Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 8 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (005) σελ.7-8 ΚΟΡΕΣΜΕΝΑ, D-ΒΕΛΤΙΣΤΑ, s ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ, ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΙΙΙ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Βασίλης Καραγιάννης Χρόνης Μωυσιάδης Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. vkdstat@ath.auth.r, co@ath.auth.r ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή, επεκτείνουμε τ αποτελέσματα των Chatterjee και Narashan (00) και Karaanns και Moyssads (004), δίνοντας το πάνω φράγμα της ορίζουσας του 0- πίνακα U, που έχει άμεση σχέση με τους συνδυασμούς των αγωγών ενός s κορεσμένου D-Βέλτιστου παραγοντικού σχεδιασμού εκτιμητικής τάξης ΙΙΙ,, για κάθε s. Οι αποδείξεις μας βασίζονται σε στοιχεία της Θεωρίας Γραφημάτων και δίνονται περιληπτικά, ενώ τα θεωρητικά μας συμπεράσματα αποτελούν γενίκευση των μέχρι τώρα αποτελεσμάτων άλλων ερευνητών.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι Chatterjee και Narashan (00), χρησιμοποιώντας στοιχεία της Θεωρίας Συζεύξεων (Matchn Theory), έδωσαν μια εναλλακτική απόδειξη για την κατασκευή των κορεσμένων D-Βέλτιστων, Εκτιμητικής Τάξης ΙΙΙ, s s παραγοντικών πειραμάτων για κάθε τιμή των s, s. Στην ίδια εργασία δόθηκε επιπλέον ο ορισμός των πινάκων που ικανοποιούν την ιδιότητα, δηλαδή n n, 0- πίνακες των οποίων οι γραμμές διαμερίζονται σε τρία σύνολα S, S και S, με S = ενώ κάθε στήλη τους περιέχει το πολύ μία μονάδα σε κάθε ένα από τα σύνολα S, S και S ( S συμβολίζει είτε τον πληθυκό αριθμό του συνόλου S, είτε την απόλυτη τιμή του αριθμού S ) Στην εργασία των Karaanns και Moyssads 004 αποδείχτηκε ότι - 7 -
η μέγιστη τιμή της ορίζουσας των πινάκων αυτών είναι αύξουσα συνάρτηση του S =, δόθηκε το πάνω φράγμα για την περίπτωση = (που αντιστοιχεί στα κορεσμένα D-Βέλτιστα, Εκτιμητικής Τάξης ΙΙΙ, s s παραγοντικά πειράματα), κατασκευάστηκε ο πίνακας που ικανοποιεί την ιδιότητα για = και το αντίστοιχο σχέδιο στις περιπτώσεις s s+, s. Στην παρούσα εργασία δίνουμε για την περίπτωση που s= s = s (δηλαδή την περίπτωση ενός κορεσμένου D-Βέλτιστου, Εκτιμητικής Τάξης ΙΙΙ, s παραγοντικού πειράματος), το πάνω φράγμα για την τιμή της ορίζουσας του αντίστοιχου 0 πίνακα που ικανοποιεί την ιδιότητα για = (δεν πετυχαίνει την ίδια τιμή με την περίπτωση s s+ ).. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Θεωρούμε ένα πείραμα με τρεις παράγοντες F, F και F, οι οποίοι εμφανίζονται με, s και s στάθμες αντίστοιχα. Ένα γραμμικό μοντέλο που εκτιμά το γενικό μέσο και τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων (κάθε αλληλεπίδραση θεωρείται αμελητέα), όταν κάθε δυνατός συνδυασμός αγωγών εφαρμοστεί ακριβώς σε μια πειραματική μονάδα, έχει διάνυσμα μέσων τιμών και πίνακα διασπορών-συνδιασπορών που δίνονται