Δύναμη ελατηρίου και θετικές φορές Α. Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό και γνώριμο Στο σχήμα τα δυο σώματα συγκρούονται πλαστικά. Να βρεθεί η κοινή ταχύτητα. Δίνεται m 1 =m, m 2 =3m και υ 1 =3 m/s, υ 2 =2 m/s. Η Α.Δ.Ο. επιβάλλει: m 1 + m 2 V (1) Τι εκφράζει η θετική τιμή που υπολογίσαμε; Εκφράζει ότι το διάνυσμα της ταχύτητας εμφανίσαμε στο σχήμα. έχει τη φορά, με την οποία εξαρχής την Θα βρίσκαμε διαφορετικό αποτέλεσμα αν ορίζαμε θετική φορά προς τα αριστερά; Όχι! Δοκιμάστε το Ποιος ο ρόλος της θετικής φοράς που εμφανίσαμε στο σχήμα; Απλά! Μας βοηθάει για να γίνει το «πέρασμα» από τη διανυσματική εξίσωση, στην αντίστοιχη αλγεβρική. Τ ί π ο τ ε άλλο. Είτε θεωρηθεί (+) προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Όλοι οι μελετητές του παραπάνω προβλήματος- θα πουν ότι το σώμα θα κινηθεί αριστερά! Ποια η αλγεβρική τιμή του διανύσματος της φορά; Απάντηση: μόνο τη θετική φορά και το διάνυσμα σε σχέση με την επιλεγείσα ως θετική, διότι είναι αντίρροπο διάνυσμα. (φανταστείτε να έχετε στο χαρτί Η εξίσωση (1) δεν εκφράζει αλγεβρική τιμή; Βεβαίως! Αποτέλεσμα επίλυσης αλγεβρικής εξίσωσης είναι., οπότε θα δίνατε την ίδια απάντηση με εμένα) Τι γίνεται εδώ πέρα; Μπερδευτήκαμε Λοιπόν! Όταν επιλύεις μια διανυσματική εξίσωση αλγεβρικά και προκύψει (+) για ένα διάνυσμα που εμφανίζεται στη διάταξη και συμμετέχει στη δόμηση της εξίσωσης, τότε αυτό σημαίνει ότι είναι όπως το έχεις σχεδιάσει, ενώ αν εμφανίσει τιμή (-), τότε έχει φορά αντίθετη με αυτή που εμφανίζεται στο σχήμα. Η επιλεγείσα ως θετική φορά παίζει ρόλο εργαλείου για να γίνει η μετάβαση από τη διανυσματική στην αλγεβρική μορφή. 1
Από τη στιγμή που έχεις στο σχήμα σου την φορά ενός διανύσματος καθώς και μια φορά ως θετική, μπορείς να λες ότι το διάνυσμα έχει αλγεβρική τιμή (+) αν είναι ομόρροπο ή (-) αν είναι αντίρροπο της ορισθείσας ως θετική φορά. Πιστεύω να κατάφερα να σας εξηγήσω πως άλλη σημασία έχει η αλγεβρική τιμή που προκύπτει από επίλυση διανυσματικής εξίσωσης (ΜΙΑ απάντηση υπάρχει) και άλλη σημασία η αλγεβρική τιμή που αφορά σχέση του διανύσματος με κάποιο άξονα (ΔΥΟ αντίθετες απαντήσεις) Δείτε και αυτό : (+ ) (Α) 5 m/sec (+) (Β) Όλοι συμφωνούν ότι η μάζα κινείται δεξιά. Ο (Α) λέει ότι το κινητό έχει αλγεβρική τιμή ταχύτητας -5 m/sec και ο (Β) λέει ότι έχει 5 m/sec. Και οι δύο είναι σωστοί! Β. Ας δούμε τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. x o F F Στο σχήμα, το σώμα ταλαντώνεται και εμείς εμφανίσαμε στιγμιότυπα της εν λόγω ταλάντωσης. x + α Θετική φορά προς τα κάτω. (Δηλαδή η θέση x=+a βρίσκεται κάτω από τη θ.ι.). Συμφέρει να σχεδιάζουμε σε περιοχή θετικών τιμών του x. Θέση ισορροπίας: (1) Θέση εκτροπής: (2) Μέχρι εδώ η θετική φορά προς τα κάτω μας βοήθησε στο να φτιάξουμε αλγεβρικές εξισώσεις. 2
Η δύναμη για τη θέση εργασίας στο σχήμα- προκύπτει αλγεβρικά θετική και αυτό σημαίνει ότι βλέπει προς τα άνω. Όμως! Θέλουμε η δύναμη να έχει αλγεβρικό χαρακτήρα, σύμφωνο με τη θετική φορά που μας όρισαν εξ αρχής (θετική φορά προς τα κάτω μας είπαν). Έτσι θα σεβαστούμε την επιθυμία τους και θα πούμε ότι η αλγεβρική τιμή της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα- σε σχέση με την ορισθείσα ως θετική φορά- είναι η εξής: Γ. Δείτε και το επόμενο παράδειγμα (οριζόντια ταλάντωση) Τ στατ α Θ.ι. +x m Σημειώνουμε τη στατική τριβή, που ασκείται στην m. Αυτή «βλέπει» τη θ.ι. αφού καλείται να παίξει ΜΟΝΗ της ρόλο δύναμης επαναφοράς. