ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΝ ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΟΝ ΑΠΛΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Μια πρόταση δυναµικής µελέτης Προϋπόθεση ώστε να εκτελεί Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς απόσβεση ή Απλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ), ένα υλικό σηµείο µάζας m το οποίο κινείται σε άξονα χ είναι να δέχεται την επίδραση συνισταµένης χωρο-εξαρτηµένης δύναµης της µορφής ΣF=-Dχ. Το υλικό σηµείο που εκτελεί την πιο πάνω κίνηση ονοµάζεται ελεύθερος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση ή απλός αρµονικός ταλαντωτής (α.α.τ). Προσοχή: Για να εκτελεί ένα σώµα ΑΑΤ δεν αρκεί η συνισταµένη δύναµη να είναι απλά της µορφής ΣF=-Dχ. Θα πρέπει να εξασφαλίσουµε ότι είναι χωροεξαρτώµενη και ότι το υλικό σηµείο είτε έχει αρχική αποµάκρυνση xo 0, είτε αρχική ταχύτητα υ 0 είτε και τα δύο. Αν µηδενιστούν και οι δύο αρχικές συνθήκες το υλικό σηµείο o δε θα εκτελέσει ΑΑΤ, έστω και αν γύρω του υπάρχει πεδίο δυνάµεων F=-Dχ. Σε αυτή την περίπτωση το σώµα θα είναι ακίνητο σε θέση ευσταθούς ισορροπίας. Το γεγονός ότι στο κινητό ενεργεί συνισταµένη δύναµη της µορφής ΣF=-Dχ, η οποία στη θέση χ=0 µηδενίζεται, αναγκάζει την κίνηση να εξελίσσεται γύρω από τη θέση χ=0, καθιστώντας την θέση αναφοράς ή ελκτικό κέντρο. Η περίοδος της ΑΑΤ δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες αλλά από τις παραµέτρους του συγκεκριµένου συστήµατος, δηλαδή από τη µάζα του ταλαντωτή και τα χαρακτηριστικά της συνισταµένης δύναµης που δρα πάνω του µε τη µορφή λόγου m/d. Μια συντηρητική δύναµη F που δρα σε ένα κινητό συνδέεται µε την αντίστοιχη du δυναµική ενέργεια U του κινητού µε τη σχέση F = (1) dx Η σχέση αυτή αποτελεί τον ορισµό της δυναµικής ενέργειας αν δίνεται η συντηρητική δύναµη που ασκείται στο κινητό ή τον ορισµό της συντηρητικής δύναµης αν δίνεται η δυναµική ενέργεια του κινητού. Εφαρµόζοντας το ο Νόµο του Νεύτωνα έχουµε: d x d x D d x 0 ω 0 Σ F = ma Dx= m + x= + x= () dt dt m dt 1

όπου D ω = m Λύση της διαφορικής εξίσωσης () είναι η: x= Aηµ ( ωt+ ϕ) (3) µε υ0 m υ0 x0 A= x0 + = x 0 + και 0 ϕ< π µε ηµϕ= και ω D A υ0 συνϕ = ωα Το πλάτος καθορίζεται αποκλειστικά από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος δηλαδή από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού, ενώ η αρχική φάση είναι και θέµα µιας σειράς επιλογών που θα κάνουµε. Η δυναµική ενέργεια του ταλαντωτή προκύπτει από τη σχέση (1): du du du x du x F = = F = ( Dx) = Dx dx Dxdx dx dx dx = 0 dx 0 x x 1 du = D xdx U = Dx 0 0 (Στην πιο πάνω ολοκλήρωση θεωρήσαµε ότι η δυναµική