Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Έστω ότι στη γενική περίπτωση το σύστημα περιγράφεται στο χώρο κατάστασης με το μαθηματικό πρότυπο: = f(, t), (t 0 ) = 0 () όπου είναι ένα διάστατο διάνυσμα κατάστασης και το f(, t) είναι ένα διάστατο διάνυσμα του οποίου τα στοιχεία είναι συναρτήσεις των,,, και του t 0.Τη λύση της () συμβολίζουμε με Φ(t,,t 0 ) όπου Φ(t, 0,t 0 ) = 0. Ορισμός : Το διάνυσμα e καλείται κατάσταση ισορροπίας(equilibrium state) του συστήματος αν ικανοποιεί τη σχέση: f( e, t) = 0 για όλα τα t () ο ορισμός είναι ισοδύναμος με την ιδιότητα (t 0 ) = e (t) = e t t 0 lyap0 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Για τον προσδιορισμό των καταστάσεων ισορροπίας δεν χρειάζεται να λυθεί η δυναμική εξίσωση () αλλά η αλγεβρική εξίσωση (). Έτσι όταν π.χ. το σύστημα είναι Γ.Χ.Α. f(, t) = A τότε υπάρχει μια μόνο κατάσταση ισορροπίας όταν Α 0 (και άπειρες καταστάσεις ισορροπίας όταν Α = 0). Όταν το σύστημα () είναι μη γραμμικό τότε μπορούν να υπάρχουν μια ή και περισσότερες καταστάσεις ισορροπίας. Αναφέρεται ότι κάθε μια κατάσταση ισορροπίας e μπορεί με τη χρήση μετασχηματισμών να μετατοπισθεί στην αρχή των αξόνων, οπότε η νέα κατάσταση ισορροπίας θα ικανοποιεί τη σχέση: f(0,t) = 0 t Ορισμός : (Κατά Lyapuo ευστάθεια γύρω από το σημείο ισορροπίας) Η κατάσταση ισορροπίας e του συστήματος () είναι ευσταθής αν για κάθε πραγματικό αριθμό ε > 0 υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός δ(ε,t 0 ) > 0 τέτοιος ώστε αν 0- e δ τότε Φ(t, 0,t 0 ) - e ε για όλα τα t t 0 όπου η ευκλείδια μετρική. Αν το δ δεν εξαρτάται από το t 0 τότε η e είναι ομοιόμορφα ευσταθής. lyap0 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Ο Ορισμός μας λεει ότι αν S(δ) η περιοχή που αποτελείται από όλα τα σημεία ώστε 0 - e δ και S(ε) η περιοχή που απαρτίζεται από όλα τα σημεία ώστε: Φ(t; 0,t 0 ) - e ε Τότε η κατάσταση ισορροπίας e λέγεται ευσταθής κατά Lyapuo αν σε κάθε S(ε) υπάρχει μια S(δ) τέτοια ώστε οι τροχιές (όλων των σημείων =Φ(t; 0 t 0 ) που ξεκινούν από το S(δ) δεν αφήνουν την S(ε) καθώς το t αυξάνει απεριόριστα. Με άλλα λόγια πρώτα διαλέγουμε μια περιοχή S(ε)και για κάθε S(ε) πρέπει να υπάρχει μια περιοχή S(δ) τέτοια ώστε οι τροχιές που ξεκινούν από την S(δ) δεν αφήνουν την S(ε) καθώς το t αυξάνει. lyap0 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ορισμοί (ημείο ισορροπίας - Ευστάθεια κατά Lyapuo) Ασυμπτωτική ευστάθεια: Μια κατάσταση ισορροπίας του συστήματος () λέγεται ασυμπτωτικά ευσταθής αν είναι ευσταθής κατά Lyapuo και αν κάθε λύση που ξεκινά μέσα στη S(δ) συγκλίνει στην e χωρίς να αφήνει την S(ε). Αν η ασυμπτωτική ευστάθεια δεν περιορίζεται στην περιοχή του μηδενός του χώρου κατάστασης αλλά ισχύει για οποιαδήποτε κατάσταση εκκίνησης o τότε η κατάσταση ισορροπίας ονομάζεται σφαιρική ασυμπτωτική ευστάθεια (προφανώς αναγκαία συνθήκη είναι εδώ να υπάρχει μία μόνο κατάσταση ισορροπίας). ευσταθής ασταθής ασυμπτωτικά ασυμπτωτικά ευσταθής ευσταθής σφαιρική lyap04 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ορισμοί (Ευστάθεια κατά Lyapuo) Δεύτερη Μέθοδος Lyapuo Γνωρίζουμε από τη μηχανική ότι ένα δονούμενο σύστημα είναι ευσταθές αν η ολική του ενέργεια (μια θετικά ορισμένη συνάρτηση) μειώνεται