Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από την ασθένεια Β και % από την ασθένεια Γ Από τα ζώα που έχουν προσβληθεί από την ασθένεια Α, θεραπεύεται το %, από την ασθένεια Β το 8% και από την ασθένεια Γ το 9% α Επιλέγουμε τυχαία ένα ζώο από τα ασθενή Ποια είναι η πιθανότητα, το ζώο αυτό να θεραπευθεί β Επιλέγουμε τυχαία ένα ζώο και διαπιστώνουμε ότι θεραπεύθηκε Ποια είναι η πιθανότητα, το ζώο αυτό να είχε προσβληθεί από την ασθένεια Α γ Τα ενδεχόμενα «το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α» και «το ζώο θεραπεύθηκε» είναι ανεξάρτητα ή εξαρτημένα; εξηγείστε γιατί ο Θέμα 5 Μονάδες Ι Ένα φυτοφάρμακο διατίθεται σε φιαλίδια και περιέχει, μεταξύ άλλων, μια συγκεκριμένη χημική ουσία Α Η περιεκτικότητα ποσοστιαία κάθε φιαλιδίου σε ουσία Α είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ, με συνάρτηση πυκνότητας: < <, f, αλλού α Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς β Να βρεθούν η μέση τιμή μ E και η διακύμανση σ V της Χ γ Επιλέγουμε τυχαία ένα φιαλίδιο Ποια είναι η πιθανότητα η περιεκτικότητα του φιαλιδίου σε ουσία Α να είναι το πολύ 7 δ Παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα φιαλιδίων Ποια είναι η πιθανότητα η μέση περιεκτικότητα σε ουσία Α των φιαλιδίων να είναι το πολύ 7 Θεωρείστε ότι οι περιεκτικότητες των φιαλιδίων σε ουσία Α είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες ΙΙ Να αναφέρετε τρεις πηγές δειγματοληπτικών σφαλμάτων Είναι δυνατόν τα δειγματοληπτικά σφάλματα να αποφευχθούν; Εξηγείστε γιατί ο Θέμα 5 Μονάδες Σε μια πολύ μεγάλη μονάδα θερμοκηπίων έχει εγκατασταθεί σύστημα αυτόματου ποτίσματος Έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός t των ελαττωματικών μπεκ σε μήκος σωλήνα t, περιγράφεται ικανοποιητικά από μια στοχαστική διαδικασία osson με μέσο αριθμό ελαττωματικών μπεκ, μπεκ ανά κομμάτι σωλήνα το κάθε κομμάτι σωλήνα είναι μεγάλου μήκους α Να βρεθούν οι πιθανότητες: σε ένα κομμάτι σωλήνα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο ελαττωματικά μπεκ σε μισό κομμάτι σωλήνα να υπάρχει το πολύ ένα ελαττωματικό μπεκ σε μήκος σωλήνα όσο δύο κομμάτια να υπάρχουν τουλάχιστον τρία ελαττωματικά μπεκ v από τρία τυχαία επιλεγμένα κομμάτια σωλήνα, να υπάρχει το πολύ ένα κομμάτι με τουλάχιστον δύο ελαττωματικά μπεκ β Σε μήκος σωλήνα όσο τρία κομμάτια, ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός ελαττωματικών μπεκ Διάρκεια εξέτασης ώρες και λεπτά Ευχόμαστε επιτυχία! Δίνονται οι παρακάτω τιμές της συνάρτησης κατανομής της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: Φ5, Φ595, Φ7577, Φ8788, Φ8797, Φ8, Φ895, Φ589, Φ59, Φ9975, Φ9875, Φ99 Επίσης, δίνονται οι τιμές: 7 9 5 5 9,, 5, 98, 8,
