Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές διαστηµάτων κλπ), πολλές φορές προκύπτουν στην ανάλυση αρκετά πιο πολύπλοκα σύνολα, πχ ως όρια (µε κάποια έννοια) άλλων συνόλων Ως εκ τούτου, µια επέκταση της έννοιας του «µήκους» συνόλου είναι απαραίτητη ώστε αφενός να περιλάβει και µη Borel σύνολα, αφετέρου να έχει «καλή» συµπεριφορά (µε κάποια έννοια) όσον αφορά τη δράση του ορίου Ετσι οδηγούµαστε στο µέτρο Lebesgue και στη συνέχεια στο ολοκλήρωµα Lebesgue Με µια µη αυστηρή ερµηνεία, το µέτρο Lebesgue γενικεύει την έννοια του µήκους σε µη κατ ανάγκη Borel σύνολα, τα µετρήσιµα σύνολα, ενώ το ολοκλήρωµα Lebesgue επιτρέπει την ολοκλήρωση σε πιο σύνθετα σύνολα και σε µεγαλύτερη κλάση συναρτήσεων, τις µετρήσιµες συναρτήσεις Ταυτοχρόνως, το µέτρο Lebesgue επιτρέπει σε χρήσιµες ιδιότητες ακολουθιών συναρτήσεων όπως πχ η µετρησιµότητα να κληρονοµηθούν από την οριακή συνάρτηση Αρχικά ξεκινούµε µε το µέτρο Lebesgue στο και µετά γενικεύουµε σε αφηρηµένους χώρους µέτρου Εστω είναι το σύνολο των διαστηµάτων της πραγµατικής ευθείας, I και I είναι το µήκος του I Η συνολοσυνάρτηση ( I) I I φραγµενο = +, I µη φραγµενο 0 I = ορίζει ένα µέτρο πάνω στη σ-άλγεβρα ( ) των συνόλων Borel Υπενθυµίζουµε ότι µε τον όρο σ-άλγεβρα εννοούµε µια οικογένεια συνόλων που είναι κλειστή ως προς το συµπλήρωµα και τις αριθµήσιµες ενώσεις (άρα και τοµές) στοιχείων της Απ την άλλη µεριά, µια συνολοσυνάρτηση µ πάνω σε µια σ-άλγεβρα υποσυνόλων ενός συνόλου καλείται µέτρο, αν - 62 -
µ E, ( E) 0 µ ( ) = 0, για κάθε ακολουθία { E }, ξένων µεταξύ τους ανα δύο συνόλων E ισχύει ( E ) ( ) = E = = µ µ Η Βοrel σ-άλγεβρα ( ) είναι η µικρότερη σ-άλγεβρα που περιέχει όλα τα ανοικτά (άρα και κλειστά) σύνολα του Θα θέλαµε να επεκτείνουµε το µέτρο πάνω στο δυναµοσύνολο = ( ) αλλά αυτό δεν είναι εφικτό Αποδεικνύεται όµως ότι υπάρχει µια επέκταση της πάνω σε µια σ-άλγεβρα ( ) : ( ) ( ) ( ) Η ( ) καλείται σ-άλγεβρα των µετρήσιµων υποσυνόλων του και περιέχει όλα τα σύνολα B που ικανοποιούν τη σχέση c ( ) ( ) ( ) * * * m B m E B m E B, E = +, ( B c = B ), όπου η συνολοσυνάρτηση ( ) [ ] ( ) { j j} ( j) { A j j} m * * : 0, + : m E = if A : E A j καλείται εξωτερικό µέτρο Lebesgue Αποδεικνύεται ότι η συνολοσυνάρτηση * ( ) [ + ] ( ) = ( ) m: 0, : m B m B είναι µέτρο το οποίο καλούµε µέτρο Lebesgue στην πραγµατική ευθεία Υπάρχουν µη µετρήσιµα υποσύνολα του, η κατασκευή τους όµως δεν είναι εύκολη Εφόσον η σ-άλγεβρα των µετρησίµων συνόλων περιέχει όλα τα Borel σύνολα, τα ανοικτά και κλειστά σύνολα είναι Lebesgue µετρήσιµα, το συµπλήρωµα (στο ) µετρησίµου συνόλου είναι µετρήσιµο σύνολο και η ένωση/τοµή - 63 -
