Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρή τεχνική για να αποδεικνύουµε ότι µια πρόταση της µορφής n 0 P(n) είναι αληθής. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρή τεχνική για να αποδεικνύουµε ότι µια πρόταση της µορφής n 0 P(n) είναι αληθής. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: P(0) k 0 (P(k) P(k+)) n 0 P(n) (βάση της επαγωγής) (επαγωγικό βήµα) 3 P(0) k 0 (P(k) P(k+)) (επαγωγικό βήµα) n 0 P(n) Μοιάζει µε domino! (βάση της επαγωγής) 4 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06
Επαγωγή Το Domino Effect Το Domino Effect Βάση της επαγωγής: Το ντόµινο #0 πέφτει. Επαγωγικό βήµα: Για κάθε k N, εάν το ντόµινο #k πέσει, τότε πέφτει και το ντόµινο #k+ Συµπέρασµα: Όλα τα ντόµινο θα πέσουν! 0 3 4 5 6 Βάση της επαγωγής: Το ντόµινο #0 πέφτει. Επαγωγικό βήµα: Για κάθε k N, εάν το ντόµινο #k πέσει, τότε πέφτει και το ντόµινο #k+ Συµπέρασµα: Όλα τα ντόµινο θα πέσουν! 0 Αυτό ισχύει και για απείρως πολλά ντόµινο! 6 5 3 4 5 6 Θυµηθείτε την άµεση απόδειξη: Ορθότητα της επαγωγής Έχουµε υποθέσεις p, θέλουµε να αποδείξουµε το συµπέρασµα q. Βρες ένα s τέτοιο ώστε p s Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s. Μετά, βρές s τέτοιο ώστε s s. Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s.. και τελικά βρίσκουµε ένα s n τ.ω.: s n q. Γιατί το n 0P(n) είναι ένα ορθό συµπέρασµα, εάν η βάση της επαγωγής και η επαγωγική υπόθεση ισχύουν; Θεωρείστε ένα k 0. Το επαγωγικό βήµα k 0 (P(k) P(k+)) σηµαίνει ότι (P(0) P()) (P() P()) (P(k) P(k+)) για κάθε k Η βάση της επαγωγής µας λέει ότι P(0). Μία εφαρµογή του Modus Ponens (σε συνδυασµό µε το ότι (P(0) P())) µας δίνει ότι P(); Άλλη µία µας δίνει ότι P(), και ούτω καθεξής µέχρι την P(k) (χρησιµοποιώντας συνολικά k+ βήµατα Modus Ponens)). Εποµένως, n 0P(n). 7 8 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06
Επαγωγή Οι επαγωγικές αποδείξεις έχουν µία συγκεκριµένη δοµή: Γενίκευση της επαγωγής Π.χ., αποδείξτε ότι n 0 P(n) Αν αποδείξουµε τη βάση της επαγωγής και το επαγωγικό βήµα, τότε από την αρχή της µαθηµατικής επαγωγής προκύπτει ότι n 0 P(n). Βάση της επαγωγής: Απόδειξη ότι P(0). Επαγωγικό βήµα: Απόδειξη ότι k P(k) P(k+). Π.χ., µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε άµεση απόδειξη, ως ακολούθως: Υποθέτουµε ότι για τυχαίο k, ισχύει ότι P(k). (επαγωγική υπόθεση = ΕΥ) Με βάση αυτή την υπόθεση, αποδεικνύουµε ότι P(k+). Ο κανόνας µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αποδειχτεί ότι n c P(n) για µία σταθερά c, όπου πιθανά, c 0. Σε αυτή την περίπτωση, το βασικό βήµα είναι η απόδειξη της P(c) αντί της P(0), και το επαγωγικό βήµα συνίσταται στην απόδειξη του ότι k c (P(k) P(k+)). 9 0 Ένα παράδειγµα επαγωγικής απόδειξης Αποδείξτε ότι n>0, n< n. Έστω P(n)=(n< n ) Βάση επαγωγής: P()=(< )=(<)=Αληθές. Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε k>0, P(k) P(k+). Υποθέτουµε ότι P(k), δηλαδή ότι, k< k και µε βάση αυτό θα αποδείξουµε ότι k+ < k+. Από την επαγωγική υπόθεση έχουµε ότι k< k =>k+ < k + < k + k (επειδή < k, αφού k>0) = k+ Εποµένως k + < k+, (δηλαδή, P(k+)).ΟΕ Εποµένως, n>0, n< n εύτερο παράδειγµα Αποδείξτε επαγωγικά ότι το άθροισµα των πρώτων n περιττών φυσικών είναι ίσο µε n. ηλαδή αποδείξτε ότι: n n : (i ) = n i= ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 3