ενέργεια του κινητού είναι µηδέν στη θέση χ=0.) Η ενέργεια του κινητού είναι: 1 1 E K U m Dx = + = υ + (4) Ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του κινητού είναι: υ = + = mυ + Dx = mυ + Dxυ = υ( m + Dx) = 0 dt dt dt dt dt dt dt de dk du d dx d x d x d x αφού λόγω της (): m + Dx= 0. dt Άρα η ενέργεια του απλού αρµονικού ταλαντωτή διατηρείται σταθερή. Ερώτηση 1 Ποιον απλό αρµονικό ταλαντωτή (α.α.τ) µελετάµε; Σύµφωνα µε το σχολικό το «σύστηµα ελατήριο-σώµα»

Το ιδανικό όµως ελατήριο δεν έχει µάζα, δεν είναι κάτι υλικό. Το χρειαζόµαστε γιατί συνδέεται µε ένα πεδίο δυνάµεων το οποίο χρησιµοποιούµε ως προσέγγιση πολλών άλλων πεδίων (αρκετά ελαστικά σώµατα ικανοποιούν το νόµο του Hooke: F=-kx). Από το ιδανικό ελατήριο λοιπόν µας ενδιαφέρει µόνο ο τύπος της δύναµης που ασκεί. Λέγοντας σώµα στην άκρη ελατηρίου, εννοούµε σώµα σε ένα πεδίο δυνάµεων της µορφής F=-kx όπου k>0. Το σώµα έχει µάζα και ορµή, το σώµα έχει κινητική και δυναµική ενέργεια που µετατρέπονται η µία στην άλλη, διατηρώντας το άθροισµά τους σταθερό. Το χωρίς µάζα ελατήριο το χρειαζόµαστε γιατί εκφράζει τη δύναµη που θέλουµε να επιβάλουµε στο σώµα. Κατά συνέπεια το σώµα είναι το σύστηµα γι αυτό είναι προτιµότερη η έκφραση: «δυναµική ενέργεια του σώµατος λόγω της δύναµης του ελατηρίου». Ερώτηση Πως υπολογίζουµε τη δυναµική ενέργεια σώµατος που εκτελεί ΑΑΤ χωρίς ολοκλήρωµα; Η δυναµική ενέργεια σε κάθε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων ορίζεται µέσω της σχέσης: W = A B U A U B όπου WA B το έργο της δύναµης του πεδίου κατά τη µετακίνηση του σώµατος από το Α στο Β και U, U η δυναµική ενέργεια του σώµατος στις θέσεις Α και Β A B αντίστοιχα. (Την παραπάνω σχέση συναντάµε και στο σχολικό βιβλίο) Στην πιο πάνω σχέση επιλέγουµε τη µία από τις δύο θέσεις ως σηµείο µηδενικής δυναµικής ενέργειας. Ως τέτοιο επιλέγουµε για το ιδανικό ελατήριο, το σηµείο όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και άρα δεν ασκεί δύναµη, ενώ για τη δύναµη επαναφοράς, τη θέση ισορροπίας του σώµατος. Σώµα εκτελεί ΑΑΤ υπό την επίδραση συνισταµένης συντηρητικής δύναµης της µορφής ΣF=-Dχ µε D>0. Η δυναµική ενέργεια του σώµατος οφείλεται αποκλειστικά στη δύναµη αυτή. Επιλέγουµε ως σηµείο µηδενικής δυναµικής ενέργειας τη θέση ισορροπίας Ο του σώµατος, δηλαδή για χ=0 θα ισχύει U=0. Άρα: W = U U = U U = W O Γ Ο Γ Γ Γ O Γ Το έργο WO Γ υπολογίζεται από το εµβαδό του διαγράµµατος ΣF-x: 1 1 W = O Γ ( Dx) x Dx = 3

