ΠΕΡΙΟΧΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Γαλιατσάτου Π., Πρίνος Π. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Εργαστήριο Υδραυλικής, Θεσσαλονίκη, 54124, pgaliats@civil.auth.gr, prinosp@civil.auth.gr Περίληψη Στην παρούσα εργασία η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στη μέθοδο του δείκτη πλημμύρας χρησιμοποιείται προκειμένου να μειωθεί η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος σε σταθμούς στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Οι σταθμοί στους οποίους υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα ακραίων τιμών ύψους κύματος χωρίζονται σε δυο «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές», με τη χρήση τριών στατιστικών μέτρων ετερογένειας. Οι σταθμοί που οι L-ροπές των ακραίων τιμών τους παρουσιάζουν σημαντικές ασυμφωνίες από τις αντίστοιχες L-ροπές των σχηματισμένων περιοχών, αποκλείονται από την ανάλυση. Με χρήση ενός κατάλληλου στατιστικού μέτρου επιλέγεται ως περιοχική συνάρτηση κατανομής η Γενικευμένη Κατανομή Pareto (GPD). Το εύρος των διαστημάτων εμπιστοσύνης των επιπέδων επαναφοράς, που εκτιμάται με χρήση της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας, εμφανίζεται σημαντικά μειωμένο σε σχέση με το αντίστοιχο της μονομεταβλητής ανάλυσης. Με τη μέθοδο αυτή μειώνεται, συνεπώς, σημαντικά η αβεβαιότητα πρόβλεψης των ακραίων τιμών του ύψους κύματος. Λέξεις κλειδιά: μέτρα ετερογένειας, L-ροπές, δείκτης πλημμύρας, GPD, αβεβαιότητα. REGIONAL FREQUENCY ANALYSIS OF EXTREME WAVES Galiatsatou P., Prinos P. Department of Civil Engineering A.UT., Hydraulics Laboratory, Tessaloniki 54124, prinosp@civil.auth.gr, pgaliats@civil.auth.gr Abstract In the present work Regional Frequency Analysis (RFA) based on L-moments and on the index flood procedure is used in an attempt to reduce uncertainty in return level estimates of significant wave height extremes at selected locations/ stations of the North Aegean Sea. The selected stations, with available extreme wave height data, are divided in two acceptably homogeneous regions, utilizing three statistical heterogeneity measures. Stations with L-moment ratios of the extreme samples significantly discordant with the respective ratios of the formed regions are excluded from further analysis. The Generalized Pareto Distribution (GPD) is selected as the appropriate regional distribution for both regions formed, using an appropriate statistical measure. The range of the confidence intervals of the return levels, estimated using RFA appears to be significantly reduced, compared to the respective estimates of the univariate extreme value analysis. Therefore, RFA significantly reduces uncertainty in extreme wave height predictions. Keywords: heterogeneity measures, L-moments, index flood, GPD, uncertainty. 1. Εισαγωγή Οι πληροφορίες που αφορούν στις κατανομές των ακραίων τιμών των θαλάσσιων μεταβλητών είναι ιδιαίτερα σημαντικές για την εκτίμηση των παράκτιων πλημμυρών και της
διάβρωσης των ακτών, αλλά και για το σχεδιασμό των παράκτιων έργων. Συνεπώς, βασικός στόχος της μελέτης των θαλάσσιων μεταβλητών είναι ο προσδιορισμός της συνάρτησης κατανομής που παρουσιάζει την καλύτερη δυνατή προσαρμοστικότητα στο δείγμα των ακραίων τιμών τους. Το γεγονός ότι συχνά οι διαθέσιμες χρονοσειρές είναι πολύ σύντομης διάρκειας καθιστά ιδιαίτερα δύσκολη μια αξιόπιστη εκτίμηση των τιμών των εξεταζόμενων μεγεθών που αντιστοιχούν σε μεγάλες περιόδους επαναφοράς. Αυτό μπορεί να έχει σημαντική επίπτωση στην αβεβαιότητα που ενυπάρχει στην εκτίμηση του επιπέδου επαναφοράς, οδηγώντας σε μεγάλο εύρος διαστημάτων εμπιστοσύνης, που πολλαπλασιάζεται με την αύξηση της περιόδου επαναφοράς. Η επεξεργασία σύντομων χρονοσειρών για την ανάλυση ακραίων τιμών περιπλέκει