. αρακτηριστικές Παράετροι Κατανοών - Αναενόενη ή έση τιή ιας διακριτής τυχαίας εταβητής. Στο προηγούενο κεφάαιο είδαε ότι σε κάθε τ.. αντιστοιχεί ία κατανοή. Αν και η συνάρτηση κατανοής F ή ισοδύναα η σ.π./σ.π.π. για διακριτή/συνεχή περιγράφει επακριβώς την κατανοή αυτή δυστυχώς δεν δίνει άεσα κάποια πηροφορία σχετικά ε τις τιές που πορεί να πάρει η τ... Για παράδειγα θα ήταν αρκετά χρήσιο να γνωρίζουε «γύρω» από ποια τιή «κυαίνεται» η τ... Με άα όγια ενδιαφερόαστε για την τιή «γύρω» από την οποία είναι κατανεηένη η συνοική πιθανότητα της τ... Ας ονοάσουε την τιή αυτή «έση τιή» της τ... Ενδεχοένως θα πορούσε κανείς να προτείνει διάφορους ορισούς ιας τέτοιας «έσης τιής». Όπως θα φανεί και σε όσα ακοουθούν ένας ιδανικός τέτοιος ορισός είναι αυτός που θέτει ως «έση τιή» ιας κατανοής το «κέντρο βάρους» της κατανοής αυτής. Το «κέντρο βάρους» αυτό υποογίζεται θεωρώντας ότι η συνοική πιθανότητα είναι άζα που έχει κατανεηθεί είτε σε διάφορα σηεία του R αν πρόκειται για διακριτή τ.. είτε έχει απωθεί σε ένα διάστηα του R αν πρόκειται για συνεχή τ... Για παράδειγα αν ία τ.. παίρνει τιές και ε πιθανότητες / και / και / αντίστοιχα τότε η σ.π. της σχηατικά θα είναι / / / Θεωρώντας τώρα ότι στα σηείο υπάρχει άζα πιθανότητας εγέθους / / και / αντίστοιχα τότε το κέντρο βάρους θα είναι το 5. Συνεπώς θα θεωρούε ότι η έση τιή αυτής της τ.. θα είναι το 5/: / / / 5/ Ας δούε όως αρχικά για την διακριτή και στη συνέχεια για την συνεχή περίπτωση ποιος θα είναι ο αυστηρός ορισός της έσης τιής ιας τ.. Ορισός.. Μέση τιή διακριτής τ... Έστω ία διακριτή τ.. ε τιές στο σύνοο {α α...} και συνάρτηση πιθανότητας. Η ποσότητα a a a a υπό τον όρο ότι η παραπάνω σειρά συγκίνει απόυτα δη. αναενόενη τιή ή πηθυσιακός έσος της τ... Ω a a < θα καείται έση ή Σύφωνα οιπόν και ε όσα αναφέρθηκαν παραπάνω η έση τιή ιας τ.. είναι στην ουσία το «κέντρο βάρους» της συνοικής άζας πιθανότητας που έχει κατανεηθεί στον R από τον Ω έσω της τ... Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 5
Προφανώς αν {...} τότε. Αξίζει σε αυτό το σηείο να αναφέρουε ένα σηαντικό αποτέεσα το οποίο θα διατυπωθεί αυστηρότερα και θα αποδειχθεί σε επόενο κεφάαιο. Το αποτέεσα αυτό δικαιοογεί και τον παραπάνω ορισό της έσης τιής ιας τ.. Παρατήρηση.. Νόος των εγάων αριθών. Έστω ότι εκτεούε ακριβώς το ίδιο τυχαίο πείραα φορές θεωρώντας ότι αυτά τα όοια πειράατα είναι εταξύ τους ανεξάρτητα και είναι η τ.. που εκφράζει το αποτέεσα του -πειράατος. π.