αριθµησίµου πλήθους µετρησίµων συνόλων είναι επίσης µετρήσιµα σύνολα Γενικότερα, καλούµε χώρο µέτρου (,, µ ) ένα σύνολο µαζί µ ένα µέτρο µ που έχει ορισθεί πάνω σε µια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του την οποία καλούµε άλγεβρα των µετρήσιµων υποσυνόλων του Για παράδειγµα η τριάδα (,,m) είναι χώρος µέτρου Αν οποιοδήποτε σύνολο, τότε η τριάδα (,, µ ) µέτρου ως προς το µέτρο αθροισιµότητας µ ( ) [ + ] µ ( A) είναι χώρος : 0, : πληθος στοιχειων του A, A εχει πεπερασµενο πληθος στοιχειων =, A εχει απειρο πληθος στοιχειων,, µ είναι χώρος µέτρου τότε ένα σύνολο B καλείται Αν ( ) µηδενικού µέτρου αν µ ( B ) = 0 Οσον αφορά το µέτρο Lebesgue στην πραγµατική ευθεία αποδεικνύεται ότι όλα τα σύνολα µηδενικού µέτρου είναι µετρήσιµα Σε γενικότερες περιπτώσεις αυτό µπορεί να µην ισχύει ηλαδή για B µε µ ( B ) = 0, ενδέχεται να υπάρχει A B µε A Παρ όλα αυτά µπορούµε πάντα να επεκτείνουµε το µέτρο µας σε µια µεγαλύτερη σ-άλγεβρα έτσι ώστε µ ( A) = 0 για τις παραπάνω περιπτώσεις Τότε όλα τα σύνολα µηδενικού µέτρου είναι µετρήσιµα και στο εξής πάντα θα υιοθετούµε αυτή την προσέγγιση Σηµειώνουµε ότι στο χώρο µέτρου (,,m), το κενό σύνολο, τα µονοσύνολα και ενώσεις αριθµησίµου πλήθους συνόλων µηδενικού µέτρου είναι µετρήσιµα σύνολα µηδενικού µέτρου Αρα τα σύνολα,, είναι σύνολα µηδενικού µέτρου Lebesgue Υπάρχουν όµως και υπεραριθµήσιµα σύνολα µηδενικού µέτρου Lebesgue µε το πιο χαρακτηριστικό παράδειγµα να είναι το σύνολο Cator Θα λέµε ότι µια ιδιότητα ισχύει µ σχεδόν παντού (σπ) σε κάποιο σύνολο E, αν η ιδιότητα αυτή ισχύει στο E εκτός από ένα υποσύνολο του E µηδενικού µέτρου - 64 -
A Μετρήσιµες συναρτήσεις Καλούµε το σύνολο = { ± } = [, + ] επεκτεταµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών Στο εξής θεωρούµε πάντα 0 = 0, ενώ η πράξη είναι απροσδιόριστη Τα ανοικτά σύνολα στο είναι τα [, a), ( b, ], ( a, b) και αριθµήσιµες ενώσεις συνόλων αυτού του τύπου Εστω (,, µ ) είναι χώρος µέτρου Κάθε συνάρτηση f : καλείται επεκτεταµένη πραγµατική συνάρτηση Καλούµε φορέα της f το σύνολο { ( ) } supp f = x : f x 0 Ορισµός A Εστω f : είναι επεκτεταµένη πραγµατική συνάρτηση όπως παραπάνω Η f καλείται µετρήσιµη στο αν η αντίστροφη εικόνα f ( V ) µετρήσιµο σύνολο, δηλαδή f ( V) κάθε ανοικτού συνόλου V του είναι Πρακτικά, για τη µετρησιµότητα της f αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο f ( a, ] + είναι µετρήσιµο για κάθε a Εστω είναι τοπολογικός χώρος (για ευκολία θεωρείστε τον µετρικό χώρο) και (,, µ ) χώρος µέτρου Εφόσον µια συνάρτηση f : είναι συνεχής αν και µόνον αν η αντίστροφη εικόνα κάθε ανοικτού συνόλου είναι ανοικτό σύνολο προκύπτει άµεσα ότι Kάθε συνεχής συνάρτηση f είναι µετρήσιµη Εκτός των συνεχών, υπάρχει και πληθώρα µη συνεχών πλην όµως µετρησίµων συναρτήσεων Μια κλάση τέτοιων συναρτήσεων προκύπτει απ τη χαρακτηριστική συνάρτηση, x E χe : : χe( x) =, E 0 x E Αυτή είναι µη συνεχής και µετρήσιµη συνάρτηση στο, διότι - 65 -