από τις σχέσεις: E = Dsp y = σ I, ( y) Vθ, όπου, y το διάνυσμα των λεξικογραφικά διατεταγμένων παρατηρήσεων y,,, με = 0,, και στις οποίες εφαρμόζεται η αγωγή = 0,,..., s, j=,, V ο u n πίνακας σχεδιασμού ( u= s και j n= s+ ), σ η άγνωστη διασπορά των σφαλμάτων και θ= ( μ, β T, β T, β T ) T το διάνυσμα των άγνωστων παραμέτρων που αντιστοιχούν στο γενικό μέσο και στα πλήρη σύνολα ορθογωνίων αντιθέσεων των παραγόντων. Είναι γνωστό ότι (Chatterjee και Mukerjee, 99), υπάρχει ένας μη ιδιάζων πίνακας μετασχηματισμού H, τέτοιος ώστε V= UH. Ο πίνακας H είναι n n πίνακας σταθερών, ενώ o πίνακας U=[ X, X, X ] είναι u n υποπίνακας του πίνακα X, όπου: X = [, ε X, X, X ], ε = u, X= I s s, X = I s s, X= s I s, p είναι ένα p διάνυσμα με στοιχεία μονάδες και I p ο μοναδιαίος p p πίνακας, ενώ με συμβολίζουμε το Kronecker γινόμενο - 74 -
πινάκων. Ο πίνακας στήλης. X προκύπτει από τον X, =, με διαγραφή της τελευταίας Παρατήρηση.. Είναι φανερό ότι ο υποπίνακας X περιέχει ακριβώς μια μονάδα σε κάθε στήλη του. Έστω D το σύνολο των κορεσμένων σχεδιασμών (με n= u= s+ s+, παρατηρήσεις) και V d ο πίνακας σχεδιασμού. Τότε Vd = UdH. () T T Σύμφωνα με τους Chatterjee και Narashan (00), ο πίνακας U d ( A είναι ο ανάστροφος του A ) ικανοποιεί την ιδιότητα με =. Θα συμβολίζουμε τον T U d είτε ως A είτε ως, + S = +. Σε κάθε πίνακα A, τονίζοντας αντίστοιχα είτε ότι S = είτε ότι A αντιστοιχίζουμε ένα διμερές γράφημα r c G= ( V V, E), έτσι ώστε, κάθε γραμμή του ν αντιστοιχεί σ ένα στοιχείο του r c συνόλου V, κάθε στήλη του σ ένα στοιχείο του συνόλου V, ενώ η ακμή [, j] E υπάρχει αν και μόνο αν, a j =. Ο πίνακας A θα ονομάζεται μη συμμετρικός πίνακας συνδέσεων του G (θα γράφουμε για συντομία ΜΣΠΣ). Στο G ορίζουμε την r c επόμενη συνάρτηση χρωματισμού c= c( v), με v V V r, αν v S,στο γραφημα συμβολιζουμε w, αν v S,στο γραφημα συμβολιζουμε cv () = b, αν v S,στο γραφημα συμβολιζουμε c, αν v V,στο γραφημα συμβολιζουμε Θα συμβολίζουμε τις κορυφές του γραφήματος και τις αντίστοιχες γραμμές του πίνακα με r, wj, b k, ενώ τις κορυφές και τις αντίστοιχες στήλες με. Το γράφημα G περιέχει, r -κορυφές, ( = s ) w -κορυφές, + ( = s) b -κορυφές και ( s ) + = +, -κορυφές. Μονοπάτια όπως το [ r, s, bu, t, r ] ([ r, s, wu, t, r ] ), στα οποία η διαδοχή των κορυφών ακολουθεί τη συγκεκριμένη διάταξη των χρωμάτων και η εσωτερική b -κορυφή (w -κορυφή) έχει βαθμό θα ονομάζονται -μονοπάτια( -μονοπάτια). Θα παρατηρήσουμε ότι ανά δυο ενώνονται σ έναν κύκλο C 8 (ο δείκτης είναι το μήκος του). Τέλεια σύζευξη F στο G θα ονομάζουμε ένα σύνολο ακμών του, τέτοιο ώστε, κάθε - 75 -