τόσο τον προσδιορισμό της κατάλληλης συνάρτησης κατανομής, όσο και την εκτίμηση των παραμέτρων της επιλεγμένης συνάρτησης. Ο κύριος στόχος των μεθόδων που βασίζονται στην περιοχική ανάλυση είναι η επίτευξη πιο ικανών εκτιμητριών των ποσοστιαίων σημείων των μελετώμενων θαλάσσιων μεγεθών σε μια δεδομένη θέση, συνδυάζοντας διαθέσιμες πληροφορίες από διάφορες θέσεις ή σταθμούς μέτρησης με κοινά χαρακτηριστικά στοιχεία. Το βασικό κίνητρο μιας τέτοιας ανάλυσης είναι η χρήση της χωρικής πληροφορίας για τη μείωση της αβεβαιότητας που ενυπάρχει στις εκτιμήσεις των περιθώριων ακραίων τιμών μεμονωμένων θέσεων/ σταθμών. Η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας (Regional Frequency Analysis) αποτελεί ένα ευρύ πλαίσιο για την ανάλυση των ακραίων τιμών των θαλάσσιων μεταβλητών, που βοηθά στην πρόβλεψή τους με μεγαλύτερη ακρίβεια, ειδικά σε περιπτώσεις που το μήκος των διαθέσιμων χρονοσειρών είναι περιορισμένο. Οι Hosking & Wallis (1997) αναπτύσσουν μια εύρωστη ολοκληρωμένη προσέγγιση για την Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας, που βασίζεται στις L-ροπές. Η προσέγγιση αυτή περιλαμβάνει τεχνικές καθορισμού ομοιογενών περιοχών, προσδιορισμού και προσαρμογής περιοχικών πιθανολογικών κατανομών και ελέγχου της προσαρμοστικότητάς τους στα δεδομένα. Ο van Gelder (2000) συνδυάζει στατιστικούς ελέγχους και φυσικά θεωρήματα για τον προσδιορισμό ομοιογενών περιοχών και παρουσιάζει τις επιπτώσεις των σχηματιζόμενων περιοχών στην εκτίμηση των ακραίων τιμών του ύψους κύματος στο ολλανδικό τμήμα της Βόρειας Θάλασσας. Οι Sveinsson et al. (2001) εισάγουν ένα αναλυτικό μοντέλο για την Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας, γνωστό ως Δείκτης Πλημμύρας Πληθυσμού (PIF), όπου η ομοιογένεια μιας περιοχής ενσωματώνεται στη δομή που κατασκευάζεται στο χώρο των παραμέτρων. Οι Lin & Chen (2006) χρησιμοποιούν ένα τεχνητό νευρωνικό δίκτυο προκειμένου να προσδιορίσουν τις ομοιογενείς περιοχές, στις οποίες θα εφαρμοστεί η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας και προσαρμόζουν τη μεθοδολογία τους σε δεδομένα βροχόπτωσης στην Ταϊβάν. Οι Norbiato et al. (2007) και οι Wallis et al. (2007) εφαρμόζουν τη μεθοδολογία της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στο δείκτη πλημμύρας για να μελετήσουν τις ακραίες κατακρημνίσεις στις Ιταλικές Άλπεις και στη δυτική Πολιτεία της Ουάσινγκτον, αντίστοιχα. Οι Santos et al. (2011) εφαρμόζουν την Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας για τη διερεύνηση φαινομένων ξηρασίας στην Πορτογαλία. Στην εργασία αυτή η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στο δείκτη πλημμύρας χρησιμοποιείται προκειμένου να μειωθεί η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος σε σταθμούς στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Στην Ενότητα 2 της παρούσας εργασίας, πραγματοποιείται μια περιγραφή της μεθοδολογίας της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας. Ειδικότερα, εισάγονται και αναλύονται οι έννοιες των μέτρων ετερογένειας και ασυμφωνίας, του δείκτη πλημμύρας, της μεθόδου των L- ροπών και της Γενικευμένης Κατανομής Pareto (GPD) ως μοντέλου περιγραφής του ακραίου
δείγματος. Στην Ενότητα 3, παρατίθενται και σχολιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθοδολογίας σε επιλεγμένες θέσεις της θάλασσας του Βορείου Αιγαίου. Στην Ενότητα 4, παρουσιάζονται τα βασικότερα συμπεράσματα της μελέτης. 