) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό διάγραµµα Υπολογίζουµε τα αριθµητικά περιγραφικά µέτρα Παράδειγµα: Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και τα κατάλληλα γραφήµατα για τη µεταβλητή Αριθµός Αδελφών Αριθµός Αδελφών
Σχετική Αθροιστική Συχνότητα επί τοις εκατό : F % = F Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Αριθµός Αδελφών Αριθµός Αδελφών f f % N F F % 7,,55,75,75, 55, 7,5 7,5 4, Αθροιστική Συχνότητα Ν: Ονοµάζεται το άθροισµα των συχνοτήτων των τιµών που είναι µικρότερες ή ίσες µε την τιµή αυτή, δηλαδή: N = + + + = N + Αθροιστική σχετική συχνότητα F :Ονοµάζεται το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων των τιµών που είναι µικρότερες ή ίσες από αυτή, δηλαδή: F = f + f + + f = F + f Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Αριθµός Αδελφών Αριθµός Αδελφών 7 f f %,,55,75,75, 55, 7,5 7,5 N F F % 4, N = = N = N + = + = N = N + = + 7 = 7 N 4 4 = N + = 7 + = 4 F = f =, F F F4 4 = = F + f =, +,55 =, 75 = F + f =, 75 +,75 =,5 = F + f =,5 +,75, 4
Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Αριθµός Αδελφών Αριθµός Αδελφών 7 f f %,,55,75,75, 55, 7,5 7,5 N 7 4 F F %,,75,5,, 75,,5, 4, 5 Ραβδογράµµατα Ραβδόγραµµα Συχνοτήτων µεταβλητής Αριθµός Αδελφών 5 Συχνότητες 5 5 Αριθµός Αδελφών 6
Όµοια δηµιουργούµε και τα ραβδογράµµατα Σχετικών συχνοτήτων Αθροιστικών συχνοτήτων Σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων 7 Κυκλικό ιάγραµµα Κυκλικό διάγραµµα συχνοτήτων 4
Άσκηση: Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει την κατανοµή του αριθµού των απουσιών των σπουδαστών σε κάποιο εργαστήριο, να βρεθεί ο αριθµός και το ποσοστό των σπουδαστών που πήραν: α) τουλάχιστον µία απουσία β) πάνω από δύο απουσίες γ) το πολύ δύο απουσίες Αριθµός απουσιών Συχνότητα 5 6 ) Περιγραφή συνεχών Ποσοτικών εδοµένων Στην περίπτωση των συνεχών µεταβλητών είναι δύσκολο να κατασκευαστούν οι πίνακες συχνοτήτων αλλά και τα διαγράµµατα συχνοτήτων µε τον τρόπο που είδαµε στην περίπτωση των διακριτών µεταβλητών. Για να κατασκευάσουµε τον πίνακα συχνοτήτων κάνουµε οµαδοποίηση παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους (διαστήµατα) ώστε κάθε τιµή να ανήκει σε µια και µόνο µια κλάση. Τις κλάσεις τις συµβολίζουµε µε διαστήµατα της µορφής [α,β), δηλ. κλειστό από αριστερά και ανοιχτό από δεξιά. Τα άκρα των κλάσεων τα ονοµάζουµε όρια. 5
Γραφικές παραστάσεις συνεχών ποσοτικών µεταβλητών ιστόγραµµα & πολύγωνο συχνοτήτων & πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων φυλλογράφηµα (steam and leaf) θηκόγραµµα (bo-plot διάγραµµα) Υπολογίσουµε τα αριθµητικά περιγραφικά µέτρα Οµαδοποίηση Παρατηρήσεων Γιανακάνουµε οµαδοποίηση παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα.. Βρίσκουµε το πλήθος των κλάσεων χρησιµοποιώντας τον τύπο κ =+,log ο οποίος όπως παρατηρούµε εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος (Ο αριθµός κλάσεων µπορεί να δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης).. Από τα δεδοµένα της άσκησης βρίσκουµε ma mn = = µεγαλύτερη τιµή, µικρότερη τιµή. Βρίσκουµε τοεύρος των παρατηρήσεων R = ma mn 6
