Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών

Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι καταρχήν ο διανυσµατικός χώρος (συντεταγµένων) διάστασης n N, πάνω από το σώµα των πραγµατικών αριθµών R ο οποίος έχει ως στοιχεία του τα διανύσµατα x = (x 1,..., x n ) µε συντεταγµένες x i R, i = 1,..., n, ως προς την συνήθη ϐάση ē 1 := (1,..., 0),..., ē n := (0,..., 1). Αυτό σηµαίνει ότι ο R n έχει όλες τις γνωστές από την Γραµµική Αλγεβρα ιδιότητες των διανυσµατικών χώρων. Πιο συγκεκριµένα, στον R n ως διανυσµατικό χώρο ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης + : R n R n R n και του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού : R R n R n ως εξής x + ȳ := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) R n x = (x 1,..., x n ), ȳ = (y 1,..., y n ) R n, (1.1) α x := (αx 1,..., αx n ) R n x = (x 1,..., x n ) R n, α R, (1.2) όπου x i + y i R, αx i R, i = 1,..., n, είναι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού στο σώµα των πραγµατικών αριθµών R. Για τις πράξεις (1.1), (1.2) ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων στους διανυσµατικούς χώρους, δηλαδή, εκτός από την κλειστότητά τους, ισχύουν ως προς την πρόσθεση (α ) η προσεταιριστικότητα : x + (ȳ + z) = ( x + ȳ) + z x, ȳ, z R n, (ϐ ) η αντιµεταθετικότητα : x + ȳ = ȳ + x x, ȳ R n, (γ ) η ύπαρξη ουδετέρου : 0 := (0,..., 0) R n x R n : 0 + x = x, (δ ) η ύπαρξη αντιθέτου : x = (x 1,..., x n ) R n x := ( x 1,..., x n ) R n : x + x = 0, 5

1.1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό (α ) η ύπαρξη ουδετέρου : 1 x = x x R n (ϐ ) η συµβατότητα µε τον πολλαπλασιασµό στο R: α(β x) = (αβ) x α, β R, x R n, ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό (α ) η επιµεριστικότητα του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση : α( x + ȳ) = α x + αȳ x, ȳ R n, α R, (ϐ ) η επιµεριστικότητα της πρόσθεσης στο R ως προς τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό : (α + β) x = α x + β x α, β R, x R n. Στον R n ορίζεται το εσωτερικό γινόµενο x ȳ := n x i y i x = (x 1,..., x n ), ȳ = (y 1,..., y n ) R n, (1.3) i=1 µια απεικόνιση (πράξη) από το R n R n στο R, καθιστώντας τον έναν διανυσµατικό χώρο µε εσωτερικό γινόµενο, για το οποίο ισχύουν οι εξής ιδιότητες : η συµµετρία : x ȳ = ȳ x x, ȳ R n η γραµµικότητα (ως προς το πρώτο όρισµα): (α x) ȳ = α( x ȳ) και ( x + ȳ) z = x z + ȳ z α, β R, x, ȳ R n το ϑετικά ορισµένο : x x 0 x R n µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x = 0 R n. Το ότι ισχύουν όλες οι παραπάνω ιδιότητες απορρέει από τους ορισµούς των πράξεων της πρόσθεσης (1.1), του ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού (1.2), και του εσωτε- ϱικού γινοµένου (1.3) στον R n και τις ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού στο σώµα των πραγµατικών αριθµών R. Η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση. Λόγω της ιδιότητας του ϑετικά ορισµένου του εσωτερικού γινοµένου (1.3) µπορεί να ορισθεί η Ευκλείδεια στάθµη ή νόρµα (ή µήκος) ενός διανύσµατος x R n x := x x = n x 2 i 0 x Rn, (1.4) i=1 όπου α η πραγµατική (µη αρνητική) ϱίζα ενός µη αρνητικού πραγµατικού αριθµού α, η οποία για n = 1 ταυτίζεται µε την απόλυτη τιµή x ενός πραγµατικού αριθµού x R 1 = R, και οι οποία, όπως κάθε στάθµη ενός διανυσµατικού χώρου, είναι µια απεικόνιση : R n R µε τις ακόλουθες ιδιότητες : 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΟΜΗ ϑετικότητα : x 0 x R n µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x = 0 R n, α x = α x α R, x R n, τριγωνική ανισότητα : x + ȳ x + ȳ x, ȳ R n Ο εφοδιασµός ενός διανυσµατικού