χ. ρίχνουε ένα ζάρι φορές και θεωρούε την τ.. ή οποία εκφράζει το αποτέεσα της -ρίψης... Επειδή τα πειράατα είναι όοια οι τ.. θα έχουν την ίδια κατανοή F και την ίδια έση τιή Ε. Θεωρούε την νέα τ.. η οποία καείται και δειγατικός έσος στο παράδειγα ε το ζάρι είναι προφανώς ο έσος όρος των ενδείξεων στις ρίψεις. Σύφωνα ε το νόο των εγάων αριθών αποδεικνύεται ότι όσο το εγαώνει ο δειγατικός έσος συγκίνει στην έση τιή Ε. Ο νόος αυτός φυσικά ισχύει και για συνεχείς τ.. θα ορίσουε σε επόενη παράγραφο τη έση τιή ιας συνεχούς τ... Για παράδειγα έστω η τ.. που εκφράζει το ύψος ενός τυχαία επιεγένου ατόου από έναν πηθυσό έστω ότι η έχει σ.κ. F και έση τιή Ε. Αν ετρήσουε το ύψος ενός εγάου αριθού τυχαία επιεγένων ατόων και υποογίζουε τον αντίστοιχο έσο όρο τότε περιένουε αυτός να είναι περίπου ίσος ε την έση τιή Ε της κατανοής F. Αν το δηαδή «καταγράψουε» όο τον πηθυσό τότε ο έσος όρος θα είναι ίσος ε την Ε ε πιθανότητα και για το όγο αυτό ο έσος Ε καείται πηθυσιακός έσος. Ο είναι ο έσος όρος του δείγατος των ατόων και για αυτό καείται δειγατικός έσος. Συνήθως στη στατιστική ας ενδιαφέρει να «εκτιήσουε» τον πηθυσιακό από το δειγατικό έσο οι έθοδοι «εκτιήσεων» αποτεούν σηαντικό έρος του αθήατος Στατιστική ΙΙΙ. Παράδειγα... συνέχεια Άσκησης.9: Ένας παίκτης ρουέτας χρησιοποιεί το ακόουθο σύστηα. Ποντάρει στο κόκκινο χι και αν κερδίσει αποχωρεί. Αν χάσει ποντάρει ξανά στο κόκκινο αυτή τη φορά χι και ανεξάρτητα ε το αποτέεσα αποχωρεί. Θεωρώντας ότι η πιθανότητα να έρθει κόκκινο είναι ½ να βρείτε την πιθανότητα να αποχωρήσει ο παίκτης κερδισένος. Γιατί δεν χρησιοποιεί το σύστηα αυτό ο καθένας για να κερδίζει;. Ο δειγατικός χώρος του συγκεκριένου πειράατος πορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο Ω{ΚΚΚΜΜΚΜΜ} όπου π.χ. ΚΜ είναι το ενδεχόενο να έρθει Κόκκινο την πρώτη φορά και Μαύρο τη δεύτερη. Τα στοιχειώδη ενδεχόενα του δειγατικού χώρου είναι ισοπίθανα ε πιθ. /. Για παράδειγα {KK}Κόκκινο την πρώτη φορά και Κόκκινο τη δεύτερη φορά Κόκκινο την πρώτη φοράκόκκινο τη δεύτερη φορά. επειδή τα δύο ενδεχόενα αφορούν στοχαστικά ανεξάρτητα πειράατα πρώτο και δεύτερο «γύρισα» της ρουέτας. Το ίδιο θα ισχύει και για τα στοιχειώδη ενδεχόενα. Έστω τώρα Υ η τυ- Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 5
χαία εταβητή που είναι ίση ε αν αποχωρήσει ο παίκτης κερδισένος και διαφορετικά Έ- στω επίσης η τυχαία εταβητή που εκφράζει το κέρδος του παίκτη. Θα έχουε ότι στοιχ. ενδεχ. Υ KK πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ κέρδισε και αποχώρησε KM πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ κέρδισε και αποχώρησε MK πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ έχασε και ξαναπόνταρε στο Κ και κέρδισε MM πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ έχασε και ξαναπόνταρε στο Κ και ξαναέχασε. Εποένως Y { ω : Y ω } { K K K M M K} και ο παίκτης κερδίζει ε πιθανότητα / 75%. Αναφορικά ε το τεευταίο ερώτηα της άσκησης.9 παρατηρούε ότι ο παίκτης κερδίζει ε πιθανότητα 75% ενώ χάνει ε 5%. Όταν όως κερδίζει κερδίζει χι ενώ όταν χάνει χάνει χι. Μακροπρόθεσα οιπόν ο παίκτης αναένεται να κερδίσει στο 75% των περιπτώσεων διότι από το νόο των εγάων αριθών για το ποσοστό Y των περιπτώσεων που ο παίκτης κέρδισε π.