Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1

1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία είναι μεταξύ τους διαφορετικά Τα στοιχεία ενός συνόλου μπορεί να είναι και τα ίδια σύνολα Πχ. Α ={1, 13, 7} 1 A Πως αναπαριστούμε ένα σύνολο? Συστηματικά: Β={3, 13, 25} Κατηγορηματικά: Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Γ ={x: x είναι μήνας του καλοκαιριού} 2

1.1.2. Πράξεις Συνόλων Ορισμός: Μία πράξη στο σύνολο U παίρνει είσοδο μια ακολουθία από στοιχεία του συνόλου U καιεπιστρέφειωςέξοδο κάποιο στοιχείο. Μονομερής: η είσοδός της περιλαμβάνει 1 στοιχείο του U Διμερής: η είσοδός της 2 στοιχεία του U n-μερής η είσοδός της περιλαμβάνει n στοιχεία του U Η έξοδος μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει U Πχ. Α={2, 4, 6, }, {2,4,10 } A, {4,10,100} A {2,4,10} {4,10,100}={4,10} {2}*{4}={8} A 3

1.1.2. Πράξεις Συνόλων Αν η έξοδος της πράξης ανήκει πάντοτε το σύνολο U είναι κλειστό κάτω από την πράξη. Παράδειγμα Πχ. Α={2, 4, 6, }, 2 * 4 = 8, η πράξη πολλαπλασιασμού (*) είναι κλειστή στο σύνολο Α. 4

1.1.3. Υποσύνολα, Κενό Σύνολο Το σύνολο A είναι υποσύνολο του συνόλου B, A B, αν κάθε στοιχείο του A είναι και στοιχείο του B. = Α εγκλείεται στο Β Ιδιότητες Εγκλεισμού: Ανακλαστική: A A Αντισυμμετρική: Αν A B και B A, A = B Μεταβατική: AνείναιA B και B C, A C Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β αν A B και Α B A και B είναι συγκρίσιμα αν είτε A B είτε B A 5

1.1.3. Υποσύνολα, Κενό Σύνολο Το σύνολο χωρίς στοιχεία = κενό σύνολο, U ={το σύνολο που περιέχει όλα τα δυνατά σύνολα} Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α, Ā = τα στοιχεία εκτός του Α Πχ. Α= {οι θετικοί αριθμοί}, Ā = {όλοι οι αριθμοί εκτός τους θετικούς} Δυναμοσύνολο του Α, P(A) = όλαταδυνατάυποσύνολατουα P(A) =2 A Παράδειγμα A ={,, } P(A) ={ { }, { }, { },{, }, {, }, {, }, {, }, {,, } }. 6

1.1.3. Υποσύνολα, Κενό Σύνολο Το σύνολο Π A 2 A είναι μία διαμέριση του συνόλου A αν 1. Π A 2. Τα μέλη του Π A είναι ξένα μεταξύ τους. 3. Η ένωση των μελών του Π A είναι το σύνολο A. Παράδειγμα. A ={,,, } Το Π A ={{, }, { }, { }} είναι διαμέριση του A Το Π A ={{, }, {, }} δεν είναι διαμέριση του A 7

1.1.4. Πράξεις σε Σύνολα A B = { x x A ή x B} U A Β U = A Β A B = { x x A και x B} U A Β U = A Β A B A \ B = { x x A και x B} U U A Β = A \ B A Β 8

1.1.4. Πράξεις σε Σύνολα Παρατηρείστε: B \ A= B Ā Ā =U \A Συμμετρική διαφορά των A και B, A M B = (A\B) (Β\Α) περιέχειταστοιχείαπουανήκουνσεέναακριβώςαπόταδύοσύνολα Π.χ. { 1, 2, 3, 4 } M{ 2, 4, 6, 7 } = { 1, 3, 6, 7 } Παρατηρείστε: 9