a > χ E ( a, + ) = E, 0< a, a 0 τα οποία είναι όλα µετρήσιµα σύνολα Σηµειώνουµε ότι γραµµικοί συνδυασµοί µετρησίµων συναρτήσεων είναι µετρήσιµες συναρτήσεις, όπως επίσης και το γινόµενο και πηλίκο τους (στο κοινό πεδίο ορισµού τους) Ορισµός A2 Εστω (,, µ ) είναι χώρος µέτρου Κάθε συνάρτηση ( ) ( ) φ: : φ x aχ x, () = = όπου { a,, a }, ai aj και E,, τους ανά δύο µετρήσιµα σύνολα µε ( ) i i E i E είναι µη κενά, ξένα µεταξύ µ < καλείται απλή συνάρτηση και είναι προφανώς µετρήσιµη Σηµείωση Αν E,, E είναι µη κενά, ξένα µεταξύ τους διαστήµατα a,,, a ai aj, τότε η συνάρτηση της πραγµατικής ευθείας και { } E ( x) a ( x) ψ : : ψ χ = = καλείται κλιµακωτή συνάρτηση Αν : g x = f x µ σπ στο, τότε και η g είναι µετρήσιµη στο, διότι σύνολα µηδενικού µέτρου είναι µετρήσιµα, συνεπώς µε όποιον τρόπο κι αν ορίσουµε την g σε σύνολο µηδενικού µέτρου παραµένει µετρήσιµη (θυµηθείτε ότι 0 = 0) Με την ίδια λογική, αν η f ορίζεται µ σπ στο, θα θεωρούµε ότι η f είναι µετρήσιµη στο Αρα συναρτήσεις συνεχείς µ σπ στο είναι µετρήσιµες Αν f, g: είναι µετρήσιµες, τότε και οι συναρτήσεις f είναι µετρήσιµη συνάρτηση και ( ) ( ) { } { } (α) max f ( x), g( x ), mi ( ), ( ) (β) f : : f ( x) f x g x, ( ) ( ) f ( x) i f x, f x 0 + + = 0, < 0, i E i - 66 -
(γ) f : : f ( x) ( ) ( ) f ( x) f x, f x 0 = 0, > 0, είναι επίσης µετρήσιµες Από τις πιο σηµαντικές ιδιότητες της µετρησιµότητας είναι ότι διατηρείται υπό τη δράση µιας οριακής διαδικασίας Με άλλα λόγια ο χώρος των µετρήσιµων συναρτήσεων είναι κλειστός ως προς το όριο Eτσι, αν { } f είναι µια ακολουθία (επεκτεταµένων) µετρησίµων συναρτήσεων στο, αποδεικνύεται ότι και οι συναρτήσεις { f } ( { f } )( x) = { f x } sup : : sup : sup ( ): { f } ( { f } )( x) = { f x } if : : if : if ( ) : είναι µετρήσιµες στο Αρα και οι συναρτήσεις lim f, lim f είναι επίσης µετρήσιµες στο και έτσι αν ( ) ( ) lim f x = f x σηµειακά, τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι µετρήσιµη Το ακόλουθο θεώρηµα και πόρισµα είναι σηµαντικά διότι δείχνουν ότι κάθε µετρήσιµη συνάρτηση είναι όριο µιας απλής συνάρτησης Θεώρηµα Α Εστω f 0 είναι µη αρνητική και µ σπ πεπερασµένη µετρήσιµη πραγµατική συνάρτηση στο Τότε υπάρχει αύξουσα ακολουθία { } φ µη αρνητικών απλών συναρτήσεων τύπου (), έτσι ώστε limφ ( x) f ( x) Απόδειξη (α) Εστω ( supp f ) 0 f ( x) M x supp f = σηµειακά στο µ = M < για κάποιο M > 0 και Ορίζουµε ακολουθία διαµερίσεων i = : i= 0,, M2 2-67 -