4. Βρίσκουµε το πλάτος c κάθε κλάσης (αν δεν είναι φυσικός αριθµός στρογγυλοποιούµε πάντα προς τα πάνω) c = R κ 5. Γράφουµε τις κλάσεις, ξεκινώντας από το mn και προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c, σε διαστήµατα της µορφής [α,β). 6. Βρίσκουµε τα κέντρα των κλάσεων. Αυτά θα είναι στην περίπτωση των συνεχών µεταβλητών τα γνωστά µας. Προφανώς το κέντρο της κλάσης είναι το a + β = Αφού βρούµε το πρώτο κέντρο τότε προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος της κλάσης c βρίσκουµε τα επόµενα κέντρα. 4 7
7. Προσέχουµε πάντα ώστε καµία παρατήρηση να µην µείνει έξω από κάποια κλάση και καµία παρατήρηση να µην βρίσκεται σε δύο διαφορετικές κλάσεις.. Τέλος βρίσκουµε την συχνότητα της κάθε κλάσης µε τον γνωστό τρόπο της διαλογής και κάνουµε τον πίνακα συχνοτήτων µε τον τρόπο που έχουµε δει και στην περίπτωση των διακριτών ποσοτικών δεδοµένων. 5 Παράδειγµα: Να γίνει οµαδοποίηση των παρατηρήσεων σε κλάσεις ίσου πλάτους για την µεταβλητή Ύψος Μαθητών παρατηρήσεις της οποίας δίνονται στον παρακάτω πίνακα και να σχηµατιστεί ο πίνακας συχνοτήτων. 7 7 65 7 6 75 75 7 6 Ύψος Μαθητών 6 56 7 75 67 7 77 7 67 7 7 7 7 65 7 7 76 6 67 66 7 7 64 7 7 6
Λύση: Πλήθος δείγµατος Πλήθος κλάσεων 6, αφού Μέγιστη τιµή Ελάχιστη τιµή Εύρος = 4 κ = +,log = 6, ma = mn = 56 R = ma mn = 56 = 5 R 5 Πλάτος κλάσης c = = 5, = κ 6 6 7 Έτσι οι κλάσεις θα είναι [56,6) [6,6) [6,74) [74,) [,6) [6,) Τα κέντρα των κλάσεων θα είναι 56 + 6 = 5 5 + 6 = 65 7 77,,,,,
Πίνακας Συχνοτήτων Μεταβλητής Ύψος Μαθητών κλάσεις κέντρα κλάσεων [ 56,6) 5 [ 6,6) 65 f % 5,, N F % 5, 5, [ 6,74) 7, 55, [ 74,) 77 7,5,5 [,6) 5,5 5, [ 6,) 5, 4, Σύνολο 4, ιαγράµµατα Συνεχών Μεταβλητών Για να παραστήσουµε γραφικά µια συνεχή µεταβλητή κάνουµε ιστόγραµµα συχνοτήτων και πολύγωνο συχνοτήτων είτε των και f είτε των αθροιστικών N και F. Τα ιστογράµµατα είναι χρήσιµα γιατί µας βοηθούν να έχουµε µία πρώτη εικόνα για την κατανοµή της µεταβλητής.
Τρόπος Κατασκευής Ιστογράµµατος και Πολυγώνου συχνοτήτων Για να κάνουµε το ιστόγραµµα συχνοτήτων του Ύψους των µαθητών ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήµατος ορθογωνίων αξόνων βάζουµε τα κέντρα των κλάσεων ή τις κλάσεις και στον κάθετο άξονα τις συχνότητες ή f ανάλογα µε το ιστόγραµµα που θέλουµε να κάνουµε. Στη συνέχεια κατασκευάζουµε ορθογώνια µε ίσο πλάτος και ύψος ίσο µε την συχνότητα ή f. Αν επιπλέον θέλουµε να κάνουµε το πολύγωνο συχνοτήτων τότε ενώνουµε τα µέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. Τρόπος Κατασκευής Ιστογράµµατος και Πολύγωνου Αθροιστικών Συχνοτήτων. Για να κατασκευάσουµε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο Αθροιστικών συχνοτήτων ακολουθούµε όλη την παραπάνω διαδικασία µε την διάφορα ότι στην κατασκευή του πολύγωνου ενώνουµε τα δεξιά άκρα των ορθογωνίων και όχι τα µέσα όπως προηγουµένως.