1.1.4. Πράξεις σε Σύνολα Νόμοι Αντιμετάθεσης A B = B A, Α B = B A Νόμοι Προσεταιρισμού Α (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C, U είναι απορροφητικό στοιχείο για την πράξη της ένωσης, είναι ουδέτερο στοιχείο για την πράξη της τομής Τα σύνολα Α και Β είναι ξένα εάν Α B =. 10

1.1.5. Σύνθετες Πράξεις: Ταυτότητες 11

1.1.6. Καρτεσιανό Γινόμενο Όταν η σειρά των στοιχείων {a,b}είναι σημαντική Διατεταγμένο ζεύγος ha,bi Καρτεσιανό Γινόμενο του Α B ={ha,bi a A και b Β } = Όλα τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη ha,bi, a A και b Β Π.χ. Α={1, 2, 3}, B={11, 22, 33} Α B = {h1,11i, h1,22i, h1,33i, h2,11i, h2,22i, h2,33i, h3,11i, h3,22i, h3,33i} 12

1.1.7. Αριθμοί και Σύνολα Αριθμών Z : σύνολο ακεραίων αριθμών = θετικοί ακέραιοι, αρνητικοί ακέραιοι και το μηδέν N : σύνολο φυσικών αριθμών = μόνο θετικοί ακέραιοι και το μηδέν Q : σύνολο ρητών αριθμών = { x : υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί m και n τέτοιοι ώστε x =m/n} Π.χ. το π=3.14 ΔΕΝ είναι ρητός < : σύνολο πραγματικών (Real) αριθμών = ρητοί και άρρητοι αριθμοί Z + = θετικοί ακέραιοι Z =? N =? 13

1.1.Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι 14

1.1. Ασκήσεις 12. Αποδείξτε ότι: 15

1.1. Ασκήσεις 1.1.3. Ψευδής (αντιπαράδειγμα) ή Αληθής? 1. Το σύνολο των περιττών ακεραίων είναι κλειστό κάτω από τη διαίρεση. 2. Tο σύνολο των αρτίων ακεραίων είναι κλειστό κάτω από τον πολλαπλασιασμό. 3. Tο σύνολο των αρτίων ακεραίων είναι κλειστό κάτω από τη διαίρεση. 4. Tο σύνολο των θετικών ακεραίων είναι κλειστό κάτω από τη διαίρεση. 5. Το σύνολο των αρνητικών ακεραίων είναι κλειστό κάτω από την αφαίρεση. 6. Το σύνολο των αρνητικών ακεραίων είναι κλειστό κάτω από τον πολλαπλασιασμό. 16

1.1. Ασκήσεις 1.1.4 Αναδρομικός ορισμός για το σύνολο όλων των ακεραίων που διαιρούνται με το 7: 17

1.1. Ερωτήσεις? 18

1.2. Σχέσεις και Συναρτήσεις Ορισμός : Θεωρούμε αυθαίρετο σύνολο S. Για οποιοδήποτε ακέραιο n 2, μια n-αδική σχέση R πάνω στο σύνολο S είναι ένα υποσύνολο του Καρτεσιανού γινομένου S L S. n φορές Π.χ. Δυαδική σχέση: Μικρότερο από (στο σύνολο S) S ={1, 4, 6, 8} 4 S, 8 S 4 Μικρότερο από 8 δηλώνει ότι h4,8i Μικρότερο από 19

1.2.2 Δυαδικές Σχέσεις R A A είναι ανακλαστική αν ha, ai R για κάθε στοιχείο a R Π.χ. R= ίσο, ha, ai ίσο R A A είναι συμμετρική αν hb, ai R τότε hb,ai R Π.χ. R= συνομιλώ, Α={, } αν h, i συνομιλώ h, i συνομιλώ R A A είναι αντισυμμετρική αν hb, ai R τότε hb,ai R Π.χ. R= πατέρας, αν h, i πατέρας h, i πατέρας 20