χ. σε δοκιές θα ισχύει ότι Y Y a a a Y Y Y.75 Από την άη όως το ποσό που παίρνει κάθε φορά που κερδίζει είναι το / από το ποσό που πηρώνει κάθε φορά που χάνει. Για να δούε αν ακροπρόθεσα ο παίκτης χάνει ή κερδίζει πρέπει να βρούε το αναενόενο κέρδος Ε. Επειδή {} θα ισχύει ότι a a a Εποένως σε κάθε παιχνίδι το αναενόενο κέρδος του παίκτη είναι ηδενικό. Από το νόο των εγάων αριθών αναένεται ότι ετά από έναν εγάο αριθό από παιχνίδια θεωρητικά άπειρο το έσο κέρδος του παίκτη θα είναι περίπου ίσο ε. Άσκηση.. συνέχεια άσκ... Να βρεθούν οι έσες τιές των τ.. Υ Ζ ε αντίστοιχες σ.π. 5 α. β.... v γ.... 5 v v Λύση. α Θα έχουε ότι a a 5 5 5 5 5 5 5 5 5 β Όοια v v v Y a a v v v v γ Θα είναι 5 6 6. Z a a. Είναι γνωστό ότι για < α < v v v v v v 6 Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 55
a a και παραγωγίζοντας και τα δυο έη ως προς α παίρνουε ότι και άρα τεικά a a Z. Άσκηση.. Η κατανοή των κερδών σε ία σειρά αχείων «Ξυστό» είναι σύφωνα ε τα αναγραφόενα στην πίσω πευρά του αχείου: Κατηγορία κέρδους δρχ Κερδίζοντα αχεία.5...6 5..6....67.... 6.. Σύνοο.756.7 Λαχεία έκδοσης:.6. δρχ. η τιή του κάθε δετίου Αν είναι το κέρδος από την αγορά ενός τυχαία επιεγένου αχείου να βρεθεί η κατανοή της και το έσο κέρδος Ε. Λύση. Συνυποογίζοντας τις δρχ που κοστίζει κάθε αχείο θα ισχύει ότι.756.7.5. 7.6..6..6. 7 9.7 9.7.6..6..6.6..67.6. 6 999.7.999.7 9.999.7.6..6. και άρα.756.7.5..6 7.6..6..6..6 7.6..6. 9.7. 9.7.67 999.7.999.7 6 9.999.7.6..6..6..6..6. 65. Έτσι αν ένας παίκτης αγοράζει «Ξυστό» από σειρές ε την παραπάνω κατανοή κερδών τότε ακροπρόθεσα αναένεται να έχει έση ζηιά περίπου 65 δρχ. ανά αχείο. Βέβαια αυτό δεν ισχύει ε βεβαιότητα άα ε εγάη πιθανότητα. Για το όγο αυτό ο παίκτης συνεχίζει να παίζει επίζοντας ότι θα αποτεέσει την εξαίρεση και θα έχει κέρδος από το παραπάνω παιχνίδι. Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 56
Σε αρκετές περιπτώσεις ενώ είναι γνωστή η κατανοή ιας τ.. ζητείται ο υποογισός της έσης τιής ιας τ.. Y g που είναι συνάρτηση του. Σε αυτές τις περιπτώσεις πορούε έσω της εθόδου που αναπτύχθηκε στο τέος του προηγούενου κεφααίου να βρούε την κατανοή της νέας τ.. Y και στη συνέχεια να υποογίσουε έσω του γνωστού τύπου την ΕΥ. Στις περισσότερες περιπτώσεις όως είναι προτιότερο να χρησιοποιήσουε έ- ναν εναακτικό τρόπο υποογισού της ΕΥ που δεν προϋποθέτει τον ενδιάεσο υποογισό της κατανοής της τ.. Y. Συγκεκριένα ισχύει η επόενη πρόταση. Πρόταση.. Έστω ία διακριτή τ.. ε τιές στο σύνοο {α α...