Ιστόγραµµα Συχνοτήτων Μεταβλητής Ύψος Μαθητών 4 Συχνότητες 6 4 (-56) [56-6) [6-6) [6-74) [74-) [-6) [6-] Κλάσεις Ιστόγραµµα & Πολύγωνο Συχνοτήτων Μεταβλητής Ύψος Μαθητών 4 6 4 (-56) [56-6) [6-6) [6-74) [74-) [-6) [6-] [-] 4
Ιστόγραµµα Αθροιστικών Σχετικών % Συχνοτήτων 7 6 5 4 (-56) [56-6) [6-6) [6-74) [74-) [-6) [6-] 5 Ιστόγραµµα & Πολύγωνο Αθροιστικών Σχετικών % Συχνοτήτων Ζ Η Ε 7 6 5 4 Γ Β Α (-56) [56-6) [6-6) [6-74) [74-) [-6) [6-] 6
Φυλλογράφηµα ιατάσσουµε τις παρατηρήσεις. Κάθε παρατήρηση χωρίζεται σε δύο µέρη: (τα οδηγούντα ψηφία steams και στα επόµενα leaes ). ιατάσσονται τα οδηγούντα ψηφία σε µια στήλη αρχίζοντας από τη µικρότερη τιµή. ίπλα στη γραµµή που αντιστοιχεί στο καθένα από τα οδηγούντα ψηφία γράφονται τα επόµενα ψηφία για κάθε παρατήρηση που έχει steam αυτό της γραµµής. 7 Παράδειγµα Έστω ότι έχουµε τις παρακάτω παρατηρήσεις για µία µεταβλητή 4 4 5 6 6 7 6 6 5 4 4 4 4 4 44 46 4 5 5 4 4 5 6 6 7 6 6 5 4 4 6 5 ιατηρεί τις τιµές (το ιστόγραµµα τις χάνει). 4
Αριθµητικά περιγραφικά µέτρα Ηβαθµολογία δύο τµηµάτων µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής δίνεται στους παρακάτω πίνακες: 4 5 6 7 6 Τµήµα Α 4 5 5 7 6 7 6 7 5 7 4 6 5 6 7 4 7 6 6 Τµήµα Β 4 6 7 5 5 7 6 6 Πίνακες Συχνοτήτων Βαθµοί Τµήµα Α Τµήµα Β Συχνότητες Συχνότητες 4 4 5 4 6 5 6 7 5 4 Σύνολο Αν θέλουµε να συγκρίνουµε τα δύο τµήµατα δεν µπορούµε να βγάλουµε κάποιο συµπέρασµα από τους πίνακες συχνοτήτων. 5
ιαγράµµατα Συχνοτήτων ιάγραµµα Συχνοτήτων Βαθµολογίας για το τµήµα Α ιάγραµµα Συχνοτήτων Βαθµολογίας για το τµήµα Β 6 6 5 5 4 4 4 5 6 7 4 5 6 7 Παρατηρούµε ότι η βαθµολογία είναι συγκεντρωµένη γύρω από το 6 και ότι το τµήµα Β παρουσιάζει διαφορετική διασπορά σε αντίθεση µε το τµήµα Α. Ο πίνακας συχνότητας καθώς επίσης και τα γραφήµατα αποτελούν µορφές συνοπτικής παρουσίασης των δεδοµένων για να µελετήσουµε την κατανοµή τους. Στη συνέχεια θα υπολογίσουµε ποσοτικά µεγέθη που περιγράφουν µε περιληπτικό τρόπο τα βασικά χαρακτηριστικά των (ποσοτικών) δεδοµένων και λέγονται αριθµητικά περιγραφικά µέτρα. Κάθε τέτοιο αριθµητικό µέτρο υπολογίζεται από το δείγµα και αποτελεί εκτίµηση της παραµέτρου ( αριθµητικό µέτρο που υπολογίζεται από τον πληθυσµό ) 6
Θα δούµε τους παρακάτω τύπους αριθµητικών περιγραφικών µέτρων: τα µέτρα θέσης ή µέτρα κεντρικής τάσης που προσδιορίζουν χαρακτηριστικές θέσεις των δεδοµένων τα µέτρα µεταβλητότητας που δίνουν περιληπτικά τη διασκόρπιση και µεταβλητότητα των δεδοµένων τα µέτρα ασυµµετρίας που ελέγχουν κατά πόσο είναι συµµετρική ή ασύµµετρη η κατανοµή των δεδοµένων. Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης Τα κυριότερα µέτρα θέσης είναι τα παρακάτω: ) ειγµατική µέση τιµή ή αριθµητικός µέσος ) ειγµατική διάµεσος ) ειγµατική επικρατούσα τιµή (υπολογίζεται και για ποιοτικά δεδοµένα) 4) Εκατοστιαία σηµεία ή p-ποσοστιαία σηµεία 4 7
