ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Περιγραφή της μεθοδολογίας μελέτης και ανάλυσης των Γ.Χ.Α συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου στο χώρο κατάστασης. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Γενικές έννοιες 2. Επιλογή Μεταβλητών Κατάστασης 3. Πλεονεκτήματα του χώρου κατάστασης 4. Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης 5. Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης 6. Πίνακες 7. Λυμένες ασκήσεις 8. Ασκήσεις για Λύση 5

Γενικές έννοιες (1) Μία μεγάλη κατηγορία συστημάτων (γραμμικά, μη γραμμικά, χρονικά μεταβαλλόμενα και μη κ.α.) αναλύονται με τη μεθοδολογία του χώρου κατάστασης (state space) όπου το σύστημα περιγράφεται από ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, που περιγράφουν τις μεταβλητές κατάστασης. 6

Γενικές έννοιες (2) Οι μεταβλητές κατάστασης (state variables) είναι ο μικρότερος αριθμός των μεταβλητών που περιγράφουν τη μελλοντική απόκριση ενός συστήματος, όταν είναι γνωστές η παρούσα κατάσταση του συστήματος, οι είσοδοι του και οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του. Οι μεταβλητές κατάστασης ίσως δεν μπορούν πάντα να παρατηρηθούν ή να μετρηθούν, επηρεάζουν όμως τη συμπεριφορά του συστήματος. Είναι αυτές που καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εξελίσσεται το σύστημα και κατά κάποιο τρόπο "αποθηκεύουν" την προηγούμενη συμπεριφορά του. 7

Επιλογή Μεταβλητών Κατάστασης Παράδειγμα (1) Έστω το ακόλουθο μηχανικό σύστημα: Για να προσδιοριστεί η κατάσταση του συστήματος Θα πρέπει πρώτα να καταστρωθεί η διαφορική εξίσωση της κίνησης, η οποία Θα είναι 2ης τάξης. Κατά συνέπεια, ότι Θα πρέπει να αναζητηθούνε δύο μεταβλητές κατάστασης. Γνωρίζοντας την ταχύτητα z είναι γνωστή και η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στην μάζα Μ. Γνωρίζοντας την μετατόπιση z, είναι γνωστή και η ενέργεια που είναι συσσωρευμένη στο ελατήριο k. 8

Επιλογή Μεταβλητών Κατάστασης Παράδειγμα (2) Αν λοιπόν είναι γνωστές οι αρχικές συνθήκες των z και z καθώς και η δύναμη F(t), t 0, τότε είναι γνωστά τα Ζ και z για κάθε t 0, άρα είναι γνωστή και η συνολική συμπεριφορά του μηχανικού συστήματος. Έτσι, μεταβλητές κατάστασης είναι οι εξής: x 1 = z μετατόπιση x 2 = z ταχύτητα Παρατηρούμε ότι στο ανωτέρω παράδειγμα, ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης είναι ίσος με τον αριθμό των στοιχείων που συσσωρεύουν ενέργεια. 9

Γενικές έννοιες (3) Η εξίσωση κατάστασης (state differential equation) δίνει τη σχέση που υφίσταται μεταξύ των εισόδων του συστήματος, της κατάστασης του συστήματος και του ρυθμού μεταβολής της. Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο (linear time invariant) σύστημα πολλών εισόδωνπολλών εξόδων (ΠΕΠΕ) όπως στο σχήμα. 10

Γενικές έννοιες (4) Οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος (εξισώσεις κατάστασης state equations) είναι της μορφής: 11

Γενικές έννοιες (5) Οι πίνακες Α,Β,C,D καλούνται πίνακες του χώρου κατάστασης (state-space matrices). Ο πίνακας A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας nxn διαστάσεων, ονομάζεται πίνακας του συστήματος (state matrix) και αντιπροσωπεύει το φυσικό σύστημα, ο πίνακας B είναι nxr διαστάσεων και ονομάζεται πίνακας εισόδων (input matrix), ο πίνακας C είναι mxn διαστάσεων και ονομάζεται πίνακας εξόδων (output matrix) και ο πίνακας D είναι mxr διαστάσεων και ονομάζεται απευθείας πίνακας (feedforward matrix). 12

Γενικές έννοιες (6) 13

Γενικές έννοιες (7) 14

Δομικό διάγραμμα συστήματος στο χώρο κατάστασης 15

Πλεονεκτήματα του χώρου κατάστασης (1) Απλοποιείται σημαντικά η μαθηματική παράσταση των συστημάτων. Από υπολογιστική άποψη, οι μέθοδοι του χώρου κατάστασης είναι ιδιαίτερα κατάλληλες για τον προγραμματισμό σε ψηφιακό υπολογιστή. Με τη μέθοδο αυτή λαμβάνονται άμεσα υπ' όψη οι αρχικές συνθήκες στην ανάλυση των συστημάτων, πράγμα που είναι δύσκολο με τις κλασσικές τεχνικές. Οι μεταβλητές κατάστασης δεν παριστάνουν υποχρεωτικά φυσικές ποσότητες του συστήματος επομένως μπορούν να επιλεγούν και μη φυσικές ποσότητες. 16

