ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΑΛΕΞΗΣ 4.1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.1 4.1 4.1.1 ΓΕΝΙΚΑ 4.1.2 ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΠΤΕΡΥΓΩΣΗΣ 4.1.3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΠΤΕΡΥΓΩΣΕΙΣ 4.1.4 ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑ ΚΑΙ ΑΝΩΣΗ 4.1.5 ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 4.1.6 ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΜΑΝΟΜΕΤΡΙΚΟ: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER 4.2 ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΞΟΝΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ 4.3 ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΚΤΙΝΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ 4.2 4.3 4.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ
4.1 (α) 4.2 4.1.1 ΓΕΝΙΚΑ Η λειτουργία και απόδοση της κάθε ΣΜ εξαρτάται άμεσα από τις μεταβολές της περιστροφικής ορμής (στροφορμής) του ρευστού, καθώς αυτό περνάει διαμέσου των διαφόρων βαθμίδων της ΣΜ, τόσο δηλαδή μέσα από τα ακίνητα, όσο και από τα κινητά πτερύγια. Εάν λοιπόν υπολογίσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ του ρευστού και της ΣΜ, καθώς και τις συναρτημένες αλλαγές στη ροή, μπορούμε να μελετήσουμε σε βάθος τη μηχανική των ΣΜ, να κατανοήσουμε τη λειτουργία τους, αλλά και να τις σχεδιάσουμε καλύτερα. Αν και η ροή σε μία στροβιλομηχανή είναι αρκετά περίπλοκη, δηλαδή τρισδιάστατη και μη μόνιμη, μπορούμε να μελετήσουμε την απλούστερη μορφή της μόνιμης ροής του ρευστού μέσα από μία δισδιάστατη σειρά πτερυγίων (δισδιάστατη πτερύγωση cascade). Μία τυπική εργαστηριακή αεροσήραγγα για τη μέτρηση δισδιάστατης πτερύγωσης φαίνεται στο σχήμα. Η ροή κινείται από τον αξονικό ανεμιστήρα στην είσοδο (αριστερά) της αεροσήραγγας και αφού περάσει μέσα από διαχύτη και αρκετές σχάρες για να μειωθεί το επίπεδο της τύρβης, διατρέχει ένα ακροφύσιο και καταλήγει στην πτερύγωση, η οποία βρίσκεται υπό γωνία προσβολής α 1 στο δεξί μέρος της αεροσήραγγας. Ιδιαίτερη σημασία έχει η καταστροφή του οριακού στρώματος που δημιουργείται στα τοιχώματα της αεροσήραγγας, ώστε να μην καταλήξει στην πτερύγωση. Αυτό επιτυγχάνεται με αναρρόφηση ρευστού από τα τοιχώματα της σήραγγας ακριβώς ανάντη της πτερύγωσης. Σε περίπτωση που η ροή που εισέρχεται στην πτερύγωση έχει τα χαρακτηριστικά του οριακού στρώματος, τότε η ροή στο 1 ο πτερύγιο θα αποκολληθεί και έχει παρατηρηθεί ότι αυτό θα επηρεάσει και τα γειτονικά πτερύγια και θα καταστρέψει τις μετρήσεις.
4.1 (β) 4.3 Η υπόθεση της δισδιάστατης ροής, που αναπόφευκτα εμπεριέχεται (τουλάχιστον στο μεσαίο τμήμα της πτερύγωσης σε μία αεροσήραγγα) είναι πρακτικά ρεαλιστική σε αξονικές μηχανές με μεγάλο λόγο διαμέτρων άξονα προς άκρης πτερυγίου (hub to tip), οπότε η ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας είναι αμελητέα. Σε ΣΜ με μικρό λόγο διαμέτρων άξονα προς άκρης πτερυγίου, η συνθήκη της δισδιάστατης ροής δεν ισχύει και η ροή έχει διαφορετική συστροφή κατά μήκος των πτερυγίων, όμως παρ όλααυτάη δισδιάστατη ανάλυση μπορεί να θεωρηθεί ότι δίνει ορθά αποτελέσματα για μεμονωμένες ακτινικές διατομές της πτερύγωσης. 4.1.2 ΟΡΟΛΟΓΙΑ ΠΤΕΡΥΓΩΣΗΣ Το προφίλ του πτερυγίου μπορεί να θεωρηθεί ως μία καμπύλη γραμμή, η γραμμή καμπυλότητας, y(x) (camber line), πάνω και κάτω από την οποία ισοκατανέμεται το πάχος t(x) της αεροτομής, όπου x είναι η διεύθυνση κατά το μήκος, l, της αεροτομής. Η διεύθυνση, x, και το μήκος, l, ορίζονται από το ευθύγραμμο τμήμα (που ονομάζεται και χορδή) που ενώνει την ακμή προσβολής (leading edge) στο μπροστινό μέρος με την ακμή διαφυγής (trailing edge) στο πίσω μέρος. Το σχήμα της γραμμής καμπυλότητας είναι συνήθως τόξο κύκλου ή τόξο παραβολής, το οποίο ορίζεται από τη μέγιστη καμπυλότητα b σε απόσταση a από την ακμή προσβολής. Η κατανομή (προφίλ) του πάχους της αεροτομής μπορεί να είναι παρμένη από συνηθισμένες αεροτομές ή ακόμη πιο πιθανό από ειδικές αεροτομές για συμπιεστές ή στροβίλους. Οι γραμμές καμπυλότητας και το πάχος δίνονται συνήθως αδιάστατα ως y/l και t/l, συναρτήσει του x/l σε μορφή πίνακα. Συνοψίζοντας, τακυριότεραγεωμετρικάχαρακτηριστικάπουπεριγράφουνμιαπτέρυγαείναι: (α) το σχήμα της γραμμής καμπυλότητας (a/l, b/l), (β) ο τύπος της κατανομής του πάχους και (γ) ο λόγος του μέγιστου πάχους προς τη χορδή, t max /l.