5 ) ειγµατική µέση τιµή (aerage) Έστω,,, n οι τιµές των παρατηρήσεων του δείγµατος για µια µεταβλητή Χ που µελετάµε. Η δειγµατική µέση τιµή συµβολίζεται µε και ορίζεται ως = = + + + = 6 Αν τα δεδοµένα είναι ταξινοµηµένα σε πίνακα συχνοτήτων τότε k k k k = = + + + + + + = ή = = + + + = k k k f f f f
Παράδειγµα: ίνεται η βαθµολογία σπουδαστών στο µάθηµα της Στατιστικής. Ποια είναι η µέση επίδοση των σπουδαστών. Βαθµοί: 5, 6, 6,, 4,,,,, 5. 5+ 6+ 6+ + 4+ + + + + 5 = = 5.7 7 ) ειγµατική διάµεσος (medan) Αν οι τιµές του δείγµατος έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά η διάµεσος δ ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των τιµών είναι περιττός αριθµός, ή ως το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων τιµών αν το πλήθος είναι άρτιος αριθµός. Χ, + δ = Χ + Χ +, αν περιττός αν άρτιος Ηδιάµεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές.
Παράδειγµα: Έστω οι τιµές µίας µεταβλητής είναι:,, 6,, 7,,,. Ποια είναι η διάµεσος; ιατάσουµε σε αύξουσα σειρά,, 6, 7,,,, Ηδιάµεσος είναι δ = (7+)/ = Παράδειγµα: Έστω οι τιµές µίας µεταβλητής είναι: 4, 7,,, 5,,,,. Ποια είναι η διάµεσος; ιατάσουµε σε αύξουσα σειρά,, 4, 5, 7,,,, Ηδιάµεσος είναι δ = 7 4
Για συνεχή ποσοτικά δεδοµένα που είναι οµαδοποιηµένα σε πίνακα συχνοτήτων για να βρούµε την διάµεσο χρησιµοποιούµε τη σχέση: c δ = L + N L : κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει τη διάµεσο, : συχνότητα της κλάσης που περιέχει τη διάµεσο, N : αθροιστική συχνότητα της προηγούµενης της κλάσης που περιέχει τη διάµεσο, c : πλάτος κλάσης, : µέγεθος του δείγµατος. 4 Παράδειγµα: ίνεται ο πίνακας συχνοτήτων για το χρόνο που χρειάστηκαν 5 ποντίκια για να τρέξουν ένα λαβύρινθο. Να βρεθεί η διάµεσος. Χρόνος [6,) [,) [,44) [44,46) [46,4) [4,44) Συχνότητα Αθρ. Συχνότητα 4 4 5 4
Λύση: Ηδιάµεσος ανήκει στην κλάση [44,46). Άρα L= 44 = N - = c = Έτσι αντικαθιστώντας βρίσκουµε δ = 4,5 4 ) ειγµατική επικρατούσα τιµή Αν,,, n οι τιµές του δείγµατος τότε η επικρατούσα τιµή είναι η τιµή της µεταβλητής µε τη µεγαλύτερη συχνότητα. Αν όλες οι τιµές έχουν την ίδια συχνότητα δεν ορίζεται επικρατούσα τιµή. Αν δύο ή περισσότερες τιµές έχουν την ίδια συχνότητα τότε υπάρχουν περισσότερες από µία επικρατούσες τιµές. 44
