ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 4 Φεβρουαρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1 ο (.5) Αναλύστε το ρόβληµα της τραγωδίας των κοινών για δύο αίκτες ου έχουν να καταναλώσουν έναν κοινόχρηστο µη-ανανεώσιµο όρο µέσα σε δύο ηµέρες. Η αρχική οσότητα του όρου είναι y. Το όφελος κάθε αίκτη αό την κατανάλωση οσότητας c κάοια ηµέρα είναι log(c). Το συνολικό του όφελος είναι το άθροισµα του οφέλους του για κάθε µέρα ξεχωριστά. α) Ποιες οσότητες καταναλώνουν οι δύο αίκτες κάθε µέρα, όταν ο καθένας κοιτάζει µόνο το ατοµικό του όφελος; Ποιο είναι το συνολικό τους όφελος σε αυτή την ερίτωση; (1.5) β) Τι γίνεται εάν οι αίκτες λειτουργήσουν µε κριτήριο τη µεγιστοοίηση του συνολικού οφέλους και των δύο αικτών; (1) 1 ίνονται: lo g ( x) ( f o g) ( x) f ( g( x)) g ( x) x α) Έστω ότι την ρώτη ερίοδο κάθε αίκτης κατανάλωσε c A και c B οσότητες αντίστοιχα. Την δεύτερη (και τελευταία) ερίοδο κάθε αίκτης θα ροσαθήσει να καταναλώσει το µέγιστο της υόλοιης οσότητας, η οοία είναι y-c A -c B. Έτσι, τη δεύτερη ερίοδο κάθε αίκτης θα καταναλώσει: y c A c B Το ερώτηµα λοιόν είναι οιες ρέει να είναι οι οσότητες c A και c B. Θα υολογίσουµε για τον αίκτη Α οια είναι η καλύτερή του αάντηση για µια τυχαία κατανάλωση c B του αίκτη Β στον ρώτο γύρο. Έστω λοιόν ότι ο αίκτης Α καταναλώνει c A στον ρώτο γύρο. Το αναµενόµενο συνολικό του όφελος (και για τους δύο γύρους) είναι: cb log ca + log Η αραάνω οσότητα µεγιστοοιείται για: y cb ca RA( cb ) Με αρόµοιο συλλογισµό βρίσκουµε ότι η καλύτερη ειλογή του αίκτη Β στον ρώτο γύρο είναι: cb RB ( ca) Ο συνδυασµός εκείνος, c A * και c B *, ου αντιστοιχεί στο σηµείο ισορροίας Nash, καθώς και τα αντίστοιχα κέρδη είναι: * * y * * y y ca cb Α B log + log 3 3 6 β) Η λύση ου βρέθηκε µε βάση το σηµείο ισορροίας Nash δεν είναι η βέλτιστη. Ας θεωρήσουµε ως βέλτιστη εκείνη τη λύση ου µεγιστοοιεί το συνολικό όφελος για το σύνολο των αικτών και το σύνολο των εριόδων:
η οοία µεγιστοοιείται για: log c + log c c + log # B ολ A B c # # y A cb 4 4 log 4 y # ολ ΘΕΜΑ ο (.5) ύο εταιρείες, οι 1 και, έχουν αό µία κενή θέση εργασίας. Οι δύο εταιρείες δίνουν διαφορετικούς µισθούς, w 1 και w αντίστοιχα, οι οοίοι δεν είναι ίδιοι µεταξύ τους, αλλά διαφέρουν το ολύ κατά έναν αράγοντα, δηλαδή: ½w 1 <w <w 1 Υάρχουν δύο υοψήφιοι εργαζόµενοι, Α και Β, κάθε ένας αό τους οοίους µορεί να κάνει αίτηση ρόσληψης µόνο σε µια εταιρεία, χωρίς να γνωρίζει σε οια εταιρεία θα κάνει αίτηση ο έτερος εργαζόµενος. Εάν σε µία εταιρεία υοβληθεί µόνο µια αίτηση ρόσληψης, αυτή γίνεται