χώρου µε εσωτερικό γινόµενο x ȳ µε την στάθµη x 2 = x x τον καθιστά έναν σταθµητό (διανυσµατικό) χώρο ή (διανυσµατικό) χώρο µε νόρµα, ο οποίος πέραν των πιο πάνω ιδιοτήτων της στάθµης και του εσωτερικού γινοµένου έχει και τις ακόλουθες ιδιότητες : Πρόταση 1.1.1. Για x, ȳ R n ισχύουν : (α ) η ανισότητα Cauchy-Schwarz: x ȳ x ȳ µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν τα x, y είναι γραµµικά εξαρτηµένα (δηλ. (α, β) R 2 \{0} : α x+βȳ = 0). (ϐ ) ο κανόνας του παραλληλογράµµου: 2 x 2 + 2 ȳ 2 = x + ȳ 2 + x ȳ 2 (γ ) η ταυτότητα της πόλωσης: 4 x ȳ = x + ȳ 2 x ȳ 2 Απόδειξη. Αφήνονται ως ασκήσεις. Με την ϐοήθεια της Ευκλείδειας στάθµης µπορεί να ορισθεί η απόσταση (µεταξύ) δύο διανυσµάτων του R n d( x, ȳ) := x ȳ x, ȳ R n. (1.5) Η απόσταση είναι µια µετρική, δηλαδή µια απεικόνιση d : R n R n R µε τις ιδιότητες συµµετρία : d( x, ȳ) = d(ȳ, x) x, ȳ R n ϑετικότητα : d( x, ȳ) 0 x, ȳ R n µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν x = ȳ, τριγωνική ανισότητα : d( x, ȳ) d( x, z) + d( z, ȳ) x, ȳ, z R n Ο R n είναι δηλαδή ένας µετρικός χώρος, µε ότι αυτό συνεπάγεται. Ο εφοδιασµός του διανυσµατικού χώρου (συντεταγµένων) R n µε το εσωτερικό γινόµενο (1.3), την στάθµη (1.4) και την απόσταση (1.5) ορίζει τον R n ως τον n- διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Α 1. Να αποδείξετε ότι µέσω των x 1 := n i=1 x i καί x := max{ x 1,..., x n }, x = (x 1,..., x n ) R n, ορίζονται στάθµες στον R n, οι οποίες είναι ισοδύναµες µε την Ευκλείδεια στάθµη (1.4) x (=: x 2 ), και ειδικότερα x R n ισχύουν x x 1 n x, (1.6) x x 2 n x, (1.7) 1 x 2 x 1 n x 2. n (1.8) 7

1.1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N Να σχεδιάσετε στο επίπεδο τα σύνολα { x R 2 : x = 1}, { x R 2 : x 1 = 1} και { x R 2 : x = 1}. (Γενικά, δύο στάθµες i, i = 1, 2, ενός σταθµητού διανυσµατικού χώρου X ονοµάζονται ισοδύναµες αν c, C > 0 x X : c x 2 x 1 C x 2 και αποδεικνύεται ότι σε έναν σταθµητό διανυσµατικό χώρο πεπερασµένης διάστασης όλες οι στάθµες είναι ισοδύναµες.) Λύση : i = 1,..., n : x i x x 2 i x 2 και άρα x 1 = n i=1 x i n x και x 2 = x 2 2 = n i=1 x2 i n x 2 x = x 2 n x. Απ την άλλη, j {1,..., n} : x j = x και άρα x 1 = n i=1 x i x j = x και x 2 = x 2 2 = n i=1 x2 i x2 j = x 2 x = x 2 x. ΣΧΗΜΑΤΑ Α 2. (α ) Να δειχθεί ότι x + ȳ 2 = x 2 + ȳ 2 ανν (: αν και µόνο αν) x ȳ = 0. Πώς ονοµάζεται αυτή η σχέση στην Γεωµετρία; Λύση : x + ȳ 2 = ( x + ȳ) ( x + ȳ)[= x ( x + ȳ) + ȳ ( x + ȳ) = ( x + ȳ) x + ( x + ȳ) ȳ = x x + ȳ x + x ȳ + ȳ ȳ] = x 2 + ȳ 2 + 2 x ȳ = x 2 + ȳ 2 ανν x ȳ = 0 : x, ȳ R n κάθετα. Η σχέση αυτή είναι το Πυθαγώρειο Θεώρηµα. ΣΧΗΜΑ (ϐ ) Να αποδείξετε και να ερµηνεύσετε γεωµετρικά τον κανόνα του παραλληλογράµ- µου και την ταυτότητα της πόλωσης (ϐλ. Πρόταση 1.1.1, (2) και (3)). (γ ) Πότε ισχύει για µια στάθµη που επάγεται από εσωτερικό γινόµενο; x + ȳ = x + ȳ (1.9) Λύση : Αν κάποιο από τα δύο διανύσµατα x, ȳ είναι το µηδενικό, τότε προφανώς η ισότητα (1.9) ισχύει. Εστω τώρα x, ȳ 0. Τότε (1.9) x+ȳ 2 = ( x + ȳ ) 2 x 2 + ȳ 2 +2 x ȳ = x 2 + ȳ 2 +2 x ȳ x ȳ = x ȳ x ȳ = x ȳ και άρα σύµφωνα µε την ανισότητα Cauchy-Schwarz (ϐλ. Πρόταση 1.1.1, (1)) τα x, ȳ ϑα είναι γραµµικά εξαρτηµένα, δηλ. (α, β) R 2 \ {0} : α x + βȳ = 0, και αφού x, ȳ 0 έχουµε αβ 0 και ȳ = λ x µε λ = α β 0. Τότε (1.9) λ x 2 = x ȳ λ = ȳ x > 0, δήλ. τα x, ȳ ϑα πρέπει να είναι οµόρροπα. (δ ) Να δειχθεί ότι x ȳ x + ȳ x, ȳ R n. Πότε ισχύει η ισότητα; Λύση : x ȳ = x + ( ȳ) x + ( ȳ) = x + ȳ και σύµφωνα µε την Άσκηση 2, (γ ), η ισότητα ισχύει όταν τα x, ȳ είναι οµόρροπα, δηλ. όταν τα x, ȳ είναι αντίρροπα. (ε ) Να δειχθεί ότι x ȳ x ȳ. Λύση : x = x ȳ + ȳ x ȳ + ȳ x ȳ x ȳ και ανάλογα ȳ = ȳ x + x ȳ x + x ȳ x ȳ x = x ȳ. Άρα ±( x ȳ ) x ȳ x ȳ x ȳ. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.2. ΓΕΩΜΕΤΡ. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 1.2 Γεωµετρική αναπαράσταση του R 3 Ο n-διάστατος Ευκλείδειος χώρος R n στις διαστάσεις n = 1, 2, 3 µπορεί να αναπαρασταθεί ή να ταυτιστεί γεωµετρικά µε την ευθεία, το επίπεδο και τον (τρισδιάστατο) χώρο, αντίστοιχα, µέσω της εισαγωγής Καρτεσιανών συστηµάτων συντεταγµένων (ή αναφοράς). Εισάγωντας π.χ. στον ϕυσικό χώρο R 3 ένα δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων µπορούµε να αντιστοιχίσουµε σε κάθε σηµείο (x 1, x 2, x 3 ) R 3 το διάνυσµα x = (x 1, x 2, x 3 ) του διανυσµατικού χώρου R 3. ΣΧΗΜΑ Ετσι, στα πλαίσια της Αναλυτικής Γεωµετρίας, µπορούµε να αναπαραστήσου- µε πολλά γεωµετρικά αντικείµενα του R 3 αλγεβρικά, και αντίστροφα ϐλέπουµε ότι τα περισσότερα από τα αλγεβρικά αντικείµενα που ορίσαµε πιο πάνω έχουν µια γεωµετρική ερµηνεία, όπως π.χ. η έννοια του µήκους x (1.4) ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 πού δίνει την απόσταση d( x, 0) = x 0 = x του σηµείου (x 1, x 2, x 3 ) από το σηµείο αναφοράς 0 R 3, όπως και γενικότερα η έννοια της απόστασης d( x, ȳ) = x ȳ (1.5) που δίνει την απόσταση (µεταξύ) δύο σηµείων x = (x 1, x 2, x 3 ) και ȳ = (y 1, y 2, y 3 ) του χώρου R 3. Το εσωτερικό γινόµενο x ȳ δίνει για δύο µη µηδενικά διανύσµατα x, ȳ 0 R 3 ( x, ȳ 0 R) το συνηµίτονο της γώνιας ϑ που σχηµατίζουν : cos ϑ = x ȳ x ȳ ΣΧΗΜΑΤΑ Ενας µονοδιάστατος υπόχωρος x := {α x : α R} που παράγεται από ένα µη µηδενικό διάνυσµα x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 σχηµατίζει γεωµετρικά την ευθεία στον χώρο που περνάει από το σηµείο αναφοράς 0 και το σηµείο (x 1, x 2, x 3 ), ενώ ο δισδιάστατος υπόχωρος x, ȳ := {α x + βȳ : α, β R} που παράγεται από δύο γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα x = (x 1, x 2, x 3 ), ȳ = (y 1, y 2, y 3 ) παριστάνεται από το επίπεδο που περιέχει τα σηµεία 0, (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ). ΣΧΗΜΑΤΑ Ειδικότερα, οι υπόχωροι ē i, i = 1, 2, 3, δίνουν τους άξονες του συστήµατος συντεταγµένων 0x i και οι υπόχωροι ē i, ē j i, j = 1, 2, 3, i < j, τα επίπεδα 0x i x j, αντίστοιχα. Τέλος, µε την ϐοήθεια της απόστασης ορίζονται η ανοικτή και η κλειστή µπάλα και η σφαίρα ακτίνας r > 0 και κέντρου x στον R n ως αντίστοιχα. B( x, r) := {ȳ R n : x ȳ < r}, (1.10) B( x, r) := {ȳ R n : x ȳ r}, (1.11) B( x, r) := {ȳ R n : x ȳ = r}, (1.12) Παρατηρηση 1. Να προσεχθεί ότι οι ανοικτές και κλειστές µπάλες και οι σφαίρες έχουν πάντα ϑετική ακτίνα r > 0. 9

1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.3 Τοπολογικές ιδιότητες Μετά από τις αλγεβρικές-γεωµετρικές ιδιότητες του R n ϑα αναφερθούµε τώρα στις τοπολογικές του ιδιότητες οι οποίες σχετίζονται άµεσα µε την έννοια του ορίου (πραγ- µατικών ή διανυσµατικών) ακολουθιών και συναρτήσεων ορισµένων σε ένα υποσύνολο U του R n, συµβολικά U R n. Οι ιδιότητες που ϑα εξετάσουµε στηρίζονται στην έννοια της µετρικής d που ορίστηκε στον R n µέσω της (1.5) και άρα συνιστούν α- πλά εφαρµογές των τοπολογικών ιδιοτήτων όπως αυτές εξετάζονται στην Τοπολογία (µετρικών χώρων) για µια γενική µετρική d. Ετσι ότι ισχύει γενικά για µετρικούς χώρους ισχύει και για τον R n. Με την ϐοήθεια της έννοιας της ανοικτής µπάλας που ορίσαµε πιο πάνω, (1.10), µπορούµε να ορίσουµε τα ανοικτά και κλειστά υποσύνολα του R n στα οποία εδράζονται οι τοπολογικές του ιδιότητες. Ορισµός 1.3.1. Ενα υποσύνολο U R n ονοµάζεται (α ) ανοικτό, αν για κάθε x 0 U υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B( x 0, ε) U, (ϐ ) κλειστό, αν το R n \ U είναι ανοικτό. Πρόταση 1.3.1. Κάθε ανοικτή µπάλα B( x 0, r) = x R n : x x 0 < r, x 0 R n, r > 0, είναι ανοικτό υποσύνολο του R n. Απόδειξη. Εστω x B( x 0, r). Τότε x 0 x < r, δηλ. ε > 0 : x 0 x = r ε. Αλλά τότε, ȳ B( x, ε) : ȳ x 0 x x 0 + x ȳ < r ε + ε = r, δηλ. ȳ B( x 0, r), και άρα B( x, ε) B( x 0, r). Συνεπώς για κάθε x B( x 0, r) υπάρχει µια ανοικτή µπάλα κέντρου x που ϐρίσκεται µέσα στο B( x 0, r), και άρα το τελευταίο είναι ανοικτό. Πρόταση 1.3.2. Η ένωση µιας οικογένειας ανοικτών υποσυνόλων του R n και η τοµή ενός πεπερασµένου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων του R n είναι ανοικτά υποσύνολα του R n. Απόδειξη. Εστω x i I U i, U i ανοικτά για κάθε i I. Τότε υπάρχει i 0 I µε x U i0 και αφού το U i0 είναι ανοικτό υπάρχει ε > 0 µε B( x, ε) U i0 i I U i. Αφού αυτό ισχύει για κάθε x i I U i, το τελευταίο ϑα είναι ανοικτό. Εστω τώρα x k i=1 U i, U i ανοικτά για κάθε i = 1,..., k. Τότε, αφού x U i i = 1,..., k, υπάρχουν ε i > 0 τέτοια ώστε B( x, ε i ) U i. Άρα για ε := min ε i > 0 έχουµε B( x, ε) k i=1 U i. i=1,...,k Παρατηρηση 2. Η τοµή ενός άπειρου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων δεν είναι ανοικτό υποσύνολο του R n. Π.χ. τα ανοικτά υποσύνολα B( x 0, 1 n ) του Rn έχουν τοµή n=1 B( x 0, 1 n ) = { x 0} που δεν είναι ανοικτό υποσύνολο, αφού δεν υπάρχει ανοικτή µπάλα που να περιέχεται σε αυτό. Πρόταση 1.3.3. Η τοµή µιας οικογένειας κλειστών υποσυνόλων του R n και η ένωση ενός πεπερασµένου πλήθους κλειστών υποσυνόλων του R n είναι κλειστά υποσύνολα του R n. 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Ορισµός 1.3.2. Εστω U R n. Ενα σηµείο x R n λέγεται (α ) εσωτερικό σηµείο του U, αν υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B( x, ε) U, (ϐ ) εξωτερικό σηµείο του U, αν το x είναι εσωτερικό σηµείο του R n \ U, (γ ) συνοριακό σηµείο του U, αν το x δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σηµείο του U, (δ ) σηµείο συσσώρευσης (ή οριακό σηµείο) του U, αν ε > 0 : U B( x, ε) \ { x 0 }, (ε ) µεµονωµένο σηµείο του U, αν ε > 0 : U B( x, ε) = { x} Παρατηρηση 3. Προσοχή! εν πρέπει να συγχέονται οι έννοιες του συνοριακού σηµείου (boundary point) και του οριακού σηµείου (limit point). (Γι αυτό είναι προτιµότερο το αναφερόµαστε στο τελευταίο ως σηµείο συσσώρευσης (accumulation point).) Π.χ. το µονοσύνολο U = { x} R n έχει ως µοναδικό συνοριακό σηµείο το σηµείο x αλλά είναι µεµονωµένο σηµείο, δηλ. δεν είναι σηµείο συσσώρευσης. ( Ενα µεµονωµένο σηµείο (isolated point) είναι πάντα συνοριακό σηµείο.) Επίσης ένα σηµείο συσσώρευσης µπορεί να είναι εσωτερικό σηµείο, οπότε δεν είναι συνοριακό σηµείο. ΣΧΗΜΑΤΑ Ορισµός 1.3.3. Εστω U R n. (α ) Το σύνολο των εσωτερικών σηµείων του U λέγεται εσωτερικό του U και συµ- ϐολίζεται µε U, (ϐ ) Το σύνολο των συνοριακών σηµείων του U λέγεται σύνορο του U και συµβολιζεται µε U, (γ ) Η τοµή όλων των κλειστών υποσυνόλων του R n που περιέχουν το U λέγεται το (τοπολογικό) κάλυµµα (ή κλείσιµο) του U και συµβολίζεται µε Ū. Πρόταση 1.3.4. Το U R n είναι κλειστό ανν περιέχει κάθε σηµείο συσσώρευσής του. Απόδειξη. U κλειστό R n \ U ανοικτό x R n \ U ε > 0 : B( x, ε) R n \ U x R n \ U ε > 0 : B( x, ε) U = x R n \ U ε > 0 : B( x, ε) (U \ { x}) = x R n \ U : το x δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του U { x R n : x είναι σηµείο συσσώρευσης του U} U. 11