του [ 0,M ] και στη συνέχεια για κάθε ορίζουµε τα σύνολα i i+ Ei, = x supp f : f ( x) <, i 0,, M2 = 2 2 Τα σύνολα αυτά είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο, είναι µετρήσιµα M 2 (λόγω µετρησιµότητας της f ) και E 0 i, = supp f Εστω { φ } i= ακολουθία απλών συναρτήσεων της µορφής: M 2 i φ = χ (2) i= 0 2 Tότε 0 φ f M φ είναι αύξουσα Πράγµατι, φιξάρουµε και x0 supp f Τότε x0 E i 0, για κάποιο δείκτη i και ( ) i0 i0 0 φ x0 = Επίσης x 0 E 2 i0, + µε φ + ( x0) =, ή 2 2 i0 x0 E 2i0 +, + µε φ + ( x0) = + 2 2 + Ετσι, σε κάθε περίπτωση φ( x0) φ + ( x0) και αφού το x 0 είναι τυχαίο, φ φ + Τέλος, x supp f f ( x) φ ( x) 0,, 2 στο supp f Επιπλέον η { } απ όπου προκύπτει η σηµειακή σύγκλιση (β) Εστω f είναι µ σπ πεπερασµένη µετρήσιµη συνάρτηση (όχι κατ ανάγκην φραγµένη ούτε µε φραγµένο φορέα) Κατασκευάζουµε ακολουθία συναρτήσεων { f } τύπου (α) µε f σε σύνολο A µε µ ( A ) =, f = 0 στο A και lim f = f σηµειακά στο Πράγµατι, έστω ( ) αν ( ), αν ( ) E i, f x f x x A f( x) = f x > x A 0 x A Η { f } είναι ακολουθία µη αρνητικών µετρήσιµων συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα Επίσης f f+ Οσον αφορά τη - 68 -
σηµειακή σύγκλιση, έστω x0 και l : lx 0 = έτσι ώστε x0 A < l Τότε f ( x0 ) = 0 < l Αν f ( x) l, f ( x0) = f ( x0) > l x0, άρα lim f = f Αν f ( x) > l, διαλέγουµε τον πρώτο δείκτη i 0 έτσι ώστε i0 + l f ( x) > l, οπότε f( x0) = f ( x0) > i0 + lx και έτσι 0 f ( x ) f ( x ) f = f lim 0 = 0 Τελικά σε κάθε περίπτωση έχουµε lim Απ την άλλη µεριά, για κάθε η συνάρτηση f έχει φορέα το φραγµένο σύνολο A και f Αρα από το (α) υπάρχει αύξουσα ακολουθία µη αρνητικών απλών συναρτήσεων {, } ψ lim, f Πόρισµα Α = σηµειακά Εστω φ = ψ, Τότε: ψ τέτοια ώστε φ f ψ f + f f + f f 0, 2 Για κάθε µ σπ πεπερασµένη πραγµατική µετρήσιµη συνάρτηση f στο υπάρχει ακολουθία { φ } απλών συναρτήσεων έτσι ώστε και φ ( x) = f ( x) σηµειακά στο φ φ + f lim + + Απόδειξη Γράφουµε f = f f όπου f, f είναι µη αρνητικές, µ σπ πεπερασµένες µετρήσιµες συναρτήσεις όπως παραπάνω Από το Θεώρηµα Α υπάρχουν αύξουσες ακολουθίες { } η και { ψ } + µη αρνητικών απλών συναρτήσεων έτσι ώστε limη = f και limψ = f σηµειακά στο Εστω φ = η ψ Τότε limφ = f ση µειακά στο Αν = { ( ) < }, E2 = { x: f ( x) > 0} και E x f ( x) E x: f x 0 τότε ( ) 3 φ ( x) = ψ ( x) x E και φ ( x) η ( x) x E2 { } 3 = : = 0, + φ x = 0 x E, διότι οι f, f, f µηδενίζονται στο E 3 Επίσης = ηλαδή φ = η + ψ η οποία είναι προφανώς αύξουσα - 69 -