1 Άρα : U = Γ Dx δηλαδή η δυναµική ενέργεια ενός σώµατος που εκτελεί ΑΑΤ και βρίσκεται σε αποµάκρυνση χ από τη θέση χ=0 δίνεται από τη σχέση: 1 U = Dx (5) Προσοχή: Η εισαγωγή της δυναµικής ενέργειας στην ΑΑΤ, ως έργο µιας άλλης δύναµης F και όχι ως κάτι που σχετίζεται αποκλειστικά µε τη δύναµη επαναφοράς ΣF=-Dχ είναι λανθασµένη εννοιολογικά και φορµαλιστικά. Ερώτηση 3 1 1 1 Η ποσότητα mω x + mυ η οποία διατηρείται σταθερή και ίση µε mω A κατά τη διάρκεια µιας κίνησης της µορφής x= Aηµ ( ωt+ ϕ), η οποία όµως δεν προκύπτει από συνισταµένη δύναµη ΣF=-Dχ, είναι η ολική ενέργεια της κίνησης; 1 Σαφώς και δεν είναι, αφού ο όρος m ω x δεν αντιστοιχεί σε δυναµική ενέργεια, η οποία απλά δεν ορίζεται, αφού η κίνηση δεν προκύπτει από συνισταµένη δύναµη ΣF=-Dχ. Σε µια κίνηση της µορφής x= Aηµ ( ωt+ ϕ), ποια αξία έχει τότε να λέµε ότι η 1 1 ποσότητα mω x + mυ είναι σταθερή; Στη συγκεκριµένη κίνηση τι εκφράζει αυτή η ποσότητα; Γιατί να της δώσω κάποιο όνοµα και άρα αξία. Γιατί να την πω «ισοδύναµη ολική ενέργεια»;;; Και άλλες ασήµαντες ποσότητες µπορούν να βρεθούν και να διατηρούνται. Και τι έγινε; Μόνο παρανοήσεις µπορεί να προκαλέσει ένα τέτοιο εγχείρηµα. Πόσοι µαθητές θα µπορέσουν να ξεχωρίσουν ότι δεν είναι η ολική ενέργεια; Ερώτηση 4 Γιατί στο σύστηµα των δύο σωµάτων, το οποίο σύστηµα εκτελεί ΑΑΤ συνδεδεµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, κάθε σώµα ξεχωριστά δεν εκτελεί ΑΑΤ, αλλά αρµονική ταλάντωση; 4

Αξίζει να το δούµε κάπως «πρακτικά» αυτό: Υπενθυµίζω ότι προϋπόθεση ώστε να εκτελεί Απλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ), ένα υλικό σηµείο µάζας m το οποίο κινείται σε άξονα χ είναι να δέχεται την επίδραση συνισταµένης δύναµης της µορφής ΣF=-Dχ. Δηλαδή πρέπει όπου και να τοποθετήσουµε το σώµα που εξετάζουµε στον άξονα χ να δέχεται την επίδραση συνισταµένης δύναµης της µορφής ΣF=-Dχ. (Ότι αντίστοιχα πρέπει να ισχύει, όταν απαιτήσουµε ένα σώµα να εκτελεί ελεύθερη πτώση. Όπου και να βάλλουµε το σώµα στο χώρο που παρατηρούµε την κίνησή του, πρέπει να του ασκηθεί µόνο η βαρυτική δύναµη.) Το όπου βέβαια µε την έννοια του έστω στο τµήµα του άξονα που παρακολουθούµε την κίνησή του. Για το σύστηµα των δύο σωµάτων, λόγω της δύναµης από το ελατήριο, σε κάθε θέση του άξονα χ ισχύει ΣF=-Dx αφού όπως ανέφερα στην προηγούµενη τοποθέτησή µου: Αν ονοµάσουµε T τη στατική τριβή που δέχεται το πάνω σώµα m από το κάτω m 1 και T 1 τη στατική τριβή που δέχεται το κάτω σώµα m 1 από το πάνω m, όπου T = T 1, για το σύστηµα των δύο σωµάτων ισχύει: Σ F = Fελ + T + T1 = Fελ = kx Άρα για το σύστηµα των δύο σωµάτων, όπου και να το βάλω στο ευθύγραµµο τµήµα µέσα στο οποίο κινιότανε (στο «χώρο» του δηλαδή που εκτελούσε την ταλάντωσή του) ισχύει Σ F = Fελ + T + T1 = Fελ = kx Άρα το συσσωµάτωµα εκτελεί Απλή Αρµονική Ταλάντωση µε: D k m m ω = = ( 1+ ) (6) Για το πάνω σώµα m όµως, όταν το πάρω από το συσσωµάτωµα και το πάω µόνο του κάπου αλλού στον άξονα χ πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα στο οποίο κινιόταν, δε 5