1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N Πρόταση 1.3.5. Εστω U R n. Τότε (α ) U Ū (ϐ ) Ū είναι κλειστό (γ ) U = Ū U είναι κλειστό (δ ) x Ū x U ή το x είναι σηµείο συσσώρευσης του U Απόδειξη. (α ) Εστω x U. Τότε x V για κάθε V U και άρα ειδικότερα x V για κάθε κλειστό V U. Συνεπώς το x περιέχεται και στην τοµή όλων των κλειστών V U. (ϐ ) Το Ū είναι κλειστό ως η τοµή της οικογένειας όλων των κλειστών υποσυνόλων του R n που περιέχουν το U, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.3. (γ ) : Προκύπτει από το 2. : U Ū σύµφωνα µε το 1 και Ū U, αφού το U ως κλειστό υποσύνολο που περιέχει το U ϑα περιέχει την τοµή όλων των κλειστών υποσυνόλων που περιέχουν το U. (δ ) : Αν x U δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε, αν x R n \ U δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του U τότε υπάρχει ε > 0 µε B( x, ε) U = ή ισοδύναµα U R n \B( x, ε). Αλλά το τελευταίο αυτό υποσύνολο είναι κλειστό και περιέχει το U. Συνεπώς Ū Rn \ B( x, ε), που σηµαίνει x Ū, άτοπο. : Αν x U, τότε x Ū από το 1 ενώ αν x Rn \U είναι σηµείο συσσώρευσης του U, τότε x Ū, γιατί αν ήταν x Rn \ Ū, αφού αυτό το υποσύνολο είναι ανοικτό σύµφωνα µε το 2, ϑα υπήρχε ε > 0 µε B( x, ε) R n \ Ū και άρα B( x, ε) R n \ U ή ισοδύναµα B( x, ε) U = που σηµαίνει ότι το x δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του U, άτοπο. Ορισµός 1.3.4. Το U R n λέγεται (α ) ϕραγµένο αν r > 0 : U B( 0, r), (ϐ ) συµπαγές αν είναι κλειστό και ϕραγµένο. Α 3. Αν U := B( x 0, r), x 0 R n, r > 0, να δείξετε ότι U = U, Ū = B( x 0, r), όπως αυτό ορίστηκε στο (1.11), και U = B( x 0, r), όπως αυτό ορίστηκε στο (1.12). Απόδειξη. Αφού, όπως δείξαµε στην Πρόταση 1.3.1, το U είναι ανοικτό, κάθε σηµείο του είναι εσωτερικό σηµείο, σύµφωνα µε τους ορισµούς του ανοικτού υποσυνόλου και του εσωτερικού σηµείου. Άρα U U. Αφού απ την άλλη εξ ορισµού U U έχουµε συνολικά U = U. Θα δείξουµε τώρα ότι U = B( x 0, r) := { x R n : x x 0 = r}. Εστω x R n µε x x 0 r. Τότε ή x x 0 < r ή x x 0 > r. Στην πρώτη περίπτωση, x B( x 0, r) και άρα όπως είδαµε πιο πάνω το x είναι εσωτερικό σηµείο του U. Στην δεύτερη περίπτωση, ε > 0 : x x 0 = r + ε και άρα ȳ B( x, ε) : 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ȳ x 0 x x 0 x ȳ > (r + ε) ε = r, δηλ. B( x, ε) R n \ U, καί άρα το x είναι εξωτερικό σηµείο του U. Συνεπώς, τα x R n µε x x 0 r δεν είναι συνοριακά σηµεία του U. Απ την άλλη, αν x x 0 = r, τότε ε > 0 : x := x ε x x 0 2 x x B( x, ε) B( x 0 0, r) και x + := x+ ε x x 0 2 x x B( x, 0 ε) (Rn \B( x 0, r)), αφού x ± x = ε 2 και x ± x 0 = r ± ε 2. Συνεπώς, το x δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σηµείο του U και άρα σύµφωνα µε τον ορισµό είναι συνοριακό σηµείο του U. Τέλος, όπως µόλις είδαµε τα x U είναι σηµεία συσσώρευσης του U (αφού ε > 0 : x B( x, ε) B( x 0, r)), ενώ πιο πάνω είδαµε ότι τα σηµεία x R n µε x x 0 > r δεν είναι σηµεία συσσώρευσης (αφού ε > 0 : B( x, ε) U = ). Άρα, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.5, 4, Ū = B( x 0, r) := { x R n : x x 0 r}. Α 4. Εστω U := { x = (x 1,..., x n ) R n : x n > 0}. Βρείτε τα U, Ū, U. Απόδειξη. Εστω x R n µε x = (x 1,..., x n 1, x n ) =: ( x, x n ), όπου x n > 0. Τότε η Ευκλείδεια απόσταση του x από το υποσύνολο U := { x R n : x n = 0} = R n 1 {0} είναι d( x, U ) := inf{d( x, ȳ) : ȳ U } := inf{ x ȳ : ȳ U } αφού για ȳ = (ȳ, y n ) U ȳ R n 1, y n = 0, έχουµε = min{ x ȳ : ȳ U } = x n = x n, x ȳ = ( x, x n ) ( x, y n ) = x ȳ 2 + (x n y n ) 2 = x ȳ 2 + x 2 n x n = ( x, x n ) ( x, 0) Συνεπώς z B( x, x n ) z x < x n έχουµε x n z n x n z n x z < x n και άρα z n > 0, δηλ. B( x, x n ) U. Ετσι έχουµε U U και αφού εξ ορισµού U U συνολικά U = U. Σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.5,4 Ū = U { x R n : x είναι