1.2.2 Δυαδικές Σχέσεις R A A είναι μεταβατική αν όταν ha,bi R και hb,ci R τότε ha,ci R Π.χ. R= γηραιότερος από, αν h, i γηραιότερος από και αν h, i γηραιότερος από και h, i γηραιότερος από 21

1.2.2 Δυαδικές Σχέσεις : Σχέση Ισοδυναμίας Ορισμός: Σχέση Ισοδυναμίας είναι μια σχέση R A A ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική Ορισμός: Σε μια σχέση ισοδυναμίας R A A, για κάθε στοιχείο a A, η κλάση Ισοδυναμίας που αντιστοιχεί στο a, [a] R, ή [a] R = { b h a, bi R} [a] R = { b h b, ai R} (συμμετρία) Σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας της R Π R = { [a] R a A} 22

1.2.2 Δυαδικές Σχέσεις : Κλάσεις Ισοδυναμίας Πρόταση 1.1. Θεωρούμε σχέση ισοδυναμίας R πάνω σε αυθαίρετο σύνολο A. Τότε, οι κλάσεις ισοδυναμίας της σχέσης R διαμερίζουν το σύνολο A. ΔείχνουμεότιόλαταστοιχείατουΠ R (κλάσεις ισοδυναμίας της R) είναι μη κενά, μεταξύ τους ξένα και η ένωση τους καλύπτει όλο το σύνολο A. 23

1.2.3. Συναρτήσεις Ορισμός: Μία συνάρτηση f: A B συσχετίζει στοιχεία ενός συνόλου Α με στοιχεία ενός συνόλου Β ώστε κάθε στοιχείο του Α συσχετίζεται με ένα ακριβώς στοιχείο του Β Η f είναι μια δυαδική σχέση R A B τέτοιο ώστε ha, bi R f(a) = b, όπου a A, b B Παράδειγμα Α: πεδίο ορισμού συνάρτησης f (Α) = { f(a) a A }: πεδίο τιμών συνάρτησης 24

1.2.3. Συναρτήσεις Ορισμός: Μια συνάρτηση f: A B είναι Ένα-προς-ένα Συνάρτηση αν για οποιαδήποτε δύο διακεκριμένα στοιχεία a Α, b B, f(a) f(b). Για δύο συναρτήσεις f: A B και g: B C, η σύνθεση f g των συναρτήσεων f και g είναι η συνάρτηση f g: A C : f g (x) = f ( g(a) ) για κάθε a A Π.χ. g(a) : κάτοχος σκύλου a, f(b) : ηλικία ανθρώπου, f g = f( g(a) ) : ηλικία κατόχου του σκύλου a 25

1.2.3. Συναρτήσεις Ορισμός: Μια συνάρτηση f: A B είναι Επί αν για κάθε b Β, υπάρχει ένα στοιχείο a A τέτοιο ώστε f(a)=b. Oρισμός: Μια συνάρτηση f: A B είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των A και B εάν είναι ένα-προς-ένα και επί. Παράδειγμα. 26

1.3. Πεπερασμένα και Άπειρα Σύνολα Δύο σύνολα A και B καλούνται ισοπλήθη αν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη (ένα-προς-ένα και επί) αντιστοιχία μεταξύ τους. Παράδειγμα. Άρτιοι θετικοί={ 2, 4, 6, L } και Περιττοί θετικοί ={ 1, 3, 5, L } είναι ισοπλήθη: η συνάρτηση f(x) = x-1 που απεικονίζει το Άρτιοι θετικοί Περιττοί θετικοί. Φυσικοί αριθμοί: N = { 0, 1, 2, L} και { 0, 2, 4, L } είναι ισοπλήθη: συνάρτηση g(x) = 2x. 27