} και συνάρτηση πιθανότητας. Αν Υ g τότε Y g g a a. Απόδειξη. Έστω Β το σύνοο τιών της τ.. Υ. Από τον ορισό της έσης τιής της τ.. Υ θα είναι Y y Y y y g y y a y a y B y B : g a y y B g a a g a y B : g a y a. y B : g a y Άσκηση.. α Να βρεθεί η έση τιή των κατανοών που περιγράφονται από τους επόενους πίνακες συναρτήσεις πιθανότητας 6.5....... στις προηγούενες περι- β Ποιά είναι η έση τιή των τυχαίων εταβητών πτώσεις; Λύση. α Η έση τιή της τ.. θα είναι 5..6. β Α τρόπος: Εάν χρησιοποιήσουε ως ενδιάεσο βήα τον υποογισό της σ.κ. της τ.. Υ θα έχουε ότι Υ {9} Y.5 Y. Y. Y 9 9. και άρα Y Y Y Y 9 Y 9...9. Β Τρόπος. Θα αξιοποιήσουε την Πρόταση. g Y...9. Παρατηρούε ότι στην ουσία οι δύο τρόποι είναι ισοδύναοι. Για τη έση τιή της τ.. Z 5 θα έχουε ε τον Α τρόπο ότι Ζ {} Z 5.5 Z 5. Z 5. Z 9 5. Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 57
και άρα Z Z Y Y Y.5..9. Β Τρόπος. Θα αξιοποιήσουε την Πρόταση. g 5 Τέος η έση τιή της τ.. Z 5 5 W... W θα είναι από την Πρόταση.:.......697 Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο εργαζόαστε και για την κατανοή που περιγράφεται από τον πίνακα. Η έση τιή ιας τ.. έχει τις ακόουθες ιδιότητες: Πρόταση.. Αν είναι ία διακριτή τ.. αb R και g g δύο πραγατικές συναρτήσεις τότε a a a b a b g g g g. Απόδειξη. Αν a δηαδή a τότε a a Ω a a. Από την Πρόταση.. θα ισχύει ότι a b a b a b a b. Θα ισχύει ότι g g Ω g g Ω g g Ω. Ω Ω g Ω g Άσκηση.. Έστω ότι σε ία κηρωτίδα παίνουν τα ονόατα παικτών ο καθένας από τους οποίους δίνει ένα χρηατικό ποσό α για να συετάσχει στο παιχνίδι. Ο παίκτης του οποίου το όνοα θα κηρωθεί κερδίζει όο το ποσό που έχει συγκεντρωθεί. Ποιο θα είναι το αναενόενο κέρδος ενός παίκτη; Αν αυτός που διενεργεί την κήρωση κρατάει ένα ποσοστό p γκανιότα από τα χρήατα που αζεύονται ποιο θα είναι τότε το αναενόενο κέρδος ενός παίκτη; Λύση. Έστω Ω{α α...α } τα ονόατα των παικτών. Θα ισχύει προφανώς ότι {ω}/ για κάθε ω Ω. Έστω ή ανάογα ε το αν κερδίσει ή όχι ένας συγκεκριένος π.χ. ο ος παίκτης. Θα είναι { a} και Το καθαρό κέρδος π.χ. του ου παίκτη θα είναι Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 5
a αν Y a a a αν Εποένως Y a a a a a a Το αναενόενο οιπόν κέρδος κάθε παίκτη θα είναι. Μακροπρόθεσα οιπόν το έσο κέρδος κάθε παίκτη θα είναι από το νόο των εγάων αριθών. Αυτό ήταν αναενόενο διότι κάθε παίκτης θα έχει το ίδιο έσο κέρδος και αν π.χ. αυτό ήταν θετικό τότε ακροπρόθεσα θα κέρδιζαν όοι οι παίκτες κάτι που δεν είναι φυσιοογικό διότι τα χρήατα που εξέρχονται από το παιχνίδι ως καθαρά κέρδη θα πρέπει να είναι ίσα ε αυτά που εισέρχονται αφού όοι θα κέρδιζαν. Στη δεύτερη τώρα περίπτωση το κέρδος π.