σηµείο συσσώρευσης του U}. Εστω ȳ = (ȳ, 0) U. Τότε ε > 0 : ȳ + ε 2ēn U B(ȳ, ε) \ {ȳ} = και άρα το ȳ είναι σηµείο συσσώρευσης του U. Εξ άλλου δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό σηµείο του U. Απ την άλλη, για x = ( x, x n ) µε x n < 0 x n > 0 z B( x, x n ) z x < x n έχουµε z n x n x n z n x z < x n και άρα z n < 0, δηλ. B( x, x n ) R n \ U. Συνεπώς τα x = ( x, x n ) µε x n < 0 είναι εξωτερικά σηµεία και δεν είναι σηµεία συσσώρευσης. Άρα Ū = { x Rn : x n 0} και U = U. Α 5. Να δειχθεί ότι : U R n : U = Ū \ U. 13

1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.4 Ακολουθίες στον R n Οι ακολουθίες στον R n, συµβολικά ( x ν ) ν N R n ή απλούστερα ( x ν ) R n, ορίζονται εντελώς ανάλογα µε τις πραγµατικές ακολουθίες (x ν ) R και έχουν ως επί το πλείστον τις ίδιες ιδιότητες µε αυτές, που αποδεικνύονται πανοµοιότυπα, µε µόνη διαφορά την αντικατάσταση της απόλυτης τιµής στον R µε την Ευκλείδεια στάθµη στον R n. Οι περισσότερες αυτών των ιδιοτήτων δεν είναι καν χαρακτηριστικό των ακολουθιών στον R n αλλά ισχύουν όµοια και σε (πλήρεις) µετρικούς χώρους, αν αντικαταστήσουµε την απόσταση x ȳ δύο σηµείων στον R n µε την µετρική d(x, y) του µετρικού χώρου στον οποίο ϐρίσκονται οι εξεταζόµενες ακολουθίες. Το ϐασικότερο αποτέλεσµα που προκύπτει από την µελέτη των ακολουθιών στον R n είναι ότι κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει, το οποίο τον καθιστά έναν πλήρη µετρικό χώρο. Ειδικότερα, αφού ο R n είναι ένας σταθµητός χώρος, είναι τώρα ένας πλήρης σταθµητός χώρος, δηλαδή ένας χώρος Banach, και ακόµα ειδικότερα, αφού η στάθµη του επάγεται από ένα εσωτερικό γινόµενο, είναι τώρα ένας πλήρης χώρος µε εσωτερικό γινόµενο, δηλαδή ένας χώρος Hilbert. Η γενική ϑεωρία πλήρων χώρων µε νόρµα ή εσωτερικό γινόµενο είναι αντικείµενο της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Ορισµός 1.4.1. Μια απεικόνιση ν N : ν x ν R n ονοµάζεται ακολουθία στον R n και συµβολίζεται µε ( x ν ) ν N R n ή πιο απλά ( x ν ) R n. Ορισµός 1.4.2. Μια ακολουθία ( x ν ) R n συγκλίνει στο x 0 R n ή έχει όριο το x 0 R n, συµβολικά x ν x 0 όταν ν ή απλούστερα x ν x 0, αν x ν x 0 0 στο R, δηλ. x ν x 0 : x ν x 0 0 ε > 0 ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν x 0 < ε. Πρόταση 1.4.1. Το όριο µιας συγκλίνουσας ακολουθίας ( x ν ) R n ορίζεται µονοσήµαντα και συµβολίζεται µε lim ν x ν. Απόδειξη. Εστω x ν x 0, x ν ȳ 0 µε x 0 ȳ 0, δηλ. x 0 ȳ 0 > 0. Τότε (για ε = x0 ȳ0 2 > 0) ν 1 N ν N, ν ν 1 : x ν x 0 < x 0 ȳ 0 2 ν 2 N ν N, ν ν 2 : x ν ȳ 0 < x 0 ȳ 0 2 και άρα ν N, ν max{ν 1, ν 2 }: x 0 ȳ 0 x 0 x ν + x ν ȳ 0 < x 0 ȳ 0 2 + x 0 ȳ 0 2 = x 0 ȳ 0, άτοπο. 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N Πρόταση 1.4.2. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία ( x ν ) R n είναι και ϕραγµένη, δηλ. r > 0 : ( x ν ) B( 0, r). Απόδειξη. Εστω x ν x 0. Τότε (για ε = 1) και, αφού x ν x ν x 0 + x 0, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν x 0 < 1 ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν < 1 + x 0. Άρα ν N : x ν max{ x 1,..., x ν0, 1 + x 0 } =: r 0 και συνεπώς για κάθε r > r 0 έχουµε το αποδεικτέο. Πρόταση 1.4.3. x ν = (x (1) ν,..., x (n) ν ) x 0 = (x (1) 0,..., x(n) 0 ) i = 1,..., n : x(i) ν x (i) 0 Απόδειξη. : Εστω ε > 0. Τότε, σύµφωνα µε τον ορισµό της σύγκλισης ακολουθίας, ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν x 0 < ε και αφού, σύµφωνα µε την ισοδυναµία (1.7), i = 1,..., n : x (i) ν x (i) 0 x ν x 0 x ν x 0, συνεπάγεται i = 1,..., n : ν 0 N ν N, ν ν 0 : x (i) ν x (i) 0 < ε. : Εστω ε > 0. Τότε i = 1,..., n ν i N ν N, ν ν i : x (i) ν x (i) 0 < ε n και άρα για ν 0 := max{ν 1,..., ν n } έχουµε από τον ορισµό της και την (1.7) ν N, ν ν 0 : x (i) ν x (i) 0 < ε i = 1,..., n x ν x 0 < ε x ν x 0 < ε. n n Θεώρηµα 1.4.4. (Bolzano-Weierstrass) Κάθε ϕραγµένη ακολουθία ( x ν ) R n έχει τουλάχιστον µια συγκλίνουσα υπακολουθία ( x kν ) ( x ν ). Απόδειξη. Αφού η ( x ν ) = ((x (1) ν τέτοιο ώστε,..., x (n) ν )) R n είναι ϕραγµένη, υπάρχει r > 0 i = 1,..., n : x (i) ν x ν < r ν N, δηλ. οι ακολουθίες (x (i) ν ) R είναι ϕραγµένες i = 1,..., n. Από το Θεώρηµα Bolzano-Weierstrass στον R γνωρίζουµε ότι για κάθε i = 1,..., n υπάρχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία της (x (i) ν ). Μπορούµε να κατασκευάσουµε µία υπακολουθία ( x kν ) = ((x (1) k ν,..., x (n) k ν )) ( x ν ) = ((x (1) ν 15,..., x (n) ν ))

1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N έτσι ώστε x (i) k ν x (i) 0 R i = 1,..., n, δηλ. (Πρόταση 1.4.3) x kν x 0 := (x (1) 0,..., x(n) 0 ) Rn. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής : Εστω (x (1) l ν ) µια συγκλίνουσα υπακολουθία της (x (1) ν ). Θεωρούµε την (x (2) l ν ). Ως υπακολουθία της (x (2) ν ) είναι και αυτή ϕραγµένη και άρα εχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία, έστω (x (2) m lν ). Τότε όµως ϑα συγκλίνει και η (x (1) m lν ) ως υπακολουθία της συγκλίνουσας ακολουθίας (x (1) l ν ). Βρήκαµε λοιπόν µία υπακολουθία ( x mlν ) έτσι ώστε και η (x (1) m lν ) και η (x (2) m lν ) να συγκλίνουν. Επιλέγοντας µια υπακολουθία-της έτσι ώστε η αντίστοιχη της τρίτης συντεταγµένης να συγκλίνει, ϑα έχουµε ότι για αυτήν την υπακολουθία ϑα συγκλίνουν οι αντίστοιχες και των τριών πρώτων συντεταγµένων. Συνεχίζοντας έτσι, µετά από n ϐήµατα, ϑα έχουµε κατασκευάσει την υπακολουθία ( x kν ) της οποίας οι αντίστοιχες όλων των συντεταγµένων της ϑα συγκλίνουν. Παρατηρηση 4. Τα όρια των συγκλινουσών υπακολουθιών της ( x ν ) ονοµάζονται ση- µεία συσσώρευσης (ή οριακά σηµεία) της ακολουθίας. Ορισµός 1.4.3. Μια ακολουθία ( x ν ) R n λέγεται ακολουθία Cauchy (ή ϐασική ακολουθία) αν ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν x µ < ε. Θεώρηµα 1.4.5. Μια ακολουθία ( x ν ) R n συγκλίνει ανν είναι ακολουθία Cauchy. Απόδειξη. ( x ν ) είναι ακολουθία Cauchy ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν x µ < ε ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν x µ < ε ε > 0 ν 0 N ν, µ N, ν, µ ν 0 : x ν (i) x µ (i) < ε i = 1,..., n i = 1,..., n : ε > 0 ν i N ν, µ N, ν, µ ν i : x ν (i) x µ (i) < ε i = 1,..., n: (x (i) ν ) είναι ακολουθία Cauchy στο R i = 1,..., n: (x (i) ν ) συγκλίνει στο R ( x ν ) συγκλίνει στο R n Παρατήρηση : Να προσεχθεί ότι η δεύτερη έως τέταρτη πρόταση ισχυρίζονται ότι ε > 0 ν i (ε) N τέτοιο ώστε να ισχύει η πρόταση p(ε, ν i (ε)). Οι ισοδυναµίες που τις περιέχουν ισχύουν συνολικά για όλα τα ε > 0. Ενα συγκεκριµένο (ε, ν i (ε)) στο ένα µέρος µιας ισοδυναµίας µπορεί να αλλάζει στο άλλο. Αυτό ισχύει στην δεύτερη ισοδυναµία, όπου αλλάζει το ε, και στην τέταρτη, όπου αλλάζει το ν i. Πρόταση 1.4.6. Εστω U R n. Το x R n είναι σηµείο συσσώρευσης του U ανν ( x ν ) U \ { x} : x ν x. Απόδειξη. : Αφού ε > 0: U B( x, ε) \ { x}, έχουµε ειδικότερα ν N x ν U B( x, 1 ν ) \ { x} και άρα x ν x < 1 ν 0, δηλ. x ν x. : Αφού ε > 0 ν N : x ν x < ε και x ν U \ { x}, έχουµε ε > 0 : U B( x, ε) \ { x}. Πρόταση 1.4.7. Εστω U R n. Τότε : x Ū ( x ν) U : x ν x. 16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N 1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.5 (4) αρκεί να δείξουµε ότι το δεξί µέρος της ισοδυναµίας ισοδυναµεί µε την πρόταση : x U ή x είναι σηµείο συσσώρευσης του