Α2 Ολοκλήρωµα Lebesgue µετρήσιµων συναρτήσεων Α2 Φραγµένες συναρτήσεις πάνω σε φραγµένο φορέα Αν φ είναι µια απλή συνάρτηση όπως στην (), ορίζουµε και αν E i ( ) φ dµ = = ai µ Ei είναι µετρήσιµο σύνολο, ( ) φ dµ = E φ χ dµ a E E Ε = µ i = i i Σηµείωση (α) Ο αριθµός φ (ή φ ) είναι πεπερασµένος διότι η φ E είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε φραγµένο φορέα (β) Μια απλή συνάρτηση δεν εκφράζεται µε µοναδικό τρόπο µέσω της () Παρόλα αυτά αποδεικνύεται ότι η τιµή του ολοκληρώµατος είναι ανεξάρτητη από τον τρόπο έκφρασης του τύπου της απλής συνάρτησης (γ) Αν φ, ψ είναι απλές συναρτήσεις όπως παραπάνω, τότε και ( ) a φ + b ψ = a φ b ψ, a, b + φ ψ µ-σπ στο φ ψ Εστω τώρα f είναι µια µ σπ πεπερασµένη πραγµατική µετρήσιµη συνάρτηση στο Λόγω του Πορίσµατος Α, ένας λογικός τρόπος ορισµού του ολοκληρώµατος της f θα ήταν f dµ = lim φ dµ, όπου { φ } είναι µια αύξουσα ακολουθία απλών συναρτήσεων τέτοια ώστε limφ = f σηµειακά στο Ενας τέτοιος ορισµός όµως εν Για παράδειγµα έστω f = 0 στο Τότε η ακολουθία φ = χ( 0, / ) συγκλίνει σηµειακά στη µηδενική συνάρτηση και γένει επηρεάζεται απ την επιλογή της ακολουθίας { φ } - 70 -
0 = f dx = lim φ dx lim χ( 0, / ) dx lim 0 = = = (θεωρούµε dm = dx ) Απ την άλλη µεριά όµως και η ακολουθία ψ = χ συγκλίνει σηµειακά στη µηδενική συνάρτηση, αλλά ( 0, / ) 0 = f dx lim ψ dx lim χ( 0, / ) dx lim = = = Αν όµως η : µ <, τότε αποδεικνύεται ότι η τιµή του ολοκληρώµατος είναι ανεξάρτητη της φ Eτσι δίνουµε τον ακόλουθο: επιλογής της ακολουθίας { } Ορισµός Α3 Εστω f : f είναι φραγµένη και ( ) είναι φραγµένη µετρήσιµη συνάρτηση µε µ ( ) < Ορίζουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue της f στο να είναι ο πεπερασµένος αριθµός f = lim φ, όπου { φ } είναι µια (οποιαδήποτε) οµοιόµορφα φραγµένη ακολουθία απλών συναρτήσεων στο µε limφ = f σηµειακά στο Παρατήρηση Συνδυάζοντας τον ορισµό Α3 µε την απόδειξη της περίπτωσης (α) του Θεωρήµατος Α διαπιστώνουµε τη διαφορά φιλοσοφίας µεταξύ των ολοκληρωµάτων Riema και Lebesgue Το ολοκλήρωµα Riema διαµερίζει το πεδίο ορισµού της f ενώ το ολοκλήρωµα Lebesgue διαµερίζει το πεδίο τιµών της f Θεώρηµα Α2 (Φραγµένης σύγκλισης) Εστω { f } είναι ακολουθία µετρησίµων συναρτήσεων πάνω σε σύνολο µε µ ( ) < έτσι ώστε f M για κάποιο M > 0 και lim f = f σηµειακά στο - 7 -
Τότε και η οριακή συνάρτηση f είναι φραγµένη στο και Επίσης: lim f f dµ = 0 lim f dµ = lim f dµ Α22 Μη αρνητικές συναρτήσεις Εστω τώρα f 0 είναι µ σπ πεπερασµένη (όχι κατ ανάγκη φραγµένη) µετρήσιµη συνάρτηση στο Τότε πάλι υπάρχει f µη αρνητικών απλών συναρτήσεων πάνω σε φραγµένο φορέα τέτοια ώστε lim f = f σηµειακά στο (βλ αύξουσα ακολουθία { } πόρισµα Α) Μπορεί κάλλιστα να υπάρχουν και άλλες τέτοιου τύπου ακολουθίες συναρτήσεων Ετσι οδηγούµαστε στον ακόλουθο Ορισµός Α4 Εστω f : [ 0, + ] είναι µια σπ πεπερασµένη, επεκτεταµένη µετρήσιµη συνάρτηση Ορίζουµε τον (επεκτεταµένο) µη αρνητικό αριθµό f dµ = sup g dµ, 0 g f όπου g είναι (οποιαδήποτε) φραγµένη πραγµατική µετρήσιµη συνάρτηση πάνω σε φραγµένο φορέα Λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Lebesgue στο και γράφουµε f L( ) : = L(, µ ), αν f dµ < Αν E είναι µετρήσιµο σύνολο, τότε ορίζουµε Αν f, g: [ 0, ] ότι af + bg = a f + b g f g µ-σπ f g f dµ = f E χ Ε dµ + είναι µετρήσιµες συναρτήσεις, αποδεικνύεται - 72 -