χ. και πάι του ου παίκτη θα είναι a p a αν Y a p a a αν Εποένως Y a p a a p a a p a ap Το αναενόενο οιπόν κέρδος κάθε παίκτη θα είναι αp < άρα πρόκειται για ζηιά. Μακροπρόθεσα οιπόν το έσο κέρδος κάθε παίκτη θα είναι αp <. Και αυτό το αποτέεσα ήταν αναενόενο διότι στο παιχνίδι υπάρχει κάποιος αυτός που διενεργεί την κήρωση που κερδίζει ε βεβαιότητα. Εποένως οι υπόοιποι παίκτες θα πρέπει ακροπρόθεσα να χάνουν αφού θα πρέπει να έχουν το ίδιο έσο κέρδος. Διακύανση ή διασπορά διακριτής τ.. Έστω a a... τα σηεία της ευθείας των πραγατικών πάνω στα οποία παίρνει τιές η τ.. {a a...}. Αν θεωρήσουε άζες εγέθους a a... πάνω στα σηεία a a... αντίστοιχα τότε σύφωνα και ε όσα έχουν γραφεί παραπάνω η έση τιή Ε πορεί να θεωρηθεί ως το κέντρο βάρους της συνοικής άζας πιθανότητας που έχει κατανεηθεί στα σηεία a a.... Μπορούε οιπόν να θεωρήσουε ότι η συνοική πιθανότητα άζα κατά κάποιο τρόπο κατανέεται «γύρω» από τη έση τιή της κατανοής. Υπάρχουν όως κατανοές που ενώ έχουν ίσες έσες τιές είναι εταξύ τους αρκετά διαφορετικές. Υπάρχουν π.χ. κατανοές που βρίσκονται «γύρω» και «κοντά» από τη έση τιή ενώ υπάρχουν κατανοές που βρίσκονται «γύρω» αά «ακριά» από τη έση τιή. Π.χ. βέπουε στο παρακάτω σχήα διάφορες διακριτές κατανοές ε ίδια έση τιή. / / - 5 / / / - 5 / / / / / - 5 Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 59
Παρατηρούε ότι στην πρώτη περίπτωση η συνοική άζα πιθανότητα βρίσκεται κοντά στη έση τιή. Στη δεύτερη περίπτωση η άζα απώνεται σε εγαύτερη απόσταση γύρω από το ενώ στην τρίτη περίπτωση η άζα απώνεται ακόη περισσότερο. Θα ήταν οιπόν αρκετά χρήσιο αν πορούσαε να ποσοτικοποιήσουε τη «διασπορά» αυτή των τιών της τ.. γύρω από τη έση της τιή ορίζοντας κάποια νέα παράετρο της κατανοής F. Μία αρκετά βοική τέτοια παράετρος αντιστοιχεί στην «ροπή αδράνειας» γύρω από το κέντρο βάρους της κατανοής της τ... Ειδικότερα έχουε τον ακόουθο ορισό. Ορισός.. Έστω ία διακριτή τ.. Η ποσότητα [ ] καείται διασπορά ή διακύανση της τ.. ή της κατανοής της. Σηειώνουε ότι η έση τιή και η διασπορά ιας τ.. συβοίζονται συνήθως και ε σ. Επίσης είναι σηαντικό να παρατηρήσουε ότι η διασπορά ορίζεται όταν Ε <. Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς σ καείται τυπική απόκιση της τ.. ή της κατανοής της. Αν η τ.. παίρνει τιές στο {α α...} τότε από την Πρόταση.. προκύπτει ότι a Αν η τ.. παίρνει τιές στο {...} τότε προφανώς a Ω.. Άσκηση.5. Να υποογιστεί η έση τιή και η διασπορά των κατανοών που εφανίζονται στο παραπάνω γράφηα. Λύση. α Η συνάρτηση πιθανότητας στην πρώτη περίπτωση είναι και εποένως Ω Ω β Η συνάρτηση πιθανότητας στη δεύτερη περίπτωση είναι και εποένως Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6
Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6 Ω Ω γ Η συνάρτηση πιθανότητας στην τρίτη περίπτωση είναι 5 και εποένως 5 5 Ω 5 Ω 5.5 9 9. Μερικές φορές ο τύπος του ορισού της διασποράς δεν είναι αρκετά εύχρηστος και για αυτό είναι προτιότερος ο υποογισός της διασποράς έσω του τύπου που δίνεται στην επόενη πρόταση. Πρόταση.. Η διασπορά ιας τ.. είναι ίση ε. Απόδειξη. Από τον ορισό της διασποράς και την Πρόταση.. θα έχουε ότι Ε Ε Ε όπου φυσικά Ε. Παρατηρούε ότι έσω της παραπάνω πρότασης αρκεί να υποογίσουε τη έση τιή Ε και την Ε η οποία καείται και η-κεντρική ροπή δεύτερης τάξης της κατανοής της τ... H αντίστοιχα καείται κεντρική ροπή δευτέρας τάξης διότι όπως αναφέραε και παραπάνω αντιστοιχεί στην ροπή αδρανείας γύρω από το έσο. Γενικότερα η Ε k καείται η-κεντρική ροπή k-τάξης ή k-οστή ροπή της κατανοής της τ... Άσκηση.6. α Να βρεθεί η διασπορά των κατανοών που περιγράφονται από τους επόενους πίνακες συναρτήσεις πιθανότητας 6.5.......
στις προηγούενες περι- β Ποιά είναι η διασπορά των τυχαίων εταβητών πτώσεις; Λύση. Από την Άσκηση. βρήκαε ότι 5. 5. 697 α Από την Πρόταση.. γνωρίζουε ότι η διασπορά της τ.. θα είναι και χρησιοποιώντας τα αποτεέσατα της άσκησης.. προκύπτει άεσα ότι β Για τη διασπορά της τ.. Υ θα είναι Από την Πρόταση.. θα είναι.. Y Y Y και άρα.5.....6 - Για τη διασπορά της τ.. Ζ 5 θα είναι Από την Πρόταση.. θα είναι Z Z Z 5 5 5 και άρα 5 5 5 5 5.5... 9 9 - Για τη διασπορά της τ.. W θα είναι W W W και χρησιοποιώντας τα αποτεέσατα της άσκησης.. προκύπτει άεσα ότι.697.5 Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο εργαζόαστε και για την κατανοή που περιγράφεται από τον πίνακα. Η επόενη πρόταση περιγράφει τις ιδιότητες της διακύανσης ιας τ.. Πρόταση.. Αν είναι ία διακριτή τ.. αb R τότε a a b a. Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6
Απόδειξη. Αν a δηαδή a τότε a a a a a. Από την Πρόταση. και την Πρόταση. θα ισχύει ότι a b ab a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b ab a b a a. Από την παραπάνω πρόταση προκύπτει ότι b. Αυτό ήταν αναενόενο διαισθητικά διότι αν ετακινήσουε την συνοική πιθανότητα της κατά b δη. πάρουε την κατανοή της b η διασπορά της θα παραείνει η ίδια ε την αρχική της. Παράδειγα. Στην Άσκηση.6. ζητήθηκε ο υποογισός της διασποράς 5 όπου η τ.. έχει σ.