Παράδειγµα. Αν οι τιµές της µεταβλητής είναι:,, 6,, 7,,, τότε η επικρατούσα τιµή είναι η. Παράδειγµα. Αν οι τιµές της µεταβλητής είναι: 4, 7,,, 5,,,, τότε υπάρχουν δύο επικρατούσες τιµές, η και η. Σηµείωση. Αν µία µεταβλητή έχει δύο (ή περισσότερες) επικρατούσες τιµές ονοµάζεται δίκορφη (η πολύκορφη, αντίστοιχα). 45 Παρατηρήσεις: ) Η επικρατούσα τιµή σε δεδοµένα που είναι οµαδοποιηµένα σε πίνακα συχνοτήτων είναι η κεντρική τιµή της κλάσης που έχει τη µεγαλύτερη συχνότητα. ) Η επικρατούσα τιµή ορίζεται και για ποιοτικά δεδοµένα. 46
4) Εκατοστιαία σηµεία ή p-ποσοστιαία σηµεία (percentles) Μία παρατήρηση είναι το p-εκατοστιαίο σηµείο (p-ποσοστιαίο σηµείο) αν ποσοστό παρατηρήσεων το πολύ p% είναι µικρότερες απ αυτήν την παρατήρηση. Συµβολίζουµε µε P p. Το τριακοστό εκατοστηµόριο P ορίζεται ως η τιµή της µεταβλητής κάτω από την οποία βρίσκεται το % των τιµών της µεταβλητής Το πεντηκοστό εκατοστηµόριο P 5 ορίζεται ως η τιµή της µεταβλητής κάτω από την οποία βρίσκεται το 5% των τιµών της µεταβλητής, δηλαδή η διάµεσος 47 Τρόπος εύρεσης των P p Μη ταξινοµηµένα δεδοµένα: ) ιατάσσουµε τις τιµές της µεταβλητής σε αύξουσα σειρά. ) Βρίσκουµε τη θέση των P p χρησιµοποιώντας τον τύπο: θέση του P p = p(+)/. Αν προκύπτει ως θέση του P p δεκαδικός αριθµός της µορφής a,b τότε ( + ) P = X +,b X X p (a) (a ) (a) 4 4
Παράδειγµα: Υποθέτουµε ότι έχουµε τις ακόλουθες 4 παρατηρήσεις, κατ αύξουσα σειρά µεγέθους:,5,,,,4,,,,5,,4,67,. Θέλουµε το τριακοστό ποσοστιαίο σηµείο. Λύση: Θέση του P : (4+)/ = 4,5 Άρα P = Χ (4) +,5( Χ (5) - Χ (4) ) = +,5(-) =,5 4 Ταξινοµηµένα δεδοµένα: P p = L + p c N L : κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει το p-ποσοστιαίο σηµείο, : συχνότητα της κλάσης που περιέχει το p-ποσοστιαίο σηµείο, N : αθροιστική συχνότητα της προηγούµενης της κλάσης που περιέχει το p-ποσοστιαίο σηµείο, c : πλάτος κλάσης. : µέγεθος του δείγµατος 5 5
Σύγκριση Μέσης Τιµής, ιαµέσου & Επικρατούσης Τιµής. Μέση Τιµή Μεγάλη Εφαρµογή στη στατιστική ανάλυση Εύκολα Κατανοητή ιάµεσος Καθόλου εφαρµογή σε περαιτέρω στατιστική ανάλυση Εύκολα Κατανοητή Επικρατούσα Τιµή Καθόλου εφαρµογή σε περαιτέρω στατιστική ανάλυση Εύκολα Κατανοητή Επηρεάζεται από ακραίες τιµές εν επηρεάζεται από ακραίες τιµές εν επηρεάζεται από ακραίες τιµές εν υπολογίζεται σε ποιοτικά δεδοµένα Μοναδική εν υπολογίζεται σε ποιοτικά δεδοµένα Μοναδική Εφαρµόζεται σε ποιοτική µεταβλητή εν ορίζεται µονοσήµαντα 5 ΜΕΤΡΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Τα κυριότερα µέτρα µεταβλητότητας είναι: ) Εύρος δείγµατος ) ειγµατική διακύµανση ή δειγµατική διασπορά ) ειγµατική τυπική απόκλιση 4) Ενδοτεταρτηµοριακό εύρος 5 6
