Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 1. Η εκμάθηση της ανάλυσης των Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης. 4

Περιεχόμενα ενότητας (1) Γενικές έννοιες Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Αποσύζευξη των εξισώσεων κατάστασης Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης Σχέση μεταξύ εξισώσεων κατάστασης και συνάρτησης μεταφοράς Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης Επίλυση της ομογενούς εξίσωσης 5

Περιεχόμενα ενότητας Γενική λύση των εξισώσεων κατάστασης Διαγράμματα βαθμίδων των εξισώσεων κατάστασης Διαγράμματα ροής σημάτων των εξισώσεων κατάστασης Ελεγξιμότητα και Παρατηρησιμότητα Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου Τυπολόγιo Ασκήσεις και Λύσεις 6

Γενικές έννοιες (1) Μία μεγάλη κατηγορία συστημάτων (γραμμικά, μη γραμμικά, χρονικά μεταβαλλόμενα και μη κ.α.) αναλύονται με τη μεθοδολογία του χώρου κατάστασης (state space) όπου το σύστημα περιγράφεται από ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, που περιγράφουν τις μεταβλητές κατάστασης. 7

Γενικές έννοιες (2) Οι μεταβλητές κατάστασης (state variables) είναι ο μικρότερος αριθμός των μεταβλητών που περιγράφουν τη μελλοντική απόκριση ενός συστήματος, όταν είναι γνωστές η παρούσα κατάσταση του συστήματος, οι είσοδοι του και οι εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του. Οι μεταβλητές κατάστασης ίσως δεν μπορούν πάντα να παρατηρηθούν ή να μετρηθούν, επηρεάζουν όμως τη συμπεριφορά του συστήματος. Είναι αυτές που καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εξελίσσεται το σύστημα και κατά κάποιο τρόπο "αποθηκεύουν" την προηγούμενη συμπεριφορά του. 8

Γενικές έννοιες (3) Η εξίσωση κατάστασης (state differential equation) δίνει τη σχέση που υφίσταται μεταξύ των εισόδων του συστήματος, της κατάστασης του συστήματος και του ρυθμού μεταβολής της. Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο (linear time invariant) σύστημα πολλών εισόδωνπολλών εξόδων (ΠΕΠΕ) όπως στο σχήμα. 9

Γενικές έννοιες (4) Οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος (εξισώσεις κατάστασης state equations) είναι της μορφής: 10

Γενικές έννοιες (5) Οι πίνακες Α,Β,C,D καλούνται πίνακες του χώρου κατάστασης (state-space matrices). Ο πίνακας A είναι ένας τετραγωνικός πίνακας nxn διαστάσεων, ονομάζεται πίνακας του συστήματος (state matrix) και αντιπροσωπεύει το φυσικό σύστημα, ο πίνακας B είναι nxr διαστάσεων και ονομάζεται πίνακας εισόδων (input matrix), ο πίνακας C είναι mxn διαστάσεων και ονομάζεται πίνακας εξόδων (output matrix) και ο πίνακας D είναι mxr διαστάσεων και ονομάζεται απευθείας πίνακας (feedforward matrix). 11

Γενικές έννοιες (6) 12

Γενικές έννοιες (7) 13

Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα (1) 14

Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα (2) 15

Αποσύζευξη των εξισώσεων κατάστασης (1) 16

Αποσύζευξη των εξισώσεων κατάστασης (2) 17

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (1) 1. Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα που περιγράφεται από τη γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής της σχέσης (8). 18

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (2) 19

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (3) Στο σχήμα δίνεται το δομικό διάγραμμα πραγματοποίησης των σχέσεων (11) και (12). 20

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (8) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Οι εξισώσεις κατάστασης των σχέσεων (16) και (17) είναι σε κανονική μορφή φάσης (phase variable canonical form) ενώ οι μεταβλητές κατάστασης ονομάζονται μεταβλητές φάσης (phase variables). 25

Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης (9) Στο σχήμα δίνεται το δομικό διάγραμμα υλοποίησης των σχέσεων (16) και (17). 26

