ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Πζτρα-Ψαλίδι-Χαρτί Κεξδίδεη ΠΔΣΡΑ ΨΑΛΗΓΗ ΧΑΡΣΗ ΠΔΣΡΑ Ψ Α Ψ ΨΑΛΗΓΗ Ψ Ψ Α ΧΑΡΣΗ Α Ψ Ψ Η ζτέζη Κερδίζει αναπαρίζηαηαι από ηο ζύνολο {(Π,Ψ),(Ψ,Χ),(Χ,Π)}. (Εκεί ποσ γίνεηαι αληθές δηλαδή)

Σχζση (Reltion) Στέζη (reltion) R από ην ζύλνιν S ζην ζύλνιν T: Έλα ππνζύλνιν ηνπ S T R S T, ( s, t) R, ην ζηνηρείν s ζτεηίζεηαι με ηο ζηνηρείν t srt Αλ S T, νπόηε R S 2 : ρέζε ζην ζύλνιν S 12/11/2015 3

Πίνακας Σχζσης R ζρέζε αλάκεζα ζε δύν ζύλνια Πίνακας ηης ζτέζης: νξζνγώληνο πίλαθαο κε ζηνηρεία: r ij 1 0 αν s i αλλιώς Rt j, ( s i, t j ) R 12/11/2015 4

Παράδειγμα S s, s, s T t, t, t, t 1 2 3, s4 1 2 3 4, t5 R {( s1, t2 ), ( s2, t1 ), ( s2, t2 ), ( s2, t5 ), ( s4, t1 ), ( s4, t4), ( s 4, t 5 )} S T. Πίλαθαο ηεο ζρέζεο: T S 2 R t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 s 1 0 1 0 0 0 s 1 1 0 0 1 s 3 0 0 0 0 0 s 1 0 0 1 1 4 12/11/2015 5

Παράσταση Σχζσεων με χρήση Κατευθυνόμενων Γραφημάτων Έςτω RCC. Η κορυφέσ αντιςτοιχούν ςτα ςτοιχεία του ςυνόλου C Οι κατευθυνόμενεσ ακμέσ αντιςτοιχούν ςε ζευγάρια τησ R. S {, b, c} R8 {(, ),(, b),(, c),( b, c)} α b c 12/11/2015 6

Παράδειγμα (Διάταξη < και ) 12/11/2015 7 N n m m n 2 },, ) :, {( Z N Z n m m n m n 2 {0}},, ) :, {( Z N Z n m m n m n (α) n n ανακλαστική (β) n m, m n n = m αντισυμμετρική (γ) nm, mp np μεταβατική

Ανακλαστικότητα R ζρέζε ζην ζύλνιν S Ανακλαστική (reflexive) ζρέζε: Γηα θάζε Ηζνδύλακα: x S, ηζρύεη ( x, x) R xrx. Μη-ανακλαστική (irreflexive) ζρέζε: Γηα θάζε x S, ηζρύεη ( x, x) R 12/11/2015 8

Παράδειγμα S {, b, c} Ανακλαςτική αλλά όχι μη-ανακλαςτική: R 1 {(, ),( b, b),( c, c),(, c)} Ούτε ανακλαςτική ούτε μη-ανακλαςτική: Μη-ανακλαςτική: R2 {(, ),( b, c),( c, c)} R3 {(, b),( b, c),( c, )} 12/11/2015 9

Συμμετρικότητα R ζρέζε ζην ζύλνιν S. ρέζε ζσμμεηρική (symmetric): Ζ παξνπζία ηνπ ( x, y) ζηo R ζπλεπάγεηαη θαη ηελ παξνπζία ηνπ ( y, x) ζηo R, γηα θάζε x, y R. ( x, y) R ( y, x) R ή xry yrx 12/11/2015 10