δεκτή. Εάν υοβληθούν δύο αιτήσεις, η εταιρεία ειλέγει τον έναν εργαζόµενο στην τύχη και ισοίθανα, ενώ ο άλλος µένει άνεργος (µηδενικό όφελος). Οι µισθοί w 1 και w είναι γνωστοί στους εργαζόµενους. α) Κατασκευάστε τον ίνακα του αιχνιδιού. Για τις αολαβές των αικτών όταν υοβάλλουν στην ίδια εταιρεία χρησιµοοιείστε την αναµενόµενη αολαβή. (0.5) β) Βρείτε τα σηµεία ισορροίας Nash µε καθαρές στρατηγικές. (1) γ) Βρείτε το σηµείο ισορροίας Nash µε µικτές στρατηγικές. (1) α) Ο ίνακας του αιχνιδιού είναι ο εξής: Α / Β 1 1 ½w 1, ½w 1 w 1,w w,w 1 ½w, ½w β) Στο αραάνω ίνακα υάρχουν δύο σηµεία ισορροίας Nash µε καθαρές στρατηγικές, και συγκεκριµένα τα (,1) και (1,): Α / Β 1 1 ½w 1, ½w 1 w 1,w w,w 1 ½w, ½w Πράγµατι, το σηµείο (,1) είναι σηµείο ισορροίας γιατί w >½w 1 και φυσικά w 1 >½w 1. Παρόµοια το σηµείο (1,) είναι σηµείο ισορροίας γιατί w 1 >½ w και φυσικά w >½w. γ) Έστω ότι ο εργαζόµενος Α ειλέγει την ειλογή 1 µε ιθανότητα p και άρα την ειλογή µε ιθανότητα 1-p. Η τιµή του p θα ρέει να είναι τέτοια, ώστε και για τις δύο ειλογές του Β το αναµενόµενο όφελος του B να είναι ίδιο: p½w 1 +(1-p)w 1 pw +(1-p)½w Λύνοντας την αραάνω βρίσκουµε p(w 1 -w )/(w 1 +w ). Παρόµοια, έστω ότι ο εργαζόµενος Β ειλέγει την ειλογή 1 µε ιθανότητα q και άρα την ειλογή µε ιθανότητα 1-q. Η τιµή του q θα ρέει να είναι τέτοια, ώστε και για τις δύο ειλογές του A το αναµενόµενο όφελος του A να είναι ίδιο: q½w 1 +(1-q)w 1 qw +(1-q)½w Λύνοντας την αραάνω βρίσκουµε και άλι q(w 1 -w )/(w 1 +w ). Άρα το σηµείο p(w 1 -w )/(w 1 +w ), q(w 1 -w )/(w 1 +w ) αοτελεί σηµείο ισορροίας Nash µε µικτές στρατηγικές. Το αναµενόµενο όφελος για τον αίκτη Α σε αυτή την ερίτωση είναι: (Α)pq½w 1 +p(1-q)w 1 +(1-p)qw +(1-p)(1-q)½w.
ΘΕΜΑ 3 ο (.5) ίνεται ο αρακάτω ίνακας αιχνιδιού: A \ B S B1 S B S B3 S B4 S A1 5, 9 5, 7-3, 0 0, 5 S A 3, 10, 0 4, 5 15, 17 S A3-4, 1 10, 3, 0, -5 S A4 0, 1 8, - 6, 4 10, 0 α) Βρείτε τα σηµεία ισορροίας Nash του αιχνιδιού µε αµιγείς στρατηγικές. (0.5) β) Έστω ότι το αιχνίδι εαναλαµβάνεται για Τ γύρους. Βρείτε ένα σηµείο τέλειας ισορροίας Nash για υοαίγνια, µε αµιγείς στρατηγικές, το οοίο να εριλαµβάνει το συνδυασµό στρατηγικών (S A, S B4 ) στους ρώτους γύρους. Ποια είναι η ελάχιστη τιµή του Τ για την οοία έχει νόηµα το σηµείο ισορροίας ου βρήκατε; () Υόδειξη: Ένα σηµείο τέλειας ισορροίας Nash για υοαίγνια µορεί να εριλαµβάνει το συνδυασµό (S A, S B4 ) για τους ρώτους Τ-Κ γύρους, όου Κ<Τ, και κάοια «ανταµοιβή» για τους τελευταίους Κ γύρους, εφόσον η συµφωνία των ρώτων γύρων τηρηθεί. Η ανταµοιβή µορεί να