Εύρος δείγµατος Εύρος δείγµατος ονοµάζεται η διαφορά ανάµεσα στη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή του. Συµβολίζουµε µε R και είναι R = X ma -X mn 5 ειγµατική διακύµανση ή διασπορά Η διακύµανση ή διασπορά µετρά τη µεταβλητότητα των παρατηρήσεων γύρω από τη µέση τιµή. Αν ορίσουµε την απόκλιση µιας παρατήρησης από τη µέση τιµή ως, είναι φανερό ότι το άθροισµα όλων αυτών των αποκλίσεων είναι ίσο µε. Γι αυτό διαλέγουµε να αθροίσουµε όχι τις αποκλίσεις αλλά τα τετράγωνα των αποκλίσεων. Επίσης για να πάρουµε ένα µέτρο της µέσης απόκλισης θα πρέπει να διαιρέσουµε µε το πλήθος ν των παρατηρήσεων. Για τεχνικούς λόγους, οι οποίοι δεν θα µας απασχολήσουν, διαιρούµε µε ν αντί για ν και η δειγµατική διασπορά s δίνεται ως: s = ( -) + ( -) + + ( -) - = = ( -) - 54 7
Σε περίπτωση που τα δεδοµένα είναι ταξινοµηµένα τότε: s = k = ( - ) - : κέντρα των κλάσεων : συχν. των κλάσεων Σηµείωση: οι µονάδες στις οποίες εκφράζεται η διακύµανση είναι τα τετράγωνα των µονάδων των τιµών της µεταβλητής. Για αυτό ορίζουµε: 55 ειγµατική τυπική απόκλιση ειγµατική τυπική απόκλιση s ονοµάζεται η θετική τετραγωνική ρίζα της δειγµατικής διασποράς s, δηλαδή: s = s Ητυπική απόκλιση µετριέται στην ίδια µονάδα µέτρησης µε τα δεδοµένα και εκφράζει την τυπική απόκλιση των δεδοµένων από τη δειγµατική µέση τιµή, δηλαδή µέχρι πόσο περιµένουµε µια τυπική τιµή της µεταβλητής να απέχει από τη µέση τιµή. 56
Παράδειγµα: Να βρεθεί η διακύµανση και η τυπική απόκλιση των τιµών:,5,5,,5,5,4 Λύση: Η µέση τιµή είναι + 5+ 5+ + 5+ 5+ 4 = = = 7 57 5 5 5 5 4 Σύνολο ( ) - -5-5 5 5 4 5 5 5 5 4 Οπότε θα έχουµε: s ( ) = = = 6 6,66 s = s = 4,7 5
Ενδοτεταρτηµοριακό εύρος Το 5 ποσοστιαίο σηµείο ( ο ορισµός του ποσοστιαίου σηµείου υπάρχει σε προηγούµενη διαφάνεια) ονοµάζεται πρώτο τεταρτηµόριο και το συµβολίζουµε Q, το 5 ποσοστιαίο σηµείο ονοµάζεται δεύτερο τεταρτηµόριο και το συµβολίζουµε Q ενώ το 75 ποσοστιαίο σηµείο ονοµάζεται τρίτο τεταρτηµόριο και το συµβολίζουµε Q. Η διαφορά Q -Q λέγεται ενδοτεταρτηµορικό εύρος και δίνει το εύρος που καλύπτουν τα µισά από τα δεδοµένα που είναι ποιο κοντά στην κεντρική τιµή ( διάµεσο ). 5 Συντελεστής Μεταβλητότητας (coeffcent of araton) s V = % Εκφράζεται επί τοις εκατό και παριστάνει ένα µέτρο σχετικής διασποράς. Εκφράζει δηλαδή τη µεταβλητότητα των δεδοµένων απαλλαγµένη από την επίδραση της µέσης τιµής. Σηµείωση: Όσο µικρότερος είναι ο συντελεστής µεταβλητότητας τόσο µεγαλύτερη οµοιογένεια υπάρχει στις τιµές της µεταβλητής. Αν V % τότε το δείγµα µας ονοµάζεται οµοιογενές. 6
