Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Transcript

1 Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

2 Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί χρήσιμο στη διάρκει τω σπουδώ σου στο Λύκειο, λλά κι στη προετοιμσί σου γι τις πελλδικές εξετάσεις. Περιέχει εκείες τις θεωρητικές γώσεις (ορισμούς εοιώ, τύπους κι ιδιότητες), που έχεις διδχθεί σε προηγούμεες τάξεις κι θ πρέπει γωρίζεις γι τη συέχει τω σπουδώ σου. Περιέχει, κόμη, τη βσική μεθοδολογί γι τη επίλυση σκήσεω κι προβλημάτω, με τιπροσωπευτικά πρδείγμτ. Η πολύχροη εμπειρί μου, ως δάσκλος τω Μθημτικώ κι συγγρφές, με κάει ελπίζω πως το εγχειρίδιο υτό θ συμβάλλει, έστω κι ελάχιστ, στη επιτυχημέη εσχόλησή σου με τ Μθημτικά. Ιούιος 2008 Θάσης Ξέος

3 Περιεχόμε 1 ο Kεφάλιο ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.1 Σύολ ριθμώ Οι πράξεις στο o κι οι ιδιότητές τους Δυάμεις πργμτικώ ριθμώ Αλογίες Τυτότητες Αισότητες πργμτικώ ριθμώ Πργοτοποίηση πολυωύμω Πράξεις κλσμτικώ πρστάσεω Διίρεση πολυωύμω Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Απόλυτη τιμή πργμτικώ ριθμώ Εξισώσεις Αισώσεις Συστήμτ εξισώσεω Αριθμητική κι γεωμετρική πρόοδος Εκθετική συάρτηση Λογάριθμοι Μθημτική επγωγή Πολυώυμ... 38

4 8 Τυπολόγιο Μθημτικώ 2 ο Kεφάλιο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 2.1 Τριγωομετρικοί ριθμοί οποισδήποτε γωίς Τριγωομετρικές τυτότητες Αγωγή στο πρώτο τετρτημόριο Τριγωομετρικές συρτήσεις Τριγωομετρικές εξισώσεις Τριγωομετρικοί ριθμοί θροίσμτος γωιώ Τριγωομετρικοί ριθμοί διπλάσις γωίς Μετσχημτισμοί τριγωομετρικώ πρστάσεω Η συάρτηση f() = ημ + β συ Νόμοι ημιτόω κι συημιτόω ο Kεφάλιο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 3.1 Πολύγω Κριτήρι ισότητς τριγώω Αισοτικές σχέσεις Κέτρ τριγώου Πρλληλόγρμμ Τρπέζι Κύκλος Εγγράψιμ τετράπλευρ Θεώρημ του Θλή Ομοιότητ πολυγώω Μετρικές σχέσεις σε ορθογώιο τρίγωο... 65

5 Περιεχόμε Μετρικές σχέσεις σε τυχίο τρίγωο Μετρικές σχέσεις σε κύκλο Εμβδό γωστώ σχημάτω Κοικά πολύγω Μέτρηση κύκλου Βσικές γώσεις Στερεομετρίς Μέτρηση στερεώ ο Kεφάλιο ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 4.1 Πράξεις διυσμάτω Συτετγμέες στο επίπεδο Εξίσωση ευθείς Ο κύκλος Η πρβολή Η έλλειψη Η υπερβολή ο Kεφάλιο ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 5.1 Η ευκλείδει διίρεση στο σύολο τω κερίω Διιρετότητ κέριω ριθμώ Πρώτοι κι σύθετοι ριθμοί Μ.Κ.Δ. κι Ε.Κ.Π

6 10 Τυπολόγιο Μθημτικώ 6 ο Kεφάλιο ΑΝΑΛΥΣΗ 6.1 Βσικές έοιες στις συρτήσεις Γρφική πράστση συάρτησης Μοοτοί κι κρόττ συάρτησης Ατίστροφη συάρτηση Πεπερσμέο όριο συάρτησης σε σημείο Άπειρο όριο συάρτησης σε σημείο Όριο συάρτησης στο άπειρο Ιδιότητες συεχώ συρτήσεω Πργωγίσιμες συρτήσεις Εφπτομέη κμπύλης Πράγωγος βσικώ συρτήσεω Κόες πργώγισης Η πράγωγος ως ρυθμός μετβολής Τ θεωρήμτ Rolle κι μέσης τιμής Στθερή συάρτηση κι ισότητ πργώγω Μοοτοί κι τοπικά κρόττ συάρτησης Κυρτότητ κι σημεί κμπής Απροσδιόριστες μορφές Ασύμπτωτες γρφικής πράστσης Χάρξη γρφικής πράστσης Αόριστο ολοκλήρωμ Το ορισμέο ολοκλήρωμ Η συάρτηση F() = Ú f(t)dt Εμβδό χωρίου

7 Περιεχόμε 11 7 ο Kεφάλιο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7.1 Οι μιγδικοί ριθμοί κι οι πράξεις τους Μέτρο μιγδικού ριθμού Τριγωομετρική μορφή μιγδικού ριθμού Πολυωυμικές εξισώσεις στο ` ο Kεφάλιο ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 8.1 Βσικές έοιες Γρφικές πρστάσεις Ομδοποίηση πρτηρήσεω Κμπύλη συχοτήτω Μέτρ θέσης κι δισποράς ο Kεφάλιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9.1 Δειγμτικός χώρος Εδεχόμε Πράξεις εδεχομέω Ασυμβίβστ εδεχόμε Η έοι της πιθότητς Κόες ορισμού τω πιθοτήτω...149