π. που δίνεται από τον πίνακα.5... Παρατηρούε ότι ο συγκεκριένος υποογισός πορεί να γίνει ευκοότερα αν χρησιοποιήσουε την Πρόταση.. Ειδικότερα θα έχουε ότι 5 5 και επειδή από την Άσκ..6.. προκύπτει άεσα ότι 5 5.. Το αποτέεσα αυτό όπως ήταν αναενόενο συπίπτει ε αυτό που βρήκαε χωρίς τη χρήση της Πρότασης. στην Άσκηση.6.. Μέση τιή και διασπορά συνεχών τυχαίων εταβητών κατανοών Στις προηγούενες παραγράφους που αφορούσαν διακριτές τ.. ή ισοδύναα διακριτές κατανοές εισαγάγαε δύο παραέτρους που προσφέρουν σηαντική πηροφορία για τη ορφή ιας διακριτής κατανοής. Ειδικότερα η έση τιή προσδιορίζει το «βαρύκεντρο» της κατανοής η τ.. παίρνει τιές «γύρω» από αυτήν ενώ η διακύανση εκφράζει τη «εταβητότητα» της τ.. γύρω από τη έση τιή. Είναι εύογο να αναζητήσουε ανάογες παραέτρους και για τις συνεχείς κατανοές. Όπως θα δούε αναυτικότερα στη συνέχεια η θεωρία που αντιστοιχεί στις συνεχείς τ.. είναι ανάογη ε τη θεωρία που αφορά διακριτές τ.. Η διαφορά είναι ότι όπου στις διακριτές κατανοές εφανίζεται άθροισα στις συνεχείς κατανοές εφανίζεται οοκήρωα. Ορισός.. Μέση τιή συνεχούς τ... Έστω ία συνεχής τ.. ε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Η ποσότητα υπό τον όρο ότι τ... d < θα καείται έση ή αναενόενη τιή ή πηθυσιακός έσος της Ο παραπάνω ορισός της έσης τιής συπίπτει και πάι ε τον ορισό του κέντρου βάρους ιας άζας πιθανότητας κατανεηένης στον άξονα των πραγατικών ε πυκνότητα στο σηείο ίση ε R. Υπενθυίζεται ότι ο νόος των εγάων αριθών β. παρατήρηση. εξακοουθεί να ισχύει και για συνεχείς τ.. Έτσι αν είναι η συνεχής τ.. που εκφράζει Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6
το αποτέεσα του -πειράατος σε ία ακοουθία όοιων και ανεξάρτητων πειραάτων τότε ο δειγατικός έσος συγκίνει ε πιθανότητα όταν στον πηθυσιακό έσο Ε. Άσκηση.7. Να βρεθούν οι έσες τιές των τ.. Υ Ζ ε αντίστοιχες σ.π.π. α [ ] β [] γ > >. Λύση. α Σύφωνα ε τον ορισό.. θα είναι d d l l l l.65 d..5 /.5 l β Όοια d d d. γ Θα ισχύει ότι d d d ' d ' d d. - / / Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 6
Όπως και στις διακριτές τ.. σε αρκετές περιπτώσεις ζητείται ο υποογισός της έσης τιής ιας τ.. Y g ενώ είναι γνωστή η κατανοή της συνεχούς τ... Σε αυτές τις περιπτώσεις πορούε και πάι έσω της εθόδου που αναπτύχθηκε στο τέος του προηγούενου κεφααίου να βρούε την κατανοή της νέας τ.. Y και στη συνέχεια να υποογίσουε την ΕΥ. Όπως όως ακριβώς είχαε παρατηρήσει και στη διακριτή περίπτωση β. Πρόταση. είναι προτιότερο να χρησιοποιήσουε την επόενη πρόταση η οποία δίνεται χωρίς απόδειξη. Πρόταση.5. Αν Υ g και είναι ία συνεχής τ.. ε σ.π.