Παράτυπα Σηµεία Μία τιµή πολύ µεγάλη ή πολύ µικρή σε σχέση µε τις υπόλοιπες τιµές µίας µεταβλητής Χ ονοµάζεται παράτυπο σηµείο (outler). Ονοµάζουµε z-score µίας τιµής ενός συνόλου δεδοµένων την απόσταση της τιµής αυτής από τη µέση τιµή, µετρούµενη σε µονάδες τυπικής απόκλισης, δηλαδή: z = s Θετικά z-scores έχουν οι τιµές δεξιά της µέσης τιµής, ενώ αρνητικά οι τιµές αριστερά της µέσης τιµής. Οι τιµές που έχουν z-scores µεγαλύτερα του ή µικρότερα του - είναι πιθανά παράτυπα σηµεία. 6 Θηκόγραµµα Το θηκόγραµµα είναι ένα γράφηµα µε το οποίο µπορούµε να παρουσιάσουµε τα κυριότερα χαρακτηριστικά της κατανοµής του δείγµατος. Μας βοηθάει να έχουµε µια εποπτική εικόνα της κατανοµής της µεταβλητής και να εντοπίζουµε τυχόν παράτυπα σηµεία. 6
Τρόπος Κατασκευής ) Υπολογίζουµε: ιάµεσο, Q, Q και Q -Q. ) Κατασκευάζουµε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε βάσεις τα Q και Q. Χαράσσουµε στο παραλληλόγραµµο τη διάµεσο. ) Υπολογίζουµε τις αποστάσεις: Q -,5(Q -Q ) και Q +,5(Q -Q ). 4) Ονοµάζουµε αριστερό παρακείµενο σηµείο (adjacent pont) την παρατήρηση που είναι η αµέσως µεγαλύτερη της τιµής Q -,5(Q -Q ) και δεξιό παρακείµενο σηµείο την παρατήρηση που είναι η αµέσως µικρότερη της τιµής Q +,5(Q -Q ). Χαράσσουµε δύο ευθύγραµµα τµήµατα από τα µέσα των βάσεων µέχρι τα παρακείµενα σηµεία. 5) Οι τιµές που βρίσκονται έξω από τα όρια των παρακείµενων σηµείων είναι πιθανά παράτυπα σηµεία. 6 Θηκόγραµµα Αριστερό Παρακείµενο Σηµείο Q δ : Τιµές µεταβλητής Q εξιό Παρακείµενο Σηµείο 64
ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Ο τύπος της κατανοµής συχνοτήτων, µπορεί να περιγραφεί ελέγχοντας κατά πόσο είναι συµµετρική ή ασύµµετρη και στην περίπτωση που δεν είναι συµµετρική ελέγχοντας το µεγαλύτερο µέρος της κατανοµής εάν είναι προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Για τον παραπάνω έλεγχο χρησιµοποιούνται δύο µέτρα: Συντελεστής λοξότητας Συντελεστής κύρτωσης 65 Συντελεστής λοξότητας Έστω,,, ν οι τιµές µιας µεταβλητής Χ. Ο συντελεστής λοξότητας ισούται µε α = = ( s - ) Αν η κατανοµή είναι συµµετρική τότε α =. Συντελεστής λοξότητας θετικός (αρνητικός) σηµαίνει ότι οι περισσότερες τιµές της µεταβλητής βρίσκονται δεξιά (αριστερά) της επικρατούσας τιµής. 66
67 Παρατήρηση: Αν η κατανοµή µίας µεταβλητής έχει αρνητική ασυµµετρία (λοξότητα) τότε µέση τιµή < διάµεσος < επικρατούσα τιµή αν είναι συµµετρική τότε µέση τιµή = διάµεσος = επικρατούσα τιµή ενώ αν έχει θετική ασυµµετρία (λοξότητα) τότε επικρατούσα τιµή < διάµεσος < µέση τιµή 6 4
Θετική λοξότητα Αρνητική λοξότητα 6 Συντελεστής κύρτωσης Έστω,,, ν οι τιµές µιας µεταβλητής Χ. Ο συντελεστής κύρτωσης ισούται µε α 4 = = ( s - ) 4 4 Όταν ο συντελεστής κύρτωσης έχει τιµή µικρότερη του η κατανοµή λέγεται πλατύκυρτη ενώ όταν ο συντελεστής κύρτωσης έχει τιµή µεγαλύτερη του η κατανοµή λέγεται λεπτόκυρτη. 7 5