Πλεονεκτήματα του χώρου κατάστασης (2) Δίνεται η δυνατότητα περιγραφής της κατάστασης του συνολικού συστήματος κάθε χρονική στιγμή, σε αντίθεση με τη συνάρτηση μεταφοράς όπου συνδέει την είσοδο με την έξοδο. Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί επιτρέπει την παρατήρηση του συστήματος κάθε χρονική στιγμή της λειτουργίας του. Ένα σύστημα σε μορφή εξισώσεων κατάστασης μπορεί εύκολα να προσομοιωθεί τόσο σε αναλογικό όσο και σε Ψηφιακό υπολογιστή. Εκτός των γραμμικών, παρέχουν τη δυνατότητα περιγραφής και των μη-γραμμικών, και των χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων, κάτι το οποίο δεν μπορεί να γίνει με χρήση της συνάρτησης μεταφοράς. 17

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (1) 1. Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα που περιγράφεται από τη γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής της σχέσης (8). 18

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (2) 19

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (3) Στο σχήμα δίνεται το δομικό διάγραμμα πραγματοποίησης των σχέσεων (11) και (12). 20

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (8) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Οι εξισώσεις κατάστασης των σχέσεων (16) και (17) είναι σε κανονική μορφή φάσης (phase variable canonical form) ενώ οι μεταβλητές κατάστασης ονομάζονται μεταβλητές φάσης (phase variables). 25

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (9) Στο σχήμα δίνεται το δομικό διάγραμμα υλοποίησης των σχέσεων (16) και (17). 26

Σχέση μεταξύ εξισώσεων κατάστασης και συνάρτησης μεταφοράς Έστω ότι ένα σύστημα περιγράφεται από τις Ε.Κ (1). Ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος δίνεται από την σχέση: 27

Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης (1) Οι δυναμικές εξισώσεις συστήματος πολλών εισόδων πολλών εξόδων (εξισώσεις κατάστασης) είναι της μορφής: 28

Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης (2) Όπου xzi () t η απόκριση μηδενικής εισόδου (zero input or initial condition response) ή ελεύθερη απόκριση (free response) που είναι η απόκριση του συστήματος όταν αυτό διεγείρεται μόνο από τις αρχικές του συνθήκες και x zs () t η απόκριση μηδενικής κατάστασης (zero state response) που οφείλεται μόνο στις εισόδους του συστήματος. 29

Επίλυση της ομογενούς εξίσωσης x(t) = Ax(t) 30

Μέθοδοι υπολογισμού του e At 31

Παράδειγμα 32

Γενική λύση των εξισώσεων κατάστασης 33

Ελεγξιμότητα (1) Ένα σύστημα είναι ελέγξιμο (controllable) σε χρόνο t0, όταν το διάνυσμα κατάστασης x(t0) μπορεί να φθάνει μία καθορισμένη τιμή σε πεπερασμένο χρόνο, με το διάστημα ελέγχου u(t). Αυτό σημαίνει ότι μέσω των εισόδων που διαθέτει ένα σύστημα, μπορούμε να το οδηγήσουμε σε οποιαδήποτε επιθυμητή κατάσταση. Το διάνυσμα κατάστασης x(t) του συστήματος x = Ax+Bu είναι ελέγξιμο αν Τάξη S=n, n-1 S = B AB A B Ο πίνακας S λέγεται πίνακας ελεγξιμότητας (controllability matrix). 34

Ελεγξιμότητα (2) 35

Ελεγξιμότητα (3) Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ένα σύστημα τριών δεξαμενών με αλληλεπίδραση. Η στάθμη του υγρού των δεξαμενών ρυθμίζεται από τρείς αντλίες οι οποίες έχουν την δυνατότητα όχι μόνο να προσθέτουν αλλά και να αφαιρούν υγρό από τις δεξαμενές. 36

Ελεγξιμότητα (4) Το πρόβλημα είναι να εξεταστεί αν είναι δυνατόν ξεκινώντας από οποιεσδήποτε αρχικές τιμές των σταθμών των δεξαμενών να προσδιοριστούν σε πεπερασμένο χρόνο κάποιες επιθυμητές τελικές τιμές μέσω μίας κατάλληλης ρύθμισης στις παροχές των αντλιών. Το σκεπτικό είναι ότι αυτό είναι δυνατόν όταν το σύστημα ελέγχεται και από τις τρείς αντλίες. Η απάντηση όμως δεν είναι τόσο προφανής αν έχουμε στην διάθεσή μας μόνο δύο από τις αντλίες και είναι ακόμη λιγότερο προφανής αν διαθέτουμε μία μόνο αντλία. Είναι επίσης δυνατόν η επίτευξη των ανωτέρω να είναι εφικτή για κάποιες αρχικές τιμές σταθμών αλλά να μην είναι για κάποιες άλλες. Όλα αυτά τα ερωτήματα σχετίζονται με τις έννοιες της ελεγξιμότητας. 37