διαρκώς (που σημαίνει ότι η χρονική παράγωγος της ολικής ενέργειας πρέπει να είναι αρνητικά ορισμένη) μέχρις ότου φθάσει την ελάχιστη τιμή της στην κατάσταση ισορροπίας. Η δεύτερη μέθοδος Lyapuo βασίζεται σε γενίκευση αυτού του γεγονότος. Αν το σύστημα έχει μια ασυμπτωτικά ευσταθή κατάσταση ισορροπίας, τότε η αποθηκευμένη ενέργεια του συστήματος που μετατοπίζεται μέσα στην περιοχή της έλξης μειώνεται καθώς ο χρόνος αυξάνεται. Για καθαρά μαθηματικά συστήματα όμως δεν υπάρχει απλός τρόπος ορισμού μιας "συνάρτησης ενέργειας". Για να παρακάμψουμε αυτή τη δυσκολία ο Lyapuo εισήγαγε τη συνάρτηση Lyapuo, μια φανταστική "συνάρτηση ενέργειας". Η ιδέα είναι όμως πιο γενική από αυτήν της ενέργειας και πιο ευρέως εφαρμοσμένη. την πραγματικότητα οποιαδήποτε βαθμωτή συνάρτηση που ικανοποιεί τις υποθέσεις των θεωρημάτων ευστάθειας του Lyapuo μπορεί να είναι μια συνάρτηση Lyapuo. Οι συναρτήσεις Lyapuo εξαρτώνται από τα,,, και το t και συμβολίζονται με V(,t). Αν οι συναρτήσεις δεν περιέχουν ρητά το t τότε τις συμβολίζουμε με V(). lyap05 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Παράγωγος (Πεπλεγμένης συνάρτησης) Δεδομένο Αν f(t) =ƒ(u(t),(t)) τότε f (t) = f (u, )u(t) + f (u, ) (t) u Περίπτωση : Η συνάρτηση είναι μια χρονικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση του -διάστατου διανύσματος, (u(t)= (t) και (t)=t) Τότε V (, t) = V + V t t = = [grad ]V + V V + V όπου V = grad V = : Περίπτωση : Η συνάρτηση είναι μια χρονικά αμετάβλητη συνάρτηση του -διάστατου διανύσματος, (u(t)= (t) και (t)=0) V ((t)) = V Τότε V lyap05_a Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ορισμοί (Ευστάθεια κατά Lyapuo) τη δεύτερη μέθοδο του Lyapuo η συμπεριφορά προσήμου της V(,t) και της χρονικής της παραγώγου V (, t) = dv(, t)/dt μας δίνει πληροφορία για την ευστάθεια μιας κατάστασης ισορροπίας χωρίς να απαιτείται η εύρεση της λύσης του συστήματος. (Αυτό ισχύει και για γραμμικό και για μη γραμμικό σύστημα). Θεώρημα (Lyapuo) Έστω το σύστημα που περιγράφεται από την δυναμική εξίσωση = f(,t) όπου f(0,t)=0 t (δηλαδή η =0 είναι κατάσταση ισορροπίας), τότε αν υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση V(,t) που έχει συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους και που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:. η V(,t) είναι θετικά ορισμένη. η V(, t) είναι αρνητικά ορισμένη τότε η κατάσταση ισορροπίας =0 είναι ομοιόμορφα ασυμτπωτικά ευσταθής. Αν καθώς επιπρόσθετα V(,t) τότε η κατάσταση ισορροπίας στην αρχή =0 είναι ασυμπτώτικά ευσταθής σφαιρικά. lyap06 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ορισμοί (Ευστάθεια κατά Lyapuo) Το Θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής: Αν μπορεί να προσδιορισθεί μια χρονικά αμετάβλητη ή χρονικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση Lyapuo για το σύστημα τότε η κατάσταση ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθής και το σύστημα λέγεται ευσταθές κατά την έννοια του Lyapuo. Η χρονικά αμετάβλητη συνάρτηση V() πρέπει να ικανοποιεί τις εξής συνθήκες για όλα τα t>t 0 και για όλα τα στην περίπτωση του =0 όπου το =0 είναι σημείο ισορροπίας.. η V() και οι μερικές της παράγωγοι ορίζονται και είναι συνεχείς. V(0)=0. V()>0 για όλα τα 0 