2. Μεθοδολογία Η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας (Regional Frequency Analysis) καθίσταται απαραίτητη όταν τα διαθέσιμα δεδομένα μιας θέσης/ σταθμού είναι ανεπαρκή για μια αξιόπιστη εκτίμηση των ποσοστιαίων σημείων μιας μεταβλητής. Μια «περιοχή» πρέπει να ελέγχεται στατιστικά όσον αφορά στην ομοιογένεια των στοιχείων της (Stedinger et al., 1993). Στην πραγματικότητα καταδεικνύεται μια ομάδα σταθμών που ελέγχονται σε σχέση με την ομοιογένειά τους, προκειμένου να σχηματίσουν την μονάδα της «περιοχής» που απαιτεί η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας. Ο όρος «περιοχή» εμπεριέχει ένα σύνολο γειτονικών σταθμών, ωστόσο η γεωγραφική εγγύτητα δεν είναι απαραιτήτως ένας δείκτης ομοιογένειας των κατανομών συχνότητας της μεταβλητής στις διάφορες θέσεις. Όλα τα διαθέσιμα στοιχεία στους διάφορους σταθμούς αυτής της περιοχής αναλύονται για να προσδιορίσουν τα χαρακτηριστικά της κατανομής συχνότητας της περιοχής. 2.1 ΜΕΤΡΑ ΕΤΕΡΟΓΕΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΣΥΜΦΩΝΙΑΣ Αφού αρχικά προσδιοριστεί μια εύλογη «περιοχή» θα πρέπει να υπολογιστούν τα μέτρα ετερογένειας (heterogeneity measures) και ασυμφωνίας (discordancy measure), προκειμένου να αξιολογηθεί εάν η συγκεκριμένη ομάδα έχει ουσία και έννοια ύπαρξης, σύμφωνα με τα κριτήρια και τους περιορισμούς των Hosking & Wallis (1997). Ειδικότερα, το μέτρο ετερογένειας αναφέρεται στη μεταβλητότητα των L-ροπών των δεδομένων των σταθμών συγκριτικά με την αντίστοιχη μεταβλητότητα που θα αναμενόταν για μια ομοιογενή περιοχή. Το μέτρο ετερογένειας (H - statistic) διαχωρίζεται σε τρεις συνιστώσες, τα μέτρα H(1), H(2) και H(3). Το μέτρο H(1) είναι η τυπική απόκλιση των συντελεστών διακύμανσης των L-ροπών (L- CVs) των σταθμών της υπό εξέταση περιοχής, τοποθετώντας σ αυτούς συντελεστές βαρύτητας σε συνάρτηση με το μήκος των διαθέσιμων χρονοσειρών. Τα μέτρα H(2) και H(3) είναι η μέση απόσταση των τοπικών συντεταγμένων των σταθμών από μια μέση περιοχική τιμή σε ένα διάγραμμα του συντελεστή διακύμανσης L-ροπών (L-CV) με την L-ασυμμετρία (L-Skewness) και της L-ασυμμετρίας (L- Skewness) με την L-κύρτωση (L-kurtosis), αντίστοιχα. Το μέτρο ασυμφωνίας που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία είναι αυτό που προτείνεται από τους Hosking & Wallis (1997) και χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει εκείνους τους σταθμούς/ θέσεις από μια δεδομένη περιοχή που παρουσιάζουν μια σημαντική ασυμφωνία με τους υπόλοιπους σταθμούς. Το μέτρο ασυμφωνίας προσεγγίζεται από τις L-ροπές των δεδομένων των σταθμών της περιοχής. Είναι μια μοναδική στατιστική ποσότητα, βασισμένη στη διαφορά των αναλογικών L-ροπών ενός συγκεκριμένου σταθμού από τις αντίστοιχες μιας ομοιογενούς περιοχής. Ένας σταθμός θεωρείται ότι βρίσκεται σε ασυμφωνία με τους υπόλοιπους μιας περιοχής εάν το μέτρο D i είναι μεγαλύτερο από μια κρίσιμη τιμή που εξαρτάται από τον αριθμό των σταθμών της περιοχής. Το μέτρο ασυμφωνίας D i δίνεται από τη σχέση: N 1 T 1 Di = N( ui - u) A ( ui - u) με T A = ( ui - u)( ui - u) (1) 3 i=1
όπου Ν είναι ο αριθμός των σταθμών της περιοχής και u είναι το διάνυσμα των αναλογικών L- ροπών (τ, τ 3, τ 4 ) για το σταθμό i. 2.2 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΛΗΜΜΥΡΑΣ Η μέθοδος εκτίμησης που χρησιμοποιεί το δείκτη πλημμύρας (index flood) βασίζεται στην παραδοχή ότι τα δεδομένα της υπο-μελέτη μεταβλητής σε Ν σταθμούς μιας ομοιογενούς περιοχής κατανέμονται κατά πανομοιότυπο τρόπο, με εξαίρεση την ενσωμάτωση ενός συντελεστή κλίμακας, του «δείκτη πλημμύρας», που προσδιορίζεται από τα δεδομένα του κάθε σταθμού. Ο συντελεστής αυτός είθισται να συμπίπτει με τη μέση τιμή των υπό-μελέτη δεδομένων σε κάθε σταθμό. Η μεθοδολογία βασίζεται στην εκτίμηση της καμπύλης περιοχικής αύξησης (regional growth curve) της αδιάστατης ποσοστιαίας συνάρτησης q(f). Θεωρώντας ότι υπάρχουν διαθέσιμα δεδομένα σε Ν σταθμούς, με το σταθμό i να έχει n i τιμές Q ij j=1,2, n i, η ποσοστιαία συνάρτηση Q(F) με 0<F<1 της συνάρτησης κατανομής στο σταθμό i θα είναι: Q( F) = μ q( F) i (2) όπου μ i είναι ο δείκτης πλημμύρας στο σταθμό i που μπορεί να