Ενδεικτικές απαντήσεις Α Σειρά ο Θέμα Έστω Α το ενδεχόμενο: το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, Β το ενδεχόμενο: το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια Β, Γ το ενδεχόμενο: το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια Γ και Θ το ενδεχόμενο: το ζώο θεραπεύθηκε Δίνονται οι πιθανότητες: A, B, Γ, Θ / A, Θ / B 8 και Θ / Γ 9 α Ζητείται η πιθανότητα: Θ Από το θεώρημα της ολικής πιθανότητας έχουμε: Θ Θ / A A + Θ / B B + Θ / Γ Γ 8 β Ζητείται η δεσμευμένη πιθανότητα A/ Θ Από τον τύπο του Bays έχουμε: Θ / A A A/ Θ 88 Θ γ A/ Θ 88 A άρα τα ενδεχόμενα Α και Θ είναι εξαρτημένα ο Θέμα Ι α Πρέπει 5 d d 5 5 5 5 β E d d 7 5 7 σ E [ E ] d 7 γ Ζητάμε την πιθανότητα 7 d 58 7 δ Έστω η ποσοστιαία περιεκτικότητα σε ουσία Α του φιαλιδίου,,, + + + Προφανώς ζητάμε την πιθανότητα 7 όπου Οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με μέση τιμή μ E 7 και διασπορά σ, και επειδή το n είναι αρκετά μεγάλο, από το ΚΟΘ προκύπτει ότι η προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή N 7, ή N 7, Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα 7 7 είναι: 7 Z Z 5 Φ5 9 ΙΙ Πηγές δειγματοληπτικών σφαλμάτων είναι η μεταβλητότητα του δείγματος, το μέγεθος του δείγματος και η επιλογή σχεδίου δειγματοληψίας Τα δειγματοληπτικά σφάλματα είναι αναπόφευκτα γιατί είναι αναπόφευκτη η μεταβλητότητα στον πληθυσμό
ο Θέμα α Ισχύει,,,,! t t t!! < 5!! + + 5!!! < v Έστω Υ ο αριθμός κομματιών σωλήνα από τα τρία που επελέγησαν τυχαία που στο καθένα υπάρχουν τουλάχιστον δύο ελαττωματικά μπεκ Προφανώς, ~ B Y και επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι, + Y β Προφανώς 9 ~ άρα οι πιθανότερες τιμές είναι οι 9 και 8
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Β ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Το 5% των ζώων μιας κτηνοτροφικής μονάδας έχει προσβληθεί από μια ασθένεια Από τα ζώα που έχουν προσβληθεί από την ασθένεια, ποσοστό 8% παρουσιάζει ένα συγκεκριμένο σύμπτωμα ενώ από τα ζώα που δεν έχουν προσβληθεί, ένα ποσοστό % παρουσιάζει επίσης το σύμπτωμα αυτό α Επιλέγουμε τυχαία ένα ζώο από την κτηνοτροφική μονάδα Ποια είναι η πιθανότητα το ζώο να παρουσιάζει το συγκεκριμένο σύμπτωμα β Επιλέγουμε τυχαία ένα ζώο από την κτηνοτροφική μονάδα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει το συγκεκριμένο σύμπτωμα Ποια είναι η πιθανότητα το ζώο αυτό να έχει προσβληθεί από την ασθένεια γ Τα ενδεχόμενα «το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια» και «το ζώο παρουσιάζει το συγκεκριμένο σύμπτωμα» είναι ανεξάρτητα ή εξαρτημένα; εξηγείστε γιατί ο Θέμα 5 Μονάδες Ο χρόνος ζωής ενός ευαίσθητου προϊόντος εκτός ψυγείου δηλαδή ο χρόνος μη αλλοίωσής του είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ σε ώρες με συνάρτηση πυκνότητας: f,, < < α Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς β Να βρεθούν η μέση τιμή μ E και η διακύμανση σ V της Χ γ Ποια είναι η πιθανότητα ο χρόνος ζωής του προϊόντος, να είναι μεταξύ μίας και δύο ωρών δ Παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα προϊόντων Ποια είναι η πιθανότητα ο μέσος χρόνος ζωής των προϊόντων να είναι μεταξύ μίας και δύο ωρών Θεωρείστε ότι οι χρόνοι ζωής των προϊόντων είναι μεταξύ τους ανεξάρτητοι ο Θέμα 5 Μονάδες Ι Έχει