Παρατηρησιμότητα (1) Ένα σύστημα είναι παρατηρήσιμο (observable) σε χρόνο t0, όταν κάθε κατάσταση x(t0) μπορεί να προσδιοριστεί από παρατήρηση της εξόδου y(t) σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Αυτό σημαίνει ότι παρατηρώντας τις σχέσεις του συστήματος με το περιβάλλον (τις εξόδους του) μπορούμε να υπολογίσουμε την εσωτερική συμπεριφορά και την κατάσταση του συστήματος. Το διάνυσμα εξόδου y(t) είναι παρατηρήσιμο αν Τάξη Q=n, n 1 Q D CB CAB CA B 38

Παρατηρησιμότητα (2) Το διάνυσμα κατάστασης x(t) είναι παρατηρήσιμο αν Τάξη RT = n T T T T T 2 T T n 1 T R C A C A C A C Ο πίνακας RT λέγεται πίνακας παρατηρησιμότητας (observability matrix). 39

Παρατηρησιμότητα (3) 40

Ευστάθεια Ένα γραμμικό χρονικώς αμετάβλητο σύστημα είναι ευσταθές Φραγμένης Εισόδου- Φραγμένης κατάστασης, αν τα πραγματικά μέρη των ιδιοτιμών του πίνακα Α είναι αρνητικά ή ισοδύναμα οι ιδιοτιμές του πίνακα Α (ισοδύναμα οι πόλοι του χαρακτηριστικού πολυώνυμου Ρ(s) = si - Α βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο (έχουν πραγματικό μέρος αρνητικό). 41

Περιγραφή συστημάτων Διακριτού χρόνου στο χώρο κατάστασης Μία άλλη περιγραφή συστημάτων διακριτού χρόνου είναι η περιγραφή μέσω των εξισώσεων του χώρου κατάστασης (state space representations) όπου οι εξισώσεις διαφορών που περιγράφουν την χρονική συμπεριφορά του συστήματος σε διακριτό χρόνο η έχουν την μορφή: 42

Λύση των εξισώσεων του χώρου κατάστασης (1) 43

Λύση των εξισώσεων του χώρου κατάστασης (2) 44

Σχέση μεταξύ εξισώσεων κατάστασης και συνάρτησης μεταφοράς Ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος δίνεται από την σχέση: G(z) = C (zi A) -1 B + D 45

Παράδειγμα (1) 46

Παράδειγμα (2) 47

Μεταβατικός πίνακας (Transition Ο πίνακας Α ονομάζεται μεταβατικός πίνακας ή πίνακας διελεύσεως του συστήματος. Είναι matrix) Ο μεταβατικός πίνακας κατάστασης Φ(n) εξαρτάται μόνο από πίνακα Α και παριστά την ελεύθερη απόκριση του συστήματος, δηλαδή όταν το σύστημα δεν διεγείρεται από εξωτερικές δυνάμεις παρά μόνο αντιδρά στις εξωτερικές του συνθήκες. 48

Ελεγξιμότητα (4) 50

Παρατηρησιμότητα (4) Το σύστημα είναι παρατηρήσιμο ως προς την κατάσταση αν και μόνο αν ο βαθμός του πίνακα παρατηρησιμότητας (observability matrix) Η παρατηρησιμότητα παίζει σπουδαίο ρόλο στη σχεδίαση συστημάτων ανάδρασης-εξόδου (output-feedback) διότι μερικές καταστάσεις μπορεί να μην είναι παρατηρήσιμες στην έξοδο, αλλά μπορεί να είναι σημαντικές σαν καταστατικές μεταβλητές και άρα ο έλεγχος τους συστήματος να εξαρτάται (και) από αυτές. 52

Πίνακας 1 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων (1) 53

Πίνακας 1 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων (2) 54

Πίνακας 2 Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης σε κανονική μορφή (1) 55

Πίνακας 4 Μήτρα μεταφοράς - λύση Ε.Κ - ελεγξιμότητα παρατηρησιμότητα (1) 58

Πίνακας 6 Περί πινάκων (1) 61

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Άσκηση 1 66

Λύση Άσκησης 1 (1) 67

Άσκηση 2 71

Άσκηση 3 75

Άσκηση 4 83

Λύση Άσκησης 4 84

Άσκηση 5 85

Άσκηση 6 89

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Άσκηση 1 94

Άσκηση 2 95

Άσκηση 3 96

Άσκηση 4 97

Άσκηση 5 98

Τέλος Ενότητας