4.1 (γ) 4.4 Όταν τα πτερύγια τοποθετούνται σε μία πτερύγωση, τότε προστίθενται ακόμη δύο γεωμετρικές παράμετροι: ο λόγος απόστασης προς χορδή, s/l (solidity) και η γωνία διάταξης, ξ (stagger angle). Η απόσταση s (pitch) μετράται κάθετα στον άξονα της ΣΜ, x, και η γωνία ξ σχηματίζεται μεταξύ της χορδής και της καθέτου στο μέτωπο της πτερύγωσης. Ακολούθως ορίζονται οι εξής γωνίες: α 1 : γωνία εισόδου του ρευστού α 2 : γωνία εξόδου του ρευστού α 1: γωνία πτερυγίου στην είσοδο α 2: γωνία πτερυγίου στην έξοδο θ: γωνία καμπυλότητας, θ=(α 1 α 2) ε: γωνία εκτροπής, ε=(α 1 α 2 ) i: γωνία πρόσπτωσης, i=(α 1 α 1) δ: γωνία απόκλισης, δ=(α 2 α 2) ταχύτητα εισόδου ταχύτητα εξόδου (μέση τιμή στο μήκος της πτέρυγας) Για κυκλικά τόξα η γωνία καμπυλότητας είναι: ξ=0.5(α 1+α 2), ενώ για παραβολικά τόξα με μικρό λόγο b/l, οι γωνίες του πτερυγίου δίνονται από τις σχέσεις: και η εξίσωση που προσεγγίζει το παραβολικό τόξο είναι Y=X[A(X 1)+BY], όπου X=x/l και Y=y/l, ενώ η τιμή των σταθερών Α και Β εξάγεται από τη λύση της εξίσωσης με τις εξής συνθήκες στο x=a: (α) y=b και (β) dy/dx=0. Παραβολικά τόξα τέτοιου είδους χρησιμοποιούνται σε συμπιεστές, ενώ σε στροβίλους οι παραπάνω εξισώσεις δεν ισχύουν, επειδή οι αεροτομές είναι πιο "χονδρές" (μεγάλος λόγος b/l).