θα ισχύει για τη δύναµη Τ που έλεγχε την προηγούµενη κίνηση το ΣF=-Dx, γιατί απλά το m δε θα δέχεται καµιά δύναµη τέτοιας µορφής. Άµα το πάρω από το συσσωµάτωµα πιθανόν να «µείνει» µόνο η βαρύτητα και η δύναµη από το χέρι µου. Το πάνω σώµα m εκτελεί αρµονική ταλάντωση χ=αηµ(ωt+φ) λόγω της στατικής τριβής T που δέχεται από το κάτω m 1. Η τριβή όµως δεν είναι συντηρητική δύναµη, άρα δε µπορεί να συνδεθεί µε δυναµική ενέργεια. Συνεπώς η ταλάντωσή του είναι αρµονική, αλλά όχι ΑΑΤ. Αντίστοιχα ισχύουν και για το κάτω σώµα. Αν το αποµακρύνω από το συσσωµάτωµα δε θα ελέγχεται από τις ίδιες δυνάµεις όπως και πριν που ήταν στο συσσωµάτωµα. Η ταλάντωση που µπορεί να κάνει µόνο του (χωρίς την παρουσία του m ) είναι σίγουρα ΑΑΤ αλλά αυτό είναι µια δικιά του καινούρια ιστορία. Δεν είναι ίδια µε την κίνηση που έκανε όταν ήταν στο συσσωµάτωµα (αλλάζει περίοδος, αλλάζουν οι δυνάµεις κ.λ.π.) Υπενθυµίζω ότι µια συντηρητική δύναµη F που δρα σε ένα κινητό συνδέεται µε την du αντίστοιχη δυναµική ενέργεια U του κινητού µε τη σχέση F =. dx Ερώτηση 5.Η πιο σηµαντική!!!!!! Τελικά όµως τι µαγείρεµα γίνεται και τα σώµατα εµφανίζονται µε µαθηµατικά τεχνάσµατα να εκτελούν το καθένα ανεξάρτητα από το άλλο ΑΑΤ; Για το σύστηµα των δύο σωµάτων πράγµατι ισχύει: Σ F = F + T + T = Dx (7) όπου D= k ελ 1 Θέλετε τη ποσότητα D να την εκφράσουµε ως άθροισµα δύο «ανάλογων» ποσοτήτων που να µοιάζουν µε D; Τότε D= D1 + D. Το κάνουµε, οπότε για το σύστηµα θα έχουµε: Σ F = F + T + T = ( D + D ) x (8) ελ 1 1 Μέχρι εδώ τα µαθηµατικά είναι συµβατά και µε τη Φυσική του φαινοµένου που θέλουµε να περιγράψουµε. Έχουµε (;;;) όµως δικαίωµα να θεωρήσουµε ότι η (8) προκύπτει ως άθροισµα των παρακάτω εξισώσεων: 6

F + T = ελ 1 D1 x και (9) T = D x Μαθηµατικά: ΝΑΙ. Στη Φυσική όµως ΟΧΙ. Καταλαβαίνετε τι κάνουµε σπάζοντας την εξίσωση κίνησης του συστήµατος των δύο σωµάτων σε δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους εξισώσεις και δίνοντάς τους τέτοια µορφή; Κάνουµε αυθαίρετα τις δυνάµεις χωρο-εξαρτώµενες. Μετατρέπουµε τη στατική τριβή σε συντηρητική δύναµη και τη συνδέουµε µε δυναµική ενέργεια. Άρα λοιπόν γιατί να µην προικίσουµε την τριβή και µε σταθερά επαναφοράς και συνεπώς µε δυναµική ενέργεια; Αφού T = D x και T = m a= m ( ω x) = mω x, άρα λοιπόν και D = mω. Για το πάνω σώµα m όµως, σε ποιο µέρος του άξονα χ πάνω στον οποίο κινείται ισχύει ΣF=-Dx ; Που πρέπει να πάει µόνο του και να