π. τότε Y g g d. Επίσης η έση τιή συνεχών τ.. έχει τις ίδιες ιδιότητες ε αυτές της έσης τιής διακριτών τ.. Πρόταση.6. Αν είναι ία συνεχής τ.. αb R και g g δύο πραγατικές συναρτήσεις τότε a b a b g g g g. Απόδειξη. Από την Πρόταση.5. θα ισχύει ότι a b a b d a d b d a b. Όοια ε τη διακριτή περίπτωση θα είναι g g g g d g d g d g g. Όπως ακριβώς και στη διακριτή περίπτωση η έση τιή Ε ιας συνεχούς τυχαίας εταβητής πορεί να θεωρηθεί ως το κέντρο βάρους της συνοικής άζας πιθανότητας που έχει κατανεηθεί στο R έσω της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας. Η συνοική οιπόν πιθανότητα άζα κατανέεται «γύρω» από τη έση τιή της συνεχούς κατανοής. Όπως είναι φυσικό και στη συνεχή περίπτωση υπάρχουν κατανοές που ενώ έχουν ίσες έσες τιές είναι εταξύ τους αρκετά διαφορετικές. Π.χ. βέπουε στο παρακάτω σχήα δύο σ.π.π. Y συνεχών κατανοών ε ίδια έση τιή 6. Y 6 Στην περίπτωση της κατανοής ε σ.π.π. η συνοική άζα πιθανότητα βρίσκεται κοντά στη έση τιή 6 ενώ στην περίπτωση της Y η άζα απώνεται σε εγαύτερη απόσταση γύρω από Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 65
το. H ποσοτικοποίηση της «διασποράς» αυτής των τιών ιας τ.. γύρω από τη έση της τιή πραγατοποιείται έσω του επόενου ορισού που είναι ακριβώς ίδιος ε τη διακριτή περίπτωση Ορισός.. Έστω ία συνεχής τ.. Η ποσότητα [ καείται διασπορά ή διακύανση της τ.. ή της κατανοής της. Η διασπορά αντιστοιχεί και πάι στην «ροπή αδράνειας» γύρω από το κέντρο βάρους της κατανοής της τ... Η έση τιή και η διασπορά ιας τ.. συβοίζονται συνήθως και ε σ. Επίσης όπως και στη διακριτή περίπτωση η διασπορά ορίζεται όταν Ε <. Αντίστοιχα ε τη διακριτή περίπτωση η σ καείται τυπική απόκιση της τ.. ή της κατανοής της. Από την Πρόταση.. προκύπτει ότι d ] Ανάογα ε τη διακριτή περίπτωση ισχύει ο παρακάτω τύπος. Πρόταση.7. Ισχύει ότι. Απόδειξη. Είναι ακριβώς ίδια ε αυτή που αφορά διακριτές τ.. Πρόταση.. Σηειώνεται επίσης ότι η Ε k καείται η-κεντρική ροπή k-τάξης ή k-οστή ροπή της κατανοής της τ... Η επόενη πρόταση είναι ίδια ε την.. που αφορούσε διακριτές τ.. Πρόταση.. Αν είναι ία συνεχής τ.. αb R τότε a b a Απόδειξη. Είναι ακριβώς ίδια ε αυτή που αφορά διακριτές τ.. Πρόταση.. Άσκηση.. Να βρεθούν οι διασπορές και οι τυπικές αποκίσεις των τ.. Υ Ζ ε αντίστοιχες σ.π.π. α [ ] β [] γ > > Λύση. α Από την Άσκηση.7. βρέθηκε ότι l. Βασιζόενοι στην Πρόταση.7. για τον υποογισό της αρκεί να υποογίσουε την Ε. Θα είναι και άρα d d d 9 l. σ.59 β Από την Άσκηση.7. βρέθηκε ότι Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 66
Boutskas M.. Σηειώσεις Στατιστικής ΙΙ 67. Αποένει να υποογίσουε την d d d και άρα 9 9 σ γ Και πάι από την Άσκηση.7. βρέθηκε ότι. Επίσης ' d d d d ' d d και τεικά σ. Τυποποιηένες κατανοές Κάθε τ.. η οποία έχει έση τιή και διασπορά καείται τυπική κατανοή. Είναι ενδιαφέρουσα η παρατήρηση ότι κάθε τ.. πορεί να ετασχηατισθεί έτσι ώστε να είναι τυπική. Συγκεκριένα η ετασχηατισένη τ.. σ Y παρατηρούε ότι έχει σ σ σ Y Y και εποένως είναι τυπική. Για το όγο αυτό η τ.. καείται και τυποποιηένη τ..