διαρκεί Κ>1 γύρους και να εριλαµβάνει συνδυασµό στρατηγικών. Παρατήρηση: Μιας και ρόκειται για εερασµένο αιχνίδι, δεν χρειάζεται να λάβετε υόψη τον αράγοντα ροεξόφλησης. α) Τα σηµεία ισορροίας Nash µε αµιγείς στρατηγικές είναι τα (S A1,S B1 ), (S A3,S B ) και (S A4,S B3 ): A \ B S B1 S B S B3 S B4 S A1 5, 9 5, 7-3, 0 0, 5 S A 3, 10, 0 4, 5 15, 17 S A3-4, 1 10, 3, 0, -5 S A4 0, 1 8, - 6, 4 10, 0 β) Το σηµείο (S A, S B4 ) δεν αοτελεί σηµείο ισορροίας Nash, άρα οοιαδήοτε συµφωνία µεταξύ των δύο αικτών ρέει στο τέλος να καταλήγει σε ειλογή ου να είναι ισορροία Nash. Εάν οι δύο αίκτες ειλέξουν µια συµφωνία ου για τους ρώτους γύρους εριλαµβάνει µόνο το σηµείο (S A, S B4 ), αυτή τη συµφωνία έχουν και οι δύο αίκτες τάση να την αθετήσουν. Ειδικότερα, ο αίκτης Α έχει τάση να ειλέξει την ειλογή S A1, και να κερδίσει 5 µονάδες οφέλους ερισσότερο, ενώ ο αίκτης Β έχει την τάση να ειλέξει την ειλογή S B και να κερδίσει 3 µονάδες ερισσότερο. Για να µην αθετήσει κανείς αίκτης τη συµφωνία θα ρέει στο τέλος να υάρχει ισχυρή τιµωρία. Η τιµωρία µορεί να γίνει µε ειλογή καλών και κακών σηµείων ισορροίας Nash στο τέλος του αιχνιδιού, έτσι ώστε στην ερίτωση των καλών σηµείων ισορροίας Nash το κέρδος για τους δύο αίκτες να είναι µεγαλύτερο αό το κέρδος αθέτησης της συµφωνίας. Βλέουµε ότι κανένα αό τα τρία σηµεία ισορροίας Nash δεν υερέχει των υολοίων και για τους δύο αίκτες, όµως ο συνδυασµός των δύο ρώτων σηµείων ισορροίας, (S A1,S B1 ), (S A3,S B ), υερέχει κατά µέσο όρο και για τους δύο αίκτες, έναντι του τρίτου σηµείου ισορροίας (S A4,S B3 ). Ειδικότερα, εάν στους δύο τελευταίους γύρους οι δύο αίκτες ειλέξουν τις στρατηγικές (S A1,S B1 ), (S A3,S B ), µία σε κάθε γύρο, θα έχουν συνολικό όφελος (15,1). Αντίθετα, εάν στους δύο τελευταίους γύρους ειλέξουν τη στρατηγική (S A4,S B3 ), τότε το συνολικό τους όφελος είναι (1,8). Η διαφορά του οφέλους είναι για τους δύο αίκτες (3,4). Εειδή το όφελος αό την αθέτηση της συµφωνίας των ρώτων γύρων είναι 5 για τον ρώτο αίκτη και 3 για τον δεύτερο, η συµφωνία των τελευταίων γύρων ρέει να διαρκεί τέσσερις γύρους, ώστε η διαφορά οφέλους για τους δύο αίκτες να είναι (6,8). Έχουµε λοιόν την εξής συνολική συµφωνία: Στους ρώτους Τ-4 γύρους οι αίκτες ειλέγουν (S A, S B4 ). Εάν η συµφωνία διατηρηθεί, στους τελευταίους 4 γύρους ειλέγουν εναλλάξ (S A1,S B1 ), (S A3,S B ). Εάν η συµφωνία των ρώτων γύρων σάσει, αό τον αµέσως εόµενο γύρο και µέχρι το τέλος οι αίκτες ειλέγουν (S A4,S B3 ). Είναι φανερό ότι το ελάχιστο Τ για το οοίο έχει νόηµα η αραάνω συµφωνία είναι Τ5.