4.1 (δ) 4.5 4.1.3 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Η ανάλυση που ακολουθεί βασίζεται σε δύο παραδοχές: (α) της μόνιμης και (β) της ασυμπίεστης ροής. Η ροή είναι μόνιμη μόνο όταν η πτερύγωση είναι απομονωμένη, δηλαδή δεν υπάρχουν γειτονικές βαθμίδες, ενώ η συνθήκη της ασυμπίεστης ροής συνήθως ισχύει διότι οι μετρήσεις συνήθως γίνονται για αριθμούς Ma<0.3. Έστω λοιπόν ένα πτερύγιο πτερύγωσης όπου το ρευστό έρχεται από ανάντη με ταχύτητα c 1 υπό γωνία α 1 και απέρχεται με ταχύτητα c 2 υπό γωνία α 2. Στο πτερύγιο ασκούνται δύο δυνάμεις η Χ και η Y, παράλληλα με τους άξονες x (κάθετος στο μέτωπο της ΣΜ) και y (παράλληλος με το μέτωπο της ΣΜ) και ισούνται προφανώς με ίσες και αντίθετες δυνάμεις που ασκούνται από το πτερύγιο στο ρευστό. Οι δυνάμεις αυτές είναι ανηγμένες στη μονάδα ύψους των πτερυγίων Για τον υπολογισμό τους ορίζουμε όγκο ελέγχου (διακεκομμένη γραμμή) γύρω από το πτερύγιο, ο οποίος εκτείνεται μεταξύ των γραμμών συμμετρίας μεταξύ των πτερυγίων της πτερύγωσης και δύο επιπέδων ανάντη και κατάντη της πτερύγωσης. Από τα τρίγωνα ταχυτήτων στην είσοδο και έξοδο έχουμε: c x1 =c 1 cosα 1, c y1 =c 1 sinα 1 c x2 =c 2 cosα 2, c y2 =c 2 sinα 2 (1) c y1 =c x1 tanα 1, c y2 =c x2 tanα 2 Η εξίσωση της συνέχειας για ασυμπίεστη ροή συνεπάγεται ότι: c x1 (=c 1 cosα 1 )=c x2 (=c 2 cosα 2 )=c x (2) Η εξίσωση της ορμής (2 ος Νόμος Newton) στις δύο διευθύνσεις δίνει: Χ=(p 2 p 1 )s και ( 2.4) Υ= (c y1 c y2 ) ( =ρc x A) Υ=ρc x A(c y1 c y2 ) (Α=s 1) Υ=ρc x s(c y1 c y2 ) (3) (c y =c x tanα) Υ=ρc x2 s(tanα 1 tanα 2 )
4.1 (ε) 4.6 Μπορούμε να ορίσουμε τις συνολικές απώλειες ολικής πίεσης, Δp 0, στη βαθμίδα ως: και επειδή: (4), ενώ από την (3) είναι (p 1 p 2 )= X/s και (c y1 c y2 )=Y/(ρc x s). Επίσης εάν ορίσουμε μία μέση διεύθυνση ως: tanα m =0.5(tanα 1 +tanα 2 ) και αντίστοιχα μία μέση ταχύτητα ως: c m =c x /cosα m, η (4) γίνεται: Ορίζουμε έναν αδιάστατο συντελεστή απωλειών πίεσης, με δύο εναλλακτικές εκφράσεις: Επίσης ορίζουμε στις διευθύνσεις x και y δύο αδιάστατους συντελεστές για τις αντίστοιχες δυνάμεις: (5) (6) Το συντελεστή αύξησης πίεσης, C p : (ο οποίος έχει και τον τοπικό αντίστοιχό του, εάν αντί για p 2 χρησιμοποιήσουμε την τοπική τιμή, p, της στατικής πίεσης) Το συντελεστή εφαπτομενικής δύναμης, C f : (7) (8) Εάν αντικαταστήσουμε τις (7) & (8) στην (5) παίρνουμε ότι:
4.1 (στ) 4.7 Μπορούμε να αναλύσουμε τη συνισταμένη δύναμη σε άλλο ένα ζεύγος συνιστωσών, μία παράλληλη και μία κάθετη στη διεύθυνση που ορίζεται από τη γωνία α m, την οπισθέλκουσα D (drag) και την άνωση L (lift). Οι σχέσεις μετασχηματισμού μεταξύ των δύο συστημάτων για τη συνολική δύναμη είναι: L = Xsinα m + Ycosα m ή X = Lsinα m Dcosα m D = Ysinα m Χcosα m ισοδύναμα Y = Lcosα m + Dsinα m Από την (5) όμως έχουμε ότι: (9) και εάν τη σχέση αυτή την αναδιατάξουμε ως προς Χ και την αντικαταστήσουμε στην παραπάνω σχέση που εκφράζει την L και χρησιμοποιήσουμε και την (8): (10) Μπορούμε όπως προηγουμένως για τις δυνάμεις X και Y, να ορίσουμε τους αδιάστατους συντελεστές οπισθέλκουσας, C D, και άνωσης, C L : Εάν χρησιμοποιήσουμε την (9) μαζί με την (6): (11)
4.1 (ζ) 4.8 Ενώ εάν χρησιμοποιήσουμε την (9) με την (10): (12) ή εναλλακτικά χρησιμοποιώντας τις (8) και (11): (13) Σημειώνεται ότι στις πτερυγώσεις, η δύναμηd είναι συνήθως πολύ μικρότερη της L, και επειδή η γωνία α m, σπάνια ξεπερνά τις 60 ο, μπορούμε στην (12) να παραλείψουμε τον όρο C D α m, οπότε (secx=1/cosx): (14) 4.1.4 ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑ & ΑΝΩΣΗ Η άνωση μίας μεμονωμένης αεροτομής για την ιδανική περίπτωση μηδενικής οπισθέλκουσας (D=0) δίνεται απότησχέσηkutta Joukowski: L=ρΓc, όπου c=σχετική ταχύτητα μεταξύ ρευστού και αεροτομής απείρως μακριά και Γ=κυκλοφορία, η οποία ορίζεται ως το κυκλικό ολοκλήρωμα της ταχύτητας σε μία κλειστή γραμμή, που στην προκειμένη περίπτωση περικλείει την αεροτομή. Εάν είναι μηδενικές οι απώλειες ολικής πίεσης στη σχέση (10) τότε: (15) Επειδή η Γ είναι το κυκλικό ολοκλήρωμα γύρω από την αεροτομή: (16) Συνδυάζοντας τις (15) και (16): (17) Mε τησυνεχήαύξησητηςαπόστασηςμεταξύπτερυγίων, δηλαδή για s οι ταχύτητες εισόδου και εξόδου c 1 & c 2 πλησιάζουν και τελικά ταυτίζονται, τότε η σχέση (17) καταλήγει στη συνθήκη Kutta Joukowsi.