1.3. Πεπερασμένα και Άπειρα Σύνολα Ένα σύνολο A είναι πεπερασμένο αν υπάρχει κάποιος φυσικός αριθμός n 0 τέτοιος ώστε το σύνολο A είναι ισοπληθές με το σύνολο {1, L, n}. 1 ο στοιχείο του Α, 2 ο στοιχείο του Α,, n-στο στοιχείο του Α. Πχ. Α={πλευρές ενός τετραγώνου} 28

1.3. Πεπερασμένα και Άπειρα Σύνολα Ένα σύνολο είναι απείρως αριθμήσιμο αν αυτό είναι ισοπληθές με το σύνολο των φυσικών αριθμών N = { 0, 1, 2, L}. Π.χ. Τοσύνολοτωνάρτιωνθετικώνακέραιων{2,4,6, L}. 1 ο στοιχείο του Α, 2 ο στοιχείο του Α,. Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο αν αυτό είναι απείρως αριθμήσιμο ή πεπερασμένο. Πχ. Α={πλευρές ενός τετραγώνου} Π.χ. Το σύνολο των άρτιων θετικών ακέραιων {2,4,6, L}. Ένα σύνολο καλείται άπειρο αν αυτό δεν είναι πεπερασμένο. Πχ. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {0, 1, 2, L}. Πχ. Το σύνολο των άρρητων αριθμών. (όχι αριθμήσιμο) Παρατηρείστε: Ένα απείρως αριθμήσιμο σύνολο είναι άπειρο. 29

1.3. Πεπερασμένα και Άπειρα Σύνολα Ένα άπειρο σύνολο δεν είναι απαραίτητα απείρως αριθμήσιμο. Αν Α ένα άπειρο σύνολο, Α B, B: απείρως αριθμήσιμο A =? απείρως αριθμήσιμο Αν S 0, S 1, L μιασυλλογήαπόαριθμήσιμασύνολα ηένωση i S =? i είναι αριθμήσιμο σύνολο. 30

1.4. Μαθηματικές Αποδείξεις Ευθείς Απόδειξη: υποθέτει την ισχύ της υπόθεσης και χρησιμοποιεί την υπόθεση για να δείξει κατ' ευθείαν την ισχύ του συμπεράσματος. Παράδειγμα. Αποδείξτε ότι για οποιουσδήποτε περιττούς ακεραίους a και b, οακέραιοςab είναι επίσης περιττός. Απόδειξη. a = 2x + 1 και b = 2y + 1. ab= (2x+1)(2y+1)=4xy + 2x + 2y + 1= 2 (2xy + x + y) + 1. 31

1.4. Μαθηματικές Αποδείξεις Απόδειξη Ύπαρξης: Αποδεικνύουν την ύπαρξη ενός αντικειμένου με τις επιθυμητές ιδιότητες. Κατασκευαστικές: προσδιορίζουν μία ακολουθία από βήματα η οποία κατασκευάζει το ζητούμενο αντικείμενο. Μη Κατασκευαστικές αποδείξεις: τέτοιες αποδείξεις πείθουν για την ύπαρξη του αντικειμένου με τις ζητούμενες ιδιότητες χωρίς να το προσδιορίζουν. 32

1.4. Μαθηματικές Αποδείξεις: Απόδειξη Ύπαρξης Παράδειγμα (Απόδειξη Ύπαρξης) Αποδείξτεότιγιακάθεάρτιοακέραιοn > 2, υπάρχει 3-κανονικός γράφος με n κορυφές. (Κατασκευαστική) n=4 n=6 33

1.4. Μαθηματικές Αποδείξεις: Απόδειξη με Αντίφαση Απόδειξη με Αντίφαση: υποθέτουμε ότι το θεώρημα δεν ισχύει και δείχνουμε στη συνέχεια ότι η υπόθεση οδηγεί σε μία λανθασμένη συνέπεια. Παράδειγμα. Αποδείξτε ότι σεκάθεγράφομεn κορυφές και n-1 ακμές υπάρχει μια κορυφή με βαθμό 2 (2 γειτονικές κορυφές). Υποθέτω ότι όλες οι κορυφές έχουν βαθμό 1 αντίφαση. 34