ισχύει αυτή η σχέση για τη δύναµη που δέχεται; Δηλαδή αντί τα µαθηµατικά να είναι τα εργαλεία που χρησιµοποιούµε για να περιγράψουµε αυτό που καθορίζει η φύση, βασιζόµενοι σε µαθηµατικές πράξεις σωστές µεν, αλλά κενές φυσικού περιεχοµένου, παραβιάζουµε τις Φυσικές αρχές που διέπουν το φαινόµενο που εξετάζουµε και κατασκευάζουµε, καλύτερα µαγειρεύουµε, ασκήσεις κενές φυσικού νοήµατος που οδηγούν τους µαθητές σε παρανοήσεις, όπως ότι η στατική τριβή είναι συντηρητική δύναµη. Απαντήσεις σε συναδέλφους Θα προσπαθήσω να καταθέσω τη γνώµη µου σε θέµατα που τέθηκαν από καλούς συναδέλφους και φίλους µε δεδοµένο πάντα το σεβασµό και την εκτίµηση προς αυτούς και τις θέσεις τους. Ο Νίκος ο Σφαρνάς έγραψε: «Από την άλλη, (κάνοντας το συνήγορο του διαβόλου) στα προβλήµατα που συζητάµε η ποσότητα 1/ *mω^x^ +1/ mv^ παραµένει ή όχι σταθερή κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης, για οποιοδήποτε από τα δύο σώµατα; 7

Εφόσον λοιπόν διατηρείται γιατί να µην χρησιµοποιούµε τη διατήρησή της ως εργαλείο λύσης προβληµάτων; Ακόµα και αν δεν την βαφτίζουµε ενέργεια του ταλαντωτή!» Νίκο (µου επιτρέπεις ελπίζω τον ενικό) η απάντησή µου σε αυτό που έγραψες είναι η απάντηση στην ερώτηση 3. Σέβοµαι απόλυτα την πολύ µεγάλη εµπειρία σου, αλλά θεωρώ ότι αυτό που προτείνεις θα έχει αντίθετο αποτέλεσµα από το επιθυµητό. Προσωπικά νοµίζω ότι γρήγορα θα οδηγήσει σε παρανοήσεις, ειδικά τους µαθητές. Ο Λάµπρος ο Θεοδώρου έγραψε: «Να ξεκινήσω από τη χρονοεξαρτώµενη δύναµη, για την οποία στο παράδειγµα που είχα δώσει είχα πει ότι εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Μετά την παρουσίαση του ιονύση, τόσο µε τη γραφική παράσταση F-t όσο και µε το αρχείο i.p. για τη κρούση, θέλω να πω, ότι αναγνωρίζω ότι πράγµατι φαίνεται η κίνηση να είναι διαφορετική από µια απλή αρµονική ταλάντωση. ιαφορετική όµως µόνο αν κάτι συµβεί στη διάρκειά της, όπως µια κρούση, αλλιώς κανείς δεν θα βρει κάτι διαφορετικό σε σχέση µε την χωροεξαρτώµενη. Έτσι δεν είναι;» Λάµπρο θα διαφωνήσω. Η αρµονική ταλάντωση που οφείλεται σε χρονο-εξαρτώµενη δύναµη δεν έχει δυναµική ενέργεια για τους λόγους που εξηγώ στο προηγούµενο κείµενο. Μια ταλάντωση που έχει µόνο κινητική, άρα όταν µηδενίζεται στις ακρότατες θέσεις µένει χωρίς ενέργεια, διαφέρει σηµαντικά από την ΑΑΤ στην οποία το άθροισµα δυναµικής και κινητικής διατηρείται. Αν θέλουµε να µείνουµε µόνο στην παρατήρηση των θέσεων από τις οποίες περνά το κινητό, στην ταχύτητα κ.λ.π. χωρίς να επιχειρήσουµε τίποτε άλλο από αυτή την απλή παρατήρηση, σίγουρα δε θα βρούµε καµιά διαφορά. Αλλά τότε αφού δεν θα ασχοληθούµε µε τίποτε άλλο και ούτε µας ενδιαφέρει να µάθουµε τίποτε άλλο (π.