ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου εγκλισµού θεωρούµε τη κλάση E { F: Ω σ( C)} Για τη κλάση υποσυόλω E παρατηρούµε ότι C E διότι για τυχό C ισχύει Ω C σ( C ) Επίσης η κλάση E είαι σ-άλγεβρα υποσυόλω του Ω διότι :. ) Ω σ(c σ ( C) είαι σ-άλγεβρα υποσυόλω του Ω. \ Ω σ( C). Οµως ( Ω\ ) Ω Ω \ Ω και άρα Ω Ω σ C ) Ω Ω αφού η ) Α E τότε κατά το ορισµό της E είαι Ω σ( C ) και συεπώς Ω ( \ ) ( ) ) Α {, } E τότε Ω σ ( C ) και άρα ( Ω) σ( C) Συεπώς ( ) Ω σ( C ), δηλαδή, E. Ωστε η Ε είαι σ-άλγεβρα και περιέχει τη C και συεπώς περιέχει και σ ( C) F. Α τώρα Ω, F είαι τυχό στοιχείο της F τότε Eδηλαδή Ω σ( C ), δηλαδή F σ( C) γ) εύκολο Άσκηση 3. σελ. 3 Έστω D έα σύστηµα Dy. Θα δείξουµε ότι ικαοποιούται οι ()-(v) της άσκησης. Οι () και () από το ορισµό. Για τη () αρκεί α παρατηρήσουµε ότι... και αφού δύο οποιαδήποτε σύολα της έωσης... έχου τοµή το κεό συµπεραίουµε ότι D. Αποµέει η (v). Πράγµατι θέτουµε..., \,3 3 \, Από τη () συµπεραίουµε ότι D. Επίσης τα σύολα είαι ξέα αά δύο και ισχύει άρα κατά το ορισµό D. Ατίστροφα έστω ότι η κλάση D ικαοποιεί τις ()-(v) της άσκησης. Θα δείξουµε ότι ικαοποιούται οι (),(),() του ορισµού του συστήµατος Dy. Αρκεί α γίει για τη (). Έστω { : } D µε. Θέτουµε, και γεικά έχουµε(εύκολα µε επαγωγή) ότι τη (v) ότι D. Όµως.. Από τη () της άσκησης D και αφού + θα έχουµε από

Άσκηση 3.4 σελ. 3 α) Α το µέτρο P έχει τη ιδιότητα (3.3) συµπεραίουµε ότι Ρ (Ε)Ρ(Ε) για κάθε Ε P. Όµως η κλάση P είαι ηµιδακτύλιος και σ ( P ). Αρκεί α επικαλεστούµε τη πρόταση 3.3 σελ.. β) Για τυχό Ι(α,β] P ' θεωρούµε τη κλάση φ { Α : P( I) P () P ()} Θα δείξουµε ότι η κλάση φ είαι έα σύστηµα Dy υποσυόλω του. Πράγµατι (, + ] κα άρα P( I) P(( (, + ] ) I) P( (, + ] I) P( (, + ]) I) P ((, + ]) P (I) P (I) P ((, + ]) P (I) P ( ) άρα φ. Α τώρα Α, Β φ µε τότε βέβαια P( I) P ()P (I) άρα P( I) P ()P (I) P( I) P( I) P()P(I) P()P(I) και συεπώς P( I \ I) P ( \ ) P (I). Όµως I\ I (\) I (εύκολο) Τελικά \ φ. Έστω τώρα {, } φ µε Από τη P( I) P ()P (I) συµπεραίουµε ότι και αφού τα I είαι ξέα αά δύο P( ( I)) P (I) P ( ). Όµως Τελικά ( I) ( ) I (επαληθεύστε) P(( ) I) P ( )P (I) άρα (3.3) P( I) P ( )P (I) φ. Ώστε φ είαι σύστηµα Dy και προφαώς λόγω της (3.3) περιέχει τα σύολα της P άρα φ d( P ) σ ( P ). Αφού η κλάση φ περιέχει τη έχουµε αποδείξει ότι P( I) P ()P (I). () Για τυχό Α θεωρούµε τη κλάση ε { Β : P( ) P( )P() } Όπως προηγουµέως αποδεικύεται ότι η ε είαι σύστηµα Dy υποσυόλω του που λόγω της () περιέχει P και άρα ε d( P ) δηλαδή ε (µάλιστα ) Και άρα έχουµε αποδείξει ότι: P( ) P()P() Β. Άσκηση 4. σελ. 4 Επαγωγικά στο κ Για κ είαι προφαές από το ορισµό του ηµιδακτυλίου. Έστω τώρα ότι ισχύει για κ λδηλ. \ λ Α Β (*)

