Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς στόχους. Περιέχει εκεία τα θεωρητικά στοιχεία που δε ααφέροται στα σχολικά βιβλία του Λυκείου και τα οποία θεωρούμε απαραίτητες γώσεις για έα υποψήφιο δάσκαλο τω Μαθηματικώ. Τα θεωρητικά αυτά στοιχεία συοδεύοται από κατάλληλα παραδείγματα και εφαρμογές. Θεωρήσαμε ααγκαίο α προτείουμε για λύση ατιπροσωπευτικές πρωτότυπες ασκήσεις, για τις οποίες δίεται σύτομη λύση στο τέλος κάθε κεφαλαίου. Τα κεφάλαια που ααπτύσσοται είαι: 1) Άλγεβρα 2) Αάλυση 3) Στατιστική 4) Πιθαότητες 5) Ευκλείδεια Γεωμετρία 6) Ααλυτική Γεωμετρία Ααφέρουμε εδεικτικά ορισμέα από τα θέματα που θα συατήσει ο ααγώστης: i) Α ο φυσικός αριθμός n δε είαι τετράγωο ακεραίου, τότε ο n είαι άρρητος. ii) κ κ κ κ Πώς υπολογίζεται το άθροισμα 1 + 2 + 3 + + (όπου κ Œk *); iii) Πόσους διαιρέτες έχει έας φυσικός αριθμός; iv) Ποια είαι η ικαή και ααγκαία συθήκη ώστε έα πολυώυμο α έχει πολλαπλή ρίζα; v) 3 2 Πότε είαι ατιστρέψιμη η συάρτηση f(x) = αx + βx + γx + δ ( απ 0);
4 Επιλεγμέα Θέματα από τα Μαθηματικά για το Διαγωισμό του ΑΣΕΠ vi) Πότε μια συάρτηση 1 1 είαι γησίως μοότοη; vii) Πώς αποδεικύεται ο όμος διάθλασης του φωτός; viii) Πώς αποδεικύεται το διωυμικό θεώρημα; ix) Ποιο σημείο έχει ελάχιστο άθροισμα αποστάσεω από τις κορυφές τριγώου; x) Πότε και ποια κωική τομή παριστάει η εξίσωση 2 2 Ax + Bxy + Γy + Δx + Ey + Z = 0 ; Στο τέλος του βιβλίου υπάρχου παραρτήματα με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής απ όλα τα κεφάλαια με τις απατήσεις τους. Έα δεύτερο παράρτημα περιέχει ατιπροσωπευτικά σχέδια μαθημάτω από τη διδασκόμεη ύλη στο Λύκειο. Ιούλιος 2006 Θαάσης Ξέος
Περιεχόμεα 5 Περιεχόμεα 1 ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1.1 Η παραγοτοποίηση τω διωύμω α - β και α + β...9 1.2 Σύγκριση δυάμεω...11 1.3 Πράξεις άρτιω και περιττώ ακεραίω...14 1.4 Ρητοί και άρρητοι αριθμοί...16 1.5 Διπλά ριζικά...21 1.6 Ακέραιο μέρος πραγματικού αριθμού...22 1.7 Η διώυμη εξίσωση x = α...24 1.8 Παραλλαγές της μαθηματικής επαγωγής...25 1.9 Στοιχεία από τη θεωρία τω συόλω...28 1.10 Αισότητες...31 κ κ κ κ 1.11 Υπολογισμός του αθροίσματος Sκ = 1 + 2 + 3 +º+...44 1.12 Διαιρετότητα ακέραιω αριθμώ...47 1.13 Αλγοριθμική διαίρεση πολυωύμω...49 1.14 Ρητές ρίζες πολυωυμικής εξίσωσης...51 1.15 Γεικά θεωρήματα για τις ρίζες πολυωύμω...52 1.16 Πολυωυμικές εξισώσεις 3 ου και 4 ου βαθμού...59 1.17 Θέση τω πραγματικώ ριζώ πολυωύμου...65 1.18 Πρόοδοι...67 1.19 Τριγωομετρία...74 1.20 Πίακες...81 1.21 Ορίζουσες και γραμμικά συστήματα...84 1.22 Μιγαδικοί αριθμοί...88 Ασκήσεις στη Άλγεβρα...102 Υποδείξεις τω Ασκήσεω Άλγεβρας...107