Επαγωγή να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό» 3 4 +3 +3 +5 5 6 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 4
Επαγωγή +3 +5 +7 +3 +5 +7 +9 7 8 +3 +5 +7 +9 + 9 +3 +5 +7 +9 + +3 0 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 5
Επαγωγή εύτερο παράδειγµα +3 +5 +7 +9 + +3 =7 Αποδείξτε επαγωγικά ότι το άθροισµα των πρώτων n περιττών φυσικών ακεραίων είναι ίσο µε n. ηλαδή αποδείξτε ότι: n n : (i ) = n i= P(n) Επαγωγική απόδειξη Βάση επαγωγής: Έστω n=. Το ζητούµενο άθροισµα είναι ίσο µε, το οποίο ισούται µε. Συνέχεια... Εναλλακτικά το επαγωγικό βήµα... Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k : P(k) P(k+). Έστω k, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+). Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k : P(k) P(k+). Έστω k, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+). i= k k k i k i= + (( + ) ) = ( ) + (( + ) ) k k k+ i i= + + = ( ) k+ ( k+ ) = (i ) i= k k = (i ) k+ k (i ) = (i ) + (( k+ ) ) i= i= 3 4 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 6
Επαγωγή Εναλλακτικά το επαγωγικό βήµα... Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k : P(k) P(k+). Έστω k, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+). k+ k (i ) = (i ) + (( k+ ) ) i= i= Από την επαγωγική υπόθεση P(k) = k + k+ = ( k+ ) Τετράγωνα Έστω P(n) = Αν αφαιρέσεις ένα τετράγωνο από ένα πίνακα τετραγώνων n x n, n>0, τότε µπορείς να καλύψεις τα υπόλοιπα τετράγωνα µε κοµµάτια σχήµατος L που έχουν τρία τετράγωνα το καθένα. 5 6 Τετράγωνα: βάση της επαγωγής Βάση της επαγωγής: n= Πίνακας x. Αν αφαιρέσουµε (µπλέ), τα υπόλοιπα 3 φτιάχνουν ένα σχήµα L µε τρία τετράγωνα (κόκκινο). Εποµένως, η P() ισχύει. Τετράγωνα: επαγωγικό βήµα Επαγωγική υπόθεση: αν αφαιρέσουµε ένα τετράγωνο από ένα πίνακα διαστάσεων k x k, τα υπόλοιπα µπορούν να καλυφθούν µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. Πρέπει να αποδείξουµε ότι αν ισχύει η επαγωγική υπόθεση, τότε, αν αφαιρέσουµε ένα τετράγωνο από ένα πίνακα διαστάσεων k+ x k+, τα υπόλοιπα τετράγωνά του µπορούν να καλυφθούν µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. 7 8 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 7
Επαγωγή Απόδειξη επαγωγικού βήµατος Οπτικοποίηση Επαγωγικό βήµα: ( k+ ) x ( k+ ) ισοδύναµο µε ( k ) x ( k ), δηλαδή 4x( k x k ). Αυτό είναι ένα τετράγωνο κατασκευασµένο από 4 τετράγωνα διαστάσεων ( k x k ). Από οποιοδήποτε από τα 4 τετράγωνα, αφαίρεσε ένα. Τότε αυτό, από την επαγωγική υπόθεση µπορεί να καλυφθεί από σχήµατα L τριών τετραγώνων. Τοποθέτησε ένα σχήµα L 3 τετραγώνων µε τρόπο τέτοιο ώστε καθένα από τα τρία τετράγωνά του να ανήκει σε ένα διαφορετικό από τα τρία εναποµείναντα τετράγωνα µεγέθους k x k Σε καθένα από τα 3 αυτά τετράγωνα θα λείπει ακριβώς ένα µικρό τετράγωνο, εποµένως, από την επαγωγική υπόθεση, καθένα από αυτά, θα µπορεί να καλυφθεί µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. Εποµένως, από την αρχή της µαθηµατικής επαγωγής, η πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό n. 9 30 Ποιο είναι το µέγιστο πλήθος σηµείων τοµής n διαφορετικών ευθειών στο επίπεδο; f () = 0 3 3 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 8