χ τι θα συµβεί αν γίνει µια κρούση ή αν υπάρχει ενέργεια και πως ανταλλάσσεται...κ.λ.π.) γιατί να µην ονοµάσουµε την κίνηση (σκέτο) «αρµονική ταλάντωση»; Όταν χρησιµοποιήσουµε τον όρο «απλή αρµονική ταλάντωση» αυτόµατα ετοιµάζεις τον άλλον να δεχτεί και να εφαρµόσει (αν τύχει), όλα τα µαθηµατικά και τη φυσική που ισχύουν στην απλή αρµονική ταλάντωση. Γιατί να γίνει αυτό από τη στιγµή που δεν ξέρουµε αν είναι σωστό; Νοµίζω δηλαδή ότι λέγοντας «απλή αρµονική ταλάντωση» κάτι που δεν ξέρουµε αν είναι, κάνουµε κακή χρήση του όρου. Ο Θρασύβουλος το λέει: «Χαλάµε τη γλώσσα και άρα τη σκέψη». Η σκέψη αυτού που θα ακούσει το «απλή αρµονική» θα πάρει άλλο δρόµο. Ας το πούµε (σκέτο) «αρµονική ταλάντωση». 8

Ο Λάµπρος έγραψε επίσης: «Ερχόµαστε στην απλή αρµονική ταλάντωση. Πώς ακριβώς είναι η δυναµική ενέργεια; Πού είναι; Που κρύβεται; Ποια η µορφή της; Είναι βαρυτική; Είναι ηλεκτροµαγνητικής φύσης; Μήπως είναι κάποια ή συνδυασµός κάποιων άλλων γνωστών µας ενεργειών; Είναι απλά αφηρηµένη οντότητα την οποία αποδίδουµε στο σώµα; Υπάρχει απάντηση;» Όπως ανέφερα και στην αρχή αυτής της ανάρτησης, η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης συνδέεται άµεσα και αποκλειστικά µε τη συντηρητική δύναµη επαναφοράς που ασκείται στον ταλαντωτή στη διάρκεια της κίνησης. Αυτό δεν είναι αρκετό; Τι περισσότερο να πούµε; Οι ενέργειες δε χωρίζονται σε θεµελιώδεις και παράγωγες, άρα να ψάξουµε να βρούµε τι; Το βάθος; Όταν εξετάζουµε µια δύναµη ή τη συµπεριφορά υλικού σηµείου κάτω από την επίδραση δυνάµεων στο επίπεδο της καθηµερινής µας πραγµατικότητας, δε χρειάζεται να ψάχνουµε να βρούµε από πίσω τις τρεις τέσσερις θεµελιώδεις δυνάµεις που φτιάχνουνε τον κόσµο. Ψάχνουµε να δούµε αν αυτές οι καθηµερινές δυνάµεις που τώρα χειριζόµαστε είναι ή όχι χωροεξαρτώµενες. Με δεδοµένο ότι πυρηνικές και ασθενείς αλληλεπιδράσεις κρύβονται στις πολύ µικρές αποστάσεις, όποια δύναµη της καθηµερινότητας µας δεν είναι βάρος είναι σίγουρα ηλεκτροµαγνητικής φύσεως δύναµη. Αλλά τι έγινε; Το θέµα δεν είναι εκεί. Και στο απλό εκκρεµές που περιοριζόµαστε στις πολύ µικρές γωνίες βγαίνει η κίνηση ΑΑΤ. Τη δυναµική ενέργεια όµως δεν την αποδίδουµε ούτε στη τάση του νήµατος ούτε στο βάρος, αλλά στη δύναµη F=-Dx που βγάζουν οι υπολογισµοί. Ας σκεφτούµε ότι στο απλό εκκρεµές η κίνηση του υλικού σηµείου γίνεται σε οριζόντιο άξονα. Άρα τι βαρυτική ενέργεια να του αποδώσουµε όταν δεν έχουµε κατακόρυφη µετατόπιση. Το ίδιο κάνουµε και στο κατακόρυφο ελατήριο. Τη δυναµική ενέργεια του σώµατος δεν την αποδίδουµε ούτε στο ελατήριο, ούτε στο βάρος αλλά την συνδέουµε µε την F=-Dx. Θυµίζω και πάλι ότι: Μια συντηρητική δύναµη F που δρα σε ένα κινητό συνδέεται µε την αντίστοιχη du δυναµική ενέργεια U του κινητού µε τη σχέση F = (1) dx Η σχέση αυτή αποτελεί τον ορισµό της δυναµικής ενέργειας αν δίνεται η συντηρητική δύναµη που ασκείται στο κινητό ή τον ορισµό της συντηρητικής δύναµης αν δίνεται η δυναµική ενέργεια του κινητού. 9

