατος ορεί να γενικευτεί για την ερίτωη ου έχουε K ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές τέτοιες ώτε ~ N K Τότε L ~ N όου K R Σε κάθε ένα αό τα τρία ροηγούενα αραδείγατα χρηιοοιήαε ενδεικτικά ία αό τις τρεις υναρτήεις ιθανογεννήτρια ροογεννήτρια χαρακτηριτική υνάρτηη Είναι φανερό ότι ε κάθε αράδειγα θα ορούαε να χρηιοοιήουε εναακτικά οοιαδήοτε αό τις υόοιες γεννήτριες υναρτήεις 44 Μέη τιή και διαορά του αθροίατος τυχαίων εταβητών Στο αρόν εδάφιο θα αχοηθούε ε την εύρεη της έης τιής και της διαοράς του αθροίατος δυο τυχαίων εταβητών Ιχύει η ακόουθη ρόταη Πρόταη 4 Έτω δύο τυχαίες εταβητές ε εεραένες έες τιές Τότε η τυχαία εταβητή έχει εεραένη έη τιή και ειέον ιχύει ότι E E E Αόδειξη Έτω ότι η δτ είναι υνεχής και έτω οι της διδιάτατης δτ και των τυχαίων εταβητών αντίτοιχα Θεωρούε τη υνάρτηη g ιαδοχικά έχουε dd dd E[ g ] E dd 7

d d E E Αν η διδιάτατη δτ είναι διακριτή η αόδειξη γίνεται ε αρόοιο τρόο Αν είναι τυχαίες εταβητές ε εεραένες έες τιές τότε ε εαγωγή αοδεικνύεται ότι E K E[ ] Η τεευταία χέη είναι ού χρήιη για τον υοογιό έων τιών Παράδειγα 4 Έτω ότι N άνδρες ετάνε τα καέα τους το άτωα ενός δωατίου Τα καέα ανακατεύονται και ο κάθε άνδρας διαέγει ένα καέο κατά τυχαίο τρόο Βρείτε τη έη τιή του αριθού των ανδρών ου διαέγουν τα δικά τους καέα Λύη Έτω η τυχαία εταβητή K N τέτοια ώτε αν ο άνδρας διαέγει το δικό του καέο και αν ο άνδρας δεν διαέγει το δικό του καέο Έτω η τυχαία εταβητή L N Ζητάε να βρούε τη έη τιή E Ιχύει ότι E P για κάθε N K N Συνεώς E E L E N Παράδειγα 47 έκα κυνηγοί εριένουν να εράει ένα ήνος αό δέκα κοτύφια Όταν εράει το ήνος οι κυνηγοί υροβοούν ταυτόχρονα αά ο καθένας διαέγει το τόχο του τυχαία και ανεξάρτητα αό τους άους Αν ο κάθε κυνηγός ετυχαίνει το τόχο του ε ιθανότητα να βρεθεί ο αναενόενος αριθός των κοτυφιών ου ξεφεύγουν αό τους υροβοιούς των κυνηγών Λύη Έτω η τυχαία εταβητή K τέτοια ώτε αν το οτό κοτύφι ξεφεύγει και αν το οτό κοτύφι δεν ξεφεύγει αό τους υροβοιούς των κυνηγών Έτω η τυχαία εταβητή L Ζητάε να βρούε τη έη τιή E Ιχύει ότι E E L E L E Για κάθε K έχουε E P Ο κάθε κυνηγός ανεξάρτητα αό τους άους ετυχαίνει το οτό κοτύφι ε ιθανότητα Άρα P Συνεώς E Η Πρόταη 4 ορεί να γενικευτεί για τυχαίες εταβητές K ως εξής: E L E L E όου ραγατικές ταθερές 7 K