Επαγωγή f () = f (3) = 3 33 f (4) = 6 f (5) = 0 35 36 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 9
Επαγωγή Έχουµε: n =,, 3, 4, 5 f (n) = 0,, 3, 6, 0 Ερώτηση: Ποια είναι η σχέση που συνδέει αυτές τις τιµές; Απάντηση: f (n) = f (n-) + n Ερώτηση: Πως βρίσκουµε µία «κλειστή» σχέση; 37 38 Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=: Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n 39 40 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 0
Επαγωγή Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4 4 Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-) f (n) = f (n-3) + n-3 + n + n Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-) f (n) = f (n-3) + n-3 + n + n 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n + n 43 44 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06
Επαγωγή Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-) f (n) = f (n-3) + n-3 + n + n 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n + n 6. Για να φτάσουµε στο n =, ας θέσουµε i = n n 7. f (n) = f () + + + + n-3 + n + n = 0+ i = i Πόσο είναι αυτό; 45 e e e3 e4 e5 e6 e7 e e e3 e4 e5 e6 e7 46 e e e3 e4 e5 e6 e7 e e e3 e4 e5 e6 e7 47 e e e3 e4 e5 e6 e7 e e e3 e4 e5 e6 e7 48 n n n( n ) x+ n= n x= x= ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06
Επαγωγή Επαγωγική απόδειξη Θεώρηµα: Το µέγιστο πλήθος σηµείων τοµής n>0 ευθειών στο επίπεδο είναι n(n-)/. Βάση της επαγωγής: Για n =, υπάρχει µία µόνο ευθεία και εποµένως δεν υπάρχει κανένα σηµείο τοµής. Επίσης για n=, n(n-)/ = 0. Εποµένως, η βάση της επαγωγής ισχύει. Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να αποδείξουµε ότι αν k ευθείες έχουν το πολύ k(k -)/ σηµεία τοµής, τότε οι k+ ευθείες, έχουν το πολύ (k+)k/ σηµεία τοµής Παρατηρούµε ότι η πρόσθεση µίας ευθείας σε k ευθείες, δηµιουργεί το πολύ k νέα σηµεία τοµής. Εποµένως, για k + ευθείες έχουµε k(k-)/ + k = (k(k-)+k)/ =(k +k)/ = k(k+)/. Αυτό αποδεικνύει το επαγωγικό βήµα, κι εποµένως ολοκληρώνει την απόδειξη. 49 50 Επαγωγή και αναδροµή Επαγωγή και αναδροµή Η επαγωγή είναι ένα φυσικό εργαλείο για την απόδειξη ιδιοτήτων αναδροµικά ορισµένων αντικειµένων. Για παράδειγµα, θεωρείστε την ακολουθία Fibonacci: {f n } = 0,,,,3,5,8,3,,34,55, που ορίζεται ως f 0 = 0, f =, και για n> f n = f n- +f n-. Θεώρηµα: Για όλους τους φυσικούς n, f 3n. Απόδειξη. Βάση επαγωγής n = 0. f 3 0 = f 0 = 0 το οποίο διαιρείται ακριβώς µε το b Επαγωγικό βήµα, n > 0: f 3n = f 3n- +f 3n- = (f 3n- +f 3n-3 )+f 3n- = f 3n- +f 3n-3 = f 3n- +f 3(n-) Από την επαγωγική υπόθεση, f 3(n-) εποµένως (f 3n- +f 3(n-) ) κι εποµένως f 3n. 5 5 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 3