1.4. Μαθηματικές Αποδείξεις: Απόδειξη με Επαγωγή Απόδειξη με Επαγωγή: Επαγωγή στους ακεραίους Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής (Ασθενής Μορφή): Έστω μαθηματική πρόταση Π(n), n: θετικός ακέραιος, που ικανοποιεί: Η Π(1) είναι αληθής. Για οποιοδήποτε ακέραιο n 1, αν η Π(n) είναι αληθής, η Π(n+1) είναι αληθής. ηπρότασηπ(n) είναι αληθής για κάθε θετικό ακέραιο n. 35

1.4. Μαθηματικές Αποδείξεις: Απόδειξη με Επαγωγή Η Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής χωρίζεται σε 3 μέρη: 1. Βάση: Εκεί εξετάζεται (και αποδεικνύεται) Π(1). 2. Επαγωγική Υπόθεση: Υποθέτουμε ότι η Π(n) είναι αληθής για αυθαίρετο θετικό ακέραιο n. 3. Επαγωγικό Βήμα: Στηριζόμενοι στην επαγωγική υπόθεση, αποδεικνύουμε ότι η Π(n+1) είναι αληθής. ηπρότασηπ(n) είναι αληθής για κάθε θετικό ακέραιο n. 36

Απόδειξη με Επαγωγή: Παράδειγμα Αποδείξτε την πρόταση: P(n)= για κάθε ακέραιο n 1, ο αριθμόςφ(n) = 4 2n+1 + 3 2n+1 είναι διαιρετός του 7. Βάση: φ(1) = 4 3 + 3 3 = 64 + 27 = 91 = 7 13 είναι πολλαπλάσιο του 7. ηπρότασηp(1) είναι αληθής. Επαγωγική υπόθεση: Υποθέτουμε ότι για κάποιο ακέραιο n 1, ο αριθμός φ(n) είναι διαιρετός διά του 7. Επαγωγικό βήμα: Θα αποδείξουμε ότι ο αριθμός φ(n+1) είναι διαιρετός διά του 7. φ (n+1) = 4 2 (n+1) + 1 + 3 2(n+1)+1 = πράξεις.. =7 4 2n+1 +3 2 (4 2n+1 + 3 2n+1 ) = 7 4 2n+1 + 3 2 φ(n) Αφού ο αριθμός φ(n) είναι διαιρετός του 7 7 4 2n+1 + 3 2 φ(n) = φ(n+1) είναι διαιρετός του 7. 37

Απόδειξη με Επαγωγή: (Ισχυρή Μορφή) Απόδειξη με Επαγωγή: Επαγωγή στους ακεραίους Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής (Ισχυρή Μορφή): Έστω μαθηματική πρόταση Π(n), n: θετικός ακέραιος, που ικανοποιεί: Η Π(1) είναι αληθής. Για κάθε ακέραιο n>1, αν η Π(k) είναι αληθής για κάθε ακέραιο k, όπου 1 k < n, η Π(n) είναι αληθής. ηπρότασηπ(n) είναι αληθής για κάθε θετικό ακέραιο n. 38

Απόδειξη με Επαγωγή: Παράδειγμα Αποδείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A, 2 A =2 A. 39

Δομική Επαγωγή Δομική Επαγωγή: Επαγωγή πάνω στην ίδια την Δομή Παράδειγμα. Αποδείξτε ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Απόδειξη. Υποθέτουμε, ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο: Primes = {a 1, a 2, L, a n } για κάποιο φυσικό αριθμό n > 1. Ορίζω a = a 1 a 2 L a n + 1, α a 1, a 2, L, a n Αν a είναι πρώτος, τότε το ζητούμενο δείχθηκε. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι ο a είναι σύνθετος. Έστω δ > 1 ένας διαιρέτης του a(ο δ είναι πρώτος αριθμός). Θα δείξουμε ότι ο δ είναι διάφορος από τους αριθμούς a 1, a 2, L, a n Υποθέτουμε ότι ο δ =a i για κάποιο a i {a 1, a 2, L, a n } δ διαιρεί το γινόμενο a 1 a 2 L a n. Αφού ο δ διαιρεί και τον a δ θα διαιρεί και τη διαφορά a - a 1 a 2 L a n = 1 δ 1 Αντίφαση. 40