θεωρηθεί ίσος με τη μέση τιμή της συνάρτησης συχνότητας της υπό-μελέτη μεταβλητής στο σταθμό και F η καμπύλη περιοχικής αύξησης, μια αδιάστατη ποσότητα κοινή για όλους τους σταθμούς της περιοχής. Για τον προσδιορισμό της καμπύλης περιοχικής αύξησης, q(f), πραγματοποιείται αρχικά η προσαρμογή κατάλληλων συναρτήσεων κατανομής στα δεδομένα του κάθε σταθμού μιας ομοιογενούς περιοχής και υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής αυτής, θ k (i) με τη μέθοδο των L-ροπών. Με δεδομένες τις εκτιμήσεις των παραμέτρων σε όλους τους σταθμούς, οι εκτιμήτριες των παραμέτρων για το σύνολο της περιοχής προκύπτουν από τη σχέση: ˆ R θ k (3) = N i i=1 N ˆ ( i n θ i=1 n ) k i Αντικαθιστώντας τις εκτιμήτριες αυτές στην αδιάστατη ποσοστιαία συνάρτηση q(f), προκύπτει η καμπύλη περιοχικής αύξησης ˆ R (,..., ˆ R q F θ 1 θk ). Οι εκτιμήσεις των επιπέδων επαναφοράς για δεδομένες περιόδους επαναφοράς στο σταθμό i προκύπτουν με εφαρμογή της Εξ. (2), συνδυάζοντας την εκτίμηση του δείκτη πλημμύρας μ i και τις εκτιμήσεις των αδιάστατων ποσοστιαίων σημείων που προκύπτουν από την q(f). Για τον προσδιορισμό μιας εύρωστης περιοχικής συνάρτησης κατανομής, χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία το στατιστικό μέτρο Z (Z-statistic), που εισήγαγαν οι Hosking & Wallis (1997). Το στατιστικό αυτό μέτρο αναπτύχθηκε για συναρτήσεις κατανομής με τρεις συνολικά παραμέτρους και ουσιαστικά προσδιορίζει το βαθμό που η θεωρητική L-κύρτωση της
προσαρμοσμένης συνάρτησης κατανομής προσεγγίζει την τιμή της L-κύρτωσης για την εξεταζόμενη περιοχή. Η προσαρμογή θεωρείται ικανοποιητική όταν Z 1.64. 2.3 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ L-ΡΟΠΩΝ Στη διαδικασία που περιγράφηκε στις προηγούμενες δυο παραγράφους, είναι εμφανές ότι η μέθοδος των L-ροπών χρησιμοποιείται σε τέσσερα διακριτά βήματα. Αρχικά, εφαρμόζεται στην εξέταση/ επιλογή των σταθμών που απαρτίζουν την εκάστοτε περιοχή, με τη συμμετοχή τους στον προσδιορισμό του μέτρου ασυμφωνίας D i. Χρησιμοποιείται, επίσης, στον προσδιορισμό των ομοιογενών περιοχών, με την εκτίμηση των τριών μέτρων ετερογένειας, Η. Ακόμη, χρησιμοποιείται για την επιλογή της καταλληλότερης συνάρτησης κατανομής για τα δεδομένα ολόκληρης της υπό-μελέτη περιοχής. Τέλος, είναι εμφανές ότι αποτελεί τη μέθοδο εκτίμησης των παραμέτρων τόσο των κατανομών των δεδομένων στους επιμέρους σταθμούς, όσο και στο σύνολο μιας περιοχής. Ο Hosking (1990) έχει ορίσει τις L-ροπές ως γραμμικό συνδυασμό αναμενόμενων τιμών των διατεταγμένων στατιστικών. Οι εκτιμήσεις L-ροπών των αδιάστατων συντελεστών διασποράς, ασυμμετρίας και κύρτωσης θεωρούνται αμερόληπτες με κανονική σχεδόν κατανομή (Stedinger et al., 1993). Ένα βασικό πλεονέκτημά τους έναντι των συμβατικών μεθόδων εκτίμησης αφορά στο ότι δεν παρουσιάζουν ευαισθησία σε «έκτοπες» τιμές (outliers) και στο γεγονός ότι η εφαρμογή τους δεν υπόκειται σε περιορισμούς που σχετίζονται με το μέγεθος του δείγματος. Οι L-ροπές μπορούν να εκφραστούν ως συνάρτηση των πιθανολογικά σταθμισμένων ροπών. Οι πιθανολογικά σταθμισμένες ροπές μιας τυχαίας μεταβλητής X με αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας F(x), ορίζονται ως : r β = E{ X[ F ( x)] } (4) r X όπου β r η πιθανολογικά σταθμισμένη ροπή r τάξης. Οι πρώτες τέσσερις L-ροπές εκφρασμένες με όρους πιθανολογικά σταθμισμένων ροπών δίνονται από τις σχέσεις: λ = β 1 2 3 4 0 λ = 2β - β 1 λ = 6β - 6β + β 2 3 0 1 λ = 20β - 30β +12β - β 2 0 1 0 (5) Στις παραπάνω σχέσεις χρησιμοποιούνται οι αμερόληπτες εκτιμήτριες των πιθανολογικά σταθμισμένων ροπών που δίνονται από τη σχέση: n 1 ( i -1)( i - 2)...( i - r) r = x( i) n ( n -1)( n - 2)...( n - r) i=1 b (6) όπου n το πλήθος του δείγματος και x (i) οι παρατηρήσεις διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά.
