2. Στερεοστατική 2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων 2.1.1 Δύναμη Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούν διάφορα αποτελέσματα. Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει ένα καρότσι, ή η σκεπή παρασύρθηκε από τον αέρα, ή κάποιος λυγίζει ένα κομμάτι ατσάλι, ή ότι η ατμομηχανή κινείται με τη βοήθεια του ατμού, σκεπτόμαστε ότι υπάρχει ένας δράστης που δρα και η δράση του αυτή ασκείται πάνω σε ένα σώμα, το οποίο κάτι παθαίνει. Κατ αυτόν τον τρόπο οι διάφορες "δράσεις" και τα αποτελέσματα εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες φαινομένων: τις παραμορφώσεις σωμάτων και τις περιπτώσεις αλλαγής της κινητικής τους κατάστασης. Η Μηχανική συμβολίζει και υπολογίζει το μη χειροπιαστό, τη δράση και την ονομάζει δύναμη. Δύναμη είναι το αίτιο που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωση αυτών. Η κινητική κατάσταση ενός σώματος μπορεί να είναι: α) ισορροπία β) οποιαδήποτε ομαλή κίνηση γ) οποιαδήποτε επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη κίνηση Η δύναμη συμβολίζεται με το γράμμα F ( Force = δύναμη). Μια δύναμη μπορεί να επενεργεί ή δι' επαφής μεταξύ των σωμάτων ή εξ' αποστάσεως. Βάρος ενός σώματος λέμε τη δύναμη με την οποία η Γη έλκει τα σώματα. Το βάρος έχει φορά κατακόρυφη, δηλαδή κάθετη προς την οριζόντια επιφάνεια (σχ. 2.1). Συμβολίζεται με το γράμμα G. Όλα τα σώματα έχουν βάρος και τα στερεά και τα υγρά και τα αέρια. Ο τύπος που δίνει το βάρος είναι: G M g όπου Μ η μάζα του σώματος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Το βάρος ενός σώματος εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος και από το ύψος από την επιφάνεια της Γης, ενώ είναι ανεξάρτητο από το μέσο που περιβάλλει το σώμα. Σχ. 2.1 Η φορά του βάρους Παρατήρηση Μάζα Μ=1Kg επί της Γης δημιουργεί δύναμη βάρους περίπου 10Ν. Η ακριβής τιμή είναι 9,8066Ν. 21
Χαρακτηριστικά στοιχεία της Δύναμης Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος (σχ.2.2) και για να καθοριστεί ακριβώς πρέπει να γνωρίζουμε τα εξής: 1. Το μέτρο της 2. Την ευθεία ενέργειάς της (φορέας) 3. Τη φορά της 4. Το σημείο εφαρμογής της Σχ. 2.2 Τα χαρακτηριστικά στοιχεία μιας δύναμης 1. Μέτρο: Είναι η αριθμητική έκφραση του μεγέθους της (π.χ. F=100Ν). 2. Ευθεία ενέργειας (φορέας): Είναι η ευθεία επάνω στην οποία ενεργεί η δύναμη. 3. Φορά: Η θετική ή αρνητική κατεύθυνση πάνω στην ευθεία ενέργειας (- +) 4. Σημείο εφαρμογής: Είναι το σημείο του σώματος στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη. Οι δυνάμεις που έχουν όλα τα παραπάνω χαρακτηριστικά ίδια ονομάζονται ίσες. Μονάδες Δύναμης Η μονάδα μέτρησης της δύναμης για το διεθνές σύστημα S.I., βρίσκεται από τρεις βασικές μονάδες μετρήσεως και από τη σχέση F = m α (θεμελιώδης εξίσωση της δυναμικής). Όπου F η δύναμη, m η μάζα και α η επιτάχυνση. m F m F 1Kg 1 2 s Η μονάδα αυτή λέγεται Νιούτον (Newton) και συμβολίζεται με το γράμμα N. Στο Τεχνικό σύστημα η μονάδα δύναμης είναι το κιλοπόντ (Kp). Αν χρειαστεί να κάνουμε μετατροπή από ένα σύστημα σε άλλο, έχουμε τις σχέσεις: 1 Kp = 9,81 N ή για ευκολία, 1 Kp = 10 N Ασκήσεις 1. Στο σχήμα 2.3 έχουμε πάντα την ίδια δοκό. Στη δεύτερη στήλη η δύναμη που ασκείται διαφέρει από την αντίστοιχη δύναμη της πρώτης στήλης, κατά ένα τουλάχιστον από τα τέσσερα χαρακτηριστικά της. Να εντοπίσετε ποιο είναι αυτό. Σχ. 2.3 22