4.1 (η) 4.1.5 ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤ/ΝΕΣ & ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται μία αξονική και μία ακτινική ΣΜ σε αξονική τομή και όψη. Επειδή οι ΣΜ περιστρέφονται, είναι σκόπιμο να χρησιμοποιείται το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Έτσι η ΑΞΟΝΙΚΗ δ/νση, x, συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής, η ΑΚΤΙΝΙΚΗ δ/νση, r, εκτείνεται κατά μήκος της ακτίνας της ΣΜ και τέλος η ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΙΚΗ δ/νση, θ, είναι η γωνία περιστροφής κατά τη φορά περιστροφής της ΣΒ. Και για τις δύο ΣΜ παριστάνονται και οι αντίστοιχοι άξονες συντεταγμένων σε κάθε τομή και όψη, δηλαδή οι τομές βρίσκονται στο επίπεδο (x,r) ενώ οι όψεις στο (r,θ). Η ταχύτητα του ρευστού συμβολίζεται με το γράμμα C, άρα σε ένα κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων (x,r,θ) ι συνιστώσες της είναι αντίστοιχα (C x,c r,c θ ). Η ταχύτητα της πτερωτής (στερεού) συμβολίζεται με το γράμμα U και προφανώς έχει μόνο εφαπτομενική συνιστώσα δηλαδή (0,0,U) και για το λόγο αυτό δεν υπάρχει ο δείκτης θ. r x ΑΞΟΝΙΚΗ ΣΒ ΑΚΤΙΝΙΚΗ ΣΒ Η ταχύτητα του ρευστού μπορεί να εκφράζεται από την απόλυτο άνυσμά της,, όταν αναφέρεται σε ένα ακίνητο σύστημα συντεταγμένων, ή το σχετικό άνυσμά της,, όταν αναφέρεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων που κινείται μαζί με την πτερωτή. Τα δύο αυτά ανύσματα συνδέονται μεταξύ τους μέσω του ανύσματος της ταχύτητας περιστροφής της πτερωτής,, από την ανυσματική σχέση: r x θ θ r 4.9 r
4.1 (θ) 4.1.6 ΙΣΧΥΣ ΚΑΙ ΜΑΝΟΜΕΤΡΙΚΟ: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EULER Η εξίσωση της ροπής της ορμής (στροφορμής) ως προς έναν άξονα περιστροφής Α για μόνιμη ροή είναι: (1) και εφόσον η ροή είναι ασυμπίεστη (ρ 1 =ρ 2 ): (2) όπου =μαζική παροχή [kg/s] και Q=ογκομετρική παροχή [m 3 /s], και φυσικά =ρq. Η υδραυλική ισχύς είναι: (3) όπου ω=2πn/60 [rad/s] και n σε [rpm]. Εάν συνδυάσουμε τις (1) και (3) έχουμε: (4) ενώ επειδή U=ωr η (4) γράφεται και ως: (5) Οι (4) και (5) μπορούν (6) να γραφούν και ως: (7) Ηισχύς, όπως έχει γραφεί παραπάνω, είναι θετική όταν πρόκειται για αντλία και αρνητική όταν πρόκειται για στρόβιλο. Η υδραυλική ισχύς δίνεται και από τη σχέση: (8) οπότε εάν συνδυαστούν η (7) και η (8): (9) Παρατηρήσεις: 1. Το ολικό μανομετρικό (ΔΗ) εμπεριέχει όλη την ενέργεια (πίεσης και κινητική) που δίνεται από το δρομέα στο ρευστό και είναι ανεξάρτητο του ρευστού (ήισχύςόχι). 2. Όταν το ρευστό εισέρχεται χωρίς συστροφή (C θ1 =0 επειδή α 1 =90 ο ), τότε παίρνουμε το μέγιστο Η. 3. Το Η αυξάνει όταν αυξηθεί η U 2 (αύξηση στροφών) ή/και όταν αυξηθεί η C θ2 (κατάλληλη διαμόρφωση πτερωτής). Για ιδανικές λοιπόν συνθήκες (μηδενικές τριβές) (10) ο νόμος του Bernoulli μπορεί να γραφεί ως: 4.10