2.4 Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ GPD Η μέθοδος POT (Peaks-Over-Threshold) με την ασυμπτωτική κατανομή GPD (Generalized Pareto Distribution) (Reiss & Thomas, 2001), χρησιμοποιείται συχνά για την περιγραφή της συμπεριφοράς «γεγονότων» που υπερβαίνουν ένα καθορισμένο όριο (threshold), u. Εάν x (1), x (2),., x (k) είναι τα θεωρούμενα ως ακραία γεγονότα, οι αντίστοιχες υπερβάσεις του ορίου u θα δίνονται από τη σχέση : y j =x (j) u, με j= 1, 2,, k και η κατανομή τους θα προσεγγίζεται από ένα μέλος της οικογένειας GP (Generalized Pareto). Η συνάρτηση κατανομής που προσαρμόζεται στις υπερβάσεις y, για αρκετά μεγάλες τιμές του ορίου u, με δεδομένο ότι για τη μεταβλητή Χ ισχύει Χ>u, είναι: H ξy σ -1/ ξ ( y) = Pr( X - u x / X > u) = 1- (1+ ) με y > 0 και (1+ξy/ σ ) >0 (7) όπου σ και ξ είναι οι παράμετροι κλίμακας και σχήματος της κατανομής, αντίστοιχα. Η επιλογή του ορίου, u, είναι μια αρκετά δύσκολη διαδικασία. Το πρόβλημα εντοπίζεται στην εξισορρόπηση μεταξύ της αμεροληψίας και της διασποράς των τιμών που το υπερβαίνουν (excesses) (Coles, 2001). Οι συνήθεις μέθοδοι που βοηθούν στον προσδιορισμό του είναι: α) το διάγραμμα της μέσης τιμής των υπερβάσεων (mean excess plot) και β) η εκτίμηση των παραμέτρων σ και ξ του μοντέλου για ένα φάσμα πιθανών τιμών ορίων. Η προσαρμοστικότητα της κατανομής GPD στα δεδομένα του προβλήματος ελέγχεται με τη βοήθεια τεσσάρων διαγνωστικών διαγραμμάτων : α) του διαγράμματος πιθανότητας (p-p plot), β) του διαγράμματος ποσοστιαίων σημείων (q-q plot), γ) του διαγράμματος του επιπέδου επαναφοράς (return level plot) και δ) του διαγράμματος πυκνότητας (density plot). 2.5 ΔΙΑΘΕΣΙΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Τα διαθέσιμα δεδομένα για την παρούσα εργασία είναι τρίωρες προβλέψεις σημαντικού ύψους κύματος του μοντέλου WAM (από το ΕΛ.ΚΕ.Θ.Ε.) για μια χρονική περίοδο δέκα ετών (1995-2004) για ένα σύνολο δεκαπέντε σταθμών στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Οι θέσεις των σταθμών δίνονται στην Εικ. 1. Εικ. 1: Θέσεις των δεκαπέντε σταθμών όπου διατίθενται προβλέψεις του σημαντικού ύψους κύματος.