Παράδειγα 48 Η αό κοινού υνάρτηη ιθανότητας ιας διακριτής διδιάτατης τυχαίας εταβητής δίνεται αό τον τύο c α Ποια είναι η τιή της ταθεράς εταβητών και β Να υοογιτούν οι έες τιές των τυχαίων εταβητών και Λύη α Πρέει c 9 9 c και οιες οι εριθώριες υναρτήεις ιθανότητας των τυχαίων c c 9 9 β E [ ] E [ ] 4 9 9 45 Συνδιακύανη δύο τυχαίων εταβητών Έτω δύο τυχαίες εταβητές Η διακύανη ιας τυχαίας εταβητής αοτεεί ένα έτρο της εταβητότητάς της Αν για αράδειγα θεωρήουε ένα γραικό υνδυαό b των τυχαίων εταβητών και όου b R ταθερές είναι διαιθητικά ροφανές ότι η διακύανη της θα ρέει να εηρεάζεται τόο αό τις διακυάνεις των όο και αό την αό κοινού υεριφορά των τυχαίων εταβητών Η οότητα ου αντικατοτρίζει την αό κοινού υεριφορά των δίνεται τον ακόουθο οριό Οριός 44 Συνδιακύανη Η υνδιακύανη covc δύο τυχαίων εταβητών και ορίζεται ως εξής: Cov E{ E E } Αό τον αραάνω οριό ανατύοντας το δεξιό έος της τεευταίας ιότητας διαδοχικά έχουε { E E E E } E E E E E E E Cov E E E E Αν είναι ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές τότε αό την Πρόταη 4 έχουε Cov 7

Το αντίτροφο δεν ιχύει ηαδή αν Cov δεν έεται ότι οι είναι ανεξάρτητες Ένα αό αράδειγα δύο εξαρτηένων τυχαίων εταβητών ου έχουν ηδενική υνδιακύανη ορεί να ηφθεί αν υοθέουε ότι η είναι τέτοια ώτε P P P και ορίουε την έτι ώτε αν και αν Τότε και εοένως E Ειέον E και Cov E E E Οι είναι φανερά εξαρτηένες τυχαίες εταβητές Ιχύει η ακόουθη ρόταη Πρόταη 4 Έτω δύο τυχαίες εταβητές ε εεραένες ροές δεύτερης τάξης Τότε η τυχαία εταβητή έχει εεραένη ροή δεύτερης τάξης και εοένως έχει εεραένη διαορά Ειέον ιχύει ότι V V V Cov Αόδειξη Είναι V E[ E ] E[ E E ] E E E E E[ E E ] V V Cov Η ροηγούενη ρόταη ορεί να γενικευτεί για τυχαίες εταβητές K ως εξής: V L V jcov j όου ραγατικές ταθερές j K Στην ερίτωη ου οι τυχαίες εταβητές K είναι ανά δύο ανεξάρτητες εταξύ τους ιχύει ότι V L V όου ραγατικές ταθερές Ιχύει η ακόουθη ρόταη K Πρόταη 44 Αν τυχαίες εταβητές και b R ιχύει ότι Cov b Cov bcov Αόδειξη Είναι [ E E E ] b[ E E E ] Cov b E[ b ] E b E Cov bcov Παράδειγα 49 Για το Παράδειγα 4 υοογίτε τη διαορά του αριθού των ανδρών ου διαέγουν τα δικά τους καέα Λύη Ιχύει ότι V V N j N N Cov 7 j

N για K N N N N Όως V E E P E Είης για j ε < j έχουε ότι Cov j E j E E j Όως j αν αφότεροι οι άνδρες και j διαέγουν τα δικά τους καέα και ε οοιαδήοτε άη ερίτωη Άρα E j P j P P j N N Συνεώς Cov j N N N N N N N N N Εοένως V N N N N N j 4 Συντεετής υχέτιης δύο τυχαίων εταβητών Έτω και δύο τυχαίες εταβητές ε εεραένες η-ηδενικές διαορές για τις οοίες διαιτώαε ότι Cov Τότε οι δεν είναι ανεξάρτητες Μας ενδιαφέρει να αοδώουε οοτικά το βαθό εξάρτηης των και ε έναν κατάηο αριθό Η τιή της υνδιακύανης των τυχαίων εταβητών και εηρεάζεται ηαντικά αό τις ονάδες έτρηης των και Για να εξαείψουε την είδραη των ονάδων έτρηης των και το βαθό της εξάρτηής τους δίνουε τον ακόουθο οριό Οριός 45 Ο υντεετής υχέτιης colo coc δύο τυχαίων εταβητών τέτοιων ώτε V V > ορίζεται ως εξής: Cov ρ : και αοτεεί ένα έτρο του βαθού V V εξάρτηης εταξύ τους Πρόταη 45 Ιχύει ότι ρ Αόδειξη Έτω και οι διαορές των τυχαίων εταβητών και αντίτοιχα Ιχύει ότι V V Cov ρ ρ V V V Cov Είης ιχύει ότι V ρ ρ Συνεώς ρ Ιχύει η ακόουθη ρόταη 74