Τότε λ+ λ+ λ λ λ λ+ λ+ (*) ( ) λ+ ( λ+ ) ( \ λ+). \ Α ( Α ) Α ( Α ) (\ ) κάθε έα από τα \λ + υποσυόλω από το ηµιδακτύλιο και άρα ( \ ) ξέα µεταξύ τους αφού Άσκηση 4.3 σελ. 5 Θέτουµε \ λ+ Από το ορισµό του ηµιδακτυλίου (,,..,) γράφεται ως έωση ξέω µεταξύ τους λ + \ λ +,,, είαι ξέα.. Από υπόθεση Α F. Σύµφωα µε τη άσκηση 4. (*) όπου,,..., ξέα µεταξύ τους και συεπώς Γ όπου Γ,,, Α ( ). Από υπόθεση επίσης τα σύολα,,..., είαι ξέα µεταξύ τους και από τη (*) προκύπτει ότι (,..., αφού η ) ( ) και συεπώς τα σύολα,,..., είαι ξέα µεταξύ τους άρα P( ) P( ) + P() είαι απλώς προσθετική από υπόθεση. Από τη τελευταία συµπεραίουµε ότι P( ) P( ) για κάθε και άρα P( ) P(). P Από τη εκφώηση έχουµε ήδη τη ατίθετη αισότητα και τελικά τη ζητούµεη ισότητα. Άσκηση 4.5 σελ. 6 Θέτουµε Α Τότε Α ( \ ) ( ) και συεπώς Όµως ( \ ) (επαληθεύστε) και η ακολουθία \ είαι P() P( \ ) + P( ) (*) φθίουσα και συεπώς κατά τη εκφώηση l P( \ ) Επίσης l P( ) P( ) και συεπώς από τη (*) παίρουµε ότι

P() P( ) Άσκηση 4.8 σελ. 9 Θέτουµε φ σ ( F N ). Θα δείξουµε ότι F φ. Έστω τυχό Ε F µε το ορισµό της F το E Nµε Α F και Ν N και άρα Α, Ν F N. Συεπώς Α Ν σ (F N) φ. είξαµε λ οιπό ότι F σ ( F N) F. Άσκηση 5. σελ. 9. Τότε σύµφωα φ. Επε ιδή από το ορισµό της F βλέπουµε άµ εσα ότι F, N F συµπεραίουµ ε ότι F N F και άρα Εύκολα διαπιστώεται ότι { } (,) και επειδή η ακολουθία (, ] είαι φθίουσα έχουµε P({}) l P(, ] l P(F() F( )) F() l F( ) F() F( ) Άσκηση 6. σελ. 6 Εύκολα διαπιστώουµε ότι οι κλάσεις C { Ω},..., C { Ω} Θεωρούµε τις παρακάτω κλάσεις υποσυόλω ε { : C { Ω} για,,,} είαι αεξάρτητες. ε { : C { Ω} + για +,,,} Τότε οι κλάσεις ε, ε είαι κλειστές ως προς τη πεπερασµέη τοµή δηλ. α Α,Β ε τότε Α Β ε (ι,). Επίσης είαι αεξάρτητες όπως διαπιστώεται αµέσως και άρα σ ( ε), σ( ε) είαι αεξάρτητες κατά τη πρόταση 6.. Όµως ε C... C, ε C+... C και ε F και ε F. Άρα σ ( ε ) F, σ( ε ) F. Γείκευση Έστω C, Ι αεξάρτητες κλάσεις κλειστές για πεπερασµέες τοµές και Ι σύολο δεικτώ για το οποίο γωρίζουµε ότι Ι J λ όπου J λ, λ Λ είαι ξέα µεταξύ τους (Λ άλλο σύολο δεικτώ). Θέτουµε F σ ( C ), λ Λ. Τότε οι σ-άλγεβρες F λ, λ Λ είαι αεξάρτητες. (Υπόδειξη : Θέτουµε ε { Λ : Λ λ K λ λ Λ Jλ C { Ω}, Κ πεπερασµέο υποσύολο του } Τότε οι ε λ, λ Λ είαι αεξάρτητες και κλειστές για πεπερασµέες τοµές. Άσκηση 6.4 σελ.3 J λ