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Ισχύει: (1) Για θετικές τιμές του x, έχουμε Τ στατ. > 0 σωστή η εμφανιζόμενη στο σχήμα φορά της δύναμης. Για αρνητικές τιμές του x, ισχύει Τ στατ. < 0, δηλαδή φορά αντίθετη της εμφανιζόμενης στο σχήμα. Τέλεια! ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ Η δύναμη είναι παράγοντας της ταλάντωσης, οπότε προσαρμόζεται αλγεβρικά -αν ερωτηθούμε! Δ. Δείτε και αυτό (κατακόρυφη ταλάντωση) Θ.ι. N +x α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ + Όταν Ν > 0 σημαίνει ότι η Ν «βλέπει» προς τα άνω, δηλαδή ομόρροπη της εμφανιζόμενης εξ αρχής στο σχήμα. 3
ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ Δεν θα κάνουμε σε αυτή την άσκηση, γιατί έτσι θέλουμε! Αλλά αν κάποιος τη θέλει : ΣΚΕΨΕΙΣ Περίπτωση Ν<0 δεν υπάρχει διότι ως δύναμη επαφής δεν μπορεί να εμφανιστεί με φορά προς τα κάτω, διότι τότε θα ήταν ελκτική στην m από τη πλατφόρμα και αυτό είναι απαράδεκτο. Ν>0 σημαίνει ότι υπάρχει επαφή μεταξύ του m της πλατφόρμας. Δηλαδή η σχέση Ν>0 έχει φυσική σημασία. Επιπλέον Ν>0 σημαίνει ότι βλέπει προς τα άνω για να ικανοποιηθεί η απαίτηση να είναι ομόρροπη με την εξ αρχής σχεδίαση της. Γραφική παράσταση της Ν=f(x) Ν Δείτε : Δεν σχεδίασα δύναμη αρνητική! Ούτε δύναμη αριστερά του x=-a. Δείτε με ποια εξίσωση εργάζομαι! +mω 2 Α x = -A -g/ω 2 x = +A Στη κάτω ακραία θέση x=+a η Ν γίνεται μέγιστη (+mω 2 Α). Στη θέση ισορροπίας γίνεται ίση με και στη θέση -g/ω 2 έχουμε υπό προϋποθέσεις- απώλεια επαφής. Αλλά που μπορεί να είναι η θέση -g/ω 2 ; Αν Α > g/ω 2 τότε η θέση -g/ω 2 είναι δεξιά του x=-a και εκεί θα έχουμε απώλεια επαφής (Η συνεχής γραμμή εκφράζει την αλγεβρική τιμή της δύναμης). Αν Α = g/ω 2 τότε απώλεια επαφής έχουμε στην άνω ακραία θέση (γραμμή με παύλες) Αν Α < g/ω 2 τότε η θέση -g/ω 2 είναι αριστερά του x=-a και δεν έχουμε απώλεια επαφής, αφού η ταλαντούμενη μάζα δεν πρόκειται να πάει ΠΟΤΕ εκεί! (γραμμή με κουκκίδες) Ξεχάστε το διάγραμμα και ας δούμε το θέμα «χάσιμο» επαφής χωρίς τη χρήση του. 4
Οπότε, αφού η μεταβλητή x «χορεύει» ανάμεσα στο Α και +Α μπορούμε να λέμε: (Κάτω ακραία θέση x=+a) και (Άνω ακραία θέση x=-a) Όχι χάσιμο επαφής σημαίνει: (1) Υπάρχουν δυο ενδεχόμενα τώρα Αν δοθεί η περίοδος, ποιες τιμές πρέπει να έχει το πλάτος ώστε να μη χαθεί η επαφή; Λέμε Αν δοθεί το πλάτος της ταλάντωσης, ποια τιμή πρέπει να έχει η περίοδος Τ, για να μη χαθεί η επαφή; Συμπέρασμα: Θα το επαναλάβω: Όταν επιλύουμε αλγεβρικά διανυσματικές εξισώσεις οφείλουμε να εμφανίζουμε ΟΛΑ τα διανύσματα που συνθέτουν την εξίσωσή μας. ΟΛΑ! Η λύση της διανυσματικής εξίσωσης μπορεί να δώσει θετική ή αρνητική τιμή στο άγνωστο διάνυσμα. Θετική τιμή σημαίνει ότι το σχεδιάσαμε με σωστή κατεύθυνση, ενώ αρνητική σημαίνει ότι έχει φορά αντίθετη της σχεδιασθείσας. Στις ταλαντώσεις όμως μπορεί για κάποιο διάνυσμα (συνήθως F ελατηρ., ΣF) να μας ζητηθεί η αλγεβρική τιμή. Ε λοιπόν! βλέπεις τη κατεύθυνση του διανύσματος όπως αυτή προσδιορίστηκε και αν είναι ίδια με την θετική φορά της ταλάντωσης αφήνεις την έκφραση της δύναμης ως έχει, αλλιώς βάζεις ένα πλην μπροστά και αυτό είναι όλο. Συνοπτικά: Ο προσδιορισμός της κατεύθυνσης για ένα διάνυσμα είναι ένα ζήτημα και η απόδοση (+) ή (-) στην αλγεβρική τιμή σε σχέση με μια κατεύθυνση είναι ένα άλλο ζήτημα. Αυτά τα ζητήματα είναι μεταξύ τους α ν ε ξ ά ρ τ η τ α και άμα θελήσουμε να τα δούμε ως ένα, τότε είναι σαν να θέλουμε σε μια μασχάλη να χωρέσουμε δυο καρπούζια 5