4. V() < 0 για όλα τα 0 όπου η V() είναι η ολική παράγωγος της V() δηλαδή T είναι V() = [grad V] Η χρονικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση V(,t) πρέπει να ικανοποιεί τις εξής συνθήκες για όλα τα t t 0 και για όλα τα στην περιοχή του =0 όταν το =0 είναι σημείο ισορροπίας.. Η V(,t) και οι μερικές τις παράγωγοι ως προς και ως προς t ορίζονται και είναι συνεχείς.. Η V(0,t)=0.. Η V(,t) α( )>0 για όλα τα 0 και t t 0 όταν α(0)=0 και α(μ) είναι μια βαθμωτή συνάρτηση του μ. V 4. Η V(,t) < 0 γιαόλατα 0 όπουηv(,t) δίνεται απότησχέσηv(,t) = [gradv] +. t lyap07 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Παράδειγμα Έστω το μη γραμμικό σύστημα = f() = = Να μελετηθεί η ευστάθεια του συστήματος με πιθανή συνάρτηση Lyapuo την V() = + Λύση Πρέπει να ελέγξουμε αν η πιθανή συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες του ορισμού. Το σημείο =0 είναι σημείο ισορροπίας γιαtτί f(0)=0 t. Αν τις ικανοποιεί τότε το σύστημα είναι ευσταθές στο σημείο ισορροπίας e =0. Αν δεν τις ικανοποιεί, τότε δεν μπορούμε να βγάλουμε κανένα συμπέρασμα για την ευστάθεια του συστήματος και θα πρέπει να αναζητήσουμε άλλες πιθανές συναρτήσεις Lyapuo. Οι τρεις πρώτες συνθήκες προφανώς ικανοποιούνται, για την τέταρτη συνθήκη έχουμε: T V V V() [grad V], [ ] [ ] = = = = 4 4 = ( + + ) = ( + ) Άρα V () < 0 0. Επομένως η V() είναι συνάρτηση Lyapuo και κατά συνέπεια το σύστημα είναι ευσταθές στο σημείο ισορροπίας e =0. Βλέπουμε ότι η V() είναι η απόσταση του διανύσματος κατάστασης (t)=[ (t), (t)] Τ από την αρχή των αξόνων στο σημείο (, ). Αν η απόσταση αυτή μικραίνει καθώς το t μεγαλώνει (δηλαδή V() < 0) τότε (t) 0. lyap08_e Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Αστάθεια (κατά Lyapuo) Έστω το σύστημα που περιγράφεται από την = f(, t) όπου f(0,t)=0 t t 0 (δηλαδή =0 κατάσταση ισορροπίας). H κατάσταση ισορροπίας είναι ασταθής αν υπάρχει συνάρτηση W(,t) που ικανοποιεί τις.w(,t) είναι θετικά ορισμένη στην γειτονική περιοχή του =0.. W(, t) είναι θετικά ορισμένη στην ίδια περιοχή. Επειδή τα θεωρήματα ευστάθειας της δεύτερης μεθόδου απαιτούν οι V() να είναι πάντα θετικά ορισμένες, συχνά (αλλά όχι πάντα) διαλέγουμε τη V() να είναι τετραγωνικής ή ερμιτιανής μορφής. lyap09 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ευστάθεια ΓΧΑ υστημάτων = A Έστω το σύστημα Υποθέτουμε ότι ο Α είναι ομαλός. Τότε η μόνη κατάσταση ισορροπίας είναι η =0. Για να μελετήσουμε την ευστάθεια αυτής της κατάστασης ισορροπίας διαλέγουμε σαν πιθανή συνάρτηση Lyapou την V()= Τ P όπου P είναι ένας θετικά ορισμένος πραγματικός συμμετρικός πίνακας. Η χρονική παράγωγος της V() κατά μήκος κάθε τροχιάς δίνεται από την V() T T T T = P + P = (A) P + PA = T T T T T = A P + PA = (A P + PA) Επειδή η V() διαλέχτηκε να είναι θετικά ορισμένη απαιτούμε για ασυμπτωτική ευστάθεια ότι V() T = Q όπου T ο Q = -(A P + PA) είναι θετικά ορισμένος. Κατά συνέπεια αρκεί ο πίνακας Q να είναι θετικά ορισμένος. lyap0 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ευστάθεια ΓχΑ υστημάτων Αντί όμως να καθορίσουμε πρώτα ένα θετικά ορισμένο πίνακα P και να εξετάσουμε αν ο Q είναι θετικά ορισμένος είναι πιο βολικό να καθορίσουμε ένα θετικό ορισμένο πίνακα Q και ακολούθως να εξετάσουμε αν