Η εφαρμογή της Γενικευμένης Κατανομής Pareto (GPD) προϋποθέτει αρχικά την επιλογή κατάλληλων ορίων σε όλους τους υπό-μελέτη σταθμούς και στη συνέχεια τον προσδιορισμό των τιμών του σημαντικού ύψους κύματος που υπερβαίνουν αυτά τα όρια (peaks over threshold). Με χρήση των τεχνικών προσδιορισμού του ορίου υπερβάσεων (υποενότητα 2.4), αλλά και της σύμβασης ότι στις Ελληνικές θάλασσες είθισται να θεωρούνται ακραία τα γεγονότα σημαντικού ύψους κύματος πάνω από 1.5m, επιλέγονται για τους δεκαπέντε σταθμούς όρια κοντά σ αυτή την τιμή. Προκειμένου να προκύψουν υπερβάσεις των ορίων που μπορούν να αποδοθούν σε διαφορετικά γεγονότα καταιγίδας, χρησιμοποιείται ένα ελάχιστο διάστημα μεταξύ των ακραίων τιμών ίσο με 48 ώρες. 3. Αποτελέσματα Για το σύνολο των διαθέσιμων σταθμών υπολογίζονται αρχικά οι L-ροπές των υπερβάσεων των επιλεγμένων ορίων και ειδικότερα οι αναλογικές L-ροπές, o L-συντελεστής διακύμανσης, η L-ασυμμετρία και η L-κύρτωση. Στη συνέχεια κατασκευάζονται τα διαγράμματα της L- ασυμμετρίας με τoν L-συντελεστή διακύμανσης (Εικ. 2α) και της L-ασυμμετρίας με την L- κύρτωση (Εικ. 2β). Εικ. 2: Διαγράμματα των αναλογικών L-ροπών: α) διάγραμμα της L-ασυμμετρίας με τoν L-συντελεστή διακύμανσης και β) διάγραμμα της L-ασυμμετρίας με την L-κύρτωση. Από την Εικ. 2 είναι εμφανές ότι οι αναλογικές L-ροπές των σταθμών 9 και 10 παρουσιάζουν μια σχετική ασυμφωνία με αυτές των υπόλοιπων σταθμών. Συγκεκριμένα, τόσο ο L-συντελεστής διακύμανσης, όσο και η L-ασυμμετρία των παραπάνω δυο σταθμών παρουσιάζουν σημαντικά μικρότερες τιμές σε σχέση με το υπόλοιπο δείγμα. Στους δυο αυτούς σταθμούς το δείγμα των ακραίων τιμών είναι σχεδόν υποδιπλάσιο των υπολοίπων. Επιπρόσθετα, οι ακραίες τιμές τους είναι σημαντικά μικρότερες από τις αντίστοιχες των άλλων σταθμών. Στην Εικ. 3 παρουσιάζονται ενδεικτικά οι ακραίες τιμές των σταθμών 8 και 10. Ο σταθμός 9 παρουσιάζει παρόμοια χαρακτηριστικά με τον 10. Είναι εμφανές ότι οι ακραίες τιμές του σταθμού 10 είναι πολύ λιγότερες από αυτές του σταθμού 8 (σχεδόν υποδιπλάσιες) και έχουν σημαντικά μικρότερο
μέγεθος. Το φαινόμενο μπορεί να εξηγηθεί μερικώς από τη θέση των σταθμών αυτών, πίσω από τον όγκο του νησιού της Σαμοθράκης. Το ανεμολογικό πεδίο είναι και στους δυο σταθμούς (σταθμοί 9 και 10) μικρότερης έντασης σε σχέση με τους υπόλοιπους, με αποτέλεσμα αυτό να επηρεάζει και το ύψος των κυματισμών. Οι σταθμοί αυτοί, αν και η ασυμφωνία τους με τους υπόλοιπους φαίνεται να οφείλεται σε φυσικούς παράγοντες, δεν συμπεριλαμβάνονται στην περιοχική ανάλυση. Στον αποκλεισμό τους αυτό συντελεί το γεγονός ότι αν αυτοί συμπεριληφθούν στην περιοχική ανάλυση οδηγούν σε «αναμφίβολα ετερογενείς περιοχές», είτε το σύνολο των σταθμών εξεταστεί ως μια ενιαία περιοχή, είτε γίνει διαχωρισμός σε δυο ομάδες ανάλογα με τη θέση τους. Εικ. 3: Σύγκριση των ακραίων τιμών του σημαντικού ύψους κύματος στους Σταθμούς 8 και 10. Προκειμένου να επιλεγούν εκείνες οι περιοχές που να μπορούν να χαρακτηριστούν ως «αποδεκτά ομοιογενείς», ελέγχονται διαφορετικοί συνδυασμοί των παραπάνω σταθμών (με εξαίρεση τους 9 και 10), που περιλαμβάνουν το σχηματισμό μιας ή δύο ομάδων. Τελικά, διαπιστώνεται ότι «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές» προκύπτουν με το διαχωρισμό των σταθμών σε δύο ομάδες, η πρώτη από τις οποίες περιλαμβάνει αυτούς που βρίσκονται δυτικά των εξαιρούμενων σταθμών (Σταθμοί 1-8) και η δεύτερη αυτούς που βρίσκονται στα ανατολικά τους (Σταθμοί 11-15). Στον Πίνακα 1, παρουσιάζονται