Ο Λάµπρος έγραψε επίσης: «ii) Αν αντί να έχουµε πλαστική κρούση, τη στιγµή που το Α σώµα βρίσκεται στη θέση +Α, αφήσουµε πάνω του το Β. Για την περίπτωση αυτή: Το σύστηµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση; Το σώµα Α; Το Β; ηλαδή µπορώ να µιλάω για τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος Α-Β (που αποδίδεται στα σώµατα και όχι στο ελατήριο) αλλά δεν έχει δυναµική ενέργεια µόνο το Α ή µόνο το Β; 6) Στο παράδειγµα του Γιάννη Κυριακόπουλου µε τη στατική τριβή: Το σύστηµα των δύο σωµάτων εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, ενώ κανένα σώµα δεν εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση; ηλαδή το σύστηµα έχει ενέργεια δυναµική, αλλά όταν «δω» µόνο το πάνω ή το κάτω σώµα, η ενέργεια εξαφανίζεται; Πού πήγε;» Ο Γιάννης ο Μιχαλόπουλος έγραψε: «εν είναι λογικό ένα σύστηµα σωµάτων να εκτελεί αατ και όχι τα σώµατα που το αποτελούν. Το σύστηµα να έχει δυναµική ενέργεια και όχι τα σώµατα που ανήκουν στο σύστηµα.» Λάµπρο και Γιάννη, δεν είναι σπάνιο το γεγονός η δυναµική ενέργεια να αποδίδεται στο σύστηµα και όχι στα µέλη του συστήµατος ξεχωριστά. Η ηλεκτρική δυναµική q1q ενέργεια συστήµατος δύο φορτίων U = Kc, που αποδίδεται; Προφανώς στο r σύστηµα. Το κάθε φορτίο µόνο του δεν διεκδικεί δυναµική ενέργεια, αλλά το σύστηµα έχει. Και αν θες κάτι να πεις ενεργειακά, αποδίδεις στα µέλη του συστήµατος στο καθένα ξεχωριστά κινητική ενέργεια, ενώ τη δυναµική την αποδίδεις στο σύστηµα. Όµοια και στην περίπτωση της ΑΑΤ του συστήµατος των δύο σωµάτων, το σύστηµα έχει την δυναµική ενέργεια, τα δύο σώµατα µεµονωµένα δεν έχουν. Γιατί πρέπει υποχρεωτικά να έχουν; Ο Γιάννης ο Κυριακόπουλος έγραψε: «Επί της ουσίας αναγνωρίζω τον κίνδυνο µια κινηµατική προσέγγιση να διολισθήσει. Ναι µπορεί µια κακή κινηµατική προσέγγιση να αποµακρύνει τους διδασκόµενους από την αναζήτηση του αιτίου. Όχι όµως όλες οι κινηµατικές προσεγγίσεις. Ο ιονύσης σκιαγράφησε µια διδακτική προσέγγιση που θα µπορούσε (εδώ µπαίνει ο συγγραφέας) να αναπτυχθεί άριστα.» 10