6 Επιλεγμέα Θέματα από τα Μαθηματικά για το Διαγωισμό του ΑΣΕΠ 2 ο ΑΝΑΛΥΣΗ 2.1 Συμμετρία γραφικώ παραστάσεω... 115 2.2 Προσεταιριστικότητα της σύθεσης συαρτήσεω... 118 2.3 Ατίστροφη συάρτηση... 119 2.4 Πεπερασμέο όριο συάρτησης στο x0 ŒR... 123 2.5 Μη πεπερασμέο όριο συάρτησης στο x0 ŒR... 135 2.6 Όριο συάρτησης στο άπειρο... 139 2.7 Συέχεια συάρτησης... 141 2.8 Παράγωγος συάρτησης... 151 2.9 Διαφορικό συάρτησης... 157 2.10 Τα βασικά θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού... 158 2.11 Μοοτοία συάρτησης... 165 2.12 Τοπικά ακρότατα συάρτησης... 167 2.13 Κυρτές συαρτήσεις και σημεία καμπής... 170 2.14 Ασύμπτωτες γραφικής παράστασης... 174 2.15 Απροσδιόριστες μορφές... 177 2.16 Ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώματος... 179 2.17 Ύπαρξη παράγουσας μιας συεχούς συάρτησης... 182 2.18 Το ολοκλήρωμα της ατίστροφης συάρτησης... 185 2.19 Εφαρμογές του ορισμέου ολοκληρώματος... 186 Ασκήσεις στη Αάλυση... 191 Υποδείξεις τω Ασκήσεω Αάλυσης... 196 3 ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3.1 Ομαδοποιημέη καταομή... 203 3.2 Παράμετροι κετρικής τάσης... 204 3.3 Παράμετροι διασποράς... 210 3.4 Γραμμική παλιδρόμηση και γραμμική συσχέτιση... 213
Περιεχόμεα 7 4 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4.1 Συδυαστική...219 4.2 Συδυαστική Αάλυση και Πιθαότητες...225 4.3 Δεσμευμέη πιθαότητα...232 4.4 Αεξάρτητα εδεχόμεα...237 4.5 Δοκιμές Bernoulli...238 Ασκήσεις στις Πιθαότητες...241 Υποδείξεις τω Ασκήσεω στις Πιθαότητες...243 5 ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Τρίγωο με δύο ίσες διχοτόμους...247 5.2 Η δύαμη τω κέτρω τριγώου...250 5.3 Σημείο Fermat...253 5.4 Σημείο Miquel...256 5.5 Θεώρημα Morley...257 5.6 Ορθικό τρίγωο...258 5.7 Μήκος κύκλου και εμβαδό κυκλικού δίσκου...260 5.8 Ο κύκλος τω εέα σημείω...261 5.9 Σύστημα Vecten...262 5.10 Μήκους κοιού εφαπτόμεου τμήματος δύο κύκλω...265 5.11 Συμμετροδιάμεσος τριγώου...266 5.12 Διάφορες αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος...269 5.13 Άισα τρίγωα με πέτε κύρια στοιχεία ίσα...272 5.14 Οι δίδυμοι κύκλοι του Αρχιμήδη...273 5.15 Εμβαδό τραπεζίου συαρτήσει τω πλευρώ του...274 5.16 Υπολογισμός διαγωίω εγγράψιμου τετραπλεύρου...275
8 Επιλεγμέα Θέματα από τα Μαθηματικά για το Διαγωισμό του ΑΣΕΠ 6 ο ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 6.1 Συτεταγμέες στο χώρο... 277 6.2 Εξωτερικό γιόμεο διαυσμάτω... 280 6.3 Αλλαγή συστήματος συτεταγμέω... 282 6.4 Σχετική θέση δύο ευθειώ του επιπέδου... 284 6.5 Γωία δύο ευθειώ του επιπέδου... 286 6.6 Δέσμη ευθειώ του επιπέδου... 287 6.7 Ριζικός άξοας δύο κύκλω... 288 6.8 Τα Θεωρήματα Μεελάου και Ceva... 290 6.9 Εφαπτομέη κωικής τομής... 292 Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Παράρτημα... 295 Β ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Παράρτημα 1 ο Σχέδιο: Η έοια της απόλυτης τιμής... 319 2 ο Σχέδιο: Πρόσημο τριωύμου... 321 3 ο Σχέδιο: Τριγωική αισότητα... 324 4 ο Σχέδιο: Άρρητες εξισώσεις και αισώσεις... 327 5 ο Σχέδιο: Η έοια του λογαρίθμου... 330 6 ο Σχέδιο: Σύθεση συαρτήσεω... 332 7 ο Σχέδιο: Ατίστροφη συάρτηση... 335 8 ο Σχέδιο: Θεώρημα εδιάμεσω τιμώ... 338 9 ο Σχέδιο: Κυρτότητα και σημεία καμπής συάρτησης... 340 x 10 ο Σχέδιο: Η συάρτηση F(x) = Ú f(t)dt... 343 α Ευρετήριο όρω... 347