κορυφή του G να είναι άκρο σε ακριβώς μια ακμή του F. Σε κάθε τέλεια σύζευξη F, αντιστοιχεί μονοσήμαντα μια μετάθεση p F των στοιχείων του συνόλου {,,..., n }, για την οποία ισχύουν, [, pf ( ) ] F και a = ενώ ορίζεται να pf είναι sn( p) = sn( F). Έτσι η τιμή της ορίζουσας του 0- πίνακα εφαρμόζοντας τον ορισμό του Craer det( A ) sn( p ) = F pf () p F = n a A, ισούται με τη διαφορά του πλήθους των περιττών από το πλήθος των άρτιων τέλειων συζεύξεων. Επιπλέον ορισμοί βασικών εννοιών της Θεωρίας Γραφημάτων μπορούν να βρεθούν σε συγγράμματα όπως των Bondy και Murty (976), ενώ περισσότερες διευκρινήσεις για την εισαγωγή μπορεί κανείς να βρει στις εργασίες Καραγιάννης και Μωυσιάδης 004 και Karaanns και Moyssads 004.. ΚΥΡΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στη συνέχεια δίνουμε τα βασικά αποτελέσματα της εργασίας A raphcal constructon of the saturated D-optal s an effect factoral desn των Karaanns και Moyssads η οποία έχει αποσταλεί για δημοσίευση. Λήμμα.. Έστω A ο μη ιδιάζων 0- πίνακας που αντιστοιχεί σ ένα, + s κορεσμένο παραγοντικό σχεδιασμό Εκτιμητικής Τάξης ΙΙΙ. Τότε θα ισχύει, + ), ), όπου A, πίνακας που ικανοποιεί την ιδιότητα με = τέτοιος ώστε S =. Λήμμα.. Έστω A ένας μη ιδιάζων, n n, 0 πίνακας που αντιστοιχεί σ έναν κορεσμένο, D-Βέλτιστο, Εκτιμητικής Τάξης ΙΙΙ, s παραγοντικό σχεδιασμό και G το γράφημα με ΜΣΠΣ τον προηγούμενο πίνακα. Στο γράφημα G = n, ενώ το πλήθος των -μονοπατιών και το πλήθος των -μονοπατιών είναι το καθένα ίσο με k 0. Τότε για την ορίζουσα του A θα ισχύει: υποθέτουμε ότι de( r) = n, de( r ) ) nn k k+ ή ) nn k+. Περίληψη της απόδειξης. Συμβολίζουμε με Γ b και Γ w τα σύνολα των - 76 -
-κορυφών που περιέχονται στα H bw, ( H b ή των H w και και -μονοπάτια αντίστοιχα. Επίσης ) θα συμβολίζει το υπογράφημα του G που περιέχει το σύνολο -μονοπατιών (μόνο των -μονοπατιών ή μόνο των -μονοπατιών) και τις κορυφές r και r. Το Hb Hb, w G αποτελείται από r 5 k b b b b k 4 6 k r Εικόνα. Το υπογράφημα H b που περιέχει τα k σε πλήθος -μονοπάτια. k σε πλήθος -μονοπάτια και μπορεί να παρασταθεί στο επίπεδο όπως δείχνει η Εικόνα. Αρχικά r ( st) ( nd) Εικόνα. Τα αποδεικνύουμε ότι αν Γb = Γw ή Γ b = Γ w σε κάποιο υπογράφημα H bw, Hbw, τέτοιο ώστε Γ b Γ, b. Γ Γ τότε ) 0. Έστω το -μονοπάτι [ r,, w,, r ]. Αν w w {, } ( Γ Γ ) s t w b = θα ονομάζεται ( Γ Γ ) t w b - 77 - αλλά όχι και οι δυο θα ονομάζεται { } s t b ( nd) s u t, αν είτε ( Γ Γ ) ( st) είτε s w b ( ου είδους) ενώ αν, Γ θα ονομάζεται ( ου είδους) (Εικόνα ). Στην περίπτωση των ( st) μια -κορυφή ανήκει ταυτόχρονα σε, ( st) r nd και μονοπάτια (με έντονες ακμές). -μονοπάτι ενώ στην περίπτωση
( nd) των και οι δυο -κορυφές ανήκουν σε δυο (αναγκαστικά λόγω της ιδιότητας ) διαφορετικά -μονοπάτια. Τα προηγούμενα -μονοπάτια θα τα ονομάζουμε συνοδεύοντα. Το σύνολο των μονοπατιών που είναι συνοδεύοντα των ( nd) ( nd) θα το ονομάζουμε κάλυψη των και θα το συμβολίζουμε με cov ( ( nd ) ) ( nd). Αποδεικνύεται ότι αν στο G υπάρχουν μ σε πλήθος τότε ( nd) ( nd) cov( ) = μ +. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν μ και μ + -μονοπάτια στο G. Τα μ + προηγούμενα μονοπάτια θα ονομάζονται ( μ) διαδοχικά αν το γράφημα H wb, { r, r} είναι ένα μονοπάτι που περιέχει ( nd) εναλλακτικά τα και (Εικόνα ). Αποδεικνύεται ότι αν στο G υπάρχουν ( nd) ακριβώς μ και μ + -μονοπάτια τότε αυτά θα είναι διαδοχικά. nd Εικόνα. μ και μ + -μονοπάτια διαδοχικά. k + k Εικόνα 4. Η περίπτωση ενός. e r ( st) a a a a k r st Εικόνα 5. Η περίπτωση ενός και ένα υπογράφημα περιττού πλήθους κορυφών. - 78 -
Αποδεικνύεται ότι στο G υπάρχει τουλάχιστον ένα περίπτωση που υπάρχει ακριβώς ένα ( st) αποδεικνύεται ότι det( ) nn ( k k ) G υπάρχουν συνοδεύοντα ( st) (Εικόνα 5) ή k σε πλήθος. Τελικά στην ( st) τότε A + = nn k( k+ ), ενώ αν στο (ή ισοδύναμα ) (Εικόνα 4) ή αν δυο ( st) έχουν κοινό st (Εικόνα 6) ή αν δυο έχουν τα συνοδεύοντα κοινά με μια ) nn k+. ομάδα διαδοχικών (Εικόνα 7), τότε r r p 5 k p 5 k bv b b bk bv b b bk q 4 6 k q 4 6 k r r Εικόνα 6. Η Περίπτωση () όπου ( st ) -μονοπάτια έχουν κοινό συνοδεύων. Εικόνα 7. Η περίπτωση δυο ( st) nd στην ομάδα μ διαδοχικών. Θεώρημα.. Έστω A ένας n n, 0- πίνακας που αντιστοιχεί σ έναν κορεσμένο, D-Βέλτιστο, Εκτιμητικής Τάξης ΙΙΙ, s παραγοντικό σχεδιασμό. Για την τιμή της ορίζουσας του A θα ισχύει ) λ + λ+, αν = λ ) λ + 5λ+, αν = λ + ή ) λ + 7λ+ 4, αν = λ + για λ ενώ για λ = 0 ισχύει ) 4. Περίληψη της απόδειξης. Εξετάζουμε δυο περιπτώσεις που αφορούν στο πλήθος - 79 -
των μονάδων ( n και n αντίστοιχα) στις δυο πρώτες γραμμές του A. Περίπτωση n+ n +. Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω: ( ) ( ) ( + ) det A, αν + 0od, () 4 ( + )( + ) det A, αν + od, () 4 Περίπτωση n+ n> +. Υποθέτουμε ότι n+ n = + + k, k. Τότε: k = n+ n ( + ). (4) Εφαρμόζοντας τις κατάλληλες μεταθέσεις στις γραμμές και τις στήλες του A, τον φέρνουμε στη μορφή n n k... 0... 0 0 0... 0... S = (5) A = B C ( ) S k = D E ( k) S = Θα παρατηρήσουμε ότι ( k) = k> 0, επομένως υπάρχουν στους υποπίνακες C ( k) και E ( k), k σε πλήθος μηδενικές γραμμές. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν στους B και D, k σε πλήθος γραμμές με ακριβώς δυο μονάδες στην κάθε μια. Πράγματι στις περιπτώσεις που δε συμβαίνει αυτό αποδεικνύεται ότι ισχύει (, + ) = (, ) = (, ) = (, ) < (, + ) det A det A det A det A det A. (6) Η σχέση (6) μας οδηγεί στη διαπίστωση ότι υπάρχουν στους B και D, k γραμμές που περιέχουν ακριβώς μονάδες ενώ οι στήλες στις οποίες βρίσκονται έχουν μονάδα σε διαφορετική γραμμή του συνόλου S. Αυτό σημαίνει ότι στο γράφημα G με ΜΣΠΣ τον A, υπάρχουν k σε πλήθος -μονοπάτια και k σε πλήθος -μονοπάτια. Αρκεί στη συνέχεια να υπολογίσουμε την μέγιστη τιμή για κάθε περίπτωση του προηγουμένου Λήμματος. και να τις συγκρίνουμε μεταξύ τους αλλά και με την περίπτωση n+ n +. - 80 -