1.5. Διαγωνοποίηση Η Αρχή της Διαγωνοποίησης: Έστω μια δυαδική σχέση σε ένα σύνολο Α και D το διαγώνιο σύνολο για την R: D={a A και (a,a) R}. Για κάθε a A και R a ={b: b A και (a,b) R}. Τότε, το D είναι διαφορετικό από όλα τα R a. Πχ. R a ={ b }, R b ={ b,c }, R c ={c} Το D διαφέρει από την 1η γραμμή του πίνακα στην 1η θέση, στην 2 η γραμμή στην 2 η θέση κ.ο.κ. 41

1.5. Διαγωνοποίηση Χρήση: όταν θέλουμε να δείξουμε ότι κάτι δεν υπάρχει. Πχ. Δύο σύνολα δεν είναι ισοπληθή. Θεώρημα. Το σύνολο των συναρτήσεων G : N { 0, 1 } δεν είναι αριθμήσιμο. Υποθέτουμε ότι το G είναι αριθμήσιμο υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : N G η οποία απαριθμεί τις συναρτήσεις στο G : g 0, g 1, g 2 L Ορίζουμε μία νέα συνάρτηση g: N { 0, 1 } ως εξής: Για κάθε n 0, g(n) = 1 - g n (n) g G Αφού η συνάρτηση f: N G είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία Υπάρχει φυσικός αριθμός n τέτοιος ώστε g = g n. g(n) = g n (n). Από την κατασκευή της συνάρτησης g: g(n) g n (n) Αντίφαση. 42

1.5. Διαγωνοποίηση: Παράδειγμα Θεώρημα Cantor. Το σύνολο 2 N είναι μη αριθμήσιμο. Απόδειξη. (με εις άτοπο απαγωγής) Υποθέτουμε ότι το 2 N είναι (απείρως) αριθμήσιμο υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία f : N 2 N 2 N ={ S 0, S 1, S 2 L}, όπου S i =f(i) Έστω το D= { i N i S i } (διαγώνιο σύνολο) D: ένα σύνολο φυσικών αριθμών D= S k Διαγώνιος ερώτηση: k S k? k S k : k D Αφού D= S k k S k : k D Αφού D= S k k S k, Αντίφαση k S k, Αντίφαση Άρα το 2 N είναι μη αριθμήσιμο 43

1.6. Η Αρχή του Περιστερώνα Θεώρημα. Θεωρούμε σύνολο από n αντικείμενα το οποίο διαμερίζουμε σε m κλάσεις, όπου n, m > 0. κάποια κλάση από τις m κλάσεις περιέχει τουλάχιστον d n/me αντικείμενα. Απόδειξη:? Με αντίφαση Εφαρμογές. Με οποιοδήποτε τρόπο και να τοποθετήσουμε n περιστέρια σε m φωλιές, υπάρχει πάντα μία τουλάχιστον φωλιά με τουλάχιστον d n/me περιστέρια. Π.χ. n= 3, m= 4 υπάρχει μια φωλιά με τουλάχιστον d3/4e=1 περιστέρια. Π.χ. n= 4, m= 3 υπάρχει μια φωλιά με τουλάχιστον d4/3e=2 περιστέρια. Σε κάθε ομάδα από 13 άτομα τουλάχιστον 2 άτομα γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. 44

Ερωτήσεις ; 45

Επόμενη Διάλεξη Γλώσσες και Συναρτήσεις 46