ΘΕΜΑ 4 ο (.5) Έστω δύο αίκτες, Α και Β, µε δύο διαφορετικούς ισοίθανους τύους για τον αίκτη Α (Α1 και Α). Ο αίκτης Β δεν γνωρίζει οιος είναι ο τύος του αίκτη Α. Οι ίνακες του αιχνιδιού για τους δύο διαφορετικούς τύους του αίκτη Α φαίνονται αρακάτω: Α\Β L R Α\Β L R T 1,1 0,0 T 0,0 0,0 B 0,0 0,0 B 0,0, Τύος Α1 Τύος Α Βρείτε όλα τα σηµεία ισορροίας Bayes-Nash µε καθαρές στρατηγικές για το αραάνω αιχνίδι. Είναι φανερό ότι ο αίκτης Α, εφόσον είναι τύου Α1, θα ειλέγει άντα τη στρατηγική Τ, ενώ εφόσον είναι τύου Α, θα ειλέγει άντα τη στρατηγική Β, αφού και στις δύο εριτώσεις ρόκειται για (ασθενώς) κυρίαρχες στρατηγικές. Ο αίκτης Β θα ρέει να ειλέξει µια στρατηγική η οοία θα µεγιστοοιεί το αναµενόµενο όφελός του και τις για δύο εριτώσεις τύων του αίκτη Α. Έστω λοιόν ότι ο αίκτης Β ειλέγει τη στρατηγική L. Το αναµενόµενο όφελός του, µε δεδοµένες τις ειλογές του αίκτη Α (τις οοίες είναι εύκολο για τον αίκτη Β να υολογίσει) είναι: Β (L)0.5 1+0.5 0.0.5. Εάν ο αίκτης Β ειλέξει τη στρατηγική R, τότε το αναµενόµενο όφελός του είναι Β (R)0.5 0+0.5 1. Άρα ο αίκτης Β ειλέγει τη στρατηγική R. Το σηµείο ισορροίας Bayes-Nash, µε καθαρές στρατηγικές, αοτελείται λοιόν αό τις στρατηγικές ( (Τ,Β), R). ΘΕΜΑ 5 (.5) Αναλύστε τη δηµορασία δεύτερης τιµής µε δύο αίκτες, όου υάρχουν δύο τύοι για κάθε αίκτη, ο τύος θ και ο τύος µ, µε θ>µ, όου θ και µ η αξία ου έχει για κάθε αίκτη το αντικείµενο της δηµορασίας. Ειδικότερα, για κάθε τύο αίκτη βρείτε: α) Την κυρίαρχη στρατηγική του. (0.5) β) Την ιθανότητα να κερδίσει τη δηµορασία. (0.5) γ) Το αναµενόµενο οσό ου θα ληρώσει. (1) δ) Το αναµενόµενο κέρδος του. (0.5) Παρατήρηση: Όταν οι δύο αίκτες ροσφέρουν το ίδιο οσό, η δηµορασία κατοχυρώνεται στην τύχη και ισοίθανα σε έναν αό τους δύο. α) Το βασικό χαρακτηριστικό της δηµορασίας δεύτερης τιµής είναι ότι έχει κυρίαρχη στρατηγική: Κάθε αίκτης ροσφέρει το µέγιστο ου είναι διατεθειµένος να ληρώσει. Κανείς αίκτης δεν έχει λόγο να ροσφέρει είτε λίγο λιγότερα, είτε λίγο ερισσότερα. Το αραάνω αοτέλεσµα είναι γενικό, δεν εξαρτάται αό το λήθος των αικτών, αό τους δυνατούς τύους κάθε αίκτη ούτε αό τις ιθανότητες εµφάνισής τους. Άρα η κυρίαρχη στρατηγική για τον αίκτη τύου θ είναι η θ, και για τον αίκτη τύου µ είναι η µ. β) Έστω ένας αίκτης τύου θ. Αυτός κερδίζει τη δηµορασία σίγουρα αν ο δεύτερος αίκτης είναι τύου µ, και µε ιθανότητα 50% εάν ο δεύτερος αίκτης είναι και αυτός τύου θ. Άρα ένας αίκτης τύου θ κερδίζει τη δηµορασία µε ιθανότητα ½ 1 + ½ ½0.75 Παρόµοια βρίσκουµε ότι ένας αίκτης τύου µ κερδίζει την δηµορασία µε ιθανότητα 0.5. γ) Το αναµενόµενο οσό ου θα ληρώσει ο αίκτης τύου θ είναι: ½ µ + ½ ½ θ ½(µ+θ/) Παρόµοια, το αναµενόµενο οσό ου θα ληρώσει ο αίκτης τύου µ είναι ½ ½ µ ¼ µ.
δ) Το αναµενόµενο κέρδος για τον αίκτη τύου θ είναι 0.75 θ-½(µ+θ/)(θ-µ)/ Το αναµενόµενο κέρδος για τον αίκτη τύου µ είναι ¼ µ- ¼ µ0. ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ 4 ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ 5 ΘΕΜΑΤΑ