τα μέτρα ετερογένειας (Η(1), Η(2) και Η(3)) των δύο περιοχών, η κρίσιμη τιμή του μέτρου ασυμφωνίας για καθεμιά από αυτές, καθώς και η μέγιστη τιμή του μέτρου ασυμφωνίας σε κάθε μια από τις δύο περιοχές και ο σταθμός στον οποίο αυτή εντοπίζεται. Ακόμη, δίνεται η τιμή του στατιστικού μέτρου Z για την προσαρμογή της Γενικευμένης Κατανομής Pareto (GPD) στα περιοχικά δεδομένα ακραίων τιμών. Πίνακας 1: Κρίσιμες τιμές του μέτρου ασυμφωνίας, τιμές των μέτρων ετερογένειας και του στατιστικού μέτρου Ζ. Μέτρο Στατιστική τιμή / «Περιοχή» Σταθμοί 1-8 Σταθμοί 11-15 Μέτρο Ετερογένειας Η(1) -0.70-1.08 Μέτρο Ετερογένειας Η(2) -2.37-0.88 Μέτρο Ετερογένειας Η(3) -3.00-1.04 Κρίσιμη τιμή μέτρου Ασυμφωνίας, D 2.140 1.333 Σταθμός όπου παρατηρείται μέγιστη τιμή του D Σταθμός 1 : D=1.91 Σταθμός 11 : D=1.33 Τιμή του μέτρου Ζ για την κατανομή GPD 0.97 < 1.64 1.67 ~ 1.64
Από τον Πίνακα 1 προκύπτει ότι και για τις δύο περιοχές και τα τρία μέτρα ετερογένειας είναι μικρότερα της μονάδας, γεγονός που υποδηλώνει «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές». Το αρνητικό, μάλιστα, πρόσημο των τριών μέτρων υποδηλώνει ότι η διασπορά μεταξύ των στατιστικών μέτρων των σταθμών κάθε περιοχής είναι μικρότερη από αυτή που θα αναμενόταν στην περίπτωση ομοιογενών περιοχών με ανεξάρτητες συναρτήσεις κατανομής των δεδομένων των σταθμών που τις απαρτίζουν. Υπάρχει, συνεπώς, ισχυρή διασυσχέτιση μεταξύ των πιθανολογικών κατανομών των ακραίων τιμών των σταθμών καθεμιάς από τις δύο σχηματισμένες περιοχές. Από τον Πίνακα 1, παρατηρείται ακόμη ότι δεν υπάρχει πρόβλημα ασυμφωνίας σε καμία από τις δύο περιοχές. Με βάση επίσης την τιμή του στατιστικού μέτρου Z για τις δύο περιοχές, διαπιστώνεται ότι η Γενικευμένη Κατανομή Pareto μπορεί να είναι μια κατάλληλη περιοχική κατανομή (Πίν. 1). Στον Πίνακα 2 παρουσιάζονται συγκριτικά οι εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς (μέση εκτίμηση και διάστημα εμπιστοσύνης 95%) που προκύπτουν με μονομεταβλητή ανάλυση και με περιοχική ανάλυση, σε έναν σταθμό της καθεμιάς από τις δύο περιοχές που μελετήθηκαν. Οι σταθμοί 3 και 13 επιλέγονται γιατί γειτνιάζουν με παράκτιες περιοχές που είναι σχετικά επιρρεπείς σε φαινόμενα πλημμύρας. Πίνακας 2: Επίπεδα επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος με μονομεταβλητή και περιοχική ανάλυση. Περίοδος επαναφοράς (έτη) 20 50 100 Σταθμός 3 Σταθμός 13 Μονομεταβλητή ανάλυση Περιοχική ανάλυση Μονομεταβλητή ανάλυση Περιοχική ανάλυση 5.05 5.08 3.99 4.28 (4.39, 5.70) (4.77, 5.47) (3.18, 4.79) (3.85, 4.80) 5.32 5.38 4.30 4.70 (4.49, 6.15) (4.96, 5.83) (3.20, 5.39) (4.15, 5.41) 5.49 5.58 4.51 5.00 (4.52, 6.46) (5.07, 6.11) (3.18, 5.84) (4.27, 5.82) Από τον Πίνακα 2 είναι ιδιαίτερα εμφανής η μείωση του διαστήματος εμπιστοσύνης 95% του ύψους κύματος, για την περίπτωση της περιοχικής ανάλυσης. Έτσι, στο σταθμό 3, η μείωση του εύρους του διαστήματος εμπιστοσύνης φτάνει και το 46%, για περίοδο επαναφοράς εκατό έτη. Η αντίστοιχη μείωση για το σταθμό 13 φτάνει το 42%. Με τη χρήση, συνεπώς, της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας μειώνεται σημαντικά η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς. Το άνω όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης για την περιοχική ανάλυση εμφανίζεται στο σταθμό 3 μειωμένο σε σχέση με το αντίστοιχο της μονομεταβλητής ανάλυσης. Η μείωση αυτή φτάνει το 5.4% για περίοδο επαναφοράς εκατό ετών. Στο σταθμό 13 οι διαφορές των δύο μεθόδων ως προς το άνω όριο