Έχουµε P( ) και P ( ) < άρα P( ) και P ( ) > Από τη τελευταία έχουµ ε ότι l l P ( ) και άρα P Συεπώς l P( ) και λόγω αεξαρτησίας l ( ) l l P( ) () Εξ άλλου µε l sup P ( ) P ( ) P( ) lp( ) ll P( ) ll P ( ) l le Οπότε λαµβάοτας υπόψι τη σχέση () έχουµε P ( ) l P( ) l P( ) ll e Άσκηση 6.5 σελ.3 Έχουµε l P ( ) και P ( \ + ) < τώρα διαδοχικά l P(lsup ) P( ) l P( ) ll P( ) l όµως ( \ ) ( \ )... ( \ ) και συεπώς + + + l l χρησιµοποιώτας τη αισότητα oole και τη ιδιότητα P ( \ ) P ( ) P ( ) P(lsup ) ll[ P ( ) + P ( ) P ( ) + P ( ) P ( )... + + + + + + l... +P( l) P ( l l )] επαληθεύστε ότι το ετός τω αγκυλώ άθροισµα γράφεται P ( \ ) + P ( \ ) +... + P ( \ ) + P ( ) και συεπώς + + + l l l l P(lsup ) ll( P ( \ ) + P ( )) l( P ( \ ) + l P ( )) + l + l l l( P ( \ )) αφού + P ( \ ) < + Άσκηση.4 σελ.34 l l Θέτουµε {( x,..., x ) : x a} τότε και συεπώς η συάρτηση

( x,..., x ) I ( x,..., x ) είαι συάρτηση orel. ( x,..., x ) Με τη σειρά της η συάρτηση I ( ) είαι τυχαία µεταβλητή ως σύθεση της τ.µ. ( x,..., x ) και της συάρτησης orel I (βλέπε πρόταση.4 ) Επειδή Y * I ( ) (επαληθεύστε το) συµπεραίουµε ότι η Y είαι τ.µ. Άσκηση.5 σελ.34 Θέτουµε C { :, Τ ο τυχό στοιχείο E P + είαι της µορφής E ( a, b]... ( a, b] ( a+, b+ ]... ( a+, b+ ] όπου ( a, b]... ( a, b ] και ( a+, b+ ]... ( a+, b+ ] άρα E C δηλαδή P + C σ( P + ) σ( C) + } εξ άλλου το τυχό στοιχείο C γράφεται ( ) ( ) θεωρούµ g : + ε τώρα τη µ ε τύπο gx (,..., x, x,..., x ) ( x,..., x ) και + τη h : µε τύπο hx (,...,,,..., + + x x+ x+ ) ( x+,..., x+ ) δηλαδή τις + προβολές του στο και ατίστοιχα. Τότε εύκολα διαπιστώεται ότι g ( ) και h ( ) και επειδή οι συαρτήσεις g,h είαι συεχείς θα + είαι και orel δηλαδή g ( ), h ( ) και συεπώς + g ( ) h ( ) C + και άρα σ ( C) Άσκηση.5 σελ.39 κ Y P-σ.β. σηµαίει ότι υπάρχει N αι ( ω) Υ( ω), ω Ω \ N α τώρα τεθεί N N τότε N F και F µε PN ( ) + PN ( ) PN ( ) δηλαδή PN ( ) και βέβαια ισχύ ει ( ω ) Y( ω ), ω Ω \ N άρα sup ( ω) Y( ω), ω Ω \ N Άσκηση : Έστω { : } ακολουθία εδεχοµέω µε l P ( ). Α Χ τυχαία µεταβλ ητή µε E[ ]< δείξτε ότι l dp. Απόδειξη : (εις άτοπο απαγωγή) Αρκεί α δείξουµε ότι ( ε > )( δε ( ) > ): < ε, ότα P( ) < δε ( ) Έστω ότι δε ισχύει τότε ( ε > )( δ > ): µε P ( ) < και < ε, ( ) θέτουµε και άρα P