Επαγωγή η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα: P(c) P αληθής για όλες τις προηγούµενες περιπτώσεις k c: ( i c i k P(i)) P(k+) n c: P(n) Η διαφορά µεταξύ της ης και της ης αρχής της επαγωγής είναι ότι το συµπέρασµα P(k+) του επαγωγικού βήµατος βασίζεται στην ισχυρότερη υπόθεση ότι η P(i) είναι αληθής για κάθε αριθµό i k, και όχι µόνο ότι P(k). Απόδειξη προτάσεων µε βάση τη η αρχή της µαθηµατικής επαγωγής Για να αποδείξουµε την πρόταση n c P(n) κάνουµε το παρακάτω: Αποδεικνύουµε την βάση της επαγωγής, P(c) Θεωρώντας ένα τυχαίο k 0, υποθέτουµε ότι αν i όπου c i k P(i) τότε P(k+) Με βάση την η αρχή της επαγωγής, αυτό αποδεικνύει ότι n c: P(n) 53 54 Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής ο παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: είξτε ότι κάθε ακέραιος n> µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο p p p s s το πλήθος, πρώτων αριθµών. Έστω P(n)= Ο n µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο s το πλήθος, πρώτων αριθµών Βασικό βήµα: n=, έστω s=, p =. Επαγωγικό βήµα: Έστω n. ΕΥ: υποθέτω i i k: P(i). Πρέπει να αποδείξω ότι P(k+). Για τον k+ υπάρχουν περιπτώσεις: O k+ είναι πρώτος. Tότε έστω s=, p =k+. O k+ δεν είναι πρώτος. Tότε υπάρχουν ακέραιοι a και b τέτοιοι ώστε k+=ab, όπου a k and b k. Τότε (από ΕΥ) a=p p p t και b=q q q u. Συνεπώς, k+ = p p p t q q q u, γινόµενο από s=t+u πρώτους. Θεώρηµα: Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των ευρώ µπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4 και 5 Ευρώ. P(n)= ταχ. τέλος n>= ευρώ µπορεί να δηµ. µε γραµµατόσηµα των 4 και 5 ευρώ Βάση επαγωγής: =3 γρ. x 4 Ευρ., 3= γρ. x 4 Ευρ. + γρ. x 5 Ευρ., 4=γρ. x 4 Ευρ. + γρ. x 5 Ευρ., 5=3 γρ. x 5 Ευρ. εποµένως, i i 5, P(i). 55 56 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 4
Επαγωγή Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των ευρώ µπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4 και 5 Ευρώ. Επαγωγικό βήµα: Έστω k 5, Έστω ότι i ι k P(i). Πρέπει να αποδείξουµε ότι P(k+): Πράγµατι: Ξέρουµε ότι P(k 3), επειδή k 3 k. Αλλά από την P(k 3) προκύπτει άµεσα η P(k+): απλά προσθέστε ένα γραµµατόσηµο των 4 ευρώ! Βρέστε το σφάλµα!!! Θεώρηµα : Όλα τα σύνολα αλόγων είναι οµοιόµορφα, µε την έννοια ότι όλα τα στοιχεία τους έχουν το ίδιο χρώµα (!?!?) Μέθοδος: επαγωγή πάνω στον πληθικό αριθµό του συνόλου P(x): Όλα τα σύνολα µε πληθικό αριθµό x είναι οµοιόµορφα 57 Βρέστε το σφάλµα Απόδειξη : Βασικό βήµα: P() (Τετριµµένο) Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι k (P(k) P(k+)) Θεωρείστε ένα σύνολο S= {α,α,,α k+ } από k+ άλογα. Χωρίστε το S στα υποσύνολά του A και B καθένα από τα οποία έχει k στοιχεία: A= {α,α, α k } B= {α,α 3,,α k+ } Και το A είναι οµοιόµορφο και το B είναι οµοιόµορφο. Επιπλέον ισχύει A B, και εποµένως το σύνολο A B είναι οµοιόµορφο. ΟΕ (!?!?!?!?!?) Βρέστε το σφάλµα Στην απόδειξη χρησιµοποιήσαµε το ότι A B, αλλά αυτό *δεν* ισχύει γενικά! (πχ. έστε τι συµβαίνει για Α = Β =...) το πρώτο «ντόµινο» αρνείται να πέσει ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 5