8 1 o Αλγεβρικός Λογισμός 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αλγεβρικός Λογισμός 1.1 Σύολ ριθμώ Σύολο φυσικώ ριθμώ k = {0, 1, 2, 3, }. Σύολο κέριω ριθμώ w = {0, ±1, ±2, ±3, }. Ρητοί ριθμοί οομάζοτι οι ριθμοί που γράφοτι ως κλάσμτ κερίω κι το σύολό τους συμβολίζετι με n. Οι ρητοί ριθμοί είι πλοί δεκδικοί ή περιοδικοί δεκδικοί ή κέριοι. n= Ï, β, β 0 β / Œ π Ì w Ó (γράφοτς Œw, εοούμε ότι ο ριθμός ήκει στο σύολο w τω κερίω). Οι ριθμοί που δε γράφοτι ως κλάσμτ κερίω, οπότε είι μη περιοδικοί δεκδικοί, οομάζοτι άρρητοι. Οι ρητοί κι οι άρρητοι μζί δίου τους πργμτικούς ριθμούς, που το σύολό τους συμβολίζετι με o. Επομέως, το σύολο τω άρρητω ριθμώ μπορούμε το γράψουμε o- n. Π.χ. άρρητοι είι οι ριθμοί 2, 2+ 5 κι π. Ο ριθμός π 3,14159 είι ο λόγος του μήκους εός κύκλου προς τη διάμετρό του. Προφώς, ισχύει

9 14 Κεφάλιο 1 kãwãnão όπου το σύμβολο Ã σημίει γήσιο υποσύολο. Α πό έ σύολο Α εξιρέσουμε το ριθμό 0, τότε συμβολίζετι με Α*. Έτσι, π.χ. με k * συμβολίζουμε το σύολο τω θετικώ κερίω. 1.2 Οι πράξεις στο R κι οι ιδιότητές τους Η πρόσθεση κι ο πολλπλσισμός πργμτικώ ριθμώ είι - τιμετθετικές κι προσετιριστικές πράξεις + β= β+, ( + β) + γ = + (β + γ) β = β, ( β) γ = (β γ) Ο πολλπλσισμός είι επιμεριστική πράξη ως προς τη πρόσθεση κι τη φίρεση (β + γ) = β + γ, (β - γ) = β -γ Δύο ριθμοί με άθροισμ 0 λέγοτι τίθετοι, εώ δύο ριθμοί με γιόμεο 1 λέγοτι τίστροφοι +- ( ) = 0, 1 = 1 ( π 0) Η διγρφή ισχύει πάτ στη πρόσθεση, εώ στο πολλπλσισμό διγράφετι μη μηδεικός πράγοτς 1) + β= + γ β= γ 2) Α π 0, τότε: β = γ β= γ Ισχύου οι ισοδυμίες: 1) β = 0 = 0 ή β = 0 2) β π 0 π0 κι βπ 0 3) β = 0 = 0 κι β= 0

10 Αλγεβρικός Λογισμός Δυάμεις πργμτικώ ριθμώ Έστω πργμτικός ριθμός. Α Œk *, τότε Α = 0 κι π 0, τότε Α π 0, τότε = ( το πλήθος τω πργότω). 1 Α μ, Œk * κι 0, τότε εώ γι > 0 ισχύει 3 0 = 1. - =, όπου θετικός κέριος. μ - μ 1 =. μ μ =, Π.χ. ( = 81 = 81) = 3 = 27 ή ( ) 81 = 3 = 3 = 27. Έστω > 0 κι άρρητος. Α P είι η δεκδική προσέγγιση του με δεκδικά ψηφί, κθώς το υξάει περιόριστ ( Æ+ ), ο P ριθμός προσεγγίζει ολοέ κι περισσότερο έ συγκεκριμέο θετικό ριθμό, που το συμβολίζουμε με. Α > 0, τότε ορίζουμε 0 = 0. Γι κάθε Œo ισχύει 1 = 1 κι > 0. Α, β > 0 κι, Œo, τότε 1) = + 2) 3) ( ) = 4) (β) = - = β 5) ʈ Á Ëβ = β Α > 0 κι π 1, τότε: = =. Α > 1, τότε: Α 0< < 1, τότε: > >. > <.

11 16 Κεφάλιο 1 Α, β > 0 κι, Œo *, τότε: = β = β β=. Α, βœo κι θετικός κέριος, τότε: 1) γι περιττό ισχύει: 2) γι άρτιο ισχύει: = β = β = β = β ή =- β. 1.4 Αλογίες γ Κάθε ισότητ λόγω, όπως η =, οομάζετι λογί κι ισχύει: β δ γ = δ = βγ («χιστή» ιδιότητ). β δ Σε μι λογί μπορεί γίει ελλγή τω άκρω ή τω μέσω όρω. γ δ γ γ β 1) = = 2) = = β δ β β δ γ δ Α γ μ = = = = λ, τότε κι β δ + γ+ + μ = λ. β+ δ+ 1.5 Τυτότητες ( + β) = + 2β + β κι ( - β) = - 2β + β β = (+ β)(- β) β = (+ β) - 2β ( + β + γ) = + β + γ + 2β + 2γ + 2βγ