Τώρα θέτουµε τότε I I και άρα I I στο Ω και µε βάση το παρακάτω θε ώρηµα έπεται ότι I I Ω Ω Συεπώς I dp l I dp l dp l( dp+ dp) Ω Ω l f Από τη µία dp I dp dp. Ω + I dp > ε και από τη άλλη επειδή P() > Ω - άτοπο. Θεώρηµα : Έστω, ακολουθία τ.µ. τέτοια ώστε ) l P-σχεδό πατού ) Υπάρχει τ.µ. Υολοκληρώσιµη ως προς P τέτοια ώστε για κάθε α ισχύει Y P-σχεδό πατού. Τότε η τ.µ. Χ είαι ολοκληρώσιµη ως προς P και µάλιστα l dp dp. Άσκηση : Έστω {, } ακολουθία τ.µ. είξτε ότι σβ.. P(lsu p{ > ε}), ε > (). Απόδειξη : Από Αρχιµήδειο ιδιότητα ε >, : < ε τότε { > ε} { > } l sup{ > ε} lsup{ > } Και άρα α η () ισχύει για κάθε ε της µορφής θα ισχύει και για κάθε ε γεικά. Το ατίστροφο είαι προφαές ώστε P(lsup{ > ε}), ε > P(lsup{ > }), P(lsup{ > }), P( { > }), P( { }), () επειδή η ακολουθία { } είαι φθίουσα συµπεραίουµε ότι P( ) l P( ) αλλά και ατίστροφα α

P( ) τότε P) (, αφού.ώστε τελικά η () ισοδυαµεί µε P( { } ) P(l ). Άσκηση : Έστω { : } ακολουθία αεξάρτητω τ.µ. µε P ( ) και P ( ). είξτε ότι P αλλά δε ισχύει σβ... Απόδειξη : P( > ε) P( > ε) P( ) l P( > ε ) ότι / θα δειχθεί µε εις άτοπο απαγωγή. Έστω ότι ισχύει τότε σύµφωα µε προηγούµ εη άσκηση θα πρέπει P(lsup{ > ε }). Από τη άλλη επειδή τα εδεχόµεα { > ε}, σβ..,,... είαι αεξάρτητα έπεται ότι P( > ε ) P( ) orel-catell θα έχ ω P(lsup{ > ε}) -άτοπο P οπότε από το δεύτερο λήµµα Άσκηση : Α οι τ.µ. { E [ ] µ, Var[ ] σ τότε µ. Απόδειξη : : } είαι ισόοµες και αεξάρτητες µ ε S L S S µ Ε[ µ ] Ε[ ] Ε [ S µ ] { Var[ S µ ] + ( E[ S µ ]) } Όµως ES [ µ ] E [ ] µ µ µ και Var[ S µ ] Var[ µ +... + µ ] Var[ µ ] +... + Var[ µ ] σ λόγω αεξαρτησίας S σ S [ µ ] σ [ S L Τελικά Ε lε µ ] Άσκηση : Έστω ακολουθία τ.µ. { : } και S +... + δείξτε ότι L S L α τότε Λύση :

L E[ ] έχουµε διαδοχ ικά S E[( ) ] E +... + E( ) E ( + ) ( E( ) E( +,,, + ( ( ) ( )) ( ) E E E )) S Συεπώς E( ) E( ) Όµως l E ( ) και από γωστό λήµµα της αάλυσης l E ( ) Άσκηση : Έστω { : } αεξάρτητες, ισόοµες µε καταοµή οµοιόµ ορφη στο (,). Θέτουµε Y {,..., }, Z ( ax{,..., }). είξτε ότι D D Y Y, Z Z όπου Υ,Ζ τ.µ. µε εκθετική καταοµή. Λύση : Z ( ax{,..., }),,, Οι τ.µ.,..., έχου τη ίδια καταοµή, οµοιόµορφη στο (,), και συεπώς έχου α.σ.κ., x < F( x) x, x<, x Η καταοµή της τ.µ. T ax{,..., } είαι Όσο αφορά τη καταοµή της τ.µ. PT ( x) P(ax{,..., } x) P( x,,..., ) P( { x}) και λόγω αεξαρτησίας έπεται ότι P( T x) P({ x}) F( x) [ F( x)] x F( x) P( Z x) P( ( T) x) P( T ) x x PT ( ) PT ( < ) Z έχουµε