Με αντικατάσταση του πλήθους των -μονοπατιών στον πρώτο τύπο του Λήμματος. θα έχουμε det ( A ) nn ( )( ) n+ n + n+ n +. (7) Αν θέσουμε n= n+ t, t, η (7) γράφεται, f n, t = n t + 6+ 4 n + + t n t (8) Η συνάρτηση (8) παρουσιάζει ολικό μέγιστο την τιμή + + όταν + n = και t = 0. Η προηγούμενη τιμή είναι ακέραιος όταν = λ, και είναι ίση με λ + λ+. Στις περιπτώσεις που λ, θα ισχύει det ( A ) + + όπου [ x ] συμβολίζει το ακέραιο μέρος του x. Έτσι όταν = λ +, η μέγιστη τιμή είναι λ + 5λ+ ενώ αν = λ +, η μέγιστη τιμή είναι λ + 7λ+ 4. Με αντικατάσταση του πλήθους των -μονοπατιών στον δεύτερο τύπο του Λήμματος., έπειτα από την ίδια αντικατάσταση θα έχουμε f n, t = n + n t n + t + (9) ( ) ( + Η συνάρτηση (9) έχει ολικό μέγιστο την τιμή ) όταν n = ( + ) και t = 0. Ακολουθώντας την προηγούμενη διαδικασία βρίσκουμε ότι για λ = + η μέγιστη τιμή είναι ( ) λ + λ ενώ για = λ + η μέγιστη τιμή είναι λ +, για = λ η μέγιστη τιμή είναι λ 4λ + +. Η σύγκριση των προηγουμένων με τ αποτελέσματα της Περίπτωσης n+ n + ολοκληρώνει την απόδειξη. Τελειώνοντας θα αναφέρουμε ότι αυτό που απομένει είναι να παρουσιαστεί το σχέδιο που δίνει τις προηγούμενες μέγιστες τιμές. Για τις περιπτώσεις s =, 4,5, τα θεωρητικά μας αποτελέσματα επαληθεύονται από αυτά των esotan H, Raktoe B (περίπτωση s = ) (988) και Chatzopoulos SA, Kolyva-Machera F (00) (περιπτώσεις s =, 4,5 ). - 8 -
ABSTRACT In ths paper we extent soe results of Chatterjee and Narashan 00 and Karaanns and Moyssads 004 and ve the upper bound of the deternant of the 0- atrx U, whch s assocated wth the treatent cobnatons of a Resoluton III, saturated, D-Optal s factoral desn for every s. Our proofs use results fro Graph Theory whch are presented here concsely, whle our theoretcal concluson consttutes a eneralzaton of the exstent results of other authors. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bondy JA, Murty USR (976) Graph theory wth applcatons. Aercan Elsever, New York Chatterjee K, Narashan G (00) Graph-theoretc technques n D-optal desn probles. J. Statst. lann. Inference 0: 77-87 Chatterjee K, Mukerjee R (99) D-optal saturated an effect plans for s s factorals. J. Cobn. Infor. Syste Sc. 8: 6- Chatzopoulos SA, Kolyva-Machera F Soe D-optal saturated desns for factorals J. Statst. lann. Inference (preprnt) esotan H, Raktoe B (988) On nvarance and randozaton n factoral desns wth applcatons to D-optal an effect desns of the syetrcal factoral. J. Statst. lann. Inference 9: 8-98 Karaanns V, Moyssads C (005) Constructon of D-optal s s s factoral desns usn Graph theory Metrka 6: 8-07 Καραγιάννης Β, Μωυσιάδης Χ (004) Κατασκευή D-Βέλτιστων, κορεσμένων s s s παραγοντικών σχεδιασμών, όταν s =, s, s s +, με τη συμβολή της Θεωρίας Γραφημάτων Πρακτικά 7 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής Karaanns V, Moyssads C (005) A raphcal constructon of the saturated D-optal s an effect factoral desn (υποβλήθηκε για δημοσίευση) - 8 -