4.2 ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΞΟΝΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ (α) 4.11 Στην αξονική ΣΜ του σχήματος απομονώνουμε την κυλινδρική επιφάνεια abcd της οποία το ανάπτυγμα δίνεται από κάτω. Η ροή εισέρχεται αξονικά στη είσοδο (η εφαπτομενική ταχύτητα είναι μηδενική) στην είσοδο (θέση 1) και εξέρχεται πάλι αξονικά στην έξοδο (θέση 2), πίσω από τα πτερύγια. Για να σχεδιάσουμε το τρίγωνο ταχυτήτων στην είσοδο γνωρίζουμε την ταχύτητα περιστροφής, (=ωr 1 ) και τη δ/νση της σχετικής ταχύτητας, μλλ, η οποία είναι εφαπτομενική στο πτερύγιο στη θέση 1 (είσοδος). Επίσης γνωρίζουμε συνήθως τη δ/νση της απόλυτης ταχύτητας,, η οποία εδώ έχει μόνο αξονική συνιστώσα. Αντίστοιχα, το τρίγωνο ταχυτήτων στην έξοδο σχεδιάζεται με βάση τα εξής δεδομένα: την ταχύτητα περιστροφής, (=ωr 2 ) και τη δ/νση της σχετικής ταχύτητας, μλλ, η οποία είναι εφαπτομενική στο πτερύγιο στη θέση 2 (έξοδος). Στη γενικότερη περίπτωση, η απόλυτη ταχύτητα στην είσοδο δεν θα είναι αξονική, αλλά θα έχει και μία εφαπτομενική συνιστώσα. Τα δύο γενικά τρίγωνα ταχυτήτων, παριστάνονται στο σχήμα της επόμενης σελίδας. Παρατηρούμε ότι και τα δύο τρίγωνα, επειδή και η είσοδος και η έξοδος βρίσκονται στην ίδια ακτινική απόσταση (r 1 =r 2 ) έχουν την ίδια βάση και ονομάζονται τρίγωνα κοινής βάσης. Επίσης έχει παρασταθεί και η αξονική και εφαπτομενική συνιστώσα της απόλυτης ταχύτητας, C x και C θ, αντίστοιχα. Η πρώτη είναι αυτή που καθορίζει την παροχή ενώ η δεύτερη την εναλλαγή έργου. Τέλος δίνονται και οι γωνίες α και β, μεταξύ των ανυσμάτων (C x,c) και (C x,w), αντίστοιχα. επιφάνεια εισόδου C 1 κίνηση πτερυγίου C 2 τομή πτερυγίου επιφάνεια εξόδου αξονική εφαπτομενική
4.2 ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΞΟΝΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ (β) 4.12 Ισχύουν λοιπόν οι σχέσεις: U 1 =U 2 (10) και U=ωr=(2πn/60)r (11) όπου n=στροφές ανά λεπτό [rpm]. Επίσης από την αρχή διατήρησης της μάζας για μόνιμη κατάσταση: (12) και επειδή συχνά r 1 =r 2 είναι και Α 1 =π(r 12 r 2 )=Α 2 =π(r 22 r 2 ) δηλαδή: (r=ακτίνα άξονα) (13) και εάν δεν υπάρχει συμπίεση της ροής μεταξύ εισόδου και εξόδου, δηλαδή όταν ρ 1 =ρ 2 : (14) W 1 C x1 W 2 U 1 U 2 β 1 α 2 Επίσης ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις: cosα 1 =C x1 /C 1 cosα 2 =C x2 /C 2 sinα 1 =C θ1 /C 1 sinα 2 =C θ2 /C 2 (15) tanβ 1 =(U 1 C θ1 )/C x1 tanβ 2 =(U 2 C θ2 )/C x2 Τέλος, ισχύουν και οι σχέσεις Euler ( 4.10), οι οποίες για ασυμπίεστη ροή γράφονται ως: α 1 C θ1 β 2 C x2 C 1 C 2 Άρα ισχύουν και εδώ ακέραια οι τρεις παρατηρήσεις στην ( 4.10). Πιο συγκεκριμένα βλέπουμε ότι είναι θεμιτό το ρευστό να εισέρχεται αξονικά στην πτερωτή, ώστε να μεγιστοποιείται το μανομετρικό σε μία αντλία. Για το λόγο αυτό υπάρχουν τα οδηγητικά πτερύγια, τα οποία είναι σταθερά (στηριγμένα στο κέλυφος της ΣΒ), τα οποία οδηγούν το ρευστό με την επιθυμητή γωνία στον ρότορα. Οδηγητικά πτερύγια δεν τοποθετούνται μόνο στην είσοδο των ΣΒ, αλλά και μεταξύ βαθμίδων σε πολυβάθμιες ΣΒ. C θ2 (16)