x και συεπώς F ( ) [ ( )] x F, x x ή ισοδύαµα F ( x) ( ), < x, x Για τυχό x > υπάρχει τέτοιο ώστε < x, οπότε F ( x ) ( x ) x, και βέβαια l F ( x) e. x Για τυχό x l F ( x ). Ώστε l F ( x) e, x ηλα δή Z Z ε () Άσκηση : Έστω ακολουθία τ.µ. { : } µε τιµές στο. είξτε ότι υπάρχει ακολουθία > : Λύση : ( ε > )( M( ε) > ): P( > M) < ε άρα για ε υπάρχει M : P( > ) <, άρα P( > ) <, P ( > ) < < εφαρµόζω το λήµµα orel-caell για τα σύολα { > } κι έχω P up{ (ls > }) P( { > }) Θέτω Ω { }. Τότε P ( Ω ) και για τυχό ω Ω ( ω) τέτοιο ώστε υπάρχει ω { }, δηλαδή ω { },. Ώστε για τυχό ( ω) ω Ω α θέτω αφού P ( Ω ) Άσκηση Έστω πείραµα τύχης µε δύο ισοπίθαα δυατά αποτελέσµατα επιτυχία αποτυχία. Το πείραµα επααλαµβάεται επ άπειρο. Ποια η πιθαότητα α συατώται επ άπειρο διαδοχές επιτυχιώ τουλάχιστο διπλάσιες σε πλήθος από το πλήθος τω δοκιµώ που προηγούται;

Λύση Θεωρείστε το δ.χ. Ω {,} όπως στο παράδειγµα 6.3 σελ. 8 εφοδιασµέο µε το µέτρο πιθαότητας P για το οποίο ισχύει P( x... x {,}) Q( )...Q( ), {,} + όπου Q το µέτρο πιθαότητας στο {,} το οριζόµεο από τις σχέσεις Q({})Q({}). To εδεχόµεο της εκφώησης είαι Αlsup Τότε Ρ( ) ( ) + 3(-) όπου {ω(ω,ω,...): ω, ω,...,ω }, - {,}x{}x...x{}x {,} και συεπώς κ 3- - ( ) Από τ η τελευταία συάγουµε ότι Άσκηση P( ) < και άρα P() Έστω p η πιθαότητα επιτυχούς έκβ ασης της προσπάθειας α τεθεί σε λειτουργία έα σύστηµα κατά τη -οστή απόπειρα και Χ ο αριθµός αποπειρώ µέχρι τη πρώτη επιτυχή απόπειρα. Υποθέτοτας ότι p < α) Να δοθεί ο κατάλληλος δ.χ. και α ορισθεί η τ.µ. Χ β) Υπολογίστε τη P(< ) και τη καταοµή της τ.µ. Χ γ) ώστε µια απλή ικαή συθήκη ώστε P( < ) δ) Υπολογίστε επακριβώς τη P( < ) ότα : ) p p,< p< ) p, και p ) p, και p Λύση α) Ω {,} και P οριζόµεο από τη P( P( x x...x x {,}) P ( )...P ( ) + στο {,} από τη P ({}) P,P ({}) P για {,} και P οριζόµεο Για τυχό ω( ω, ω,...) ορίζουµε:

f{ : ω } α { : ω } Χω ( ) α ω(,,...) β) P( < ) P( ) P(,,...). Οµως {(,...)} µε { ω ( ω, ω,...) : ω,..., ω } {}x {}x...x{}x Συεπώς Η καταοµή της τ.µ. Χ είαι : P( ) ( P ) γ) P( <) ότα και µόο ότα + {,} P( < ) P( ) lp( ) l ( P ) ( P ) P( ) P({}x...x{}x{}x {,}) + ) P( < ) αφού P ( P )P ( P ) επειδή P e P συµπεραίουµε ότι η συθήκη P συεπάγεται ότι δ) ( P ) ) P( < ) αφού P ( )( + ) P( < ) ( ) l l ) 3 4 3 5 4 6 5 7 ( ) ( + ) l 4 9 6 5 36