Πρόταη 4 Αν είναι ία τυχαία εταβητή τέτοια ώτε V τότε P{ E } Αόδειξη Αό την ανιότητα του Chbshv έχουε ότι P E > για κάθε Υοθέτουε ότι Αό το Θεώρηα Συνέχειας ιχύει ότι lm P E > P lm E > P{ E } Συνεώς P { E } V V Cov Αν ρ τότε αό τη χέη V ρ ροκύτει ότι V Η τεευταία χέη έχει ως άεο εακόουθο ότι ε ιθανότητα η οότητα b R θα είναι ίη ε ία ταθερά Εοένως θα ιχύει ότι όου b b > Οοίως αν ρ τότε αό τη χέη V V V Cov ρ ροκύτει ότι V Άρα ε ιθανότητα η οότητα b < b R θα είναι ίη ε ία ταθερά Εοένως θα ιχύει ότι b όου Ειέον αν b τότε ρ ή ρ ανάογα ε το ρόηο της ταθεράς b Πράγατι ετά αό ράξεις έχουε ότι b ρ b εοένως b ρ b αν b > και ρ b αν b < Ο υντεετής υχέτιης δύο τυχαίων εταβητών και είναι ένα έτρο του βαθού της γραικής εξάρτηης των και Μία τιή του υντεετή υχέτιης κοντά το ή το - είναι ένδειξη υψηού βαθού γραικής εξάρτηης εταξύ των και ενώ ία τιή του υντεετή υχέτιης κοντά το είναι ένδειξη ότι δεν υάρχει γραική εξάρτηη Μία θετική τιή του υντεετή υχέτιης είναι ένδειξη ότι η αυξάνει καθώς η αυξάνει ενώ ία αρνητική τιή του είναι ένδειξη ότι η ειώνεται καθώς η αυξάνει Αν ρ τότε οι τυχαίες εταβητές και καούνται αυχέτιτες ucold 75

Παράδειγα 4 Έτω τρεις ανεξάρτητες τυχαίες εταβητές ου έχουν εεραένες θετικές διαορές αντίτοιχα Υοογίτε τον υντεετή υχέτιης των και Λύη Ιχύει ότι Cov E[ ] E[ ] E[ ] Αό την Πρόταη 4 ανεξαρτηία των και την Πρόταη 4 ετά αό ράξεις ροκύτει ότι Cov E [ ] E[ ] V Συνεώς ρ Παράδειγα 4 Ένας αριθός ειέγεται τυχαία το διάτηα ου ειέχτηκε αό ένα ταθερό αριθό τυχαίων εταβητών και R [ ] Έτω R η αόκιη του αριθού όου α Να βρεθεί ο υντεετής υχέτιης των β Για οια τιή του οι τυχαίες εταβητές Λύη α Η τυχαία εταβητή ακοουθεί την Oοιόορφη κατανοή το διάτηα και R είναι αυχέτιτες; [] ενώ για την τυχαία εταβητή έχουε R έχουε R Αφού η υνάρτηη υκνότητας της είναι για E[ R] E[ ] d d d E [ R ] E[ ] d d V [ R] E[ R ] E[ R] E[ R] E[ ] d d d Εειδή E [ ] V [ ] ροκύτει ετά αό ράξεις ότι ρ R E R E E R V V R β Για να είναι οι τυχαίες εταβητές 4 4 R αυχέτιτες θα ρέει ο υντεετής υχέτιης ρ R να είναι ίος ε ηδέν ή ιοδύναα διάτηα [ ] την 4 Η εξίωη έχει οναδική ύη το 7