4.3 ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΚΤΙΝΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ (α) 4.13 Στις ακτινικές ΣΜ το ρευστό εισέρχεται αξονικά από τον αγωγό εισόδου, φυγοκεντρίζεται και εξέρχεται ακτινικά. Οι ακτινικές ΣΜ ονομάζονται και φυγοκεντρικές και η πιο χαρακτηριστική είναι η φυγοκεντρική αντλία, της οποίας η γεωμετρία και ορολογία δίνονται στο σχήμα σε όψη και τομή. Αποτελείται από το ρότορα (impeller), οοποίος μπορεί να είναι κλειστού ή ανοικτού τύπου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, το σταθερό κέλυφος (casing) και την έδραση (housing) του ρότορα. Ο ρότορας περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα και έχει πτερύγια, διατεταγμένα με κανονικό τρόπο γύρω από την περίμετρο. Τα πτερύγια έχουν καμπύλο σχήμα και είναι συνήθως κυκλικά ή ελλειπτικά τόξα. Καθώς κινείται ο ρότορας (πτερωτή) το υγρό αναρροφιέται από το μάτι (eye) του κελύφους (η έκφραση προέρχεται από το "μάτι" του κυκλώνα με τον οποίο μοιάζει η φυγοκεντρική αντλία) και φυγοκεντρίζεται ακτινικά έτσι ώστε αυξάνεται τόσο η ταχύτητα όσο και η πίεση. Καθώςτουγρόεξέρχεται από την πτερωτή, εκτονώνεται σε έναν μεγαλύτερο όγκο και επιβραδύνεται, μετατρέποντας μέρος της κινητικής ενέργειας σε εντατική ενέργεια (ανάκτηση πίεσης, βλ. νόμο Bernoulli). Ακολουθεί η ανάλυση με τα τρίγωνα ταχυτήτων. Ρότορας Ανοικτού Τύπου Ρότορας Κλειστού τύπου
4.3 ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΚΤΙΝΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ (β) 4.14 Το νερό εισέρχεται στην πτερωτή με ταχύτητα, ηοποία δίνεται από το ανυσματικό άθροισμα της σχετικής ταχύτητας (ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων που περιστρέφεται μαζί με το πτερύγιο, και της ταχύτητας περιστροφής του πτερυγίου,. Όπως και στην περίπτωση των αξονικών ΣΒ, για να σχεδιάσουμε το τρίγωνο ταχυτήτων στην είσοδο γνωρίζουμε ότι U 1 =ωr 1 και ότι η δ/νση της είναι εφαπτομενική στο πτερύγιο στη θέση 1 (είσοδος). Επίσης γνωρίζουμε συνήθως τη δ/νση της,, η οποία συνήθως έχει μόνο ακτινική συνιστώσα. Αντίστοιχα, το τρίγωνο ταχυτήτων στην έξοδο σχεδιάζεται με βάση τα εξής δεδομένα: την ταχύτητα περιστροφής, (=ωr 2 ) και τη δ/νση της σχετικής ταχύτητας, μλλ, η οποία είναι εφαπτομενική στο πτερύγιο στην έξοδος. Οι γωνίες α και β σχηματίζονται μεταξύ των ανυσμάτων (C,U) και (U,W), αντίστοιχα. Δηλαδή η γωνία β αποτελεί στοιχείο του σχεδιασμού της πτερωτής της φυγοκεντρικής αντλίας, επειδή ορίζεται από την εφαπτομενική δ/νση και την καμπύλη του πτερυγίου. Στα δύο τρίγωνα ταχυτήτων(εισόδου και εξόδου), αναλύουμε την απόλυτη ταχύτητα στις δύο συνιστώσες της κατά την ακτινική, C r και εφαπτομενική δ/νση, C θ. Όλες οι λεπτομέρειες δίνονται στο διπλανό σχήμα. Για ευκολία στην κατασκευή τους και τα δύο τρίγωνα σχεδιάστηκαν με το άνυσμα της περιστροφικής ταχύτητας σε "οριζόντια" θέση. Η κανονική τους θέση σε σχέση με την πτερωτή φαίνεται στο μεγάλο σχήμα. W 1 β 1 C 1 α 1 C r1 Cθ1 U 1 W 2 β 2 α2 C 1 C2 C θ2 C 2 C r2 U 2