2. Όταν μεταφέρουμε από τη Γη στη Σελήνη ένα σώμα, τι αλλάζει από τα παρακάτω: i) η μάζα του σώματος; ii) το βάρος του; iii) και τα δύο μαζί; iv) κανένα από τα δύο; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 2.1.2 Ροπή Ορισμός-Μονάδες Πρόσημο της Ροπής Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε το αίτιο που προκαλεί την αλλαγή της κινητικής κατάστασης ενός σώματος. Εδώ θα εξετάσουμε την αιτία που κάνει τα σώματα να περιστρέφονται. Από την καθημερινή εμπειρία είναι γνωστό ότι η πόρτα ανοίγει ευκολότερα αν η δύναμη εφαρμοστεί στο πόμολο, παρά κοντά στο μεντεσέ. Επίσης θα έχουμε παρατηρήσει ότι με την ίδια δύναμη μπορούμε να σηκώσουμε μεγαλύτερο βάρος αν χρησιμοποιήσουμε μακρύτερο μοχλό. Παρατηρούμε ότι για να περιστραφεί ένα σώμα δεν παίζει ρόλο μόνο η δύναμη, αλλά και η απόσταση εφαρμογής της δύναμης από το σημείο περιστροφής. Στην Τεχνική Μηχανική την έννοια αυτή την ονομάζουμε Ροπή. Η Ροπή είναι συνδεδεμένη με την περιστροφή των σωμάτων, είναι δηλαδή η αιτία της περιστροφής. Είναι πολύ χρήσιμο μέγεθος και συμβολίζεται με Μ. Καλούμε Στατική Ροπή ή απλώς Ροπή μιας δύναμης F ως προς σημείο Ο, το γινόμενο της δύναμης F επί την κάθετη απόσταση α μεταξύ της δύναμης και του σημείου στροφής Ο. Μ = F α Την απόσταση α την ονομάζουμε Μοχλοβραχίονα. Μονάδες Στατικής Ροπής Διεθνές σύστημα (S.I): N m Τεχνικό σύστημα (Τ.Σ.): Kp m Πρόσημο Ροπής: Η ροπή θεωρείται ότι είναι θετική, όταν η στροφή της δύναμης ως προς το σημείο, πραγματοποιείται κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού και αρνητική κατά την αντίθετη φορά. Είναι διανυσματικό μέγεθος, διότι χαρακτηρίζεται από το μέτρο της και την διεύθυνσή της. Αν το σημείο Ο βρίσκεται πάνω στην ευθεία ενέργειας της δύναμης, τότε η ροπή μηδενίζεται. Ο μοχλοβραχίονας α είναι πάντα η κάθετη απόσταση του σημείου στροφής Ο από την ευθεία ενέργειας της δύναμης, ανεξάρτητα από το σημείο εφαρμογής της. Ζεύγος δυνάμεων Δύο δυνάμεις, οι οποίες ενεργούν σε παράλληλες ευθείες ενέργειας και έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά, αποτελούν ζεύγος δυνάμεων. Σχ. 2.4 Γραμμικό σύστημα δυνάμεων 23
Το ζεύγος δυνάμεων τείνει να περιστρέψει το σώμα και αποτελεί από μόνο του μια ροπή. Παράδειγμα το τιμόνι του αυτοκινήτου. Η ροπή του ζεύγους που επενεργεί σε ένα επίπεδο φορέα είναι σταθερή και ανεξάρτητη από τη θέση της στο επίπεδο. 2.1.3 Ισοδυναμία δυνάμεων Σύστημα δυνάμεων συνιστούν οι δυνάμεις που είναι περισσότερες από μια. Χωρίζεται σε τρείς μεγάλες κατηγορίες: 1. Γραμμικό, όταν οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (σχ.2.4). 2. Επίπεδο, όταν οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο και μπορεί να είναι: α) Συντρέχουσες, όταν οι φορείς των δυνάμεων διέρχονται από το ίδιο σημείο (σχ.2.5α). β) Παράλληλες, όταν οι δυνάμεις είναι συνεπίπεδες (βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο) και οι φορείς τους είναι παράλληλοι (σχ.2.5β). γ) Τυχούσες, όταν οι δυνάμεις είναι συνεπίπεδες, αλλά οι φορείς τους δεν είναι ούτε συντρέχουσες, ούτε παράλληλες (σχ.2.5γ). 