Αν f L ( ), τότε η f είναι µ σπ πεπερασµένη στο Αν = 0 f = 0 µ-σπ f Αν f = g µ σπ f g = Εχοντας ορίσει το ολοκλήρωµα µη αρνητικών συναρτήσεων, το άµεσο ερώτηµα είναι αν µπορεί να εναλλαχθεί το όριο µε το ολοκλήρωµα Γενικά αυτό δεν είναι πάντα εφικτό Ισχύει όµως πάντοτε το ακόλουθο Λήµµα Α (Fatou) Εστω { f } είναι µια ακολουθία µη αρνητικών µετρησίµων πραγµατικών συναρτήσεων Tότε limif f limif f Θεώρηµα Α3 (Μονότονης σύγκλισης) Εστω 0 f f είναι ακολουθία µη αρνητικών µετρησίµων πραγµατικών συναρτήσεων στο Τότε: Πόρισµα Α2 lim f = lim f Εστω { f } είναι µια ακολουθία µη αρνητικών µετρησίµων πραγµατικών συναρτήσεων στο Τότε ( f ) = ( f = ) = - 73 -
Α23 Το ολοκλήρωµα στη γενική περίπτωση Ορισµός Α5 Εστω f : είναι µετρήσιµη συνάρτηση Αν + τουλάχιστον µια από τις µη αρνητικές συναρτήσεις f, f είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη στο, τότε ορίζεται ο (επεκτεταµένος) αριθµός f dµ = f dµ f dµ + Λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Lebesgue στο και f L : = L, µ, αν γράφουµε ( ) ( ) Αν E f dµ < είναι µετρήσιµο σύνολο, τότε ορίζουµε Προφανώς ισχύει η ισοδυναµία: f dµ = f E χ Ε dµ ( ) ( ) f L f L, άρα η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Lebesgue στο αν και µόνον αν f dµ < Ορισµός Α6 Εστω f : : f = u+ iv είναι µια µιγαδική µετρήσιµη συνάρτηση, δηλαδή οι uv, είναι µετρήσιµες πραγµατικές συναρτήσεις Ορίζουµε τον (επεκτεταµένο) αριθµό f dµ = u dµ + i v dµ Λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Lebesgue στο και f L, αν γράφουµε ( ) 2 2 f d µ = ( u + v ) /2 d µ < - 74 -
Ορισµός Α7 Συµβολίζουµε µε L ( ) : L (, µ ) = το χώρο όλων των ολοκληρώσιµων συναρτήσεων στο Θεώρηµα Α4 (Κυριαρχούµενης σύγκλισης) Εστω { f } είναι µια ακολουθία µετρήσιµων πραγµατικών συναρτήσεων τέτοια ώστε lim f υπάρχει g L ( ) τότε f L ( ) έτσι ώστε και επιπλέον = f σηµειακά µ σπ στο Αν f g, lim f dµ = lim f dµ Σηµείωση Στο εξής µιλάµε για ολοκληρώσιµες συναρτήσεις και εννοούµε ολοκληρώσιµες κατά Lebesgue Αν f L ( ), τότε οι τιµές των ολοκληρωµάτων Lebesgue και Riema ταυτίζονται Eτσι µπορεί κάποιος να χρησιµοποιήσει όλους τους γνωστούς κανόνες ολοκλήρωσης (αντικατάσταση, κατά παράγοντες κλπ) Για παράδειγµα αν f L ( ) τότε ισχύει + N f = lim f a, f = lim a N a N a N f (εφαρµογή του θεωρήµατος κυριαρχούµενης σύγκλισης) - 75 -