U. : Εστω ( x ν ) U µε x ν x. Αν υπάρχει ν 0 N τέτοιο ώστε ν ν 0 : x ν = x, τότε x U. Αν για κάθε ν N υπάρχει ένα k ν ν µε ȳ ν := x kν x, τότε ȳ ν x, αφού k ν ν, δηλ. ε > 0 ȳ ν U \ { x} : ȳ ν x < ε ή ισοδύναµα ε > 0 ȳ ν U B( x, ε) \ { x}. : Αν x U τότε υπάρχει η ( x ν ) U µε x ν := x x. Αν x U, τότε ν N x ν U B( x, 1 ν ) \ { x} και άρα x ν x < 1 ν 0, δηλ. x ν x. Παρατήρηση : Να προσεχθεί ότι η ακολουθία (ȳ ν ) της απόδειξης δεν είναι απαραίτητα υπακολουθία της ( x ν ), αφού µπορεί για ν µ να έχουµε k ν = k µ και άρα ȳ ν = ȳ µ = x kν, δηλ. ο ίδιος όρος της ( x ν ) να έχει επιλεγεί δυο ϕορές. Αλλιώς αν το (k ν ) N δεν αυξάνει γνήσια, τότε η ( x kν ) δεν είναι υπακολουθία της ( x ν ). Οµως, ακόµα και για µια απλώς αύξουσα ακολουθία k ν ν, η (ȳ ν ) = ( x kν ) τείνει στο όριο της συγκλίνουσας ( x ν ). Πρόταση 1.4.8. U R n κλειστό ( x ν ) U µε x ν x 0 R n : x 0 U. Απόδειξη. Σύµφωνα µε την Πρόταση 1.3.4 αρκεί να δείξουµε ότι το δεξί µέρος της ισοδυναµίας ισοδυναµεί µε το ότι το U περιέχει όλα τα σηµεία συσσώρευσής του. : Εστω ( x ν ) U µε x ν x 0 R n. Τότε αν ν 0 N ν N, ν ν 0 : x ν = x 0 δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε. Αν ν N µ N, µ ν : x µ x 0 επιλέγουµε για κάθε ν N ένα τέτοιο x µ =: ȳ ν και έχουµε µια ακολουθία (ȳ ν ) U \ { x 0 } µε ȳ ν x 0 R n. Αλλά τότε το x 0 είναι σηµείο συσσώρευσης του U, αφού ε > 0 ȳ ν U \ { x 0 } : ȳ ν x 0 < ε ή ισοδύναµα ε > 0 ȳ ν (U \ { x 0 }) B( x 0, ε). : Εστω x 0 R n σηµείο συσσώρευσης του U. Τότε ν N x ν (U \ { x 0 }) B( x 0, 1 ν ) και άρα x ν x 0 1 ν 0, δηλ. x ν x 0 U. Πρόταση 1.4.9. U R n συµπαγές ( x ν ) U ( x kν ) ( x ν ) : lim ν x k ν U. Απόδειξη. : Εστω ( x ν ) U. Αφού το U R n είναι συµπαγές, εξ ορισµού (ϐλ. τον Ορισµό 1.3.4 (2)) ϑα είναι και ϕραγµένο και άρα και η ( x ν ) ϑα είναι ϕραγµένη. Συνεπώς, σύµφωνα µε το Θεώρηµα Bolzano-Weierstrass (Θ. 1.4.4), υπάρχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία-της ( x kν ) ( x ν ) U µε x kν x 0 R n. Αλλά τότε x 0 U, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.8, αφού το U είναι κλειστό εξ ορισµού. : Εστω ότι το U δεν είναι ϕραγµένο, δηλ. r > 0 : U B( 0, r) ή ισοδύναµα r > 0 x U : x r και συνεπώς ειδικότερα ν N x ν U : x ν ν. Άρα η ( x ν ) δεν έχει συγκλίνουσες υπακολουθίες, αφού για κάθε ( x kν ) ( x ν ) ισχύει x kν k ν > ν, και άρα η ( x kν ) δεν είναι ϕραγµένη, ενώ µια συγκλίνουσα ακολουθία είναι πάντα ϕραγµένη (Πρόταση 1.4.2). Για να δείξουµε ότι το U είναι κλειστό, έστω x Ū. Τότε, σύµφωνα µε την Πρόταση 1.4.7, υπάρχει ( x ν ) U µε x ν x. Από την υπόθεση, υπάρχει ( x kν ) ( x ν ) µε x kν x 0 U. Αφού όµως κάθε υπακολουθία µιας συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει στο ίδιο όριο (Άσκηση) έχουµε και x kν x, και άρα από την µοναδικότητα 17

1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ R N ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R N του ορίου συγκλίνουσας ακολουθίας (Πρόταση 1.4.1) x = x 0 U. Συνεπώς, Ū U και αφού U Ū, έχουµε U = Ū κλειστό (Πρόταση 1.3.5 (1), (2)). Α 6. είξτε ότι : x ν x R n x ν x R. Λύση. Εξ ορισµού x ν x : x ν x 0 και από την Άσκηση 2, (ε ) 0 x ν x x ν x. Συνεπώς, από το Θεώρηµα Ισοσυγκλινουσών (πραγµατικών) Ακολουθιών προκύπτει το αποδεικτέο. Α 7. Εστω x R n. είξτε ότι το µονοσύνολο { x} είναι συµπαγές. Λύση. Προκύπτει άµεσα από την Πρόταση 1.4.9, αφού η µοναδική ακολουθία ( x ν ) { x} είναι η σταθερή ακολουθία x ν = x x. 18

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Ιωάννης Γιαννούλης. «Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1153. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.