Σχέση μεταξύ εξισώσεων κατάστασης και συνάρτησης μεταφοράς Έστω ότι ένα σύστημα περιγράφεται από τις Ε.Κ (1). Ο πίνακας συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος δίνεται από την σχέση (19). 27

Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης (1) Οι δυναμικές εξισώσεις συστήματος πολλών εισόδων πολλών εξόδων (εξισώσεις κατάστασης) είναι της μορφής: 28

Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης (2) Όπου xzi () t η απόκριση μηδενικής εισόδου (zero input or initial condition response) ή ελεύθερη απόκριση (free response) που είναι η απόκριση του συστήματος όταν αυτό διεγείρεται μόνο από τις αρχικές του συνθήκες και x zs () t η απόκριση μηδενικής κατάστασης (zero state response) που οφείλεται μόνο στις εισόδους του συστήματος. 29

Επίλυση της ομογενούς εξίσωσης x(t) = Ax(t) 30

Γενική λύση των εξισώσεων κατάστασης 31

Διαγράμματα βαθμίδων των εξισώσεων κατάστασης Έστω ένα σύστημα πολλών εισόδων-πολλών εξόδων που περιγράφεται στο πεδίο s ως εξής: 32

Δομικό διάγραμμα των Ε.Κ στο πεδίο Στα ακόλουθα σχήματα απεικονίζονται τα δομικά διαγράμματα των Ε.Κ. στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας αντίστοιχα. του χρόνου 33

Δομικό διάγραμμα των Ε.Κ στο πεδίο της συχνότητας 34

Διαγράμματα ροής σημάτων των εξισώσεων κατάστασης (1) Στο ακόλουθο σχήμα απεικονίζεται το διάγραμμα ροής σημάτων του συστήματος πολλών εισόδων-πολλών εξόδων που περιγράφεται στο πεδίο s από τις σχέσεις (28) και (29). 35

Διαγράμματα ροής σημάτων των εξισώσεων κατάστασης (2) Για ένα σύστημα μιας εισόδου-μιας εξόδου που περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση της μορφής: 36

Διαγράμματα ροής σημάτων των εξισώσεων κατάστασης (3) Το διάγραμμα ροής σημάτων των εξισώσεων κατάστασης για μη μηδενικές αρχικές συνθήκες απεικονίζεται στο σχήμα. 37

Ελεγξιμότητα (1) Ένα σύστημα είναι ελέγξιμο (controllable) σε χρόνο t0, όταν το διάνυσμα κατάστασης x(t0) μπορεί να φθάνει μία καθορισμένη τιμή σε πεπερασμένο χρόνο, με το διάστημα ελέγχου u(t). Αυτό σημαίνει ότι μέσω των εισόδων που διαθέτει ένα σύστημα, μπορούμε να το οδηγήσουμε σε οποιαδήποτε επιθυμητή κατάσταση. Το διάνυσμα κατάστασης x(t) του συστήματος x = Ax+Bu είναι ελέγξιμο αν n-1 Τάξη S=n, S = B AB A B Ο πίνακας S λέγεται πίνακας ελεγξιμότητας (controllability matrix). 38

Ελεγξιμότητα (2) 39

Παρατηρησιμότητα (1) Ένα σύστημα είναι παρατηρήσιμο (observable) σε χρόνο t0, όταν κάθε κατάσταση x(t0) μπορεί να προσδιοριστεί από παρατήρηση της εξόδου y(t) σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Αυτό σημαίνει ότι παρατηρώντας τις σχέσεις του συστήματος με το περιβάλλον (τις εξόδους του) μπορούμε να υπολογίσουμε την εσωτερική συμπεριφορά και την κατάσταση του συστήματος. Το διάνυσμα εξόδου y(t) είναι παρατηρήσιμο αν Τάξη Q=n, n 1 Q D CB CAB CA B 40

Παρατηρησιμότητα (2) Το διάνυσμα κατάστασης x(t) είναι παρατηρήσιμο αν Τάξη RT = n R C A C A C A C T T T T T 2 T T n 1 T Ο πίνακας RT λέγεται πίνακας παρατηρησιμότητας (observability matrix). 41