α 4 < πλατύκυρτη κατανοµή α 4 > λεπτόκυρτη κατανοµή 7 Ασκήσεις Άσκηση. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθµό των επισκέψεων 4 µαθητών σε διάφορα µουσεία της χώρας κατά την διάρκεια ενός έτους. Επισκέψεις [,) [,4) [4,6) [6,) [,) Συχνότητα 6 4 Να υπολογιστούν: α) η µέση τιµή β) η διάµεσος γ) η επικρατούσα τιµή δ) το 4ο ποσοστιαίο σηµείο 7 6
Άσκηση. Τα δεδοµένα του παρακάτω πίνακα είναι οι τιµές µιας ραδιενεργού ουσίας που βρέθηκε στον οργανισµό 6 µικρών ζώων µετά την έκθεση τους σε µία ραδιενεργό πηγή, η οποία γενικώς θεωρείται επικίνδυνη. 7 6 7 4 5 7 4 6 5 7 7 7 7 6 6 Να υπολογιστούν α) η µέση τιµή β) η διάµεσος γ) η επικρατούσα τιµή και δ) το ο ποσοστιαίο σηµείο. 7 Άσκηση. Η κατανοµή των ηµερήσιων αποδοχών των υπαλλήλων µιας επιχείρησης έχει ως εξής: Ηµερήσιες αποδοχές σε ευρώ [,4) [4,5) [5,6) [6,7) [7,) [,) [,) Άτοµα 4 6 7 4 Ζητούνται να βρεθούν: α) η µέση τιµή β) η διάµεσος γ) η επικρατούσα τιµή και δ) το ο ποσοστιαίο σηµείο. 74 7
Άσκηση 4. Η µέτρηση του ύψους (σε πόδια) δέντρων, έδωσε το παρακάτω δείγµα: 5,7,5,65,77,,7,77,6,6 74,,4,75,,,6,6,5,6 Να υπολογιστούν: α) τα µέτρα κεντρικής τάσης β) τα µέτρα διασποράς γ) να κατασκευαστεί το θηκόγραµµα 75 Άσκηση 5. Πήραµε τυχαία 4 φοιτητές µιας σχολής και καταγράψαµε τα ύψη τους (σε cm): 7 7 65 7 6 75 75 7 6 Ύψος Φοιτητή 6 7 67 77 7 7 65 7 56 75 7 7 67 7 7 7 76 6 67 66 7 7 64 7 7 Αφού οµαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε έξι κλάσεις ίσου πλάτους να υπολογίσετε: α) τα µέτρα κεντρικής τάσης β) τα µέτρα διασποράς γ) να εξεταστεί αν η κατανοµή είναι συµµετρική 76
Άσκηση 6: Σε 5 κουτιά µε παστεριωµένο γάλα ορισµένης µάρκας µετρήσαµε τον ακριβή όγκο Χ του περιεχοµένου (σε ml) και πήραµε τα ακόλουθα αποτελέσµατα: 56 57 576 5 5 5 54 55 56 5 5 5 5 5 5 5 5 54 55 55 57 57 5 6 6 6 6 6 6 6 6 65 65 65 65 66 67 6 6 6 6 6 64 65 66 67 6 6 64 6 α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων σε επτά κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να υπολογιστεί η επικρατούσα τιµή, ηδιάµεσος και το ο και ο τεταρτηµόριο. γ) Να κατασκευαστεί το θηκόγραµµα. 77 Άσκηση 7: Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι χρόνοι (σε sec) που απαιτήθηκαν για την εκτέλεση ενός προγράµµατος σε 4 διαφορετικούς υπολογιστές. 4 6 4 5 64 7 76 7 4 5 6 4 44 44 4 4 5 5 6 α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων (ν, f %, N, F %) σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να υπολογιστεί η µέση τιµή, ητυπικήαπόκλιση, το ο και ο τεταρτηµόριο του παραπάνω δείγµατος. γ) Να υπολογιστεί ο συντελεστής κύρτωσης. Τι συµπεραίνετε για την κατανοµή του δείγµατος; 4 ίνεται 4 ( ) =.6* = 6 6 4 5 64 76 7 7 5 7