4.3 ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΚΤΙΝΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ (γ) 4.15 Ισχύουν οι σχέσεις: U 1 =ωr 1 και U 2 =ωr 2 (17) και ω=2πn/60 (18) όπου n=στροφές ανά λεπτό [rpm]. Επίσης από την αρχή διατήρησης της μάζας για μόνιμη κατάσταση: (19) όπου Α 1 =2πr 1 b 1 και Α 2 =2πr 2 b 2 όπου b=πλάτος πτερυγίου κατά την αξονική δ/νση. Για την περίπτωση ασυμπίεστης ροής(ρ 1 =ρ 2 ): (20) ήισοδύναμα: (21) C 1 α 1 C r1 Επίσης ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις: cosα 1 =C θ1 /C 1 cosα 2 =C θ2 /C 2 sinα 1 =C r1 /C 1 sinα 2 =C r2 /C 2 (22) tanβ 1 =C r1 (U 1 C θ1 ) tanβ 2 =C r2 /(U 2 C θ2 ) Τέλος, ισχύουν πάλι οι εξισώσεις (16), δηλαδή οι σχέσεις Euler: Άρα ισχύουν και εδώ ακέραια οι τρεις παρατηρήσεις στην ( 4.10). Πιο συγκεκριμένα βλέπουμε ότι είναι θεμιτό το ρευστό να εισέρχεται μόνο ακτινικά στην πτερωτή, δηλαδή να έχει μηδενική εφαπτομενική συνιστώσα, C θ1 =0 (μηδενική συστροφή) ώστε να μεγιστοποιείται και η προσδιδόμενη στο ρευστό ισχύς, αλλά και το μανομετρικό. W 1 β 1 Cθ1 U 1 W 2 β 2 α2 C2 C θ2 C r2 U 2 (23)
4.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.16 1. Τα πειραματικά αποτελέσματα σε μία πτερύγωση συμπιεστή κατέληξαν στην εξής σχέση που συνδέει τον συντελεστή άνωσης με το λόγο των ταχυτήτων πριν και μετά την πτερύγωση: C L (c 1 /c 2 ) 3 =2.2. Υπολογίστε τη γωνία εισόδου για λόγο απόστασης προς χορδή ίσο με τη μονάδα εάν η γωνία εξόδου είναι 30 ο. α 1 =49.8 ο 2. Αξονική μηχανή έχει εσωτερική και εξωτερική διάμετρο πτερωτής 50 και 60 [cm], αντίστοιχα. Η παροχήτης μηχανής είναι 600 [m 3 /h] και το ρευστό είναι αέρας πυκνότητας 1.225 [kg/m 3 ]. H ταχύτητα στην είσοδο και έξοδο βαθμίδας σταθερών πτερυγίων είναι 3.0 και 2.5 [m/s], αντίστοιχα, ενώ η πτώση της στατικής πίεσης είναι αμελητέα. Εάν η απόσταση μεταξύ πτερυγίων είναι 20 [cm] και ο λόγος C D /C L =0.05, να υπολογίστε τις δυνάμεις X, Y, D και L. 3.20 [Ν], 3.51 [Ν], 0.24 [Ν], 4.75 [Ν] 3. Μία φυγοκεντρική αντλία παροχής 30 [lt/s] έχει δρομέα διαμέτρου D 2 =30 [cm] που περιστρέφεται με 1200 [rpm]. Εάν η γωνία των πτερυγίων του δρομέα στην έξοδο είναι β 2 =160 ο, η σχετική ταχύτητα του νερού εξόδου είναι W 2 =1.3 [m/s] και η γωνία μεταξύ της περιφερειακής και της απόλυτης ταχύτητας στην είσοδο είναι α=90 ο να υπολογίσετε: (α) τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, ω [rad/s], (β) τη γραμμική ταχύτητα του δρομέα, U [m/s], (γ) το θεωρητικό ύψος ενέργειας ΔΗ το οποίο προσδίδεται στο νερό, (δ) η θεωρητική ισχύς εισαγωγής και (ε) το πλάτος στην έξοδο. 