Αντισυμμετρικότητα ρέζε R ανηιζσμμεηρική (ntisymmetric): Ζ ηαπηόρξνλε παξνπζία ηωλ ( x, y) θαη ( y, x) ζην R, ζπλεπάγεηαη ηελ ηζόηεηα ηωλ x θαη y γηα θάζε x, y R. ( x, y) R και ( y, x) R x y ή xry και yrx x = y 12/11/2015 11

Παραδείγματα S={,b,c} ρέζεηο: R4={(,),(b,c),(c,b)}: R5={(b,),(,c),(c,b)}: R6={(,),(c,c)}: ζπκκεηξηθή όρη αληηζπκκεηξηθή αληηζπκκεηξηθή όρη ζπκκεηξηθή ζπκκεηξηθή αληηζπκκεηξηθή R7={(,b),(,c),(c,)}: όρη ζπκκεηξηθή όρη αληηζπκκεηξηθή 12/11/2015 12

Μεταβατικότητα R ζρέζε ζην ζύλνιν S ρέζε μεηαβαηική (trnsitive): H ηαπηόρξνλε παξνπζία ηωλ ( x, y) θαη ( y, z) ζην R ζπλεπάγεηαη ηελ παξνπζία ηνπ ( x, z) ζην R γηα θάζε x, y, z R. ( x, y) R και ( y, z) R ( x, z) R xry και yrz xrz 12/11/2015 13

Παράδειγμα 1 S {, b, c} R8 {(, ),(, b),(, c),( b, c)} Μεταβατική ςχέςη Από τον πίνακα τησ ςχέςησ r ij r jk 1 r 1 ik 12/11/2015 14

Παράδειγμα 2 S x 1, x2, x3, x4 R x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 1 0 1 1 x 2 0 1 0 1 x 3 1 0 1 0 x 4 1 1 0 1 12/11/2015 15

Παράδειγμα 2 S x 1, x2, x3, x4 Ανακλαςτική NAI Συμμετρική NAI Mεταβατική ΟΧΙ r 24 1, r 41 R x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 1 0 1 1 1 x 2 0 1 0 1 x 3 1 0 1 0 x 4 1 1 0 1 r21 0 12/11/2015 16

Παραδείγματα 12/11/2015 17 b b R, 1 b b R, 2 b b ή b R, 3 b b R, 4 1, 5 b b R 3, 6 b b R Α Α Α Ανακλαστική Συμμετρική Σ Σ Σ αντισυμμετρική Ν Ν Ν Ν Μεταβατική Μ Μ Μ Μ

Σφνθεση Σχζσεων Έζηω R ζρέζε από Α ζε Β θαη έζηω S ζρέζε από Β ζε C. Ζ ζύνθεζη ηωλ R θαη S (R S), απνηειείηαη από όια ηα δηαηεηαγκέλα δεύγε (,c), Α, c C, γηα ηα νπνία ππάξρεη b έηζη ώζηε (,b) R θαη (b,c) S. Παξάδεηγκα: Α={1,2,3}, Β={1,2,3,4} θαη C={0,1,2} R={(1,1),(1,4),(2,3),(3,1),(3,4)} S={(1,0),(2,0),(3,1),(3,2),(4,1)} R S={(1,0),(1,1),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)} 12/11/2015 18

Συνάρτηση Ζ ζρέζε f (function): S T νλνκάδεηαη ζσνάρηηζη Γηα θάζε ζηνηρείν ss ππάξρεη έλα θαη κόλν ζηνηρείν t T έηζη ώζηε ( s, t) f ηα δηαηεηαγκέλα δεύγε κηαο ζπλάξηεζεο ην θάζε ζηνηρείν ηνπ ζπλόινπ S εκθαλίδεηαη αθξηβώο κία κόλν θνξά 12/11/2015 19

Συμβολισμός f : S T, f ( s) t t εικόνα (imge) ηνπ ζηνηρείνπ s θάηω από ηε ζπλάξηεζε f. S πεδίο οριζμού (domin) T πεδίο ηιμών (rnge) f t s Σ 12/11/2015 20 S