του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι αμελητέες. Τέλος, στο σταθμό 13 η μέση εκτίμηση του επιπέδου επαναφοράς αυξάνεται με την περιοχική ανάλυση μέχρι περίπου 11% για περίοδο επαναφοράς εκατό ετών. 4. Συμπεράσματα Συζήτηση Στην εργασία αυτή η Περιοχική Ανάλυση Συχνότητας που βασίζεται στις L-ροπές και στο δείκτη πλημμύρας χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να προκύψουν ακριβέστερες εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος σε σταθμούς στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου. Τα κυριότερα συμπεράσματα της έρευνας συνοψίζονται παρακάτω:
Για το σύνολο των διαθέσιμων σταθμών στην περιοχή του Βορείου Αιγαίου, «αποδεκτά ομοιογενείς περιοχές» προκύπτουν με το διαχωρισμό των σταθμών σε δύο ομάδες, αφού αρχικά εξαιρεθούν από την ανάλυση σταθμοί που παρουσιάζουν σημαντικές ασυμφωνίες με τους υπόλοιπους στο χώρο των αναλογικών L-ροπών. Στις περιοχές που προκύπτουν παρατηρείται ισχυρή διασυσχέτιση μεταξύ των πιθανολογικών κατανομών των ακραίων τιμών των σταθμών τους. Με τη χρήση της Περιοχικής Ανάλυσης Συχνότητας μειώνεται σημαντικά η αβεβαιότητα στις εκτιμήσεις του επιπέδου επαναφοράς του σημαντικού ύψους κύματος. Στους σταθμούς που εξετάστηκαν ενδεικτικά, στις περιοχές των δυτικών και των ανατολικών σταθμών, αναφέρεται μείωση της τάξης του 46% και του 42%, αντίστοιχα, για περίοδο επαναφοράς εκατό έτη. 5. Ευχαριστίες Η εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του ευρωπαϊκού ερευνητικού προγράμματος THESEUS Innovative technologies for safer European coasts in a changing climate. 6. Βιβλιογραφικές Αναφορές Coles, S., 2001. An introduction to statistical modeling of extreme values. Springer Series in Statistics, Springer, Berlin., 208 pp. Hosking, J.R.M., 1990. L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics. Journal of the Royal Statistical Society, Series B 52 (2): 105-124. Hosking, J.R.M. & Wallis, J.R., 1997. Regional Frequency Analysis : An Approach based on L-Moments. Cambridge University Press, 238 pp. Lin, G.F. & Chen, L.H., 2006. Identification of homogeneous regions for regional frequency analysis using the selforganizing map. Journal of Hydrology, 324: 1-9 Norbiato, D., Borga, M., Sangati, M. & Zanon, F., 2007. Regional frequency analysis of extreme precipitation in the eastern Italian Alps and the August 29, 2003 flashflood. Journal of Hydrology, 345:149 166 Reiss, R.D. & Thomas, M., 2001. Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields. Second Edition, Birkhaüser, 443 pp. Santos, J.F., Portela, M.M. & Pulido-Calvo, I., 2011. Regional frequency analysis of droughts in Portugal. Water Resources Research, 46:W03503. doi:10.1029/2009wr008071 Stedinger, J.R., Vogel, R.M. & Foufoula-Georgiou, E., 1993. Frequency analysis of extreme events. Chapter 18. In:/Handbook of Applied Hydrology, Maidment, D.A. (Eds.),. McGraw-Hill, New York. Sveinsson, O.G.B., Boes, D.C. & Salas, J.D., 2001. Population index flood method for regional frequency analysis. Water Resources Research, 37: 2733-2748. van Gelder, P.H.A.J.M., 2000. Statistical methods for the risk-based design of civil structures. PhD-Thesis, University of Technology, Delft, The Netherlands, 249 pp. Wallis, J.R., Schaefer, M.G., Barker, B.L.& Taylor, G.H., 2007. Regional precipitation-frequency analysis and spatial mapping for 24-hour and 2-hour durations for Washington State. Hydrology and Earth System Sciences, 11 (1): 415-442.