ο P που καθορίζεται από τον τύπο A T P+PA = Q είναι θετικά ορισμένος. Ας σημειωθεί ότι ο P απαιτείται να είναι θετικά ορισμένος. Έτσι προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα Έστω το ΓΑ σύστημα = A Μια αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε η κατάσταση ισορροπίας να είναι ασυμπτωτικά σφαιρικά ευσταθής είναι ότι με δεδομένο ένα θετικά ορισμένο πραγματικό-συμμετρικό πίνακα Q (ή ερμητιανό πίνακα) να υπάρχει θετικά ορισμένος πραγματικόςσυμμετρικός (ή ερμητιανός) πίνακας P τέτοιος ώστε A T P+PA = Q. Η βαθμωτή συνάρτηση T P είναι η συνάρτηση Lyapou γι' αυτό το σύστημα. lyap Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Ευστάθεια ΓχΜ υστημάτων Για Γ..Μ συστήματα που περιγράφονται από τη διαφορική εξίσωση = A(t)(t) η αντίστοιχη eξίσωση προσδιορισμού του P(t) τώρα είναι η: P(t) + A T (t)p(t) + P(t)A(t) = Q(t) που είναι μια πινακοδιαφορική εξίσωση (της μορφής Ricatti) lyap Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
Μέθοδος Gradiet (Εύρεση συνάρτησης Lyapuo) Για την περίπτωση των μη γραμμικών συστημάτων έχουν προταθεί διάφοροι μέθοδοι προσδιορισμού μιας συνάρτησης Lyapou. Μία από τις επικρατέστερες είναι η μέθοδος των Schultz και Gibso ή μέθοδος Gradiet. Η μέθοδος βασίζεται στην ιδέα ότι αν υπάρχει μία συνάρτηση Lyapou που να αποδεικνύει ότι κάποιο σύστημα είναι ασυμπτωτικα ευσταθές τότε υπάρχει και ένα μοναδικό grad της συνάρτησης αυτής. Έστω ότι V() είναι μια πιθανή συνάρτηση Lyapou. Τότε θα είναι: lyap V V() T = ( V) όπου = grad και V = V Αν μας είναι γνωστή η συνάρτηση V, τότε η V υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα T, ( =... = = 0) V V = ( V) d = d 0 + 0, ( =, =... = = 0) V + d () 0 για να είναι όμως η βαθμωτή συνάρτηση V μοναδική, δηλαδή ανεξάρτητη από το δρόμο ολοκλήρωσης της V, θα πρέπει V=0 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ
lyap4 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ Μέθοδος Gradiet (Εύρεση συνάρτησης Lyapuo) όπου σημαίνει την πράξη Curl που για την περίπτωση π.χ των τριών διαστάσεων σε καρτεσιανές συντεταγμένες,, ορίζεται ως εξής: i A A i A A i A A A + + = όπου Α=Α i +Α i + Α i και i,i,i είναι μοναδιαία διανύσματα προς την κατεύθυνση των αξόνων,, αντίστοιχα. Αν Α= V τότε i i i V + + = για να ισχύει V V=0 θα πρέπει (),, = = = ή στην γενική περίπτωση αν εκφράσουμε την παραπάνω συνθήκη σε μορφή πίνακα θα πρέπει ο πίνακας Β να είναι συμμετρικός
lyap5 Ι. Μπούταλης Εργαστήριο ΑΕ Μέθοδος Gradiet (Εύρεση συνάρτησης Lyapuo) = B της μορφής () συνθήκες ( -) Αυτό συνεπάγεται Άρα το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό μίας V που να ικανοποιεί την V V=0 και φυσικά να ικανοποιεί τον ορισμό κατά Lyapou. Τα κύρια βήματα υπολογισμού μιας συνάρτησης Lyapou με τη μέθοδο gradiet είναι τα εξής:. Θεωρούμε ότι V=G(,t) όπου G αυθαίρετος πίνακας. υνήθως θεωρούμε ότι ο πίνακας G είναι σταθερός.. Υπολογίζουμε την V και την περιορίζουμε να είναι αρνητικά ορισμένη ή τουλάχιστον αρνητικά ημιορισμένη.. Περιορίζουμε την V έτσι ώστε ο πίνακας B να είναι συμμετρικός. 4. Ελέγχουμε αν μετά την εφαρμογή του βήματος η V συνεχίζει να ικανοποιεί το βήμα. 5. Υπολογίζουμε την V σύμφωνα με τη σχέση (). 6. Εξετάζουμε αν η V ικανοποιεί τον ορισμό Lyapou.