3. Στο χώρο, όταν οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα. Σχ. 2.5 Επίπεδο σύστημα δυνάμεων: α) Συντρέχουσες β) Παράλληλες γ) Τυχούσες Συνισταμένη-συνιστώσες, σύνθεση-ανάλυση Το βασικό πρόβλημα της Στατικής βρίσκεται στο να μπορέσουμε να καθορίσουμε τις συνθήκες που πρέπει να παρουσιάζει ένα σύστημα δυνάμεων για να ισορροπεί, όταν σε αυτό επενεργούν διάφορες δυνάμεις. Σχετικό πρόβλημα της Στατικής είναι η σύνθεση δυνάμεων σε μια συνισταμένη. Συνισταμένη: λέγεται η δύναμη η οποία δημιουργεί από μόνη της κάποιο αποτέλεσμα (μεταβολή κινητικής κατάστασης ενός σώματος ή παραμόρφωση αυτού). Συμβολίζεται με το γράμμα R. Συνιστώσες: λέγονται δύο ή περισσότερες δυνάμεις που, όταν επενεργήσουν στο σώμα, δημιουργούν το ίδιο αποτέλεσμα με τη συνισταμένη. Σύνθεση: λέγεται η διαδικασία αντικατάστασης δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων (συνιστώσες) από μια (συνισταμένη). Ανάλυση: λέγεται η διαδικασία αντικατάστασης μιας δύναμης (συνισταμένης) από δύο ή περισσότερες (συνιστώσες). Για να ισορροπεί ένα σώμα, στο οποίο ενεργούν δυνάμεις, θα πρέπει η συνισταμένη τους να είναι μηδέν R=0 Η λύση του προβλήματος μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: α) Γραφικά (δηλ. σχεδιαστικά) β) Αναλυτικά (δηλ. αριθμητικά) 24
Παραλληλόγραμμο των δυνάμεων Έστω δύο δυνάμεις F 1 και F 2 που εφαρμόζονται στο σημείο Α ενός σώματος. Το αποτέλεσμα της ενέργειας των δυνάμεων αυτών είναι το ίδιο με το αποτέλεσμα της ενέργειας της δύναμης R, η οποία αποτελεί τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται με πλευρές F 1 και F 2 που λαμβάνονται σαν διανύσματα. (σχ. 2.6). Η δύναμη R είναι η συνισταμένη και οι F 1, F 2 οι συνιστώσες. Σχ. 2.6 Κανόνας του παραλληλογράμμου Η παραπάνω γεωμετρική κατασκευή ονομάζεται κανόνας του παραλληλογράμμου. Μια ισοδύναμη κατασκευή με το παραλληλόγραμμο είναι η κατασκευή του δυναμοτριγώνου (για δύο δυνάμεις F 1, F 2 ) ή του δυναμοπολυγώνου (για περισσότερες δυνάμεις) Από τυχαίο σημείο Α' (σχ. 2. 7) φέρνουμε το διάνυσμα Α Β που έχει το ίδιο μέτρο, την ίδια φορά και είναι παράλληλο με το διάνυσμα ΑΒ το οποίο παριστάνει τη δύναμη F 1. Από το τέλος του Β' φέρνουμε το διάνυσμα Β G που έχει το ίδιο μέτρο, την ίδια φορά και είναι παράλληλο με το διάνυσμα AG. Τέλος από το σημείο Α' φέρνουμε το διάνυσμα A G που έχει το ίδιο μέτρο, την ίδια φορά και είναι παράλληλο με το διάνυσμα AD. Το A G θα ισούται με τη ζητούμενη συνισταμένη R των F 1, F 2. Σχ. 2.7 Κατασκευή δυναμοτριγώνου Η ανάλυση μιας γνωστής δύναμης R σε δύο συνιστώσες, οι οποίες ενεργούν πάνω σε καθορισμένες ευθείες ενέργειας αποτελεί πρόβλημα αντίστροφο του προηγούμενου. Επιτυγχάνεται και με το παραλληλόγραμμο και με το δυναμοτρίγωνο. Παραλληλόγραμμο: από το άκρο Β του διανύσματος AB που παριστάνει τη δύναμη R (σχ. 2. 8), φέρνουμε τις παράλληλες ΒΓ, ΒΔ προς τις ευθείες ενέργειας (ε 2 ), (ε 1 ) αντίστοιχα. Τα σημεία τομής Γ και Δ ορίζουν τα διανύσματα AΓ, ΑΔ τα οποία παριστάνουν τις ζητούμενες δυνάμεις F1 και F2. Σχ. 2.8 Ανάλυση με την μέθοδο του παραλληλογράμμου Δυναμοτρίγωνο: από τα άκρα Α, Β του διανύσματος AΒ (σχ.2.9) που παριστάνει τη δύναμη R, φέρνουμε τις παράλληλες προς τις ευθείες ενέργειας (ε 1 ), (ε 2 ), οι οποίες τέμνονται στο σημείο Γ. Τα διανύσματα AΓ, ΓΒ παριστάνουν τις ζητούμενες δυνάμεις F 1 και F 2. Σχ. 2.9 Ανάλυση με την μέθοδο του δυναμοτριγώνου 25