Παρατηρησιμότητα (3) 42

Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (1) 1. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΜΕ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (State feedback) Σε κάθε ελέγξιμο σύστημα μπορούμε να επιβάλουμε ένα νέο σύνολο ιδιοτιμών με κατάλληλη επιλογή των συντελεστών ki στους βρόχους ανατροφοδότησης των μεταβλητών κατάστασης. 43

Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (2) 44

Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (3) Ας θεωρήσουμε ένα ελέγξιμο σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: 45

Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (4) Οι εξισώσεις κατάστασης για το σύστημα αυτό είναι: 46

Βήματα σχεδίασης για τοποθέτηση των πόλων (1) Β1. Έλεγχος του συστήματος ως προς την πλήρη ελεγξιμότητα του διανύσματος κατάστασης. Β2. Από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο για τον πίνακα Α: Προσδιορισμός των τιμών α 1, α 2,.α n-1, α n. Β3. Έυρεση του πίνακα Τ που μετασχηματίζει τις εξισώσεις κατάστασης σε κανονική ελέγξιμη μορφή.(αν το σύστημα είναι σε κανονική ελέγξιμη μορφή ήδη τότε Τ=1) είναι: n n-1 si - A = s + α1s + + αn-1s + α n (44) 48

Βήματα σχεδίασης για τοποθέτηση των πόλων (2) 49

Βήματα σχεδίασης για τοποθέτηση των πόλων (3) Β4. Χρησιμοποιώντας τις επιθυμητές ιδιοτιμές, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο γράφεται (47): n n-1 (s - μ 1)(s - μ 2) (s - μ n ) = s + b1s + + bn-1s + bn Oπότε προσδιορίζονται οι συντελεστές b1, b2, bn-1 και bn Β5. Ο πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης Κ υπολογίζεται από τον τύπο (48): -1 K= bn- αn b n-1 - αn-1 b2- α2 b1- α1 T 50

Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (6) 2. ΑΠΟΣΥΖΕΥΞΗ ΕΙΣΟΔΩΝ- ΕΞΟΔΩΝ ΜΕ ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Για ένα σύστημα με ίσο αριθμό εισόδων-εξόδων (r=m) υπάρχει ένας πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης Κ (θεώρημα Falb - Wolovich 1967) ώστε κάθε είσοδος του κλειστού συστήματος να επηρεάζει μία μόνο έξοδο του (δηλαδή y1 =f(u1)) και είναι: * -1 * K = - (B ) A (49) 51

Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (8) Βασική επιδίωξη της αποσύζευξης ενός συστήματος είναι να καταστήσουμε κάθε έξοδο του συστήματος συνάρτηση μιας και μόνο εισόδου, δηλαδή να ανάγουμε ένα σύστημα πολλών εξόδων σε επί μέρους συστήματα μιας εισόδου - μιας εξόδου (SISO). Το γεγονός αυτό απλοποιεί σημαντικά τη μελέτη αλλά και τον περαιτέρω έλεγχο του συστήματος. 53

Πίνακας 1 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων (1) 54

Πίνακας 1 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων (2) 55

Πίνακας 2 Περιγραφή δυναμικών συστημάτων στο χώρο κατάστασης σε κανονική μορφή (1) 56

Πίνακας 3 Μετασχηματισμοί διανύσματος κατάστασης - ειδικές μορφές εξισώσεων κατάστασης (1) 62

Πίνακας 4 Μήτρα μεταφοράς - λύση Ε.Κ - ελεγξιμότητα παρατηρησιμότητα (1) 65

Πίνακας 5 Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (1) 68

Πίνακας 5 Σύγχρονες μέθοδοι σχεδίασης συστημάτων ελέγχου (2) 69

Πίνακας 6 Περί πινάκων (1) 70

Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ Σ.Α.Ε ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Άσκηση 1 76

Λύση Άσκησης 1 (1) 77

Άσκηση 2 81

Άσκηση 3 85

Άσκηση 4 93

Άσκηση 5 98

Άσκηση 1 για Λύση 106

Τέλος Ενότητας