Παράδειγμα S { s1, s2, s3, s 4 } T { t1, t2, t3, t4, t5} f {( s1, t5 ), ( s2, t3 ), ( s3, t2 ), ( s 4, t 3 )} S T S s 1 2 s 2 3 s 3 t 4 s 4 t 5 T t t t 1 12/11/2015 21

Ορισμοί πλάξηεζε επί (onto): Γηα θάζε tt ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ ss έηζη ώζηε f(s) = t πλάξηεζε ένα προς ένα (one to one): f ( x) f ( y) x y δύν νπνηαδήπνηε ζηνηρεία ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ δελ έρνπλ ηελ ίδηα εηθόλα Aλ ην πεδίν νξηζκνύ θαη ην πεδίν ηηκώλ είλαη πεπεξαζκέλα ζύλνια κε ηνλ ίδην αθξηβώο αξηζκό ζηνηρείωλ, νη έλλνηεο "επί" θαη "έλα πξνο έλα" ηαπηίδνληαη 12/11/2015 22

Ταυτοτική Συνάρτηση I A ηασηοηική ζσνάρηηζη ζην ζύλνιν Α: I A ( ) γηα θάζε A H ζπλάξηεζε απηή είλαη έλα πξνο έλα θαη επί 12/11/2015 23

Αντίστροφη Σχζση R ζρέζε από ην ζύλνιν S ζην ζύλνιν T Aνηίζηροθη (inverse) ζρέζε: R 1 {( y, x) : ( x, y) R} Αλ R ζπκκεηξηθή ηόηε R -1 =? 12/11/2015 24

Η R και R -1 είναι συναρτήσεις; S T 1 b 2 c 3 d 4 R = {(, 3), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} R 1 {(3, ), (1, b), (2, c), (3, d)} 1 Παξόιν πνπ ε R είλαη ζπλάξηεζε, ε R δελ είλαη ζπλάξηεζε (ην ζηνηρείν 4 ηνπ ζπλόινπ T δελ εκθαλίδεηαη ζε θαλέλα δεύγνο αιιά θαη ην ζηνηρείν 3 εκθαλίδεηαη ζε δύν δεύγε) 12/11/2015 25

Η R και R -1 είναι συναρτήσεις; ρέζε R S T 1 2 b 3 c R {( 1, c),(2, ),(3, b)} R 1 {( c,1), (,2), ( b,3)}. Και οι δύο είναι ζσναρηήζεις. 12/11/2015 26

Αντίστροφη Συνάρτησης Ζ αληίζηξνθε ζρέζε κηαο ζπλάξηεζεο f είλαη θαη απηή ζπλάξηεζε αλ θαη κόλν αλ ε f είλαη έλα πξνο έλα θαη επί. ηελ πεξίπηωζε απηή νξίδεηαη ε ανηίζηροθη ζσνάρηηζη πνπ ζπκβνιίδεηαη κε f -1. Ηζρύεη όηη f -1 (f(x))=x 12/11/2015 27

Ισότητα Συναρτήσεων πλαξηήζεηο f, g: S T. Οη ζπλαξηήζεηο είλαη ίζες f = g: αλ f(x) = g(x) γηα θάζε x S 12/11/2015 28

Σφνθεση Συναρτήσεων πλαξηήζεηο f: S T θαη g: T U Σύνθεζη (composition): Μηα λέα ζπλάξηεζε g f : S U γηα ηελ νπνία ηζρύεη: ( g f )( x) g( f ( x)), x S 12/11/2015 29

Παράδειγμα f : S T g : T S f g S T S 1 b 2 b c 3 c d d 12/11/2015 30

12/11/2015 31 d g d f g d f g g c f g c f g c g b f g b f g d g f g f g (3) )) ( ( ) )( ( (2) )) ( ( ) )( ( (1) )) ( ( ) )( ( (3) )) ( ( ) )( ( b b c c d d Παράδειγμα Συνζχεια f g S T S 1 b 2 b c 3 c d d