Γιάννη συµφωνώ απόλυτα. Με την προσωπική µου όµως εκτίµηση ότι οι κινηµατικές προσεγγίσεις των σχολικών βιβλίων είναι όντως κακές. Η διδακτική πρόταση του Διονύση είναι ολοκληρωµένη και σίγουρα ελαχιστοποιεί τους κινδύνους παρανοήσεων, αρκεί να ακολουθηθεί σωστά και να γίνει σαφής διάκριση ανάµεσα στην ΑΑΤ, τη φθίνουσα και την εξαναγκασµένη. Προτείνω σε όλους τους συναδέλφους το εξής: Ρωτήστε τους µαθητές σας, η ενέργεια στην εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση µε απόσβεση, όταν έχει επέλθει η µόνιµη κατάσταση, για συχνότητα ταλάντωσης διάφορη από την ιδιοσυχνότητα, διατηρείται; Μετρείστε απαντήσεις. Είµαι πολύ περίεργος. Στις δικές µου τάξεις και σε σύνολο 31 µαθητών, αφού πρώτα τους έδειξα ότι Κmax=Umax µόνο όταν f=fo και για f<fo ισχύει Κmax<Umax, ενώ για f>fo ισχύει Κmax>Umax, µόνο ένας ρώτησε έκπληκτος: δηλαδή στην εξαναγκασµένη δεν διατηρείται η ενέργεια της ταλάντωσης;;; Ας σηµειωθεί ότι το επίπεδο των µαθητών είναι καλό.. Στο µυαλό των παιδιών έχει µείνει ότι αφού ΑΑΤ και εξαναγκασµένη περιγράφονται από την ίδια εξίσωση κίνησης, ότι ισχύει στη µια θα ισχύει και στην άλλη Που οφείλεται αυτό; Στο ότι, τις δυνάµεις τις έχουµε αφήσει στην άκρη και τις αναφέρουµε από.υποχρέωση. Τέλος ο Διονύσης (τελευταίος στη σειρά.αφού αυτό επιβάλλει η µεταξύ µας φιλία) έγραψε: 4) Επειδή εγώ ανάρτησα σχόλιο µε τίτλο «Περί Κινηµατικής ο λόγος» νοµίζω ότι τα παραδείγµατα που αναφέρεις µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας, δεν έχουν καµιά σχέση µε κίνηση και µε κινηµατική. Μπορεί να τα χαρακτηρίζεις απαράδεκτα, αλλά δεν µειώνουν στο ελάχιστο την αξία της κινηµατικής µελέτης µιας κίνησης που υποστήριξα» Διονύση συµφωνώ ότι τα παραδείγµατα που ανέφερα µε τη µεταβολή της θερµοκρασίας σίγουρα δεν έχουν καµία σχέση µε κινηµατική. Η κινηµατική µελέτη, όπως εγώ τη φαντάζοµαι, περιέχει διαγράµµατα χ-t, υ-t, α-t και συµπεράσµατα που προκύπτουν από αυτά, όπως πότε η κίνηση είναι επιταχυνόµενη και πότε επιβραδυνόµενη, τι γίνεται όταν µηδενίζεται η ταχύτητα ή η επιτάχυνση, πόσο χρόνο χρειάζεται για να πάει από µια θέση σε µια άλλη, κλπ.. Η κινηµατική µελέτη είναι µια πολύ σοβαρή υπόθεση και δεν έχει σχέση µε διαγράµµατα θερµοκρασιών. 11

Όσο αφορά τα περιστρεφόµενα διανύσµατα συµφωνώ ότι είναι ένα εργαλείο που διευκολύνει πολύ την εύρεση χρονικών διαστηµάτων και ως εργαλείο πρέπει να τα αντιµετωπίσουµε.τίποτα λιγότερο και τίποτα περισσότερο. Τελειώνοντας θέλω να πω ένα πράγµα: Από όλη τη συζήτηση που προηγήθηκε, µε συµφωνίες και διαφωνίες, εγώ νιώθω ότι έγινα καλύτερος δάσκαλος.και αυτό είναι σηµαντικό. Η πρόταση της δυναµικής µελέτης καθώς και οι απαντήσεις στις ερωτήσεις 1, βασίστηκαν στο βιβλίο: «Θέµατα Φυσικής, παρανοήσεις και προτάσεις υπέρβασής τους» των Θρασύβουλου Μαχαίρα, Σταύρου Λέτη Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com 1