125.67 [rad/s], 18.85 [m/s], ΔH=33.87 [mh 2 O], 9986.6 [W], 7.16 [cm] 4. Ο δακτυλιοειδής δρομέας μίας φυγοκεντρικής αντλίας έχει εσωτερική ακτίνα r 1 =8 [cm], εξωτερική ακτίνα r 2 =25 [cm], γωνία δρομέα στην είσοδο β 1 =120 ο και στην έξοδο β 2 =135 ο και πλάτος δρομέα b=2.5 [cm]. Αν η παροχή της αντλίας είναι 100 [lt/s], η δε είσοδος του νερού γίνεται ακτινικά, να υπολογιστούν τα παρακάτω: (α) την ταχύτητα περιστροφής, n [rpm], (β) τη στροφορμή του νερού, (γ) την ισχύ της αντλίας, (δ) ηαύξησητης πίεσης του νερού που παράγεται από το δρομέα σε [kp/cm 2 ]. 548.4 [rpm], 295.25 [Nm], 16.96 [kw], 1.73 [kp/cm 2 ]
4.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.17 5. Νερό αντλείται από φυγοκεντρική αντλία που περιστρέφεται με ταχύτητα 1750 [rpm] με ρυθμό 3000 [lt/min]. Η πτερωτή έχει ομοιόμορφο πλάτος b=5.0 [cm] και εσωτερική και εξωτερική ακτίνα ίσες με r 1 =4.8 [cm] και r 2 =18 [cm]. Η γωνία εξόδου είναι β 2 =23 ο ενώ στην είσοδο το νερό εισέρχεται ακτινικά. Υπολογίστε: (α) την εφαπτομενική ταχύτητα εξόδου, C θ2, (β) το μανομετρικό, (γ) την ισχύ που μεταφέρεται στο νερό. 30.90 [m/s], 103.90 [mh 2 O], 57.64 [kw] 6. Μίαφυγόκεντρηαντλίαέχειδρομέαμεr 1 =0.3 [m], r 2 =1.0 [m], β 1 =120 ο, ι β 2 =135 ο και πάχος b=0.1 [m]. Αν η παροχή της αντλίας είναι Q=2.0 [m 3 /s] και η ταχύτητα του νερού στην είσοδο δεν έχει εφαπτομενική συνιστώσα, να βρεθεί η περιστροφική ταχύτητα του δρομέα. Επίσης, να βρεθεί η στροφορμή και η ισχύς της αντλίας, καθώς και η αύξηση της πίεσης που επιτυγχάνεται στο δρομέα. 20.42 [rad/s], 34.5 [Nn], 703.7 [kw], 247.8 [kpa] 7. Οάξοναςμίαςφυγοκεντρικήςαντλίαςβρίσκεται3 [m] πάνωαπότηδεξαμενήαναρρόφησης, ενώ το στατικό ύψος πάνω από την αντλία είναι 30 [m]. Οι απώλειες λόγω τριβών στο σωλήνα αναρρόφησης είναι 1 [m], ενώ στο σωλήνα κατάθλιψης είναι 8[m] στήλης νερού. Ο δρομέας της αντλίας έχει διάμετρο 30 [cm] και πλάτος στην έξοδο 1.8 [cm], ενώ περιστρέφεται με 1700 [rpm]. Η είσοδος του νερού γίνεται ακτινικά, ενώ στην έξοδο του δρομέα σχηματίζεται γωνία 32 ο μεταξύ της εφαπτομενικής ταχύτητας και του πτερυγίου. Να υπολογιστεί η ισχύς που απαιτείται για την περιστροφή της αντλίας και η παροχή σε [lit/min] εάν υποθέσουμε υδραυλικό και μηχανικό βαθμό απόδοσης 77 [%] και 72 [%], αντίστοιχα. 88.8 [kw], 7170 [lt/min] 8. Αξονικός ανεμιστήρας εξωτερικής διαμέτρου 50 [cm] και διαμέτρου άξονα 15 [cm] περιστρέφεται με 2800 [rpm] με παροχή 8000 [m 3 /h]. Η ταχύτητα στην είσοδο έχει αξονική διεύθυνση, ενώ η γωνία στο μέσο του πτερυγίου στην έξοδο σχηματίζει γωνία 28 ο με το κάθετο στον άξονα επίπεδο. Να υπολογίσετε: την ισχύ που μεταφέρεται στον αέρα και την αύξηση της στατικής πίεσης μεταξύ εξόδου και εισόδου. 5.3 [kw], 3427 [Pa]