παρατηρηθεί ότι το επίπεδο γλυκόζης στα άτομα ενός συγκεκριμένου πληθυσμού είναι τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή μ 9 mg / lt και τυπική απόκλιση σ mg / lt α Τι ποσοστό του πληθυσμού έχει επίπεδο γλυκόζης μεταξύ 85 και mg/lt β Ποιο είναι εκείνο το επίπεδο γλυκόζης ξ, για το οποίο ισχύει ότι: μεγαλύτερο επίπεδο από ξ έχει μόνο το % του πληθυσμού γ Το επίπεδο γλυκόζης ενός ατόμου του πληθυσμού κρίνεται ως φυσιολογικό αν βρίσκεται σε εκείνο το συμμετρικό διάστημα γύρω από τη μέση τιμή που περιέχει το 95% των επιπέδων γλυκόζης του συγκεκριμένου πληθυσμού Προσδιορίστε τα φυσιολογικά όρια του επιπέδου γλυκόζης των ατόμων του συγκεκριμένου πληθυσμού δ Επιλέγουμε τυχαία 5 άτομα από τον συγκεκριμένο πληθυσμό Ποια είναι η πιθανότητα το πολύ από αυτά να έχουν επίπεδο γλυκόζης εντός των φυσιολογικών ορίων όπως αυτά ορίσθηκαν στο ερώτημα γ ΙΙ Είναι λογικό η μέση τιμή της κατανομής osson να είναι ίση με τη διασπορά της; Εξηγείστε Διάρκεια εξέτασης ώρες και λεπτά Ευχόμαστε επιτυχία! Δίνονται οι παρακάτω τιμές της συνάρτησης κατανομής της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: Φ5, Φ595, Φ7577, Φ8788, Φ8797, Φ8, Φ895, Φ589, Φ59, Φ9975, Φ9875, Φ99 Επίσης, δίνονται οι τιμές: 7 9 5 5 9,, 5, 98, 8,
Ενδεικτικές απαντήσεις Β Σειρά ο Θέμα Έστω Α το ενδεχόμενο: το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια, και Π το ενδεχόμενο: το ζώο παρουσιάζει το συγκεκριμένο σύμπτωμα Δίνονται οι πιθανότητες: A 5, Π / A 8 και Π / A α Ζητείται η πιθανότητα: Π Από το θεώρημα της ολικής πιθανότητας έχουμε: Π Π / A A + Π / A A 5 β Ζητείται η δεσμευμένη πιθανότητα A/ Π Από τον τύπο του Bays έχουμε: Π / A A A/ Π 9 Π β A/ Π 9 A 5 άρα τα ενδεχόμενα Α και Π είναι εξαρτημένα ο Θέμα α Πρέπει d + d + [] β E d + d σ E [ E ] d + γ Ζητάμε την πιθανότητα d < < d 8 7 δ Έστω ο χρόνος ζωής του προϊόντος,,, Προφανώς ζητάμε την + + + πιθανότητα < < όπου Οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με μέση τιμή μ και διασπορά σ 7, και επειδή το n είναι αρκετά μεγάλο, από το ΚΟΘ προκύπτει ότι η προσεγγίζεται 7 ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή N, ή N, Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι: < < < Z < 9 < Z < Φ Φ 9 Φ + Φ9 5 ο Θέμα Έστω Χ το επίπεδο γλυκόζης στα άτομα του συγκεκριμένου πληθυσμού Δίνεται ότι ~ N9, α Ζητείται η πιθανότητα 85 9 9 85 < < < Z < 5 < Z < Φ Φ 5 Φ [ Φ5] Φ ` + Φ5 58 β Πρέπει: > ξ Άρα 9 ξ 9 ξ 9 ξ 9 ξ 9 > Z > Φ 99 άρα ξ γ Έστω τέτοιο ώστε:
9 9 9 + 9 9 < < 9 + 95 < Z < 95 < z < 95 Φ 95 Φ 975 9 άρα 9 και επομένως τα φυσιολογικά όρια είναι 7 mg/lt το κατώτερο και 9 mg/lt το ανώτερο δ Έστω Υ ο αριθμός των ατόμων, από τα πέντε που επελέγησαν τυχαία που έχουν επίπεδο γλυκόζης εντός των φυσιολογικών ορίων Προφανώς Y ~ B5, 95 και επομένως η ζητούμενη πιθανότητα είναι, 5 5 5 5 Y 95 5 + 95 5 + 95 5 ΙΙ Είναι λογικό αφού η osson, ως οριακή κατανομή της διωνυμικής με p πολύ μικρό άρα p, αναμένεται να έχει μέση τιμή np και διασπορά np p np