Σχζση Ισοδυναμίας Θεωξνύκε κία ζρέζε R ζην ζύλνιν S. Ζ R είλαη ζτέζη ιζοδσναμίας (equivlence reltion) (~) αλ ηζρύνπλ νη ηδηόηεηεο: (α) ~ (αλαθιαζηηθή) (β) ~ b b ~ (ζπκκεηξηθή) (γ) ~ b, b ~ c ~ c (κεηαβαηηθή) γηα θάζε, b, c S 12/11/2015 32

Παράδειγμα 1 ρέζε ζην Ε (nz, n>1): b - b = kn, k Z ή ηζνδύλακα b b (mod n) Γειαδή: ν αθέξαηνο ζρεηίδεηαη κε ηνλ αθέξαην b αλ θαη κόλν αλ ε δηαθνξά ηνπο είλαη αθέξαην πνιιαπιάζην ηνπ n ή αιιηώο αλ ην b είλαη ην ππόινηπν ηεο δηαίξεζεο ηνπ δηα n 12/11/2015 33

Παράδειγμα 1 (Συνζχεια) ρέζε ηζνδπλακίαο: ~ αθνύ = 0 n ~ b - b = πn b - = (-π)n b ~ ~ b, b ~ c - b = pn θαη b - c = qn - c = (-b) + (b-c) = (p + q)n ~ c 12/11/2015 34

Κλάση Ισοδυναμίας ρέζε ηζνδπλακίαο ζε ζύλνιν S Γηα θάζε S, κλάζη ιζοδσναμίας (equivlence clss) ηνπ : Σν ππνζύλνιν ηωλ ζηνηρείωλ ηνπ S κε ηα νπνία ην ζρεηίδεηαη (είλαη ηζνδύλακα ηνπ ) πκβνιηζκόο: [] = {x: α ~ x} Ηζρύεη: [ ] [ b] ~ b 12/11/2015 35

Θεώρημα Αν είναι μία ςχέςη ιςοδυναμίασ ςε ςύνολο S, τότε το ςύνολο των κλάςεων ιςοδυναμίασ που ορίζονται ςτο S αποτελεί διαμέριςη του S. 12/11/2015 36

Παράδειγμα n = 2: Ζ δηαθνξά δηαηξείηαη κε ην 2 Δίηε θαη νη δύν αθέξαηνη είλαη άξηηνη είηε θαη νη δύν είλαη πεξηηηνί Γύν θιάζεηο ηζνδπλακίαο (δηακέξηζε Ζ): [0] = {..., -4, -2, 0, 2, 4,...} [1] = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5,...} Ηζρύεη [2] = [0], [3] = [1], [5] = [1],. θιάζε [0]: όινη νη άξηηνη αξηζκνί, θιάζε [1]: όινη νη πεξηηηνί αξηζκνί bmod n 12/11/2015 37

Παράδειγμα b mod n Για n = 4, έχουμε 4 κλάςεισ ιςοδυναμίασ: [0] {0, 0 1 4, 0 2 4, 0 3 4,... } {..., -12,-8,-4, 0, 4, 8, 12,... } [1] {1, 11 4, 1 2 4, 1 3 4,... } {..., -11,-7,-3, 1, 5, 9, 13,... } [2] {2, 2 1 4, 2 2 4, 2 3 4,... } {..., -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14,... } [3] {3, 3 1 4, 3 2 4, 3 3 4,... } {..., -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15,... } 12/11/2015 38

Αριθμητική Γηα n=8 έρνπκε 8 θιάζεηο ηζνδπλακίαο. Ζ πξάμε [11-6]=[11+10] =[21]=[2*8+5]=[5] 12/11/2015 39